Schwach wechselwirkende Bose-Gase

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1 Kapitel 4 Shwah wehselwirkende Bose-Gase In diesem Kapitel werden wir den Einfluss einer shwahen Wehselwirkung auf die Bose-Gase untersuhen. Unser Hauptaugenmerk rihtet sih dabei auf die dabei verursahte Änderung der kritishen Temperatur, bei der die Bose-Einstein-Kondensation einsetzt. Um die dazu notwendigen theoretishen Konzepte in einem übershaubaren Rahmen einzuführen, beshränken wir uns in diesem Kapitel auf Beshreibungen der Bose-Gase in einem großkanonishen Ensemble. Weiterhin konzentrieren wir uns auf die Situation, in der Gasteilhen in einem genügend flahen harmonishen Fallen-Potential eingesperrt sind und sih somit innerhalb der semiklassishen Näherung beshreiben lassen. Zunähst erinnern wir nohmals daran, dass die Bose-Einstein-Kondensation ein rein quantenstatistisher Effekt ist. Das heißt unter anderem, dass eine Wehselwirkung dafür niht existentiell nötig ist. Es stellte vielmehr eine große Herausforderung an die Experimentatoren dar, die Fähigkeit bosonisher Systeme zur Bose-Einstein-Kondensation auszunutzen, noh bevor Wehselwirkungs-Effekte die Statistik zu stark verzerren oder gar dominieren. Genau deshalb wurde ein stark verdünntes Gas benutzt, bei dem die Wehselwirkung zwishen den einzelnen Gasteilhen weitestgehend vernahlässigbar ist. Dennoh lassen sih Wehselwirkungen auh bei starken Verdünnungen niht ganz vermeiden, zuweilen aber auh ganz gezielt als Kontrollparameter einsetzen. Oft kann man die dabei zu untersuhenden Systeme als näherungsweise ideal betrahten, und die Wehselwirkungs-Effekte als shwahe Störungen behandeln. Deshalb beshränken wir uns hier auf Untersuhungen der führenden Störungsordnung. Das Ziel der Diskussion im Abshnitt 4. wird es sein, die Störungstheorie ausgehend von der in Kapitel eingeführten Feldtheorie zu entwikeln. Solhe statistishen Begriffe wie die Zustandssumme bzw. das großkanonishe Potential werden hierbei auf wehselwirkende Systeme ausgeweitet. Außerdem kommt hier der Begriff der Selbstenergie hinzu, welher im Rahmen der Renormierungstheorie eine wihtige Rolle spielt. Die störungstheoretishe Vorgehensweise führt uns zu den so genannten Feynman-Diagrammen, welhe anhand einiger weniger Feynman-Regeln aufgebaut werden. Damit lassen sih im ersten Abshnitt dieses Kapitels Diagramme des großkanonishen Potentials und der Greens-Funktion, sowie der Selbstenergie erzeugen. Diese Darstellungen basieren auf einem graphish-rekursiven Verfahren und sind stark an diejenigen in den Publikationen [44,45] angelehnt. 35

2 36 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE Im Abshnitt 4. diskutieren wir die gängigen Wehselwirkungsmodelle. Dazu zählt in erster Linie das Modell der so genannten s-wellen-streuung, welhe die niederenergetishe Pseudopotential- Näherung zur Kontakt-Wehselwirkung darstellt. Außerdem wird das Modell durh eine Dipol- Dipol-Wehselwirkung erweitert, die für Systeme von Teilhen mit relativ starken magnetishen oder elektrishen Dipolmomenten relevant ist. Im Abshnitt 4.3 wenden wir nun die vorher eingeführten feldtheoretishen Verfahren auf ein kontakt- und dipolar-wehselwirkendes bosonishes System an. Das Hauptaugenmerk gilt dabei der wehselwirkungsbedingten Vershiebung der kritishen Temperatur, welhe wir in der semiklassishen Näherung ausrehnen. Die Untersuhungen dieses Abshnitts wurden in den kürzlih ershienenen Publikationen [46,47] niederlegt und werden hier in einem etwas größeren Zusammenhang eingebunden. 4. Vielteilhentheorie mit shwaher Wehselwirkung Die Darstellung shwah wehselwirkender Bose-Systeme im großkanonishen Ensemble beginnen wir in diesem Abshnitt mit einer feldtheoretishen Einführung. Dabei bauen wir auf die Untersuhungen wehselwirkungsfreier Systeme im Abshnitt. auf. Insbesondere beziehen wir uns dabei mehrfah auf das darin eingeführte Konzept der Funktionalintegration. Unsere Untersuhungen beginnen wir im Unterabshnitt 4.. mit den statistish relevanten Begriffen der Zustandssumme und des großkanonishen Potentials sowie der Greens-Funktion, die auh als Propagator bezeihnet wird. Diese kennen wir bereits aus den Rehnungen für ideale Bose-Gase. Hier werden sie auf den Fall wehselwirkender Gase im Rahmen der Störungstheorie verallgemeinert. Zur selbstkonsistenten Verbesserung der rein störungstheoretishen Resultate verwendet man das Konzept der Renormierung, mit deren Hilfe lediglih einige wenige physikalishe Systemparameter abgeändert werden müssen. Die zur Renormierung benötigte feldtheoretishe Größe wird unter anderem durh die so genannte Selbstenergie geliefert, welhe im Abshnitt 4.. eingeführt wird. Alle störungstheoretishen Beiträge zur Selbstenergie, zum Propagator oder zum großkanonishen Potential lassen sih in Form von Feynman-Diagrammen ausdrüken. Diese können mit Hilfe der im Unterabshnitt 4..3 eingeführten Feynman-Regeln aufgebaut werden. Im anshließenden Unterabshnitt 4..4 werden die Diagramme der besagten Größen inklusive ihrer relativen Gewihte nah einem graphish rekursiven Verfahren erzeugt. 4.. Feldtheoretishe Begriffe Das Ziel dieses Unterabshnittes ist es, die im Abshnitt. eingeführten feldtheoretishe Begriffe für den Fall der Bose-Gase mit wehselwirkenden Teilhen zu verallgemeinern. Dabei beginnen wir

3 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 37 mit dem gegenüber.) erweiterten Hamiltonian ] Ĥ d 3 x â x) [ h M + V x) âx) + d 3 x d 3 y â x)â y) V int) x, y) ây) âx), 4.) wobei V int) x, y) für die Wehselwirkung zwishen zwei vershiedenen Teilhen an den Orten x und y steht. An dieser Stelle sei noh erwähnt, dass das Hamiltonian 4.) bereits jetzt eine Näherung darstellt, in der Drei-, Vier- und alle höheren Viel-Teilhen-Wehselwirkungen weggelassen sind. Diese Näherung ist in den meisten gängigen Experimenten zur Bose-Einstein-Kondensation fern der Resonanzstreuungen berehtigt, da die dabei beteiligten Gase als stark verdünnt anzusehen sind. In diesen Fällen sind die simultanen Viel-Teilhen-Streuungen eher selten. Genau genommen führen solhe Effekte häufig zu unerwünshten Rekombinationsprozessen in Kondensaten und sind shon daher so gering wie möglih zu halten. Zur eingehenden Diskussion dieser Frage sei auf das Lehrbuh von Huang [85] verwiesen. Hier soll nur kurz erwähnt werden, dass die darin geshilderten Abshätzungen keinen Einfluss der shwahen Viel-Teilhen-Wehselwirkungen auf die Terme der ersten störungstheoretishen Ordnung ergeben. Da wir uns in den weiteren Darstellungen tatsählih nur mit dieser niedrigsten Störungsordnung beshäftigen werden, reihen die Zwei-Körper-Prozesse somit aus. Nun shreiten wir zur Funktionalintegral-Formulierung der Zustandssumme.). Diese ergibt sih in völliger Analogie zu der im Abshnitt. durhgeführten Rehnung als Z GK = Dψ x, τ) Dψx, τ) e A) [ψ,ψ]+a int) [ψ,ψ])/ h. 4.) Das hierbei verwendete Funktionalintegral stellt dabei nah wie vor den Kontinuumlimes der unendlihdimensionalen Integration.3) über die periodishen Feldkonfigurationen dar. Die letzteren werden mit Hilfe der euklidishen Wirkung gewihtet, die allerdings in Anwesenheit der Wehselwirkung eine zusammengesetzte Größe darstellt bestehend aus dem wehselwirkungsfreien Anteil hβ A ) [ψ, ψ] = dτ d 3 x ψ x, τ) h τ h M + V x) µ ψx, τ), 4.3) den wir bereits aus.33) kennen, und dem neuen Zwei-Teilhen-Wehselwirkungsterm A int) [ψ, ψ] = hβ dτ d 3 x d 3 y ψy, τ) V int) y, x) ψx, τ). 4.4) Für spätere Untersuhungen empfiehlt es sih, den freien Anteil 4.3) in einer etwas veränderten Form als hβ A ) [ψ, ψ] = h dτdτ d 3 xd 3 y ψ y, τ ) G ) y, τ ; x, τ) ψx, τ) 4.5) zu shreiben, wobei die bilokale Größe G ) den so genannten Integralkern G ) y, τ ; x, τ) h δy x) δτ τ) h τ h M + V x) µ 4.6)

