2. 5. Wellenfortschrittsgeschwindigkeiten

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1 . 5. Wellenortshrittsgeshwindigkeiten llgemein olgt aus vershiedenen Wellentheorien und insbesondere aus der Wellentheorie von IRY-PCE ür Sinuswellen beliebiger änge und ür alle Wassertieen d die eziehung ür die Wellenortshrittsgeshwindigkeit, (vergl. auh bshnitt 1 ür Tiewasser und besonderes Kapitel.6. Dispersion) g π tanh d π (17) Sie sagt aus, dass Wellen sih um so shneller ausbreiten a) je größer ihre ängen und b) je größer die Wassertieen d sind. Mit d d > 0 bzw. d d < 0 beshreibt sie eine sog. Normale Dispersion üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.1

2 Wie in bshnitten 1 und. ausgeührt, dar die Wellenortshrittsgeshwindigkeit ( Wellenshnelligkeit) niht mit den Orbitalgeshwindigkeiten w verwehselt werden. Diese müssen stets kleiner als die Wellenshnelligkeit sein, damit die Wellenbewegung stabil bleibt. Ist statt der Wellenlänge die Wellenperiode T gegeben, so kann mit Gleihung () (0) T durh geeignete Iterationsverahren die Wellenshnelligkeit ( Wellenortshrittsgeshwindigkeit) nah Gleihung (17) ermittelt werden. Sie kann jedoh einaher auh einer Graik entnommen werden, vergl. weiter unten. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.

3 Gleihung (17) kann ür verhältnismäßig große Wassertieen (Tiewasser) und ür kleine Wassertieen durh Näherungsgleihungen ersetzt werden: a) Tiewasser ür d / (07) kann in Gleihung (17) näherungsweise π tanh d gesetzt werden. Es wird 1 g 1, 5 π (18) üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.3

4 Mit Gleihung () T (0) kann ür Tiewasserbedingungen auh die eziehung zwishen der Wellenshnelligkeit und der Wellenperiode T durh g T π (19) ausgedrükt werden. Ebenso ergibt sih mit Gleihung (0) die eziehung zwishen der Wellenlänge und der Wellenperiode T zu T g T π (0) üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.4

5 Im metrishen System gibt es daher ür Tiewasserbedingungen die einahen eziehungen und 1,56 1,56 Folgerungen ür T T (19) (0) a). Tiewasser: ei d / hat die Wassertiee au die Wellenortshrittsgeshwindigkeit keinen Einluss mehr und die Wellenortshrittsgeshwindigkeit wähst linear mit der Wellenperiode T. Die Wellenlänge nimmt mit dem Quadrat der Wellenperiode T zu. emerkung: ei shweren Stürmen entstehen Wellen großer änge (Periode); sie bewegen sih shneller als das erzeugende Sturmtie selbst. nshwellende Dünung ( langperiodisher Seegang) war zu allen Zeiten in der Seeahrt als Sturmzeihen bekannt und geürhtet. Dagegen sind die extrem langen Tsunami-Wellen (seismishe Shwerewellen) au oenem Meer kaum wahrnehmbar. Wegen ihrer andersartigen Erzeugung durh plötzlihe ewegungen des Meeresbodens entspriht ihre Kinematik derjenigen von Flahwasserwellen. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.5

6 b) Flahwasser ei sehr lahem Wasser, wo die Wassertiee etwa d tanh 0, 1 kann der tanh durh sein rgument ersetzt werden: π π d d und es wird aus Gleihung (17) die einahe GRNGEshe Gleihung ür Shwall und Sunk (Flahwasserwellenortshrittsgeshwindigkeit) g d (1) mit der Wellenlänge nah Gleihung (0) T gd T üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.6 ()

