1 Lichtausbreitung und optische Abbildung

Transkript

1 1 Lihtausbreitung und optishe Abbildung 1.1 Liht (light) Wiederholung: Was ist eine (elektromagnetishe) Welle? Wellen= Störungen des elektromagnetishen Felds, die sih im Raum ausbreiten (d.h. elektromagnetishes Wehselfeld) div D div B 0 Folge der Maxwell shen Gleihungen: B D rot E rot H t t y 1 y Daraus kann man die Differentialgleihung ableiten und man kann x t zeigen, dass eine ebene sinusförmige Welle diese Gleihung erfüllt (siehe Kap 1.) Liht entsteht und vergeht als Photon, dazwishen existiert es als elektromagnetishe Welle (Welle/Teilhen-Dualismus). Allgemein:(Vakuum-) Lihtgeshwindigkeit 0 = m/s (Römer, Fouault) 1. Wellenoptik (wave optis) 1..1 Kenngrößen von Wellen (parameters of waves) Von einer punktförmigen Lihtquelle breitet sih eine Kugelwelle aus. In großer 1 Entfernung ist die Kugelkrümmung so gering, dass man eine ebene Welle sieht: r (, ) 0 sin x x y x t y t 0 y0 sin t 0 0 sin 0 y t k x y Amplitude 0 f Kreisfrequenz k Wellenzahl 0 Anfangsphase der Welle zum Zeitpunkt t = 0 (für x = 0) x t 0 Phase der ebenen Welle v v Geshwindigkeit der Welle (Liht v = ) x x f x bzw. f v f oder mit Wellenlänge Lihtgeshwindigkeit f () Frequenz x x Nun zeigen wir, dass die ebene Welle y y0 sin t 0 y0 sin t 0 die v y 1 y Differentialgleihung erfüllt: x t y y0 sin t k x 0 wird zweimal nah dem Ort x abgeleitet: y y0 os t k x 0 k x y y0 k sin t k x 0 k y0 k sin t k x 0 k y x SALZMANN Seite 1 von 13 V 3.1 /

2 y y0 sin t k x 0 wird zweimal nah der Zeit t abgeleitet: y y sin t k x 0 0 y y0 os t k x 0 t y y0 sin t k x 0 y0 sin t k x 0 y t f Aus f und k erhalten wir f und shließlih k 1 y k y q.e.d. k 1.. Huygens-Prinzip (Huygens-priniple) Jeder Punkt einer Wellenflähe stellt ein neues Wellenzentrum dar, von dem eine Kugelwelle ausgeht (sog. Elementarwelle). Wir untersheiden Arten von Wellen: Longitudinalwellen (Shall): Oszillatoren shwingen in Ausbreitungsrihtung Transversalwellen (Liht, Wasser): O. shwingen normal zur Ausbreitungsrihtung WH APH 3. JG: Liht brauht kein Medium zur Ausbreitung. Dies ist wihtig für das Verständnis der Beugung (Shall im täglihen Leben, Liht bei Mikroskopie) Diskussion der Wellengleihung: ( 0 kann ohne Beshränkung der Allgemeinheit 0 gesetzt werden) a) Betrahte 1 spezielles Teilhen x x y( x, t) y0 sin t onst. (Zahl) Einzige Variable: t Zeit beshreibt den Shwingungszustand, d.h. harmonishe Shwingung des Teilhens um seine Ruhelage. b) Betrahte ALLE Teilhen in 1 bestimmten Augenblik ( Momentaufnahme ) x y( x, t) y0 sin t t onst. Einzige Variable: x Ort beshreibt Sinuskurve, auf der alle Teilhen in diesem Moment t liegen. SALZMANN Seite von 13 V 3.1 /

