Grundbegriffe der Mengenlehre

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1 Reiner Winter Grundegriffe der Mengenlehre 1. Der Mengenegriff Die Mengenlehre wurde von Georg Cntor ( ) egründet. Im Jhre 1895 g er die folgende, erühmt gewordene Begriffsestimmung der Menge n: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von estimmten wohlunterschiedenen Ojekten unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. Cntor, G., Ahndlungen, Hildesheim 1962, S. 282 Beispiele für Mengen sind: ) die Menge ller Plneten unseres Sonnensystems (9 Elemente: Merkur, Venus, Erde, Mrs, Jupiter, Sturn, Urnus, Neptun, Pluto), ) die Menge ller Felder eines Schchspiels (64 Elemente: von A1 is H8), c) die Menge ller ungerden Zhlen: 1, 3, 5, usw. (Unendlich viele Elemente), Beispiele für Dinge, die nch Cntor keine Mengen sind: e) eine Menge Butter (ht keine estimmten wohlunterschiedenen Elemente), f) eine Menge Areit (ht keine estimmten wohlunterschiedenen Elemente), f) die Zhl (ist keine Zusmmenfssung von estimmten wohlunterschiedenen Elementen, sondern eine strkte Größenvorstellung, die nicht verwechselt werden drf mit einer Menge von Menschen eispielsweise), 2. Schreiweise für Mengen und Elemente Wir ezeichnen Mengen mit großen lteinischen Buchsten A, B, C,... und wählen ei der Vorstellung ihrer Elemente die eiden folgenden Formen: ) ie ufzählende Form: Wenn mn z.b. die Plneten unseres Sonnensystems zu einer Menge M zusmmenfssen möchte, so schreien wir dies in der folgenden Form uf: M = {Merkur, Venus, Erde, Mrs, Jupiter, Sturn, Urnus, Neptun, Pluto} Lies: M ist die Menge, die us den Elementen: Merkur, Venus,..., Pluto esteht. Die Elemente werden lso einfch der Reihe nch ufgezählt, durch ein Komm voneinnder getrennt und mit einer geschweiften Klmmer ls Menge kenntlich gemcht. Die Reihenfolge der Elemente ist dei egl. ) die eschreiende Form: Insesondere Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen, z.b. der Menge der ungerden Zhlen, ist eine vollständige Aufzählung der Elemente nicht möglich. Die Elemente solcher Mengen müssen durch Eigenschften chrkterisiert und eschrieen werden. Dies geschieht für die ungerden Zhlen z.b. so: U = {x x ist eine ungerde Zhl} Lies: U ist die Menge ller Elemente x, für die gilt: x ist eine ungerde Zhl Merke: Ds Symol {x... } ist eine Akürzung für: die Menge ller x, für die gilt:...

2 3. Verhältnis von Menge und Element Wenn wir zum Ausdruck ringen wollen, dss die Zhl 7 eine ungerde Zhl ist, lso zur Menge U ller ungerden Zhlen gehört, so schreien wir dies in der folgenden Form: 7 U Lies: 7 ist ein Element der Menge U Für die Zhl 12 er, die nicht ungerde ist, schreien wir: 8 U Lies: 8 ist kein Element der Menge U Dmit können wir die Schreiweise der Elementeziehung llgemein definieren: Definition (Mengenschreiweise) 1. Wenn A eine Menge ist und ist ein Element von A, dnn schreien wir: A 2. Wenn A eine Menge ist und ist kein Element von A, dnn schreien wir: A Beispiele: Seien A = {x x ist eine Zhl zwischen 0 und 1}, B = {x x ist eine Fre} und C = {x x ist eine frnzösische Stdt} gegeen, dnn können wir die folgende Zuordnungen schreien: ) 4 5 A ) 1 2 A c) 1,02 A d) Grün B e) Hell B f) Liège C