astronomie Matura-Spezialgebiet aus Physik Joseph Renner Lucero 8B, 1998/99

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1 astronomie Matura-Spezialgebiet aus Physik Joseph Renner Luero 8B, 1998/99

2 Der Doppler-Effekt Der akustishe Doppler-Effekt ist eine alltäglihe Ersheinung. Ein Zuhörer nimmt on einer auf ihn zukommenden Shallquelle eine höhere Frequenz wahr als on einer ruhenden oder sih entfernenden. Dabei ist die Frequenzänderung om Verhältnis Bewegungsgeshwindigkeit zu Shallgeshwindigkeit abhängig. Der Doppler-Effekt ist aber niht auf den akustishen Bereih beshränkt, sondern umspannt zunähst einmal das ganze Spektrum elektromagnetisher Wellen. Der Doppler-Effekt wird auh gezielt genutzt. Seine tehnishe Bedeutung ist am ielseitigen Einsatz erkennbar, so ornehmlih im optishen oder Radio-Bereih zur Bestimmung on Translations- und Rotationsgeshwindigkeiten kosmisher Objekte im Nahbereih im Radarbereih zweks Geshwindigkeitskontrolle on Autos und Flugzeugen. Der Doppler-Effekt beshreibt eine Wellenlängeneränderung und folglih auh eine Frequenz- und Energie- Veränderung. Bewegt sih eine wellenaussendende Quelle auf einen Beobahter zu, so werden die Wellen in Bewegungsrihtung zusammengerükt und werden energiereiher (Blau- oder Violettershiebung), beim Entfernen werden sie auseinandergezogen und energiearmer (Rotershiebung). Doppler-Effekt als Transportphänomen Für die Betrahtung des Doppler-Effekts ist es nützlih zu wissen, dass es niht eine spezielle Lihttheorie ist und dass sih dieses Gedankenexperiment auh auf Boten beziehen kann, die in gleihen Abständen on einer Person A zu einer Person B gesandt wreden, wobei diese beiden Personen sih gegeneinander bewegen können und dadurh die Ankunftszeiten beeinflussen. Der Doppler- Effekt ist also keineswegs ein Beweis für die Wellennatur des Lihtes, er lässt sih ielmehr auf Transportphänomene übertragen. Dazu ein Beispiel: Statt einer Quelle, die Wellen entsendet, haben wir eine Quelle, die Kuhen auf ein mit konstanter Geshwindigkeit

3 laufendes Förderband stellt. Ein Mann auf der linken Seite stellt mit einer bestimmten Frequenz (Rate) die Kuhen auf das Band, sagen wir alle fünf Sekunden einen. Ein zweiter Mann auf der rehten Seite ersuht, sie mit derselben Rate herunter zu nehmen. Wenn der erste Mann sih beim Aufsetzen der Kuhen nah links bewegt, haben die Kuhen auf dem Band größere Abstände, so dass der Mann am anderen Ende sie mit geringerer Rate erhält. (Die Geshwindigkeit des Transportbandes und damit die der Kuhen hat sih natürlih niht geändert.) Läuft der Mann auf der linken Seite in die entgegengesetzte Rihtung, wobei er die Kuhen immer noh mit derselben Rate aufsetzt, dann liegen die Kuhen auf dem Fließband dihter zusammen, so dass der Empfänger sie mit einer höheren Rate erhält. Das Prinzip ist dasselbe, ob beim Doppler- Effekt Wellen oder Kuhen ausgesandt und empfangen werden. Der relatiistishe Doppler-Effekt Beim akustishen Doppler-Effekt gibt es zwei Situationen, in denen der Effekt auftreten kann: Ruhende Quelle und bewegter Beobahter und Bewegte Quelle und ruhender Beobahter. Für die Berehnung der Frequenzänderung gibt es zwei Formeln, die zu ershiedenen Ergebnissen führen. Das sheint dem Relatiitätsprinzip zu widersprehen. Beim akustishen Doppler-Effekt kommt es jedoh anders als beim optishen Doppler-Effekt niht allein auf die relatie Bewegung zwishen Quelle und Beobahter, sondern auh auf die relatien Bewegungen zum Ausbreitungsmedium an. Das ruhende Ausbreitungsmedium liefert ein ausgezeihnetes räumlihes Bezugssystem. Daher müssen ershiedene Bewegunsmöglihkeiten on Quelle und Beobahter relati zum Ausbreitungsmedium untershieden werden. Beim optishen oder allgemein beim elektromagnetishen Doppler-Effekt treten aufgrund der speziellen Relatiitätstheorie gegenüber dem akustishen grundlegende Untershiede in Ersheinung: 1. Die Frequenzänderung hängt lediglih on der Relatigeshwindigkeit zwishen Quelle und Beobahter ab, da für Liht kein Übertragungsmedium existiert und die Lihtgeshwindigkeit on jedem Inertialsystem aus gesehen gleih ist.. Eine Frequenzänderung ist auh dann zu beahten, wenn sih Quelle bzw. Beobahter im rehten Winkel zu ihrer Verbindungslinie bewegen. 3. Die Bewegung eines om Liht durhsetzten Mediums hat keinen Einfluss auf die Frequenz. Herleitung der relatiistishen Doppler-Gleihung Wir betrahten eine Quelle, die Impulse im Zeitabstand T Q aussendet. Die Signale sollen mit Lihtgeshwindigkeit zum Beobahter laufen, der sie im zeitlihen Abstand T B empfängt. Da es nur auf die Relatigeshwindigkeit zwishen Quelle und Beobahter ankommt, wollen wir den Beobahter als ruhend annehmen. Quelle gegenüber Beobahter in Ruhe Auf dem Shirm des Beobahters ersheinen die Impulse in Zeitabständen on T B = T Q. Quelle und Beobahter relati zueinander in Bewegung (Zeitdilatation wird noh niht in die Rehnung einbezogen) Für den Beobahter hat das Liht immer die gleihe Geshwindigkeit. Während der Zeit T Q zwishen dem Aussenden zweier aufeinander folgender signale bewegt sih die Quelle um. T Q, so daß die Signalabstände T B sih um T Q = /. T Q erändern. Die eränderten Signalabstände erhält man mit der Formel T = TQ ± B 1 wobei bei Entfernung on Quelle und Beobahter +, bei Annäherung zu setzen ist.