3 1..3 Interferenz (interferene) WH. APH. JG Interferenz ist die Überlagerung zweier Wellen mit gleiher Shwingungsebene und Wellenlänge (bzw. Frequenz). Extremfälle: a) Konstruktive Interferenz y0 y01 y0 y y bzw. 1 y Ganguntershied x n (n N 0) ist ein ganzzahliges Vielfahes der Wellenlänge maximale Verstärkung b) Destruktive Interferenz x (n 1) (n N 0 = {0, 1, }) Der Ganguntershied muss ein ungeradzahliges Vielfahes halber Wellenlängen sein maximale Abshwähung y (gleihe Amplituden -> Auslöshung) 01 y Beugung (diffration) Siehe 5. JG. und Kap Brehung (refration) Luft: n = 1, Wellenfront Es werden die beiden rehtwinkeligen Dreieke in Luft und Glas mit Basis l verglihen: z z ' sin bzw. sin ' z z t l l A z ' ' t z z ' t ' t l sin sin ' sin sin ' Lihtstrahl z ' Glas: n ' = 1,5, B ' sin Snellius shes Brehungsgesetz sin ' ' Die ebene Welle trifft bei A auf die Grenzflähe; während B die Streke z zurüklegt, hat sih bei A bereits eine Kugelwelle mit Radius z ' gebildet Reflexionsgesetz (refletion law) Dieses kann als Umkehrung der Lihtrihtung aufgefasst werden und ergibt sih, wenn gilt: r = - r = Strahlenoptik (geometrial optis) Wh.: Wann tritt Beugung auf? Beugung tritt dann auf, wenn die Dimensionen des beugenden Gegenstands (bzw. der beugenden Öffnung) in der gleihen Größenordnung wie die Wellenlänge der eintreffenden Welle ist, d.h. wenn gilt: d. In unseren täglihen Dimensionen gilt dies bei Shall, bei Liht jedoh niht, da a. 0,5 µm, Dimensionen der optishen Bauelemente (Linsen, Prismen, Spiegel, Planplatten et.) d a. mm (m) Beugung kann vernahlässigt werden: 0 (außer Mikroskopie, siehe 5. JG) SALZMANN Seite 3 von 13 V 3.1 /

4 Lihtausbreitung beshrieben niht durh Wellenfront, sondern durh die Normale dazu: LICHTSTRAHL, daher STRAHLENOPTIK. Lihtstrahlen verlaufen geradlinig und unabhängig voneinander. Lihtweg ist umkehrbar Definitionen Brehzahl (Brehungsindex / refrative index) ( vomit number ) 0 nabs (Brehungsindex) M 0 Vakuumlihtgeshwindigkeit M Lihtgeshwindigkeit im Medium ( meistens in Luft) Luft meistens verwenden wir n weil 0 1,0003 (0C, 1013 ) mbar Snellius: Luft sin n sin ' ' Luft n' n Luft M n' Luft n' n Luft und daher erhalten wir: Snellius shes Brehungsgesetz (n / ): n sin n' sin ' Definitionen: homogenes Medium: inhomogen: isotropes Medium: anisotrop: n ist örtlih konstant (z.b. Glas) n ist örtlih niht konstant (z.b. Fata Morgana) n ist für alle Lihtstrahlrihtungen gleih (Glas) n hängt von der Rihtung des Lihtstrahls ab (z.b. Kristall [Doppelbrehung]) homozentrishes Bündel: alle Strahlen haben 1 gemeinsamen Shnittpunkt (divergent, konvergent) 1.3. Übergang Glas Luft (transition glass air) ' Glas n = 1,5 g ' ' Luft n' = 1 ' (' = 90 ) n' Wir betrahten Snellius nsin n' sin ' arsin sin ' (allgemein) n n' Für ' = 90 g arsin Grenzwinkel der Totalreflexion bei der Grenzflähe n zweier Medien (n n ') Alle Strahlen mit ( ) g werden TOTAL reflektiert! Bsp.: Glas n = 1,5 Luft n ' = 1 g = 41,1 Beim Übergang vom sog. optish dihten (Brehzahl n) zum optish dünnen Medium (n ' < n) wird für > g der Lihtstrahl total reflektiert. SALZMANN Seite 4 von 13 V 3.1 /

