5 Modellierung mit Graphen

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1 5 Moellierung mit Grphen Der Klkül er Grphen eignet sih in vielen Aspekten ußerorentlih gut zum Moellieren von Aufgen un Systemen. Moelle eshreien meist Ojekte un Beziehungen zwishen ihnen. Genu s leistet ein Grph ls Astrktion us Knoten un Knten: Die Knoten repräsentieren eine Menge gleihrtiger Ojekte; jee er Knten repräsentiert eine Beziehung zwishen je zwei Ojekten, ie sie verinet. Solhe Grphen sin lso -stellige Reltionen üer er Knotenmenge. Als Grphen formulierte Moelle sin leiht verstänlih un hen nshulihe Drstellungen. Als Beispiel zeigt A. 5.1 einen Grphen, er Autohnverinungen in er Umgeung von Perorn moelliert. Die Knoten repräsentieren Stäte un jee Knte ie Existenz einer Autohn zwishen zwei Stäten. Die Knten ieses Grphen sin ungerihtet, um uszurüken, ss ie Autohnen in eien Rihtungen efhren weren können. In ieser Hinsiht untersheiet sih er Grph in A. 5.. Er moelliert Aläufe von Telefongesprähen. Seine Knoten repräsentieren Zustäne un ie Knten repräsentieren Aktionen, ie von einem Zustn in einen neren oer in enselen üerführen. Hier müssen ie Knten ntürlih eine Rihtung hen. Durh Grphen formulierte Moelle sin mthemtish präzise, sie uf Reltionen sieren. Es können rus viele tief gehene Eigenshften forml geleitet un zur Anlyse es Moells genutzt weren: So knn mn z. B. mit em Begriff es Weges usrükken, ss es in A. 5.1 Autohnverinungen von Perorn nh Unn üer mehrere Stäte hinweg git. Auh knn mn leiht erkennen, ss es in iesem Grphen keinen Runweg git, ei em jees Autohnteilstük genu einml efhren wir. Gäe es einen solhen Runweg, nn würe er jee Stt genuso oft verlssen, wie er sie erreiht. Ds ist er niht möglih, in Bielefel un Wünnenerg jeweils eine ungere Anzhl von Autohnverinungen existieren. In em Alufgrphen von A. 5. knn mn z. B. erkennen, ss von jeem Knoten lle Knoten erreihr sin. Dies ist eine typishe un wihtige Eigenshft von Grphen, ie zyklishe Aläufe moellieren. Grphen können uh sehr systemtish ls Dtenstrukturen implementiert weren. Es git einen großen Funus n Algorithmen, ie Berehnungen uf Grphen urhführen.

2 136 5 Moellierung mit Grphen Bielefel Hnnover Kmen Perorn Unn Wünnenerg Kssel Ailung 5.1: Ungerihteter Grph moelliert Autohnverinungen heen Ziffer wählen uflegen Gespräh führen Ailung 5.: Gerihteter Grph moelliert Aluf von Telefongesprähen Wir führen zunähst ie Grunegriffe es Grphenklküls in Ashnitt 5.1 ein. Dnn zeigen wir, ss Grphen ußerorentlih vielfältig zur Moellierung untershieliher Themen eingesetzt weren können: In Ashnitt 5. zeigen wir ie Moellierung von Wegeprolemen. Die Frge, welhe Ojekte es Moells miteinner irekt oer inirekt verunen sin, untersuhen wir in Ashnitt 5.3. Bäume sin eine spezielle Art von Grphen, mit enen mn z. B. geshhtelte Strukturen oer Folgen von Entsheiungen moellieren knn (Ashnitt 5.4). In Ashnitt 5.5 etrhten wir Zuornungsproleme. So knn mn z. B. en Stten uf einer Lnkrte (Knoten es Grphen) Fren so zuornen, ss zwei Stten, ie eine gemeinsme Grenze hen (repräsentiert urh eine Knte) vershieen gefärt weren. Shließlih zeigen wir in Ashnitt 5.6, wie gerihtete Grphen eingesetzt weren, um Ahängigkeiten, Anornungen un Aläufe zu moellieren. Aufuen uf en Begriffen us Ashnitt 4.1 führen wir weitere Begriffe es Grphenklküls mit en Themen ein, für ie sie enötigt weren. 5.1 Grunlegene Definitionen In iesem Ashnitt führen wir grunlegene Begriffe es Grphenklküls ein, ie notwenig sin, um Grphen ls Moelle nzugeen. Weitergehene Begriffe zur Formulierung von Eigenshften von Grphen efinieren wir in en nhfolgenen Ashnitten,

3 5.1 Grunlegene Definitionen 137 ort wo s Moellierungsthem iese Eigenshft enötigt. Außerem stellen wir hier ie wihtigsten Verfhren vor, um Grphen zu repräsentieren. Definition 5.1: Gerihteter Grph Ein gerihteter Grph ist ein Pr G = (V, E) mit einer enlihen Menge von Knoten V un einer Menge von Knten E V V. Die Ajektive gerihtet oer ungerihtet lssen wir häufig weg, wenn ie Eigenshft us em Kontext klr oer ie Untersheiung unwihtig ist. Die Kntenmenge E ist lso eine -stellige Reltion üer V. Als Beispiel geen wir einen gerihteten Grphen G 1 = (V 1, E 1 ) n: V 1 = {,,, } E 1 = {(,,), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Ailung 5.3: Gerihteter Grph G 1 A. 5.3 zeigt en Grphen G 1 in grfisher Drstellung: Knoten weren ls ennnte Punkte un Knten ls Pfeile rgestellt. Eine einzelne gerihtete Knte wir wie in er Reltion urh (u, v) oer in Anlehnung n ie Grfik urh u v notiert. In er englishen Terminologie heißt ein Knoten vertex oer noe un eine Knte ege oer r, wenn etont weren soll, ss sie gerihtet ist. Knten (v, v), ie im selen Knoten münen, von em sie usgehen, heißen Shleife oer Shlinge. Der Grph G 1 enthält ie Shleife (, ). Für mnhe Üerlegungen muss geforert weren, ss ein Grph shleifenfrei ist, lso keine Shleife enthält. Die Definition 5.1 forert, ss ie Menge er Knoten enlih ist un urh uh ie Menge er Knten. Ds shränkt en Grphenegriff zwr ein, ist für unsere Zweke er usreihen. D ie Knten eines Grphen ls Menge efiniert sin, knn es zwishen zwei Knoten u un v nur eine Knte (u, v) geen. Für mnhe Moellierungen ist s zu einshränken, z. B. wenn in A. 5. eine Knte Dten üertrgen ergänzt weren sollte, ie ieselen Knoten wie ie Knte Gespräh führen verinet. In er Grfik wäre s einfh

4 138 5 Moellierung mit Grphen nzugeen, ls Kntenmenge könnte es jeoh niht formuliert weren. Wir zeigen später, wie mn trotzem ie Anzhl er Knten zwishen zwei Knoten ngeen knn. Shließlih sin ie Grphen uh urh eingeshränkt, ss eine Knte nur zwei Knoten miteinner verinen knn. Anwenungen wie ie Moellierung von Leitungssystemen lssen sih so niht unmittelr ngeen; mn müsste zusätzlihe Knoten einfügen, um komplexe Knten zu glieern. Solhe Beshränkungen sin ein Preis für ie Einfhheit es Klküls. Mit gerihteten Grphen können wir prinzipiell uh Beziehungen zwishen Ojekten moellieren, ie niht in einer Rihtung orientiert sin. So sin ie Autohnverinungen in A. 5.1 in eien Rihtungen nutzr. Wollten wir sie mit einem gerihteten Grphen moellieren, so müssten wir jee Verinung urh zwei entgegengesetzt orientierte Knten repräsentieren, z. B. (Perorn, Bielefel) un (Bielefel, Perorn). Die Kntenmenge eines solhen gerihteten Grphen wäre eine symmetrishe Reltion: us (, ) E folgt (, ) E. Die Ttshe, ss ie Rihtung er Verinung zweier Knoten niht festgelegt ist, knn uh irekt urh ungerihtete Knten usgerükt weren. Mn fsst in er symmetrishen Kntenreltion lle Pre (x, y), (y, x) zu einer ungerihteten Knte {x, y} zusmmen. {x, y} ist ie Menge er Knoten, ie iese Knte verinet, im Gegenstz zu en Elementen er Pre sin ie Elemente er Menge niht geornet. In er Grphentheorie un in er Moellierung hen ungerihtete un gerihtete Grphen jeweils eigenstänige Beeutung. Deshl weren ungerihtete Grphen irekt efiniert. Die oigen Üerlegungen zur Herleitung us gerihteten Grphen soll nur en Zusmmenhng zwishen eien Grphenrten vereutlihen. Ailung 5.4: Gerihteter Grph mit symmetrisher Kntenreltion moelliert ungerihteten Grphen A. 5.4 zeigt einen gerihteten Grphen mit symmetrisher Kntenreltion un en zugehörigen ungerihteten Grphen.