4 38 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE darstellt. Der wehselwirkende Term lässt sih ebenfalls als A int) [ψ, ψ] = hβ dτ dτ dτ 3 dτ 4 d 3 x d 3 x d 3 x 3 d 3 x 4 V int) x, τ ; x, τ x 3, τ 3 ; x 4, τ 4 ) ψ x, τ ) ψx, τ ) ψ x 3, τ 3 ) ψx 4, τ 4 ) 4.7) umshreiben mit dem Folgenden Vierertensor der Wehselwirkung: V int) x, τ ; x, τ x 3, τ 3 ; x 4, τ 4 ) δx x ) δx 3 x 4 ) V int) x, x 3 ) δτ τ ) δτ τ 3 ) δτ τ 4 ). 4.8) Neben der Zustandssumme.) können wir hier noh die Greenshe Funktion.49) untersuhen. Diese auh als voller Propagator bezeihnete Zwei-Punkt-Funktion ergibt sih unter Berüksihtigung der Wehselwirkung in einer zu.59) analogen Form als Gx, τ ; x, τ ) = Z GK Dψ x, τ) Dψx, τ) ψx, τ ) ψ x, τ ) e A) [ψ,ψ]+a int) [ψ,ψ])/ h.4.9) Um die störungstheoretishen Entwiklungen der Zustandssumme 4.) und des vollen Propagators 4.9) zu erhalten, nehmen wir ferner an, dass der Wirkungsanteil 4.4) klein ist, d.h. A int) / h. Damit erhalten wir für die Zustandssumme Z GK = Z ) GK Z ) GK [ ] Dψ x, τ) Dψx, τ) h Aint) [ψ, ψ] +... e A) [ψ,ψ]/ h, 4.) wobei der erste Term Z ) GK den wehselwirkungsfreien Beitrag.3) repräsentiert, den wir hier zur besseren Untersheidung von der vollen Zustandssumme 4.) mit dem oberen Index ) versehen haben. Die weiteren Terme repräsentieren störungstheoretishe Beiträge erster und höherer Ordnungen. Unmittelbar aus der Zustandssumme 4.) lässt sih das großkanonishe Potential F GK β ln Z GK = F ) GK β W int) 4.) bestimmen. Der erste Term auf der rehten Seite F ) GK lnz) GK /β entspriht genau dem wehselwirkungsfreien großkanonishen Potential aus Abshnitt..4. Die dimensionslose Größe W int) stellt dabei den wehselwirkenden Anteil dar, welher im Unterabshnitt 4..4 noh genauer bestimmt wird. Es ist interessant an dieser Stelle zu bemerken, dass die störungstheoretishe Entwiklung des großkanonishen Potentials einer Kumulantenentwiklung entspriht, im Gegensatz zu der Momentenentwiklung der Zustandssumme. Nur die erste der beiden hat die angenehme Eigenshaft, in jeder Entwiklungsordnung extensive Ausdrüke zu liefern, d.h. proportional zur Teilhenzahl N zu sein. Damit ergeben sie auh im thermodynamishen Limes noh sinnvolle Resultate [5, Kapitel 3]. Zur störungstheoretishen Entwiklung des vollen Propagators 4.9) brauhen wir neben der Entwiklung des Funktionalintegrals noh die Entwiklung der Zustandssumme im Nenner. Bis zur führenden Entwiklungsordnung lässt sih dieser als Gx, τ ; x, τ ) = G ) x, τ ; x, τ ) )

5 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 39 ausshreiben. Der erste Summand stellt dabei den wehselwirkungsfreien Propagator.59) aus Abshnitt..3 dar, den wir hier mit dem überstehenden Index ) versehen haben, um den Untershied zum vollen Propagator hervorzuheben. Der explizite Ausdruk für den Term nähster Ordnung liesse sih zwar direkt angeben, wäre aber in dieser Form noh wenig aufshlussreih. Aus diesem Grund verweisen wir auf die störungstheoretishe Entwiklung dieser Größe im Unterabshnitt Selbstenergie Bei einer störungstheoretishen Entwiklung, wie sie z.b. für die Zustandssumme 4.) durhgeführt wurde, war es von entsheidender Bedeutung, dass der Störungsterm klein ist. Dennoh ist dies auh in unseren Rehnungen zum verdünnten Bose-Gas niht immer gewährleistet, und so müssen die Reihen auf eine angemessene Art resummiert werden. Eine relativ einfahe Methode, mit der sih eine bestimmte Klasse von störungstheoretishen Termen zusammenfassen lässt, wird durh die so genannte Renormierung gegeben. Deren wihtigster Bestandteil ist die Selbstenergie, welhe den mittleren Einfluss der Wehselwirkung auf die Parameter beshreibt, die in der wehselwirkungsfreien Theorie vorkommen, wie z.b. Masse, Frequenz und hemishes Potential. Zur konkreten Diskussion dieser Größe bemerken wir zunähst die folgende wihtige Differentialgleihung für den freien Propagator.68): h τ h M x + V x) µ G ) x, τ; y, τ ) = ψ k x) ψk β y) e πmτ τ )/ hβ k = h δx y) n= m= δτ τ + n hβ). 4.3) Die erste Gleihung ergibt sih unmittelbar aus der Eigenwertgleihung.35). Für die zweite wird die Entkopplung der Indizees k und m ausgenutzt, und es werden Vollständigkeits-Relationen.36) und.39) angewendet. Weiterhin ergibt sih damit für die Imaginärzeiten τ, τ ; hβ] die folgende Beziehung zwishen dem Integralkern 4.6) und dem freien Propagator: hβ dτ d 3 x G ) z, τ ; x, τ) G ) x, τ; y, τ ) = δz y) δτ τ ). 4.4) Daraus sehen wir, dass der Integralkern zum freien Propagator reziprok im funktionalen Sinne ist, wodurh auh seine Bezeihnung als G ) gerehtfertigt ist. Nun gehen wir einen Shritt weiter und definieren den vollen Integralkern der wehselwirkenden Theorie G als die funktionale Umkehrung des vollen Propagators gemäß der Gleihung hβ dτ d 3 x G z, τ ; x, τ) Gx, τ; y, τ ) = δz y) δτ τ ). 4.5) Dieser volle Integralkern G spielt nun für Theorien mit Wehselwirkung eine ähnlihe Rolle wie der freie Integralkern G ) in wehselwirkungsfreien Theorien. Die Differenz zwishen den beiden Σy, τ ; x, τ) = G ) y, τ ; x, τ) G y, τ ; x, τ) 4.6)