5 1.4 Optishe Abbildung (optial image formation) Definition der optishen Abbildung Jedes Objekt (Gegenstand) ist aus Punkten zusammengesetzt, die Liht aussenden. Objektpunkt O sendet ein divergentes homozentrishes Lihtbündel aus Durhgang durh optishes Bauelement Konvergentes homozentrishes Lihtbündel läuft im Bildpunkt O ' zusammen. Als Anforderung stellen wir an das Bild sharf und hohe Dynamik sowie möglihst frei von Abbildungsfehlern Bildarten (types of images) reell (real) O reeller Bildpunkt von O (kann auf Bildaufnehmer aufgefangen werden, weil sih dort tatsählih Lihtstrahlen shneiden) Bildaufnehmer: Kleinbild-Film, CCD-/CMOS-Chip einer Digitalkamera (Video-, Standbild-, Handy-Kamera), Projektionsflähe (Beamer, Kino), Netzhaut des Auges virtuell (virtual) Spiegel Zerstreuungslinse Sammellinse Planparallele Platte (Objekt innerhalb Brennweite) O ' virtueller Bildpunkt von O (kann niht auf Bildaufnehmer aufgefangen werden, da sih nur die rükwärtigen Verlängerungen der Lihtstrahlen shneiden) aufreht (upright) / umgekehrt (reversed) / seitenverkehrt (mirror inverted) Paraxialgebiet (paraxial spae) Einfahe, unkorrigierte Systeme (z.b. einzelne Linsen) sind nur dann weitgehend fehlerfrei, wenn die Strahlneigung bzw. ' zur optishen Ahse sehr gering ist (<<1). Taylorreihenentwiklung für SINUS / COSINUS Funktion: 3 5 sin sin... 3! 5! os 1 für << 1 für das so genannte Paraxialgebiet, 4 sowie os 1...! 4! tan (vernahlässigbar) auh Gauß sher Raum bzw. fadenförmiger Raum genannt (bis a. 15 Neigung gegenüber o.a.) ( in RADIANT!!) SALZMANN Seite 5 von 13 V 3.1 /

6 Gegenüberstellung Snellius shes Brehungsgesetz exakt paraxial Ahtung: Rehnung in [rad], dann Zurükrehnung in [ ] Es gilt: n sin n' sin ' bzw. n n' ' (exakt) (paraxial) 1,333 1, , ,6667 n = 1, n ' = 1, Größen zur Beshreibung der Abbildung Bezeihnungsregeln nah DIN 1335 Abbildendes System Gegenstandsraum Bildraum A, O, H, a, y A ', O ', H ', a ', y ' objektseitig bildseitig Gleihe Buhstaben, im Bildraum aber mit paarweise zugeordnet (konjugiert, d.h. jeder Größe im Gegenstandsraum ist durh die Abbildung eine Größe im Bildraum zugeordnet) NICHT F (früher F ), F ' Regeln: Lihtrihtung immer von links nah rehts Bezugspunkt für Streken definiert Streken vom Bezugspunkt nah rehts (in Lihtrihtung) positiv, nah links negativ; werden durh in Klammern gesetzte Vorzeihen bzw. Indies angedeutet, z.b. a (-) bzw. (-) a. oder a (+) bzw. (+) a '. Pfeile in Skizzen zeigen immer vom Bezugspunkt weg Streken von optisher Ahse (O.A.) nah oben positiv, nah unten negativ Winkelpfeile zeigen vom Bezugsshenkel weg: entgegen Uhrzeigersinn positiv Die Abfolge von brehenden und spiegelnden Flähen (katadioptrishes System) wird mit 1,, 3,, k nummeriert. Bei einem zentrierten System (praktish alle optishen Geräte) liegen sämtlihe Krümmungsmittelpunkte der brehenden bzw. spiegelnden Flähen auf einer Geraden (OPTISCHE ACHSE ) r 1, r Krümmungsradien der Flähen 1, optishe Ahse (o.a.)(zentrierte Systeme) a, a ' Objektweite, Bildweite (gemessen von H bzw. H ' ) z, z ' brennpunktbezogene Objekt-/ Bildweite (gemessen von F bzw. F ' ) S 1, S Flähensheitel der Flähe 1, s 1 Shnittweite zum Sheitel S 1, ' Strahlneigungen (gemessen zur O.A.: Drehung vom Strahl zur O.A. bzw. Strahl -> O.A.), ' Einfallswinkel (gemessen zum Lot; Drehung vom Lot zum Strahl bzw. Lot -> Strahl) SALZMANN Seite 6 von 13 V 3.1 /

