Physik für Elektrotechniker und Informatiker

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1 ysik ür Elektrotehniker und Inormatiker Grundlagenorlesung 1. &. Semester Inhaltserzeihnis A Mehanik on Massepunkten und starren Körpern 1. Kinematik 1.1. Der Ortsektor rt 1.. Die geradlinige ewegung = Translation 1.3. Die Kreisbewegung = Rotation 1.4. Überlagerung on ewegungen Superpositionsprinzip am eispiel des Wures. Dynamik.1. Masse und Krat.. Die Newtonshen Axiome bzw. Gesetze Integration der ewegungsgleihung.3. Reibungskräte zwishen esten Körpern.3.1. Hatreibung.3.. Gleitreibung.3.3. Rollreibung.3.4. Seilreibung 3. Arbeit, Energie, Leistung und Wirkung 3.1. Mehanishe Arbeit und Leistung 3.. Potentielle und kinetishe Energie 3.3. Der Energiesatz der Mehanik 3.4. Die Goldene Regel der Mehanik 4. Stöße 4.1. Grundlagen 4.. Elastishe Stöße im Laborsystem 4.3. Gerader zentraler inelastisher Stoß 4.4. Dezentraler elastisher Stoß 4.5. Stöße im Shwerpunktsystem 4.6. Systeme mit zeitlih eränderliher Masse Rakete Regentropen* Förderband* 5. Drehmoment, Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, Starrer Körper 5.1. Das statishe Gleihgewiht Kräte und Drehmomente, Drehimpuls 5.. Dihte und Massenmittelpunkt ausgedehnter Körper, Massenträgheitsmoment 5.3. Rotationsenergie 5.4. Starrer Körper 5.5. ewegungsgleihung

2 5.6. Energieerhaltungssatz der Mehanik ür die Rotation 5.7. Drehimpulserhaltungssatz 5.8. Trägheitstensor* 5.9. Kreisel* 6. Graitation 6.1. Graitationsgesetz 6.. Keplershe Gesetze 6.3. Kosmishe Geshwindigkeiten 7. Shwingungen 7.1. Freie ungedämpte Shwingungen Federpendel und mathematishes Pendel ysikalishes oder Shwerependel 7.. Freie gedämpte Shwingung 7.3. Erzwungene Shwingungen 7.4. Überlagerung on Shwingungen 7.5. Fourieranalyse; Fouriersynthese; Fourierreihe(n) 7.6. Gekoppelte Shwingungen 7.7. Parametrishe Resonanz 7.8. Chaotishe ewegungen 8. Wellen 8.1. Einleitung: Was ist eine Welle? 8.. Überlagerung on Wellen, Gruppengeshwindigkeit 8.3. Prinzipien der Wellenausbreitung Streuung Das Huygens-Fresnelshe Prinzip Das Fermatshe Prinzip, Snelliusshes rehungsgesetz, Relexionsgesetz 8.4. Doppler-Eekt

3 8. Wellen 8.1. Einleitung: Was ist eine Welle? Experimente: V 4 / 404: Pendelreihe (gekoppelte Shwinger) V 5 / 0151: Anakonda Spiraleder (Riesenshlange) V 5 / 1101: Federseil V 5 / 1301: Shraubenmodell (ür räumlihe und zeitlihe Periodizität) Das shwingende Teilhen bewegt sih um seine Ruhelage, bewegt sih aber niht ort. Der Shwingungszustand breitet sih über große Enternungen aus. Die Welle ist die räumlihe Ausbreitung einer Shwingungsphase. eispiele: - Wasserwellen (Oberlähenwellen) ildquelle: - Shallwellen in Gasen (Lut) Lautsprehermembran: Zonen hoher und niedriger Dihte ρ Zonen hohen und niedrigen Drukes p - Elastishe Wellen in Festkörpern / Dehnungswellen / Torsionswellen / Shallwellen in FK und Flüssigkeiten - Elektromagnetishe Wellen / Radar / Liht

4 Wir betrahten eine Welle in x-rihtung: / Röntgen- und Gammastrahlung Erreger: shwingende elektrishe Ladungen erzeugen elektromagnetishe Felder, die sih im Vakuum oder in Stoen ausbreiten Die asengeshwindigkeit ist die Geshwindigkeit der ewegung der Wellenberge und Wellentäler, allgemein einer beliebigen Shwingungsphase. Oenbar ist: y ( x, t) y( x t) (1) Plausibilitätserklärung: 1.) Momentaunahme bei t = 0: z.. m. Fotoapparat am Meer.) Momentaunahme bei t t1 : Die ase ist um t1 weitergelauen. Also: Für jeden Punkt x ist y jetzt so wie orher um *t 1 weiter links Der Shwingungszustand ist niht on x und t einzeln abhängig, sondern on der Kombination x t. Dies ist die ase der Welle, sie bestimmt y eindeutig. Gl. (1) beshreibt eine Welle ganz allgemein, also auh nihtperiodishe (Seilwellen, Stoßwellen, ). Im Folgenden wollen wir uns au harmonishe Wellen konzentrieren. Diese besitzen eine große edeutung. ildquelle:

5 / k T () ei elektromagnetishen Wellen gilt: = (Lihtgeshwindigkeit). k ist die Wellenzahl und deiniert als π / λ. Zur eshreibung einer Welle wird ot der Wellenzahlektor Ausbreitungsrihtung benutzt. k kew mit w e : Einheitsektor in In den Flähen, in denen x t den gleihen Wert hat, ist auh die Amplitude bzw. Elongation gleih. Diese Flähen stehen senkreht zur Ausbreitungsrihtung und heißen Wellenronten oder Wellenlähen. Wellenront = Flähe gleiher ase Ebene Wellen Kugelwellen Zylinderwellen ei einer harmonishen Welle ührt eine Stelle im Laue der Zeit eine Shwingung aus: y( t) y sin( t ). 0 0 Damit bei t = 0 das räumlihe Sinusproil herauskommt, muss φ 0 = kx sein; d. h. also: y( x, t) y sin( t k x) 0 bzw. ür eine allgemeine harmonishe Wellenersheinung: in reeller Darstellung: y( x, t) y0 sin( t k x) (3) 1D komplex: 3D komplex: i( t k x) ( x, t) 0 e oder i( k r t) ( r, t) 0 e. Das ist die Wellenunktion einer harmonishen Welle. Frage: Wie sieht die DGL aus, der eine Welle gehorht? ( x, t) ( x, t) 1 D: t x (4) Das ist die d Alembertshe Wellengleihung.

6 Diese Gleihung wird on jeder Funktion ( x, t) ( x t) erüllt (Gl. (1), niht nur on der Gleihung ür harmonishe Wellen (Gl. (3)). Der eweis erolgt mittels Probe, also durh Einsetzen der angegebenen Lösung in die DGL. Einshub: Andeutung eines eweises: ( x t) ( x t) ( x t) ( x t) ( ) t ( x t) t ( x t) ( x t) ( x t) ( x t) ( x t) (1) x ( x t) x ( x t) (*) (**) Vergleiht man die beiden Gleihungen (*) und (**), olgt soort: t x (***). Erneute Ableitung on Gl. (***) erüllt Gl. (4). Arten on Wellen - Polarisation: Experiment (V 5 / 101) Transersalwellen = uerwellen: Shwingungen quer zur Ausbreitungsrihtung ildquelle: Transersalwellen (Shall in Flüssigkeiten & Festkörpern; elektromagnetishe Wellen) ei Transersalwellen ist die Angabe Shwingung senkreht zur Ausbreitung niht eindeutig. Entsheidend ist die Lage der Shwingungsebene: - leibt diese entlang der Welle konstant, hat man linear polarisierte Wellen. Alle Teilhen shwingen in einer Ebene. Experimente: Polarisationsmodelle - Es kann aber auh sein, dass sih die Shwingungsebene entlang der Ausbreitungsrihtung dreht. Dies ührt zu zirkular oder elliptisher Polarisation. - Das Autreten on Polarisation ist ein Kriterium ür das Vorliegen on Transersalwellen. - ei unpolarisierten Wellen ist keine Shwingungsebene beorzugt. Es existiert eine statistishe Verteilung der Shwingungsrihtungen einzelner Wellenzüge, das ist ganz typish ür Glühliht. - Experiment: Polarisationsolien -

7 Longitudinalwellen: Shwingungen erolgen längs der Ausbreitungsrihtung (Shallwellen in Gasen) Es gibt Dehnungen und Stauhungen, Verdihtungen und Verdünnungen. Dehnung Stauhung ildquelle: Shwingung längs zur Ausbreitungsrihtung Longitudinalwellen (Shallwellen in Gasen) Verdihtungen & Verdünnungen 8.. Überlagerung on Wellen, Gruppengeshwindigkeit Wellen überlagern sih nah dem Superpositionsprinzip ungestört. Mathematish stekt das in der Linearität der d Alembertshen Wellengleihung und bedeutet: y 1 (t) ist Lösung Linearität y (t) ist Lösung y 1 (t) + y (t) ist auh eine Lösung Wellen können sih beim Überlagern erstärken, abshwähen bis auslöshen. Maximale Verstärkung zweier Wellen

8 Maximale Auslöshung zweier Wellen Verstärkung zweier Wellen

9 Abshwähung zweier Wellen Stehende Wellen: Hinlauende und rüklauende Welle (z.. nah Relexion an einer Grenzlähe) überlagern sih so, dass sih nihts mehr auszubreiten sheint. Experimente: Seilwelle estes & loses Ende, Wellenmashine mit Relexion & rehung Heißlutposaune, Monohord Chladnishe Klangiguren An Grenzlähen gibt es immer Relexion, rehung und Absorption. Gruppengeshwindigkeit: Die harmonishe Welle überträgt kein Signal. Ein Signal (z.. ein Liht- oder Funkimpuls) ist orstellbar als ein aus ielen harmonishen Wellen untershiedliher Frequenz zusammengesetztes Gebilde.

10 eispiel: Überlagerung on zwei harmonishen Wellen:,k,,k k Sie überlagern sih konstrukti, wenn ihre asen übereinstimmen, d. h., wenn gilt: kx t (( k k) x ( ) t) kx k x t t k x t Die Erüllung dieser edingung sihert also die ildung und Erhaltung eines Signals; es hat sih eine Wellengruppe gebildet. ei t 0 gilt obige edingung ür x 0. ei t t1 gilt sie ür x1 t1. k Die Wellengruppe bzw. das Wellenpaket bewegt sih also mit der Signalgeshwindigkeit x k. 1 t, im Grenzall d dk 1 Diesen Ausdruk nennt man Gruppengeshwindigkeit, Geshwindigkeit der Wellengruppe oder Signalgeshwindigkeit. gr d (5). dk Die asengeshwindigkeit war nah Gl. (8.1, ()) ph. k Umgestellt nah erhält man: k, also ~k. ph

11 Wenn ph ür alle Wellenlängen (d. h. ür alle k ) bzw. ür alle Frequenzen den gleihen Wert hat, erhält man: In diesem Fall sind gr eispiel: d d gr ( k ph) ph. dk dk und ph gleih. elektromagnetishe Wellen im Vakuum, Shall in Lut Allgemein: gr ph ph ( ) bzw. ( k ). Es gilt dann niht k. Es tritt Dispersion au. Deswegen ist ( k) die Dispersionsrelation. In diesem Fall zerließen Wellenpakete (sie dispergieren), jede harmonishe Welle des Pakets hat eine eigene Geshwindigkeit. eispiele: - Liht im Glas (Prisma) ( ) ph ph Lihtgeshwindigkeit hängt on der Frequenz und damit Farbe ab - Shall im Festkörper (hohe Töne lauen shneller) Übungsaugabe: Überlagerung zweier ebener harmonisher Wellen mit den (Kreis-)Frequenzen ω 1 und ω bzw. den Wellenzahlen k 1 und k : y1( x, t) ymax os( 1 t k1 x) und y( x, t) ymax os( t k x). Addiert man die beiden nah dem Superpositionsprinzip (ungestörte Überlagerung), erhält man: y y( x, t) y os( t k x) os( t k x). max Der erste Cosinus-Faktor beshreibt die tatsählih lauende Welle. Der zweite Cosinus-Term wird im Folgenden noh genauer diskutiert. 1 k1 k ω ist die mittlere Kreisrequenz; und k die mittlere Wellenzahl; k. Für die 1 k1 k mittleren Dierenzen kann man analog aushreiben: und k. 1 Die asengeshwindigkeit war nah Kap. 8.1 Gl. () k k k 1. Die Einhüllende (auh Hüllkure genannt) der Wellengruppe ist der langwelligere Anteil y y os( t k x). Hüllkure max

12 Konstante ase bedeutet nihts anderes als t k x onst. (Argument der Winkelunktion) Orte konstanter ase sind: t onst. x. k dx d 1 Für die Gruppengeshwindigkeit olgt dann Gr x() t. dt k dk k k Stellt man Gl. () in Kap nah ω um, k k d koder auh Gr. d 1 k k, und dierenziert nah k, erhält man Wenn die Ausbreitungsgeshwindigkeit niht on der Wellenlänge abhängt, also ( ), dann ist d 0 d ; Gr, und damit tritt keine Dispersion, kein Zerließen des Wellenpaketes au. Wenn Gr ist, spriht man on normaler Dispersion, ist hingegen Gr, on anomaler Prinzipien der Wellenausbreitung Im Folgenden werden einige allgemeine Prinzipien (eshreibungsmöglihkeiten, Verhaltensweisen, Eigenshaten) on Wellen behandelt. Sie gelten ür alle Wellen (z.. Liht, Shall, Funkwellen, ) Streuung Streuung ist die sehr ielältige Wehselwirkung einer Welle mit einem Hindernis: - Lihtwelle an einem Staubkorn in der Lut - elastishe Welle im Festkörper an einem Hohlraum ( Lunker ) - Wasserwelle an einem Wasserpahl - Röntgenbeugung, Neutronen- und Elektronenbeugung d - Rayleigh-Streuung - Tyndall-, Mie-Streuung elektromagnetishe - Ramanstreuung Wellen - Comptonstreuung Je nah Art der Änderung der Frequenz und ase der Welle bezeihnet man die Art der Streuung: - elastish, wenn sekundär primär - inelastish, wenn sekundär primär Die Frequenz der Streuwelle ist gegenüber der Primärwelle erändert. Es ist eine Energieübertragung in beide Rihtungen möglih.

13 - kohärente Streuung: Die Streuwelle hat eine este asenbeziehung zur Primärwelle. - inkohärente Streuung: Hindernis gibt augenommene Wellenenergie ab asenbeziehung geht erloren konstante eide Änderungen bzw. Nihtänderungen sind miteinander erknüpt. Es kann also z.. - kohärente elastishe Streuung (Röntgenbeugung) oder - kohärente inelastishe Streuung (Compton-, Ramanstreuung) autreten Das Huygens-Fresnelshe Prinzip Man kann die Wellenausbreitung anshaulih gut mit dem Huygensshen Prinzip erstehen: Jeder Punkt, der on einer Welle getroen wird, ist Ausgangspunkt einer (neuen) Kugelwelle (3D), Kreiswelle (D), Elementarwelle. Experiment: Wellenwanne mit Wasserwellen und Tuper Was geshieht, wenn Hindernisse autreten? Die einzelnen Elementarwellen überlagern sih zu einer neuen Wellenront bzw. ebene

14 ildquelle(n): kina&biw=1600&bih=1089#tbm=ish&q=huygens+resnel&imgr=zaa8j9wx8erdm: Dann kommt es zu eugung, Relexion, rehung et. Das Huygensshe Prinzip ührt alle diese Ersheinungen au Streuung und Intererenz (Überlagerung) zurük. Dabei müssen die asenlagen der sih überlagernden Teilwellen beahtet werden. Au einem geeigneten Shirm lässt sih die Intensitätserteilung der gestreuten und neu überlagerten Welle beobahten Das Fermatshe Prinzip (Pierre de Fermat ) - Extremalprinzip: Eine Welle läut zwishen zwei Punkten immer so, dass sie dazu möglihst wenig Zeit brauht. Das ührt z.. bei der rehung zu einer Rihtungsänderung an der Grenzlähe. Die Welle läut nämlih in dem Medium, in dem sie die größere asengeshwindigkeit hat, den längeren Weg und optimiert damit die Gesamtlauzeit on A nah. a x b ( l x) l l t t t 1 1 ph 1 ph ph 1 ph dt! FP: t Min. 0 dx dt 1 1 x 1 1 ( l x)( 1) x l x! 0 dx a x b ( l x) l l ph1 ph ph1 1 ph

15 x l x l1 sin lsin bzw. l l l l ph1 1 ph ph1 1 ph x l1 ^ l sin x sin sin sin ph1 ph (6) Snelliusshes rehungsgesetz Ganz analog erolgt die Herleitung bzw. der eweis des Relexionsgesetzes: Einallswinkel = Relexionswinkel (Ausallswinkel), allerdings erbleibt die Ausbreitung hier im selben Medium. Die Winkel werden grundsätzlih zwishen den erlauenden Strahlen und dem Lot gemessen Doppler-Eekt und Mahsher Kegel Christian Doppler ( ); Ernst Mah ( ) Shallwellen brauhen ein Medium zur Ausbreitung; Liht hingegen niht. Experiment: Shallquelle im Vakuum isher haben wir angenommen: Empänger E, uelle und Medium M sind in Ruhe. Wenn dies aber niht der Fall ist, beobahtet man Frequenzänderungen. Der Doppler-Eekt beshreibt die Frequenzänderung bei der Wahrnehmung on Liht oder Shall inolge der Relatibewegung zwishen uelle und eobahter. Dies ührt zu einer Deormation der Wellen. ildquelle: 7FEF93&FORM=IFRA

16 Es sollen jetzt ershiedene Fälle diskutiert werden, wobei zunähst angenommen wird, dass das Medium ruht: 1.) eobahter ruht, uelle bewegt sih mit au zu; < Shall ; Shallgeshwindigkeit ist asengeshwindigkeit : Zwishen und rüken wegen der ewegung on die Wellenberge (Wellenronten) näher zusammen. Demzuolge ist die Wellenlänge λ < λ 0. In der Zeit T (Periode) rükt die uelle um T näher an den eobahter heran und erkürzt um diesen etrag die Wellenlänge 0 0 T 0 0 0(1 ) (7). 0 Der eobahter registriert jetzt die Frequenz / 1 / 0 0 (8). Wenn sih die uelle nun immer shneller bewegt und shließlih die Shallgeshwindigkeit erreiht, wird die Wellenlänge 0. Alle Wellenberge türmen sih zur sogenannten Shallmauer au. Wird die Geshwindigkeit der uelle größer als die asengeshwindigkeit, bildet sih eine Kopwelle aus, die Shallwellen sind au den Raumbereih hinter dem Mahshen Kegel beshränkt. Önungswinkel des Mahshen Kegels: sin 1/ M (9) M: Mahshe Zahl oder auh Mahzahl eispiel: ei M = liegt das Flugzeug mit der doppelten Shallgeshwindigkeit. Der Übershallknall ist das Überstreihen des Ortes des eobahters durh den Mahshen Kegel. Das Flugzeug shleppt einen Knallkegel mit sih ort.

17 ild- bzw. Videoquelle(n): " 18_Hornet_breaking_sound_barrier_(7_July_1999)_-_iltered.jpg" ---> Foto om Übershalllugzeug " 14A_Tomat_supersoni_lyby%C_1986.og" ---> Video.) Die uell ruht; der eobahter bewegt sih mit au zu: Die on ausgehenden Wellen sind Kugelwellen der Wellenlänge λ 0. Würde ruhen, würde er die Originalrequenz 0 0 spüren. ewegt er sih aber au die uelle zu, erhöht sih die Frequenz (wie bei der ewegung der uelle ). Trotzdem ist diese Frequenzershiebung aber on der oben diskutierten ershieden. Dazu stellen wir uns or, wir könnten die Welle einrieren. misst dann nur noh die Frequenz Δ, mit der er über die Wellenberge streiht. Von erg zu erg brauht er die Zeit T = λ 0 /. Er misst also die Frequenz 1/ T ' / 0 0 (10). Wird dann die Welle wieder augetaut, kommt die ursprünglihe Originalrequenz noh hinzu. Man hat also bei ruhender uelle q und bewegtem eobahter die Frequenz (1 ) (11) ) Die uelle bewegt sih mit au den eobahter und dieser sih mit au die uelle zu: Hier bedar es keiner Herleitung weiter, beide origen Eekte kommen gemeinsam zum Tragen: (1). 4.),, und M bewegen sih (relati zueinander): Die bisher diskutierten Geshwindigkeiten und können sinnoll nur relati zum Medium angegeben werden. Im Speziallall parallel zu M und beide nah rehts gerihtet (während in die entgegengesetzte Rihtung, also nah links zeigt: ( M) 1 0 ( M) 1 (13). Falls eine der Geshwindigkeiten ihre Rihtung ändert, ist in obiger Gleihung (13) das jeweils zugehörige Vorzeihen zu ändern. ei shie zueinander liegenden Geshwindigkeiten hat man nur die Komponenten bezüglih der -Rihtung einzusetzen.

18 5.) Lihtwellen Elektromagnetishe Welle(n); Wegall des Ausbreitungsmediums M Aueinanderzubewegung mit Relatigeshwindigkeit (14) Voneinanderwegbewegung (15) uelle eobahter beobahtete Frequenz : asengeshwindigkeit (Shallges (1 ) (1 ) 1 1 hwindigkeit) Tabelle nah Hering, Martin, Stohrer: ysik ür Ingenieure, 1. Aulage Lehrbuh, Springer Verlag, ISN ildquelle:

19 4E58CD0CEE51D C7E E&seletedIndex=5&id=kwu5Yj C&simid= &thid=OIP.kwu5YjCqApEhgLDls6wEsDh&aja xhist=0

20 uelle des Videos bzw. der Graik: html 8.5. Zusammenhang on Energie und Intensität einer Welle Wir betrahten einen Shwingungszustand: Es gibt Teilhen mit maximaler potentieller Energie k m Epot x, andere haben zum gleihen Zeitpunkt maximale kinetishe Energie 0 Ekin. 0 k ist die Federkonstante; m die Masse des Teilhens; x 0 ist die Amplitude (maximale Elongation) und 0 k deren Geshwindigkeit. Im zeitlihen Mittel haben die Teilhen die Energie x 0, wie im Kapitel Shwingungen gezeigt werden konnte (gl. Kap ). Die Teilhen shwingen senkreht zur Ausbreitungsrihtung und bleiben alle an ihrem Ort. Die Energie wird in Ausbreitungsrihtung ohne Stotransport weitergeleitet. Die pro Zeiteinheit Δt transportierte Energie ΔE ist die Leistung P: E E V x P A A, t V t t ω ist die Energiedihte (Energie E pro Volumen V); die Ausbreitungsgeshwindigkeit des Shwingungszustandes (asengeshwindigkeit); A die durhströmte uershnittslähe. Die Intensität I ist die Energie E pro Flähe A und Zeit t: E At I. Anmerkung / Hinweis: In ielen Lehrbühern steht ür ω j und ür. Umgeormt E 1 m 1 x x V V 0 0 ergibt ür die Intensität 1 1 I x0 x0 Z mit Z als Wellenwiderstand Merke: Die Intensität I ist immer proportional zum Amplitudenquadrat x 0.