5 5.1 Grunlegene Definitionen 139 Definition 5.: Ungerihteter Grph Ein ungerihteter Grph ist ein Pr G = (V, E) mit einer enlihen Menge von Knoten V un einer Menge E von ungerihteten Knten: E {{x, y} x, y V} Der ungerihtete Grph us A. 5.4 wir nn ls Pr von Mengen wie folgt ngegeen: V = {,,, } E = { {,,}, {, }, {, }, {}, {, }, {, }, {, } } Mn ehte, ss eine Shleife im ungerihteten Grphen ls 1-elementige Menge ngegeen wir, z. B. {}. Alle Knten, ie niht Shleifen sin, weren urh -elementige Mengen ngegeen. In er symmetrishen Kntenreltion es zugehörigen gerihteten Grphen wir eine Shleife urh eine einzige Knte, wie (, ), ngegeen; lle neren Knten treten in Pren (, ), (, ) uf. Wir wollen nun ie vier wihtigsten Arten er Drstellung von Grphen vorstellen. V = {,,, } E = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} ) Mengen V un E ) Grfik f f f w w f w w f w f f (,, ) (, ) ( ) f w w f (, ) ) Ajzenzmtrix AM ) Ajzenzlisten Ailung 5.5: Drstellung von gerihteten Grphen In A. 5.5 hen wir sie für en Grphen G 1 zusmmengefsst: Die strkte Ange er Mengen V un E (A. 5.5) ist in en Definitionen 5.1 un 5. eingeführt woren. Die grfishe Drstellung mit Pfeilen für gerihtete un Linien für ungerihtete Knten (A. 5.5) wir wegen ihrer Anshulihkeit für en menshlihen Leser m häufigsten verwenet. Hinzu kommen zwei Drstellungsrten, ie insesonere ls Dtenstrukturen für Algorithmen uf Grphen enutzt weren. Sie setzen vorus, ss ie Knotenmenge V ls Inexmenge verwenet un ihre Elemente liner geornet weren können. Eine Ajzenzmtrix AM (A. 5.5 ) ist eine qurtishe Mtrix, eren Zeilen un Splten je-

6 140 5 Moellierung mit Grphen weils mit Knoten iniziert weren. Die Mtrixelemente sin Whrheitswerte w un f. Es gilt AM [i, j] = ((i, j) E). Jees w in er Mtrix steht für eine gerihtete Knte. Will mn einen ungerihteter Grphen rgestellen, so muss er urh einen gerihteten mit symmetrisher Kntenreltion repräsentiert weren. Die Mtrix-Drstellung erlut, urh irekten Zugriff uf AM [i, j] zu entsheien, o E ie Knte (i, j) enthält. Außerem kennzeihnen ie Splteninizes er w-elemente in er i-ten Zeile, zu welhen Knoten vom Knoten i eine Knte führt. Entsprehen geen ie Zeileninizes er w-elemente in er j-ten Splte n, von welhen Knoten eine Knte in en Knoten j münet. Allerings enötigt iese Drstellung immer Speiherpltz für n Whrheitswerte, wenn n ie Anzhl er Knoten es Grphen ist. Die Ajzenzlisten (A. 5.5) repräsentieren Grphen kompkter ls ie Mtrixrstellung: Zu jeem Knoten i git es eine Folge (Liste) von Knoten, zu enen von i usgehen eine Knte führt. Diese Drstellung enötigt gere so viele Listenelemente, wie E Knten enthält. Die Menge er Knoten, zu enen von Knoten i eine Knte führt, knn mn leiht ufzählen, inem mn ie i-te Folge urhläuft. Allerings muss mn uh ie i-te Folge urhlufen, wenn mn feststellen will, o E ie Knte (i, j) enthält. Ds Aufzählen ller Knoten, von enen eine Knte in en Knoten j münet, erforert sogr, ss lle Folgen nh em Element j urhsuht weren. Soll ein ungerihteter Grph rgestellt weren, so muss wie im Flle er Ajzenzmtrix eine symmetrishe Reltion von gerihteten Knten ngegeen weren. D wir häufig Grphen zerlegen un ie Teile seprt etrhten, führen wir en Begriff es Teilgrphen forml ein: Definition 5.3: Teilgrph Der Grph G = (V, E ) ist ein Teilgrph es Grphen G = (V, E), wenn gilt V V un E E. G heißt urh V inuzierter Teilgrph von G, wenn E lle Knten us E enthält, eren eie Enen in V liegen. G un G sin entweer eie gerihtet oer eie ungerihtet. Sei G er Grph us A Dnn ist z. B. G = ( {,, }, { (, ), (, ) } ) ein Teilgrph von G. Er wir er niht urh seine Knotenmenge inuziert. Ds gilt für en folgenen Teilgrphen, er zusätzlih ie Knte (, ) enthält: G = ( {,, }, { (, ), (, ), (, ) } Eine elementre un wirksm verwenre Eigenshft von Grphen ist ihr Knotengr. Er mht Aussgen üer ie Zhl er Knten, ie mit einem Knoten verunen sin.

7 5.1 Grunlegene Definitionen 141 Definition 5.4: Gr in ungerihteten Grphen Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph. Dnn ist er Gr eines Knotens v ie Anzhl er Knten {x, v} E, ie in v enen. Der Gr es Grphen G ist er mximle Gr seiner Knoten. In A. 5.6 ist ein ungerihteter Grph mit seinen Knotengren ngegeen. Insgesmt ht er Grph en Gr 4. Mn ehte, ss ie Shleife zwr mit ihren eien Enen mit em Knoten verunen ist, er nur einml zur Zählung er Knten es Knotens eiträgt. 3 4 Ailung 5.6: Knotengre im ungerihteten Grphen Definition 5.5: Gr in gerihteten Grphen Sei G = (V, E) ein gerihteter Grph. Dnn ist er Eingngsgr eines Knotens v ie Anzhl er Knten (x, v) E, ie in v münen. Der Ausgngsgr eines Knotens v ist ie Anzhl er Knten (v, x) E, ie von v usgehen. Der Gr eines Knotens v ist ie Summe seines Eingngs- un Ausgngsgres. Der Eingngs-, Ausgngsgr oer Gr es Grphen G ist er entsprehene mximle Wert seiner Knoten. In A. 5.7 sin für ein Beispiel eines gerihteten Grphen Eingngs-, Ausgngsgr un Gr er Knoten ngegeen. Mn ehte, ss ie Shleife sowohl zur Zählung es Eingngsgres ls uh es Ausgngsgres un eshl zweiml zur Zählung es Gres ihres Knotens eiträgt. Beim Einstz eines Grphen G = (V, E) zur Moellierung eshreit V ie Existenz einer Menge vershieener Ojekte un E ie Existenz zw. Awesenheit einer estimmten Beziehung zwishen je zwei Ojekten. Dies ist meist nur er Kern er moellierten Informtion, wie im Beispiel er Stäteverinungen von A Viele Moellierungsufgen erforern jeoh, ss en Knoten oer en Knten weitere Informtionen zugeornet weren. Dies leisten Mrkierungsfunktionen für Knoten oer für Knten. In A. 5.8 hen wir ie Stäteverinungen us A. 5.1 ergänzt um Angen er Einwohnerzhl in Tusen zu en Stäten un er Entfernung in Kilometern zu en Autohnverinungen.

