Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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1 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenereiche.4 Die Reellen Zhlen.4.. Definition Die Zhlenereichserweiterungen von IN uf Z und Z uf Q I gingen von der Nichtgeschlossenheit der Sutrktion zw. der Division us. Dmit sind im Bereich von Q I die vier Grundrechenrten geschlossen. Zugleich sind dmit uch lle lineren Gleichungen lösr. Dies gilt jedoch nicht für qudrtische Gleichungen der Form x =, wenn keine Qudrtzhl ist. Beispiel: x = 5 x QI Die Menge ller Zhlen fsst mn zur Menge J der irrtionlen Zhlen zusmmen. Eine Zhl heißt irrtionl, wenn sie sich nicht durch einen vollständig gekürzten Bruch drstellen lässt..4.. Geometrischer Nchweis einer irrtionlen Zhl Qudrtwurzel Es soll geklärt werden, o die Gleichung x = uch dnn eine Lösung ht, wenn keine Qudrtzhl ist. Hierzu suchen wir uf zeichnerischem Weg die Mßzhl der Seitenlänge eines Qudrts mit dem Flächeninhlt FE. Die eiden Einheitsflächen werden zerlegt und neu zusmmengesetzt. Die Seite mit der Längenmßzhl wird dnn uf die Zhlengerde gedreht. x = FE LE x = zerlegungsgleich FE x = FE LE Es git lso ein Qudrt, ei dem die Mßzhl der Seitenlänge eines Qudrts die Gleichung x = erfüllt. Diese Zhl heißt Qudrtwurzel. Ihr knn ein Punkt uf der Zhlengerden zugeordnet werden. Er liegt zwischen und. Wir schreien für diese Zhl. Qudrtwurzel us 0 Gleichungen der Form x = mit Q I hen zwei Lösungen, wenn eine Qudrtzhl ist. Wir fordern, dss jede solche Gleichung uch dnn zwei Lösungen hen soll, wenn keine Qudrtzhl, er positiv ist. Die Lösungen unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Die nicht negtive dieser eiden Lösungen ezeichnet mn ls Qudrtwurzel us. Die Zhl heißt Rdiknd Nchweis der Irrtionlität ) lgerisch Für den Nchweis, dss keine rtionle Zhl ist, verwenden wir einen so gennnten Widerspruchseweis. Hierzu nehmen wir n, sei eine rtionle Zhl. Führt diese Annhme uf einen Widerspruch, so knn nur die Annhme flsch sein, lso muss ds Gegenteil der Annhme whr sein. Behuptung: Annhme: ist keine rtionle Zhl. sei eine rtionle Zhl.

2 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit Beweisgng: Aufgrund der Annhme lässt sich p, q IN schreien. p = ( ) = p q p = q q = k q ls Bruch p q p q mit teilerfremdem = p = q D q IN, ist q eine durch teilre ntürliche Zhl und demnch uch p. Wenn er p durch teilr ist, dnn uch p und es gilt: p = k mit k IN. Einsetzen in die Gleichung ergit: (k) = q k = q Nch derselen Üerlegung wie oen knn gezeigt werden, dss q eine gerde Zhl ist. Zwei gerde Zhlen hen er immer den Teiler gemeinsm, sie sind lso nicht teilerfremd. Dies ist ein Widerspruch zur Annhme. Deshl ist ihr Gegenteil, lso die Behuptung, whr. Folgerung: ist keine rtionle Zhl. Mn ezeichnet sie ls irrtionle Zhl. ) geometrisch Die Entdeckung der Irrtionlität von geht uf Hippsos von Metpont zurück. Er wr ein griechischer Mthemtiker und Musiktheoretiker us dem Kreis der Pythgoreer und lete um 350 v. Chr. Der Wissenschftsund der Pythgoreer glute, dss lles durch Zhlen usdrückr sei. So htten sie richtigerweise erknnt, dss ei Siteninstrumenten Tonintervlle durch gnzzhlige Verhältnisse festzulegen sind. Mn erhöht nämlich ei solchen Instrumenten die Tonhöhe, indem mn die Länge des e schwingenden Teils der Site verkürzt. Solche Zhlenpre Qurt 3 : 4 nnnten die Griechen "ussprechre" Zhlen. Auch für die Bestimmung des größten gemeinsmen Teilers (ggt) zweier Zhlen htten die Pythgoreer ein esonderes Verfhren entwickelt: Schreie die eiden Zhlen n. Schreie in die nächste Zeile die kleinere der eiden Zhlen und den Differenzwert der eiden. Nch einer gewissen Anzhl von Schritten richt dieses Verfhren. Die letzte von null verschiedene Zhl ist der ggt. Die Pythgoreer sprchen vom "gemeinsmen Mß" zweier Zhlen ggt (63; 35) = 7 Hippsos fnd nun mittels einer geometrischen Konstruktion, dss es uch Mßzhlenpre git, für die ein gemeinsmes Mß nicht ngegeen werden knn. D d F C E G Ein Gednkengng zum Auffinden eines solchen Zhlenpres ohne gemeinsmes Mß ist nchfolgend skizziert. Aus der Kongruenz der Dreiecke ABE und AEF folgt: BE = EF Δ CFE ist gleichschenklig-rechtwinklig. Also gilt: A B FC = EF Δ CFE knn lso zum Qudrt CFEG ergänzt werden. Im Qudrt CFEG knn oige Konstruktion wiederholt werden. Mn erhält immer wieder ein Qudrt, die Konstruktion wiederholt sich ständig, richt lso nie. Demnch lässt sich für die Längen der Qudrtdigonlen und der Qudrtseite kein gemeinsmes Mß finden. Die Pythgoreer nnnten solche Zhlenpre "unussprechr". In späteren lteinischen Üersetzungen wurde dfür ds Wort "irrtionlis" verwendet. Dvon leitet sich unsere heutige Bezeichnung "irrtionle Zhlen". Bereits Euklid konnte eweisen, dss keine rtionle Zhl ist. Die griechischen Mthemtiker lehnten er den Umgng mit diesen Zhlen us philosophischen Gründen.

