5 Grundlagen der Graphentheorie

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1 Grundlgen der Grphentheorie. Grphen und ihre Drstellungen Ein Grph eschreit Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Ojekten. Die Ojekte werden ls Knoten des Grphen ezeichnet; esteht zwischen zwei Knoten eine Beziehung, so sgen wir, dss es zwischen ihnen eine Knte git. Definition: Für eine Menge V ezeichne ( V ) die Menge ller zweielementigen Untermengen von V. Ein einfcher, ungerichteter Grph G = (V, E) (kurz Grph gennnt) esteht us einer endlichen Menge V von Knoten, uch Ecken (Vertex) gennnt, und einer Menge E ( V ) von Knten (Edge). Hier sind Knten ungeornete Pre von Knoten, d.h. {u, v} und {v, u} sind zwei verschiedene Schreiweisen für ein und diesele Knte. Im Gegenstz dzu ist gerichteter Grph G ein Pr (V, E) estehend us einer endlichen Knotenmenge V und einer Kntenmenge E von geordneten Knotenpren e = (u, v), mit u, v V. Ist e = {u, v} eine Knte von G, dnn nennt mn die Knotenen u und v zueinnder djzent oder enchrt und mn nennt sie inzident zu e. Die Menge N(v) = {u V {u, v} E} der zu einem Knoten v enchrten Knoten wird die Nchrschft von v gennnt. Der Grd eines Knotens v wird durch deg(v) = N(v) definiert. Die Anzhl der Knoten V estimmt die Ordnung und die Anzhl der Knten E die Größe eines Grphen. Im Folgenden werden verschiedene Drstellungen von Grphen n einem Beispiel demonstriert. ) Drstellung ls Zeichnung: ) Drstellung ls Adjzenzmtrix. Jedem Knoten wird eine Zeile und eine Splte zugeordnet und der Eintrg in der Zeile von u und der Splte von v wird gesetzt, wenn {u, v} eine Knte des Grphen ist (sonst 0):

2 ) Drstellung ls Adjzenzliste. Für jeden Knoten wird die Liste seiner Nchrn ngegeen (Liste von Listen): : ; :,, ; :, ; :,, ; :,, ; oder mit nderer Syntx (), (,, ), (, ), (,, ), (,, ) ) Drstellung ls Inzidenzmtrix. Jedem Knoten wird eine Zeile und jeder Knte eine Splte zugeordnet und der Eintrg in der Zeile von u und der Splte von e wird gesetzt, wenn u eine Ecke der Knte e ist (sonst 0): Für die Behndlung lgorithmischer Proleme sind oft Adjzenzlisten die Dtenstruktur der Whl, weil sie die whre Größe eines Grphen (Anzhl der Knten) widerspiegeln, während Adjzenzmtrizen per Definition V Einträge hen. Andererseits hen Adjzenzmtrizen den Vorteil, dss Anfrgen, o zwei Knoten u und v durch eine Knte verunden sind in konstnter Zeit (ein Speicherzugriff) entwortet werden können, während mn Adjzenzlisten durchsuchen muss. Während die Adjzenzmtrix eines ungerichteten Grphen symmetrisch ist (Digonle ls Symmetriechse) sind Adjzenzmtrizen von gerichteten Grphen im llgemeinen nicht symmetrisch. D Grphen üer eine sehr einfche Struktur verfügen, finden sie ei der Modellierung und lgorithmischen Lösung vieler prktischer Proleme Anwendung, wie z.b. Modellierung von Strßen-, Flug- und Telefonnetzen Drstellung von Molekülen Interprettion von Reltionen (Beziehungsgeflechten) Gerüste von Polyedern (linere Optimierung) Entwurf von Mikrochips (VLSI-Design) Die folgenden Beispiele für grphentheoretische Aufgenstellungen hen die die Entwicklung der Grphentheorie strk eeinflusst und unterstreichen die prktische Relevnz dieser Struktur:. Ds -Fren-Prolem: Mn stelle sich die Welt mit einer elieigen politischen Lndkrte vor. Wir definieren einen Grphen, indem wir jedem Lnd einen Knoten zuordnen und zwei Knoten mit einer Knte verinden, wenn sie einen gemeinsmen Grenzschnitt hen. Wie viele Fren rucht mn, um die Länder so einzufären, dss enchrte Länder verschiedene Fren hen? Mn ht (mit Computerhilfe) ewiesen, dss vier Fren immer usreichen! Einen Beweis ohne Computer git es is heute nicht.