8 14 5 Moellierung mit Grphen Eg Ag G : 1 : : 3 Eg Ag G : : : 0 Eg Ag G : : : 0 Eg Ag G : : : 3 5 Ailung 5.7: Eingngsgr (Eg), Ausgngsgr (Ag) un Gr (G) im gerihteten Grphen Bielefel 300 Hnnover Kmen Perorn Unn Wünnenerg 67 1 Ailung 5.8: Grph mit Knoten- un Kntenmrkierungen Kssel 81 Eine Knotenmrkierung MV ist eine Funktion mit er Signtur MV: V WV, woei WV ein geeigneter Werteereih ist. In unserem Beispiel ist Einwohnerzhl: V ΙN eine Knotenmrkierung. In er grfishen Drstellung nnotieren wir einfh ie Werte er Funktion n en Knoten. Wenn mehrere Knotenfunktionen eingesetzt weren, geen wir zusätzlih ie Funktionsnmen n, wie in A Entsprehen ist eine Kntenmrkierung ME eine Funktion mit er Signtur ME: E WE, woei WE ein geeigneter Werteereih ist. In em Beispiel von A. 5.8 ist Entfernung: E ΙN eine Kntenmrkierung. In er grfishen Drstellung nnotieren wir ie Werte er Funktion n en Knten. A. 5.9 zeigt weitere Anwenungen von Knoten- un Kntenmrkierungen in einem Kntorowitsh-Bum: Die Knoten sin mit Symolen mrkiert, ie ie Opertoren un Vrilen ngeen. Die Mrkierung er Knten legt eine Reihenfolge er Knten fest.

9 5. Wegeproleme * Ailung 5.9: Beispiel für Knoten- un Kntenmrkierungen Mit einer Kntenmrkierung knn mn uh usrüken, ss es zwishen zwei Knoten mehr ls eine Knte git. Die Mrkierungsfunktion git nn n, für wie viele Verinungen ie eine Knte es Grphen steht. 1 Ailung 5.10: Multigrph mit Mehrfhknten Definition 5.6: Multigrph 1 Sei G = (V, E) ein gerihteter oer ungerihteter Grph un m: E ΙΝ eine Kntenmrkierung, ie ngit, ss ie Knte (u, v) E ggf. mehrere m(u, r) = n Knten repräsentiert. Wir nennen G mit m nn einen Multigrph. Die Definition er Knotengre wir uf Multigrphen üertrgen unter Berüksihtigung er urh m ngegeenen Vielfhheit er Knten. A zeigt einen Multigrphen, links mit Ange er Kntenfunktion m. Rehts ist stttessen ie oppelte Knte zweiml gezeihnet. D iese Grphik nshuliher ist ls ie Ange er Vielfhheit für ie Kntenfunktion, verwenen wir sie meist zur Drstellung von Multigrphen. 5. Wegeproleme Die Knten eines Grphen ilen eine Reltion, ie ngit, welhe Knoten irekt verunen sin. Setzt mn ie Reltion trnsitiv fort, so erhält mn eine, ie ngit, o zwei Knoten ggf. üer mehrere Knten hinweg verunen sin. Viele Moellierungen geen en Knten eines Grphen eine räumlihe Beeutung: Zwei Ojekte sin z. B. urh eine Strße, Brüke oer Tür verunen. Die trnsitive Fortsetzung er Kntenreltion git

10 144 5 Moellierung mit Grphen nn n, o es einen Weg zwishen zwei Ojekten git. Viele Frgestellungen ei er Moellierung mit Grphen lssen sih uf ie Existenz von Wegen mit estimmten Eigenshften zurükführen. In iesem Ashnitt führen wir ie Grunegriffe zur Formulierung von Wegeprolemen ein un geen einige typishe Moellierungen n, ie iese Begriffe verwenen. Als einführenes Beispiel für Wegeproleme zeigen wir s so gennnte Königserger Brükenprolem: Der Shweizer Mthemtiker Leonhr Euler formulierte un löste es 1736 un gilt mit ls Begrüner er Grphentheorie. Zu seiner Zeit g es in er Stt Königserg sieen Brüken üer en Fluss Pregel, ie ie Ufer un zwei Inseln miteinner vernen. A skizziert ihren Verluf. Pregel Ailung 5.11: Skizze er Königserger Brüken um 1736 Euler formulierte zwei Frgen zu: ) Git es einen Weg, er jee er sieen Brüken genu einml üerquert un zum Ausgngspunkt zurükkehrt? ) Git es einen Weg, er jee er sieen Brüken genu einml üerquert? Die Moellierung er Aufge liegt nhe: Jees zusmmenhängene Geiet, s niht urh einen Flussrm geteilt wir, wir urh einen Knoten repräsentiert. In A sin s ie Ufer un un ie Inseln un. Die Brüken weren urh Knten moelliert. D un sowie un urh jeweils zwei Knten verunen weren, liegt ein Multigrph vor (A. 5.1). Mn könnte nun geneigt sein, ie oigen Frgen () un () zum Königserger Brükenprolem zu entworten, inem mn Wege mit iesen Eigenshften suht. Finet mn einen, lutet ie Antwort j, finet mn keinen un ht lle Möglihkeiten geprüft, so lutet ie Antwort nein. Euler ht jeoh ein eutlih einfheres Verfhren zur Prüfung ngegeen. Es knn ie Entsheiungen n en Knotengeren ermitteln: Bewegt sih jemn uf einem Runweg urh einen Grphen, nn kommt er n jeem Knoten genuso oft n, wie er von ort weggeht. D ieses in unserem Fll uf untershielihen Knten geshehen soll, muss er Gr jees Knotens gere sein, wenn es einen Runweg wie in () geforert geen soll. Bei er Berehnung es Knotengres weren gemäß

11 5. Wegeproleme 145 Definition 5.8 ie Mehrfhknten es Multigrphen entsprehen ihrer Anzhl gezählt. Die Knoten es Multigrphen in A hen ie Gre : 3, : 5, : 3, : 3 Deshl knn es en gesuhten Runweg niht geen. Ailung 5.1: Multigrph moelliert ie Königserger Brüken Für ie Anwort uf Frge () ruhen wir nur noh zu untersuhen, o es einen solhen Weg git, er niht zum Ausgngspunkt zurükführt. Nh er gleihen Üerlegung wie oen würe mn en Ausgngspunkt einml öfter verlssen, ls mn ort nkommt, un m Enpunkt einml öfter nkommen, ls mn ihn verlssen ht. Solh einen Weg git es genu nn, wenn er Gr zweier Knoten ungere un er ller ürigen Knoten gere ist (siehe Stz 5.1 m Ene ieses Ashnittes). Ds trifft uf s Königserger Brükenmoell niht zu. Deshl git es ort uh solh einen Weg () niht. Dies ist wieer ein Beispiel, wo mn sehr einfh ie Existenz einer Lösung erkennen knn, ohne nh Lösungsinstnzen,. h. Wegen urh en Grphen, suhen zu müssen. Wir führen nun Grunegriffe ein, um Wegeproleme forml zu eshreien un zu lösen. Definition 5.7: Weg Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph. Eine Folge von Knoten (v 0,v 1,..., v n ) mit {v i, v i+1 } E für 0 i n -1 un n 0 heißt ein Weg von v 0 nh v n. Er ht ie Länge n. Entsprehen sin Wege in gerihtete Grphen mit en Knten (v i, v i+1 ) E efiniert. Die Länge eines Weges git lso gere n, wie viele Knten uf em Weg pssiert weren. Dei können einige Knten uh mehrfh vorkommen. Definition 5.7 lässt uh Wege er Länge 0 zu, mit eim Umgng mit em Wege-Begriff unnötige Sonerfälle vermieen weren. A zeigt einige Wege in einem ungerihteten un einem gerihteten Grphen.

12 146 5 Moellierung mit Grphen (,, ) Länge (, ) 1 (,,, ) 3 (,,,,, ) () 5 0 e f (e, h, g) (e, h, g, e) 3 (e) 0 g h Ailung 5.13: Wege in Grphen Definition 5.8: Kreis un Zyklus Ein Weg (v 0, v 1,..., v n ) mit n 1 un v 0 = v n,, essen Knten lle prweise vershieen sin, heißt Kreis im ungerihteten Grphen un Zyklus im gerihteten Grphen. Kreise un Zyklen sin lso geshlossene Wege, eren Knten niht mehrfh vorkommen. Von en in A ngegeenen Wegen ist (,,, ) ein Kreis un (e, h, g, e) ein Zyklus. Die Wege (), (,, ) un (,,,,,, ) erfüllen ie Beingung für Kreise jeoh niht. Einige Moellierungen unterlegen gerihteten Grphen eine Beeutung, ie ie Existenz von Zyklen usshließt, z. B. Ahängigkeiten von Aktionen. Diese Eigenshft wir in folgener Definition ennnt. Definition 5.9: Azyklisher Grph Ein gerihteter Grph, er keinen Zyklus enthält, heißt zyklisher Grph (engl. irete yli grph, DAG). Mnhe Grphen estehen us Teilgrphen, ie niht miteinner urh Knten verunen sin oer mit Knten, ie nur in eine Rihtung verlufen. A zeigt Beispiele für solhe Grphen. Dnn git es ntürlih keine Wege zwishen en Knoten ieser Teilgrphen. Dieser Zusmmenhng von Grphen ist eine wihtige Eigenshft für Wegeun Verinungsproleme, für ie Zerlegung von Grphen sowie für viele Algorithmen uf Grphen.

