Bewegungsgleichung einer gleichförmig beschleunigten Rakete (1)

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1 Autor: Wlter islin on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 ewegungsgleihung einer gleihförmig beshleunigten Rkete () Dienstg, 6. Juni - :4 Autor: wbis hemen: Wissen, Physik, osmologie Ds Lösen der reltiistishen ewegungsgleihung einer gleihförmig beshleunigten Rkete hbe ih uf drei Seiten ufgeteilt: eil : Lösen der Differentilgleihung eil : usmmenhng on eshleunigung, Streke und eiten eil 3: Längenkontrktion und Rumzeit-Interll Auf dieser Seite geht es um ds Lösen der Differentilgleihung und ds erehnen der Geshwindigkeit ls unktion der Erdzeit. () dp = = m d du d ewegungsgleihung der speziellen Reltiitätstheorie wobei = Viererkrft p u m = Viererimpuls = Vierergeshwindigkeit = Eigenzeit des bewegten Systems = onstnte Msse des Objektes Vereinfhung der erehnungen ür die erehnungen gelten folgende Vorgben und Vereinfhungen: Alle Grittionskräfte werden ignoriert Drus folgt, dss die Rumzeit, durh welhe die Rkete fliegt, niht gekrümmt ist. Solnge sih die Rkete niht in der Nähe eines Himmelskörpers befindet, knn die Rumzeitkrümmung ernhlässigt werden und ih knn die ewegungsgleihung der speziellen Reltiitätstheorie nwenden. Die Msse m der Rkete sei konstnt Dies bewirkt, dss die Msse niht on der eit bhängt und somit die Integrle niht unnötig kompliziert werden. eshleunigung im oordintensystem der Rkete sei konstnt Dies ergibt einfhe Integrle, die lgebrish gelöst werden können. Die Rkete bewege sih nur entlng der X-Ahse des ruhenden Systems Dies reduziert ds Problem on drei uf eine Rumdimension plus eine eitdimension.

2 Autor: Wlter islin on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 Lorentz-rnsformtion Die eshleunigung der Rkete und die dfür benötigte Shubkrft sind nur im oordintensystem S der Rkete konstnt. Um rft und eshleunigung ins ruhende System umzurehnen, muss ih die Lorentz-rnsformtion nwenden. Ih mhe b jetzt die Vereinfhung, dss es nur noh eine Rum-Dimension gibt: () ï = = =! ï! = ï! wobei = Viererkrft im ruhenden System = Viererkrft im Rketen-System = Lorentz-rnsformtion, die on bhängig ist = da= = eitkomponente der rft im Rketen-System (Leistung, A = Arbeit) = Rumkomponente der rft im Rketen-System = Die Rkete beshleunigende konstnte rft Wenn ih die Lorentz-rnsformtion nwende erhlte ih die rftkomponenten im ruhenden System: [] (3) = + = = (4) = + = = Die eitkomponente der rft entspriht der Leistung (Arbeit pro eit) und ht für meine erehnungen keine edeutung. Die X-omponente der rft knn ih jetzt in die reltiistishe ewegungsgleihung einsetzen. Die reltiistishe ewegungsgleihung lutet: (5) = m du d Mih interessiert nur die X-omponente, lso:

3 Autor: Wlter islin 3 on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 (6) = m du d = d = Links knn ih einsetzen und rehts knn ih durh ersetzen: (7) = m d u ) = m d u Auf jeder Seite konnte ih ein u = x = streihen. Lut ormel (5, Vierergeshwindigkeit) gilt:. Dies knn ih oben einsetzen und erhlte: Lösen der Differentilgleihung (8) = m d ( (t)) = m (t) (t) C A Um ds Differentil in (8) rehts zum Vershwinden zu bringen, integriere ih beide Seiten: (9) = m (t) (t) C A Linke Seite integrieren: () = [ t] = [ ] [ ] = Rehte Seite integrieren: () m (t) (t) C 6 A = 4 m (t) (t) = 4 m ( ) ( ) m () () D die Geshwindigkeit m Anfng Null ist gilt shliesslih: () = und ds rehte Integrl ist somit

4 Autor: Wlter islin 4 on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 () m (t) (t) C A = m ( ) ( ) Shliesslih knn ih die roten Resultte on () und () einnder wieder gleihsetzen: (3) = m ( ) ( ) Wenn ih in (3) die rft durh die eshleunigung usdrüke, knn ih die Msse m uf beiden Seiten streihen und ih hbe eine ormel, in der nur noh,, ( ) und orkommt: = m (4) m = m ) ) = ( ) ( ) ( ) (t) t Diese ormel knn ih nun nh uflösen (ih benne wieder in um) und erhlte shliesslih die Geshwindigkeit ls unktion der eit, womit ih die Lösung der ewegungsgleihung hbe. ruh nh links und linke Seite rehts in Nenner bringen: (5) s (t) (t) = t eide Seiten udrieren: (6) (t) = (t) t Alle erme mit (t) uf linke Seite, Rest uf rehte Seite: (7) (t) t + (t) = Linke Seite uf gleihen Nenner bringen und (t) usklmmern:

5 Autor: Wlter islin 5 on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 (8) (t) + (t) t = (t) t + t = t ruh uf rehte Seite bringen und etws umformen ( usklmmern): (9) (t) = t + t = ( t ) + ( t ) = t ( t ) + Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen (in unserem eispiel interessiert uns nur die positie Lösung): () (t) = t ( t ) + Geshwindigkeit ls unktion der eit = ür konstnte eshleunigung und Strtgeshwindigkeit erhlte ih: () (t) = t = ( ) + + (t) (t) wobei = Geshwindigkeit nh Abluf der Erdzeit t ür die Geshwindigkeit = konstnte eshleunigung in der Rkete = bisher ergngene eit uf der Erde = Lihtgeshwindigkeit s n der Position der Reise on der Erde us gemessen wird in der Rkete jeweils der selbe Wert wie uf der Erde gemessen. Die Uhren uf der Erde und in der Rkete zeigen n dieser Position jedoh ershiedene eiten n. Wir können die Geshwindigkeit uh in ezug zur Rketenzeit berehnen, wenn wir den usmmenhng zwishen t und erwenden (siehe Umrehnung Rketenzeit in Erdzeit): t () () = t() r t() +

6 Autor: Wlter islin 6 on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 mit t() = sinh () wobei = Geshwindigkeit gemessen nh Abluf der eit in der Rkete = konstnte eshleunigung in der Rkete = bisher ergngene eit in der Rkete = Lihtgeshwindigkeit etrhten wir die ormel () etws genuer. Mih interessiert insbesondere, wie sih die Geshwindigkeit ls unktion der eit erhält, wenn die Rkete noh iel lngsmer ls Lihtgeshwindigkeit fliegt und ob die Rkete nh dieser ormel die Lihtgeshwindigkeit jemls erreiht oder niht. Nihtreltiistisher Geshwindigkeitsbereih Von nihtreltiistisher Geshwindigkeit spriht mn, wenn eine Geshwindigkeit Lihtgeshwindigkeit ist. Mthemtish shreibt mn ds: iel kleiner ls sprih: ist iel kleiner ls Um heruszufinden, wie sih die ormel () erhält, wenn gilt, müssen wir shuen, ob es in der ormel erme gibt, die in diesem ll ernhlässigt werden können. In der ormel () kommt nh dem Gleihheitszeihen kein or, ds wir mit ergleihen könnten. Aber es gilt: = t und t kommt rehts om Gleihheitszeihen or. Wir shuen dher, wie sih die ormel erhält, wenn t ist. ür diese Abshätzung ist der linke eil der ormel () hilfreih: (3) (t) = t (t) + etrhten wir den ruh in der Wurzel. Wenn ist, zum eispiel sei, dnn gilt: t t = : (4) ( t) = (: ) = : = : Wir sehen, dss dieser ruh für kleine Geshwindigkeiten sehr iel kleiner ls wird und deshlb gegenüber der in der Wurzel ernhlässigt werden knn. Wir erhlten lso ls Grenzfll für kleine Geshwindigkeiten:

7 Autor: Wlter islin 7 on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 (5) t t (t) = p = t t (t) + Die resultierende ormel (t) = t ist genu die ormel nh Newtons heorie. Newtons ormel ist lso in der reltiistishen ormel ls Grenzfll für lngsme Geshwindigkeiten enthlten. Erst bei hohen Geshwindigkeiten kommen erme zum trgen, die eine Abweihung on Newtons Vorhersgen ergeben. Geshwindigkeitslimit Ws pssiert nun, wenn wir sehr, sehr lnge beshleunigen? Nh (5) könnten wir beliebige Geshwindigkeiten weit über der Lihtgeshwindigkeit erhlten, wenn wir nur lnge genug beshleunigen. Niht so jedoh bei der reltiistishen ormel (): ür die etrhtung, ws pssiert, wenn wie sehr, sehr lnge beshleunigen, ist der rehte eil der ormel () hilfreih: (6) (t) = + (t) t t Wenn wir sehr lnge beshleunigen bedeutet ds, dss bzw. sehr gross werden, im Extremfll gegen Unendlih streben. Dnn wird der erste ruh unter der Wurzel erhlten ls Grenzfll: = = und wir (7) (t) = = = t! + + = Wir bekommen lso ls Grenzfll für unendlihe lnge eshleunigung Lihtgeshwindigkeit. Diese knn lso nie gnz erreiht oder gr übershritten werden. Dies ist eine komplett ndere Vorhersge ls ds Resultt us Newtons heorie! ei Newton gibt es kein Limit für die Geshwindigkeit. Weitere Informtionen. Lorentz-rnsformtion; Wikipedi