Versuch 104. Der Doppler-Effekt Technische Universität Dortmund

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1 Versuh 104 Der Doppler-Effekt Thorben Linneweber Marel C. Strzys Tehnishe Universität Dortmund Zusammenfassung Protokoll zum Versuh zur Untersuhung des Dopplereffekts in der Akkustik. Inhaltsverzeihnis 1 Theorie 1 2 Aufbau und Durhführung Messung der Relativgeshwindigkeit zwishen Sender und Empfänger Messung der Shallgeshwindigkeit Messung der Frequenz Auswertung Einleitung Bestimmung der Geshwindigkeiten Bestimmung der Ruhefrequenz Bestimmung der Wellenlängen Bestimmung der Shallgeshwindigkeit Abshätzung der Differenz von Formel 2 und Bestimmung von ν 0 aus der Messung der Frequenzänderungen Vergleih der Ergebnisse aus 3.4 und 3.7 mit Hilfe eines Studentshen T-Testes Diskussion 14 5 Literatur 15 thorben.linneweber@tu-dortmund.de marel.strzys@web.de 1

2 1 THEORIE 1 1 Theorie Als Doppler-Effekt bezeihnet man die Änderung gemessener Frequenzen bei Wellen, während sih uelle und Beobahter relativ zueinander bewegen. Benötigt die Wellen ein Medium zur Ausbreitung, so muss die Bewegung der uelle und des Beobahters relativ zum Medium betrahtet werden, andernfalls reiht eine Betrahtungsweise der Bewegung relativ zueinander. In diesem Versuh soll der Dopplereffekt in der Akkustik untersuht werden. Durh einfahe Überlegungen lässt sih der Frequenzuntershied durh folgende Gleihung ausdrüken: ( ) + vb ν B = ν (1) v Hierbei bezeihnet ν B die Frequenz, die der Beobahter misst. ν entspriht der Senderfrequenz. Entsprehend bezeihnen v B und v die Geshwindigkeiten des Beobahters bzw. der uelle. ist die Shallgeshwindigkeit des Mediums in dem sih Beobahter und uelle befinden Ruht die uelle und der Beobahter bewegt sih, so gilt: ( ν B = ν v ) B Der Frequenzuntershied zum ruhenden Beobahter beträgt demnah: v B ν B = ν 0 (2) (3) Ruht der Beobahter und die uelle wird relativ zum Medium bewegt so gilt: ( ) 1 ν B = ν 0 1 v (4) 2 Aufbau und Durhführung Ziel dieses Versuhes ist es Gleihung 4 experimentell zu überprüfen. Der Versuh besteht aus drei Teilversuhen deren Aufbau und Durhführung im folgenden näher beshrieben werden soll. 2.1 Messung der Relativgeshwindigkeit zwishen Sender und Empfänger Der Versuhsaufbau ist in Abbildung 1 gezeigt. Um eine Aussage über die Frequenzänderung, die durh den bewegten Lautsprehers (dieser ist auf dem

