Suchen in Listen und Hashtabellen

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1 Kapitel 12: Suchen in Listen und Hashtabellen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Einleitung Lineare Suche Binäre Suche (in sortierten Listen) Hashverfahren Python Dictionaries eine Implementierung von Hashtabellen Literatur G. Saake & K.-U. Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen. dpunkt Lehrbuch R. Sedgewick. Algorithmen. 2. Auflage. Addison Wesley W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik. Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Third Edition. Addison-Wesley, Algorithmus der Woche. 1

2 Suchen - Problemstellung Gegeben ist eine Menge von n Datensätzen z.b. n = 1000, 10000, , Jeder Datensatz kann i.a. mehrere Attribute umfassen dann wird nach dem Datensatz mit einem bestimmten Attribut, dem Schlüssel gesucht Schlüssel wird im folgenden als eindeutig angenommen d.h. Suche liefert entweder ein oder kein Ergebnis (erfolgreicher/erfolgloser Fall) Schlüssel kann Zahl, oder auch Zeichenkette sein Beispiele Suche Eintrag in Telefonbuch Suche CD oder Buch in Regal Persnr Name Rang Raum Sokrates C Russel C Kopernikus C Popper C Augustinus C Curie C Kant C4 7 Beispiel für Mitarbeiter-Datenbank einer Universität. Beispiel-Suchaufgabe: Suche den Mitarbeiter mit Persnr (Schlüssel) = 2136 CD-Sammlung Suchen in Sequenzen Lineare Suche Problem Gegeben: Liste L mit n Werten, Suchwert k (Liste kann sortiert sein, muss aber nicht) Gesucht: Index i des Elements von L, so dass L[i] == k; falls k nicht in L enthalten: Rückgabe von NO_KEY Vorgehensweise durchsuche Liste von vorne nach hinten, bis Element gefunden NO_KEY = -1 def linsearch(liste, k): for i in range(len(liste)): if liste[i] == k: return i return NO_KEY >>> linsearch([2,1,4,6,5,9,6,3], 6) 3 >>> linsearch(['a','x','y','zz','cc','c'], 'c') 5 >>> linsearch([1,2,3],4) Prof. -1 B. Jung Einführung in die Informatik, WS 2007/08 TU Bergakademie Freiberg 2

3 Suchen in Sequenzen Lineare Suche Analyse der Zeitkomplexität Sequenz wird von vorne nach hinten durchsucht, bis Element gefunden Erfolgreiche Suche: bester Fall: gesuchter Schlüssel ist erster in Liste 1 Vergleich schlechtester Fall: gesuchter Schlüssel ist letzter in Liste n Vergleiche durchschnittlicher Fall: gesuchter Schlüssel ist in Mitte (n+1)/2 Vergleiche Erfolglose Suche: alle Elemente der Liste werden gestestet n Vergleiche Anzahl Vergleiche Bester Fall Schlechtester Fall Durchschnittl. Fall (erfolgreiche Suche) Durchschnittl. Fall (erfolglose Suche) 1 "proportional zu 1" n "proportional zu n" (n+1)/2 "proportional zu n" n "proportional zu n" Zeitkomplexität gilt auch, falls Sequenz sortiert ist! Für sortierte Sequenzen gibt es aber bessere Verfahren Suchen in sortierten Sequenzen Binäre Suche Problem (wie bei Suche in unsortierten Sequenzen) Gegeben: Sortierte Liste L mit n Werten, Suchwert k Gesucht: Index i des Elements von L, so dass L[i] == k; falls k nicht in L enthalten: Rückgabe von NO_KEY Motivation: Suche durch "Intervallhalbieren" Suche in Telefonbuch z.b. durch sukzessives Halbieren des Suchbereichs: Schlage Telefonbuch in Mitte auf Überprüfe, in welcher Hälfte sich der Eintrag befindet (halbiert Suchbereich) Wiederhole mit dieser Hälfte, bis Seite gefunden Vorgehensweise überprüfe Element in Mitte der Liste (Index m = len(l) / 2) falls L[m] == k gefunden falls L[m] < k suche in erster Hälfte der Liste, d.h. L[0:m] falls l[m] > k suche in zweiter Hälfte der Liste, d.h. L[m+1:n] Suche erfolglos, falls Suchbereich leer slice-notation >>> l = [1,2,3,4] >>> l[0:2], l[3:4] Prof. B. Jung Einführung in die Informatik, WS 2007/08 ([1, 2], [4]) TU Bergakademie Freiberg 3