6 4 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE beshreibt den reinen Effekt der Wehselwirkung und wird nun im Folgenden als die Selbstenergie bezeihnet. Um die Bedeutung dieser Größe besser zu verstehen, formen wir die Identität 4.6) noh etwas um. Dafür erweitern wir sie mit dem vollen Propagator Gz, τ ; y, τ ) von links und dem freien Propagator G ) x, τ; z, τ ) von rehts und integrieren die Zwishenpunkte x, τ) und y, τ ) aus. Damit ergibt sih nah 4.4) und 4.5) für den vollen Propagator Gz, τ ; z, τ ) = G ) z, τ ; z, τ ) hβ + dτ dτ d 3 xd 3 y Gz, τ ; y, τ ) Σy, τ ; x, τ) G ) x, τ; z, τ ). 4.7) Das ist die berühmte Dyson-Gleihung für die Greens-Funktionen [95]. Demnah kann die Propagation in Imaginärzeit wie in Realzeit) eines wehselwirkenden Teilhens auf zwei vershiedene Weisen verlaufen. Bei der ersten ist es die freie Propagation ohne jeglihe Wehselwirkungsprozesse, welhe durh den ersten Summanden beshrieben ist. Bei der zweiten läuft ein Teilhen zuerst frei, bis es an einem Zwishenpunkt in einem Wehselwirkungsprozess teilnimmt. Danah setzt es seine Bewegung weiter fort, vielleiht völlig frei, vielleiht aber auh nur bis zum nähsten Wehselwirkungsvorgang. Nun wird jeder dieser einzelnen niht trivialen Vorgänge durh die Selbstenergie 4.6) beshrieben. Dabei handelt es sih jedoh niht um die Wehselwirkungsprozesse zwishen zwei vershiedenen Teilhen, sondern lediglih um die Wehselwirkung eines einzelnen Teilhens mit seiner Umgebung, welhe durh die Präsenz des Teilhens selbst polarisiert wird. Effektiv gesehen, wirkt das Teihen dabei mittels umgebender Felder auf sih selbst, woher auh die Bezeihnung Selbstenergie abstammt. Bei einer näheren Betrahtung der Dyson-Gleihung 4.7) fällt ihr selbstkonsistenter Charakter auf, denn der volle Propagator tritt darin auf beiden Seiten auf. Würde man also die Selbstenergie exakt kennen, so liesse sih der Propagator damit selbstkonsistent berehnen. Das ist ein wirklih großer Vorteil gegenüber dem rein störungstheoretishen Ausdruk, den wir direkt aus der Definitionsgleihung 4.9) gewinnen können. Und auh wenn man nur einige wenige Selbstenergie-Terme explizit angeben kann, so wird dadurh eine ganze Klasse von störungstheoretishen Termen des Propagators beshrieben. Genau das geshieht beispielsweise in der Hartree-Fok-Näherung, die wir im Abshnitt 4..5 noh behandeln werden. Es lässt sih ferner noh eine weitere Interpretation der Renormierung angeben. Da die Propagation eines Teilhens unter Einfluss seiner Wehselwirkungen mit der Umgebung geshieht, ändern sih effektiv seine Eigenshaften. Man spriht in diesem Zusammenhang von einem angezogenen Teilhen im Gegensatz zu einem nakten Teilhen, das uns in der freien Theorie begegnet. Ursprünglih kommt die Renormierung aus der Quantenelektrodynamik QED), wo man z.b. ein Elektron zunähst als ein Punktteilhen betrahtet und feststellt, dass seine Gesamtenergie damit unendlih wäre. Da jedoh ein Elektron im physikalishen Vakuum vom elektromagnetishen Feld umgeben ist, wird eine ebenfalls unendlihe Energie für die Polarisation des Vakuum verbrauht. Die beiden durh Lokalität der QED entstandenen Unendlihkeiten kompensieren sih gegenseitig und ergeben ein renormiertes angezogenes Teilhen, dessen Energie und sonstige Eigenshaften vom real messbaren Elektron bekannt sind. Die Physik bei ultrakurzen Abständen ist uns dabei im Detail zwar niht bekannt, in allen renormierbaren Theorien un nur mit solhen haben wir

7 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 4 hier zu tun) spielt diese Ignoranz jedoh keine Rolle. Übertragen auf ein Gas-Atom oder Molekül heißt das natürlih niht, dass es in einem völlig wehselwirkungsfreien Gas singuläre Eigenshaften eines Punktteilhens besitzt. Diese sind bereits durh die Präsenz des physikalishen Vakuums beseitigt. In einem wehselwirkenden Gas stellt dennoh ein durh Selbstenergie-Effekte angezogenes Gasteilhen einen besseren Ausgangspunkt für weitere theoretishe Untersuhungen dar als das nakte Teilhen der freien Theorie. Interessant ist in diesem Zusammenhang auh noh zu wissen, wie die einzelnen Selbstenergie-Beiträge aussehen. Dazu werden sie im Unterabshnitt 4..5 in den beiden niedrigsten störungstheoretishen Ordnungen mit Hilfe von Feynman-Diagrammen graphish dargestellt Einführung in die Diagrammtehnik In diesem Unterabshnitt führen wir einige Abkürzungen ein, die das weitere Vorgehen bei der störungstheoretishen Entwiklung der Selbstenergie 4.6), des Propagators 4.9) sowie des großkanonishen Potentials 4.) etwas erleihtern. Weiterhin lassen sih die störungstheoretishen Ausdrüke vereinfahen, indem man sie in Form von Diagrammen darstellt. Die dazu notwendigen graphishen Elemente sowie Anwendungsregeln werden ebenfalls erklärt. Wir beginnen hier mit kleinen Abänderungen der Notation, welhe die weitere Buhhaltung erleihtern sollen. Da wir es weiterhin nur mit einer endlihen Anzahl von kontinuierlihen Raum- Imaginärzeit-Punkten zu tun haben werden, bietet es sih an, sie mit einem einzigen Index zu bezeihnen. Damit ergeben sih z.b. die folgenden Abkürzungen: ψ i ψx i, τ i ), i hβ dτ i Für den Integralkern 4.6) sowie den Vierertensor 4.8) ergibt sih damit d 3 x i. 4.8) G ) ij G ) x i, τ i ; x j, τ j ), V int) ij,kl V int) x i, τ i ; x j, τ j x k, τ k ; x l, τ l ). 4.9) Die weiteren Größen wie Propagatoren oder die Selbstenergie werden in völliger Analogie dazu als G ) ij, G ij bzw. Σ ij bezeihnet. Die störungstheoretishen Ausdrüke aller für uns interessanten Größen werden nun mit Hilfe der freien Propagatoren G ) ij und der Wehselwirkungen V int) ij,kl dargestellt. Da es jedoh sehr shwer ist, zwishen den vershiedenen Indexkombinationen zu untersheiden, die auftreten können, ziehen wir die diagrammatishe Darstellungstehnik zu Rate. Diese wurde in der relativistishen Quantenfeldtheorie von Feynman etabliert, und daher werden solhe graphishen Darstellungen als Feynman-Diagramme bezeihnet. Die Vorshriften, nah denen sih solhe Diagramme bilden lassen, heißen weiterhin Feynman-Regeln. Sie variieren stark je nah Theorie und sind auh sonst an keine fest vorgeshriebenen Strukturen gebunden. So werden auh in unseren weiteren Darstellungen der Viel-Teilhen-Theorie Regeln verwendet, die z.b. von den in [48,5] benutzten etwas abweihen. Diese Regeln ermöglihen neben den Darstellungen der Vakuumdiagramme des großkanonishen Potentials auh eine konsistente Konstruktion der Selbstenergie-Diagramme. Sie wurden

