Bisher haben wir keine Annahmen bzgl. der Sortierung der gegebenen Werte gemacht, d.h. sie durften in beliebiger Reihenfolge im Array a stehen

Transkript

1 4.2.2 Binäre Suche Bisher hben wir keine Annhmen bzgl. der Sortierung der gegebenen Werte gemcht, d.h. sie durften in beliebiger Reihenfolge im Arry stehen Nehmen wir n, dss die Werte im Arry gemäß der jeweiligen Ordnungsreltion sortiert sind, können wir einen gesuchten Wert k schneller drin finden 39

2 Binäre Suche Idee: Wir bestimmen den Bereich des Arrys, in dem der gesuchte Wert k stehen knn, und verkleinern diesen Bereich in jedem Schritt, indem wir einen Wert us dem Arry mit k vergleichen Initil knn der gesuchte Wert k im gesmten Arry n einer der Stellen [0],..., [.length-1] stehen linke Grenze des Suchbereichs l ist 0 rechte Grenze des Suchbereichs r ist.length-1 l r 40

3 Binäre Suche Wir vergleichen den gesuchten Wert k nun mit dem Wert in der Mitte des Suchbereichs, den wir m Index m = (l+r)/2 finden Ist der gesuchte Wert k kleiner ls der Wert in der Mitte [m], so können wir den Suchbereich uf Werte links vom Index m einschränken gleich dem Wert in der Mitte [m], so geben wir m zurück größer ls der Wert in der Mitte [m], so können wir den Suchbereich uf Werte rechts vom Index m einschränken 41

4 Binäre Suche Den letzten Schritt wiederholen wir solnge unser Suchbereich noch Werte enthält (d.h. l <= r gilt) 42

5 Binäre Suche 1 int binryserch(int[], int k) { 2 int l = 0; // linke Grenze 3 int r =.length - 1; // rechte Grenze 4 5 while(l <= r) { 6 int m = (l + r)/2; // Mitte 7 if (k < [m]) { // k ist kleiner 8 r = m - 1; 9 } else if (k == [m]) { // k ist gleich 10 return m; 11 } else { // k ist größer 12 l = m + 1; 13 } 14 } return -1; 17 } 43

6 Binäre Suche Beispiel: Betrchte folgendes sortiertes Arry Suche nch k = l m r l m r l m r 44

7 Binäre Suche Suche nch k = l m r l m r l m r r l 45

8 Lufzeit der binären Suche Zur Initilisierung der Grenzen des Suchbereichs werden zwei Befehle usgeführt (Zeile 2+3) Je Schleifendurchluf werden höchstens usgeführt: ein Befehl zum Überprüfen der Schleifenbedingung (Zeile 5) zwei Befehle zum Bestimmen der Mitte (Zeile 6) zwei Vergleiche (Zeile 7+9) ein Befehl zum Anpssen des Suchbereichs (Zeile 8+12) Zudem ein Befehl zur Überprüfung der Schleifenbedingung bei Abbruch der Schleife und eine Rückgbe 46

9 Lufzeit der binären Suche Wie oft wird die Schleife höchstens durchlufen? Beobchte, dss die Größe des Suchbereichs bei jedem Durchluf (mindestens) hlbiert wird initil: Größe n nch einem Durchluf: höchstens Größe n/2 nch zwei Durchläufen: höchstens Größe n/4 Besteht der Suchbereich nur noch us einem (oder keinem) Wert wird die Schleife bgebrochen 47

10 Lufzeit der binären Suche Zhl der Schleifendurchläufe i beträgt lso höchstens n 3 4 i 1 Æ 1 n Æ 2 i log 2 2 n Æ i und wir verwenden log 2 n + 1 ls obere Schrnke Es werden lso höchstens log 2 n + 6 Befehle usgeführt; die Lufzeit der binären Suche liegt dmit in O(log n) Zur Suche in einem Arry mit Werten benötigen wir lso höchstens 41 Durchläufe der Schleife 48

11 4.3 Sortieren Sortieren ist ein weiteres elementres Problem in der Informtik mit zhlreichen Anwendungen (z.b. Sortieren einer Liste von Artikeln nch Preis) Eine gegebene Menge von Werten ist gemäß einer bestimmten Ordnungsreltion zu sortieren, d.h. für die sortierten Werte 0,, n-1 muss gelten 0 Æ i<n 1 : i i+1 49

12 Sortieren Zur Beschreibung der verschiedenen Sortierlgorithmen verwenden wir gnze Zhlen und die Ordnungsreltion Uns ist lso ein Arry gnzer Zhlen gegeben und wir bestimmen ein sortiertes Arry gleicher Größe Die Algorithmen sind jedoch für beliebige Dtentypen mit einer geeigneten Ordnungsreltion nwendbr 50

13 Sortieren

14 4.3.1 SelectionSort: Sortieren durch Auswählen SelectionSort ist ein einfcher Sortierlgorithmus, welcher ds gegebene Arry n Ort und Stelle (in plce) sortiert Idee: Bestimme je ds Minimum des noch unsortierten Bereichs des Arrys und stelle es n dessen Anfng initil ist ds gesmte Arry unsortiert nch einem Durchluf ist der Bereich [0] [0] sortiert nch zwei Durchläufen ist der Bereich [0] [1] sortiert nch drei Durchläufen ist der Bereich [0] [2] sortiert 52