4 Suchen in sortierten Sequenzen Binäre Suche def binsearch(liste, key): l = 0 # left end r = len(liste) - 1 # right end while l <= r: m = (l + r) / 2 if liste[m] == key: return m elif key < liste[m]: r = m - 1 else: l = m + 1 return NO_KEY Ausgabe: Index von key in liste Suchen in sortierten Sequenzen Binäre Suche Beispiel: Suche nach Nelly in CD-Regal mit 500 Einträgen (Regal[n] kennzeichnet die n-te CD im Regal) 1. binsearch(regal, Nelly ) Regal[250] = Kelly Family rechts weitersuchen 2. links = 251, rechts = 500 Regal[375] = Rachmaninov links weitersuchen 3. links = 251, rechts = 374 Regal[312] = Linkin Park rechts weitersuchen 4. links = 313, rechts = 374 Regal[343] = Nancy Sinatra rechts weitersuchen 5. links = 344, rechts = 374 Regal[359] = Nelly gefunden! 4

5 Suchen in sortierten Sequenzen Binäre Suche Analyse Wie lange muss man höchstens suchen? Gegeben: Liste mit n Einträgen Gesucht: Anzahl der höchstens benötigten Suchschritte (Vergleiche) Anders herum: Gegeben: k Suchschritte (Vergleiche) Gesucht: Anzahl der Einträge, die durchsucht werden können mit 1 Vergleich: 2 Einträge mit 2 Vergleichen: 4 Einträge mit 3 Vergleichen: 8 Einträge mit k Vergleiche: 2 k Einträge Nochmal: Wie lange muss man höchstens suchen? Suche in Liste der Länge n benötigt höchstens log 2 n Vergleiche Suchen in sortierten Sequenzen Binäre Suche Analyse Anzahl Vergleiche Bester Fall Schlechtester Fall Durchschnittl. Fall (erfolgreiche Suche) Durchschnittl. Fall (erfolglose Suche) 1 "proportional zu 1" log n "proportional zu log n" log n "proportional zu log n" log n "proportional zu log n" 5

6 Suchen in sortierten Sequenzen Vergleich lineare und binäre Suche lineare Suche Maximale Anzahl der Vergleiche: n Durchschnittliche Anzahl der Vergleiche: n/2 funktioniert auch bei unsortierten Listen Binäre Suche Maximale und durchschnittliche Anzahl Vergleiche: ca. log 2 n Verfahren Lineare Suche (n/2) Binäre Suche (log 2 n) durchschnittliche Anzahl Vergleiche der Suchverfahren Hashverfahren Anwendung von Hashing: Verfahren für dynamisch veränderliche Menge von Objekten mit effizienten Grundoperationen (sog. Wörterbuchoperationen) Suchen, Einfügen, Löschen Vermeidet Probleme bisheriger Verfahren: lineare Suche: ca. n/2 Vergleiche binäre Suche: ca. log 2 n Vergleiche stattdessen: Suche in konstanter Zeit möglich (durchschnittlicher Fall) Möglicher Nachteil von Hashtabellen Reihenfolge der Elemente nicht definiert damit auch wird auch Sortieren nicht unterstützt 6

7 Einfaches Beispiel für Hashtabelle Index Eintrag einfache Hashtabelle, Hashfunktion: h(i) = i mod 10 Grundprinzip von Hashverfahren Datensätze werden in einem Feld/Array mit Indexwerten 0.. n-1 gespeichert Positionen auch als "Buckets" bezeichnet Eine Hashfunktion h bestimmt für ein Element e den Index h(e) Die Hashfunktion h sollte die Elemente möglichst "gut", d.h. mit möglichst wenigen Kollisionen auf die Buckets verteilen Kollision liegt vor, wenn Hashfunktion mehrere Element auf denselben Bucket abbildet verschiedene Varianten des Hashverfahrens unterscheiden sich bei der Behandlung von Kollisionen Hashfunktion Hashfunktion bildet "Objekte" auf ganze Zahlen ab z.b. Integer, Zeichenketten Hashfunktion für Integer h(i) = i mod N, mit N Größe der Hashtabelle N sollte (große) Primzahl sein und nicht zu nahe an Zweierpotenz liegen um eine möglichste gute Gleichverteilung zu erreichen, d.h. Minimierung von Kollisionen Hashfunktionen für andere Datentypen float: z.b. (Mantisse+Exponent) mod N string: Verwendung von Ascii/Unicode-Wert Hashfunktion sollte immer effizient zu berechnen sein (konstante Zeit)! 7

8 Hashtabelle: Veranschaulichung U (Universum der Schlüssel) K (Aktuelle Schlüssel) k 2 k 5 k 3 k 4 k 1 h(k 1 ) h(k 4 ) h(k 2 )=h(k 5 ) h(k 3 ) Durch die Hashfunktion h werden Schlüssel (von Datensätzen) auf Indices der Hashtabelle abgebildet. Im Beispiel kommt es zu einer Kollision zwischen von Hashwerten von k 2 und k 5 Strategien zur Behandlung von Kollisionen: Direkte Verkettung K (Aktuelle Schlüssel) k 2 k 5 k 2 k 3 k 5 k 3 Beim Verfahren der direkten Verkettung werden Kollisionen aufgelöst, indem jeder Tabellenplatz einen Zeiger auf eine verkettete Liste enthält Zeitkomplexität für Suche, n = Anzahl der aktuellen Schlüssel: schlechtester Fall: Proportional zu n (wenn alle Schlüssel auf selben Tabellenplatz abgebildet werden) bester Fall: konstante Zeit (wenn keine Kollisionen vorkommen) 8