g) Cognc C h) 0,99 A i) Schwrz B j) Louvre C. 4. Die einelementige Menge und die leere Menge Nch der Cntorschen Mengenerklärung muss eine Menge mindestens zwei Elemente enthlten, denn es heißt dort, dss die Elemente estimmt und wohlunterschieden sein müssen. Betrchten wir er einml die folgenden Mengenildungen: A = {x x ist der dritte Teil von 42} B = {x x ist kleiner ls 1 und größer ls 5} Für A git es genu eine Zhl, nämlich x = 14, die die Bedingung erfüllt. Wir müssten lso schreien: A = {14}. Für B git es sogr üerhupt keine Zhl x, die die vorgegeene Bedingung erfüllt. Wir müssten hier schreien: B = {}, lso eine leere Klmmer, um nzudeuten, dss B kein Element x enthält. Dies widerspricht jedoch sehr der Alltgsvorstellung von einer Menge, denn mit dem Wort Menge verinden wir stets eine Vielheit. Und eine Menge mit nur einem Element oder mit keinem Element ist ein Widerspruch zum Cntorschen Mengenegriff er uch zur lltäglichen Mengenvorstellung. Für den weiteren Aufu der Mengenlehre ist es er - wie die Beispiele zeigen -sinnvoll, die Cntorsche Mengenerklärung um zwei Fälle zu erweitern: Definition (Erweiterungsdefinition zum Cntorschen Mengenegriff) 1. Unter einer einelementige Menge M verstehen wir eine Menge, die genu ein Element ht. Wir schreien dnn: M = {}. 2. Unter der leeren Menge verstehen wir diejenige Menge (!), die kein Element ht. Wir symolisieren die leere Menge mit einer leeren Mengenklmmer: {}. 5. Die Grundmenge Wenn wir uns mit unterschiedlichen Mengen eschäftigen, so legen wir von vornherein eine Menge fest, us der lle infrge kommenden Elemente stmmen. Diese Menge heißt Grundmenge und wird mit dem Symol GI ezeichnet. 2

3 6. Einige wichtige Zhlenmengen ) Die Menge IN der ntürlichen Zhlen: Die Zhlen des Zählens: 1, 2, 3, 4, 5,... wren in der Geschichte der Mthemtik die ersten Zhlen, mit denen unsere Vorfhren umgegngen sind. Sie erscheinen dem Menschen gnz ntürlich und heißen von dher uch: Ntürliche Zhlen. Wir definieren dher: Die Menge IN = {1, 2, 3, 4, 5,...} heißt Menge der ntürlichen Zhlen. Bemerkungen: 1. Die Zhl Null ist nch Definition keine ntürliche Zhl, es gilt lso 0 IN 2. Die unechten Brüche z.b. 5 1, 32 8, u.s.w. sind ntürliche Zhlen, weil ihr Rechenergenis eine ntürliche Zhl ist, z.b. 8 = 56 7 IN ) Die Menge Z der gnzen Zhlen: Wenn wir zu den ntürlichen Zhlen noch die Zhl Null und lle Gegenzhlen von IN (= die negtiven Zhlen) hinzufügen, so entsteht eine Zhlenmenge, die wir die Menge der gnzen Zhlen nennen und mit Z ezeichnen. Wir definieren lso: Die Menge Z = {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} heißt Menge der gnzen Zhlen. Bemerkung Auch hier gilt, dss unechte Brüche wie z.b. 35 7, 125 5, = 11 Z gnze Zhlen sind. c) Die Menge QI der rtionlen Zhlen: 1 Wenn wir zu der Menge Z noch sämtliche positive und negtive Bruchzhlen, wie + 2, usw., hinzufügen, so erhlten wir die Menge ller (echten und unechten) Bruchzhlen, die wir mit dem Symol QI ezeichnen. Diese Menge ller Bruchzhlen können wir er nicht so einfch ngeen wie die eiden vorigen Mengen, sondern müssen ei der Drstellung eine Art Telle verwenden: QI = 0, + 1 1, + 1 2, + 1 3, + 1 4, , + 2 2, + 2 3, + 2 4, , + 3 2, + 3 3, + 3 4, , + 4 2, + 4 3, + 4 4, , + 5 2, + 5 3, + 5 4, + 5 5,... 