Ziel des Versuchs: Bestimmung der Hauptbrechungsindizes von zwei verschieden geschnittenen Kalkspatprismen

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1 Physikalishes Praktikum II Doppelbrehung (DBR) Stihworte: Polarisation, Brehung, Brehzahl, optishe Anisotropie, optishe Ahse, Huygenshe Elementarwellen Ziel des Versuhs: Bestimmung der Hauptbrehungsindizes von zwei vershieden geshnittenen Kalkspatprismen Literatur Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure, VDI Demtröder: Experimentalphysik 2, Springer Heht, E.: Optik, Addison Wesley Beker, Jodl: Physikalishes Praktikum, VDI 1 Grundlagen 1.1 Polarisation Liht ist wie alle elektromagnetishen Wellen eine Transversalwelle. Der elektrishe Feldvektor E shwingt dabei in einer Ebene senkreht zur Ausbreitungsrihtung. Der Begriff "Polarisation" kennzeihnet die Art und Weise, wie der Feldstärkevektor E in dieser Ebene shwingt. 1 Unpolarisiertes Liht: Temperaturstrahler (z.b. Glühlampen) emittieren Liht, in dem alle Shwingungsrihtungen von E gleih häufig vorkommen. Die Phasenbeziehungen zwishen den Komponenten vershiedener Rihtung ändern sih dabei statistish. Solhes Liht heißt natürlihes oder unpolarisiertes Liht. Dies lässt sih damit erklären, dass beim Entstehungsprozess eine Vielzahl von Atomen einzelne Wellenzüge aussenden, deren Amplituden, Shwingungsrihtungen und Phasen niht korreliert sind. Polarisiertes Liht: Bei polarisiertem Liht besteht eine feste Phasenbeziehung zwishen den sih überlagern- Komponenten. Zu einer Ausbreitungsrihtung gibt es zwei senkreht zueinander stehende Transversalwellen, die voneinander linear unabhängig sind. Durh Superposition der beiden Wellen mit beliebigen Amplituden und Phasen lassen sih vershiedene Polarisationszustände darstellen 2. Linear polarisiertes Liht: Shwingt der elektrishe Feldvektor E immer nur in einer Rihtung, heißt das Liht linear polarisiert. Die Rihtung von E heißt Polarisationsrihtung. Die Ebene, die durh den E -Vektor und die Ausbreitungsrihtung festgelegt ist, heißt Shwingungs- oder Polarisationsebene. Doppelbrehung WS2013/14 1 Es ist klar, dass es nur bei transversalen Wellen sinnvoll ist von Polarisation zu sprehen. Longitudinale Wellen, wie z.b. Shall in Luft, shwingen immer längs der Ausbreitungsrihtung. 2 Streng monohromatishes Liht muss demnah polarisiert sein, da die Phase für alle Zeiten (- t +) sih niht ändern darf. (Eine Phasenänderung würde eine Frequenzänderung bedeuten). File: DBR_WS1314.do

2 DBR Seite 2/8 x x E x linear pol. E x zirkular pol. E E y z E y z y Abb. 1: Linear polarisierte Welle als Überlagerung von zwei orthogonalen, linear polarisierten Wellen ( = 0) y Abb. 2: Zirkular polarisierte Welle als Überlagerung von zwei orthogonalen, linear polarisierten Wellen ( = /2) Eine beliebige linear polarisierte Welle bestimmter Shwingungsrihtung können wir dann als Überlagerung von zwei orthogonalen, linear polarisierten Wellen E x und E y darstellen, die eine Phasendifferenz = 0 haben. Zirkular polarisiertes Liht: Überlagert man zwei senkreht zueinander stehende linear polarisierte Wellen gleiher Ausbreitungsrihtung, Wellenlänge und Amplitude, aber mit einer Phasenvershiebung = /2, erhält man zirkular polarisiertes Liht. Der Feldstärkevektor E rotiert auf einem Kreis um die Ahse der Ausbreitungsrihtung. Die Zirkularpolarisation ist ein Sonderfall der elliptishen Polarisation. Bei beliebigem Amplitudenverhältnis bzw. beliebiger Phasendifferenz ist die Überlagerungswelle elliptish polarisiert. Der E -Vektor umläuft die Ausbreitungsrihtung auf einer Ellipse Doppelbrehung Optishe Isotropie: In Gasen, Flüssigkeiten und amorphen Festkörpern (z.b. Glas) ist die Lihtgeshwindigkeit unabhängig von der Ausbreitungsrihtung und von der Polarisation des Lihtes. Diese Stoffe heißen optish isotrop. Optishe Anisotropie: Sind die optishen Eigenshaften eines Stoffes rihtungsabhängig, heißt er optish anisotrop. Viele Kristalle sind