9 Strategien zur Behandlung von Kollisionen: Open Hashing Beim Open Hashing werden alle Einträge in der Hashtabelle gehalten d.h. es können maximal m Elemente gespeichert werden, wobei m Größe der Hashtabelle Ist eine Komponente der Tabelle schon belegt (Kollision), so wird ein freier Platz für einen weiteren Eintrag gesucht verschiedene Strategien, wo neuer freier Eintrag gesucht wird z.b. lineare Verschiebung: nächster freier Eintrag z.b. double Hashing: Einsatz einer zweiten Hash-Funktion Strategien zur Behandlung von Kollisionen: Open Hashing mit linearer Verschiebung K (Aktuelle Schlüssel) k 1 k 2 k 3 Falls h(k) bereits durch einen anderen Schlüssel besetzt ist, wird versucht, k in den Adressen h(k) + 1, h(k) + 2,... unterzubringen Präziser gesagt, wird folgende Hashfunktion verwendet: h'(k, i) = ( h(k) + i ) mod m mit i = 0, 1, 2,...,m 1. 9

10 Strategien zur Behandlung von Kollisionen: Open Hashing mit linearer Verschiebung h(k) = k mod 5 falls h(k) belegt, probiere (h(k) + 1) mod 5 falls auch belegt, probiere (h(k) + 2) mod 5 Bem.: Beim Open Hashing können maximal N Elemente gespeichert werden, mit N Größe der Hashtabelle Strategien zur Behandlung von Kollisionen: Open Hashing mit Double Hashing K (Aktuelle Schlüssel) k 1 k 2 k 3 Im Fall einer Kollision wird die Verschiebung durch eine zweite Hashfunktion erreicht Präziser gesagt, wird folgende Hashfunktion verwendet: h'(k, i) = ( h 1 (k) + i h 2 (k) ) mod m mit i = 0, 1, 2,...,m 1. 10

11 Vergleich zum Open Hashing: Typische Füllmuster bei linearer Verschiebung und Double Hashing Typisches Füllmuster bei linearer Verschiebung Typisches Füllmuster bei double Hashing Beobachtung: Kürzere Ketten bei double Hashing im Durchschnitt etwas weniger Vergleiche notwendig bei vollen Hashtabellen Hashing - Ladefaktor Ladefaktor für eine Hashtabelle T ist definiert als n/m, wobei n die Anzahl der gespeicherten Schlüssel und m die Kapazität der Tabelle ist Theoretische Untersuchungen und praktische Messungen haben ergeben, dass der Ladefaktor einer Hashtabelle den Wert 0.8 nicht überschreiten sollte (d.h. die Hashtabelle darf höchstens zu 80% gefüllt werden) Ist der Ladefaktor 0.8, so treten beim Suchen im Durchschnitt weniger als 3 Kollisionen auf (double hashing) durchschnittlicher Fall: Suche in konstanter Zeit Bei einem höheren Ladefaktor steigt die Zahl der Kollisionen rasch an steigt Ladefaktor auf > 0.8 an, dann sollte Tabellengröße erhöht werden 11

12 Suchen in sortierten Sequenzen und Hashtabellen Vergleich lineare und binäre Suche Verfahren Lineare Suche (n/2) Binäre Suche (log 2 n) Hashtabelle mit Ladefaktor 0.8 ( 3) durchschnittliche Anzahl Vergleiche der Suchverfahren Python Dictionaries Kollektion von Schlüssel-Wert Paaren (Assoziatives Array) Zugriff über Schlüssel implementiert als Hashtabelle >>> tel = {'jack': 4098, 'sape': 4139} >>> type(tel) Erzeugung eines Dictionary <type 'dict'> >>> tel['guido'] = 4127 Hinzufügen eines Elements >>> print tel {'sape': 4139, 'guido': 4127, 'jack': 4098} >>> tel['jack'] 4098 >>> del tel['sape'] Löschen eines Elements >>> print tel {'guido': 4127, 'jack': 4098} >>> tel.keys() alle Schlüssel als Liste ['guido', 'jack'] >>> tel.has_key('guido') Test, ob Schlüssel in True Liste enthalten ist >>> 'guido' in tel True 12

13 Python Dictionaries eigentlich keine Reihenfolge in Dictionaries definiert trotzdem kann über Elemente iteriert werden: iteritems(): Iteration über Tupel (key, value) iterkeys(): Iteration über Schlüssel itervalues(): Iteration über Werte siehe auch: help(dict) >>> knights = {'gallahad': 'the pure', 'robin': 'the brave'} >>> for k, v in knights.iteritems(): print k, v gallahad the pure robin the brave >>> for k in knights.iterkeys(): print k gallahad robin 13