SS10 Algorithmen und Datenstrukturen 2. Kapitel Fundamentale Datentypen und Datenstrukturen

Transkript

1 SS10 Algorithmen und Datenstrukturen 2. Kapitel Fundamentale Datentypen und Datenstrukturen Martin Dietzfelbinger April 2010 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 Datentyp Indizierte Folgen Stacks + wahlfreier Zugriff. Grunddatentyp: Nat durch die natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2,...} interpretiert. A: e h x a c f u z l q Operationen, skizziert: read(a,i) liefert Eintrag A[i] an Position i, falls definiert. write(a,i,x) ersetzt Eintrag A[i] an Position i durch x, falls definiert. length(a) liefert aktuelle Länge. addlast(a,x) verlängert Folge, schreibt x an letzte Stelle. removelast(a) verkürzt Folge. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 31 Indizierte Folgen Dynamische Arrays Indizierte Folgen Dynamische Arrays über D Sorten: Elements Arrays Nat empty: Arrays addlast: Arrays Elements Arrays removelast: Arrays Arrays read: Arrays Nat Elements write: Arrays Nat Elements Arrays length: Arrays Nat 2. Mathematisches Modell Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter) Arrays: Seq(D) Nat: N FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 32 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 33

2 Indizierte Folgen Dynamische Arrays über D 2. Mathematisches Modell (Forts.) empty()=() addlast((a 1,...,a n ),x)=(a 1,...,a n,x) { (a1,...,a n 1 ), falls n 1 removelast((a 1,...,a n )) = undefiniert, falls n =0 { ai, falls 1 i n read((a 1,...,a n ),i)= undefiniert, sonst { (a1,...,a i 1,x,a i+1,...,a n ), falls 1 i n write((a 1,...,a n ),i,x)= undefiniert, sonst length((a 1,...,a n )) = n Indizierte Folgen Dynamische Arrays über D Implementierung: Arrayimplementierung wie bei Stacks, mit Verdoppelungsstrategie. Kosten: empty, read, write, length: O(1). addlast: k addlast-operationen kosten Zeit O(k). removelast: Einfache Version (Pegel dekrementieren): O(1). Verfeinerung: Halbierung, wenn Array (Länge m) zu groß für die Anzahl n der Einträge, z. B. wenn durch eine removelast-operation n< 1 4 m wird. Nachteil: Diese Operation kostet Θ(n) Zeit. Vorteil: Arraylänge ist stets 4n. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 34 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 35 Mitteilung Startend mit einem leeren dynamischen Array, kosten k add- Last- und removelast-operationen insgesamt Zeit O(k). 2.2 Queues Warteschlangen FIFO-Listen First-In-First-Out Idee (siehe AuP-Vorlesung): vorne "head" "tail" isempty: false first: 3 enqueue(5): 5 dequeue: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 36 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 37

3 Spezifikation des Datentyps Queue über D Sorten: Elements Queues Boolean empty: Queues enqueue: Queues Elements Queues dequeue: Queues Queues first: Queues Elements isempty: Queues Boolean Beachte: Die Signatur ist identisch zur Signatur von Stacks bis auf Umbenennungen. Rein syntaktische Vorschriften! Verhalten (noch) ungeklärt! Spezifikation des Datentyps Queue über D 2. Mathematisches Modell Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter) Queues: Seq(D) Boolean: {true, false} Die leere Folge () stellt die leere Warteschlange dar. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 38 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 39 Spezifikation des Datentyps Queue über D 2. Mathematisches Modell (Forts.) empty()=() enqueue((a 1,...,a n ),x):=(a 1,...,a n,x) Listenimplementierung von Queues Implementierung mittels einfach verketteter Listen: Übung. Skizze: vorne { (a2,...,a n ), falls n 1 dequeue((a 1,...,a n )) := undefiniert, falls n =0 { a1, falls n 1 first((a 1,...,a n )) := undefiniert, falls n =0 { false, falls n 1 isempty((a 1,...,a n )) := true, falls n =0 head: tail: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 40 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 41