optish anisotrop. Sie besitzen auf Grund der Symmetrie des Kristallgitters (mindestens) eine ausgezeihnete Symmetrierihtung (= optishe Ahse). Fällt ein unpolarisierter Lihtstrahl senkreht auf einen Kalkspatkristall, dessen optishe Ahse shräg zur Oberflähe liegt, wird er in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Ein Teilstrahl tritt ungebrohen durh den Kristall und heißt deshalb ordentliher Strahl. Der andere Teilstrahl wird trotz des senkrehten Einfalls gebrohen und verlässt den Kristall parallelvershoben. Er folgt niht opt. Ahse Abb. 2: Doppelbrehung im Kalkspatkristall a. = Pol zum Hauptshnitt = Pol zum Hauptshnitt Doppelbrehung WS2013/14 3 Anmerkung: Man kann Polarisationszustände niht nur in einer kartesishen Basis darstellen. Eine rehts- und eine linkszirkular polarisierte Welle stellt eine sog zirkulare Basis dar, mit der sih durh Linearkombination ebenso jeder Polarisationszustand einer transversalen Welle darstellen lässt.

3 DBR Seite 3/8 dem Snelliusshen Brehungsgesetz und heißt außerordentliher Strahl. Die beiden Teilbündel sind linear polarisiert und ihre Polarisationsrihtungen stehen senkreht aufeinander. Diese Eigenshaft wird Doppelbrehung genannt. Die durh optishe Ahse und Lihteinfallsrihtung definierte Ebene heißt optisher Hauptshnitt 4. Das ordentlihen Strahlenbündel ist senkreht zum Hauptshnitt polarisiert. Das außerordentlihe Bündel ist parallel zum Hauptshnitt polarisiert. Die untershiedlihe Ausbreitung von Liht in anisotropen Kristallen wird wesentlih durh die Abhängigkeit der Lihtgeshwindigkeit von der Ausbreitungsrihtung des Lihtes und seinem Polarisationszustand bestimmt. Die Ausbreitungsgeshwindigkeit des ordentlihen Strahles ist rihtungsunabhängig. Die Ausbreitungsgeshwindigkeit des außerordentlihen Strahles ist dagegen rihtungsabhängig. Bei negativ einahsigen Kristallen ist die Lihtgeshwindigkeit des außerordentlihen Strahls größer als die des ordentlihen Strahls. Nur in Rihtung der optishen Ahse stimmen beide Geshwindigkeiten überein. Die Ausbreitung des ordentlihen und des außerordentlihen Strahls ist mit dem Huygenshen Prinzip zu erklären. Das Huygenshe Prinzip besagt: Jeder Punkt einer Wellenflähe ist Ausgang von neuen Elementarwellen, die sih überlagern. Die neue Wellenfront ist die Einhüllende der Elementarwellen. Die Phasenfronten der Elementarwellen sind danah Kugeln bei der ordentlihen Welle und Rotationsellipsoide bei der außerordentlihen Welle (siehe Abb. 4). opt. A. a) b) opt. A. Abb. 4: Elementarwellen in einahsigen Kristallen a) negativer Kristall (z.b. Kalkspat) b) positiver Kristall (z.b. Quarz) Abb. 5 zeigt den Fall, dass unpolarisiertes Liht senkreht auf einen Kalkspatkristall fällt. Die Einhüllende der (ordentlihen) Kugelwellen ergibt nah dem Huygenshen Prinzip eine Wellenfront WF parallel zur Oberflähe des Kristalls. Die Einhüllende der (außerordentlihen) Ellipsoidwellen ergibt auh eine Wellenfront WF parallel zur Oberflähe. Die Ausbreitungsrihtung der Lihtbündel erhält man, wenn man das Zentrum der Elementarwelle mit dem Berührungspunkt an der Einhüllenden verbindet. Der ordentlihe Strahl verläuft damit ohne Brehung durh den Kristall. Die Wellenfronten des außerordentlihen Strahls werden jedoh seitlih versetzt und die Ausbreitungsrihtung steht niht mehr senkreht auf den Wellenflähen. Die Wellenrihtung (Rihtung des Wellenvektors k) und die Strahlrihtung (Rihtung des Energiestroms S ) sind niht mehr parallel. Nur für eine Lihtausbreitung in der opt. Ahse oder senkreht zu ihr, sind Strahlrihtung (Strahlgeshwindigkeit) und Wellenrihtung (Wellenvektor) gleih. Doppelbrehung WS2013/14 4 Jede Ebene, die die optishe Ahse enthält, bezeihnet man als Hauptshnitt. Nur wenn die Einfallsebene mit dem Hauptshnitt zusammenfällt (wie hier angenommen), liegen nah der Brehung die beiden Lihtbündel in der Ebene des Hauptshnittes. Andernfalls wird der außerordentlihe Strahl aus der Einfallsebene herausgebrohen.