3 . Welche Grphen treten ls Ecken-Knten-Gerüst von Polyedern uf? Solche Grphen spielen insesondere ei der Lösung von lineren Optimierungsprolemen eine große Rolle.. Eulersche Kreise: Mn chrkterisiere jene Grphen, ei denen mn die Knten so durchlufen knn, dss mn jede Knte einml enutzt und mn m Schluss wieder m Ausgngspunkt steht. Der Ausgngspunkt für diese Frge wr ds von Euler gelöste sogennnte Königserger Brückenprolem, ei dem es um die Frge geht, o mn einen Rundgng durch die Stdt mchen knn, ei dem jede Brücke genu einml üerquert wird. Die Antwort ist negtiv, weil uf jeder Flußseite und uf Insel eine gerde Anzhl von Brücken nkommen müsste, um eine solchen Rundgng relisieren zu können. Wenn mn uf die Bedingung der Gleichheit von Anfngs- und Endpunkt verzichtet, können uch zwei Knoten ungerden Grds uftreten. Mn spricht dnn von Eulerschen Wegen. Auf der rechten Seite ist ein solcher Grph geildet, dessen Eulerscher Weg us dem Hus vom Nikolus -Prinzip eknnt sein sollte.. Hmiltonsche Grphen: Dies sind Grphen, die mn so durchlufen knn, dss mn jeden Knoten genu einml esucht is mn zum Ausgngsknoten zurückkehrt. Während mn für ds vorherige Prolem effiziente lgorithmische Lösungen kennt, ist dieses lgorithmisch schwer (NP-vollständig).

4 . Trvelling Slesmn Prolem (TSP): Oft ht mn es mit ewerteten Grphen zu tun, ds heißt Knten und/oder Knoten hen zusätzliche Informtionen wie Gewichte, Längen, Fren etc. Ein Beispiel ist ds TSP. Wir hen n Städte. Für jedes Pr {u, v} von Städten kennt mn die Kosten, um von u nch v zu kommen. Mn entwerfe für den Hndelsreisenden eine geschlossene Tour, die lle Städte esucht und minimle Gesmtkosten ht. Auch dies ist ein lgorithmisch schweres Prolem. 6. Plnre Grphen: Welche Grphen lssen sich so in der Eene zeichnen, dss sich Knten nicht schneiden, lso sich höchstens in Knoten erühren? Wie knn mn sie chrkterisieren und lgorithmisch schnell erkennen? 7. Netzwerke: Welchen Grphen sollte mn der Architektur eines Rechnernetzes zu Grunde legen, wenn die Knten eschränkte Kpzität hen, er trotzdem schneller Informtionsustusch gewährleistet werden soll? Stz (Hndschlglemm): Für jeden Grph G = (V, E) gilt v V deg(v) = E, d.h. v V deg(v) ist eine gerde Zhl. Beweis: Bei Betrchtung der Inzidenzstruktur zwische Knoten und Knten ergit sich die Aussge durch doppeltes Azählen: Für jeden Knoten v ist die Anzhl inzidenter Knten deg(v) und jede Knte ist zu ihren zwei Eckknoten inzident. Dmit erhlten wir v V deg(v) = e E = E. Folgerung: Die Anzhl der Knoten mit ungerden Grd ist in jedem Grphen eine gerde Zhl. Definition: Seien G = (V, E) und G = (V, E ) zwei Grphen. Eine Aildung ϕ : V V wird Grphhomomorphismus gennnt, flls für lle Knten {u, v} E uch {ϕ(u), ϕ(v)} E gilt. Ist drüer hinus ϕ eine ijektive Aildung und ϕ uch ein Grphhomomorphismus, so nennt mn ϕ einen Grphisomorphismus (und G, G zueinnder isomorph). Die folgenden Stndrdeispiele eschrieen forml gesehen nicht einzelne Grphen, sondern Isomorphieklssen.. Mit K n (n ) ezeichnet