18. Markierte Graphen und Prozesse

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1 18. Mrkierte Grphen und Prozesse Systeme der Informtik erechnen selten eine einzelne Ausge uf der Bsis einer konkreten Einge. Stttdessen estehen solche Systeme us einer Vielzhl von Komponenten, oft Prozesse gennnt. Diese Komponenten sind größtenteils unhängig voneinnder, teilweise intergieren sie jedoch miteinnder, um gemeinsm etws zu erreichen. Mn spricht hier von neenläufigen (engl. concurrent) Prozessen, welche neen loklen Aktivitäten uch Informtionen untereinnder ustuschen. Beispiele sind llgegenwärtig: eine Dtennk von Google, ds GPS Stellitennvigtionssystem, ein gewöhnliches Betriessystem, eine CPU im Zusmmenspiel mit einem 3D-Grphikprozessor, ein Moiltelefon im GSM Netz, ein Pulsmesser und die entsprechende Uhr mit Empfänger m Hndgelenk. Mn spricht zusmmenfssend uch von rektiven Systemen. Die loklen Aktivitäten der rektiven Systeme sind zumeist prozedurle Berechnungen im eknnten Sinne, und können eispielsweise ls Prozeduren in SML däqut repräsentiert werden. Die Beschreiung und Anlyse der Neenläufigkeit und Interktion geschieht in der Regel mit Kntenmrkierten Grphen. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Kpitels Grphen mit Kntenmrkierungen Wir etrchten zunächst eine elieige Menge M von Kntenmrkierungen, und werden später sehen, wie wir dieser Menge mehr Struktur verleihen können. Mit dieser Menge M definieren wir einen mrkierten Grph wie folgt: Ein mrkierter Grph ist ein Tripel G = (V, M, E), so dss E V M V. Bechten Sie, dss E keine inäre, sondern eine ternäre, lso dreistellige Reltion ist. Anstelle der Nottion v, m, w E (us Kpitel 8), schreien wir uch (v, m, w) E. A enthält einige Beispiele für kntenmrkierte Grphen mit Knotenmenge V = {0, 1, 2, 3} und Kntenmrkierungen us M = {,, c}. Aufge Ws ist der Unterschied zwischen einer ternären Reltion E V M V, einer Funktion E V M V, und einer Funktion E V M V? Geen Sie Beispiele, die den Unterschied deutlich mchen. Aufge Zeichnen Sie die mrkierten Grphen (V, M, E) zu V = {A}, M = {, }, E = {(A,, A), (A,, A)};

2 2 18. Mrkierte Grphen und Prozesse c c Aildung 18.1: Einige mrkierte Grphen mit Knotenmenge V = {0, 1, 2, 3} und Kntenmrkierungen us M = {,, c}. Links sehen wir einen Grph mit E = {(0,, 1), (0,, 2), (1,, 3), (2, c, 3)}. Dneen E = {(0,, 1), (1, c, 3), (1,, 2)}, und schliesslich E = {(0,, 1), (1,, 0), (0,, 3), (1,, 0)}. V = N, M = N, E = {(n, (n mod 3), n + 3) n N}; V = {A, B, C}, M = {,, c}, E = {(A,, B), (B,, C), (B, c, C), (B,, C)}. Wir erweitern einige Definitionen für Grphen und Reltionen us Kpitel 8 uf mrkierte Grphen wie folgt: Sei G = (V, M, E) ein mrkierter Grph, und sei G = (V, E ) der Grph, der durch Weglssen der Mrkierungen us E entsteht, d.h. E = {(v, w) V 2 m M : (v, m, w) E}. Ein Knoten w heißt Nchfolger eines Knotens v, wenn (v, w) E. Er heißt m-nchfolger von w, wenn (v, m, w) E Ein Knoten v heißt Vorgänger eines Knotens w, wenn (v, w) E. Er heißt m-vorgänger von w, wenn (v, m, w) E. Zwei Knoten heißen enchrt oder djzent, wenn sie in G enchrt sind. Ein endlicher Pfd ist ein nichtleeres Tupel v 1, m 1,...,v n 1, m n 1, v n (V (M V ) ), sodss für lle i {1,...n 1}, (v i, m i, v i+1 ) E. Die Definitionen von Ausgngspunkt, Endpunkt, Länge eines Pfdes, einfche Pfde und Zyklen üertrgen sich vom unmrkierten Grphen G. Ist v 1, m 1,...,v n 1, m n 1, v n, ein Pfd, so ist m 1,..., m n 1 die Spur vom Ausgngspunkt v 1 zum Endpunkt v n in G. Ein Knoten w ist von einem Knoten v mit Spur M M in G erreichr, wenn es einen Pfd mit Spur M vom Ausgngspunkt v zum Endpunkt w in G git. Ein Knoten v ht die Spur M in G, wenn von ihm ein Knoten w mit Spur M in G erreichr ist. Die Definitionen von Wurzel, Quelle, initil, Senke, terminl und isoliert üertrgen sich vom unmrkierten Grphen G. Eine Spur heißt vollständig, wenn ihr Endpunkt terminl ist.