4 DBR Seite 4/8 Die sog. Hauptbrehzahlen werden über die Ausbreitungsgeshwindigkeiten des ordentlihen Strahles ( o) und des außerordentlihen Strahles senkreht zur optishen Ahse ( ao) definiert: Zeihenebene Zeihenebene ist ist Hauptshnitt S a. ( o) n 0 ( o) k a. n ( ao) 0 ( ao) optishe Ahse Doppelbrehung WS2013/14 Abb. 5: Elementarwellen bei der Doppelbrehung in einem Kalkspatkristall (Kalzit CaCO 3.) Anwendungen: 1) Erzeugung von linear polarisiertem Liht durh Trennung von Bündel und a Bündel (z.b. Niolshes Prisma). 2) Beim sog. /4-Plätthen wird die Doppelbrehung zur Herstellung vershiedener Polarisationszustände verwendet. Die optishe Ahse liegt dabei parallel zur Oberflähe des Plätthens. Wird senkreht dazu linear polarisiertes Liht eingestrahlt, dessen Shwingungsebene einen Winkel von 45 zur opt. Ahse bildet, breiten sih das und das a Teilbündel mit untershiedliher Geshwindigkeit aus. Bei geeignet gewählter Dike verlassen beide Bündel das Plätthen mit einem Ganguntershied von /4. Es entsteht zirkular polarisiertes Liht. Im Anhang ist eine physikalishe Erklärung für die Doppelbrehung gegeben. 1.3 Doppelbrehung bei einem Kalkspatprisma Die Ablenkung eines parallelen Lihtbündels beim Durhgang durh ein Glasprisma folgt dem Snelliusshen Brehungsgesetz: n0sin n1sin Ist der Strahlendurhgang symmetrish, wird der Ablenkwinkel minimal. Für den Zusammenhang zwishen n 0 Brehungsindex n 0 und n 1, brehendem min Winkel und minimalem Ablenkwinkel min gilt die Fraunhofer-Formel: sin min n1 2 0 n 1 n 0 1 sin 2 Damit ergibt sih die Möglihkeit aus dem minimalen Ablenkwinkel und dem brehenden Winkel den Brehungsindex zu ermitteln. Abb. 6: Symmetrisher Strahlengang bei der Brehung am Prisma.