3 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit c) Plusiler Nchweis für Dezimlzhl Die Zhl werden. Wenn die Zhl enden. Die Zhl D ( knn nicht uf 0 enden, denn sonst könnte die Zhl um eine Stelle gekürzt nicht mit 0 endet, knn er uch ihr Qudrt ( ) nicht mit 0 ist lso keine endliche Dezimlzhl. ) = gilt, knn mn folgende Üerlegung nstellen: Endziffern eim Qudrieren ,,44,3,69,4,96,5,5,6,56 Es gilt:,96 < <,5,4 < <, Näherungsverfhren ) Intervllschchtelung Wir grenzen die Zhl durch Doppelungleichungen ein, indem wir die Qudrte der Grenzen verschiedener Intervlle etrchten. Es gilt < x < denn < x <. Näherung: < < denn < <. Näherung:,4 < <,5 denn,4 < <,5 3. Näherung:,4 < <,4 denn,4 < <,4 4. Näherung:,44 < <,45 denn,44 < <,45 Diese Folge von Intervllen lässt sich elieig fortsetzen. Dei wird die Intervlllänge mit jeder Näherung kleiner. Jedes Intervll liegt vollständig im vorngehenden und liegt in jedem Intervll. Eine solche Folge von Intervllen heißt Intervllschchtelung.,4,4,4,44,45 Mit Hilfe der Intervllschchtelung lässt sich für jede Qudrtwurzel ein elieig genuer Näherungswert ermitteln.,5 ) Heron-Verfhren Heron lete um 75 n. Chr. in Alexndri. Er git ein Verfhren n, nch dem für irrtionle Zhlen rtionle Näherungswerte mit elieiger Genuigkeit ermittelt werden können. Hierzu suchen wir die Seitenlängen eines Qudrts mit dem Flächeninhlt, d.h. wir suchen eine Zhl x ls Näherungswert + für mit QI 0. Wenn keine Qudrtzhl ist, so existiert keine rtionle Zhl, die mit sich selst multipliziert den Wert ergit. Wir zerlegen deshl in ds Produkt x y (Ausgngsrechteck). Wählt mn nun für x einen Näherungswert, so lässt sich y mit dem Tschenrechner erechnen. Mit diesem Verfhren knn mn die Zhl x ls Lösung der qudrtischen Gleichung x = in der Regel elieig genu nnähern (Zielqudrt). Ausgngsrechteck Zielqudrt y x x