13 5. Wegeproleme 147 Definition 5.10: Zusmmenhng Ein ungerihteter Grph G = (V, E) heißt zusmmenhängen, wenn es für elieige Knoten v, w V einen Weg von v nh w git. Ein gerihteter Grph G = (V, E) heißt unter erselen Beingung strk zusmmenhängen. G 3 e f g h i G 4 e m j k n Ailung 5.14: Zwei niht-zusmmenhängene Grphen Die Grphen in A erfüllen eie ie Beingung us Definition 5.10; eie Grphen in A erfüllen sie niht. Mn ehte, ss uh ein Grph G = ( {}, ) ie Beingung erfüllt, enn für v = w = gilt () ist ein Weg von nh. Insesonere für systemtishe Zerlegungen von Grphen enötigt mn folgenen Begriff. Definition 5.11: Zusmmenhngskomponente Ein Teilgrph G = (V, E ) es ungerihteten zw. gerihteten Grphen G = (V, E) heißt Zusmmenhngskomponente zw. strke Zusmmenhngskomponente, wenn folgene Beingungen eie gelten: ) G ist zusmmenhängen zw. strk zusmmenhängen. ) G ht keinen neren Teilgrphen G, er zusmmenhängen zw. strk zusmmenhängen ist un G ls Teilgrph enthält. Mn ehte, ss in Definition 5.11 ie Beingung () für sorgt, ss Zusmmenhngskomponenten mximle (strk) zusmmenhängene Teilgrphen sin. In A ht G 3 zwei Zusmmenhngskomponenten. Sie weren urh {,,, } un {e, f, g} inuziert. Der urh {,, } inuzierte Teilgrph ist zwr zusmmenhängen, er niht Zusmmenhngskomponente. G 4 ht uh zwei Zusmmenhngskomponenten. Sie weren urh {h, i, j, k} un {l, m, n} inuziert. Der urh {h, j, k} inuzierte Teilgrph ist zwr strk zusmmenhängen, er niht Zusmmenhngskomponente.

14 148 5 Moellierung mit Grphen Wir kommen nun uf s Königserger Brükenprolem vom Anfng es Ashnittes zurük un efinieren ie für hrkteristishen Eigenshften präzise. Definition 5.1: Euler-Weg, Euler-Kreis Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph ohne Shleifen. Dnn heißt ein Weg w Euler-Weg zw. ein Kreis k heißt Euler-Kreis, wenn w zw. k jee Knte us E genu einml enthält. Beispiele für einen Euler-Weg un einen Euler-Kreis sin in A ngegeen. Die Entsheiung üer ie Existenz solher Wege könnten wir ls Stz formulieren: Stz 5.1: Existenz von Euler-Wegen un Euler-Kreisen Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph ohne Shleifen. ) G ht einen Euler-Kreis genu nn, wenn lle Knoten geren Gr hen. ) G ht einen Euler-Weg, er kein Kreis ist, genu nn, wenn genu zwei Knoten ungeren Gr hen. (,,,,, ) (,,,, ) Ailung 5.15: Grphen mit Euler-Weg un Euler-Kreis Der Beweis es Stzes ist reht einfh un nshulih: Wir eginnen mit (): Sei w = (v 0, v 1,..., v n ) ein Euler-Kreis. Bilen wir rus eine Menge gerihteter Knten {(v 0, v 1 ),..., (v n 1, v n ), nn kommt jeer von w erührte Knoten rin genuso oft n erster wie n zweiter Position er Pre vor. D w lle Knten us E genu einml erührt, hen lle Knoten us w geren Gr. D G zusmmenhängen ist, erührt W lle Knoten us V. Für ie Gegenrihtung es Beweises nehmen wir n, ss lle Knoten einen geren Gr hen. Ausgehen von einem elieigen Knoten konstruieren wir einen Euler-Kreis: Wir fügen eine noh niht enutzte Knte in en isher konstruierten Weg ein. Solnge er Euler-Kreis noh niht vollstänig ist, git es eine solhe Knte: Denn er isher letzte Knoten uf em Weg wure uf em Weg n-ml erreiht un (n 1)-ml verlssen. D sein Gr gere ist, git es noh eine Knte, mit er wir en Weg verlängern können. D er Grph zusmmenhängen ist, enet s Verfhren erst, wenn er Kreis geshlossen ist un lle Knten uf em Weg vorkommen. Den Beweis für Teil () führt mn entsprehen.

15 5. Wegeproleme Ailung 5.16: Wegeproleme mit Euler-Wegen Wir etrhten nun rei typishe Aufgen, eren Lösung uf em Prinzip er Euler- Kreise un -Wege eruht. 1. Knn mn ie Figur in A (1) in einem Zuge nhzeihnen? Ds ist möglih, wenn es einen Euler-Weg oer einen Euler-Kreis git. Wir ermitteln eshl ie Knotengre: Die eien unteren Knoten hen en Gr 3, er Knoten n er Spitze en Gr, ie eien zwishen en Gr 4. Also können wir Euler-Wege finen, eren Enknoten jeweils ie eien unteren Knoten sin. Euler-Kreise git es er niht.. Für eine Inselgruppe, ie us n 3 Inseln esteht, sollen Shiffsverinungen orgnisiert weren. Jee Insel soll mit jeer neren irekt verunen sein. Es steht nur ein einziges Shiff zur Verfügung, um iese Verinungen whrzunehmen. Knn es uf einer Tour lle Verinungen fhren? Für welhe n ist s möglih? A () zeigt ls Beispiel einen Grphen, er 3 Inseln moelliert, von enen jee mit jeer neren verunen ist. Alle Knoten ieses Grphen hen en Gr. Deshl git es einen Euler-Kreis, er hier gnz offensihtlih ist. Er knn ls Pln für ie Shiffsverinung verwenet weren. Mn knn leiht zeigen, ss in solhen Grphen mit elieiger Knotenzhl n 3 jeer Knoten en Gr n 1 ht. Deshl git es Euler- Kreise genu nn, wenn ie Knotenzhl ungere ist.

16 150 5 Moellierung mit Grphen 3. Ein Gruselkinett für en Jhrmrkt soll geplnt weren: Ds ist ein Hus, s n 1 Räume ht, eine Eingngstür un eine Ausgngstür sowie elieig viele Türen jeweils in er Wn zwishen zwei Räumen. Die Türen weren so mnipuliert, ss sie zum Entsetzen er Besuher engültig verriegeln, sol jemn urhgegngen ist. Jeer Besuher wir einzeln in s Hus geshikt. Die Türen sollen so ngeornet weren, ss sih er Besuher niht einsperren knn. Erst wenn er erleihtert s Hus verlssen ht, weren lle Türen für en nähsten Besuher wieer freigegeen. A (3) zeigt ein Beispiel für solh ein Hus. Wir moellieren ie Aufge mit einem ungerihteten Grphen. Jeer Rum sowie er Eingngsereih (E) un er Ausgngsereih (A) weren urh einen Knoten repräsentiert, jee Tür zwishen zwei Räumen urh eine Knte zwishen en entsprehenen Knoten. Im Allgemeinen entsteht uf iese Weise ein Multigrph. Wir untersuhen ihn, o er einen Euler-Weg von E nh A ht. Ds ist er Fll, wenn er Gr er Knoten E un A ungere un er ller ürigen Knoten gere ist. Dnn knn eine Person uf em Euler-Weg von E nh A gehen un ei jee Tür genu einml pssieren. Immer, wenn sie in einen Rum gelngt, steht noh minestens 1 Tür offen, urh ie sie ihn wieer verlssen knn. Mn knn lso niht eingesperrt weren. Eventuell könnte er Besuher en Weg kürzen, inem er en Ausgng enutzt, evor er lle Türen pssiert ht. Moellierungen von Räumen mit Verinungstüren, wie im Beispiel 3, kommen häufig un in untershielihen Kontexten vor. Es knn ssele Prinzip ngewnt weren: Knoten repräsentieren Räume, Knten repräsentieren Türen. Wenn zwei Räume urh mehr ls eine Tür irekt verunen sin, ist s Moell ein Multigrph. Währen ie Euler-Kreise un -Wege urh einmliges Vorkommen von Knten hrkterisiert sin, efinieren wir nun Hmilton-Kreise so, ss ie Knoten es Grphen genu einml vorkommen. Definition 5.13: Hmilton-Kreis un -Weg Ein Weg w = (v 0, v 1,..., v n ) in einem Grphen G = (V, E) heißt Hmilton-Weg, wenn jeer Knoten us V in w genu einml vorkommt. w heißt Hmilton- Kreis, wenn w ein Kreis ist un jeer Knoten us V in v 0, v 1,..., v n-1 genu einml vorkommt. Zu entsheien, o ein Grph einen Hmilton-Kreis enthält, ist um Größenornungen shwieriger, ls ie Frge für Euler-Kreise zu entsheien: Für Hmilton-Kreise ist s Entsheiungsprolem NP-vollstänig,. h. ein effizientes Verfhren ist niht eknnt; für Euler-Kreise knn mn ie Entsheiung urh Untersuhen er Knotengre mit linerem Aufwn fällen. Der Grph G 1 in A ht Hmilton-Kreise, z. B. (,, e,,, ).