7 Die Brennpunkte F, F ' (fous, foal points) Definitionen: Punkt steht im Objektbrennpunkt F, wenn die Strahlen hinter dem System ahsenparallel austreten Ahsenparallel einlaufende Strahlen shneiden sih hinter dem optishen System im Bildbrennpunkt F ' Objektbrennpunkt F Gegenstandspunkt Bildpunkt im Bildbrennpunkt F ' Bildpunkt Gegenstandspunkt im - F und F ' sind NICHT KONJUGIERT! Die Brennweiten f, f ' (foal length) Von der Hauptebene H wird die objektseitige Brennweite f gezählt, sinngemäß von H ' die bildseitige Brennweite f '. Wir definieren nahfolgend einige wihtige Kenngrößen und werden diese dann auh ableiten: Abbildungsmaßstab β '(imaging sale, magnifiation ) ist immer definiert als Quotient Bildgröße y ', also ' Objektgröße y Vergrößerung ' (magnifiation) ist grundsätzlih von β ' zu untersheiden: sie ist ein Winkelverhältnis zweier Winkel: tan ( Sehwinkel mit Instrument) ' ', also ' tan ( Sehwinkel ohne Instrument) Dies wird uns noh eingehend im 5. JG bei den optishen Instrumenten (Lupe, Auge, Fernrohr, Teleskop) beshäftigen Winkelverhältnis ' (angle ratio) ist der Quotient aus bild- und objektseitigem Strahlneigungswinkel: ' ' siehe 5. JG Tiefenabbildungsmaßstab (angle ratio) siehe 5. JG. SALZMANN Seite 7 von 13 V 3.1 /

8 1.4.5 Abbildung mit Linsen und optishen Systemen (image formation by lenses and optial systems) Darstellung von Optishen Systemen und Bildkonstruktion (depition of optial systems and image onstrution) Linsensymbole: Sammellinse Konvexlinse + Linse Zerstreuungslinse Konkavlinse - Linse Konstruktionsregeln: a) y soll möglihst groß gewählt werden kein shleifender Shnitt b) 1. Strahl von P zu H auf o.a. von dort auf o.a. zu H ' verlängern von dort Parallele zu PH in den Bildraum ziehen (wenn notwendig, rükwärts) diesen Strahl gibt es immer, egal ob reelles oder virtuelles Bild ). Strahl von P parallel o.a. bis H ' ( G ') von dort nah F ' verlängern (wenn notwendig, rükwärts) Bildpunkt P ' festgelegt Kontrolle: d) 3. Strahl von P durh F bis H ( G) von dort parallel zur o.a. verlängern (wenn notwendig, rükwärts) muss durh Shnittpunkt P ' gehen! ) und d) können auh vertausht werden f (-) f(+) SALZMANN Seite 8 von 13 V 3.1 /

9 Zwishen den Hauptebenen verlaufen die Konstruktionsstrahlen immer parallel zur o.a. Der Brennstrahl wird immer an der zugehörigen Hauptebene abgeknikt: F und H sowie F ' und H ' gehören jeweils zusammen. Bsp.: Konstruiere die Bilder der Objekte 1,, 3 und gib an, wie die Abbildung ist: reell / virtuell verkleinert / vergrößert aufreht / umgekehrt HH '= 10 f ' = - f = 0 a 1 = - 30, y 1 = - 15 a = - 0, y = 10 a 3 = - 10, y 3 = : reell vergrößert umgekehrt : im vergrößert (aufreht, siehe später [Lupe]) 3 3 : virtuell vergrößert aufreht SALZMANN Seite 9 von 13 V 3.1 /

10 Programm PreDesigner Mit diesem Programm können eigene Konstruktionen sehr leiht überprüft werden. SALZMANN Seite 10 von 13 V 3.1 /