7 Weitere Folgerungen ür Flahwasser: Unter Flahwasserbedingungen hat die Wellenperiode T keinen Einluss au die Wellenortshrittsgeshwindigkeit und die Wellenortshrittsgeshwindigkeit ist nur noh von der Wassertiee d abhängig. emerkungen: us der bleitung der GRNGEshen Gleihung aus dem Impulssatz, s.o., geht hervor, dass auh die Wellenhöhe als Term zweiter Ordnung in die Wellenortshrittsgeshwindigkeit eingeht. Es lautet die ösung. Ordnung beispielsweise g d 1+ 3 H d Dies hat zur Folge, dass in sehr lahem Wasser (etwa vor und in randungszonen) die Wellenhöhe derart eingeht, dass höhere Wellen etwas shneller sind als niedrigere Wellen. Diese eziehung wird aber von weiteren nihtlinearen Prozessen begleitet, sodass sie niht deutlih hervortritt (vergl. auh NOME DISPERSION weiter hinten). üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.7

8 Mit der allgemeinen ösung ür die Wellenortshrittsgeshwindigkeit nah IRY-PCE g π tanh d π (17) sind jedenalls alle Wassertieenbereihe erasst. Für die Wassertieen der Deutshen uht und der Ostsee ist eine Parameterdarstellung au wiedergegeben. Hier handelt sih um eine Darstellung der Wellenortshrittsgeshwindigkeit in m/s über der Frequenz in Hz. Zur Verwendung dieser utragung ist es demnah erorderlih, eine gg. bekannte Wellenperiode T gemäß 1 T umzurehnen. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.8

9 Durh Verwendung des Diagramms kann im Einzelall leiht estgestellt werden, ob eine Näherung ür den Tiewasserbereih g π oder ür den Flahwasserbereih g d (18) (1) der gewünshten Genauigkeit entspriht oder niht.. Zur Transormation von Shwerewellen: angwellige Shwingungswellen (Shwerewellen) (gg. auh Tsunami - Wellen), die - aus dem Tiewasser kommend - sih der Küste näheren, unterliegen insbesondere der durh abnehmende Wassertiee bedingten Wellentransormation ( Shoaling Eekt, siehe 13.1). üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.9

10 Unter der meist zulässigen Voraussetzung, dass Energieumwandlungen (etwa durh odenreibung und Wellenbrehen) vernahlässigt werden können und die durh den Vertikalquershnitt hindurh tretende Wellenleistung 1 P γ b H konst. ist (vergl. 13.1), 8 T ist eine derartige Transormation einerseits durh abnehmende Wellenlängen bzw. abnehmende Wellenortshrittsgeshwindigkeiten /T und andererseits durh zunehmende Wellenhöhe H gekennzeihnet. Dementsprehend tritt also die durh das Quadrat der Wellenhöhe harakterisierte zerstörerishe Energie von Shwerewellen mit zunehmender nnäherung an die Küste durh immer stärkere Wellensteilheit (S H/) auh visuell immer stärker in Ersheinung. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.10

11 Theoretishe Transormation einer Shwerewelle (lineare Näherung (Sinus-Wellen)). eispiel einer aus dem Tiewasser kommenden Welle mit der Periode T 10s, änge o 156m, Höhe H 0 1m. d[m] [m] H[m] / d m d 5m d 10m d 78m Die Welle wird mit der abnehmenden Wassertiee immer kürzer und höher bis sie etwa bei einer Wassertiee d H briht. Demnah wäre die ür d m dargestellte Wellenorm einer Shwingungswelle mit einer Wellenhöhe von H 4m niht mehr möglih! üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.11

12 Transormation von Tsunami-Wellen: Tsunami Wellen stellen bereits bei ihrer Erzeugung - wegen ihrer extremen änge ( >150km >>d) - in der Regel Flahwasserwellen dar, deren Geshwindigkeit (bis etwa 1.000km/h) durh Gleihung (1) gegeben ist. Ihre Transormation zu kürzeren Wellenlängen erolgt demnah in bhängigkeit von der Wassertiee d gemäß T gd T Tsunami in Küstennähe am , 1 SM westl. von Phuket: (Ship Merator ) d[m] 11,91 H max T[s] 6,35 H max [m] 06,56 [m/s] 10,81 [m] 85 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.1