17 5. Wegeproleme 151 G 1 G Ailung 5.17: Hmilton-Kreise in Grphen e e Der Grph G ht keine Hmilton-Kreise, er einen Hmilton-Weg. Wir können ies für iesen speziellen Grphen nhweisen: Nehmen wir n, G hätte einen Hmilton-Kreis w. Weil,, uf w liegen müssen un lle en Gr hen, müssen eie Knten, ie jeweils zu, e un führen, uf w liegen. Also liegen {, }, {, } un {, } uf w. Es ist er niht möglih, ss ein Hmilton-Kreis mehr ls zwei Knten enthält, ie mit emselen Knoten verunen sin. Also ist w kein Hmilton-Kreis. Auh Hmilton-Kreise weren zur Moellierung vieler Aufgen verwenet. Die eknnteste Aufge, ie mit Hmilton-Kreisen moelliert wir, ist ie es Hnlungsreisenen (engl.: Trvelling Slesmn s Prolem): n Stäte sin mit Strßen estimmter Länge verunen. Gesuht ist eine kürzeste Runreise urh lle Stäte. Für iese Aufge wir eine Kntenmrkierung eingeführt, ie ie Länge er Strßenverinungen moelliert. Diese Angen können uh verllgemeinert weren zu einem Mß für ie Kosten, ie entstehen, wenn mn iese Knte in einen Weg ufnimmt. Durh wir ie Aufge zu einer Optimierungsufge: Es wir ein Hmilton-Kreis gesuht, er ezüglih ieser Kosten miniml ist. In A ist ein Grph mit einer Kntenmrkierung ngegeen. Ein minimler Hmilton-Kreis rin ist (,,,, ) mit en Kosten 157. Als zweites Beispiel etrhten wir folgene Aufge: In einem Prllelrehner seien ie Prozessoren ls n n-gitter verunen. A zeigt ies für n = 4. Eine Botshft soll von einem Prozessor zu einem neren weitergegeen weren, jeen Prozessor erreihen un shließlih zum Inititor zurükkehren. Für welhe n ist s möglih? Es wir lso nh er Existenz eines Hmilton-Kreises gefrgt Ailung 5.18: Minimler Hmilton-Kreis

18 15 5 Moellierung mit Grphen Ailung 5.19: Hmilton-Kreis im Gitter Für iese spezielle Klsse von Grphen (Gitter), können wir ie Frge mit einfhen Üerlegungen entworten. Wir stellen uns vor, ie Knoten es Gitters seien wehseln shwrz un weiß gefärt, soss zwei Knoten, ie verunen sin, untershielihe Fren hen. Dnn weren wir uf jeem Weg urh en Grphen ie Fren lternieren. Ein Hmilton-Kreis muss her eenso viele shwrze wie weiße Knoten erühren. Ds ist genu nn möglih, wenn ie Anzhl er Knoten n n un mit uh ie Kntenlänge n es Gitters gere ist. 5.3 Verinungsproleme Wir wenen uns nun einer weiteren Klsse von Aufgen zu, ie uh mit ungerihteten Grphen moelliert weren. Währen wir zur Beshreiung von Wegeprolemen Wege mit estimmten Eigenshften gesuht hen, interessieren uns ei Verinungsprolemen ie Existenz von Verinungen (Wegen) zwishen Knoten un ie Erreihrkeit von Knoten. Ds eeutet, ss er Zusmmenhng von Grphen uh für iese Aufgenklsse eine zentrle Eigenshft ist. Häufig möhte mn uh ie Verinungen in einem Moell so minimieren, ss ie Anzhl er Knten oer ihre Kosten möglihst klein sin. Für ie Moellierung von Verinungen sin ie folgenen Begriffe grunlegen: Definition 5.14: Ungerihteter Bum Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph. Wenn G keine Kreise enthält, ist es ein ungerihteter Bum. Alle Knoten in V, ie en Gr 1 hen, nennen wir nn Blätter es Bumes. A. 5.0 git rei Beispiele für ungerihtete Bäume n. Stz 5.: Anzhl von Knoten un Knten Für ie Anzhl von Knoten un Knten in einem ungerihteten Bum G = (V, E) gilt E = V 1.

19 5.3 Verinungsproleme 153 G 1 G G 3 Ailung 5.0: Ungerihtete Bäume Diesen Stz eweist mn inuktiv: Inuktionsnfng: Ein ungerihteter Grph, er nur einen Knoten un keinen Kreis ht, knn Definition 5.8 keine Knte hen,. h. V =1 un E =0. Also gilt E = V -1. Inuktionsshritt: Sei G = (V, E) ein ungerihteter Bum mit V = n 1. Wir ilen V = V {x} urh Zufügen eines neuen Knotens x. Wir verinen x mit einem elieigen Knoten y us V üer ie Knte {x, y}. Dnn ist E =E {{x, y}} un E = E +1, weil x ein neuer Knoten ist. Weil G ein Bum ist, ist uh G = (V, E ) zusmmenhängen un kreisfrei, lso ein Bum. Wegen E = V -1 gilt E +1= V +1-1, lso E = V -1 für en ungerihteten Bum G. Inuktionsshluss: Die Formel gilt lso für jeen ungerihteten Bum mit V 1. D ein ungerihteter Bum zusmmenhängen ist, git es einen Weg zwishen je zwei elieigen Knoten; er uh kreislos ist, sin je zwei elieige Knoten urh genu einen Weg verunen. Für eine gegeene Knotenmenge erzeugt eshl er ungerihtete Bum Zusmmenhng unter Aufwenung einer kleinstmöglihen Anzhl von Knten. Diese Eigenshft führt zum folgenen Begriff: Definition 5.15: Spnnum Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph un G = (V, E ) ein ungerihteter Bum, er Teilgrph von G ist, un V = V. Dnn ist G ein Spnnum von G. G 4 G 4 Ailung 5.1: Spnnäume zu G 4

20 154 5 Moellierung mit Grphen Geht mn vom Grphen G zu einem seiner Spnnäume üer, heißt s uh, ss mn ie Kntenmenge von G uf V 1 Knten verkleinert, ohne en Zusmmenhng er Knoten ufzugeen. In A. 5.1 weren zwei vershieene Spnnäume zu emselen Grphen G 4 ngegeen. Mit em Begriff es Spnnums wir lso ein ezüglih er Knten kostengünstiger Zusmmenhng moelliert. Mnhe Moellierungen eziehen ie Kosten uf ie Anzhl er Knten; nn ist jeer Spnnum gleih günstig. Anere streen ein Minimum ezüglih er Kntenmrkierungen n; nn weren unter en Spnnäumen günstigste gesuht. Für jee er eien Aufgenklssen geen wir ein Beispiel n: Ailung 5.: Gefängnis mit Türen Wege in ie Freiheit A. 5. zeigt en Grunriss eines mittellterlihen Gefängnisses. Die Gefngenen weren in verwinkelten Räumen gehlten, eren Verinungstüren vershlossen sin. Sie hen einen Geäuepln ergttert un plnen einen Mssenusruh. Dzu wollen sie gere so viele Türen sprengen, ss us jeem Rum ie Gefngenen entkommen können. Wir moellieren ie Aufge nh em Shem Räume mit Türen (siehe Ene es vorigen Ashnittes). Dei wir ie Umgeung es Gefängnisses ls ein Knoten repräsentiert. Wir enötigen einen Grph, er lle Knoten (Räume un Umgeung) enthält. Seine Knten repräsentieren gesprengte Türen. Sie sollen gere von jeem Rum einen einzigen Weg in ie Freiheit er Umgeung liefern. Ds heißt, wir suhen einen Spnnum zu em Grphen, er ie vershlossenen Türen repräsentiert. Die zweite Aufge ist er Orgnistion von Nhrihteniensten nhempfunen. A. 5.3 eshreit en ursprünglih hoh-geheimen Pln eines Agentenringes. Die Knoten A is H repräsentieren Agenten. Sie sollen lle irekt oer inirekt miteinner kommunizieren. Dfür stehen ie ls Knten ngegeenen irekten Verinungen zur Verfügung. Jee von ist mit einem Wert mrkiert, er s Risiko hrkterisieren soll, ss ie Verinung ufgeekt wir. Die Plner suhen für s Kommuniktionssystem ein Netz mit geringstmöglihem Risiko. Sie enötigen lso einen Spnnum es Grphen, so ss ie Summe er Kntenwerte miniml ist.