4 Arrayimplementierung von Queues vorne "head" m 2 m 1 0 t h 4 head: tail: "tail" h t Arrayimplementierung von Queues Implementierung mittels Arrays, zirkulär benutzt: In Array A[0..m 1] sind durch den Inhalt h von head und den Inhalt t von tail zwei Positionen markiert. Die Idee ist, dass die Arrayeinträge A[h],A[h +1],...,A[t 1] die Einträge (a 1,...,a n ) der Warteschlange bilden, von vorne nach. Dabei werden die Indizes modulo m gerechnet; auf m 1 folgt also 0. Die Zelle A[t] ist immer leer. Um x einzufügen, wird (solange Platz ist), x an die Stelle A[tail] geschrieben und dann tail um 1 erhöht. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 42 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 43 Arrayimplementierung von Queues (Forts.) Maximale Zahl der Einträge im Array (Kapazität) ist m 1, da die Zelle mit Index t immer leer sein muss. Ein Überlauf wird ausgelöst, wenn beim Einfügen die Variable tail denselben Wert erhalten würde wie head. Um in einer nichtleeren Warteschlange dequeue auszuführen, wird head um 1 weitergezählt (modulo m). Wenn bei einem dequeue die Warteschlange komplett geleert wird, steht in head und tail derselbe Wert. Wir benutzen die Bedingung head = tail als Leerheitstest. Um die Warteschlange (bei empty()) zuinitialisieren, setzen wir head und tail auf denselben Wert, z.b. 0. Implementierung der Operationen auf einer Queue q: q.empty(): ( Konstruktor; Option: m als Argument ) Erzeuge Array A[0..m 1] of elements und 2 Variable head, tail: int ; head 0; tail 0; q.isempty: if head = tail then return true else return false ; q.first: if head = tail then Fehler (z.b. QEmptyException) else return A[head] ; q.dequeue: if head = tail then Fehler (z.b. QEmptyException) else head (head +1)modm q.enqueue(x): tt (tail +1)modm; if tt = head then Fehler (z.b. QOverflowException) else A[tail] x ; tail tt ; FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 44 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 45

5 Alternative zu Overflow-Exception: Verdoppelungsstrategie Erzeugen eines neuen Arrays AA[0..2m 1] (mit Kapazität 2m 1); Umkopieren der Einträge A[head], A[(head + 1) modm],..., A[(tail 1) mod m] in AA[0], AA[1],...,AA[m 2]; head 0; tail m 1; Umbenennen von AA in A. A[tail] x ; tail++ ; Satz Die angegebene Arrayimplementierung einer Queue über D ist korrekt, ohne Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein Überlauf im Array eintritt; mit Verdoppelungsstrategie, solange kein Fehler im Modell und kein Speicherüberlauf auftritt. Beweis: Wir betrachten eine Folge Op 0 = empty, Op 1,...,Op N von Queueoperationen, wobei empty nur ganz am Anfang vorkommen darf. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 46 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 47 Man zeigt dann durch Induktion über i = 0,...,N, dass unter der Annahme, dass im mathematischen Modell kein Fehler auftritt, folgende Behauptung (IB) i gilt: Wenn nach Operationen Op 0,Op 1,...,Op i der Inhalt der Queue q i =(a 1,...,a ni ) ist, dann stehen nach Ausführung der Operationen in der Implementierung die Elemente a 1,...,a ni in den Positionen A[h],A[h +1],...,A[t 1], (Indizes modulo m gerechnet), wobei h der Inhalt von head und t der Inhalt von tail ist. Insbesondere ist die Warteschlange leer genau dann wenn h = t ist. Satz Wenn eine Queue mit Arrays und der Verdoppelungsstrategie implementiert wird, sind die Gesamtkosten für N Operationen O(N). Beweis: Genauso wie bei Stacks. Bemerkung: Bei der Verdoppelungsstrategie gilt weiter: Der gesamte Platzbedarf ist O(k), wenn k die maximale je erreichte Länge der Queue ist. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 48 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 49

6 Datentyp Doppelschlange Deque Schlange mit zwei Enden; Einfügen und Entnehmen an beiden Enden möglich. Schema: Einfache Implementierung: first Implementierung mit Dummyelementen: first: vorn: f last: last: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 50 l Sorten: Elements empty:... Deques pushfront:... Boolean popfront:... first:... pushback:... popback:... last:... isempty:... Details 2. Mathematisches Modell Implementierung mit Arrays Implementierung mit doppelt verketteten Listen Übung. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel Einfache Datenstrukturen für Mengen Datentyp Dynamische Menge Modelliere: Endliche Mengen über D. Intuitive Aufgabe: Speichere eine veränderliche Menge S D, S endlich, mit Initialisierung: S ; ( anfangs ist S leer ) Suche: x S?; ( teste, ob x in S ist ) Hinzufügen: S S {x}; ( füge x zu S hinzu ) Löschen: S S {x}. ( entferne x aus S ) Sorten: Elements Sets Boolean empty: Sets insert: Sets Elements Sets delete: Sets Elements Sets member: Sets Elements Boolean FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 52 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 53

7 2. Mathematisches Modell: Modellierung einer Menge als endliche Menge von Objekten: Sorten: Elements: (nichtleere) Menge D (Parameter) Sets: P < (D) = {S D S endlich} Boolean: {true, false} empty() = insert(s, x) :=S {x} delete(s, x) :=S {x} { true, falls x S member(s, x) := false, falls x/ S Implementierungsmöglichkeiten (A) Einfach verkettete Liste oder Array mit Wiederholung (B) Einfach verkettete Liste oder Array ohne Wiederholung (C) Einfach verkettete Liste oder Array, aufsteigend sortiert Nur möglich, wenn es auf D eine totale Ordnung < gibt. Später: (D) Suchbäume (E) Hashtabellen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 54 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS10 Kapitel 2 55