3 2 AUFBAU UND DURCHFÜHRUNG Wagen an 2,4 V Signal: TOR AUF Zählwerk IR-Leuhtdioden S Fototransistoren Torstufe Signal: TOR ZU Untersetzer an 2,4 V Zeitbasisgenerator Abb.1: Versuhsaufbau zur Messung der Wagengeshwindigkeit Abbildung 1: Versuhsaufbau zur Bestimmung der Frequenzänderung. Der quarzgesteuerte Zeitbasisgenerator liefert mit hoher Präzision (10-5 ) elektrishe Impulse im Abstand von 1 µse. Er hat somit die Funktion einer Uhr. Die Versuhsan- Wagen ordnung installiert) muss nun so herbeigeführt aufgebaut werden, wird, dass treffen der zu Stromimpuls, können, muss der beim zunähst Einfahren die Geshwindigkeit des Wagens in die des Messstreke Wagens bestimmt entsteht, die werden. Torstufe Dies öffnet. geshieht Der zweite wieimpuls, folgt: der Der Wagen beim Durhlaufen fährt durh der zwei Lihtshranken Lihtshranken, am Ende der diemessstreke den Beginnerzeugt bzw. wird, das Ende muss die der Zeitmessung Torstufe wieder triggern. shließen, Dasodass Zeit und nur während Weg bekannt der Laufzeit sind, des kann Wagens die Geshwindigkeit Messstreke des Wagens s Zeitmarkenimpulse bestimmt werden. in das Zählwerk gelangen können. Die Distanz zwi- durh die Eine shen genaue beiden Lihtshranken Shaltskizze für wird die mit einem Messung Maßband ist ingemessen. Abbildung Ein Shema 2 zu sehen. des Durhläuft Versuhsaufbaus der ist Wagen in Abb.1 die wiedergegeben. Lihtshranke, so shaltet der nahgeshaltete Shmitt-Trigger kurzzeitig auf L-Potential. Dies führt dazu, dass der Ausgang b) Messung des Flip-Flops der Shallgeshwindigkeit von L auf H-Potential über die wehselt. Wellenlänge Derλ Ausgang bleibt nun Ein Lautspreher, solange auf der H-Potential, auf einem Präzisionsshlitten wie der Wagenmontiert sih zwishen ist (siehe Abb.2), beiden wird Lihtshranken einem frequenzstabilen befindet. Da Generator der Ausgang angesteuert. Der zusammen erzeugte Shall mit dem fällt auf Ausgang ein gegen- des von Untersetzers überstehendes an Mikrophon. einem UND-Gatter Die von ihm erzeugte anliegen Signalspannung zählt daswird Zählwerk verstärkt Impulse und auf vom die Y-Ablenkung Untersetzer eines undoszilloskopes der Zeitbasis, gegeben. solange Zur Bestimmung der Wagenvon sih λ vershiebt zwishenman den Lihtshranken befindet. nun den Lautspreher solange, bis jedesmal die vom Mikrophon erzeugte Spannung in Phase mit der Generatorspannung ist, was sih gut mit Hilfe von Lissajous-Figuren 2.2 Messung der Shallgeshwindigkeit (siehe V351) feststellen lässt. Diese kann man erzeugen, wenn man zusätzlih, wie in Abb.2 angedeutet, die Generatorspannung an die X-Ablenkung des Oszilloskopes legt. InAuf diesem einer am Abshnitt Shlitten soll angebrahten die Shallgeshwindigkeit Skala kann man mit bestimmt einer Auflösung werden. von Hierfür 10µm werden den Vershiebeweg uelle undablesen. Beobahter, Er entspriht also Lautspreher genau der Wellenlänge. und Mikrofon Aus der in Ruhefrequenz ν 0 und einem kleineren Abstand λ lässt sih zueinander dann errehnen. aufgebaut. Dieser Abstand lässt sih durh eine Vorrihtung ändern und die Abstandsänderung messen (siehe Abbildung 3). Shließt man nun das Signal des Senders an den X-Eingang und das Signal des Empfängers an den Y-Eingang eines Oszillographen, so können Lissajou-Figuren beobahtet werden. Bei Änderung des Abstandes entarten diese Figuren an bestimmten Position in eine Gerade. Die Abstände dieser Positionen entsprehen einer halben Wellenlänge. Über die Frequenz der uelle kann die Shallgeshwindigkeit berehnet werden.

4 2 AUFBAU UND DURCHFÜHRUNG 3 Shmitt-Trigger S R Shmitt-Trigger S Monostabile Kippstufe R And Zählwerk An Shmitt-Trigger Nand H-Pot Untersetzer Zeitbasis Untersetzer Abbildung 2: Shaltskizze zur Bestimmung der Wagengeshwindigkeit 120 ~ << << NF-Generator Oszillograph Präzisionsshlitten mit Skala Abb.2: Versuhsanordnung zur Messung der Shallgeshwindigkeit Abbildung 3: Präzisionsshlitten zur Bestimmung der Wellenlänge. ) Frequenzmessung Da die durh den Doppler-Effekt hervorgerufenen Frequenzänderungen bei den erreihbaren Translationsgeshwindigkeiten nur gering sind, muss die Frequenz mit hoher Präzision gemessen werden. Es kann daher in diesem Falle nur ein digitales Messgerät in Frage kommen. Seine Messgenauigkeit ist festgelegt durh die Konstanz des Zeitbasisgenerators aus 3a, die besser als 10-5 ist. Der prinzipielle Versuhsaufbau zur Frequenzmessung ist in Abb.3 skizziert: an 2,4 V IR-Leuhtdiode Impulsformer Lautspreher >> Tor auf Torstufe Tor zu Zählwerk

5 Shmitt-Trigger S R And Zählwerk Shmitt-Trigger 2 AUFBAU UND DURCHFÜHRUNG 4 Zeitbasis Untersetzer TTL Impulsformer Shmitt-Trigger S And Zählwerk R Zeitbasis Monostabile Kippstufe And Nand H-Pot Untersetzer Abbildung 4: Shaltskizze zur Bestimmung der Frequenz. 2.3 Messung der Frequenz Die Frequenz wird mit Hilfe des Aufbaus aus Abbildung 5 bestimmt. Der Wagen passiert die erste Lihtshranke und die Zählung der in Rehtekimpulse umgewandelten Signale des Empfängers beginnt und läuft eine voreingestellte Zeit. Durh manuelles Unterbrehen der Lihtshranke kann ebenso die Frequenz des (ruhenden) Senders bestimmt werden. Eine genaue Shaltskizze für die Messung ist in Abbildung 4 zu sehen. Durhläuft der Wagen die Lihtshranke, so shaltet der nahgeshaltete Shmitt-Trigger kurzzeitig auf L-Potential. Dies führt dazu, dass der Ausgang des Flip-Flops von L auf H-Potential wehselt. Dieses Potential liegt nun zusammen mit der Zeitbasis am UND-Gatter an. Damit bekommt der Untersetzer Impulse, kurz nahdem der Wagen die Lihtshranke durhfahren hat. Ist die voreingestellte Anzahl an Impulsen registriert, so shaltet die Monostabile Kippstufe den Flip-Flop wieder um und die Messung ist beendet. Während dieser werden die eingehenden Impulse aus dem Impulsformer (also die einzelnen Wellenzüge) im Zählwerk registriert. Eine zweite Möglihkeit, die Frequenz zu messen, besteht darin, die gesende-

6 Präzisionsshlitten mit Skala Abb.2: Versuhsanordnung zur Messung der Shallgeshwindigkeit ) Frequenzmessung Da die durh den Doppler-Effekt hervorgerufenen Frequenzänderungen bei den erreihbaren Translationsgeshwindigkeiten nur gering sind, muss die Frequenz mit hoher Präzision gemessen werden. Es kann daher in diesem Falle nur ein digitales Mess- 3 AUSWERTUNG gerät in Frage kommen. Seine Messgenauigkeit ist festgelegt durh die Konstanz des 5 Zeitbasisgenerators aus 3a, die besser als 10-5 ist. Der prinzipielle Versuhsaufbau zur Frequenzmessung ist in Abb.3 skizziert: an 2,4 V IR-Leuhtdiode Impulsformer Lautspreher auf Wagen Fototransistor >> Tor auf Torstufe Tor zu Untersetzer Zählwerk Torstufe >> Generator Tor auf Abb.3: Prinzipieller Versuhsaufbau zur Messung der Frequenz Zeitbasis Abbildung 5: Versuhsaufbau zur Bestimmung der Frequenz Das Mikrophon wandelt die empfangenen Shallshwingungen in elektrishe Shwingungen um. Diese werden verstärkt, in Rehtekimpulse umgewandelt und dann über eine Torstufe auf ein elektronishes Zählwerk gegeben. Dieses rükt jeweils um eine te Welle der uelle zu reflektieren. Bringt man den dafür nötigen Reflektor Ziffer weiter, wenn vom Mikrophon eine Shwingung registriert wird. Da die Frequenz auf dem als Zahl Wagen der Shwingungen anstelle des pro Lautsprehers Zeiteinheit definiert an, ist, müssen so überlagern die Shwingungen sih gesende- in einer genau vorgegebenen Zeit gezählt werden. Die Vorgabe der Messzeit geshieht te und reflektierte Welle. Die so entstehende Überlagerung bezeihnet man als Shwebung. auf folgende Weise: Die Frequenz Der Wagen der durhläuft Shwebung eine Lihtshranke. (genauer: Der der dabei Einhüllenden entstehende der Stromimpuls öffnet zwei Torstufen und legt damit den Anfang des Messintervalls fest. Überlagerung) lässt sih mit der zuvor beshriebenen Shaltung messen. Diese Frequenz entspriht der Frequenzänderung, die durh den Doppler-Efffekt Die vom Mikrophon kommenden Shwingungen gelangen nun in das Zählwerk; außerdem gehen jetzt die vom Zeitbasisgenerator erzeugten Zeitmarkenimpulse in einen bedingt ist. Untersetzer. Dieses Gerät kann als Rükwärtszähler betrahtet werden. Es zählt eine vorgewählte Zahl von Impulsen und gibt am Shluss der Zählung einen Impuls ab, der 3 Auswertung das Tor zwishen Mikrophon und Zählwerk wieder shließt. Die Länge der Messzeit ist 3.1 Einleitung In der folgenden Auswertung werden an vershiedenen Stellen statistishe Größen berehnet. Die Berehnung der Größen soll in dieser Einleitung dargestellt werden. Liegt eine Reihe von Messwerten (x 1, x 2,..., x n ) zur selben Messgröße vor, ist ihr Mittelwert definiert durh: x = 1 n n x i (5) Eine weitere statistishe Größe ist die Standardabweihung. Sie ist definiert als: σ x = 1 n (x i x) n 1 2 (6) Mit Hilfe der Standartabweihung kann nun der Fehler des obugen Mittelwertes angegeben werden: i=1 i=1 x = σ x n (7)

7 3 AUSWERTUNG Bestimmung der Geshwindigkeiten Der im Versuh verwendete Wagen lässt sih mit 10 untershiedlihen Gangeinstellungen bewegen. Nah obiger Beshreibung des Aufbaus lässt sih nun die Geshwindigkeit zu jeder Gangeinstellung bestimmen. Die Zeitbasis gibt zu jeder µs einen Impuls ab. Nah durhlaufen eines Untersetzers mit dem Faktor 10 2 beträgt die Impulsrate nur noh 1/10 4 s. Die Geshwindigkeit ergibt sih somit aus den gemessenen Impulsen und der Streke s mit: s v = Impulse 10 4 (8) s Die Länge der Streke beträgt s = (0, 39±0, 01)m. Pro Gangeinstellung wird die Streke zweimal durhfahren, einmal vorwärts und einmal rükwärts. Dadurh lässt sih aus den Werten für die Hin- und Rükfahrt ein Mittelwert berehnen, sowie dessen Fehler. Es ergibt sih so folgenden Tabelle (der obere Wert pro Gang ist für Hin-, der untere für die Rükfahrt): Zahl der Impulse Zeit [s] Mittelwert der Zeit [s] Geshwindigkeit [m/s] Fehler [m/s] ,76 7,74 0,050 0, ,71 ±0, ,87 3,869 0,100 0, ,87 ±0, ,58 2,579 0,150 0, ,58 ±0, ,93 1,934 0,200 0, ,93 ±0, ,55 1,548 0,250 0, ,55 ±0, ,29 1,286 0,301 0, ,28 ±0, ,11 1,109 0,349 0, ,11 ±0, ,974 0,980 0,40 0, ,985 ±0, ,858 0,862 0,45 0, ,866 ±0, ,785 0,790 0,49 0, ,795 ±0, 005 Tabelle 1: Geshwindigkeit in Abhängigkeit von der Gangeinstellung Die Fehler der angegebenen Geshwindigkeiten folgt mittels Gaußsher Fehlerfortpflanzung aus dem Fehler der Strekenmessung s und dem Fehler des Mittelwertes der zugehörigen Zeitmessungen t:

8 3 AUSWERTUNG 7 ( s ) 2 ( s t v = + t t Bestimmung der Ruhefrequenz Die Messung der Ruhefrequenz der uelle wird wie oben beshrieben bestimmt. Der Untersetzer wurde auf 10 6 eingestellt, sodass die erhaltene Anzahl der Impulse der Frequenz in Hz entspriht. Die aus der Messung erhaltenen Werte sind in Tabelle 2 aufgeführt. Messung ν 0 [Hz] ) 2 Tabelle 2: Werte für die Ruhefrequenz Da die gemessenen Ruhefrequenzen bei allen Messungen übereinstimmten, wird diese im Folgenden als fehlerfrei angenommen werde. Zwar ist niht auszushließen, dass aus die Ruhefrequenz fehlerbehaftet ist, doh dürfte der Fehler auf Grund der vorliegenden Messwerte gegenüber den Fehlern anderer Messwerte vernahlässigbar klein sein. 3.4 Bestimmung der Wellenlängen Die Wellenlänge der Sinusshwingung wird wie oben beshrieben mittels der Lissajou-Figuren auf einem Oszilloskop bestimmt. Immer wenn die Lissajou- Figuren entarten, wird die Position des Lautsprehers auf dem Präzissionsshlittens notiert. Die Entartungen erfolgenten bei den Positionen: Entartung x [m] 1 0, , , , , ,552 Tabelle 3: Positionen bei denen die Lissajou-Figuren entarten Die Differenz zwishen aufeinander folgenden Positionen entspriht stets einer halben Wellenlänge (berehnete Wertein Tabelle 4):

9 3 AUSWERTUNG 8 λ Differenz der Positionen 2 [m] λ[m] 2-1 0,839 0, ,857 0, ,838 0, ,847 0, ,826 0,01652 Tabelle 4: Gebildete Kombinationen und berehnete halbe Wellenlängen Der Mittelwert und dessen Fehler, so ergibt sih mit Tabelle 4: λ = (0, 0168 ± 0, 0001)m Der Faktor ν 0 lässt sih nun aus der Wellenlänge mittel einfaher Umformung der Definition der Shallgeshwindigkeit bestimmen: = λ ν 0 ν 0 = 1 λ = (59, 4 ± 0, 4) 1 m Der Fehler ergibt sih mittel Gaußsher Fehlerfortpflanzung aus dem Fehler der Wellenlänge: ν 0 = 1 λ 2 λ 3.5 Bestimmung der Shallgeshwindigkeit Die Shallgeshwindigekeit kann nun unter Verwendung der gemessenen Ruhefrequenz und der Wellenlänge bestimmt werden: = λ ν 0 Der Fehler der Shallgeshwindigkeit bestimmt sih somit nah: = λ ν 0 Der Fehler der Ruhefrequenz wurde dabei als vershwindend klein angesehen. Man erhält für die Shallgeshwindigkeit: = (349 ± 2) m s 3.6 Abshätzung der Differenz von Formel 2 und 4 Mit Hilfe der Ruhefrequenz und der maximal möglihen Geshwindigkeit des Wagens soll nun abgeshätzt werden, ob bei den mit der Apparatur zu erreihenden Geshwindigkeiten eine Untersheidung zwishen bewegten

10 3 AUSWERTUNG 9 Beobahter und bewegter uelle gemaht werden muss. Die Höhstgeshwindigkeit des Wagens beträgt v max = 0, 494 m s, die Ruhefrequenz beträgt ν 0 = und die shallgeshwindigkeit = 349 m s. Setzt man diese Werte nun in die Formel für den bewegten Beobahter( 2) bzw. die bewegte uelle(4) ein, so zeigt sih, dass es ein Untershied erst in der dritten Nahkommastelle festzustellen ist: ν B = 20770, 338 ν = 20770, 380 Nah dieser Abshätzung kann der Untershied zwishen Formel 2 und 4 als unbedeutend angenommen werden, da die Genauigkeit der gemessenen Frequenzen im Folgenden keine höhere Genauigkeit ausweist. Grund dafür sind die im Vergleih zur Shallgeshwindigkeit niedrigen Geshwindigkeiten des Wagens. 3.7 Bestimmung von ν 0 aus der Messung der Frequenzänderungen Berehnung aus der direkten Messung der Frequenzen Wie oben beshrieben werden analog zu Messung der Ruhefrequenz die Frequenzen in Abhängigkeit zur Geshwindigkeit des Wagens bestimmt. Es lässt sih nun die Differenz zwishen den durh die Bewegung geänderten Frequenzen ν v und der Ruhefrequenz ν 0 bilden. Es gilt: ν = ν v ν 0 (9) Es ist nun möglih ν für alle Geshwindigkeiten zu bestimmen. Trägt man ν nun gegen die Geshwindigkeit v auf, so lässt sih mit Formel 3 der Faktor ν 0 als Steigung der Geraden mittels linearer Regressionsrehnung ermitteln. In Tabelle 5 finden sih die Geshwindigkeiten, die zugehörigen gemessenen Frequenzen, sowie deren Differenz zur Ruhefrequenz.

11 3 AUSWERTUNG 10 Gang Geshwindigkeit [m/s] ν [Hz] ν 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabelle 5: Mittels direkter Messung bestimmte Frequenzen bei entsprehenden Geshwindigkeiten In Abbildung 6 wird ν gegen v aufgetragen. Mit Hilfe des Programmes OriginPro 8 wird nun eine lineare Regressionsrehnung durhgeführt. Es ergeben sih für die Steigung ν 0 und den Y-Ahsenabshnitt b: ν 0 = (60, 7 ± 0, 2) 1 m b = (0, 05 ± 0, 07)Hz Berehnung aus der Messung mittels Shwebungsmethode Wie im Aufbau beshrieben wird die Messung der Frequenzänderung mit der Shwebungsmethode durhgeführt. Mit dieser ist eine direkte Messung der Frequenzänderung möglih. Im Gegensatz zur direkten Messung fällt an Hand der Werte in Tabelle 6 auf, dass die Frequenzänderung bzw. die Differenz zur Ruhefrequenzu stets um den Faktor 2 größer ist als bei der direkten Messung. Die Ursahe hierfür liegt darin, dass die Messung mittels eines auf den Wagen aufgebauten Reflektors durhgeführt wird. Das Singal bewegt sih also auf den Wagen zu, wird dort reflektiert und gelingt somit erst nah zweimaligem Durhlaufen

12 3 AUSWERTUNG 11 F re q u e n z d iffe re n z [H z ] ,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 G e s h w in d ig k e it [m /s ] Abbildung 6: Frequenzdifferenz ν aufgetragen gegen die Geshwindigkeit der Wegstreke ins Mikrophon. Die Frequenzänderung ist also auh doppelt so groß wie bei einmaligem Durhlaufen mit der direkten Messung. Dieser Faktor 2 muss bei der folgenden Bestimmung des Faktors ν 0 noh herausgerehnet werden. Zudem kann mit dieser Methode nur der Betrag der Frequenzdifferenz gemessen werden. Da jedoh bei den Geshwindigkeiten zwishen Vor- und Rükbewegung differenziert wird, muss auh den Frequenzdifferenzen bei der Rükbewegung ein negatives Vorzeihen zugeordnet werden,damit eine Bestimmung des Proportionalitätsfaktors möglih ist. Die entsprehenden Werte stehen in Tabelle 6.

13 3 AUSWERTUNG 12 Gang Geshwindigkeit [m/s] ν [Hz] ν [Hz] 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabelle 6: Mittels Shwebungsmethode bestimmte Frequenzänderungen bei entsprehenden Geshwindigkeiten Die Frequenzänderung bzw. -differenz zur Ruhefrequenz wird nun analog zur direkten Messung gegen die Geshwindigkeit aufgetragen. Für die Steigung a und den Y-Ahsenabshnitt b erhältmittels linearer Regressionsrehnung unter Verwendung von OriginPro 8 : a = (122, 6 ± 0, 4) 1 m b = (0, 2 ± 0, 1)Hz Da wie oben beshrieben in der Steigung a der Faktor 2 enthalten ist, ist ν 0 a 2 : ν 0 = (61, 3 ± 0, 2) 1 m 3.8 Vergleih der Ergebnisse aus 3.4 und 3.7 mit Hilfe eines Studentshen T-Testes Der Studentshe T-Test ist ein Hypothesentest. Er dient zum Vergleih der Messmethoden bzw. gibt an, ob zwishen den Messmethoden A und B

14 3 AUSWERTUNG ,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 G e s h w in d ig k e it [m /s ] Abbildung 7: Frequenzdifferenz ν aufgetragen gegen die Geshwindigkeit eine systematishe Abweihung vorliegt. Man definiert dazu eine Prüfgröße t: t := x a x b S D x a und x b sind die Mittelwerte der Stihproben bzw. hier der Messreihen. S D ist wiederum definiert als: s 2 S D = a(n a 1) + s 2 b (n b 1) na + n b n a + n b 2 n a b s a bzw s b sind die Varianzen der Stihproben und n ist die Anzahl an Messwerte für die jeweilige Messreihe. Man legt nun ein Signifikanzniveau α fest, d.h. mit welher Wahrsheinlihkeit die Hypothese bestätigt bzw. widerlegt werden soll. Zudem bestimmt man die Anzahl der Freiheitsgerade f, die definiert ist als: f = n a + n b 2 Mit α und f kann man in einer Tabelle einen Vergleihswert t ermitteln. Falls t < t, so beträgt die Wahrsheinlihkeit, dass ein systematisher Fehler vorliegt 1 α. Die für die folgende Rehnung nötigen Werte stehen in Tabelle 7.

15 4 DISKUSSION 14 Mittelwert x Fehler s Anzahl der Messungen n Wellelänge-Messung A 59,4 0,4 5 direkte Messung B 60,7 0,2 20 Shwebung C 61,3 0,2 20 Tabelle 7: Benötigte Werte für den T-Test Mit diesen Werten ergibt sih für den Studentishen T-Test die Wahrsheinlihkeiteni Tabelle 8. Vergleih von S D t α f t Wahrsheinlihkeit A und B 0, , , ,769 99,9% A und C 0, , , ,769 99,9% B und C 0, , , ,570 99,9% Tabelle 8: Ergebnisse des den T-Tests Die Werte für t könnem aus uelle [3] entnommen werden. Da jedoh kein Wert für f = 23 vorliegt, ist der angegebene Wert das Mittel von f = 22 und 24. Um den Wert für f = 38 zu bestimmen wurde die Differenz von f = 30 und f = 40 gebildet und 8/10 davon von dem Wert für f = 30 subtrahiert. Der Studentshe T-Test zeigt, dass mit einer Wahrsheinlihkeit von mindestens 99,9% ein systmatisher Fehler zwishen den jeder der Messungen besteht. 4 Diskussion Wie der Studentishe T-Test zeigt, sind die Abweihungen zwishen der Bestimmung über die Wellenlänge und der über die Frequenzen bzw. die Frequenzänderung systematisher Natur und keine statistishen Shwankungen. Dennoh liegen die Messwerte diht bei einander, sodass die vorliegenden systematishen klein im Vergleih zu den Messwerten sind. Als möglihe Fehlerquellen dieses Versuhes ist zum einen die Messung der Strekenlänge zu nennen, die mit Hilfe eines Maßbandes erfolgt, wobei dies den systematishen Fehler zwishen B und C niht zu erklären vermag. Desweiteren sind die Entartungen der Lissajou-Figuren bei der Bestimmung der Wellenlänge nur shwer genau festzustellen und bergen daher Unsiherheiten.

16 5 LITERATUR 15 5 Literatur 1 Skript zum Versuh 104 des physikalishen Anfängerpraktikums an der TU Dortmund zu finden unter: (Stand ) 2 Skript zur Fehlerehnung des physikalishen Anfängerpraktikums an der TU Dortmund zu finden unter: (Stand )