3 18.2 Äquivlenz von mrkierten Grphen und Prozessen 3 Ein Grph ohne Zyklen heißt zyklischer Grph. Ein mrkierter Grph (V, M, E) heißt Teilgrph eines Grphen (V, M, E ), wenn V V, M M, E E gilt. Für einen mrkierten Grphen (V, M, E) und Knoten v V ezeichnet Rech(G, v) den mximlen Teilgrph, der lle von v erreichren Knoten mit den zugehörigen Knten umfsst. Die Umkehrreltion zu E ist E 1 = {(w, m, v) (v, m, w) E}. Gerne enutzen wir Pfeilsymole für die Reltion, und schreien dnn v (v, m, w). m w, flls Prozesse Ein Prozess ist ein Pr (G, v), woei G = (V, M, E) ein mrkierter Grph ist, und v V einen Knoten ls Anfngsknoten (oder initilen Knoten) uszeichnet. Für einen Prozess P = (G, v) ezeichnen wir mit Trces(P) die Menge ller Spuren, die v in G ht. Außerdem ezeichnen wir mit Rech(P) den Prozess (Rech(G, v), v). Beispielsweise ist Trces(P) = {,,,, c } für zwei der drei Prozesse in A. 18.1, woei jeweils der Knoten 0 der Anfngsknoten sei. Aufge Sei (G, v) = Rech(P). Zeigen Sie, dss G zusmmenhängend ist Äquivlenz von mrkierten Grphen und Prozessen Wir wenden uns nun der Frge zu, wnn zwei Grphen (oder Prozesse) äquivlent sind. Diese Frge ist für neenläufige Systeme von ähnlicher Bedeutung wie die ereits mehrfch diskutierte Frge, wnn zwei Progrmme äquivlent sind (Kpitel 2.9 und Kpitel 9.8). Allerdings ist die Antwort nicht gnz offensichtlich. Wir werden zunächst zwei verschiedene Definitionen kennen lernen, die wir später noch verfeinern werden. Die erste Definition siert uf der Idee, dss zwei Prozesse dnn gleich sind, wenn diese dieselen Spuren hen. Definition Zwei Prozesse P = (G, v) und Q = (G, v ) (P sp Q) sind spuräquivlent def Trces(P) = Trces(Q). Anschulich gesprochen sind P und Q spuräquivlent, wenn jede Spur von P uch Spur von Q ist, und umgekehrt. Aufge Bestimmen Sie die Spuren der Prozesse in A. 18.1, woei jeweils der Knoten 0 der Anfngsknoten sei. Welche Prozesse sind spuräquivlent? Eine lterntive Definition verwendet den Begriff der Isomorphie us Kpitel 8.12.