mn den vollständigen Grphen der Ordnung n, d.h. eine Knotenmenge V mit V = n und der vollen Kntenmenge ( V ).. Mit C n (n ) ezeichnet mn den Kreis der Länge n, d.h. eine Knotenmenge V = {v, v,..., v n } mit der Kntenmenge E = {{v, v },..., {v n, v n }, {v n, v }}.. Mit Q n (n ) ezeichnet mn den n-dimensionlen Würfel mit Knotenmenge {0, } n (Menge ller n-tupel üer {0, }) woei zwei Tupel dnn und nur dnn djzent sind, wenn sie sich n genu einer Stelle unterscheiden. Die Bestimmung der Anzhl der Knten des Q n ist eine schöne Anwendung des

5 Hndschlglemms. Wie mn leicht sieht, ht jeder Knoten in Q n den Grd n und folglich ist die Grdsumme ller Knoten gleich n n. Dmit ist E = n n, lso E = n n.. Mit K n,m (n, m 0) ezeichnet mn den vollständigen, iprtiten Grphen, dessen Eckenmenge V die disjunkte Vereinigung von zwei Mengen A und B mit A = n, B = m ist und dessen Kntenmenge us llen Pren {, } mit A, B esteht. Die Grphen K,m und K,m sind plnr. Dgegen ist der K, und lle K n,m mit n, m nicht plnr. Definition: Mn nennt G = (V, E ) einen Untergrph von G = (V, E), wenn V V und E E gilt. Ist ußerdem E = E ( V ), so wird G ls induzierter Untergrph von G ezeichnet. Definition: Ein Grph G = (V, E) wird iprtit gennnt, wenn er Untergrph eines vollständigen, iprtiten Grphen ist. Etws nschulicher knn mn formulieren, dß ein Grph genu dnn iprtit ist, wenn mn die Knoten so mit zwei Fren einfären knn, dß keine gleichfrigen Ecken enchrt sind. Definition: Ds Komplement eines Grphen G = (V, E) ist der Grph G = (V, ( V ) \ E). Definition: Eine Folge von prweise verschiedenen Ecken v, v,..., v k eines Grphen G = (V, E) repräsentiert einen Weg der Länge k, flls {v i, v i+ } E für lle i < k. Ist ußerdem {v k, v } E, so repräsentiert die Folge uch einen Kreis der Länge k. Mn sgt, dß v von u erreichr ist, flls ein Weg v, v,..., v k mit v = u und v k = v in G existiert. Die Länge eines kürzesten Weges zwischen zwei Knoten nennt mn ihren Astnd in G. Lemm: Die Reltion der Erreichrkeit in der Knotenmenge V eines Grphen ist eine Äquivlenzreltion. Definition: Die Äquivlenzklssen der Erreichrkeitsreltion nennt mn die Zusmmenhngskomponenten (kurz Komponenten) des Grphen. G wird zusmmenhängend gennnt, wenn er genu eine Komponente ht. Stellt mn G durch eine Zeichnung dr, so knn mn diesen Begriff nschulich erklären: Zwei Knoten gehören zur selen Komponente, wenn mn sie durch einen geschlossenen Kntenzug verinden knn, woei die Knten nur in Knoten und nicht uf Kntenschnitten in der Zeichnung gewechselt werden dürfen. Stz: Sind zwei Grphen isomorph so sind jeweils die Ordnung, die Größe, die sortierten Grdfolgen und die Anzhl der Komponenten der eiden Grphen gleich. Definition: Seien u, v Knoten in einem ungerichteten Grphen G = (V, E). Sind u und v in einer gemeinsmen Zusmmenhngskomponente von G, so definieren wir ihren Astnd d(u, v) ls Länge eines kürzesten Weges (Anzhl der Knten des Wegs) von u nch v. Gehören sie zu verschiedenen Komponenten, so setzen wir d(u, v) =.