13 emerkung zu Tsunami Wellen (Seismishe Seebebenwellen): Tidepegel Hilo, Hawaii, : Zeiger am nshlag bbildungen: asom, W. (1964) Plötzlihe Verwerung Hangrutshung Tsunamis treten an der Küste als Wellengruppe in Ersheinung. Für ihre Kinematik sind die Umstände ihrer Entstehung (uslösung) von besonderer edeutung: Sowohl bei der Verwerung als auh bei der Hangrutshung werden uslenkungen des Seebodens großlähig und direkt au das gesamte darüber beindlihe inkompressible Wasservolumen übertragen. Das entstehende Geshwindigkeitseld entspriht daher eher etwa demjenigen von Flahwasserwellen. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.13

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16 eispiele: a. Für eine okation mit der Wassertiee d 1 m sei eine mittlere Wellenperiode T 9,09 s gegeben. Die zugehörige Frequenz beträgt 1/T 0,11 Hz, blesung der Phasengeshwindigkeit in Diagramm 1 (03.14) ergibt 9,8 m/s; Die Wellenlänge beträgt. T / 89 m. b. Für eine okation mit der Wassertiee d 5 m sei eine mittlere Wellenlänge 00 m gegeben. erehnung oder blesung der Phasengeshwindigkeit im Diagramm (03.15) ergibt 14,31 m/s; Die Wellenrequenz / 0,07 Hz bzw. Die Wellenperiode T 1/ 13,98 s. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.16

17 . 6. Dispersion ei Wellenvorgängen wird unter Dispersion insbesondere die bhängigkeit der Phasengeshwindigkeit p (in m/s) ( Wellenortshrittsgeshwindigkeit ) von der Wellenlänge [in m] bzw. von der Frequenz [in Hz] verstanden, vergl. oben. Die Gruppengeshwindigkeit g ist die Geshwindigkeit, mit der sih eine Wellengruppe (d.h., das Intensitätsmaximum mehrerer sih überlagernder Wellen) ortbewegt, deren Wellenlängen sih nur wenig untersheiden. Ist die Phasengeshwindigkeit ür alle Teilwellen der Gruppe gleih, sind Gruppen- und Phasengeshwindigkeit identish. Ist dies niht der Fall, liegt Dispersion vor und es gilt nah Rayleigh: d Man untersheidet: g p d Normale Dispersion: d/d > 0 bzw. d/d < 0 p und nomale Dispersion: d/d < 0 bzw. d/d > 0 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.17

18 . 6.1 Dispersion nah Theorie 1. Ordnung IRY-PCE g π tanh d T π Die klassishe Dispersionsrelation umasst die untershiedlihe usprägung der Dispersion in bhängigkeit von der Wassertiee: d d g 8 π 1 > 0 d d bzw. d d 0 bzw. g π < 0 d Grenzwert (Maximum) im Tiewasser: d 0 mit vergl g T π Mit der Wassertiee abnehmend im Übergangsgebiet: d d d > 0 bzw. < 0 d mit Null im Flahwasser: d d 0 bzw. 0 mit d d gt π g tanh d π π T üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.18 g d 1 g d g π π tanh d

19 . 6. ndere Formeln ür die Wellenortshrittsgeshwindigkeit im Flahwasserbereih Im Flahwasserbereih sind bekannte Wellentheorien nur noh bedingt anwendbar und versagen vollständig im randungsgebiet. In der Natur gemessene Wellenortshrittsgeshwindigkeiten sind i.a. größer als diejenigen nah der Theorie 1.Ordnung (IRY). Seewärts des rehpunktes werden sie gg. eher durh Formeln beshrieben, in denen die Wellenhöhe als Term. Ordnung enthalten ist, während dies im usbrandungsgebiet weniger zutreen dürte. Eine bhängigkeit von der Wellenlänge oder von der Frequenz wird durh keine der naholgenden Formeln erasst. Theorie d. Einzelwellen: agrange g d 1+ 3 H d ( 1 + m ) g d 1 ( d H ) g + g d 1+ 3 H 4 d Sylt 1978 mit 0,1 m 0, 8 (üshing 1978: Ist am rehpunkt m m b, wird bei x / 3 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.19 bereits m m ) b