8 4 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE zuerst in der skalaren φ 4 -Theorie in [45,96] verwendet und in [44] auf die Viel-Teilhen-Theorie verallgemeinert. Das Kernstük bildet dabei das graphishe Element der Vierer-Wehselwirkung in Form zweier Vertizes, die miteinander durh eine geshlängelte Wehselwirkungslinie verbunden sind: int) V,34 h ) Ein weiteres Element ist der freie Propagator, der durh eine einfahe gerihtete Linie dargestellt wird: G ). 4.) Der freie Integralkern G ) aus 4.6) sowie sein wehselwirkendes Gegenstük G erhalten keine eigenen graphishen Bezeihnungen, aber dafür die Selbstenergie Σ = G ) G in Form eines Doppelkreises mit zwei offenen Stummeln Σ. 4.) Auh der volle Propagator bekommt seine Bezeihnung, die in Analogie zum freien Propagator 4.) eine gerihtete Linie darstellt, diesmal jedoh eine doppelte: G. 4.3) Die graphishen Elemente 4.) 4.3) lassen sih auf vershiedene Weise kombinieren, wihtig ist dabei nur, dass die Linien an die Stummeln zu verbinden sind, niht aber an die anderen Linien. So werden z.b. die Vierer-Wehselwirkung und der freie Propagator durh die folgende Anklebevorshrift aneinander geheftet: h 4 V int),34 G ) ) Auh mit der Selbstenergie lässt sih eine einfahe Linie 4.) verbinden, wie im übrigen auh die Doppellinie 4.3): G Σ 3 = 3, Σ G ) 3 = ) Eine weitere wihtige graphishe Operation ist die Linienamputation, die zur Illustration der Funktionalableitung δ/δg ) dienen soll. Dazu stellen wir zunähst die folgende Identität fest: δg ) δg ) 34 δ δ 3 4 = δ 3 δ 4, 4.6) welhe die Funktionalableitungs-Vorshrift widerspiegelt. Die Deltas δ ij δx i x j ) δτ i τ j ) stellen dabei lediglih die Indexvertaushungs-Operatoren dar, denn es gilt δ 3 3 G ) 3 = G ) bzw. 5 δ 5 V 534 = V 34. Wendet man also die Operation δ/δg ) 34 auf eine Linie G) an, so wird sie nah 4.6) gelösht amputiert) und anshließend werden die Indizes,) gegen 3,4) ausgetausht.

9 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 43 Bei einigen Rehnungen kann auh die Funktionalableitung nah dem Integralkern δ/δg ) vorkommen. Diese lässt sih jedoh auf die bereits bekannte Funktionalableitung δ/δg ) zurükführen. Dazu benötigen wir erstens die Kettenregel der Funktionalableitungen 3 δ δg ) = 34 δg ) 34 δg ) δ δg ) ) Zweitens stehen uns die Funktionalumkehrungen 4.4) und 4.5) zur Verfügung, die wir mit 4.8), 4.9) und den dazu analogen Abkürzungen als G ) 3 G ) 3 = δ, G 3 G 3 = δ 4.8) shreiben. Mit der Funktionalableitungs-Vorshrift δδ )/δg ) 34 = ergibt sih nun aus der ersten Gleihung 4.8) δg ) 34 /δg ) = G ) 3 G ) 4 und nah 4.7) somit auh δ = G ) 3 G ) δ ) δg ) 34 3 δg ) 34 Manhmal kommt die Linienamputation zusammen mit anshließendem Anheften einer Linie an beide hinterbliebenen Stummel vor, also als δ ˆL. 4.3) G ) δg ) Diese Operation entspriht dem Linienzähl-Operator. Eine einzelne Linie lässt er nämlih unberührt, denn wegen 4.6) gilt ˆL G ) 34 G ) δg ) 34 δg ) = G ) ) Bei einem Graphen mit N Linien wirkt der Operator ˆL auf jede Linie genau einmal und belässt diese entsprehend der Gleihung 4.3) in ihrem ursprünglihen Zustand. Da dies aber N mal angewandt wird, wird der ursprünglihe Graph N-fah kopiert und es gilt ˆL Graph mit N Linien = N Graph mit N Linien. 4.3) Mit anderen Worten zählt der Operator ˆL in der Tat die Linien eines Graphen Rekursion für Selbstenergie In diesem Abshnitt werden wir die Feynman-Diagramme der Selbstenergie, des Propagators sowie des großkanonishen Potentials bestimmen. Dafür benutzen wir die Shwinger-Dyson-Gleihung [97] der Vielteilhen-Theorie, die wir aus allgemeingültigen Überlegungen herleiten werden. Diese Gleihung hat die Form einer Selbstkonsistenz-Gleihung und ergibt zusammen mit der Dyson- Gleihung für die Greens-Funktion 4.7) ein geshloßenes Gleihungs-System, aus dem sih alle

10 44 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE Feynman-Diagramme der Selbstenergie mit den dazugehörigen Gewihten rekursiv bestimmen lassen. Die Feynman-Graphen der Greens-Funktion des Propagators) ergeben sih dabei als Nebenprodukt. Dieser Abshnitt wird anshließend durh Erzeugung der so genannten Vakuum- Diagramme des großkanonishen Potentials komplettiert. Sie lassen sih aus den Graphen der Selbstenergie und des Propagators zusammensetzen und erfordern auf diese Weise keine eigenständige Rekursionsgleihung. Zur Vorbereitung weiterer Rehnungen dieses Abshnitts beginnen wir mit der Wirkung der Vielteilhen-Theorie. Sie setzt sih additiv aus dem wehselwirkungsfreien Anteil 4.5) und dem Anteil der Wehselwirkung 4.7) zusammen und ist mit den Abkürzungen 4.8) und 4.9) als A[ψ, ψ] = h G ) ψ ψ + V int),34 ψ ψ ψ3 ψ ) 34 zu shreiben. Als Ausgangspunkt aller weiteren Überlegungen dient uns die folgende Integro- Differentialgleihung: Dψ Dψ δ ψ,ψ]/ h δψ =, 4.34) e A[ψ die wir aus dem shnellen Vershwinden der Exponentialfunktion im Unendlihen folgern können. Nah der expliziten Ausführung der darin vorkommenden Funktionalableitung erhalten wir mit der Wirkung 4.33) die so genannte Shwinger-Dyson-Gleihung Dψ Dψ δ G ) 3 ψ 3 ψ h V int) 3,45 ψ 5 ψ4 ψ 3ψ e A[ψ,ψ]/ h =. 4.35) Der erste Summand stellt dabei die Zustandssumme 4.) multipliziert mit der Delta-Funktion dar, also Z GK δ. Der zweite Summand steht für die Verbindung des freien Integralkerns mit dem vollen Propagator 4.9) entsprehend der Gleihung Z GK 3 G) 3 G 3. Es bleibt also nur zu klären, was der letzte Summand in 4.35) bedeutet. Zur Klärung dieser Frage berehnen wir zuerst die Funktionalableitung der Zustandssumme 4.) nah dem freien Integralkern und erhalten δz GK = Dψ Dψ ψ δg ) ψ,ψ]/ h = Z e A[ψ GK G, 4.36) wobei wir uns bei der letzten Gleihung noh an die Definition des vollen Propagators in 4.9) erinnerten. Weiterhin wenden wir die Funktionalableitung nah dem freien Integralkern auf diesen Propagator und erhalten δg 34 δg ) = G G 34 Z GK Dψ Dψ ψ ψ ψ 3 ψ 4 e A[ψ,ψ]/ h. 4.37) Der letzte Term hier hat shon die Form, die im letzten Summanden von der Shwinger-Dyson- Gleihung 4.35) erforderlih ist. Doh dazu formen wir die Funktionalableitung auf der linken

