Geometrie. Klassenstufe 8. Vierecke INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand 20. April 2008.

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1 Geometrie Klssenstufe 8 Viereke tei Nr Frierih ukel Stn 20. pril 2008 INTERNETILITHEK FÜR SHULMTHEMTIK

2 Inhlt 1 llgemeines zu Viereken 1 2 Konstruktion von Viereken 3 3 Spezielle Viereke Trpeze Prllelogrmme Rute, Rehtek, Qurt rhen Eigenshften von Vierekrten 25 4 hsensymmetrie ei Viereken (rthogonlsymmetrie Shrägsymmetrie (Seitenhlierenensymmetrie igonlsymmetrie) Gerenspiegelungen hsensymmetrishe Viereke Shrägspiegelung Shrägsymmetrishe Viereke Punktsymmetrishe Viereke Symmetrieeigenshften er Vierekrten 36 5 Wenn-nn-Sätze Ientifizierung von Prllelogrmmen Ientifizierung von Ruten / Rehteken Ientifizierung von Trpezen Ientifizierung von rhen 44

3 11211 Viereke 1 Neenstehene ilung zeigt, wie mn normlerweise ie ezeihnungen er Seiten (Kleinuhsten) un Winkel n en Ekpunkten usrihtet. ie eien igonlen e = un f = zerteilen s Vierek in jeweils zwei reieke. s Teilreiek wure eingefärt. ie igonlen shneien sih in einem 1. llgemeines zu Viereken δ e f ε 2 1 Punkt M unter vier Winkeln, von enen jeweils zwei gleih groß sin. Zwei Winkel wuren mit ε 1 un ε 2 ( Epsilon ) ezeihnet. M ε p Um Irrtümern vorzueugen: Normlerweise hlieren sih ie igonlen er vier Winkel es Viereks niht. Wir weren noh Sonerfälle kennenlernen, in enen ies er Fll ist. Es git Sonerfälle von Vierekformen: Hier ist ein üerstumpfer Winkel,. h. sein Winkelmß ist größer ls 180. ei mnhen Konstruktionen ergit sih ies ls zweite Lösung. Mn muss nn von er ufgenstellung her entsheien, o iese Lösung ruhr ist oer niht. ieses Vierek ist ein üershlgenes Vierek. ei ihm shneien sih sogr zwei Vierekseiten. Wir shließen es ls entrtetes Vierek immer us. Eine esonerheit ieses Viereks sin ie Winkel. zu mhen wir eine Wnerung entlng er Viereklinien un zwr im oersten il un hier im 3. il! δ Wir stellen uns in uf ie Linie un gehen uf zu. ei hlten wir en linken rm usgestrekt! In ngekommen rehen wir uns um en Winkel nh rehts, so ss er linke rm en zu gehörenen ogen (mit Pfeil!) eshreit. Nun wnern wir von nh un hlten wieerum en linken rm usgestrekt. In ngekommen rehen wir uns um nh rehts. s mht in er ilung 1 keine Proleme, in er ilung 3 gegen erkennt mn, ss jetzt er Winkel ußen liegt! Nun gehen wir von nh, rehen uns ort entsprehen un erleen enselen Effekt: ei unserem üershlgenen Vierek, liegt δ wieerum ußen! Grun genug lso, von ieser rt eines Viereks ie Finger zu lssen. Frierih ukel

4 11211 Viereke 2 ies git nlss, üer ie Winkel eines Viereks nhzuenken: Winkel Eigenshft ller normlen Viereke: ie Winkelsumme in einem niht üershlgenen Vierek eträgt 360. ies zu eweisen ist gnz einfh un sollte mn mit einer großen Shnur im Klssenzimmer oer Wohnzimmer einml nhvollziehen. zu enötigt mn vier Personen, welhe eine etw 6 m lnge, zu einem Ring zusmmengeknotete Shnur n vier Stellen,, un hlten. Eine fünfte Person (unser Winkelmesser WM) muss innerhl ieses Viereks en gnzen Umfng lufen un ei trikreih ie Winkel messen ohne einen Winkelmesser zu verwenen: ie Figur stellt unsere Person WM r, ie innen entlng er Seiten um s Vierek wnert. er gele Kopf git niht ie Gehrihtung n, sonern ie Rihtung in er iese Person likt. Un s Fähnhen ist ie usgestrekte linke Hn. (Wir shuen von oen uf s Geshehen.) ei unserem eweis geht WM von nh, lik nh. ort reht er sih so, ss er linke rm en Winkel eshreit. Jetzt reht er WM em Punkt en Rüken zu, lso muss er rükwärts von nh wnern. In reht er sih wieerum im Uhrzeigersinn um en Winkel. Jetzt shut er in Rihtung un geht vorwärts nh. ort reht er sih im Uhrzeigersinn um en Winkel δ, woruf er en Rüken zukehrt. Nun mrshiert WM rükwärts nh. ort reht er sih shließlih um un er ht seine usgngsposition erreiht. Wir hlten fest: WM ht sih ei seiner Wnerung insgesmt um 360 ie Summe er rehungen ht lso 360 ergeen! Zustz: Winkelsumme im reiek δ gereht. ie Wirkung ieses eweises wir um so ugefälliger, wenn mn ies n einem reiek versuht. Nh einer Umkreisung lnet WM ort uf in umgekehrter Position,.h. er ht sih im reiek um 180 gereht! Mn knn mit Shülern eine lnge Shnur verknoten un nn ein Fünfek oer Sehsek spnnen un uf iese Weise usmessen lssen! Ziel Strt Frierih ukel