4 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit Zerlegen des Rdiknden : Wählen eines elieigen, sinnvollen. Näherungswertes x und Berechnen von y : x y = y = x Bilden des Mittelwertes: x = (x + y ) (. Näherungs Ersetzen von y durch : x = ( x + x ) x (n + ) - ter Näherungswert: x n + = ( x n + x ) Durch Bilden des Mittelwertes veressert sich im Allgemeinen ei jedem Schritt der Näherungswert für. c) Näherung üer ds Binom (x + x) Wir setzen x + x = und x = Durch Qudrieren erhlten wir: ( + x) = + x + x = Vernchlässigen von x : + x = x = 0,5. Näherung x =,5 Üerprüfung ergit:,4 < <,5 Diese Verfhren knn elieig fortgesetzt werden Definition der reellen Zhlen Die Menge ller rtionlen und ller irrtionlen Zhlen heißt Menge der reellen Zhlen. Mn ezeichnet sie mit IR. Jeder reellen Zhl entspricht genu ein Punkt der Zhlengerden. Jedem Punkt der Zhlengerden entspricht genu eine reelle Zhl. π Üersicht üer ds Zhlensystem Auch die isher eknnten Zhlen können in der Wurzelschreiweise drgestellt werden. Ntürliche Zhlen: 5 = 5 Gnze Zhlen: 5 = 5 Rtionle Zhlen: 5 = IR + : Menge der positiven reellen Zhlen IR : Menge der negtiven reellen Zhlen IR 0 + = IR + {0}.4.7. Fchsprchliche Anmerkungen zu IR. Die Ausdrucksweise und Schreiweise =,44 ist eigentlich nicht korrekt, jedoch ülich. IR QI Z n IN IN Z QI IR.4.8. Kulturhistorische Anmerkungen Die Arer rechneten insesondere eim Lösen von Gleichungen seit dem 9. Jhrhundert schon mit irrtionlen Zhlen. Sie htten erknnt, dss sich mit diesen Zhlen estimmte nicht linere Gleichungen lösen ließen. Im. Jhrhundert km ds Wissen üer irrtionle Zhlen uch zu den Mthemtikern nch Mitteleurop. Leonrdo von Pis (etw 80-50) wr einer der ersten, der sich mit diesen Zhlen eschäftigte.erst um 850 wren die irrtionlen Zhlen in der Mthemtik voll nerknnt. Ds Wurzelzeichen entstnd ls Akürzung r für ds lteinische Wort rdix. Die Verlängerung mit Endhken verdeutlichte, üer welchen mthemtischen Zeichen sich ds Wurzelzeichen erstrecken sollte. rdix 4x + 3 r 4x + 3 4x + 3

5 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit.4.9. Üungsltt: Reelle Zhlen Aufge. Schreien Sie ein Progrmm in Excel zur Intervllschchtelung von. Aufge. Schreien Sie ein Progrmm in Excel zum Heron-Verfhren von. Aufge 3 3. Geen Sie nch einem elieigen Verfhren einen Näherungswert für x = 3 n. Aufge 4 R Aufge Gegeen ist ds Qudrt ABCD mit = 5 cm. Die Qudrtseiten [AB], [BC], [CD] und [DA] werden üer B, C, D, A hinus um eine Strecke der Länge = 3 cm verlängert. Die entstehenden Punkte ilden ds Viereck PQRS. 4. Zeige: Viereck PQRS ist ein Qudrt. 4. Berechne den Flächeninhlt und die Seitenlänge des Qudrts PQRS (uf zwei Dezimlen gerundet). S D A P C B Q Aufge 6 5 Geen Sie eine mögliche Zhl n, die durch die Intervllschchtelung drgestellt wird. ) ] ; [ ) ]0 ; [ ],3 ;,[ ]0,6 ; 0,7[ ], ;,9[ ]0,63 ; 0,64[ ],0 ;,99[ ]0,636 ; 0,637[ ],00 ;,999[ ]0,6363 ; 0,6364[ 6 Zeigen Sie, dss gilt: ) + = + + = > ) = ( )

6 Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit Lösungen zu Üungsltt.4: Reelle Zhlen Zu Aufge individuelle Lösung Zu Aufge individuelle Lösung Zu Aufge 3 individuelle Lösung Zu Aufge 4 4. ΔAPQ ΔBQR ΔCRS ΔDSP PQ = QR = RS = SP <) AQP + <) QPA = 90. Also ist uch <) QPS = 90. Also ist Viereck PQRS ein Qudrt. 4. A ΔPQA = + 4 ( + ) = + + = ( + ) + A PQRS = 64 cm + 9 cm = 73 cm PQ = 73 cm 8,54 cm Zu Aufge 5 5 ), ) 5 Zu Aufge 6 6 ) ( + ) = + + ) ( ) = =