6 Definition: Der Durchmesser D(G) des Grphen ist definiert ls ds Mximum üer lle prweisen Astände zwischen Knoten. Stz: Ein Grph ist genu dnn iprtit, wenn lle in ihm ls Untergrph enthltenen Kreise gerde Länge hen. Beweis: Zunächst üerlegt mn sich, dss wir den Grphen ls zusmmenhängend vorussetzen können, nsonsten führt mn den folgenden Beweis für jede Zusmmenhngskomponente. Sei G = (V, E) iprtit, ds heißt, V = A B mit A B = und Knten verlufen nur zwischen Knoten us A und Knoten us B. Sei des weiteren C ein Kreis in G. C enutzt wechselnd Knoten us A und B und ht somit gerde Länge. Wir zeigen die ndere Richtung. Wir fixieren einen elieigen Knoten u V. Wir definieren: A = {v V d(u, v) gerde }, B = V \ A Zu zeigen, es git keine Knten zwischen Knoten us A (zw. us B). Wir führen einen indirekten Beweis: Wir nehmen n, es git eine Knte {v, w}, v, w B (für A nlog) und finden einen Widerspruch zur Annhme, dss lle Kreise gerde Länge hen. Wir etrchten kürzeste Wege von u zu v und zu w. Diese Wege hen gleiche Länge! (wegen der Knte zwischen v und w) Sei x der letzte gemeinsme Knoten uf eiden Wegen. Dnn ilden die eiden Wegschnitte von x nch v zw. nch w zusmmen mit der Knte {v, w} einen Kreis ungerder Länge.. Bäume Definition: Ein Grph G heißt ein Bum, wenn er zusmmenhängend ist und keine Kreise enthält. Ein Grph, dessen Komponenten jeweils Bäume sind, wird ein Wld gennnt. Ein Grph ist lso genu dnn ein Wld, wen er keine Kreise enthält. Die Aildung zeigt drei Bäume, die zusmmen einen Wld ilden. Stz: Sei G = (V, E) ein Grph, dnn sind die folgenden drei Bedingungen äquivlent:. G ist ein Bum.. Je zwei Ecken von G sind durch genu einen Weg verunden.. G ist zusmmenhängend und E = V. Beweis: () () und () () sind einfche indirekte Schlüsse. Die erste Impliktion sieht mn z.b. wie folgt. Angenommen es git zwei Knoten u, v, zwischen denen nicht genu ein Weg verluft.dies knnte kein Weg sein, dnn ist der Grph nicht 6

7 zusmmenhngend, oder mindestens zwei Wege, dnn entsteht ein Kreis. In jedem Fll ist er G kein Bum. Wir zeigen () (): Zunächst ht jeder Bum, der nicht nur ein einzelner Knoten ist, Knoten vom Grd, diese nennt mn Blätter. Ds sieht mn wie folgt. Seien u, u,..., u i die Knoten eines längsten Weges in G. Alle Nchrn von u liegen uf diesem Weg, sonst wäre er nicht längster Weg. Nur u knn Nchr sein, sonst gäe es einen Kreis. Wir entfernen u und die Knte {u, u } us G und erhlten einen zusmmenhängenden Restgrphen G. Dieser ht genu einen Knoten und eine Knte weniger ls G. Wenn wir dies iterieren, leit zum Schluss genu ein Knoten ohne Knten ürig. Also E = V. () (): Sei T = (V, E ) ufspnnender Bum von G, dmit V E =. Aer nch Vorrussetzung gilt uch V E =. Allerdings ist E E und die einzige Möglichkeit hierfür ist E = E. Definition: Sei G = (V, E) ein zusmmenhängender Grph. Ein ufspnnender Bum von G ist ein Untergrph mit gleicher Knotenmenge, der ein Bum ist. Anlog ist ein ufspnnerder Wld eines elieigen (uch unzusmmenhängenden) Grphen G ein Untergrph mit den gleichen Komponenten wie G, der ein Wld ist. Für den Informtiker sind Bäume ein sehr wichtiges Werkzeug. Dei stellt die Ttsche, dß sich eine Reihe prktischer Prolemstellungen uf die Konstruktion von ufspnnenden Bäumen (zw. Wäldern) zurückführen lssen, nur einen Teilspekt des gesmten Anwendungsspektrums dr. In der theoretischen Informtik dienen sogennnte Entscheidungsäume ls Modell für Berechnungen. Schließlich spielen Bäume ls Dtenstruktur für Such- und Sortierprozesse eine wichtige Rolle. Oft ist es nützlich, einen Bum ls gerichteten Grphen nzusehen, d.h. es werden gerichtete Knten (Formlisierung durch geordnete Pre) etrchtet. Ist G = (V, E) ein Bum und r V eine