5 11211 Viereke 3 2. Konstruktion von Viereken eenkt mn ie Ttshe, ss mn ein Vierek urh eine igonle in zwei reieke zerlegen knn, un mn für ein reiek in er Regel rei Stüke kennen muss (um s gnze reiek zu konstruieren), nn muss mn noh zwei Seiten zusätzlih kennen um ein komplettes Vierek zu hen: Ein Vierek konstruiert mn lso in er Regel us 5 gegeenen Teilen. Grunregeln einer Konstruktion Regel Nr. 1: Erstelle eine Plnfigur. In sie trägt mn mit (grüner) Fre lles ein, ws gegeen ist. Sie hilft eim Finen er Konstruktionsshritte. Regel Nr. 2: Regel Nr. 3: Erstelle ie Konstruktionszeihnung. Shreie einen kurzen un oh präzisen Konstruktionstext. eispiel 1: Gegeen sin = 6 m, = 75, = 3,5 m, = 3,1 m un = 2,7 m. Konstruktion: Plnfigur: 1 2 Konstruktionstext: (Vorshlg) (1) Zeihne =. (2) Lege n in en Winkel n. (3) Trge uf em freien Shenkel von =. (4) er Kreis um mit Rius un er Kreis um mit Rius shneien sih in 1 un 2. Ergenis: Es git zwei Viereke, ie en nforerungen entsprehen, 2 ist üerstumpf. Frierih ukel

6 11211 Viereke 4 eispiel 2: Gegeen sin (jetzt mit 2 Winkeln) = 5,4 m, = 90, = 85, e = 6,0 m un = 5,7 m. Konstruktion: Plnfigur: e Konstruktionstext: (Vorshlg) e (1) Zeihne =. (2) Lege n in en Winkel un in en Winkel n. (3) er Kreis um mit Rius e shneiet en freien Shenkel von in. (4) er Kreis um mit Rius shneiet en freien Shenkel von in. Ergenis: Es git genu ein Vierek, s en nforerungen entspriht:. eispiel 3: Gegeen sin (jetzt mit 3 Winkeln) = 5,4 m, = 90, = 75, = 85 un = 3,3 m. Konstruktion: Plnfigur: Konstruktionstext: (Vorshlg) ' ' (1) Zeihne =. (2) Lege n in en Winkel un in en Winkel n. (3) Lege in einem elieigen Punkt uf em freien Shenkel von en Winkel n un trge uf essen freiem Shenkel =. (4) ie Prllele zu urh shneiet en freien Shenkel von in. (5) ie Prllele zu urh shneiet ie Hlgere ( ) in. Ergenis: Es git genu ein Vierek, s en nforerungen entspriht:. Frierih ukel

7 11211 Viereke 5 Zu eispiel 3: Hier weiß mn zuerst niht, wo mn en Winkel nlegen soll, enn es git zunähst keine Möglihkeit, zu konstruieren: Mn kennt weer noh e, so ss ie eien Möglihkeiten, ie mn in eispiel 1 un 2 htte, niht nwenr sin. her reitet mn mit er Prllelenmethoe: Mn wählt einen elieigen Punkt uf em freien Shenkel von un legt ort en Winkel n, so ss mn uf seinem freien Shenkel ie vorläufige Streke trgen knn. eren Enpunkt nennt mn. Es knn noh niht er rihtige Enpunkt sein, weil ieser uf em freien Shenkel von liegen muss. her zeihnet mn jetzt eine Prllele zu urh. iese shneiet en freien Shenkel von in. ss ies nun ist, erkennt mn rn, ss jetzt lle eingungen erfüllt sin: er Winkel in ht ie Größe von (Stufenwinkel n Prllelen sin gleih groß), un ht ie Länge von. eispiel 4: Gegeen sin (jetzt mit 3 Winkeln) = 4,0 m, = 66, = 81, δ = 100 un f = 5,0 m. Üerlegung zur Konstruktion: Plnfigur: δ Wenn mn iese ufge Shülern f ohne Hilfe üergit, finen ie meisten keine Konstruktion. Mn knn zwr mit er Seite = eginnen un ort nlegen, oh mn kennt niht ie Länge von un mn kennt vor llem niht en Winkel, er äußerst hilfreih wäre. Shüler, ie einsetzen wollen, kommen nn uf ie Iee, iesen Winkel erehnen zu wollen, enn ie Winkelsumme im Vierek eträgt 360 o, kennt mn rei Winkel, knn mn en vierten lso wie hier erehnen. oh es ht sih eingeürgert, ss mn ei Konstruktionen gewisse Spielregeln einhält un zu gehört, ss mn nihts verwenen soll, ws mn erehnet ht. oh ws hier uf lgerishe rt veroten ist, nämlih einen Winkel zu erehnen, lässt sih geometrish ewerkstelligen. Mn knn konstruieren, un zwr ls Restwinkel uf 360. KNSTRUKTIN EINES FEHLENEN WINKELS IM VIEREK: Rest uf Shwer Frierih ukel