5,... 5,... 5,... 5,... : : : : : Wir sehen, dss mit diesem Schem lle möglichen Bruchzhlen erfsst werden. Die mehrfch vorkommenden Zhlen können wir streichen. Die Menge ll dieser Bruchzhlen (echte und unechte) nennen wir die Menge der rtionlen Zhlen. Der Begriff rtionl leitet sich von dem lteinischen Wort rtio = Vernunft her. Rtionle Zhlen sind demnch durch Vernunft erfssre Zhlen (im Gegenstz zu den später noch zu ehndelnden nichtrtionlen = irrtionlen Zhlen). Wir sehen, dss lle rtionlen Zhlen, lso lle (echten und unechten) Bruchzhlen, in folgenden Weise drgestellt werden können: Eine rtionle Zhl x ist ein Bruch der folgenden Form: x = z n, woei der Zähler z eine gnze Zhl und der Nenner n eine ntürliche Zhl ist. So können wir jetzt die Menge der rtionlen Zhlen etws einfcher definieren: Die Menge QI = {x x = z n mit z Z und n IN } ist die Menge der rtionlen Zhlen. 3

4 Bemerkungen: QI ist lso die Menge ller Zhlen, die sich ls Bruch drstellen lssen. Zur Menge QI gehören lso: ) lle gnzen Zhlen, z.b.: 3 = 3 1, 0 = , 17 = 1 ) lle echten Brüche, z.b.: 2 3, 9 2, , 5 6 c) lle rechenden Dezimlzhlen, z.b.: 2,7 = ,678 = 1000 d) lle periodischen Dezimlzhlen, z.b.: 0, = 0, 33 = Die Gleichheit von Mengen , 0, = 0, 76 =, 99 0, = 0, 814 = 999 Zwei Mengen A und B heißen gleich oder diesele Menge, wenn A und B genu dieselen Elemente enthlten. So sind eispielsweise die folgenden Mengen gleich: A = {x x 2 = 9} und B = {3,+3}. Wir können lso die Gleichheit von Mengen wie folgt definieren: Definition (Gleichheit von Mengen) Zwei Mengen A und B heißen gleich, in Zeichen A = B, genu dnn, wenn sie dieselen Elemente enthlten, d.h. wenn jedes Element von A uch ein Element von B ist und umgekehrt. Aus der Definition der Gleichheit ergeen sich drei wichtige Folgerungen für Mengen: Folgerungen: 1. Die Reihenfolge der Elemente ist für die Bestimmung der Menge unwesentlich Beispiele: ) {,, c, d} = {c,, d, } ) {2, 1, 0, 1} = {0, 2, 1, 1} 2. Dieselen Elemente können in unterschiedlichen Formen geschrieen werden, ohne dss sich die Menge ddurch ändert. Beispiele: ) { 52 13, 23, 3. 5} = {4, 8, 15} ) {Komponist von Rigoletto } = {Verdi} 3. Wenn dieselen Elemente mehrfch gennnt werden, so können die Mehrfchnennungen wegfllen. Beispiele: ) {x, y, z, x, y, x,} = {x, y, z} ) { 1, 70 35, 1, 2, 15, 43, 1+1} = {1, 2} 8. Die Teilmengeneziehung Wenn lle Elemente einer Menge A uch in einer größeren Menge B enthlten sind, so sgen wir, dss A eine Teilmenge von B ist. So ist z.b. die Menge A = {Erde, Mrs} eine Teilmenge der Menge B = {x x ist ein Plnet unseres Sonnensystems}. Wir können lso definieren: Definition (Teilmenge) Die Menge A heißt (echte) Teilmenge der Menge B, in Zeichen A B, wenn gilt: 1. Alle Elemente von A sind uch Elemente von B und 2. A B. Wenn A keine Teilmenge von B ist, so schreien wir A B Wir können diese Teilmengeneziehung zweier Mengen einml nhnd eines Kreis-Digrmms vernschulichen: wählt mn für die Grundmenge G ein Rechteck und für die Menge A und B geometrisch zwei Kreisflächen, dnn ist die die Menge A drstellende Fläche völlig in der die Menge B drstellende Fläche enthlten. Die Menge B umfsst lso die Teilmenge A: A B A B GI Wir nennen eine solche grphische Drstellung von Mengen ein Venn-Digrmm oder ein Euler- Digrmm nch den eiden Logikern John Venn ( ) und Leonrd Euler ( ). 4