elieiger, er fixierter Knoten, den wir die Wurzel (Root) nennen werden, so knn mn die Knten von G in eindeutiger Weise so richten, dß für lle Ecken v r die Knten uf dem (eindeutigen!) Weg von v nch s zur Wurzel hin gerichtet werden. Es git zwei Verfhren, die Breitensuche (BFS - Bredth-first serch) und die Tiefensuche (DFS -Depth-first serch), die für einen gegeenen zusmmenhängenden Grphen G = (V, E) und einem gegeenen Knoten r V einen ufspnnenden Bum von G mit Wurzel (Root) r usgeen. Beide Verfhren durchsuchen G eginnend von r und unterscheiden sich nur durch die für die Zwischenspeicherung verwendete Dtenstruktur, durch die festgelegt wird, von welcher ereits erreichten Ecke u die Suche fortgesetzt wird: Eine Wrteschlnge Q (Prinzip: first in first out) ei BFS und ein Kellerspeicher (Stpelprinzip: lst in first out) ei DFS. Der zu estimmende Bum wird durch ein Feld (Arry) π repräsentiert, ds für jeden Knoten v V den ersten Nchfolger von v uf dem gerichteten Weg zur Wurzel r speichert. Für die Wurzel selst wird der Wert N IL eingetrgen. 7

8 Zuerst werden lle Knoten weiß (unerührt) mrkiert. Dnn wird r in den Zwischenspeicher (Wrteschlge/Kellerspeicher) gelden und gru (erührt) mrkiert. In jedem weiteren Schritt wird der nächste Knoten u us dem Zwischenspeicher (lso gru) usgelesen und getestet, o er noch einen weißen Nchrn esitzt. Bei negtiver Antwort entfernt mn u durch schwrze Mrkierung (erledigt) us dem Speicher. Ht u einen weißen Nchrn v, so wird dieser uch gespeichert (gru gefärt) und π(v) = u gesetzt. Dieser Schritt ist dmit gleichzusetzen, dss die Knte {v, u} in die ungerichtete Version des Bums ufgenommen wird. Beide Verfhren stoppen, wenn keine gruen Ecken mehr vorhnden sind. Hier sind die Pseudocodes der eiden Algorithmen: BFS(G, r) for ll u V do Fre[u] weiß Fre[r] gru π[r] nil Insert r in Q while Q do ū Kopf[Q] for ll v Adj[u] do if Fre[v] == weiß then Fre[v] gru π[v] u Insert v in Q Delete Hed(Q) Fre[u] schwrz Initilisierung r ls Wurzel festlegen Wurzel in Q eintrgen sonst rechen u n erster Stelle in Q v noch nicht erührt v wird erührt Knte von v zu u v in Q eintrgen u us Q streichen DFS(G, r) for ll u V Fre[u] weiß π[r] nil DFS-visit(r) Procedure DFS-visit(u) Fre[u] gru for ll v Adj[u] do if Fre[v] == weiß then π[v] u DFS-visit(v) Fre[u] schwrz Initilisierung r ls Wurzel festlegen Aufruf einer rekursiven Prozedur v noch nicht erührt Knte von v zu u gehe von v weiter in die Tiefe Beide Algorithmen können uch zur Erzeugung eines ufspnneden Wldes von unzusmmenhängenden Grphen verwendet werden. Dzu ist nur die folgende Änderung notwendig: Ht mn einen ufspnnenden Bum für eine Komponente erzeugt (keine 8

9 gruen Punkte mehr), so wählt mn, flls noch vorhnden, einen weißen Knoten ls Wurzel für eine weitere Komponente us und strtet neu. Die Ergenisse der eiden Methoden sind in der Regel sehr unterschiedlich: Bei der Tiefensuche DFS werden in der Regel sehr lnge Wege erzeugt. Es ist zu echten, dss die erechneten DFS Bäume nicht nur von der Whl der Wurzel r hängen, sondern uch die Reihenfolge der zu u enchrten Knoten in der Adjzenzliste Adj[u] einen Einfluss uf ds Ergenis ht. So git es für Grphen mit einem Hmiltonkreis ei geeigneter Ordnung der Adjzenzlisten immer einen DFS-Bum der Tiefe V (lso ein Weg). Eine Änderung dieser Ordnung knn (eventuell) zu DFS-Bäumen geringerer Tiefe führen. Ds folgende Beispiel zeigt den BFS und den DFS Bum eines Grphen, ei Strt im Knoten und ufsteigend geordneten Adjzenzlisten. Gnz rechts sieht mn einen nderen DFS Bum, der ei gleichem Strtknoten und steigend geordneten Adjzenzlisten entsteht gegeener Grph BFS Bum DFS Bum nderer DFS Bum Owohl uch ds Ergenis