Kap. 2: Abstrakte Datentypen Kap. 3: Sortieren

Transkript

1 Kap. 2: Abstrakte Datentypen Kap. 3: Sortieren Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 4. VO DAP2 SS April

2 ADT Queue ADT Dictionary Überblick Einführung in das Sortierproblem Insertion-Sort Selection-Sort Merge-Sort 2

3 Motivation Warum soll ich hier bleiben? Sortierverfahren sind WICHTIG!!! Ich kann doch schon sortieren. ABER ES GEHT SCHNELLER! 3

4 Der ADT Queue Stack : Queue : Stapelspeicher, Warteschlangen, LIFO-Speicher) FIFO-Speicher Wertebereich: Menge aller endlichen Folgen eines gegebenen Grundtyps. S=<a 1,a 2,,a n > Leere Queue: < > Operationen: Im folgenden betrachten wir die Queue S=<a 1,a 2,,a n > mit Grundtyp val 4

5 Operationen des ADT Queue PUT(val x) Legt neues Element x an das Ende der Queue PUT(x): S=<a 1,a 2, a n,x> GET() : val Gibt das erste Element der Queue zurück und entfernt es (n>0). GET(): a 1 ISEMPTY() : bool Gibt true zurück, falls S leer ist; sonst false.

6 Realisierung des ADT Queue durch Felder Interne Repräsentation: Speicherung als Array der Dimension maxn Trick: Queue ist zyklisch im Feld gespeichert Position wird durch Feldindizes front und back angegeben p maxn+1 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 back front back zeigt hinter das letzte Listenelement; um korrekt auf Überlauf zu testen, nutzen wir maxn+1 Felder

7 1 2 3 T G U 2 T I Beispiel: PUT(P) D 10 A 2 I S m= maxn+1 back P front Function ISEMPTY():bool return front=back Procedure PUT(val x) A[back]:=x if back=m then back:=1 else back:=back+1 if front=back then throw Overflow Exception

8 1 2 3 T G U 2 T I Beispiel: GET() D 10 A 2 I S m= maxn+1 back front Procedure GET():val if front=back then throw Underflow Exception x:=a[front] If front=m then front:=1 else front:=front+1 return x Realisierung aller Operationen: s. Skript

9 Realisierung des ADT Queue durch Listen Interne Repräsentation: Speicherung als einfach verkettete Liste Zeiger head und tail auf Anfang und Ende head a 1 a 2 a n tail nil 9

10 Beispiel: PUT(x) head a 1 a 2 a n p tail x nil nil Procedure PUT(val x) var SListEl p:=tail tail:=new SListEl tail.value:=x; tail.next:=nil if head=nil then head:=tail else p.next:=tail Realisierung der Operationen: s. Skript

11 Laufzeitanalyse des ADT Queue Worst-Case, Best-Case, Average Case Operation Felder Listen Initialisierung Θ(1)+Alloc Θ(1) ISEMPTY Θ(1) Θ(1) PUT Θ(1) Θ(1) GET Θ(1) Θ(1) Vergleichen Sie diese Tabelle mit der von ADT Stack

12 Dictionary : Wörterbuch Der ADT Dictionary Wertebereich: D KxV, wobei K Schlüssel (key) bezeichnet und V die Werte. Dabei ist jedem k K höchstens ein v V zuordnet. Operationen: z.b (Matrikelnummer,Name) Einfügen, Entfernen, Suchen (s. nächste Folie) Im folgenden sei Q ein Dictionary vor Anwendung der Operationen. 13

13 Operationen des ADT Dictionary INSERT(K k,v v) Falls k nicht schon in D ist, dann wird ein neuer Schlüssel k mit Wert v in D eingefügt, andernfalls wird der Wert des Schlüssels k auf v geändert. INSERT(k,v): Falls k neu: D:=D (k,v), sonst D:=D \ (k,v ) (k,v) DELETE(K k) Entfernt Schlüssel k mit Wert aus D (falls k in D) SEARCH(K k): V z.b (Matrikelnummer,Name) Gibt den bei Schlüssel k gespeicherten Wert zurück (falls k in D)

14 Der ADT Dictionary Wörterbuchproblem: Finde eine Datenstruktur mit möglichst effizienten Implementierungen für die Operationen eines Dictionary. Naive Lösung: als Paar von Feldern: Lineare Laufzeit für alle Operationen Im Laufe der Vorlesung: einige weitaus bessere Verfahren! 15

15 Kapitel 3: Sortieren 16

16 Unser Sortierproblem Eingabe: Folge von Datensätzen <s 1,s 2,,s n > mit Schlüsseln k 1,k 2,,k n, auf denen eine Ordnungsrelation definiert ist. Ausgabe: Permutation π : {1,2,,n} {1,2,,n}, so dass die Umordnung der Datensätze gemäß π die Schlüssel in aufsteigende Reihenfolge bringt: k π(1) k π(2) k π(n) Speicherung in Feld: A[1],,A[n] Ansprechbar: 1:1 Schlüssel: A[i].key Informationsfeld: A[i].info