21 5.3 Verinungsproleme 155 A B 6 3 F 4 4 C G 8 H 3 D 5 6 E Ailung 5.3: Agentenverinungen mit Risikofktoren D er Zusmmenhng in Grphen für Verinungsproleme entsheien ist, wollen wir nun rei weitere Begriffe einführen, ie ie Beeutung estimmter Knoten un Knten für en Zusmmenhng hervorheen. Definition 5.16: Shnittknoten Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph. Dnn ist v V ein Shnittknoten in G, wenn er Teilgrph, er urh Entfernen von v us G entsteht, niht zusmmenhängen ist. Definition 5.17: Brükenknte Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph. Dnn ist e E eine Brükenknte, wenn er Teilgrph, er urh Entfernen von e us G entsteht, niht mehr zusmmenhängen ist. Definition 5.18: Orientierr Ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph G = (V, E) heißt orientierr, wenn mn für jee Knte e E eine Rihtung so festlegen knn, ss er entstehene gerihtete Gph strk zusmmenhängen ist. A. 5.4 zeigt einen Grphen mit einer Brükenknte un rei Shnittknoten. Entfernt mn ie Brükenknte oer einen er Shnittknoten, so zerfällt er Grph in zwei Zusmmenhngskomponenten. Es ist uh sofort klr, ss ieser Grph niht orientierr ist: Legt mn ie Orientierung er Brükenknte in er einen oer er neren Rihtung fest, so wir ein Teilgrph vom neren unerreihr. Diese Konsequenz gilt sogr in eien Rihtungen: Stz 5.3: Orientierrkeit Ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph ist genu nn orientierr, wenn er keine Brükenknte ht.

22 156 5 Moellierung mit Grphen Shnittknoten Brükenknte Ailung 5.4: Shnittknoten un Brükenknte Die Begriffe Brükenknte, Shnittknoten un Orientierrkeit können urh folgene Moellierung illustriert weren: In einer Stt sollen einzelne Strßen zur Reprtur gesperrt weren. Bleien nh einer Sperrung noh lle Plätze er Stt erreihr? Wir moellieren ie Plätze ls Knoten un ie Strßen ls Knten eines ungerihteten Grphen, er zusmmenhängen sein muss. Ein Beispiel ist er Grph in A Die Frge üersetzt mn nn in s Moell: Wir eine Strße gesperrt, ie urh eine Brükenknte repräsentiert wir, nn git es Teile es Grphen, ie von neren niht mehr erreihr sin. Wir vriieren nun ie Aufge etws: Im Zentrum einer Großstt sollen zur Huptverkehrszeit lle Strßen zu Einhnstrßen erklärt weren. Bleien nn lle Plätze von üerll her erreihr? Die Frge üersetzt mn nn in s Moell: Ist er Grph orientierr? Sie wir entwortet, inem mn feststellt, o er Grph Brükenknten ht. Eine letzte Vrinte: In einer Stt soll ein Pltz für eine Demonstrtion gesperrt weren. Ds Ornungsmt will en Antrg nur genehmigen, wenn währen er Demonstrtion lle neren Plätze von üerll her erreihr leien. Im Moell muss mn prüfen, o er Pltz urh einen Shnittknoten repräsentiert wir. 5.4 Moellierung mit Bäumen In iesem Ashnitt führen wir en Begriff es gerihteten Bumes ein. Solhe Bäume spielen eine esonere un wihtige Rolle in er Moellierung: Sie können vielfältige Arten von shrittweiser oer rekursiver Verfeinerung repräsentieren, z. B. ie hierrhishe Orgnistionsstruktur einer Firm, ie Glieerung eines komplexen Gerätes in seine Komponenten un eren Einzelteile oer ie Alterntiven, ie sih us einer Folge von Entsheiungen ergeen.

23 5.4 Moellierung mit Bäumen 157 Definition 5.19: Gerihteter Bum Ein gerihteter, zyklisher Grph G = (V, E) ist ein gerihteter Bum, wenn lle Knoten einen Eingngsgr von 1 oer 0 hen un es genu einen Knoten w mit Eingngsgr 0 git. w ist ie Wurzel von G.. G heißt uh gewurzelter Bum. e f e f e f Ailung 5.5: Ungerihteter un gerihteter Bum A. 5.5 zeigt in er Mitte einen gerihteten Bum. Seine Wurzel ist er Knoten. In münet keine Knte, in lle neren Knoten münet eine Knte. Wir liken noh einml zurük uf ungerihtete Bäume, ie im vorigen Ashnitt efiniert wuren. Drin git es zwishen je zwei elieigen Knoten genu einen Weg. In einem gerihteten Bum git es genu einen Weg von er Wurzel zu jeem neren Knoten. Mn knn us einem ungerihteten Bum einen gerihteten Bum mhen. Dzu estimmt mn einen elieigen Knoten ls Wurzel un orientiert nn ie Knten so, ss ie Wege von er Wurzel zu en ürigen Knoten führen. Wenn mn ieses Verfhren uf en linken Grphen in A. 5.5 nwenet un ls Wurzel estimmt, erhält mn en gerihteten Bum in er Mitte er Ailung. Hiermit ist klr, ss uh für gerihtete Bäume gilt E = V 1. Häufig wir eim Zeihnen eines gerihteten Bumes ie Kntenrihtung niht ngegeen. Wenn ie Wurzel eknnt ist, knn sie eineutig konstruiert weren. Der Wurzelknoten wir meist oen oer oen-links gezeihnet. Wir weren gerihtete Bäume nun meist so, ohne Ange er Kntenrihtung, zeihnen. In einem gerihteten Bum untersheien wir rei Arten von Knoten: ie Wurzel mit Eingngsgr 0, ie Blätter mit Ausgngsgr 0 un innere Knoten mit Eingngsgr 1 un Ausgngsgr > 0. Alterntiv zu Definition 5.19 können wir gerihtete Bäume uh inuktiv efinieren: Definition 5.0: Gerihteter Bum, Höhe Der Grph G 0 =({}, ) ist ein gerihteter Bum er Höhe 0. Seien G 1 =(V 1,E 1 ),..., G n =(V n,e n ) gerihtete Bäume, eren Knotennmen lle prweise vershieen sin. Die Knoten v i V i seien ie Wurzeln von G i. Der Bum G i he ie Höhe k i. w sei ein neuer Knoten. Dnn ist G = (V, E) ein gerihteter Bum mit er Wurzel w, V = {w} V 1 V... V n un E=E 1 E... E n {(w, v 1 ), (w, v ),..., (w, v n )}. Der Bum G ht ie Höhe h = mximum (h 1,..., h n )+1. Wir nennen ie G i uh Teiläume von G.