der Breitensuche von der Ordnung der Adjzenzlisten hängt, hen für eine festgelegte Wurzel r lle möglichen BFS Bäume eine gemeinsme Eigenschft, die im folgenden Lemm formuliert wird. Lemm: In einem BFS Bum T ist der Astnd eines elieigen Knotens v V zur Wurzel r genu so groß wie im ursprünglichen Grphen G, kurz geschrieen: d T (v, r) = d G (v, r). Mn knn dieses Lemm mit vollständiger Induktion üer d G (v, r) eweisen. In vielen Anwendungen sind die Knten eines Grphen G = (V, E) mit positiven Zhlen gewichtet, d.h. zusätzlich ist eine Kostenfunktion w : E R + gegeen. Nun esteht die Aufge drin, einen ufspnnenden Bum (zw. Wld) zu estimmen, so dß ds Gesmtgewicht der Knten des Bums (Wldes) miniml ist (Minimum Spnning Tree - MST). Der nchfolgend eschrieene Algorithmus von Kruskl löst dieses Prolem. Mn ordnet die Knten nch ufsteigendem Gewicht in einer Liste L, die dynmisch verwltet wird. Der Aufu des Bumes T erfolgt eginnend vom Grphen (V, ), indem Schritt für Schritt neue Knten ufgenommen werden: Dzu wird die erste Knte e us der ktuellen Liste L (lso eine mit minimlem Gewicht) gestrichen und getestet, o durch Hinzunhme von e zu den ereits in 9

10 T ufgenommenen Knten ein Kreis entsteht. Bei negtiver Antwort wird uch e ufgenommen, sonst nicht. Intuitiv sollte klr sein, dss m Ende (wenn L leer ist) T ein ufspnnender Wld mit minimlem Gewichts ist. Ntürlich knn mn diese Ttsche uch eweisen. Zur effektiven Implementierung dieser Methode werden sogennnte union-find-dtenstrukturen eingesetzt.. Mtchings In vielen Anwendungsufgen, die sich mit Grphen modellieren lssen, geht es drum, möglichst große Prungen von djzenten Knoten zu ilden. Beispiel: Wir etrchten eine Menge P = {p, p,..., p n } von Personen und eine Menge S = {s, s,..., s m } von Jos und eschreien durch einen iprtiten Grphen, welche Personen für welche Jos geeignet sind. Ziel ist es, eine mximle Anzhl von Personen mit Jos zu versorgen. Wir suchen lso eine mximle Anzhl von Knten M, so dss jedes p i und jedes s j zu höchstens einer Knte us M inzident ist, denn jeder Jo knn nur einml vergeen werden und jede Person knn nur einen Jo üernehmen. Diese Aufgenstellung ist ein typisches Beispiel für ein Mtching Prolem. Definition: Sei G = (V, E) ein Grph. Eine Untermenge M E wird Mtching von G gennnt, wenn jeder Knoten v V zu höchstens einer Knte us M inzident ist. Mit m(g) ezeichnen wir die mximle Größe eines Mtchings von G und nennen M ein Mximum Mtching, wenn M = m(g). Definition: Ist M ein Mtching von G = (V, E), dnn nennt mn einen Knoten M sturiert (zw.m unsturiert), wenn er zu einer (zw. zu keiner) Knte e M inzident ist. Ein Weg p in G wird M ugmentierend gennnt, wenn er mit M unsturierten Knoten eginnt und endet und wenn sich uf den Weg Knten us M und us E \ M sich gegenseitig lösen (lternieren). Lemm: Ist M ein Mtching von G und ist p ein M ugmentierender Weg, dnn ist M kein Mximum Mtching. Beweis: Tuscht mn lle Knten us M, die uf p liegen gegen die Nichtmtching Knten uf p us, so erhält mn ein neues Mtching M mit M = M +. Dmit erklärt sich uch der Begriff ugmentierend (= erweiternd). Wir etrchten zunächst Mtchings in iprtiten Grphen. Für eine Teilmenge X V ezeichne N(X) die Menge ller zu X enchrten Knoten, d.h. N(X) = v X N(v). Heirtsstz: Sei G = (A B, E) ein iprtiter Grph. Dnn ist m(g) = A genu dnn, wenn für jede Teilmenge X A die Ungleichung X N(X) gilt. Beweis: Ist m(g) = A, dnn können lle Knoten us A gemtcht werden und jeder Teilmenge X A steht mindestens die Menge der entsprechenden Mtchingprtner us B gegenüer. 0