4 4 18. Mrkierte Grphen und Prozesse Definition Zwei Prozesse ((V, M, E), v) und ((V, M, E ), v ) sind isomorph, wenn es eine Bijektion φ V V git, sodss (v 1, m, v 2 ) E genu dnn, wenn (φ(v 1 ), m, φ(v 2 )) E, und φ(v) = v. Zwei Prozesse P, Q sind isomorph (P = Q), wenn ihre Grphen isomorphe Struktur esitzen, d.h. dss die Knoten ijektiv ufeinnder ildr sind, und die Bijektion die initilen Zustände ufeinnder ildet. Bechten Sie, dss Isomorphie die Knoten von V uf diejenigen von V ildet, während die Kntenmrkierungen nicht geildet werden. Isomorphie erlut uns lso, von den Identitäten der Knoten zu strhieren. Wir etrchten dzu folgendes Beispiel: links der Prozess P = (G, 3) mit Knotenmenge {0, 1, 2, 3} und rechts der Prozess Q = (G, A) mit Knotenmenge {A, B, C, D}. Der Anfngsknoten ist dei jeweils mit einem Pfeil gekennzeichnet. 3 D c C 2 1 c 0 B A Beide Prozesse sind isomorph, d die Bijektion {(3, A), (2, B), (1, C), (0, D)} die Bedingungen us Definition 18.2 erfüllt. Aufge Welche der Prozesse us A sind isomorph zu P, welche zu Q? Proposition Zwei isomorphe Prozesse sind spuräquivlent. Beweis. Sei P = ((V, M, E), v) und Q = ((V, M, E ), v ), und sei φ V V eine Bijektion, sodss (v 1, m, v 2 ) E genu dnn, wenn (φ(v 1 ), m, φ(v 2 )) E, und φ(v) = v. Wir zeigen nur Trces(P) Trces(Q), die ndere Richtung geht nlog mit φ 1, der Umkehrfunktion von φ, die sicher existiert (wrum?). Sei m 1,...,m n 1 Trces(P) elieig, lso eine elieige Spur von v. Wir müssen zeigen, dss diese uch eine Spur von v ist. Aufgrund der Definition von Spur git es Knoten v 2,...v n V, sodss v, m 1, v 2,...,v n 1, m n 1, v n, ein Pfd in E ist. Wenn wir zeigen können, dss dnn φ(v), m 1, φ(v 2 ),..., φ(v n 1 ), m n 1, φ(v n ), ein Pfd in E ist, dnn ist dmit m 1,...,m n 1 eine Spur von φ(v ) = v, und wir sind fertig. Es leit lso zu zeigen, dss wenn v 1, m 1, v 2,...,v n 1, m n 1, v n ein Pfd von v 1 ist (in E), dss uch φ(v 1 ), m 1, φ(v 2 ),..., φ(v n 1 ), m n 1, φ(v n ) ein Pfd von φ(v 1 ) ist (in E ). Wir zeigen dies per Induktion üer n. n = 1: Mit (v 1, m 1, v 2 ) E ist (nch Vorussetzung) (φ(v 1 ), m 1, φ(v 2 )) E, und dmit φ(v 1 ), m 1, φ(v 2 ) ein Pfd.

5 18.3 Eine Sprche für Prozesse 5 n 1: Mit (v n 1, m, v n ) E ist (nch Vorussetzung) (φ(v n 1 ), m, φ(v n )) E. D der Pfd v 1, m 1, v 2,...,v n 2, m n 2, v n 1 kürzer ist, dürfen wir nnehmen (Induktionsnnhme), dss φ(v), m 1, φ(v 2 ),...,φ(v n 2 ), m n 2, φ(v n 1 ) ein Pfd von φ(v 1 ) ist (in E ). Aus eiden folgt die Behuptung: φ(v), m 1, φ(v 2 ),..., φ(v n 1 ), m n 1, φ(v n ) ist ein Pfd von φ(v) (in E ). Aufge Gilt die Umkehrung der oigen Proposition? Aufge Zeigen Sie, dss Isomorphie uf Prozessen eine Äquivlenzreltion ist. Zeigen Sie dssele für Spuräquivlenz. (Erinnerung: Eine Äquivlenzreltion ist eine reflexive, trnsitive und symmetrische, inäre Reltion. Eine Reltion R ist symmetrisch, wenn R 1 R gilt.) 18.3 Eine Sprche für Prozesse Uns interessiert nun die Frge, wie wir Prozesse erzeugen können. Wir hen zuvor (Kpitel 7) gesehen, wie sich reine und mrkierte Bäume in einer Sprche (ls SML Dtenstrukturen) drstellen lssen. Nun mchen wir in gewissen Sinne ds umgekehrte. Wir geen eine einfche Sprche für Grphen, zw. Prozesse. Die konkreten Knotenezeichner sind dei für uns unwesentlich. Wir versuchen, stttdessen, Prozesse is uf Isomorphie erzeugen zu können, d.h. es ist nicht von Bedeutung, wie die Knoten im Grph des Prozesses heißen. Der erste Schritt ist eine Sprche für (kntenmrkierte) zyklische Grphen Astrkte Syntx Die strkte Syntx einer Sprche eschreit die Buform der Sprche. Ülicherweise definiert mn die strkte Syntx einer Sprche mithilfe einer schemtischen Drstellung, die ls strkte Grmmtik ezeichnet wird. A zeigt eine strkte Grmmtik für unsere erste Sprche L 0, woei wir eine elieige Menge M von Mrkierungen nnehmen. Wir finden drin drei Opertoren: einen nullstelligen Opertor 0, einen zweistelligen Opertor., sowie einen zweistelligen Opertor +. Lssen Sie sich nicht von den verwendeten Symolen 0 und + verwirren, evor wir uns die Bedeutung dieser Sprche ewusst gemcht hen. Wir lesen die Grmmtik in dieser Aildung wie folgt: 0 ist in der Sprche L 0. Wenn P in der Sprche L 0 ist, und M, dnn ist.p in der Sprche L 0. Wenn P 1 in der Sprche L 0 ist, und P 2 eenflls, dnn ist P 1 + P 2 in der Sprche L 0. Wir nennen die Elemente von L 0 Terme der Sprche L 0. Die einzelnen Konstrukte sollen dei die folgende intuitive Bedeutung hen:

6 6 18. Mrkierte Grphen und Prozesse M P L 0 = 0.P P + P Aildung 18.2: Astrkte Grmmtik von L 0. 0 ist der Term, der keinerlei Nchfolger esitzt, entspricht lso einem terminlen Knoten. Der Term.P esitzt eine Knte, die zum Term P führt und mit mrkiert ist. P 1 + P 2 stellt einen Term dr, der lle die usgehenden Knten esitzt, die die Terme P 1 oder P 2 esitzen. Aufgrund dieser Intuition heißt der Opertor. uch Präfix-Opertor, der Opertor + heißt Auswhl-Opertor, und 0 wird gemeinhin schlicht Stop(-Opertor) gennnt. Hier sind einige sehr einfche Beispiele, die die intuitive Bedeutung der Terme in Form von Prozessen erhellen. Aufgrund der Ttsche, dss Knoteneschriftungen für uns nicht relevnt sein sollen, sind diese in diesen Beispielen nicht ufgeführt. Allein die Struktur der Grphen und die Knteneschriftungen sind für uns von Bedeutung (.0) + (.0).((.0) + (.0)) Wir postulieren die folgenden Klmmersprregeln: P + Q + R (P + Q) + R + klmmert links..p.(.p). klmmert rechts.p + Q (.P) + Q Punkt vor Strich Aufge Fügen Sie die fehlenden Klmmern in die folgenden Terme ein:.p,.(p +.Q),.P +.Q,...0,.P + (.Q), und.p +..Q Semntik von L 0 Die Semntik einer Sprche legt die Regeln für die Ausführung von Elementen der Sprche, lso den Termen von L 0, fest. Typischerweise unterscheidet mn zwischen der sttischen und der dynmischen Semntik 1, woei die sttische Semntik die Bedingungen formuliert, die semntisch zulässige Terme erfüllen müssen. Ds heißt, im Allgemeinen git es Terme, die syntktisch 1 Siehe dzu uch Kpitel 2.8 und Kpitel 12