5 Bemerkung: Wir kennen us der Alger ds Zeichen für kleiner oder gleich. So edeutet x 5, dss die Zhl x entweder kleiner oder gleich 5 ist. Anlog dzu schreien wir uch in der Mengenlogik ds Zeichen:, um mit der Formlisierung A B uszudrücken, dss A entweder eine (echte) Teilmenge von B oder gleich B ist. Beispiele: ) {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} ) { 2 3, 4 5 } QI c) { 1 2, 1 3 } {1 2, 1 3 } d) {1} {1, 2, 3} er: 1 {1, 2, 3} (!) e) {0, 1, 2} {1, 2, 3, 4} f) {1, 0} {2, 1, 0} g) { 10} Z, er 10 Z h) {0} IN i) {23,471} QI j) {x x 2 = 9} IN k) IN Z l) Z QI. Aus den letzten eiden Beziehungen können wir für die drei Mengen IN, Z und QI Digrmm etrchten: ds folgende IN Z QI QI stellt hier die Grundmenge dr. 9. Die Restmenge Wen mn us einer Menge A lle diejenigen Elemente herusnimmt, die uch noch zu einer Menge B gehören, so nennen wie die Menge, die dei ürig leit, die Restmenge von A zu B. Sie wird mit dem Symol A \ B (lies: A ohne B) ezeichnet. Dzu ein Venn-Digrmm: Restmenge A B A \ B GI Definition (Restmenge) Wenn A und B zwei Mengen sind, dnn heißt die Menge: A \ B ={x x A und x B} die Restmenge von A zu B. Ds Zeichen A \ B wird gelesen: A ohne B. 10. Die Schnittmenge Die Menge ller Elemente, die sowohl zu einer Menge A, ls uch zu einer Menge B gehören, heißt die Schnittmenge von A und B. Sie wird mit dem Symol A B ( lies: A geschnitten B) ezeichnet. Schnittmenge A B A B GI Definition (Schnittmenge) Wenn A und B zwei Mengen sind, dnn heißt die Menge: A B ={x x A und x B} Schnittmenge von A und B. Ds Zeichen A B wird gelesen: A geschnitten B. 5

6 Bemerkung: 1. Ds Wort und in der Definition edeutet: sowohl ls uch, es muss lso eides gelten. 2. Lut Definition gilt: IN Z = IN und Z QI = Z. 11. Die Vereinigungsmenge Fsst mn die Menge ller Elemente zweier Mengen A, B zu einer großen Gesmtmenge zusmmen, so heißt diese Gesmtmenge die Vereinigungsmenge von A und B. Sie wird mit dem Symol A B (lies: A vereinigt mit B) ezeichnet. Vereinigungsmenge A B A B GI Definition (Vereinigungsmenge) Wenn A und B zwei Mengen sind, dnn heißt A B ={x x A oder x B} die Vereinigungsmenge von A und B. Ds Zeichen A B wird gelesen: A vereinigt mit B. Bemerkung: 1. Ds Wort oder in der Definition wird nicht ls entweder-oder verstnden, sondern im einschließenden Sinne: x gehört zu A oder x gehört zu B oder x gehört zu eiden, lso zu A B. 2. Lut Definition gilt: IN Z = Z und Z QI = QI 12. Die Größer-Kleiner-Ordnung in QI Die Menge der rtionlen Zhlen QI ist hinsichtlich der Zhlengröße geordnet, d.h. von elieigen rtionlen Zhlen, QI gilt genu einer der folgenden drei Fälle: I. > : ist größer ls II. = : ist gleich III. < : ist kleiner ls Mit Hilfe dieser Ordnungsreltion können wir nun die folgenden Teilmengen von QI definieren: 1. QI + = {x x QI und x > 0} die Menge der positiven rtionlen Zhlen. 2. QI = {x x QI und x < 0} die Menge der negtiven rtionlen Zhlen. 4. QI + 0 = QI + {0} die Menge der nichtnegtiven Zhlen. ( Hier gehört die Null mit dzu!) 5. QI 0 = QI {0} die Menge der nichtpositiven Zhlen. ( Hier gehört die Null uch mit dzu!) 6. Anlog werden uch die Mengen Z +, Z, Z + 0, Z 0 und IN 0 = IN {0} definiert. Dei gilt: Z+ = IN. 13. Die grphische Drstellung der Menge QI Die Menge QI der rtionlen Zhlen knn durch eine eknnte Zhlengerde grphisch drgestellt werden: Negtive Zhlen Null Positive Zhlen