15 SelectionSort Beispiel: Betrchte folgendes Arry gnzer Zhlen Sortierter Bereich Minimum

16 SelectionSort 1 int[] selectionsort(int[] ) { 2 for ( int i = 0; i <.length; i++) { 3 // Position des Minimums bestimmen 4 int minpos = i; 5 for ( int j = i; j <.length; j++) { 6 if ([j] < [minpos]) { 7 minpos = j; 8 } 9 } 10 // Minimum n Beginn stellen 11 int t = [i]; 12 [i] = [minpos]; 13 [minpos] = t; 14 } 15 return ; 16 } 54

17 Lufzeit von SelectionSort Die äußere Schleife wird insgesmt n ml durchlufen Beim ersten Durchluf der äußeren Schleife wird die innere Schleife n ml durchlufen Beim zweiten Durchluf der äußeren Schleife wird die innere Schleife n - 1 ml durchlufen Beim letzten Durchluf der äußeren Schleife wird die innere Schleife 1 ml durchlufen Die Gesmtzhl n Durchläufen der inneren Schleife ist n 1 ÿ n +(n 1) = (n i) i=0 55

18 Lufzeit von SelectionSort Hierfür gilt n 1 ÿ (n i) = i=0 nÿ i i=1 und mit der Summenformel von Guß wissen wir, dss die innere Schleife insgesmt n (n + 1) 2 = 1 2 n n ml durchlufen wird 56

19 Lufzeit von SelectionSort Je Durchluf der äußeren Schleife werden zusätzlich zur inneren Schleife höchstens c 1 Befehle usgeführt Je Durchluf der inneren Schleife werden höchstens c 2 Befehle usgeführt Zudem ein Befehl zur Rückgbe des sortierten Arrys Insgesmt führt SelectionSort lso höchstens 3 n n c 1 n + c Befehle us und seine Lufzeit ist in O(n 2 ) 57

20 4.3.2 BubbleSort: Sortieren durch Vertuschen BubbleSort ist ein einfches Sortierverfhren, welches ds gegebene Arry n Ort und Stelle (in plce) sortiert Zudem ist es ein stbiles Sortierverfhren, d.h. die ursprüngliche Reihenfolge gleicher Werte bleibt bei der Sortierung erhlten Beispiel:

21 BubbleSort Idee: Durchlufe ds Arry und vertusche benchbrte Werte, die in flscher Reihenfolge stehen. Wiederhole dies so lnge, bis ds gesmte Arry sortiert ist. Beispiel: Erster Durchluf durch folgendes Arry

22 BubbleSort Im ersten Durchluf wird ds gesmte Arry durchlufen und ds Mximum n dessen Ende gestellt, so dss nun der Bereich [n-1]... [n-1] sortiert ist Im zweiten Durchluf wird der noch unsortierte Bereich [0]... [n-2] durchlufen und ds Mximum n dessen Ende gestellt, so dss nun der Bereich [n-2]... [n-1] sortiert ist Im (n - 1)-ten Durchluf wird der noch unsortierte Bereich [0]... [1] durchlufen und ds Mximum n dessen Ende gestellt, so dss nun ds gesmte Arry [0]... [n-1] sortiert ist 60

23 BubbleSort 1 int[] bubblesort(int[] ) { 2 // Sortierter Bereich [i]... [n -1] 3 for ( int i =.length; i > 0; i--) { 4 // Unsortierter Bereich [0]... [i -1] 5 for ( int j = 0; j < i - 1; j++) { 6 // Werte [j] und [j +1] in flscher Reihenfolge? 7 if ([j] > [j + 1]) { 8 // Werte vertuschen 9 int t = [j]; 10 [j] = [j + 1]; 11 [j + 1] = t; 12 } 13 } 14 } 15 return ; 16 } 61

24 BubbleSort Beispiel: Sortieren des folgenden Arrys Sortierter Bereich

25 Lufzeit von BubbleSort Die äußere Schleife wird (n - 1) ml durchlufen Beim i-ten Durchluf der äußeren Schleife betrchtet wird die innere Schleife (n - i) ml durchlufen und es werden je Durchluf höchstens c Befehle usgeführt Die Gesmtzhl n Durchläufen der inneren Schleife ist (n 1) + (n 2) = Insgesmt führt BubbleSort lso höchstens 3 1 c 2 n n Befehle us und seine Lufzeit ist in O(n 2 ) (n 1) n 2 63

26 Zusmmenfssung Binäre Suche zum Suchen uf sortierten Arrys mit logrithmischer Lufzeit SelectionSort und BubbleSort ls einfche Verfhren zum Sortieren mit qudrtischer Lufzeit 64

27 Litertur [1] H.-P. Gumm und M. Sommer: Einführung in die Informtik, Oldenbourg Verlg, 2012 (Kpitel 4) [2] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. Rivest und C. Stein: Algorithmen Eine Einführung, Oldenbourg Verlg, 2009 (Kpitel 2) 65