7 18.3 Eine Sprche für Prozesse 7 zulässig sind, die er semntisch keinen Sinn ergeen. Wie in Kpitel 2.6 und 2.8 ereits diskutiert, geschieht dies in SML zum Beispiel, indem geprüft wird, o eine Phrse wohlgetypt ist. Dies ist ufgrund der Einfchheit unserer Sprche (keine Dtentypen) nicht sehr erhellend, wir üerspringen diesen Schritt dher zunächst. Die dynmische Semntik eschreit, welche Ergenisse die Ausführung zulässiger Terme liefern soll. Etws formler knn mn sgen, dss wir festlegen müssen, welches mthemtische Ojekt mit einem Term ssoziiert werden soll. In unserem Kontext soll ds Ergenis der Ausführung (die Semntik) eines Termes P ein Prozess (G, v) sein (woei G zyklisch ist). Dfür hen wir festzulegen, ws G = (V, M, ) ist und ws v V ist. Um diese Frge zu entworten, edienen wir uns zunächst eines elegnten technischen Kniffes. Wir identifizieren V mit L 0 : die Knoten eines Prozesses sind lle erluten Terme der Sprche! Ds heißt, die Knten des Prozesses verinden Terme der Sprche, und dher ist eine Teilmenge von (L 0 M L 0 ). Dmit ist intuitiv klr, dss der Anfngsknoten der Semntik von P, der Knoten P selst ist. Nun leit es, festzulegen, ws die Reltion sein könnte. Wir werden die ternäre Reltion mithilfe so gennnter Inferenzregeln definieren, die wir in Kpitel 2.6 ereits kennen gelernt hen. Allgemein ht eine Inferenzregel die Form A 1...A n A woei n 0 Die Aussgen A 1...A n üer dem Strich werden ls Prämissen ezeichnet und die Aussge A unter dem Strich ls Konklusion. Wir sgen, dss die Aussge A mit der Regel us den Aussgen A 1...A n geleitet werden knn. Ht eine Regel keine Voredingung, so ist sie ohne jede Voredingung gültig, mn spricht dnn trefflich von einem Axiom (vgl. dzu die Nomenkltur in Kpitel 8.4). A zeigt die definierenden Inferenzregeln für die Menge, woei genu die Tripel enthlten soll, die mit den Regeln geleitet werden können. Für jede Regel ist links ein Nme ngegeen. Die Regel prefix ist ein Axiom. Als konkretes Beispiel etrchten wir die Inferenzregel choice l: P P P + Q P Die Regel esgt, dss die Knte P + Q P (lso ds Tripel P + Q,, P ) dnn in enthlten ist, wenn die Knte P P drin enthlten ist. Insgesmt esgen die Regeln, dss fur jedes P, Q L 0 und jedes M gilt, (.P,, P) ; (P + Q,, P ), wenn (P,, P ) ; (P + Q,, Q ), wenn (Q,, Q ) ;

8 8 18. Mrkierte Grphen und Prozesse prefix.p P choice l P P P + Q P choice r Q Q P + Q Q Aildung 18.3: Semntik von L 0 nichts sonst ist Element von. Bechten Sie, dss wir festgelegt hen, dss in nur die Tripel liegen, die durch die Inferenzregeln geleitet werden können, und sonst keine. Anders gesgt ist die kleinste Reltion (ezüglich der Inklusionsordnung IO), die den oigen Regeln genügt. Jetzt wollen wir den Begriff der Semntik eines Terms P L 0 forml definieren. Sei G L0 = {(L 0, M, E) E L 0 M L 0 } die Menge ller Grphen üer M mit Knotenmenge L 0. Wir nennen die Funktion die Semntik der Terme von L 0. L 0 G L0 L 0 mit P = ((L 0, M, ), P) Bei der grfischen Vernschulichung der Semntik eines Terms P eschränken wir uns uf die Drstellung von Rech( P ), denn dies ist ds Frgment der Semntik, welches uns interessiert. Die oigen Inferenzregeln können dzu verwendet werden, um in kompkter Form die Semntik eines Termes P zuleiten. Mn erzeugt dfür für jede Knte in Rech( P ) einen sogennnten Beweisum, welcher die Existenz dieser Knte in Rech( P ) eweist. Wir etrchten ls Beispiel den Term (.0 + 0) +.(0 + 0). Wir erhlten die folgenden Beweisäume, welche für jede Knte die Prämissen ufstpeln, is ein Axiom erreicht ist mit prefix (.0 + 0) +.(0 + 0) 0 mit choice l mit choice l.(0 + 0) mit prefix (.0 + 0) +.(0 + 0) mit choice r D jede der Regeln von L 0 höchstens eine Prämisse esitzt, verzweigen sich die Beweisäume nicht. Wir werden später uch Verzweigungen der Beweisäume kennenlernen. Aufgrund der oigen Inferenzen esitzt der Prozeß (.0 + 0) +.(0 + 0) die folgende grfische Drstellung:

9 18.3 Eine Sprche für Prozesse 9 (.0 + 0) +.(0 + 0) Aufge Leiten Sie mit den Inferenzregeln die Knten für folgende Prozesse her: 0, 0 + 0,.0,..0 +.c.0,.(.0 + c.0),..(0 + 0) Zeichnen Sie die jeweiligen Prozesse. Wir entworten nun die Frge, inwiefern wir jeden endlichen zyklischen Prozess üer M durch einen Term von L 0 is uf Isomorphie drstellen können. Proposition Für jeden endlichen zyklischen Prozess (G, v) üer M git es einen Term P L 0, so dß, Rech((G, v)) zu Rech( P ) isomorph ist. Wir verzichten uf den Beweis dieser Proposition, d der Beweis etws umständlich ist. Die folgende Aufge dient dzu, in den nötigen Umstnd ein wenig einzuführen. Aufge Geen Sie einen Term us L 0 n, dessen Semntik isomorph zu dem Prozess (G, 0) ist, woei G = ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, M, E) mit E = {(0,, 1), (0,, 2), (0,, 3), (1,, 4), (2,, 5), (3,, 6)}. Aufge Beweisen Sie, dss für elieige P, Q L 0 der Prozess Rech( P + Q ) isomorph zu Rech( Q + P ) ist. Ist uch Rech(.(P + Q) ) isomorph zu Rech(.(Q + P) )? Ist Rech(.Q ) isomorph zu Rech(.Q +.Q )? Wie steht es mit Rech(.(P + Q) +.(P + Q) ) und Rech(.(P + Q) +.(Q + P) )? L: Syntx für elieige Grphen Um elieige Grphen eschreien zu können, fehlen uns noch Ausdrucksmittel zur Drstellung von Zyklen. Dzu edienen wir uns rekursiver Gleichungen, wie wir sie ereits mehrfch gesehen hen. Konkret werden die Gleichungen gnz ähnlich zu den verschränkt rekursiven Definitionen von Funktionen, die wir in Kpitel 8.2 kennengelernt hen, verwendet. Wir führen dzu eine Menge V r von Rekursionsvrilen ein, welche ls linke Seiten in definierenden Gleichungen fungieren, und uns dmit Mittel geen, Knoten, die uf Zyklen liegen, syntktisch uszuzeichnen, und Knten dorthin zurückweisen zu lssen. Hier ist dzu ein erstes Beispiel. Mit der Vrilen X V r können wir einen einfchen Zyklus wie folgt definieren: X =..X Der von X erzeugte Prozess ist rechts ngedeutet. Im llgemeinen Fll verwenden wir mehrere Gleichungen, die oft verschränkt rekursiv definiert sind, wie etw in folgendem Fll:

10 Mrkierte Grphen und Prozesse M X V r P L = 0.P P + P X Aildung 18.4: Astrkte Grmmtik von L. X =..Y Y =.Z +.Y Z =.Y Der von X erzeugte Prozess ist wiederum rechts ngedeutet. Wir nehmen n, dss eine Menge solcher Gleichungen disjunkt, er nicht unedingt erschöpfend ist (vgl. Kpitel 4.6). Auf der linken Seite der Gleichungen finden wir Rekursionsvrilen us V r, uf der rechten Seite finden wir Terme. Diese Terme entsprechen im Wesentlichen den Termen von L 0, mit dem Unterschied, dss uch Rekursionsvrilen us V r in den Termen vorkommen können. Die strkte Grmmtik dieser erweiterten Sprche L ist in A ngegeen. Mn sieht, dss is uf Rekursionsvrilen X V r die Grmmtik mit der Grmmtik von L 0 us A üereinstimmt. Mit diesen Festlegungen definiert uns eine Menge solcher Gleichungen offensichtlich eine prtielle Funktion Γ V r L. In Mengenschreiweise ergeen die oigen Beispiele die folgenden prtiellen Funktionen: Γ = {(X,..X)} zw. Γ = {(X,..Y ), (Y,.Z +.Y ), (Z,.Y )} Wir nennen Γ V r L eine Menge von rekursiven Gleichungen üer L. Wenn (X, P) Γ, lso Γ(X) = P ist, können wir sgen, dss X den gleichen Prozeß wie P repräsentiert, nur dss jedesml, wenn eine Vrile Y erreicht wird, mit der rechten Seite Γ(Y ) der definierenden Gleichung von Y fortgesetzt wird. Ein jedes Γ eschreit, wie wir sofort sehen werden, einen Grph mit oder ohne Zyklen. Den Zusmmenhng zwischen Γ und Grph werden wir wiederum durch eine semntische Aildung eschreien. Für ein gegeenes Γ liefert uns die Semntik einen Prozeß, indem wir einen Term us L ls Anfngszustnd festlegen. In den eiden oigen Beispielen hen wir jeweils X ls Anfngszustnd festgelegt Semntik von L Wie zuvor wird die Semntik von L eine Aildung jedes Termes von L uf einen Prozess sein. Diese Semntik ist ntürlich von der Festlegung einer estimmten Menge rekursiver Gleichungen Γ hängig.