11 Nun gehen wir von X N(X) für lle X A us, etrchten ein Mximum Mtching M und müssen M = A zeigen. Ds eweisen wir mit Widerspruch, indem us der Annnhme M < A die Existenz eines M ugmentierenden Wegs p geleitet wird (Widerspruch zur Mximlität von M): Angenommen M ist kleiner ls A, dnn git es ein M unsturiertes A, ds er wegen = { } N({ }) mindestens einen Nchrn B ht. Wäre M unsturiert, dnn ildet ereits die Knte {, } einen M ugmentierenden Weg. Anderenflls ist M sturiert und folglich git es eine Knte {, } M. Wegen = {, } N({, }) git es ein von verschiedenes N({, }). Ist M sturiert, dnn git es eine Knte {, } M und mn knn wegen = {,, } N({,, }) ein weiteres N({,, }) finden, u.s.w. D G endlich ist, findet mn irgendwnn ein M unsturiertes k N({,,... k }) und eginnt den Aufu des M ugmentierenden Wegs p von dort. Sei i k der kleinste Index, so dss { i, k } E ist (diese Knte ist nicht us M!). Im Fll i =, ist der Weg p = k, ereits M ugmentierend. ndernflls setzen wir mit der Knte { i, i } us M fort und finden den kleinsten Index i, so dss { i, i } E ist. Diese Knte ist nicht us M und i i. Wiederum ist mn im Fll i = ereits fertig. Andernflls wird dieser Schritt wiederholt, is mn ei i l = stoppen knn. Wegen k i > i >... muss dieser Prozess terminieren und dmit ist die Existenz eines M ugmentierenden Wegs ewiesen. Die folgende Aildung illustriert diesen Beweis. Auf der linken Seite findet mn die Grundkonstruktion, woei die Knoten in der Reihenfolge,,,,,..., 6 estimmt werden. Die durchgezeichneten Knten sind us M, die gestrichelten us E \ M. In der Mitte ist der M ugmentierende Weg drgestellt. Durch Austusch von Mtchingknten gegen Nichtmtchingknten (rechts) wird M vergrößert Die Verwendung von M ugmentierenden Wegen zur schrittweisen Vergrößerung von Mtchings knn mn zur Berechnung von Mximum Mtchings in Grphen verwenden. Mn eginnt mit einem elieigen Mtching M (M = geht immer) und sucht einem M lternierenden Weg. Solnge ein solcher Weg existiert, knn mn Austusch von Mtching Knten gegen Nichtmtching Knten ds Mtching vergrößern

12 (ugmentieren) und rekursiv fortfhren. Der folgende Stz grntiert, dss mn im nderen Fll fertig ist. Stz: Sei M ein elieiges Mtching und M ein Mximum Mtching von einem Grphen G = (V, E). Ist M < M, dnn git es einem M ugmentierenden Weg in G. Beweis: Wir etrchten den Grphen H = (V, F ), woei F die symmetrische Differenz von M und M ist (ds sind lle Knten, die entweder in M oder in M liegen). D die Knoten in H nur vom Grd 0, oder sein können, sind die Zusmmenhngskomponenten von H isolierte Punkte, gerde Kreise mit M/M lternierenden Knten oder Wege mit M/M lternierenden Knten. Wegen M < M muss mindestens einer dieser Wege mehr Knten us M ls us M enthlten und ist folglich M ugmentierend. Leider sind effiziente Suchverfhren nch M ugmentierenden Wegen im llgemeinen sehr kompliziert, woei ungerde Kreise ds Hupthindernis drstellen. In iprtiten Grphen G = (A B, E) knn mn ds Prolem uf die folgende Art und Weise lösen: Wir führen zwei zusätzliche Knoten s, t ein und uen einen gerichtetenen Grphen G M uf, indem lle Knten us M von A nch B und lle Knten us E \ M von B nch A gerichtet werden. Zusätzlich wird für lle M unsturierten Knoten v A (zw. u B) eine Knte von v nch t (zw. von s nch u) eingefügt. Offensichtlich existiert ein M ugmentierender Weg genu dnn, wenn ein gerichteter Weg von s nch t in G M existiert. Ein solcher Weg knn duch Tiefensuche (gerichtete Vrinte) gefunden werden. Die folgende Aildung illustriert den vorgestellten Algorithmus. Auf der linken Seite ist die Konstruktion des gerichteten Grphen drgestellt. Der gerichtete Weg von s nch t uf der rechten Seite liefert unmittelr einen M ugmentierenden Weg, wenn mn die erste (von s usgehende) Knte und die letzte (zu t führende) Knte streicht. t t v A v u s B u s