24 158 5 Moellierung mit Grphen Die Höhe eines Bumes ist uh gleih er Länge es längsten Weges von er Wurzel zu einem Bltt. Eine esonere Rolle in er Moellierung spielen Bäume, ie uf llen Eenen höhstens zwei Teiläume hen. Mit ihnen eshreit mn z. B. Ksken von J-nein-Entsheiungen oer Binär-Coierungen. Definition 5.1: Binärum Ein gerihteter Bum heißt Binärum, wenn seine Knoten einen Ausgngsgr von höhstens hen. Ein Binärum heißt vollstänig, wenn kein Knoten en Ausgngsgr 1 ht un ie Wege von er Wurzel zu jeem Bltt gleih lng sin. Höhe: Knoten: 7 Blätter 4 Ailung 5.6: Unvollstäniger un vollstäniger Binärum A. 5.6 zeigt einen unvollstänigen un einen vollstänigen Binärum.Es git einen wihtigen Zusmmenhng zwishen er Höhe, er Anzhl er Knoten un er Blätter eines vollstänigen Binärumes: Stz 5.4: Höhe vollstäniger Binäräume Ein vollstäniger Binärum er Höhe h ht h Blätter un h Knoten. Der Stz knn leiht inuktiv ewiesen weren: Inuktionsnfng: Ein vollstäniger Binärum er Höhe 0 ht nh Definition 5.0 einen Knoten, er ein Bltt ist. D.h. er ht h Blätter un h+1-1 Knoten. Inuktionsshritt: Seien G 1 =(V 1,E 1 ) un G =(V,E ) vollstänige Binäräume er Höhe h mit h Blättern un h+1 1 Knoten mit en Wurzeln w 1 un w. Dnn ist G=(V 1 V {w}, E 1 E {(w, w 1 ), (w, w 1 )}) ein vollstäniger Binärum. Er ht ie Höhe h+1 un ht h = h+1 Blätter un ( h+1 1)+1 = h+ 1 Knoten. Inuktionsshluss: Also gelten ie Formeln für lle h 0. Wir etrhten nun einige Moellierungen, ie typish sin für ie Anwenung von gerihteten Bäumen:

25 5.4 Moellierung mit Bäumen 159 In vielen Zusmmenhängen können Folgen von Entsheiungen urh einen gerihteten Bum moelliert weren, wir sprehen nn von einem Entsheiungsum. A. 5.7 zeigt einen Entsheiungsum zum Morse-Alphet. Mn knn ihn verwenen, um Melungen im Morse-Coe zu entshlüsseln. In iesem Coe wir jeer Buhste urh ein Folge von kurzen un lngen Signlen vershlüsselt. Mn entshlüsselt eine eingehene Melung, inem mn n er Wurzel es Bumes eginnt un ei einem kurzen Signl nh links, ei einem lngen nh rehts verzweigt. Eine längere Puse zeigt n, ss ein Buhste vollstänig üermittelt ist.. S I E U A T S T A U H Ailung 5.7: Entsheiungsum zum Morselphet V F Ü In jeem Entsheiungsum moellieren ie Knoten einen Zwishenstn ei er Entsheiungsfinung. Sie können entsprehen mrkiert sein, z. B. mit em oierten Buhsten im Bum zum Morse-Coe. Die Knten, ie von einem Knoten usgehen, moellieren ie Alterntiven, us enen in iesem Zustn eine usgewählt weren knn. Ds ist im Morse-Coe ein kurzes oer lnges Signl, s ls Kntenmrke ngegeen wir /3 1/3 1/3 1/3 /3 1/4 3/4 1 Ailung 5.8: Whrsheinlihkeiten im Entsheiungsum Wir können mit einem Entsheiungsum uh sehr nshulih zusmmengesetzte Whrsheinlihkeiten moellieren: A. 5.8 zeigt rei Behälter mit einigen shwrzen un weißen Kugeln. Es wure nun erst ein Behälter usgewählt un nn rus eine Kugel gezogen. Die Kntenmrken es Bumes geen n, mit welher Whrsheinlihkeit

26 160 5 Moellierung mit Grphen ie zugehörige Entsheiung getroffen wir. Multipliziert mn ie Whrsheinlihkeiten uf em Wege von er Wurzel zu einem Bltt, nn erhält mn en Whrsheinlihkeitswert für ie Entsheiungsfolge, ie s Bltt repräsentiert. So zeigt er Bum, ss mit er Whrsheinlihkeit /9 eine weiße Kugel us Behälter 1 gezogen wir. Aieren wir ie Whrsheinlihkeiten ller Wege zu weißen Blättern, erhlten wir ie Whrsheinlihkeit, ss eine weiße Kugel us irgeneinem Behälter gezogen wir: /9 + 3/1 = 17/ Ailung 5.9: Lösungsrum zum Hnlungsreisenen-Prolem von A Ds ritte Beispiel (A. 5.9) moelliert en Lösungsrum eines komintorishen Prolems. Ein Bum spnnt lle potenziellen Lösungen einer Aufge uf; sie weren urh ie Blätter hrkterisiert. Der Weg zu einem Bltt eshreit ie Folge er Entsheiungen, ie getroffen weren, um iese Lösung zu erhlten. Diese Ailung stellt en Lösungsrum zum Prolem es Hnlungsreisenen mit em Grphen us A r. Jeer Weg von er Wurzel es Bumes zu einem Bltt repräsentiert einen Runweg im Grphen er verunenen Stäte, er ei em Knoten eginnt, z. B. (,,,, ). Die Mrken n en Knten, ie von einem Bumknoten usgehen, geen n, wohin er Runweg fortgesetzt weren knn, ohne ein Ziel ein zweites Ml zu esuhen. Die Blätter sin mit en Kosten es Runweges mrkiert. Drn können wir lesen, ss es im Lösungsrum zwei Runwege mit minimlen Kosten 157 git: (,,,, ) un (,,,, ). Ntürlih kommen ie Runwege immer in symmetrishen Pren vor. Nh em gleihen Shem weren uh Zugfolgen in Spielen moelliert: Jeer Knoten es Entsheiungsumes moelliert einen Spielzustn. Die von ort usgehenen Knten geen n, welhe Möglihkeiten für en nähsten Zug estehen. Solhe Drstellungen weren z. B. in Shhprogrmmen verwenet, um ie Folgen er usstehenen Entsheiung zu nlysieren un zu ewerten. Gere ei er Moellierung von Spielläufen können mnhe Spielzustäne, ie uf untershielihen Wegen erreiht weren, im Sinne es Spieles enselen Zustn eshreien. Dnn könnte mn uh im Entsheiungsum ie zugehörigen Knoten ientifizieren. Dmit geht llerings ie Bum-Eigenshft verloren. Es entsteht nn ein llgemeiner, gerihteter Grph, er sogr Kreise enthlten knn. Sie moellieren, ss eine

27 5.4 Moellierung mit Bäumen 161 Folge von Spielzügen in einen Zustn es Spieles zurükführt, er früher shon einml urhlufen wure. Gerihtete Bäume weren uh zur Moellierung von Strukturen us gnz untershielihen Anwenungsgeieten mit untershielihen Beeutungen eingesetzt, z. B. Ojektäume, Typ- un Klssenhierrhien, Ausruksäume un Strukturäume. Gemeinsm ist iesen Moellen, ss ein Knoten einen strkten oer konkreten Gegenstn moelliert un mit en Knten Beziehungen wie esteht us, enthält oer wir spezilisiert zu rgestellt weren. Shon in Kpitel 3 hen wir ie Struktur von Termen urh Bäume rgestellt, wie z. B. in A Die Knoten repräsentieren Vrile, Konstnten un Opertoren, ie Knten verinen sie mit ihren Opernen. Formeln zw. Ausrüke können eenso rgestellt weren. Wir nennen ie Drstellungsform uh Kntorowitsh-Bum. Er eshreit, wie ein Term us Untertermen zw. ein Ausruk us Teilusrüken zusmmengesetzt ist. ( + ) * * + Ailung 5.30: Kntorowitsh-Bum für einen Term zw. Ausruk - * ( + ) - ( + ) - * + + * + Ailung 5.31: Ientifiktion gleiher Teiläume In A ist ein Ausruk rgestellt, in em er Teilusruk ( + ) zweiml uftritt. In em rehten Grphen ist iese Eigenshft urh repräsentiert, ss ie entsprehenen Knoten ientifiziert wuren: Die rehten Opernen es Sutrktions- un es Multipliktionsopertors führen uf enselen Teilgrphen. Hierurh wir er gerihtete Bum zu einem gerihteten, zyklishen Grphen. (Ntürlih müssen wir ie im Bum implizit ngenommene Kntenrihtung eiehlten.) Solh eine Trnsformtion wir