11 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 45 Seite in 4.37) noh etwas um. Durh die zweite Beziehung 4.8) lässt sih der volle Propagator identish erweitern mit dem Ergebnis δg 34 δg ) = G δg 56 δg ) G 64 = G 3 G G 35 δσ 56 δg ) G ) Im letzten Shritt haben wir noh die Definition der Selbstenergie 4.6) verwendet. Zusammen mit 4.37) ergibt sih damit für den Mittelwert des Viererprodukts der Felder Z GK Dψ Dψ ψ ψ ψ 3ψ4,ψ]/ h = G e A[ψ G 34 + G 3 G 4 56 G 35 δσ 56 δg ) G ) Übrigens entspriht diese Beziehung der verallgemeinerten Wik-Regel der Viererfeld-Mittelwerte [98]. Diese wurde für wehselwirkungsfreie Mittelwerte aufgestellt und ergab lediglih die Summe der beiden vershiedenen Produkte von freien Propagatoren. Für den Mittelwert der wehselwirkenden Theorie musste diese Regel offensihtlih um den Ableitungsterm der Selbstenergie erweitert werden. Nah diesen Vorbemerkungen sind wir nun in der Lage, die Shwinger-Dyson-Gleihung 4.35) auf die Form δ G ) 3 G 3 h V int) 3,45 G 3G 54 h V int) 3,45 G 34G h V int) 3,45 G δσ G δg ) 7 = 4.4) 45 zu bringen. Erinnern wir uns noh an die Definition der Selbstenergie 4.6) und die Darstellung der Delta-Funktion in 4.8), so erhalten wir nah Erweiterung mit G 8 Σ = h V int),34 G 43 h V int) 4,3 G 43 h V int) δσ 5 6,78 G 65 G 37 G ) δg 34 Für den letzten Summanden verwendeten wir noh die Umformung 4.9). Die Gleihung 4.4) repräsentiert nun die Bestimmungsgleihung für die Selbstenergie und kann auh graphish mit Hilfe der Elemente 4.) 4.3) und der Anklebevorshrift 4.4) als = δ δ ) dargestellt werden. Zur Auswertung der Gleihung 4.4) bzw. 4.4) fehlt uns noh die explizite Kenntnis des darin vorkommenden vollen Propagators G. Dieser kann aber wiederum aus der Selbstenergie nah der Dyson-Gleihung 4.7) bestimmt werden. Letztere lässt sih in der abgekürzten Shreibweise als G = G ) + G 3 Σ 34 G ) ) 34

12 46 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE hinshreiben. Mit den graphishen Elementen 4.) 4.3) und Anklebevorshriften 4.5) lautet die dazugehörige diagrammatishe Darstellung = ) Diese Identität stellt nun zusammen mit der Bestimmungsgleihung für die Selbstenergie 4.4) ein selbstkonsistentes Gleihungs-System zur Erzeugung von Feynman-Diagrammen der Selbstenergie und des wehselwirkenden Propagators dar. Dieses Gleihungs-System werten wir nun rekursiv Ordnung für Ordnung aus. Dazu bemerken wir zuerst, dass die Diagramme der Selbstenergie nah 4.4) mindestens eine Wehselwirkungslinie besitzen. Daher hat der volle Propagator nah 4.44) einen einzigen wehselwirkungsfreien Beitrag, nämlih den freien Propagator. Das shreiben wir in der Form = +..., 4.45) was der Gleihung 4.) entspriht. Hier nutzen wir diesen Umstand weiterhin aus, um die Diagramme der Selbstenergie in der niedrigsten störungstheoretishen Ordnung zu erzeugen. Dazu bemerken wir noh, dass der letzte Term in 4.4) mindestens ab der zweiten Ordnung beiträgt und für das Resultat = ) noh keine Rolle spielt. Die beiden Beiträge der niedrigsten Ordnung in 4.46) werden als das direkte und das Austaush-Diagramm bezeihnet. Nah Einsetzen dieses Resultats in 4.44) erhalten wir zusammen mit 4.45) für den Propagator = ) Zur weiteren Auswertung der Selbstenergie nah 4.4) bemerken wir noh, dass die Ableitung nah einer einfahen Linie im letzten Term entsprehend der Amputationsregel 4.6) erfolgt mit dem Resultat δ 5 δ 3 4 = ) An dieser Stelle ist noh zu bemerken, dass die beiden äußeren Enden der Selbstenergie-Diagramme durh die Linienamputation unberührt bleiben, weil es keine Linien, sondern nur Stummel sind. Die weitere Berehnung nah 4.4) ist unmittelbar ersihtlih und ergibt die Selbsteneregie bis einshließlih der zweiter Ordnung zu = )

13 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 47 Für den vollen Propagator ergibt sih damit aus der Dyson-Gleihung 4.44) bis einshließlih der zweiten störungstheoretishen Ordnung = ) Interessant ist an dieser Stelle noh zu bemerken, dass die Selbstenergie 4.49) offensihtlih genau diejenigen Beiträge des Propagators 4.5) enthält, die Ein-Teilhen-irreduzibel sind. Das sind nämlih in der Tat nur diejenigen Diagramme, die nah einer beliebigen Amputation einer inneren gerihteten Linie immer noh zusammenhängend bleiben, und das sind in 4.5) alle bis auf die vier Diagramme der untersten Zeile. Aus diesem Grund wird die Selbstenergie in der Literatur manhmal auh als die Ein-Teilhen-irreduzible Zwei-Punkt-Funktion bezeihnet z.b. in Ref. [5,99]). Dennoh kann man niht sagen, dass die Selbstenergie aus einer Teilmenge der Propagator-Diagrammen besteht, weil sih ihre diagrammatishe Strukturen in einem Punkt stark untersheiden. Die äußeren Enden der Selbstenergie-Diagrammen werden durh Stummel repräsentiert, während es bei den Diagrammen des vollen Propagators ganze gerihtete Linien sind, die an den Stummel dranhängen. In unseren Diagrammen wurde dieser Umstand graphish durh die etwas längeren äußeren Enden hervorgehoben. Nah erfolgreiher Erzeugung der Diagramme der Selbstenergie und des Propagators sind wir nun auh in der Lage, die Graphen des wehselwirkenden Anteils des großkanonishen Potentials, die so genannten Vakuum-Diagramme, zu konstruieren. Wie sih in Kürze herausstellen wird, brauhen dafür die Diagramme aus 4.49) und 4.5) nur in einer geeigneter Weise verbunden zu werden. Diese Vorgehensweise stellt im gewissen Sinne eine Umkehrung der Darstellung in Ref. [] dar. Darin wurden die Vakuum-Diagramme rekursiv aus einer selbstkonsistenten Gleihung erzeugt siehe dazu auh Ref. [44]), und die Graphen der Selbstenergie entstanden daraus mit Hilfe der Linienamputation. Als Ausgangspunkt der weiteren Ausführungen gilt uns hier die Feststellung δf GK δg ) = β G, 4.5) die nah Definition 4.) direkt aus 4.36) folgt. Eine entsprehende Beziehung besteht auh zwishen den wehselwirkungsfreien Größen: δf ) GK /δg) = G ) /β. Somit erhalten wir für den wehselwirkenden Anteil des großkanonishen Potentials W int) aus 4.) die folgende Identität: δw int) δg ) = G + G ). 4.5)