7 14. Intervlle in QI Zusmmenhängende Teilmengen von QI, z.b. lle Zhlen, die zwischen 1 und 2 liegen, heißen Intervlle von QI. Wir definieren: 1. Ds offene Intervll: Definition (offenes Intervll) Wenn und zwei rtionle Zhlen sind, woei < gilt, dnn heißt die Menge ller rtionlen Zhlen, die zwischen und liegen ds offene Intervll von is und wird mit dem Symol ], [ ezeichnet: Bemerkung: ], [ = {x x QI und < x und x < } heißt offenes Intervll von is Die eiden Intervllgrenzen und gehören nicht mit zum offenen Intervll: ], [ und ], [. Dies edeutet, dss ds offene Intervll ], [ kein kleinstes und kein größtes Element ht. 2. Ds geschlossene Intervll: Definition (geschlossenes Intervll) Wenn zu dem offenen Intervll ], [ noch die eiden Grenzen und hinzugenommen werden, so erhlten wir ds geschlossene Intervll von is und dies wird mit dem Symol [, ] ezeichnet. Wir können nun mit Hilfe des - Zeichens genuer definieren: Bemerkung: [, ] = {x x QI und x und x } heißt geschlossenes Intervll von is Die eiden Intervllgrenzen und gehören jetzt mit zum geschlossenen Intervll: [, ] und [, ]. Dies edeutet, dss ds geschlossene Intervll [, ] ein kleinstes und ein größtes Element ht, nämlich die eiden Intervllgrenzen und. 3. Sonderfälle ] [ [ ] Mn knn uch einseitig offene Intervlle definieren, die hloffen gennnt werden. Die folgenden Intervlle: ) [, [ = {x x QI und x x < } ) ], ] = {x x QI und < x x } [ [ ] ] heißen hloffen zw. hlgeschlossene Intervlle. Und zwr nennt mn ds Intervll () uch rechtsoffen während () linksoffen gennnt wird. 4. Ds Symol und unendliche Intervlle Wenn wir einml lle rtionlen Zhlen etrchten, die größer oder gleich 1 sind, so erhlten wir ds folgende Bild: [1 Wir nennen eine solche Teilmenge von QI ein unendliches Intervll und ezeichnen es mit dem Symol [1, [. (lies: ds hloffene Intervll von 1 is unendlich.) 7

8 Wichtige Bemerkung zum Symol Ds Symol (lies: unendlich ) muss genu interpretiert werden, sonst entstehen dmit Missverständnisse. Ds Symol ezeichnet keine rtionle Zhl, erst recht nicht die größte rtionle Zhl, denn es git in QI keine größte Zhl, weil wir j zu jeder noch so großen Zhl x QI immer wieder eine noch größere Zhl y = x + 1 QI finden knn. Insofern können wir folgendes schreien: QI. Ds Zeichen ht in der Mthemtik die prozesshft, nschuliche Bedeutung, dss wir eine Folge von Zhlen etrchten, die größer und größer werden, etw 100, 1000, , , usw. Wir denken uns lso einen Fortschreitungsprozess von jeweils größeren Zhlen, der immer weiter geht. In dem Ausdruck immer weiter liegt ds Denken des Unendlichen in der Mthemtik. Im Intervll [1, [ ht ds Unendlich - Symol die folgende Bedeutung: Zu jeder Zhl >1 gehört uch jede größere Zhl z > zu dem Intervll [1, [. Wir können mit dem Symol ( unendlich ) nun die folgenden unendlichen Intervlle definieren: [, [ = {x x QI und x } ], [ = {x x QI x > } [ ] ], [ = {x x QI x < } [ ], ] = {x x QI x } ], + [ = {x x QI } = QI! ] 8