20 . 6.3 Wellentransormation inolge von Strömungen In der Natur liegt im allgemeinen eine Wehselwirkung der Wellenkinematik mit einem weiteren Strömungseld vor, dessen Einluss von keiner bekannten Wellentheorie erasst wird. Derartig überlagerte Strömungen bewirken niht nur eine Verormung der Wellen sondern haben u.a. inolge des Doppler Eektes Einluss au die Frequenz und damit auh au die Dispersion und Transormation der Wellen Doppler Eekt (inolge konstanter Strömungsgeshwindigkeit) Unbeshleunigte Strömungen stellen den Sonderall dar. Unterliegt das Trägermedium der Wellen etwa einer konstanten Strömung, mit einer dem Wellenortshritt gleih- oder entgegengerihteten Komponente, so ist die Frequenz bzw. Periode gegenüber einem durh Strömung unbeeinlussten Medium verändert. Ist die Strömungskomponente u M dem Wellenortshritt gleihgerihtet, kommen an einem Messort pro Zeiteinheit mehr Wellen an. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.0

21 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.1 Dies bedeutet, dass die Wellenlänge, die bei ehlender Strömung vorhanden wäre, hier um das Verhältnis M u verkürzt als gemessen wird: M M u u < 1 Für die Frequenz am Messort ergibt sih daher: M u > 1 Für eine entgegengesetzt gerihtete Strömungsgeshwindigkeit u M, sind in den Klammern positive Vorzeihen zu verwenden.

22 eispiel: n einer okation der Wassertiee d 1 m wurden eine Strömungsgeshwindigkeit u M - 0,3m/s (entgegen dem Wellenortshritt) und eine Wellenrequenz 0,1 Hz gemessen. Welhe eträge hätten die Frequenz und die Wellenlänge, wenn an derselben okation keine Strömung vorhanden wäre und die Dispersionsrelation nah IRY als gültig vorausgesetzt wird? Mit der Dispersionsrelation steht eine zweite eziehung zwishen und zur Verügung. Mit 9,51 m/s ergibt sih 0,138Hz > 0,1 Hz; / 76,83m; 79,5m. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.

23 .6.3. Wellentransormation inolge beshleunigter Strömungen. eshleunigte Strömungen nahe der Wasseroberlähe (Tritströmungen) können au meteorologishe Einlüsse zurükgeührt werden. Durh die Tidebewegung verursahte beshleunigte Strömungen erstreken sih in Flahmeeren ot über die gesamte Wassertiee. Ähnlihes gilt in Küstennähe ür großräumige Rükströmungen (undertow), sog. Rippströmungen und ür brandungserzeugte Rükströmungen (bakwash). Die letzteren stellen eine wihtige Komponente des randungsprozesses dar, da ihr Einluss au die Phasengeshwindgkeit insbesondere als Ursahe ür eine deutlihe Frequenz- bzw. Periodenänderung ausbrandender Wellen entlang eines Wellenstrahls angesehen werden kann. Werden untershiedlihe Phasengeshwindigkeiten entlang eines Wellenstrahls au eine (konvektiv) beshleunigte ewegung des Trägermediums der Wellen zurükgeührt und zugleih Frequenzveränderungen entlang dem üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.3

24 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.4 Wellenstrahl in etraht gezogen, kann daraus geolgert werden, dass an zwei Orten und untershiedlihe Wellenanzahlen pro Zeiteinheit vorhanden sind. Nimmt inolge einer dem Wellenortshritt entgegengerihteten Strömung die Phasengeshwindigkeit zwishen den Orten und von au ab, so olgt daraus, dass am Ort in der Zeiteinheit weniger Wellen ankommen, als wenn konst. Ist die Dierenz der Phasengeshwindigkeiten ist bzw. δ δ vergrößert sih die Wellenlänge / au dem Wege von nah um das Verhältnis δ + au ( ) ( ) 1 δ + + δ + δ Damit ergibt sih die Frequenz am Ort zu: < + δ δ (üshing, 1980)