14 48 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE Sie lässt sih noh umformen, indem wir die Ableitungsvorshrift 4.9) für die linke Seite und die Dyson-Gleihung 4.43) für die rehte Seite verwenden. Damit erhalten wir 34 G ) 4 δw int) δg ) 34 G ) 3 = G 4 Σ 43 G ) ) 34 Erweitern wir diese Gleihung noh mit G), so ergibt sih nah der ersten Gleihung aus 4.8) das folgende Ergebnis: ˆL W int) = G Σ, 4.54) wobei wir uns noh an den Linienzähloperator 4.3) erinnerten. Diese Gleihung lässt sih mit den Elementen 4.) und 4.3) weiterhin graphish als darstellen. ˆL W int) = 4.55) Mit der Gleihung 4.55) steht uns nun die Bestimmungsgleihung für den wehselwirkenden Anteil des großkanonishe Potentials zur Verfügung, mit deren Hilfe wir die dazugehörigen Vakuum- Diagramme erhalten. Dazu verwenden wir die Ergebnisse für die Selbstenergie und die Paar- Korrelationsfunktion 4.49), 4.5) und beahten die Vorshriften 4.4) und 4.3). So ergibt sih bis zur zweiten Ordnung in der Wehselwirkung W int) = ) Wie man aus den Resultaten 4.49), 4.5) erkennt, haben alle Diagramme der Selbstenergie und der Greens-Funktion Multiplizität eins. Bei den Vakuum-Diagrammen aus 4.56) ist dies allerdings niht mehr der Fall. Die Multiplizitäten hier lassen sih jedoh mit Symmetrie-Eigenshaften der Diagramme erklären, wie in Ref. [44] erläutert wird. Interessanterweise besitzen die hier präsentierten Diagramme eine verblüffende Ähnlihkeit mit denjenigen aus der Quantenelektrodynamik QED) []. Jedoh wehseln die Vorzeihen der Diagramme dort je nah Anzahl der geshloßenen Teilhenshleifen, was auf das fermionishe Charakter der beteiligten Elektronen zurükzuführen ist siehe entsprehende Diagramme für die fermionishe Vielteilhentheorie in [44]). Das ist auh kein Zufall, denn die zugrunde liegenden Theorien haben formal auh große Ähnlihkeiten. Lediglih die Interprätation einzelner Terme ist etwas vershieden. So werden in der QED alle Wehselwirkungen durh Photonen vermittelt, die man z.b. durh gewellte Linien darstellt. Auh in der hier diskutierten Vielteilhentheorie stehen die gewellten Linien für die Wehselwirkungen. Der prinzipielle Untershied besteht nun darin, dass die Wehselwirkungen hier instantan per Fernwirkung ablaufen, was den nihtrelativistishen Charakter der Vielteilhen-Theorie verdeutliht.

15 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG Molekularfeld-Näherung In diesem Abshnitt diskutieren wir die Folgen der Selbstenergie-Renormierung, die wir bereits im Unterabshnitt 4.. angekündigt haben. Dabei verwenden wir zuerst die Hartree-Fok-Näherung für die Selbstenergie und berüksihtigen den Einfluss der Wehselwirkung im Mittel. Diese Vorgehensweise entspriht der Hartree-Fok-Molekularfeld-Näherung, deren üblihe Darstellung mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernihtungs-Operatoren z. B. in Ref. [65,] zu finden ist. Die volle Wirkung im wehselwirkenden Problem 4.33) reduziert sih dadurh auf die so genannte effektive Wirkung, die nur quadratishe Feldvariablen enthält. Die gesamte Theorie wird in dieser Näherung effektiv Gauss-artig. Wir beginnen hier mit der Hartree-Fok-Näherung für die Selbstenergie. Sie basiert auf der selbstkonsistenten Gleihung 4.4) bzw. 4.4), die wir bei den ersten zwei Termen abbrehen, d.h. wir vernahlässigen den letzten Ableitungsterm, der von der höheren Wehselwirkungsordnung ist, und betrahten die Größe Σ HF + = h 34 V int),34 G 43 h V int) 4,3 G ) 34 Der erste direkte Term ist dabei der Hartree-Beitrag zur Selbstenergie und der zweite Austaush- Term ist der entsprehende Fok-Beitrag. Der Fehler, den wir durh die Beshränkung auf diese beide Terme in Kauf nehmen, ist mindestens von der zweiten Ordnung der Störungstheorie, wie man aus Σ Σ HF = ) sieht. Die Diagramme der vollen Selbstenergie entnahmen wir dabei aus 4.49) und gewannen diejenigen der Hartree-Fok-Näherung 4.57) durh Einsetzen der beiden niedrigsten Ordnungen von 4.5) anstelle des vollen Propagators. Vergleiht man 4.58) mit 4.49), so erkennt man weiterhin, dass bis zu dieser Ordnung nur die letzten beiden Diagramme der vollen Selbstenergie im Hartree-Fok genäherten Ausdruk fehlen. Dabei ist eine ganze Klasse von Diagrammen darin bereits absorbiert, wie am Beispiel der ersten sehs Diagramme aus 4.49) zu sehen ist. Ähnlih wird auh das großkanonishe Potential in dieser Näherung motiviert. Dazu setzt man die Selbstenergie 4.57) in 4.55) ein, verwendet den Operator ˆL aus 4.3) näherungsweise als den Zähloperator der vollen Linien und vernahlässigt alle höheren Korrekturterme. Diese genäherte Größe ist W HF + = G V int),34 h G 43 G 3 V int),34 34 h G ) 34 Auh hier heißt der erste Term das direkte oder Hartree-Vakuum-Diagramm und der zweite das Austaush- oder Fok-Vakuum-Diagramm. Der Fehler dieser Näherung ist ebenfalls von mindestens zweiter störungstheoretisher Ordnung. Allerdings repräsentieren die beiden Terme niht die niedrigste Ordnung des großkanonishen Potentials, sondern erst die führenden Korrekturen zum F GK)-Term. Daher kann man hier auh niht von einer Absorption bestimmter Diagrammen- Klassen in Hartree- und Fok-Termen sprehen, wie es bei den Selbstenergie-Diagrammen noh der Fall war.

16 5 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE Nun wollen wir sehen, welhe Konsequenzen die Hartree-Fok-Näherung auf die Theorie hat. Dazu erweitern wir die Wirkung 4.33) mit der Hartree-Fok-Selbstenergie 4.57) additiv und erhalten [ ] A[ψ, ψ]/ h = G ) Σ HF ψψ + V int),34 ψ h ψ ψ3ψ 4 34 h V int),34 G 43 ψψ h V int) 4,3 G 43 ψψ. 4.6) 34 Die zu V int),34 gehörenden Paar- und Vierer-Felder ersetzen wir nun durh ihre Mittelwerte. Für die ersten der beiden ergeben sih dabei nah 4.36) die vollen Propagatoren ψ ψ = G. Für die Vierer-Feld-Mittelwerte erinnern wir uns noh an die Beziehung 4.39) und stellen näherungsweise die Beziehung ψψ ψ3ψ 4 G G 43 + G 3 G 4 fest, für die wir den letzten Ableitungsterm höherer Wehselwirkungsordnung in 4.39) vernahlässigten. In dieser Mittelwert-Näherung, auh Molekularfeld-Näherung genannt, ergibt sih nun die Wirkung 4.6) zu A[ψ, ψ]/ h [ ] G ) Σ HF ψ ψ h V int) 34 34,34 G 43G h V int) 34,34 G 4G 3.4.6) Die beiden letzten Terme stellen gerade das großkanonishe Potential in der Hartree-Fok-Näherung 4.59) dar. Der Ausdruk in den ekigen Klammern repräsentiert dabei entsprehend der Beziehung 4.6) den vollen Integralkern der Hartree-Fok-genäherten Theorie Damit lässt sih 4.6) auh als mit der Hartree-Fok-Wirkung A HF [ψ, ψ]/ h G HF G ) Σ HF. 4.6) A[ψ, ψ]/ h A HF [ψ, ψ]/ h + W HF 4.63) G HF ψ ψ 4.64) shreiben. Diese effektive Wirkung der Hartree-Fok-Molekularfeld-Näherung besitzt nun die angenehme Eigenshaft, quadratish in den Feldvariablen zu sein, und führt somit zu einer effektiv wehselwirkungsfreien Gaussshen Theorie. Lediglih das Energiespektrum oder solhe Parameter der Theorie wie das hemishe Potential ändern sih dabei unter dem Einfluss der Selbstenergie. Die Näherung 4.63) kann alternativ auh mit Hilfe der so genannten Hubbard-Stratonovih- Transformation [,3] in der niedrigsten Sattelpunkts-Näherung erhalten werden, wie es z.b. in Ref. [4] oder im Textbuh [48] geshildert wurde. In der letzteren Darstellung wurde allerdings noh darauf hingewiesen, dass die Hartree- und Fok-Anteile im Prinzip in beliebigen Proportionen auftreten dürfen. Ferner gibt es noh einen dritten Kandidaten, das Viererfeld in Feldpaar-Mittelwerte zu zerlegen. Dabei treten Paar-Erzeugungen bzw. -Vernihtungen in den so genannten anomalen oder Quasi-Mittelwerten ψ i ψ j bzw. ψ iψ j auf. Sie sind Konsequenzen der Bogoliubovshen Feldzerlegungen ψ = ψ + δψ in den dominierenden Hintergrundanteil ψ und