11 Abbildungsgleihungen (lens equations) (-) y ' P ' Strahlensatz (bzw. Winkeltangens) Wenn notwendig, zusätzlihe negative Vorzeihen, um immer positive Quotienten zu erhalten! OBJEKTSEITIG: y' y f (a f ) mit a f z BILDSEITIG: y y ' mit f ' z' f ' a ' f ' Ausmultiplizieren: y' f a ' f ' f z' y (a f ) f ' z f ' f f ' a a ' a f ' a ' f f f ' a a ' a f ' a ' f / : a a ' f ' f 1 bzw. z z' f f ' a ' a Allgemeine Abbildungsgleihung Newton she Abbildungsgleihung Es gilt auh (Beweis später 1 sphärishe Flähe): f n f ' n ' Brennweiten vershieden, wenn untershiedlihe Brehzahlen links und rehts. y' Wir definieren den sog. Abbildungsmaßstab ' : y Er setzt die Bildgröße y ' zur Objektgröße y ins Verhältnis SALZMANN Seite 11 von 13 V 3.1 /

12 y' f y f ' 1 OBJEKTSEITIG: ' und BILDSEITIG: y (a f ) y' f ' ' 1 a f 1 ' f z ' a ' f ' 1 ' z ' f ' ' PROJEKTOR! Wir dividieren obige Gleihungen: n allgemein: ' a n' Gleihe Medien vor und nah dem System Meistens gilt (z.b. Linse in Luft): n n' f f ' Abbildungsgleihungen bei beidseitig gleihen Medien, d.h. f f ' f f ' f ' 1 1 / : f ' a ' a a ' a 1 1 a 1 f ' Goldene Abbildungsgleihung n = n ' ' a z z' f ' f ' Tiefenabbildungsmaßstab ' ß' : erhält man, indem man die Goldene a f ' Abbildungsgleihung nah a ' auflöst -> und nah a differenziert. a f ' a f ' ' ß ' a Eine kleine Objektvershiebung um da in Ahsrihtung bedingt eine um β größere (kleine) Bildvershiebung da. Bsp.: Ein Gegenstand von 40 mm Größe wird durh Objektive von a) 50 mm, b) 100 mm Brennweite abgebildet. Der Gegenstand steht 00 mm vor dem Objektiv. Von diesen beiden Objektiven sind gesuht: Bildgrößen, Abbildungsmaßstäbe, Bildweiten. Wir kennen: y = 40 und a = - 00 a) f ' = 50 bzw. b) f ' = a f ' a ' y' a ' und ' a f ' a f ' a y a) b) , ,66 ' 0,33 00 ' y' ' y 0, ,33 y ' b) Hier erkennt man: Bild und Objekt stehen jeweils in doppelter Brennweite! SALZMANN Seite 1 von 13 V 3.1 /

13 Bsp.: Ein Fotoapparat ist auf eingestellt. Für Nahaufnahmen muss der Abstand Objektiv-Film/CCD/CMOS-Chip vergrößert werden. Begründung? a f ' f ' f ' a f ' f ' 1 a a ' a f ' -10 f ' 10/9 f ' -5 f ' 5/4 f ' - f ' f ' - f ' Linsensysteme: Abbildung rehtläufig Vershiebung des Objekts Bildbewegung in gleiher Rihtung (Objekt außerhalb Brennweite) Spiegel: Abbildung gegenläufig Bsp.: Wir befinden uns 100 m vor einem Bauwerk von 0 m Höhe. Um es zu fotografieren, stehen uns Fotoobjektive zur Verfügung: a) f ' = 45 mm, b) f ' = 75 mm. Welhes Objektiv erzeugt von dem Bauwerk das größere Bild? a = mm y = mm a f ' a ' y' a ' ' y ' ' y a f ' a y a) f ' = 45 a ' = 45,0 mm (praktish in Brennebene) ' = - 0,00045 y ' = - 9 mm b) f ' = 75 a ' = 75,06 mm (praktish in Brennebene) ' = - 0,00075 y ' = - 15 mm Siehe auh die blau umrandeten Übungsbeispiele im Buh! SALZMANN Seite 13 von 13 V 3.1 /