17 Laufzeitmessung Anzahl der durchgeführten Schlüsselvergleiche ( Comparisons ) für Best-Case, Worst-Case und Average-Case: C best (n), C worst (n), C avg (n) Anzahl der durchgeführten Bewegungen ( Movements ) von Datensätzen für Best- Case, Worst-Case und Average-Case: M best (n), M worst (n), M avg (n) 18

18 Eigenschaften von Sortierverfahren Intern/Extern: Geht das Verfahren davon aus, dass alle Daten im Hauptspeicher sind, dann intern Manchmal müssen Daten aus Platzgründen ausgelagert werden (Platte); Verfahren, die hier gut geeignet sind extern In situ: Benötigt ein Sortieralgorithmus zusätzlich zur Eingabe höchstens konstant viel zusätzlichen Speicherplatz, dann in situ

19 Eigenschaften von Sortierverfahren Adaptiv: Laufzeit abhängig von dem Grad der Vorsortierung der Daten; falls besser für vorsortierte Daten, dann adaptiv Stabil: gleiche Reihenfolge von Datensätzen mit gleichem Schlüssel vor und nach dem Sortieren, dann stabil 20

20 3.1 Allgemeine Sortierverfahren Voraussetzung: je zwei Schlüssel k i und k j sind vergleichbar, also entweder gilt k i k j oder k j k i. 21

21 3.1.1 Insertion-Sort / Analyse Anzahl der Schlüsselvergleiche: C best (n)= 22

22 InsertionSort(ref A) Eingabe/Ausgabe: Zahlenfolge in Feld A[1..n] (1) for k:=2,,n { (2) key:=a[k] (3) i:=k (4) while i>1 and A[i 1]>key { (5) A[i]:=A[i 1] (6) i:=i 1 (7) } (8) A[i]:=key (9) }

23 3.1.1 Insertion-Sort / Analyse Anzahl der Schlüsselvergleiche: C best (n)=θ(n) und C avg (n)=c worst (n)=θ(n 2 ) Anzahl der Datenbewegungen: M best (n)=θ(n) und M avg (n)=m worst (n)=θ(n 2 ) Eigenschaften: in situ? adaptiv? stabil?

24 Inversionen In einer Permutation π = <π 1, π 2,, π n > heißt ein Paar (π i, π j ) eine Inversion, wenn gilt: i < j und π i > π j. Die Anzahl der Inversionen einer Folge π heißt Inversionszahl und ist ein Maß für die Vorsortierung einer Folge. Es gilt: Eine Folge ist sortiert g.d.w. die Anzahl ihrer Inversionen gleich 0 ist. Im schlimmsten Fall besitzt eine Folge (n-i)=θ(n 2 ) viele Inversionen. i=1..n-1

25 Beziehung zu InsertionSort(ref A)? sk:anzahl der Durchführungen von (4) Zeit Wie oft? (1) for k:=2,,n { (2) key:=a[k] (3) i:=k (4) while i>1 and A[i 1]>key { (5) A[i]:=A[i 1] (6) i:=i 1 (7) } (8) A[i]:=key (9) } t1 n t2 n-1 t3 n-1 t4 sk t5 (sk 1) t6 (sk 1) t7 (sk 1) t8 n-1 t9 n-1

26 Inversionen Die Anzahl der Schlüsselvergleiche und Datenbewegungen in InsertionSort hängt eng mit der Anzahl der Inversionen der Folge zusammen: Die Anzahl der Inversionen der Folge ist gleich (s k -1). k=2..n 27

27 3.1.2 Selection-Sort Idee von Sortieren durch Auswahl : Bestimme Position i 1 {1,2,,n} zu der das Element mit minimalem Schlüssel auftritt; vertausche A[1] mit A[i 1 ]; Bestimme i 2 {2,,n}, vertausche A[2] mit A[i 1 ]; etc. Beispiel: s. VO und Skript 28

28 SelectionSort(ref A) Eingabe/Ausgabe: Zahlenfolge in Feld A[1..n] (1) for j:=1,2,,n-1 { (2) minpos:=j (3) for i:=j+1,,n { (4) if A[i].key < A[minpos].key then (5) minpos:=i (6) } (7) if minpos > j then (8) Vertausche A[minpos] mit A[j] (9) }

29 Analyse von SelectionSort Anzahl der Schlüsselvergleiche (Z. 4): C best (n)=c avg (n)=c worst (n)=θ(n 2 ) denn: Anzahl der Datenbewegungen (Z. 8): M best (n)=0 M avg (n)=m worst (n)=θ(n) 30

30 Eigenschaften von SelectionSort Eigenschaften: in situ? adaptiv? stabil? Einsatz von SelectionSort, wenn: Bewegungen von Datensätzen teuer Vergleiche zwischen Schlüsseln billig 31