9 Üungen I 1. Entscheiden Sie, o die folgenden Ojekte im Sinne von Cntor Mengen sind: ) die Stunden in einem Jhr ) der Fruchtsft in einer Apfelsine c) ds Holz eines Bumes d) die roten Blutkörperchen im Körper eines Menschen e) der Eisennteil im Blut f) die Gegenstände der Erde g) ds Wsser eines Flusses h) die Eigenschften eines Menschen 2. Gegeen seien die vier folgenden Mengen: A = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = { 1 2, 1 3, 0, 1 3, 1 }, D = {1, 1} 2 Geen Sie die folgenden Mengen in ufzählender Form n: ) A \ B ) B \ C c) A B d) A C e) B D f) C D g) C \ D h) D \ C i) A D j) (A \ B) D k) (B D) \ A l) (B \ C) \ D 3. Gegeen sei ds folgende Venn-Digrmm: A B Geen Sie die Mengen in ufzählender Form n: ) (A B) \ C ) (B D) A c) (B C) \ A d) (A \ B) C e) A \ (B C) f) GI \ (B C) C G g) GI \ (A B) h) GI \ (A B C) i) (A \ C) (B \ C) j) C (B \ A) 3.2. Drücken Sie die folgenden Mengen mit Hilfe von A, B, C und GI us: ) {6, 10} ) {4, 5,6, 7} c) {8, 9} d) {1, 2, 3, 10} e) {6, 8, 9} f) {4, 5, 7} g) {11, 12} h) {7, 11, 12} i) {6, 10} j) {4, 5, 10} k) {1, 2, 3, 8, 9, 11, 12} 4. Gegeen sei die Grundmenge GI = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Drin sind folgende Mengen enthlten: A = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 3, 6, 7, 9, 11}, C = {1, 9, 10 11} Zeichnen Sie ein Venn-Digrmm mit llen drei Mengen A, B und C und trgen sie die Elemente genu in die entsprechenden Flächen ein. 9

10 Üungen II 1. Entscheiden Sie, welches der folgenden Zeichen:,, ;, =, in dem schrffierten Feld zwischen den Ausdrücken stehen muss: ) 5 {5} ) 2 {12, 20} c) 4,5 Z d) {1, 3} QI e) 3, 4 QI + 0 f) 0 Z g) {1} QI \ {1} h) 42 3 IN i) ]0, [ QI + j) {0, 2} Z k) [1, 5] IN l) ]3, 0[ Z m) [0, 1] QI + n) [1, 5] {1, 5} o) 1 2 [0, 1] Z p) { 3, 4} ]5, 3] [ 4, 2[ q) {0, 1, 2} [0, 2[ [ 1, 2] 2 Z. 2. Geen Sie die folgenden Mengen in ufzählender Form n: ) [1, 5[ Z ) [ 1, 1] IN c) [1, 1 2 ] [ 1 2, 0[ d) ], 5[ IN e) ]1, [ Z f) ]5, 1[ Z g) QI + 0 QI 0 Z h) ]3, 3[ Z i) ], 3] ] 4, [ Z j) ],1[ ]6, [ Z. 3. Stellen Sie die folgenden Mengen n der Zhlengerden dr: ) [ 5, 3] ]2, 4] ) ] : 2] [ 6, 3[ c) [2, 5 2 [ ]1, 7 2 [ d) ]6, 5 2 ] Z e) [2, 0[ ]0, 3] f) ], 3[ ]2, 4] g) ], 1[ ]2, [ h) QI \ ]1, 2] i) [0, 4] \ [2, 5] j) QI \ {1, 2, 3} k) ], 5] \ ], 0] l) ( QI \ ], 2[ ) Z. 4. Ds Wort und wird in der Mengenlehre mit dem Zeichen und ds Wort oder mit dem Symol gekürzt. Also: = und (sowohl ls uch), = oder (im einschließenden Sinn). Lesen Sie die folgenden Mengen und geen Sie in ufzählender Form n: ) {x IN x < 5} ) { x Z 5 2 < x 3 2 } c) {x IN x < 5 x > 8} d) { x Z x 4 x >1} e) { x Z x < 2 x 3} f) { x IN x < 2 x < 7} g) { x IN x = 2 n n IN n < 5} h) { x Z x = 2 n + 1 n IN n < 10} i) { x Q x = n 2 n IN n < 6} j) { x Q x = 1 n n IN n < 8}. 5. Geen Sie die folgenden Mengen in eschreiender Form n: ) {5, 10, 15, 20, 25} ) {0, 2, 4, 6, 8, 10} c) {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} d) { 1 3, 1 5, 1 7, 1 9, 1 11 } e) { 3 2, 3 4, 3 6, 3 8, 3 } f) { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 10 g) { 3 2, 5 3, 7 4, 9 5, 11 } h) {1, 8, 27, 64, 125, 216} i) {1, 16, 81, 256, 525}