11 18.3 Eine Sprche für Prozesse 11 prefix.p P choice l P P P + Q P choice r Q Q P + Q Q rec Γ(X) = P P P X P Aildung 18.5: Semntik von L für Γ V r L Für eine gegeene Menge rekursiver Gleichungen Γ üer L ergit sich die Semntik von L durch ds Anfügen einer einzigen Inferenzregel n die Regeln us A. 18.3: rec Γ(X) = P P P X P Diese Regel esgt, dss die linke Seite X einer Gleichung von Γ einen -Nchfolger P ht, wenn uch die rechte Seite P einen solchen ht. Die sonstigen Regeln leien unverändert; lle Inferenzregeln sind noch einml in A zusmmengefsst. Nun wollen wir wiederum den Begriff der Semntik eines Terms P L forml definieren. Zunächst definieren wir G L = {(L, M, E) E L M L} ls die Menge ller Grphen üer M, ei denen die Knotenmenge die Menge L ist. Für eine prtielle Funktion Γ : V r L sei Γ L M L die kleinste ternäre Reltion, die den Inferenzregeln us A genügt. Dies ist lso die Menge, die für jedes P, Q L und jedes M, die folgenden Elemente enthält: (.P,, P) Γ ; (P + Q,, P ) Γ, wenn (P,, P ) Γ ; (P + Q,, Q ) Γ, wenn (Q,, Q ) Γ ; (X,, P ) Γ, wenn Γ(X) = P und P P ; nichts sonst ist Element von Γ. Die Semntik der Terme von L ezüglich Γ eschreien wir durch eine kskdierte Funktion, welche ls erstes Argument die rekursiven Gleichungen gemäß Γ erhält, und ls zweites Argument den Term P L, welcher ls Anfngsknoten fungieren soll. Für Γ schreien wir kurz uch Γ. (V r L) L G L L Γ P = ((L, M, Γ ), P) Wir wollen uns die Funktionsweise dieser Regeln nhnd der Gleichung X =.X, lso Γ = {(X,.X)} vernschulichen. Eine Knte von X existiert gemäß der Definition genu dnn, wenn sie mit den Inferenzregeln geleitet werden knn. Dvon git es nur eine:

12 Mrkierte Grphen und Prozesse Γ(X) =.X X X mit prefix.x X mit rec Der für X Γ resultierende Prozess ist rechts ngedeutet, woei wir uns wieder uf den erreichren Teilgrphen Rech( X Γ ) eschränken. Als zweites Beispiel etrchten wir Γ = {(X,..X)}, welches uns schon eknnt ist, und möchten.x Γ estimmen. Wir erhlten den rechts ngedeuteten Prozess ufgrund der folgenden Beweise:.X X mit prefix Γ(X) =..X X.X X mit prefix..x.x mit rec Aufge Üerzeugen Sie sich dvon, dss für ds oige Beispiel keine weiteren Trnsitionen für Rech(.X Γ ) eweisr sind. Zeichnen Sie Rech(.(c.X + c..x) Γ ). Aufge Erzeugen Sie durch Anwendung der semntischen Regeln die Prozesse X Γ, woei Γ jeweils gegeen ist durch: 1. X =..0 +.c.0 2. X =..X +.c.0 3. X =...X 4. X =.Z 5. X = X 6. X =..Y Y =.Z +.Y Z =.Y 7. X = Y Y =.Z 8. X = in.y Y = out.x + in.out.y 9. X = in.in.out.out.x Wir hen nun mit L eine Sprche, mit der wir elieige endliche Prozesse is uf Isomorphie syntktisch notieren können. Dies ist uf den ersten Blick offensichtlich, llerdings ist der Beweis wiederum etws umständlich. Wir verzichten dher zunächst druf. Aufge Betrchten Sie die Prozesse X =...X, X =..X und X =.(.X +.X) n. Welche dieser Prozesse sind isomorph, welche spuräquivlent? X.X

13 18.3 Eine Sprche für Prozesse 13 Bemerkungen Der in diesem Kpitel ufgezeigte Weg, die Semntik einer Sprche zu definieren, geht uf Hennessy und Plotkin (1979/81) zurück. Er wird gemeinhin ls strukturelle, opertionelle Semntik (SOS) ezeichnet. Ds Wort strukturell ezieht sich dei uf die Ttsche, dss die Semntik eines komplexen Terms us der Struktur des Termes und der Semntik seiner Teilterme ergit. Opertionell edeutet, dss die Semntik in sich ein usführres Modell mit Zuständen und Zustndsüergängen konstituiert.