17 4.. VIELTEILCHENTHEORIE MIT SCHWACHER WECHSELWIRKUNG 5 den kleinen Fluktuationsanteil δψ [7]. Die auf dieser Zerlegung basierende Molekularfeld-Näherung liefert für shwahe Wehselwirkungen insbesondere bei einer vershwindenden Temperatur akkurate Mittelwerte thermodynamisher Größen. Für höhere Temperaturen kann der Fluktuationsanteil niht mehr als klein behandelt werden und so muss die Bogoliubov-Näherung erweitert werden. So ergibt sie beispielsweise in Verbindung mit der Hartree-Fok-Näherung die so genannte Hartree-Fok-Bogoliubov-Approximation, die aber bekanntermaßen im thermodynamishen Limes kein lükenloses Spektrum besitzt [5]. Damit kollidiert sie mit der allgemeingültigen Forderung des Hugenholz-Pines Theorems [6]. Speziell bei niht zu niedrigen Temperaturen um den kritishen Punkt sind jedoh die Hintergrund-Anteile ψ bzw. ψ und somit auh die zusätzlihen Bogoliubov-Terme zu vernahlässigen. Wie gehen wir in unseren späteren Berehnungen konkret vor und welhe Rolle spielt dabei die Selbstenergie-Resummation? Die exakte großkanonishe Zustandssumme Z GK oder das Potential F GK, von denen wir in der obigen Diskussion ausgegangen sind, liegen uns dabei natürlih niht vor. Stattdessen müssen wir auf ihre störungstheoretishen Ausdrüke zurükgreifen. In der führenden störungstheoretishen Ordnung erhalten wir aus 4.) mit dem direkten und dem Austaush-Term des großkanonishen Potentials aus 4.56) den folgenden Ausdruk: F GK = F ) GK + FD) = β GK + FA) ln Z) GK + hβ GK +... V int),34 G ) 43 G ) 34 + hβ V int),34 G ) 4 G ) ) Um zu sehen, wie der erste Logarithmus-Term durh die Selbstenergie-Resummation beeinflusst wird, formen wir die freie Zustandssumme identish um und erhalten mit dem Hartree-Fok- Integralkern 4.6) und der effektiv freien Wirkung 4.64) Z ) GK = Dψ Dψ e AHF [ψ,ψ]/ h exp Σ HF ψ ψ. 4.66) Nah Taylor-Entwiklung der Exponential-Funktion ergibt sih daraus mit der expliziten Form der Selbstenergie 4.57) Z ) GK Dψ Dψ e AHF [ψ,ψ]/ h + h V int),34 G 43 ψ ψ + h V int) 4,3 G 43 ψ ψ, 4.67) was wir auh als Z ) GK Z)HF GK shreiben können. Mit Z HF) GK + h V int),34 G 43 G HF + h V int) 4,3 G 43 G HF ) meinen wir dabei das mit Hilfe der Hartrtee-Fok-Wirkung gewihtete Funktionalintegral, welhes im ersten Summanden in 4.67) vorkommt. Der Ausdruk G HF stellt den dazu entsprehenden Feldpaar-Mittelwert dar, den effektiv freien Propagator in Hartree- Fok-Näherung. Setzt man nun das Resultat 4.68) in 4.65) ein, so erhält man das bis zur ersten Ordnung gültige großkanonishe Potential F GK = β ln ZHF) GK hβ,34 G 43 G hβ V int) 34 V int) 34,34 G 4 G )

18 5 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE Dabei ersetzten wir noh alle freien und effektiv freien Hartree-Fok-Propagatoren durh die vollen Propagatoren nah den Näherungsvorshriften G ) = G +... bzw. G HF = G +..., was bis zur ersten Ordnung der Störungstheorie legitim war. Das Ergebnis 4.69) entspriht nun genau demjenigen, welhes wir aus der Hartree-Fok-Molekularfeld-Näherung mit der Wirkung 4.63) erhalten würden. Interessant zu bemerken ist dabei noh, dass die beiden V int) -Terme in 4.69) denjenigen aus dem ursprünglihen Potential 4.65) entsprehen, aber mit dem umgekehrten Vorzeihen vorkommen. Die Ersetzung der freien Parameter der Theorie durh die renormierten Größen liefert aber diesen Vorzeihenwehsel automatish mit. 4. Modell der Wehselwirkung Das Hauptaugenmerk der Untersuhungen dieses Kapitels gilt dem Einfluss einer shwahen Wehselwirkungen auf das Bose-Gas. Doh welhe Wehselwirkungen meinen wir und wie sehen diese aus? Genau dieser Fragestellung widmen wir uns in der anshließenden Diskussion dieses Abshnitts. 4.. Kontakt-Wehselwirkung Die wihtigste Wehselwirkung zwishen den einzelnen Atomen bzw. Molekülen in einem stark verdünnten neutralen Bose-Gas ist die so genannte Kontakt-Wehselwirkung. Dabei handelt es sih um eine effektive Beshreibung der mikroskopishen Prozesse, die uns aus der Welt makroskopisher Stoßteilnehmer vertraut ist. Man denke dabei z.b. nur an die aneinander stoßenden Billardkugeln. Doh die Welt der mikroskopishen Gasteilhen wird von den Coulomb-Kräften regiert. Obwohl die einzelnen Atome oder Moleküle insgesamt neutral sind, bestehen sie aus den geladenen Kernen und den Elektronen, welhe inhomogen im Raum verteilt sind und sih z.b. in den Van-der-Waals-Kräften zeigen. Das Wehselwirkungspotential ist im allgemeinen kompliziert, z.b. Lennard-Jones-artig, kann jedoh für verdünnte Gase im Tieftemperaturbereih stark vereinfaht werden. So erstrekt sih ein Atom bei Temperaturen unterhalb des kritishen Wertes effektiv über die thermishe de Broglie-Wellenlänge π h ) / β λ 4.7) M aus.93) von typisherweise λ > a B, wobei a B den Bohrshen Radius darstellt. Die effektive Reihweite der Wehselwirkung liegt demgegenüber in den meisten Experimenten in etwa bei a ww a B. Bei diesen Größenordnungen werden die Details des Wehselwirkungspotentials ausgeshmiert, so dass die Wehselwirkung mit einer ausreihenden Genauigkeit allein durh ihre Reihweite zu harakterisieren ist [7,8]. Weiterhin ersetzen wir daher die kurzreihweitige Wehselwirkung zwishen zwei Atomen durh die effektive Kontakt-Wehselwirkung zweier Kugeln des Radius a s. Das Problem der Streuung harter Kugeln ist aus rehnerisher Siht niht unproblematish, weil dadurh das Volumen, das einem Teilhen zur Verfügung steht, explizit einzushränken ist.