25 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.5 Die Dierenz der Frequenzen wird als Frequenzvershiebung deiniert: ( ) δ Demnah kann δ positiv oder negativ sein, je nahdem ob oder < < > > nwendung au Tideströmungen im Übergangsbereih: Wird ür den Übergangsbereih die Gültigkeit der klassishen Dispersionrelation vorausgesetzt, so kann die Frequenzvershiebung au die Phasengeshwindigkeit der Tiewasserwellen bezogen werden. 0 0 g π ( ) 0 0 g + π Mit dem Parameter 0 ergibt sih die Kurvenshar

26 Diese ist als Kurvenshar II zusammen mit der klassishen Dispersionsrelation (Kurvenshar I) der bbildung 03.7 zu entnehmen. Überlagerte Strömungskomponenten und deren uswirkung au die Wellenrequenz können durh die Verwendung beider Kurvensharen wie olgt abgeshätzt werden: Weiht das an einer okation gemessene Wertepaar,, von der ür die Wassertiee d der okation gültigen Parameterkurve der Kurvenshar I ab, so kann ein durh Strömung unbeeinlusstes Wertepaar, dadurh geunden werden, dass ausgehend vom Punkt, der Rihtung der Kurvenshar II bis zu der ür die Wassertiee d gehörigen Parameterkurve der Shar I geolgt wird. Falls >, liegt eine dem Wellenortshritt entgegengerihtete (negative) konvektive eshleunigungskomponente des Trägermediums der Wellen vor, d.h., eine durh Strömung bedingte Verringerung der Phasengeshwindigkeit. Im umgekehrten Falle < ist die überlagerte Strömungskomponente dem Wellenortshritt gleihgerihtet. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.6

27 üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.7

28 eispiel: n einer okation mit der Wassertiee d 1 m wurden die Feldmessdaten 9 m/s und T 8,33 s (entsprehend 0,1 Hz) gemessen. Die ür die vermutete Frequenzvershiebung maßgebende Parameterkurve der Kurvenshar II ist gekennzeihnet durh den Parameter 0 0,153 Hz, der am Shnittpunkt mit der Grenzkurve ür Tiewasser geunden wird. blesungen an der Parameterkurve ür d 1 m : a. 9,3 m/s > bedeutet konvektive Geshwindigkeitsänderung um δ -0,3 m/s inolge einer entgegengesetzt gerihteten Strömungskomponente; b. 0,18 Hz > ist gleihbedeutend mit einer von Strömung unbeeinlussten Wellenperiode T 1/ 7,81 s < T. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.8

29 nwendung au Rükströmungen im randungsgebiet Die Wellentransormation im usbrandungsgebiet ist durh eine anomale Dispersion gekennzeihnet. Die Transormation der Wellen kann ausgehend von der reherzone (Wellenbrehpunkt) näherungsweise etwa in bhängigkeit von der Wassertiee abgeshätzt werden, wenn ür den Wellenortshritt im usbrandungsbereih als gültig vorausge setzt wird: ( 1 + m ) g d eispiel: In der reherzone sind als Mittelwerte bekannt die Wassertiee d 1,50 m, die reherrequenz 0,14 Hz sowie die Wellenshnelligkeit 4,3 m/s und damit auh die Wellenlänge / 30,71m. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.9

30 Gesuht sind die Wellenparameter und im usbrandungsbereih ür einen Ort mit der Wassertiee d 1,10m. m rehpunkt ist m ( g d ) 1 1 0, 1 b Wird ür den usbrandungsbereih m 0,5 m b gewählt, ist ( 1+ m) g d 4, 11 4,11 0,14 8,6 4,11 0,18Hz und / 3,11m m/s. üshing, F.: Küsteningenieurwesen 005/03.30