28 16 5 Moellierung mit Grphen z. B. von Üersetzern vorgenommen, um Coe zu erzeugen, er gleihe Teilusrüke nur einml uswertet. PC erpc Rehner Tsttur Monitor Mus errehner ietsttur ermonitor iemus Ailung 5.3: Klssen- un Ojektigrmm Auh Klssen- un Ojekthierrhien weren häufig urh gerihtete Bäume moelliert. So weren z. B. in Klssenigrmmen er UML-Nottion (Ashnitt 6.4) unter nerem Kompositionseziehungen moelliert. Die Knoten in einem Klssenigrmm, wie im linken Teil von A. 5.3, eshreien Klssen, ie Kompositionsknten geen n, us Ojekten welher Klssen ein Ojekt ieser Klsse estehen knn. Hier wir lso usgesgt, ss ein PC-Ojekt us einem Rehner-Ojekt, einem Tsttur-Ojekt, einem Monitor-Ojekt un einem Mus-Ojekt estehen knn. Der rehte Grph er A. 5.3 ist ein Ojekt-Bum. Er moelliert ein estimmtes PC-Ojekt, s us vier estimmten Ojekten esteht, ie jeweils Klssen ngehören, wie es s Klssenigrmm vorshreit. Solhe Ojektigrmme müssen konzeptionell Bäume sein. Denn ein estimmtes Ojekt knn niht gleihzeitig Teilojekt mehrerer vershieener Ojekte im engen Sinne einer esteht-us -Beziehung sein. Für ie Moellierungseene er Klssen gilt s ntürlih niht: Ein Klssenigrmm knn urhus moellieren, ss Ojekte einer Klsse mehrfh un n vershieenen Stellen in Ojektäumen vorkommen können. Klssenigrmme können uh Zyklen hen un urh Ojektstrukturen rekursiv eshreien, wie z. B. in A ie Binäräume, ie us einem Wert un is zu zwei Unteräumen estehen. Binärum Wert 0.. Ailung 5.33: Rekursive Definition im Klssenigrmm

29 5.4 Moellierung mit Bäumen 163 Als letztes Beispiel für ie Drstellung von Strukturen urh gerihtete Bäume etrhten wir Progrmme un strukturierte Texte oer Dten. Ihre Struktur knn urh eine kontextfreie Grmmtik forml efiniert weren. In Kpitel 7 führen wir kontextfreie Grmmtiken ls formlen Klkül ein. Hier zeigen wir im Vorgriff ruf nur, wie ort Bäume eingesetzt weren. Die Regeln einer kontextfreien Grmmtik eshreien z. B. für eine Progrmmiersprhe, us welhen Teilen ein Progrmmkonstrukt esteht. WhileSttement ::= Expression Sttement Assignment ::= Vrile Expression Sttement ::= Assignment Von en oigen Regeln eeutet z. B. ie erste Ein WhileSttement esteht us einem Expression, gefolgt von einem Sttement. Die esteht us -Reltion einer einzelnen Regel knn mn uh ls Bum rstellen. A zeigt ies für ie rei ngegeenen Regeln. WhileSttement Sttement Assignment Expression Sttement Assignment Vrile Expression Ailung 5.34: Bäume repräsentieren Regeln einer kontextfreien Grmmtik Die Regeln einer kontextfreien Grmmtik efinieren ie Struktur jees syntktish korrekten Progrmmes. Sie wir urh einen Strukturum rgestellt. In A hen wir einen Strukturum für eine while-shleife ngegeen, ie eine Zuweisung ls Rumpf ht. WhileSttement Expression Sttement... Assignment Vrile Expression while (i < 10) [i] = *i ; Ailung 5.35: Strukturum zu einer while-shleife

30 164 5 Moellierung mit Grphen Die Knoten es Strukturumes sin Symole er Grmmtik un repräsentieren hier Progrmmkonstrukte. Die Knten, ie jeweils von einem Knoten usgehen un zu Unteräumen führen, eshreien ie Anwenung einer Regel, wie ie Beispiele in A Der Bum stellt r, wie Progrmmkonstrukte us kleineren Konstrukten zusmmengesetzt sin. In en Grmmtikregeln un im Strukturum sin ie Symole weggelssen, ie für ie Struktur niht wihtig sin, z. B. while un ;. Deshl wir ie Grmmtik uh strkte Syntx gennnt, un er zugehörige Bum stellt ie strkte Struktur es Progrmms r. 5.5 Zuornungsproleme Zuornungsproleme erforern, ss Ojekte einner so zugeornet weren, ss estimmte Rneingungen erfüllt sin. Solhe Aufgen weren urh ungerihtete Grphen moelliert. Die folgenen Beispiele hrkterisieren untershielihe Vrinten ieses Aufgentyps: ) In einem Tennisverein sollen ie Vereinsmitglieer für ein Tunier zu Doppelprungen zusmmengestellt weren. Dei möhte mn nur efreunete Personen miteinner spielen lssen. ) Eine Gruppe untershielih usgeileter Piloten soll so uf Flugzeuge verteilt weren, ss jeer sein Flugzeug fliegen knn. ) Die Gäste einer Prty sollen so n Tishen pltziert weren, ss Personen, ie sih niht usstehen können, n vershieenen Tishen sitzen. In jeem er rei Beispiele weren ie Rneingungen urh eine zweistellige Reltion üer en Ojekten repräsentiert, ie einner zugeornet weren sollen: ) Zwei Personen sin miteinner efreunet. ) Ein Pilot knn ein estimmtes Flugzeug fliegen. ) Zwei Personen können sih niht usstehen. Diese Reltion wir urh einen ungerihteten Grphen moelliert. In en Beispielen () un () weren prweise Zuornungen gesuht, währen in er Aufge () ie Anzhl er Personen, ie n emselen Tish sitzen, zunähst niht vorgegeen ist. Ds Beispiel () untersheiet sih von () urh, ss es zwei untershielihe Arten von Ojekten git, Piloten un Flugzeuge, un ie Pre us jeweils einem jeer Art geilet weren. In llen rei Vrinten suht mn nh möglihst günstigen Lösungen: viele efreunete Doppelprungen, viele pssen emnnte Flugzeuge, wenige Tishe, uf ie ie Gäste verteilt weren müssen. Als Erstes etrhten wir ie Aufgenvrinte er prweisen Zuornungen (engl.: mthing). Die Beispiele () un () gehören ieser Vrinte n. Ein ungerihteter Grph G = (V, E) moelliert ie Rneingungen. Dei git V ie Menge er zuzuornenen

31 5.5 Zuornungsproleme 165 Ojekte n,. h. in Beispiel () ie Mitglieer es Tennisvereins. Jee Knte {, } E moelliert un pssen zueinner,. h. hier: un sin efreunet Ailung 5.36: Mthing im ungerihteten Grphen In A git ein solher Grph ie Freunshftseziehungen zwishen neun Vereinsmitglieern n. Als Lösung ieser Zuornungsufge suhen wir eine möglihst große Zhl von Knten us E, ie keine Knoten gemeinsm hen. Ds sin nn ie Doppelprungen. Wir efinieren für folgenen Begriff: Definition 5.: Mximle Menge unhängiger Knten Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph un M = (V, E ) ein Teilgrph von G, essen Kntenmenge E möglihst groß ist un essen Knoten lle höhstens en Gr 1 hen. M ist nn eine mximle Menge unhängiger Knten oer kurz ein Mthing. Die strk gezeihneten Knten in A sin ein solhes Mthing im gesmten Grph. In iesem Beispiel knn mn sehr leiht zeigen, ss er Grph us iesen Knten ie Beingungen us Definition 5. erfüllt: Es ist ein Teilgrph mit llen Knoten; Knoten 8 ht en Gr 0, lle neren en Gr 1. Bei insgesmt 9 Knoten knn es höhstens 4 unhängige Knten geen. Die Aufgenklsse zum Beispiel () wir urh hrkterisiert, ss zwei vershieene Arten von Ojekten, Piloten un Flugzeuge, jeweils einner prweise zugeornet weren. Die zugehörigen Grphen nennt mn iprtit. Definition 5.3: Biprtiter Grph Ein Grph G = (V, E) heißt iprtit, wenn V in zwei isjunkte Teilmengen V=V 1 V zerlegt weren knn, soss jee Knte zwei Knoten us vershieenen Teilmengen verinet. A zeigt einen iprtiten Grphen mit V = {1, 3, 7, 5} {, 4, 6, 8, 9} un einem Mthing rin. In Aufge () würe nn ie eine er eien Mengen ie Piloten, ie nere ie Flugzeuge moellieren. Bei ieser Aufgenvrinte geht mn shon von iprtiten Grphen in er Aufgenstellung us; mn nennt sie uh Heirtsproleme. Wir geen weitere Beispiele für Pre von Ojektrten n, ie in solhen Zuornungsprolemen vorkommen: