Bericht über das Kölner Versicherungsmathematische Kolloquium im Sommersemester 2004

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1 Beriht über das Kölner ersiherungsmathematishe Kolloquium im Sommersemester 2004 Alexander Aue und Mario Kühn Universität zu Köln Im Rahmen des ersiherungsmathematishen Kolloquiums der Universität zu Köln fanden im Sommersemester 2004 die folgenden orträge statt: PD Dr. Ulrih Orbanz (Swiss Re, Münhen): Wissen wir, was ein Aktuar ist? Dipl. Math. Marko Helwih (Universität Rostok): Über den ergleih des Zinsrisikos mit dem biometrishen Risiko bei Lebensversiherungen Dr. Maria Heep Altiner (Gerling Konzern, Köln): Unisex Tarifierung Im Folgenden werden Zusammenfassungen der orträge, die von den Referenten verfasst wurden, und der sih anshließenden Diskussionen gegeben. 1 Wissen wir, was ein Aktuar ist? (U. Orbanz) Der ortrag beleuhtete diverse Aspekte der eränderungen, denen das Berufsbild des Aktuars unterworfen ist. Ein erster ergleih der Berufsbeshreibung bei der DA mit entsprehenden Unterlagen der IAA (International Assoiation of Atuaries) oder des Institute of Atuaries zeigt, dass bei der DA bisher die wissenshaftlihe Ausbildung und die Analyse von Fragestellungen in den ordergrund gestellt wurden, während der Shwerpunkt in den anderen Organisationen bei der finanziellen Modellierung der zukünftigen Entwiklungen von Risiken gesehen wird. Das ist ein erster Hinweis darauf, dass die aktuarielle Tätigkeit bei uns stärker zukunftsorientiert ausgerihtet werden könnte, wie es bereits in anderen hoh entwikelten ersiherungsmärkten der Fall ist. (Der Slogan in UK lautet: Making finanial sense of the future. ) Und tatsählih gab es Marktereignisse in der Lebensversiherung in Deutshland, die diesen ersten Eindruk unterstützen. Im ortrag wurden hierzu u. a. die relativ häufigen Anpassungen bei den Grundlagen der Rentenversiherung sowie der Renditewettbewerb in der Lebensversiherung angeführt. In beiden Fällen würde man heute erheblih mehr Aufwand in die Modellierung der künftigen Entwiklung steken. Als nähstes versuhte der ortrag, die Rolle des Aktuars im Risikomanagement zu beshreiben. Aus heutiger Siht bildet das klassishe versiherungstehnishe Risiko nur einen begrenzten Teil der gesamten Risikolandshaft, die shrittweise um das Anlagerisiko, das operationale Risiko oder auh das Reputationsrisiko erweitert wurde. Während vor 1

2 einigen Jahren der Aktuar noh als der geborene Risikomanager bezeihnet wurde, kann man heute niht mehr erwarten, dass der Aktuar in allen angesprohenen Risikobereihen der Experte ist. ielmehr verlangt das heutige Risikomanagement die Arbeit eines Teams, in dem der Aktuar mit anderen Experten kooperiert. Um dem Aktuar die rihtige Rolle im Risikomanagement zuweisen zu können, muss man sih auf seine spezifishe Expertise besinnen. Diese besteht, wie oben angedeutet, in der langfristigen Modellierung der mit dem Risiko verbundenen finanziellen orgänge und natürlih im Soll Ist ergleih und der Anpassung der Modelle, was unter Aktuaren als der Control Cyle verstanden wird. An dieser erforderlihen Qualifizierung setzt auh die Reorganisation der DA Ausbildung an. Die mathematishen Grundlagen für die Modellierungstehniken sollen gestärkt werden, es ist eine erlagerung vom Faktenwissen hin zu Methodenwissen geplant und die Themen Modellierung und Control Cyle werden in der künftigen Ausbildung eine zentrale Rolle spielen. Gleihzeitig wird in der Ausbildung auh das rehtlihe und wirtshaftlihe Umfeld der aktuariellen Tätigkeit stärker berüksihtigt werden, so dass der künftige Aktuar noh besser darauf vorbereitet wird, als Teammitglied in vershiedenen Unternehmensprozessen seine Expertenrolle wahrzunehmen. Zunähst wurden Gemeinsamkeiten und Differenzen der deutshen und der angelsähsishen Aktuarausbildung herausgestellt. Das Beispiel England zeige, dass durh eine andere Organisation der Ausbildung sehr wohl eine Anhebung des mathematishen Niveaus erreiht werden kann; bei einer Umstrukturierung in Deutshland müssten aber auh nationale Besonderheiten berüksihtigt werden. Es wurde außerdem noh einmal betont, dass die Gleihsetzung des Aktuars mit einem Risikomanager weit mehr als rein mathematishe Fragestellungen beinhalte. Deshalb bestand der Wunsh nah einer grundlegenden Diskussion dieser Thematik innerhalb der DA. Shließlih wurde noh über die Rolle von vorbereitenden orlesungen an Universitäten unter dem Gesihtspunkt der ereinheitlihung der europäishen Abshlüsse (Stihwort Bologna ) diskutiert. 2 Über den ergleih des Zinsrisikos mit dem biometrishen Risiko bei Lebensversiherungen (M. Helwih) Um beide Risikokomponenten miteinander vergleihen zu können, ist es zunähst einmal nötig, den Begriff Risiko zu präzisieren. Dazu werden beide Risikokomponenten aufgespalten in Zufalls-, Änderungs- und Irrtumsrisiko. In einem nähsten Shritt werden für ein bestimmtes Modell Maßzahlen für die zu untersuhenden Risiken entwikelt, anhand derer sih die Risiken für ein konkretes ersiherungsprodukt in Abhängigkeit von der Laufzeit und für vershiedene ersiherungsprodukte untereinander vergleihen lassen. Behandelt werden nur das Zufalls- und das Änderungsrisiko. Das Modell: Bei diskreter Zahlungsweise (ersiherungsperiode ein Jahr, konstante Zahlungshöhen) sei der erlust (Differenz von Leistungs- und Prämienbarwert) L für Portfolios gleihartiger ersiherungsverträge (z.b. nur Todesfallversiherungen) gegeben in der Cashflowdarstellung L = CF k v(k). k=0 Man summiert dabei die Produkte der zufälligen jährlihen Zahlungsströme CF k mit den Werten der Diskontierungsfunktion v(k) über die maximale Laufzeit n aller Polien im 2

3 Portfolio. In die zufälligen jährlihen Zahlungsströme CF k gehen neben den ertragsstrukturen (Zahlungsvereinbarungen, Laufzeiten u.ä.) der einzelnen Polien auh die ganzzahlig gestutzten zukünftigen Lebensdauern der versiherten Personen und die Anzahl der erträge im Portfolio ein. orausgesetzt sind die stohastishe Unabhängigkeit der zukünftigen Lebensdauern sowie die stohastishe Unabhängigkeit der zukünftigen Lebensdauern von den Zinssätzen und das Äquivalenzprinzip. Mit der zufälligen Diskontierungsfunktion v(k) = exp{ Φ(k)} liefert die arianz des durhshnittlihen Polienverlustes L/] durh eine additive Zerlegung mittels bedingter Erwartungswerte und bedingter arianzen, L ] = E L (Φ(k)) k=1,...,n + E L (Φ(k)) k=1,...,n, Maßzahlen für das biometrishe Zufallsrisiko und das Zinszufallsrisiko. Mit diesen Maßzahlen ist das biometrishe Zufallsrisiko (erster Summand) diversifizierbar und das Zinszufallsrisiko (zweiter Summand) ist niht diversifizierbar. Für den ergleih beider Zufallsrisiken betrahte man die Differenz L Z := E (Φ(k)) k=1,...,n = 1 2 k=1 s=1 E L (Φ(k)) k=1,...,n E e Φ(k) e Φ(s)] ( Cov (CF k, CF s ) E CF k ] E CF s ] welhe für die einzelnen Portfolios von ersiherungsverträgen berehnet und in Abhängigkeit von der Laufzeit n grafish dargestellt sehr aufshlussreih das Überwiegen des einen oder des anderen Risikos aufzeigt. Für Portfolios mit identishen Prämienbarwerten können die berehneten Differenzen Z ebenfalls gegenüber gestellt werden. Insgesamt vershwindet mit wahsender Portfoliogröße das biometrishe Zufallsrisko, so dass ab einer gewissen Anzahl von erträgen allein das Zinszufallsrisiko von Bedeutung ist. Die Möglihkeit des ergleihes des biometrishen und des Zinsänderungsrisikos liegt in der analogen Darstellung der Diskontierungsfunktion mit jährlihen Zinssätzen bzw. der Überlebensfunktion mit einjährigen Sterbenswahrsheinlihkeiten (Sterbetafeleinträge). Dabei betrahte man den erwarteten erlust E L] für Portfolios gleihartiger ersiherungsverträge mit identishen Lauf- und Aufshubzeiten sowie identish verteilten Lebensdauern der versiherten Personen mit Eintrittsalter x als Funktion der jährlihen Zinssätze φ 1,..., φ n und der einjährigen Sterbenswahrsheinlihkeiten q x,..., q x+n 1. Als Maßzahlen für das Zins- und das biometrishe Änderungsrisiko werden die kumulierte Zinsduration ZD := ZD w mit ZD w := E ] L, w = 1,..., n, φ w w=1 und die kumulierte Bioduration BD := BD w mit BD w := E ] L, w = 1,..., n, q x+w 1 w=1 gewählt. Durh das Äquivalenzprinzip sind diese Maßzahlen bezüglih der Diversifizierbarkeit der Änderungsrisiken (beide sind niht diversifizierbar), bezüglih des orzeihens (Auswirkung einer Parameterveränderung auf den erwarteten Portfolioverlust) und ), 3

4 bezüglih des ergleihes beider Änderungsrisiken allgemein interpretierbar. Dabei wird aus dem ergleih sowohl deutlih, ob die Änderung eines Zinssatzes oder einer Sterbenswahrsheinlihkeit einen größeren Einfluß auf den erwarteten erlust ausübt, als auh, wann eränderungen innerhalb der Gesamtlaufzeit welhen Einfluss auf E L] ausüben. Referenzen: M. Helwih Über den ergleih des Zinsrisikos mit dem biometrishen Risiko bei Lebensversiherungen. Diplomarbeit, FB Mathematik, Universität Rostok, Juli 2003 (ausgezeihnet mit dem GAUSS Preis 2003, Nahwuhspreis, der DA/DGFM) T. Ho Key rate duration measure of interest rate risk. The Journal Of Fixed Inome, 1992, E. Mareau & P. Gaillardetz On life insurane reserves in a stohasti mortality and interest rates environment. Insurane: Mathematis and Eonomis 25, 1999, G. Parker Stohasti analysis of the interation between investment and insurane risks. North Amerian Atuarial Journal ol.1, No.2, 1997, Zunähst wurde erörtert, ob auf die vorausgesetzte stohastishe Unabhängigkeit von Zins- und Sterblihkeitsrisiko verzihtet werden kann. Des Weiteren betonte der ortragende die gewollte separate Untersuhung von Zufallsrisiko und Änderungsrisiko (wodurh sih zum Beispiel Zinszufallsrisiko und biometrishes Änderungsrisiko niht gegenüberstellen lassen). Abshließend wurde die Frage diskutiert, inwieweit stohastishe Ordnungen zur Abshätzung des Zufallsrisikos verwendet werden können. Dazu merkte der Referent an, dass die stohastishen Ordnungen nur einen qualitativen ergleih ermöglihen, während die vorgestellten Maßzahlen eher dem Wunsh entsprehen, quantitative Aussagen zu erhalten. 3 Unisex Tarifierung (M. Heep Altiner) Aufgrund der ablehnenden Entsheidung des EU Ministerrates im Hinblik auf die Rihtlinie zur Gleihbehandlung bei der ersorgung mit Gütern und Dienstleistungen im Juni ist das Thema Unisex Tarife derzeit weniger aktuell, aber deswegen noh niht endgültig vom Tish. Unisex Tarife in der deutshen Lebensversiherung sind niht neu. So wurden in der Kapitallebensversiherung erst in den ahtziger Jahren des letzten Jahrhunderts und bei der Rentenversiherung in den fünfziger Jahren des letzten Jahrhunderts nah Geshlehtern getrennte Sterbetafeln eingeführt. Wissenshaftlih ist in der Lebens- und Krankenversiherung die hohe Signifikanz des Merkmals Geshleht kaum bestreitbar. Eine einseitige Fokussierung auf die rein mathematishen Aspekte des Themas trifft jedoh niht alle Faetten der Problemstellung, insbesondere niht aus einem politishen Blikwinkel. So fällt bei einer Analyse der Diskussion auf, dass es je nah Lager völlig vershiedene Gleihheitsbegriffe und damit verbundene orstellungen von Gerehtigkeit gibt. Dabei fokussiert die ersiherungsmathematik auf das Äquivalenzprinzip und somit auf die Gleihheit von Leistung und Gegenleistung über den gesamten Finanzierungszeitraum; die 4

5 Politik hat aber eher ein Solidaritätsprinzip und somit die Gleihheit der Lebensbedingungen im isier. Das politishe geprägte Solidaritätsprinzip muss dabei niht als Kontrapunkt zum finanzierungsorientierten Äquivalenzprinzip die absolute Unfinanzierbarkeit bedeuten; hier liegt die Priorisierung nur eher auf dem legitimen Gestaltungsspielraum der Politik. Wenn auh aus dem mathematishen Blikwinkel heraus streng genommen Unisex Tarife niht als unkalkulierbar bezeihnet werden können, da man ja immer auf die ungünstigeren Grundlagen abstellen und u.u. einen Refinanzierungsmehanismus bei zu hohem Tarifansatz einbauen kann, so können die ggf. daraus resultierenden marktwirtshaftlihen erwerfungen doh niht ignoriert werden. Da es sih bei einer Umstellung auf Unisex Tarife um einen Wehsel von einem differenzierten System in ein weniger differenziertes System handelt, ist die Ausgangssituation eines Unternehmens hinsihtlih der Bestandsmishung niht irrelevant und kann zu extremen Wettbewerbsnahteilen führen. Unisex Tarife können zur Unrentabilität führen. Die DA hat auf die Diskussion zu den Unisex Tarifen reagiert und sih nah Etablierung einer Arbeitsgruppe in einem Positionspapier zu diesem Thema zu Wort gemeldet. Dieses Positionspapier stellt auf das Äquivalenzprinzip als dem Fundamentalprinzip für alle aktuariellen Tätigkeiten ab und resultiert somit konsequenterweise in einer Ablehnung der Unisex Tarife. Bei einem auf der DA Mitgliederversammlung am organisierten Streitgespräh zwishen Politik und Wissenshaft hat sih dann gezeigt, dass diese beiden Parteien zum jetzigen Zeitpunkt keine gemeinsame Gesprähsbasis aufweisen, insbesondere dass fundamentale Untershiede über Gleihheitsbegriffe und orstellungen von Gerehtigkeit vorliegen. Wenn Aktuare mehr und mehr anstreben, wihtige Diskussionspartner für Politik und Gesellshaft zu werden, dann können untershiedlihe Diskussions- und Denkebenen niht ignoriert werden. Niht jeder denkt und argumentiert streng wissenshaftlih und das ist auh manhmal gut so. Aktuare können und sollen die Finanzierbarkeit anmahnen, ohne dabei jedoh politish legitime Gestaltungsspielräume zu negieren. Shwierigkeiten bei der Umstellung auf ein aus politisher Siht gewünshtes System sind dabei vielleiht lästig, bedeuten aber niht in jedem Fall shon sofort eine Unfinanzierbarkeit. Gerade zum Thema Unisex Tarife kann eine abshließende Meinungsbildung jedoh nur dann stattfinden, wenn alle beteiligten Parteien das Thema fair und ergebnisoffen unter Würdigung aller relevanten Aspekte diskutieren, wobei insbesondere die gesellshaftlih wünshenswerte orstellung von Gleihheit und Gerehtigkeit hier eine große Rolle spielen muss. In der anshließenden, sehr lebhaft geführten Diskussion wurde kontrovers über Auslegungen des Gerehtigkeitsbegriffs im Spannungsfeld zwishen Politik und ersiherungsunternehmen gesprohen. Die ortragende stellte dabei noh einmal das Reht der Politik auf Gestaltung heraus. Auf der Basis der dort entwikelten Auffassung von Gerehtigkeit müssten dann die ersiherungstarife kalkuliert werden. Dieses erständnis wurde an diversen Beispielen, neben der Unisex Tarifierung z.b. auh an Riester Rente, Kranken-, Lebens- und Unfallversiherungen, veranshauliht. 5