3.Prinzipien analoger und digitaler Demodulationsverfahren

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1 3.Prinzipien analoger und digitaler Demodulationsverfahren Vereinbart werden folgende Symbole und Indies : Index kennzeihnet den Träger (Carrier). Index i kennzeihnet die Hilfsträger der Mishprozesse. Index m kennzeihnet das Modulationssignal im Basisband. Index s kennzeihnet die Stelle der Abtastfrequenz. n wird im zeitdiskreten Bereih als Variable verwendet, k wird im diskreten Bildbereih als Variable verwendet. kennzeihnet die Fouriertransformation in den Bildbereih, in der Literatur auh mit angegeben. x t kennzeihnet den Imaginärteil von x t. Ω ist die normierte Frequenz Ω = ω ω s. Anhand der AM-Demodulation wird am Ende des folgenden Kapitels die erste digitale Realisierung beshrieben. 3.. Analoge AM-Demodulation Die Amplitudenmodulation (AM) oder auh Zweiseitenbandmodulation ohne unterdrükten Träger (DSB) ist das älteste und bekannteste Modulationsverfahren. Die Amplitudenmodulation ist aus historishen Gründen die wihtigste Modulationsart in der Funknavigation. Deshalb soll sie an dieser Stelle -auh im Hinblik auf die digitale Demodulation- kurz betrahtet werden. Gleihzeitig ist die AM auh das einfahste Modulationsverfahren. Eine Tastung des Trägers stellt nur einen Spezialfall der AM dar. Die Amplitudenmodulation läßt sih für den Fall osinusförmiger Modulation beshreiben durh : x t = u + u os ω t os ω t (3.) oder m x( t) = u + m os( ω t) os ( ω t) (3.) m u mit dem Modulationsgrad m =. (3.3) u Es ergibt sih x( t) = u os ( ω t) + u m os( ω t) os( ω t). (3.4) m Eingeführt 965 von Braewell [ 7]. Seite 47

2 Mit dem Additionstheorem folgt x( t) = u t u m t t u m os ω + os ω ωm + os ωt + ωmt Träger LSB USB. (3.5) Die drei Summanden repräsentieren drei Teilshwingungen. Sie ersheinen bei sinusförmigen Größen im Spektrum in Form von drei diskreten Linien. Eine Leistungsbetrahtung liefert an einem Widerstand R die Gesamtleistung P tot als Summe der Trägerleistung P und der Seitenbänder P LSB und P USB : Ptot = P + PLSB + PUSB P u R tot = + m = P + m (3.6) / 4 / (3.7) Die Seitenbandleistung bezogen auf die Gesamtleistung für das obere Seitenband ergibt sih zu P P USB tot m / 4 = + m / 4 und mit m= im Idealfall zu P USB P = tot 6. (3.8) Ein Nahteil der Amplitudenmodulation ist die shlehte Sendeenergieausnutzung. Auh bei 00 % Modulation (m=) enthalten die beiden Seitenbänder weniger als 7% der Gesamtenergie. Trotz der Nahteile basieren alle Flugfunkund Navigationsanlagen (unterhalb von 400 MHz) auf der Amplitudenmodulation, insbesonders VOR ILS aber auh NDBs (nur Kennung) COM DME und TACAN (als Spezialfälle) Die ICAO plant mittelfristig auh für den Sprehfunk-Betrieb (COM) keine Änderung der Modulationsart. Bild 39 zeigt das Spektrum der AM bei Modulation eines Trägers der Frequenz f mit einem harmonishem Signal der Frequenz f m. 0 f f m f - f + f m f Bild 39: Spektrum der AM (qualitativ) Nah Einführung der komplexen Zeigerdarstellung läßt sih der Übergang zur digitalen Signaldemodulation zeigen. Dazu wird das Produkt aus modulierendem, osinusförmigen Basisbandsignal u m und Träger u x t = u t u t m (3.9) vergl. [5]. Seite 48

3 mit dem Modulationsgrad m durh x t j m m ω u e t e j ωm t e = + + j ω m t (3.0), bzw. x t = u e j ω t u m e j t u m + ω ωm + e j ω + ωm t, (3.) u ulsb uusb ausgedrükt. Um das Basisbandsignal durh Demodulation zurükzugewinnen, wurden vershiedene Ansätze gemaht. In analogen Systemen werden vor allem die. Demodulation durh Gleihrihtung und. die Synhron-Demodulation eingesetzt. Bevor auf die Verfahren der digitalen Demodulation eingegangen wird, folgen kurze Beshreibungen der herkömmlihen analogen Verfahren Demodulation durh Gleihrihtung Das Verfahren der Demodulation durh Gleihrihtung, auh inkohärente Demodulation oder Hüllkurvendemodulation genannt, kann nur bei Modulationsgraden m< angewendet werden. Die in der analogen Realisierung verwendete Gleihrihterdiode würde sonst unterhalb ihrer Shwellspannung betrieben werden. Außerdem ist dieses Verfahren sehr anfällig für überlagerte Offsetspannungen, die zuerst mit einem Hohpaß entfernt werden müssen. Bild 40 zeigt das Prinzip. x U d Hohpass Halbwellen-Gleihrihter Tiefpass Bild 40: Der einfahe Hüllkurvendemodulator. Als Ergebnis der Hüllkurven-Demodulation eines Trägers der Frequenz ω mit einem osinusförmigen Nutzsignal der Frequenz ω m entsteht vor dem Tiefpaß π ud t = u + m osω m t + osω t + osω t os 4ω t +... π 3 5. (3.) Gl. (3.) entsteht aus der Fourier-Reihenentwiklung des idealen Halbwellengleihrihters. Bild 4 zeigt die Signale x und u d qualitativ im Zeitbereih. Seite 49

4 x u d t t Bild 4: Zeitsignale im Hüllkurvendemodulator ohne Tiefpaß (qualitativ). Aus Gleihung (3.) gehen die nah der Gleihrihtung im Signal vorhandenen Anteile hervor. Neben dem Basisbandsignal bleibt der modulierte Träger erhalten, und es entstehen geradzahlige Oberwellen. Ein Tiefpaß mit der Grenzfrequenz ω entfernt alle Anteile oberhalb einer ut Grenzfrequenz ω m. Der analoge Hüllkurvendemodulator ist wegen der notwen- max digen hohen Filtergüte des analogen Tiefpaß-Filters nur für ω < ω << ω ω m max ut m max (3.3) einsetzbar. Eine direkte diskrete Nahbildung des analogen Verfahrens ist, wie eine Abshätzung für den Fall des VOR-Empfangs mit ω m 0.5 kh z und ω max 50 khz (3.4) zeigt, niht sinnvoll. Durh den Einsatz eines steilflankigen digitalen Filters kann die Bedingung (3.3) zu ω < ω < ω ω m max ut m max (3.5) vereinfaht werden. Wie aber in Bild 40 zu erkennen ist, wird noh ein Hohpaß zur Abtrennung der Gleihkomponente benötigt. Ein nihtrekursives digitales Filter müßte dann mit f m min = 30 Hz (3.6) und (3.4) je nah Abtastrate eine Länge von mehr als 000 Koeffizienten haben. Eine Forderung, die mit vertretbarem Aufwand an Rehenzeit niht erfüllbar ist. Eine Dezimation der Abtastrate würde den Rehenaufwand nur in das Dezimationsfilter verlagern und ist wegen der großen VOR-Signalbandbreite (a. 30 Hz bis 0.5 khz) nur bei sehr hohen Abtastraten realisierbar. Die inkohärente Demodulation liefert außerdem bei m= und einem offsetbehafteten Signal Verzerrungen einer Halbwelle des demodulierten Signals. Seite 50

5 3... Kohärente Demodulation Das Verfahren der Kohärens- oder Synhron-Demodulation wendet die AM- Modulation ein zweites Mal auf das AM-modulierte Signal x an. Hierzu wird ein u eingeführt. u t = u os ω t + ϕ (3.7) Dieser Hilfsträger muß zum Originalträger frequenzgleih sein, darf aber um den konstanten Phasenwinkel ϕ vershoben sein. Das demodulierte Signal entsteht dann als Mishprodukt von Hilfsträger und moduliertem Träger. Vor dem Tiefpaß gilt u t = x t u os ω t + ϕ. (3.8) d In herkömmlihen analogen Systemen wird ein Dioden-Ringmisher als gesteuerter Shalter verwendet. Bild 4 zeigt dazu den Verlauf der Zeitsignale. x u d t t Bild 4: Der qualitative Verlauf der Zeitsignale des Synhron-Demodulators ohne Tiefpaß. Wird ϕ = 0 angenommen, dann liefert eine Fourierreihenzerlegung der Demodulierten des Ringmodulators ohne Tiefpaß ud ( t) = u + m os ω mt + osω os 4ω +... (3.9) π 3 5. Ein Vergleih mit Gl. (3.) zeigt die verdoppelte Amplitude der Spektralanteile. Außerdem ist im Spektrum von u d t ein Trägerrest nur noh mit doppelter Trägerfrequenz (und allen geradzahligen Vielfahen) vorhanden, so daß die Anforderungen an das Tiefpaßfilter reduziert werden zu ω < ω < ω ω. (3.0) m max ut m max Wird der Dioden-Ringmisher durh einen analogen Multiplizierer ersetzt, so ergibt sih eine Anordnung gemäß Bild 43. Seite 5

6 x u d u d u Bild 43: Der Synhrondemodulator mit Multiplizierer. Darin ist x das AM-modulierte Signal. s ist das harmonishe Basisbandsignal in der Form s( t) = + m os( ω t). m Für das Signal vor dem Tiefpaß ergibt sih u ( t) = s( t) u os ( ω t) u os ω t + ϕ d uu = s( t) os ω t ω t + ϕ + os ω t + ω t + ϕ Aus der Forderung ω = ω für den Synhrondemodulator folgt daraus (3.) uu ud ( t) = s( t) os ϕ + os ω t + ϕ (3.) Ein Tiefpaß der Grenzfrequenz ωut < ω entfernt die störende Komponente bei der doppelten Trägerfrequenz, so daß sih u d zu uu ud ( t) = s( t) os ϕ (3.3) vereinfaht. An den Phasenwinkel ϕ des Hilfsträgers werden zwei Forderungen gestellt. Der Phasenwinkel muß konstant sein und eine Phasenlage um 0 oder π aufweisen. Eine Phasenlage des Hilfsträgers um ± π / führt zu einer Auslöshung des Nutzsignals. Das einzige Problem dieses Verfahrens ist also die phasenstarre Regeneration des Hilfsträgers u. In der Praxis wird übliherweise eine Phasenregelshleife (PLL) zur Trägerrükgewinnung eingesetzt. Das folgende Bild zeigt den PLL-Synhrondemodulator. s x VCO Bild 44: Prinzip des Kohärenzdemodulators mit PLL Seite 5

7 Dieses Verfahren ist leiht mit Methoden der Digitalen Signalverarbeitung (DSV) realisierbar, Hagiwara et. al. beshreiben in [3] und [44] hierzu ein verbessertes adaptives Verfahren. Sowohl die inkohärente als auh die kohärente AM-Demodulation könnten verfahrenstehnish direkt aus dem Analogen übernommen werden, um sie in einem diskreten System nahzuvollziehen. Es gibt jedoh eine weitere Möglihkeit der Signaldemodulation, die anhand der AM-Demodulation im folgenden hergeleitet werden soll Quadraturdemodulation Mit Hilfe der Quadratur-Komponenten eines Signals können alle bekannten Modulationsarten demoduliert werden. Vor der eigentlihen Demodulation müssen jedoh die beiden Quadratur-Komponenten aus dem übertragenen, reellwertigen Signal wieder regeneriert werden. In der Vergangenheit wurden hierzu vershiedene Verfahren vorgeshlagen. Insbesondere das Zwei-Misher-Verfahren soll an dieser Stelle zum Vergleih eingeführt werden, bevor an späterer Stelle auf andere digital realisierbare Verfahren eingegangen werden soll. Ausgehend vom übertragenen, trägerfrequenten Signal x sollen die beiden orthogonalen Komponenten x u und x v erzeugt werden. Die einfahste Möglihkeit besteht darin, das Signal x mit einer komplexen Mishfrequenz zu multiplizieren. Dabei wird zum ersten eine Abwärtsvershiebung der Trägerfrequenz in Rihtung Basisband vorgenommen und zum zweiten werden die beiden gesuhten Komponenten x u und x v erzeugt. Bild 45 zeigt das Prinzip der Quadraturabwärtsmishung. Die gezeihneten Bandpässe können auh durh Tiefpässe ersetzt werden, wenn das Signal x bereits bandbegrenzt ist. x v x vf x os -90 sin VCO ω x uf x u Bild 45: Das Prinzip der Quadraturkomponentenerzeugung. Die x u -Komponente wird durh Multiplikation mit einem Hilfsträger der Kreisfrequenz ω erzeugt x t = x t u sin ω t. (3.4) u Man kann shreiben Seite 53

8 x t = s t u os ω t u sin ω t u u u = s t sin ω ω t + sin ω + ω t. Darin ist s das Basisbandsignal. Die Kreisfrequenz ω = if ω ω neue Zwishen-Frequenz. Der Anteil bei der Summenfrequenz ω ω geeigneten Filtern abgetrennt werden. Da jedoh ω >> 0 und ω + (3.5) bildet die muß mit ω gilt, (3.6) liegt diese Summenfrequenz ungefähr bei ω und ist deshalb leiht zu entfernen. Aus Gleihung (3.5) entsteht nah analoger Bandpaßfilterung die Komponente xuf t s t u u = sin ω t (3.7) if Entsprehend wird die zweite Komponente x v bzw. x vf erzeugt. Als Mishfrequenz wird allerdings eine gegenüber u um 90 phasenvershobene Mishfrequenz (siehe Bild 45) verwendet. Nah der Filterung entsteht entsprehend xvf t s t u u = os ω t. (3.8) if Mit x uf und x vf liegen die beiden Quadraturkomponenten des beliebig modulierten ZF-Signals vor. Andere gebräuhlihe Namen der Quadratursignale seien nahfolgend angegeben : x u ist der Imaginärteil bzw. die I-Komponente oder auh In-Phase- Komponente x v ist der Realteil bzw. die Q-Komponente oder auh Quadratur-Phase- Komponente Eine andere Darstellungsform zeigt den komplexen Mishvorgang vereinfaht. x vf x e -jω x uf Bild 46: Der komplexe Mishvorgang. Für die AM-Demodulation werden x uf und x vf quadriert und addiert. Es ergeben sih wegen der gleihen Argumente x ( t) = x + x = s( t) D uf vf. (3.9) Seite 54

9 x v x vf os -90 x VCO ( ) s ω sin x u x uf Bild 47: Das Prinzip der AM-Quadraturdemodulation. Durh das Quadrieren ist das Vorzeihen bzw. der Phasenwinkel des Basisbandsignals verlorengegangen. Wird das Vorzeihen benötigt, so kann eine Phasenberehnung aus den gefilterten Komponenten x uf und x vf vor den Quadrierern eingefügt werden. Der Phasenwinkel kann z.b. durh den CORDIC - Algorithmus (S. 0) berehnet werden. Anhand der AM-Demodulation wurde gezeigt, wie die konventionelle Quadraturkomponentenzerlegung zur Demodulation eingesetzt werden kann. 3.. Der Übergang zum digitalen Demodulator Beim Übergang von einem herkömmlihen, analogen Demodulator zu einem digitalen Konzept müssen nah der Komponentenerzeugung zwei Abtaster und A/D-Umsetzer eingefügt werden. Bild 45 muß also um zwei A/D-Umsetzer ergänzt werden. Das folgende Bild zeigt die notwendige Erweiterung. x vf A x vf (n) D x -90 VCO Clok ( ) s(n) CORDIC ar(s(n)) A (n) x uf x uf D Komponenten- Erzeugung Abtastung und Umsetzung AM-Demodulation Bild 48: Der Übergang zum digitalen AM-Demodulator mit analoger I/Q- Komponenten-Erzeugung. Seite 55

10 Die nah den A/D-Umsetzern vorliegenden, zeit- und wertdiskreten Zahlenfolgen werden digital weiterverarbeitet. Ein Nahteil des digitalen Demodulators mit konventioneller, analoger I/Q- Komponenten-Erzeugung liegt in der Notwendigkeit des Einsatzes zweier A/D- Umsetzer. Da aber in digitalen Systemen mit hohen Abtastraten und Umsetzer- Auflösungen gearbeitet werden muß, dürfen die entstehenden Kosten und die zusätzlihe Verlustleistung niht vernahlässigt werden. Ein wesentliher Ansatzpunkt zur Aufwandsreduktion wird also die Einsparung von Hardware und eine Verlagerung von bekannten Moduln in Software zur Digitalen Signalverarbeitung sein Alternativen zur analogen I/Q-Komponentenerzeugung Zunähst ist festzustellen : Reellwertige Signale können mit Hilfe ihrer I/Q-Komponenten durh analytishe Signale dargestellt werden [76]. Diese sind komplexwertig, weisen keine negativen Frequenzen auf und können ohne Informationsverlust in die Nullage gefaltet werden. Einer der Vorteile der komplexen Signaldarstellung besteht im getrennten Zugriff auf Betrag und Phase des Signals. Ein Nahteil der konventionellen, analogen Methode der Quadraturkomponentenerzeugung besteht im verdoppelten Hardware-Aufwand für den zweiten Misher, Multiplizierer und vor allem für die Phasendrehung der 90 -Komponente der Mishfrequenz des VCOs. In der Literatur zu digitalen Demodulationstehniken findet fast ausnahmslos das herkömmlihe Verfahren zur Quadraturkomponentenerzeugung Anwendung. Eine Ausnahme bilden nur digitale Filterdemodulatoren, wie z.b. von Roethe in [79] anhand eines digitalen SSB-Filter-Demodulators gezeigt wird. Bagwell und Considine verwenden 984 in [7] die herkömmlihe Methode als Ausgangsbasis für Untersuhungen zur Intermodulationsminimierung in digitalen Empfängern. 986 kommt auh bei Beker in [8] und Hagiwara et al. in [33] die analoge Methode zur Phasendrehung zum Einsatz. Cheer und Diamond zeigen in [9] eine VLSI-Realisierung des herkömmlihen Verfahrens auf. Peare et al. gehen 988 in [7] einen Shritt weiter, indem sie für die I/Q- Komponentengewinnung nah einem gemeinsamen ADU eine Mishung durh Multiplikation in Software vorshlagen. Webb faßt 989 in [9] das herkömmlihe Konzept mit zwei Mishern und zwei A/D-Umsetzern in einem Übersihtsartikel als Stand der digitalen Empfänger-Tehnik zusammen. Allen Artikeln ist gemeinsam, daß sie offenlassen, wie die Sinus- und Cosinus-Komponenten zu erzeugen sind. Aus der Praxis ist dazu festzustellen, daß in allen kommerziellen, integrierten Direktsynthese-Oszillatoren (DDS-ICs) zur Mishfrequenzerzeugung immer zwei Look-Up-Tabellen und zwei D/A-Umsetzer für die sin- und os-komponenten Seite 56

11 vorhanden sind, so daß wieder ein analoges, komplexes I/Q-Signal für Mishzweke vorliegt. Ein analoges Verfahren zur Phasenwinkeldrehung ohne Mishprozeß sheidet wegen der frequenzabhängigen Phasenfehler und der Shmalbandigkeit völlig aus, obwohl hierzu in der Literatur Ansätze gezeigt wurden (vergl. Bedrosian, 960 in [9]). Um den (Hardware-) Aufwand für die I/Q-Komponentenerzeugung zu minimieren, ist es wünshenswert, einen weiteren Teil der Signalverarbeitung in die Software zu verlagern. Das ist allerdings nur unter folgenden Maßgaben sinnvoll :. Es soll ein auf den beiden I/Q-Komponenten basierendes Demodulationsverfahren eingesetzt werden.. Der Preis für DSP-Rehenzeit fällt weiterhin, womit eine Substitution von Hardwarefunktionen durh Software immer sinnvoller wird. Das im folgenden beshriebene Verfahren ist von der Idee her shon seit über 40 Jahren bekannt. Hilbert 3 fand eine Integraltransformation, die den Zusammenhang zwishen Real- und Imaginärteil kausaler Funktionen beshreibt. Leuthold zeigt 974 in [46] die Bedeutung der Hilbert-Transformation für die Nahrihtentehnik auf. Rabiner und Shafer beshreiben 973 in [78] den Einsatz nihtrekursiver digitaler Filteralgorithmen für die Hilbert-Transformation. Walton und Hanson greifen 983 in [90] diese Idee auf, um einen analytishen Universaldemodulator modellhaft zu entwerfen, lassen aber den vollständigen Übergang zu einem zeitdiskreten System offen. Allen Arbeiten ist gemeinsam, daß zu den Zeitpunkten ihrer Veröffentlihung an eine Realisierung in Realzeit und damit an den praktishen Einsatz in einem digitalen Empfangssystem niht zu denken war. In den nähsten Absätzen wird gezeigt, wie die Hilbert-Integraltransformation mit digitalen Filtern realisiert werden kann Die Transformationsmethode Für ein analytishes Signal x t gilt die Bedingung X f = 0 für f < 0 mit x t X f, (3.30) damit kann die imaginäre Komponente xs t von x t = xs t + j xs t mit dem Hilbert-Integral x s t = π + xs ti t t dt i i (3.3) (3.3) 3 David Hilbert (86-943), deutsher Mathematiker. Seite 57

12 aus der reellen Komponente xs t berehnet werden. Dies entspriht einer Faltung des Eingangssignals xs t mit / π t. Wenn xs t gegeben ist, z.b. durh das reellwertige Signal nah der ZF vor dem Demodulator, dann liegt mit Gl. (3.3) genau die Funktion vor, um ein analytishes Quadratursignal zu erzeugen. Die ideale Hilberttransformation kann durh ihre Übertragungsfunktion jω H e = j sgn ω hil beshrieben werden. (3.33) Das Prinzip der Transformationsmethode soll nah dem Übergang zum zeitdiskreten System kurz erläutert werden. Gegeben ist ein diskretes, analytishes Signal x n = x n + j x n und dessen Fouriertransformierte (3.34) jω jω jω X e = X e + j X e, (3.35) die für negative Frequenzen Null wird X e jω = 0 π ω < π. (3.36) Aus (3.36) folgt X e X e jω jω jω = + j X e 0 ω < π jω = j X e π ω < π. (3.37) X e jω und X e jω hängen über X e = Hhil e X e jω jω jω zusammen, mit jω H e = j 0 < ω < π hil = + j π < ω < π (3.38) (3.39) Gleihung (3.39) stellt also die rein imaginäre Übertragungsfunktion des idealen, zeitdiskreten Hilbert-Transformators dar. H (e j ω ) X(e j ω ) H (e j ω )= -j sgn ( ω hil ) ~ X(e j ω ) j π π ω Bild 49: Frequenzantwort der zeitdiskreten Hilberttransformation -j Seite 58

13 Die diskrete Impulsantwort 4 eines Transversalfilters zur Nahbildung des idealen Hilbert-Transformators ergibt sih zu h hil n π j n n e = π sin = n 0. (3.40) π n π n Der fehlende Imaginärteil x m der komplexen Folge x m kann durh Faltung von hhil n mit dem Realteil x m erzeugt werden n π sin x m = x m n n, m 0,,,.... (3.4) π n n= n m Bei einem realen digitalen Filter muß die unendlihe Folge zwishen n = und n = durh eine endlihe Folge ersetzt werden. Da die Übertragungsfunktion von jω H e rein imaginär ist, gilt für die diskrete Impulsantwort eines linearphasigen hil FIR-Filters die Symmetriebedingung h n = h N n n 0... N. (3.4) Aus Gl. (3.4) kann entnommen werden, daß bei einer ungeraden Koeffizientenzahl (N) die Impulsantwort h(n) Shiefsymmetrish zu n = N / ist. Die Gruppenlaufzeit ist N N tgr = Ts = fs und außerdem gilt wegen der Symmetrie h N = (3.43) 0. (3.44) In der Praxis muß berüksihtigt werden, daß die Frequenzantwort (Bild 49) wegen der vorhandenen Unstetigkeiten niht realisiert werden kann. Der Entwurf muß daher auf einen Bereih zwishen Ω L und Ω H beshränkt werden, so daß gilt j F e ω = j π Ω L ω π Ω H, (3.45) = j π Ω ω π Ω mit H 0 < ΩL < ΩH < (3.46) Die untere Grenzfrequenz Ω L wird vor allem durh die Koeffizientenzahl des FIR- Filters begrenzt, die obere Grenzfrequenz kann nur mit geradem N zu Ω H = 0. 5 gewählt werden. Da in der praktishen, diskreten Realisierung (Bild 50) mit einem Ringpuffer gearbeitet wird, in dem nur diskrete Verzögerungszeiten realisierbar sind, muß N ungerade sein und Ω H < 0.5 gewählt werden. Da hhil n reell ist, jω H e jedoh imaginär und ungerade, ist jeder zweite Koeeffizient Null. hil L 4 vergl. Rabiner/Gold [ 76]. Seite 59

14 hhil n = 0 für n = 0, ±, ± 4,... (3.47) Die Rehenzeit des digitalen Filters wird dann annähernd halbiert, da nur (N+)/ Multiplikationen und Additionen pro Abtastwert durhgeführt werden müssen. Mit der Einshränkung aus (3.46) kann nun der digitale I/Q-Universal-Demodulator realisiert werden. Delay-Line x A D x(m) N- - Z x (m) I Digitaler Y(m) Hilbert-Transformation Demodulator III FIR x(m) Q N TAPs DSP Algorithmus Bild 50: Der zeitdiskrete I/Q-Universaldemodulator mit Komponentenerzeugung durh Hilberttransfomation. In Bild 50 ist die Verzögerungsleitung z N / zu beahten, mit deren Hilfe die konstante Gruppenlaufzeit des FIR-Filters im I-Pfad kompensiert werden muß. Die Multiplikation des bandbegrenzten Eingangssignals mit der Dira-Stoßfolge 5 III( t) = δ t nt mit δ t dt = (3.48) n= entspriht der Abtastung bzw. Zeitdiskretisierung des Eingangssignals. In der Praxis übernimmt ein Sample & Hold-Baustein diese Aufgabe. Der Vorteil eines Demodulators nah Bild 50 liegt darin, daß die Demodulationsart des Systems nur vom gewählten Algorithmus abhängig ist. Der Hardware- Teil bleibt unverändert für vershiedene Modulationsverfahren Die Abtastmethode Um die I- und Q-Komponenten zu erzeugen, ist eine weitere Methode sinnvoll einsetzbar. Ausgehend von dem Signalflußdiagramm in Bild 48, Seite 55, kann die Idee einer zeitversetzten Abtastung durh eine verzögerte Dira-Stoßfolge entwikelt werden (Bild 5). In Bild 48 wurden, um das herabgemishte, analytishe Quadratursignal zu erzeugen und zu diskretisieren, zwei Misher und zwei Abtaster mit identisher Abtastrate verwendet. Die Aufgabe der Misher kann durh die Abtaster 5 Der kyrillishe Bushstabe III (sha) wurde 965 von Braewell [7] als Symbol für den Delta-Kamm eingeführt. Seite 60

15 übernommen werden, wenn das Eingangssignal mit zwei gegeneinander zeitversetzen Dira-Stoßfolgen multipliziert wird. Voraussetzung hierfür ist wieder ein bandbegrenztes Eingangssignal x mit der Bandbreite B. x u A D x u (n) x III τ III(t- ) x v A D x v (n) Bild 5: I/Q-Komponentenerzeugung durh Abtastung Die Multiplikation mit einem Delta-Kamm III entspriht funktional der Abtastung in Bild 48. Da es sih bei der Dira-Stoßfolge III( t) = δ ( t nts ) n = T = s f s um eine selbstreziproke Funktion handelt, ist deren Fouriertransformierte (3.49) III( f ) = δ ( f k f s) (3.50). k = Die zweite Dira-Stoßfolge kann durh Verzögerung um τ aus Gl. (3.49) erzeugt werden, deren Fouriertransformierte wird über den Vershiebungssatz der DFT gewonnen. III( t τ ) = δ ( t nts τ ) (3.5) n = j j f III( f ) = e ω τ ( f f ) = e s ( f f ) s π k δ k τ δ k s k = k = Die Komponenten x u und x v entstehen durh Multiplikation des bandbegrenzten Eingangssignals x mit III t bzw. mit III t τ. Für x setzt man an x( t) X ( f ) = X ( f f ), (3.5) m worin f die Bandmitten- bzw. Trägerfrequenz ist. Für die Komponenten x u und x v ergeben sih dann : x ( f ) = x f δ ( f k f ) = x ( f f k f ) u k = s k= m s (3.53a) Seite 6

16 und j k f x f e s v ( ) = π τ xm( f f k f s). (3.53b) k= Durh den Abtastprozeß sind periodish fortgesetzte Signale entstanden, wobei jπ k f τ in x v (f) jede Fortsetzung um den Phasenwinkel e s vershoben ist. Diese Eigenshaft wird für die Unterabtastung (S. ) ausgenutzt. Die Wahl von k, f s und τ im Exponenten von Gleihung (3.53b) bestimmt den Phasenwinkel zwishen den Komponenten x u und x v bei den Frequenzen k f s. Deshalb muß τ so groß werden, daß der Phasenwinkel zwishen x u und x v genau 90 wird. π k f s τ τ π = k =,,... = = 4kf 4k T s (3.54) Ts τ =, für k = (3.55) 4 Einer der beiden Delta-Kämme muß um ein Viertel der Abtastperiode verzögert werden, um ein analytishes Signal zu erzeugen. Dieses Verfahren wird Quadratur-Abtastung genannt. Die Abtastrate f s wird jetzt in Relation zur Träger- bzw. Bandpaßmittenfrequenz f so gewählt, daß f i = f k i f s f i 0 gilt. (3.56) Wenn in Gl. (3.56) f i =0 wird, dann spriht man von Mishung oder Faltung in die Nullage. Die direkte Faltung in die Nullage ist nur bei Quadratur-Abtastung möglih. Wenn mit f s = f abgetastet wird (k=) und ein Delta-Kamm genau mit den Nulldurhgängen des Trägers f zusammenfällt, so fällt der zweite Deltakamm genau mit den Sheitelpunkten des Trägers zusammen. Die Amplitudeninformation ist also niht verlorengegangen, sondern im Betrag des analytishen Signals x i t = xu t + j xv t enthalten. Wenn die Mittenfrequenz des Empfangssignals niht konstant ist, sondern z.b. wegen der Doppler-Vershiebung gewissen Shwankungen unterliegt, dann sollte f i >0 gewählt werden. Wenn f s =f /k (mit k>) gewählt wird, das Empfangssignal x also im Sinne des IF-Sampling (siehe S. ) unterabgetastet wird, dann muß τ entsprehend Gl. (3.54) angepaßt werden. Der Phasenfehler zwishen den Komponenten x u und x v nimmt mit zunehmender Signalbandbreite zu. Ohne Korrektur sollte die Quadratur- Abtastung deshalb nur für shmalbandige Signale wie z.b. DCF77, ILS und CW eingesetzt werden. Um den Hardware-Aufwand zu verringern, bieten sih die in den folgenden Bildern gezeigten Strukturen an. Bild 5 zeigt die Einsparung eines A/D-Umsetzers durh Multiplex der Abtastsignale. Seite 6

17 x v x A D x u/v (n) x u III τ τ III(t- ) Bild 5: I/Q-Komponentenerzeugung durh Abtastung und Multiplex Um auh den zweiten Abtaster einzusparen, kann mit der Summe aus III und III(t-τ) multipliziert werden. Bild 53 zeigt die Minimallösung der I/Q-Komponentenerzeugung. Der A/D-Umsetzer liefert alternierend Abtastwerte der Folge x u (n) und x v (n). x x u/v A D x u/v (n) τ III(t- ) τ + III III Shaltwerk / Logik Synhronisierung Bild 53: I/Q-Komponentenerzeugung, Minimallösung Die in Bild 53 gezeihnete Minimallösung hat aber auh Nahteile. Da anstelle des Multiplizierers in der Praxis immer ein Sample&Hold-Baustein eingesetzt wird und da der S&H innerhalb einer Viertelperiode das Signal zweimal abtastet, muß die Umsetzungs-Zeit des ADC kleiner als ein Viertel der Abtastperiode sein. Verglihen mit Bild 5, muß also ein vierfah shnellerer ADC eingesetzt werden. Seite 63

18 3..4. Auswahlkriterien für die I/Q-Komponenten-Erzeugung In der Praxis sind Leistungsaufnahme, Aufwand und Rehenzeit der Softwarelösung mit einem DSP für die vershiedenen Verfahren gegeneinander abzuwägen. In der folgenden Tabelle werden alle Verfahren zur I/Q-Komponentenerzeugung einander gegenübergestellt. Methode Bild Vorteile Nahteile Nr. S Auh ohne DSV realisierbar Analoge Multiplikation mit sin/os- Funktionen Analoge Breitband- Phasenvershiebung, S&H, ADC Diskrete Multiplikation mit sin/os- Funktionen Diskrete Hilbert- Transformation Quadratur-Abtastung mit zwei ADCs Quadratur-Abtastung mit einem ADC und Multiplex Hoher Aufwand für analoge Komponentenerzeugung Zusätzlihe analoge Filter - - Keine Mishstufen Analoger Breitbandphasenshieber ist niht realisierbar keine Frequenzumsetzung in neue ZF - 56 Nur ein Abtaster und Umsetzer notwendig Reine Softwarelösung Einfahste Hardware, nur ein Abtaster und Umsetzer 5 6 Kein Rehenzeitverbrauh Kein Rehenzeitverbrauh Nur ein Abtaster und Umsetzer Ideal für Unterabtastung, f s <(f +B ) Tabelle 8: Vergleih der Methoden zur Komponentenerzeugung Lange Tabellen für sin/os-komponenten bzw. Rehenzeit für Reihenentwiklung Digitale Filter für Spiegelfrequenzen Rehenzeit SHC notwendig eventuell ist eine Phasenkorrektur notwendig Erhöhte Anforderungen an den ADC eventuell ist eine Phasenkorrektur notwendig Die Auswahl sollte unter den letzten drei Fällen der Tabelle 8 erfolgen. Das endgültige Entsheidungskriterium wird dann siher die Kostenentwiklung der verwendeten Bauteile sein. Seite 64

19 3.3. FM-Demodulation Eine mit s FM-modulierte HF-Shwingung beshreibt man am besten anhand der Änderung der ausgesendeten Frequenz in Abhängigkeit vom Modulationssignal im Frequenzbereih ω HF = ω + ω HUB s( t). (3.57) Der Phasenwinkel wird mit Gleihung (3.57) zu ϕ = ω + ω s( t) dt. (3.58) HF HUB bzw.: onst. ϕ = ω t + ω s( t) dt. (3.59) HF HUB Das FM-modulierte Signal kann dann im Zeitbereih durh xfm t = os ϕhf beshrieben werden. Wird ein osinusförmiges Modulationssignal s( t) = os( ω t) m verwendet, ergibt sih durh Einsetzen (3.60) (3.6) ω xfm ( t) = os( ωt + HUB sin ω mt ), (3.6) ωm wobei η ω ω = HUB m der Modulationsindex des FM-modulierten Signals ist. (3.63) Für die Demodulation eines FM-modulierten Trägers wurden in der Vergangenheit vershiedene, speziell auf die Möglihkeiten der Analogtehnik zugeshnittene Verfahren geshaffen. Hier sollen nur kurz die Möglihkeiten der digitalen FM-Demodulation dargestellt werden. Ausführlihe Untersuhungen zur FM-Demodulation mit Methoden der DSV finden sih in Kammeyer [40], Kirmse [4], Ray [77] und Rosenkranz [8] Filterdiskriminator Dieser auh Flankendemodulator genannte Demodulatortyp stammt aus der Analogtehnik und ist der einfahste FM-Demodulator überhaupt. Mit einem Filter, das im interessierenden Frequenzbereih eine frequenzproportionale Übertragungsfunktion aufweist, wird das Empfangssignal entsprehend seiner Momentanfrequenz amplitudenmoduliert und so die FM-Demodulation auf eine AM-Demodulation zurükgeführt (Bild 54). Seite 65

20 Eingangs - signal Amplituden - Normierung Filter Demodulator x AM x Dem Bild 54: Das Prinzip des FM-Flankendemodulators (FM/AM-Wandler). Voraussetzung für die Funktion des Verfahrens ist eine Begrenzung des FMmodulierten Signals vor dem Filter. In der analogen Shaltungspraxis ist eine frequenzproportionale Übertragungsfunktion niht realisierbar, dem demodulierten Signal werden deshalb nihtlineare Verzerrungen zugefügt. Wegen dieser Nahteile (shlehte AM-Unterdrükung und Verzerrungen) hat der Flankendemodulator keine große Bedeutung erlangt. In der diskreten Realisierung des Flankendemodulators wird x in Bild 54 durh x(n) ersetzt Verzögerungsdemodulator Es sind vershiedene möglihe Realisierungen und Variationen des Verzögerungsdemodulators bekannt. Dieser FM-Demodulator kann reell und komplex realisiert werden. Der Vorteil der komplexen Basisband-Realisierung ist, daß der Mishvorgang mit einem analytishen Signal kein summenfrequentes Signal erzeugt. Der Grundgedanke des Verzögerungsdemodulators ist die Rükführung der Signaldifferenzierung auf die Differenzbildung zwishen zwei sukzessiven Abtastwerten. u(n) v(n) FM - Demodulation Phasendiskriminator Entzerrung Verzögerung z - y(n) arsin(...) x (n) Dem Eingangs - signal Amplituden - Normierung z - (-) Bild 55: Eine der möglihen Realisierungen des Verzögerungsdemodulators, hier mit analytishem Basisbandsignal x n = u n + j v n. Die Multiplikation xnorm n = x n = unorm n + j vnorm n u n + u n (3.64) bewirkt darin eine gute AM-Unterdrükung, so daß nur das normierte FMmodulierte Signal Seite 66

21 jϕ n xnorm n = e weiterzuverarbeiten ist. Die Signaldemodulation wird im wesentlihen im Phasendiskriminator mit y n = v n u n u n v n norm norm norm norm = sin ϕ n ϕ n (3.65) und xdem n = arsin y n vorgenommen. (3.66) PLL-Demodulator Bild 56 zeigt ein FM-Demodulationssystem mit diskreter PLL. Die DPLL kann als reelles- oder als komplexes System realisiert werden. Die komplexe Realisierung arbeitet mit den I/Q-Komponenten des Eingangssignals. Der VCO 6 herkömmliher analoger Phasenregelshleifen wird durh einen DCO 7 ersetzt. u(n) v(n) DCO x (n) Dem Eingangs - Amplituden - Normierung Phasen - Diskriminator signal Entzerrung arsin(...) Bild 56: FM-Demodulation mit diskreter Phasenregelshleife (DPLL) Ein PLL-Demodulator arbeitet als Rükkopplungsdemodulator. Im eingerasteten Zustand ist der DCO mit dem Eingangssignal phasenstarr verbunden. Eine Frequenzänderung des Eingangssignals bewirkt eine Phasenänderung des Phasendiskriminators. Mit dem tiefpaßgefilterten Phasendifferenzsignal wird der DCO gesteuert - die Shleife ist geshlossen. Man spriht in diesem Zusammenhang auh von Signal-Remodulation. Die Folge von Steuerworten des DCO ist außerdem das gewünshte Ausgangssignal. Speziell für gestörte Empfangssignale ist die PLL-Struktur den Direktstrukturen (Flankendemodulator, Verzögerungsdemodulator) vorzuziehen, da durh das integrierende Verhalten des Tiefpaßfilters in der Shleife das minimal notwendige SNR dieses Demodulator-Typs herabgesetzt wird. 6 Voltage Controlled Osillator 7 Disrete Controlled Osillator Seite 67