5 DBR Seite 5/8 Wir betrahten nun die Brehung an zwei untershiedlih geshnittenen Kalkspatprismen Optishe Ahse parallel zur brehenden Kante A K (Prisma 1) Bei diesem Prisma liegt die optishe Ahse A parallel zur brehenden Kante K. Der Hauptshnitt steht senkreht zur Einfallsebene. In der Einfallsebene sind die Elementarwellen des ordentlihen Strahles Kreise. Die Elementarwellen des außerordentlihen Strahles sind ebenfalls Kreise. Als Sonderfall ist hier die Ausbreitungsgeshwindigkeit rihtungsunabhängig und maximal. Das Snelliusshe Brehungsgesetz gilt hier auh für den a. Strahl. Aus den Ablenkwinkeln min der beiden Strahlen können die Hauptbrehzahlen ermittelt werden. WF A K WF (a.o) a. a. Abb. 7: Doppelbrehung an einem Kalkspatprisma. Die opt. Ahse A steht parallel zur brehenden Kante K Optishe Ahse senkreht zur brehenden Kante und parallel zur Basis Die Einfallsebene liegt hier im Hauptshnitt (= Zeihenebene). Im Minimum der Ablenkung tritt das Liht in Rihtung der optishen Ahse durh das Prisma: Es hat dabei die Geshwindigkeit ( o) des ordentlihen Strahles. Bei minimaler Ablenkung (und nur bei dieser) findet keine Doppelbrehung statt, es gibt dann lediglih Einfahbrehung. A K WF Abb. 8: Doppelbrehung an einem Kalkspatprisma. Die opt. Ahse A steht senkreht zur brehenden Kante K. A 2 Versuhsdurhführung Ziel des Versuhes ist es, bei zwei vershieden geshnittenen Kalkspatprismen, die Hauptbrehzahlen n und n für die Wellenlänge der gelben He-Linie bei = 587,6 nm zu bestimmen. Die Messungen werden mit Hilfe des Prismenspektrometers (siehe Versuh Spektroskopie) durhgeführt. Doppelbrehung WS2013/14

6 DBR Seite 6/8 2.1 Bestimmung des brehenden Prismenwinkels Das Verfahren zur Messung des brehenden Prismenwinkels ist in Abb. 9 skizziert. An der brehenden Kante wird das einfallende Parallellihtbündel vom Spaltrohr geteilt und an den Ebenen, die den brehenden Winkel bilden, reflektiert. Die Rihtungen A und B der reflektierten Strahlen werden dann mit dem shwenkbaren Fernrohr vermessen, indem das Spaltbild in das Fadenkreuz justiert wird. Der Winkel zwishen den beiden A B Stellungen ist dann der doppelte Prismenwinkel, denn es gilt: Abb. 9: Bestimmung des brehenden Prismenwinkels /2 Messen Sie für beide Kalkspatprismen den brehenden Winkel. Ahten Sie darauf, dass Sie das gespiegelte Bild des Spaltes niht mit der gelben Spektrallinie verwehseln. 2.2 Bestimmung des minimalen Ablenkwinkels min. Die Messung des minimalen Ablenkwinkels ist im Versuh Spektroskopie beshrieben. Man stellt das Prisma auf den Prismentish und suht mit dem Fernrohr die gelbe He- Linie. Dann dreht man das Prisma langsam in die Rihtung kleiner werdender Ablenkwinkel und rükt gleihzeitig mit dem Fernrohr so nah, dass das Spaltbild im Gesihtsfeld bleibt. Das Bild bewegt sih dann solange im gleihen Sinn bis die Stellung minimaler Ablenkung erreiht ist. Dort kehrt das Spaltbild seine Bewegungsrihtung um, wenn das Prisma gleihsinnig weitergedreht wird. Die Stellung kann auf dem Teilkreis mit Nonius abgelesen werden. Kalkspatprisma 1; A K: ( o) Messen Sie für gelbes He-Liht die minimalen Ablenkwinkel min ( und ) min des ordentlihen und des außerordentlihen Strahls. Der ordentlihe Strahl wird stärker gebrohen! Überprüfen Sie mit einem Folienpolarisator 5 die senkreht zueinander stehende Polarisation von ordentlihem und außerordentlihem Strahl. Kalkspatprisma 2; A K bei A B: ( o) Messen Sie für gelbes He-Liht den minimalen Ablenkwinkel min des Strahls. Überprüfen Sie mit einem Folienpolarisator die Polarisation von ordentlihem und außerordentlihem Strahl. Um den außerordentlihen Strahl zu beobahten, ist das Prisma leiht aus der Stellung des minimalen Ablenkwinkels zu verdrehen. Doppelbrehung WS2013/14 5 Folienpolarisatoren bestehen aus dihroitishen Substanzen, die Liht einer Polarisationsrihtung absorbieren.

7 DBR Seite 7/8 2.3 Berehnung der Hauptbrehungsindizes von Kalkspat Berehnen sie aus den Messwerten für das Kalkspatprisma 1 die Hauptbrehungsindizes n und n mit Hilfe der Fraunhofer-Formel. Berehnen sie aus den Messwerten für das Kalkspatprisma 2 den Hauptbrehungsindex n ( o) mit Hilfe der Fraunhofer-Formel. Vergleihen Sie Ihre Messwerte mit den Literaturwerten: n ( o) = 1,6584, n ( ao) = 1,4864 Geben Sie die relativen Abweihungen Ihrer Messwerte von den Literaturwerten an. Ahtung: Die Literaturwerte gelten für gelbes Natrium-Liht mit der mittleren Wellenlänge = 589,56 nm. Das sollte prinzipiell eine Abweihung bedingen (Kalkspatdispersion). Messunsiherheiten: Shätzen Sie die Messunsiherheit für die Hauptbrehungsindizes ausnahmsweise niht nah Gauß, sondern als relativen Größtfehler gemäß der Fraunhofer-Formel ab. Die unabhängigen Variablen sind min und ; nah beiden ist zu variieren. Relativer Größtfehler: n min 1 1 ot min ot. n Die Werte für min und überlegen Sie selbst auf Grund ihrer Messerfahrung. Beide Winkeldifferenzen sind im Bogenmaß einzusetzen, also: grad min 180 min. Für ot( / 2 ) können Sie in der Fehlerformel ot(30 ) = 3 setzen. 3 Testfragen 1) Warum ist natürlihes Liht unpolarisiert? 2) Was ist ein Polarisator? 3) Was kennzeihnet zirkular polarisiertes Liht? 4) Wie ist rehtszirkular polarisiertes Liht definiert? 5) Stellen Sie linear polarisiertes Liht (Polarisationsrihtung x, Ausbreitungsrihtung z, Frequenz, Wellenlänge, Amplitude A) in einer zirkularen Basis dar, d.h. als Linearkombination von links- und rehtszirkular polarisiertem Liht. Doppelbrehung WS2013/14

8 DBR Seite 8/8 Anhang: Oszillatormodell für die Doppelbrehung Mikroskopish bedeutet die Doppelbrehung eines Materials, dass die Polarisierbarkeit der Elektronen in Rihtung der optishen Ahse größer oder kleiner ist als senkreht dazu. Betrahten wir zum Beispiel als doppelbrehende Substanz eine gestauhte opt. Ahse (gestrekte) Zellophanfolie, die dann aus gestauhten (langgezogenen) Molekülen besteht und die im wesentlihen alle in dieselbe Rihtung zeigen. Diese Vorzugsrihtung ist die optishe Ahse der Substanz. Wenn wir für die Molekülform ein diskusförmiges Rotationsellipsoid annehmen, ist klar, dass die Elektronen längs der opt. Ahse shlehter polarisierbar sind als senkreht dazu. Da die Polarisierbarkeit der Moleküle den Brehungsindex n der Substanz bestimmt, ist der Brehungsindex für eine Polarisation in Rihtung der optishen Ahse kleiner als senkreht dazu. Es gilt für jede der beiden ausgezeihneten Rihtungen (E und P sind dabei parallel): D r0e 0 E P bzw. ( r 1) 0 E P NE ; r n 2 2 daraus folgt: n 1 N / 0 Shwingt der E -Vektor des Lihts in Rihtung der optishen Ahse, ist seine Phasengeshwindigkeit /n größer als senkreht dazu. Bei shrägem Einfall sind die Verhältnisse komplizierter: In unserem mehanishen Modell regt das elektrishe Feld der Lihtwelle die Elektronen zu erzwungenen Shwingungen an. Die horizontale Shwingungskomponente ist dann weiher und hat eine andere Resonanzfrequenz als senkreht dazu. Shwingt das einfallende Feld unter einem Winkel zwishen 0 und 90 zur optishen Ahse, ist die Shwingungsrihtung der Dipole niht mehr parallel zur Shwingungsrihtung des einfallenden Feldes (siehe Skizze). Die Elektronen folgen mehr der weihen Ahse. Die Polarisation P ist dann niht mehr parallel zum Lihtfeld E und D E P 0 zeigt in eine andere Rihtung. Die Wellenfronten liegen in Rihtung von D ( k D ) und die Strahlrihtung ist wegen S 2 E B 0 ( )senkreht zu E. keine räuml. Trennung von und a Strahl k räuml. Trennung von und a Strahl E Hauptshnitt = Zeihenebene opt. A. D o E D = o P D E + P P keine räuml. Trennung von und a Strahl ao: E parallel zum Hauptshnitt o: E senkreht zum Hauptshnitt Doppelbrehung WS2013/14