19 4.. MODELL DER WECHSELWIRKUNG 53 Doh für dieses Problem kann mit Hilfe der Pseudopotential-Methode von Fermi Abhilfe geshaffen werden [85,9,]. Damit kann ein Hartkugel-Potential näherungsweise durh eine Reihe lokaler Pseudopotentiale ersetzt werden. Die Idee dahinter führen wir des Weiteren explizit vor und formulieren dafür zuerst das Streuproblem zweier identisher Atome im Shwerpunkts- Koordinatensystem: h k M ψx) = h M xψx), x > a s, x a s. 4.7) Der Ausdruk M steht hier für die reduzierte Masse M M M/M+M) =M/ der Relativbewegung der Teilhen, k für den Relativ-Impuls und x für die Relativ-Koordinate. Die Eigenfunktion ψ repräsentiert dabei die Zwei-Teilhen-Wellenfunktion nah Abseparation des Shwerpunkt- Anteils. Damit erhalten wir sofort ψx) = für x a s. 4.7) Im Gebiet x > a s shreiben wir das Problem in Kugelkoordinaten x = xr, θ, φ) mit Hilfe des Drehimpuls-Operators ˆL als [ k + r ) ˆL ] θ, φ) r r r h ψr, θ, φ) =. 4.73) r Weiterhin separieren wir die Radial- und Winkel-Komponenten nah ψr, θ, φ) = R lm r)y lm θ, φ) ab. Die Kugelflähenfunktionen Y lm genügen dabei der Eigenwertgleihung ˆL θ, φ)y lm θ, φ) = h ll + )Y lm θ, φ), wobei l für die Drehimpuls-Quantenzahl steht. Die Gleihung 4.73) reduziert sih dabei zu [ k + r ) r r r ] ll + ) R r lm r) =. 4.74) Für die so genannte s-wellen-streuung mit l = und m = ) lässt sih das Problem durh die Wellenfunktion ψ s x) = r sin ka s r) 4.75) mit einer noh unbestimmten Konstante lösen. Hierfür haben wir noh die Identität Y θ, φ) = / 4π = onst ausgenutzt und berüksihtigt, dass aufgrund der Stetigkeit der Wellenfunktion die Anshluss-Bedingung ψ s r=a s ) = an die Lösung 4.7) gilt. Nun kommen wir zur Pseudopotential-Beshreibung, indem wir die Wellenfunktion 4.75) auf das gesamte Raumvolumen fortsetzen. Dafür definieren wir eine neue Wellenfunktion ψ s x) = r sin ka s r) für alle x 4.76) und suhen nah der Shrödinger Gleihung, der sie genügt. Nun stellen wir als erstes durh direkte Ableitung fest, dass die Beziehung x + k ) ψs x) = für alle x 4.77)

20 54 KAPITEL 4. SCHWACH WECHSELWIRKENDE BOSE-GASE gilt. Um zu erfahren, ob diese Gleihung auf den Ursprung x = auszuweiten ist oder ob an diesem Punkt eine Singularität vorliegt, integrieren wir die linke Seite der obigen Gleihung über den gesamten Raum. Mit Hilfe des Gaussshen Integralsatzes erhalten wir shließlih d 3 x x + k ) ψs x) = 4π sin ka s 4.78) und erkennen, dass es am Ursprung eine δ-förmige Singularität geben muss. Statt 4.77) lässt sih für die fortgesetzte Wellenfunktion 4.76) die zu 4.7) entsprehende Form h k M ψ s x) = h M x ψ s x) 4π h sin ka s M δx) 4.79) feststellen. Die darin vorkommende Konstante muss allerdings noh bestimmt werden. Dazu bemerken wir die aus 4.76) unmittelbar herleitbare Identität [ r r ψ s x)] = k os ka s 4.8) r= und bestimmen daraus die gesuhte Konstante. Die Gleihung 4.79) lässt sih somit weiterhin effektiv in Form einer Shrödinger-Gleihung h k ] M ψ s x) = [ h M x + V int) x) ψ s x) 4.8) mit dem so genannten Pseudopotential shreiben. V int) x) = 4π h M tanka s k δx) r r ) r= 4.8) Dieses Pseudopotential kann noh etwas vereinfaht werden. So ergibt sih mit der reduzierten Masse M = M/ für die niedrigenergetishe Streuung mit ka s die impulsunabhängige Näherung V int) x) = 4π h a s M δx) r r ) r=. 4.83) Sie ist besonders dann gut erfüllt, wenn man sih für die Untersuhungen im Temperaturbereih unterhalb des kritishen Wertes interessiert. Denn mit Hilfe der thermishen de Broglie- Wellenlänge 4.7) lässt sih die Abshätzung ka s 4πa s /λ herleiten. Das ist mit den am Anfang dieses Unterabshnitts erwähnten Werten in der Tat eine kleine Zahl im Bereih ka s. oder kleiner. Auh der Pseudopotential-Operator r r ) r= lässt sih in den meisten interessanten Fällen weglassen. Auf reguläre Wellenfunktionen wirkt er entsprehend r[ r ψx) ] r= = ψ) [85], wie die Dirashe δ-funktion in 4.83) auh shon. Damit reduziert sih das Pseudopotential für die s-wellen-streuung zu V int) δ x) = 4π h a s M δx). 4.84)

21 4.. MODELL DER WECHSELWIRKUNG 55 Sattering length Magneti field G) Abbildung 4.: Streuwellenlängen a s in geeigneter Skalierung) im 3 Na-Experiment [5] in Abhängigkeit des äußeren magnetishen Feldes. Punkte stellen Messergebnisse und die durhgezogenen Kurven theoretishe Erwartungen dar. Bild aus [5]. Interessanterweise spielt also bei einem niederenergetishen Streuprozess zweier Teilhen der effektive Hartkugel-Radius a s die Rolle der Wehselwirkungs-Stärke. Sie wird in der Literatur auh als die s-wellen-streulänge bezeihnet. In der gerade beshriebenen Situation handelte es sih um die elastishe Streuung der beiden Stoßteilnehmer. Doh diese beiden sind keine strukturlose Gebilde wie etwa die modellhaften harten Billardkugeln. Zwishen den streuenden Atomen können nämlih inelastishe Prozesse ablaufen, die z.b. zur Bildung eines metastabilen Molekül-ähnlihen Zustandes führen. Solhe Prozesse sind von der Streuung zweier Nukleonen bekannt und werden durh so genannte Feshbah-Resonanzen [,] erklärt. Sie ergeben sih immer dann, wenn die Streuenergien in der Nähe eines Bindungsniveaus eines kurzlebigen Zwei-Teilhen-Zustands liegen. Dann wird die Streuung auh besonders effizient und der Streuquershnitt bzw. die Streulänge a s steigt über mehrere Größenordnungen an. Die ursprünglih abstoßende Wehselwirkung a s > ) kann dabei weiterhin zu einer effektiven Anziehung a s < ) wehseln und umgekehrt. Jahrzehnte nah den erfolgreihen Erklärungen nuklearer Prozesse durh die Feshbah-Resonanz wurden analoge Betrahtungen in Ref. [3,4] auf die Vielteilhen-Theorie ausgeweitet. Hier ergab sih sogar eine Möglihkeit, das Energieniveau des Resonanz-Zustandes von aussen zu justieren. Dazu stelle man sih ein tiefgekühltes verdünntes Gas aus spinpolarisierten Atomen vor, für die es in dem entsprehenden Hyperfein-Zustand keine Bindung gibt. Eine solhe existiert in einem anderen Hyperfein-Zustand, der durh die Austaush- Wehselwirkung erreiht werden kann. Da es sih um vershiedene Hyperfein-Zustände handelt, können sie mittels des Zeemann-Effekts mit dem äußeren magnetishen Feld gegeneinander energetish vershoben werden. Bei bestimmten Feldstärken liegen die Niveaus der Bindungszustände bei den niederenergetishen Streuzuständen des spinpolarisierten Hyperfein-Kanals, so dass die Austaush-Wehselwirkung resonant verstärkt wird. Diese Voraussagen wurden 998 in der Gruppe von Ketterle experimentell bestätigt [5]. Ihre Ergebnisse sind in Abb. 4. für positive Verte der Streulängen in 3 Na dargestellt. Es zeigt sih also eindeutig, dass die s-wellen-streulänge in 4.84) ein effektiver Parameter ist, der experimentell in seiner Größe und sogar Vorzeihen justierbar ist.

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