4 Quelle und Beobahter relati zueinander in Bewegung (Zeitdilatation der bewegten Sendeuhr findet Berüksihtigung) Aufgrund der Zeitdilatation geht die bewegte Sendeuhr om Beobahter aus langsamer und zwar unabhängig on der Bewegungsrihtung. Die Signale weden daher niht in zeitlihen Abständen on T Q ausgestrahlt, sondern in Abständen, die um den Faktor 1 1 größer sind. Das Eintreffen der Signale erfolgt bei gegenseitiger Entfernung on Quelle und Beobahter daher erst nah T B = T Q 1 ± 1 1 Durh Umformung erhält man die Formel für den relatiistishen Doppler-Effekt (linke Formel). Mit der Beziehung T = 1/f erhält man aus der Gleihung auh die Frequenzershiebung der on der Quelle emittierten Strahlung (rehte Formel). T B = T Q 1± 1m f B = f Q 1m 1± Kosmishe Rotershiebungen Rotershiebung als Doppler-Effekt Die Spektren astronomisher Objekte enthalten wihtige Informationen, speziell auh über ihre Bewegung. Die Astronomen haben zwekmäßigerweise eine Spektrallinienershiebungsgroöße, den sogenannten z-wert λ λb λq z = = λq λq λb = 1 λq definiert, der den Bruhteil der Wellenlängenershiebung angibt. Mißt man bei einem System ein posities z-wert, so entfernt sih dieses System on uns. Ein negatier z- Wert bedeutet, dass es sih uns nähert. Rotershiebung als Hubble-Effekt Während die Nahbargalaxien unseres Milhstraßensystems sowohl positie wie negatie z-werte aufweisen, zeigen alle Messungen nihtlokaler Galaxien positie z-

5 Werte auf. Um 199 wies Hubble erfolgreih nah, dass die Rotershiebung einer Galaxie proportional zu ihrer Entfernung on der Erde (Milhstraße) ist (! Hubble-Gesetz). Das heißt nihts Anderes als dass die Fluhtbewegung der Galaxien oneinander um so shneller erfolgt, je größer ihre Entfernung ist. Man muß jedoh beahten, dass derartige kosmishe Rotershiebungen niht primär om Doppler-Effekt herrühren. Die Rotershiebungen entfernter Ereignisse sind ielmehr durh die allgemeine Expansion on Raum (und Zeit) erursaht, in dem die Galaxien ihren festen Platz behalten. Rotershiebung als Graitationseffekt Neben der Doppler-Vershiebung (Eigenbewegung) und der allgemeinen Expansion kennt man noh einen weiteren Effekt, durh den Spektrallinien zum Roten hin ershoben werden: Beim Durhlaufen eines Graitationsgefälles erfährt ein Photon eine Energie- und damit auh eine Frequenzershiebung. Stellen wir uns or, dass ein Photon on der Oberflähe der Erde emittiert wird. Um die Graitation der Erde zu überwinden und ins All zu fliegen oder eine bestimmte Höhe zu erreihen, brauht das Photon Energie. Diesen Fluhtersuh on der Anziehung der Erde kann auh als Hubarbeit betrahtet werden, wobei sih das Photon selbst on der Erde zu entfernen bzw. heben ersuht. Erreiht das Photon eine bestimmte Höhe, so ist sein Energiezustand geringer als auf der Oberflähe und seine Frequenz dementsprehend auh kleiner. Die Formel für die Berehnung der Rotershiebung in diesem Fall lautet: f ' f 1 g. h = Spektranalyse Läßt man Sonnenliht durh eine spaltförmige Blende und das dahinter austretende Lihtbündel auf ein Prisma fallen, so wird es in die einzelnen Farbbereihe, in ein Spektrum zerlegt. Das Sonnenliht besteht aus ershiedenen Wellenbereihen. Das menshlihe Auge kann daon nur einen bestimmten Bereih erfassen, nämlih den Wellenlängenbereih zwishen Violett bei ungefähr 0,4 µm und Rot bei ira 0,8 µm. Die Frequenz und Wellenlänge einer elektromagnetishen Strahlung erhalten sih umgekehrt proportional zueinander und lassen sih mit Hilfe der Formel λ. ƒ = berehnen, wobei die Lihtgeshwindigkeit mit etwa m/s ist. Unter einem Spektroskop ersteht man eine Einrihtung, mit der man das Spektrum eines Gestirns isuell beobahtet, Spektrographen sind Anordnungen zur Gewinnung on Photographien der Spektren. Zur Analyse der Spektren gibt es aber auh noh andere geeignete Hilfsmittel wie den Beugungsgitter. Während bei einem Prismenspektrographen das Spektrum durh die Lihtbrehung entsteht, ist es hier die ebenfalls wellenlängenabhängige Lihtbeugung. Betrahtet man nun das Spektrum eines lihtemittierenden Himmelskörpers so sieht man manhmal einen kontinuerlihen Farbenhintergrund (Kontinuum). Manhmal weist

6 dieses Kontinuum dunkle Linien auf und bei anderen Himmelskörpern findet man sogar nur ereinzelte Linien. Das Ganze läßt sih durh das folgende erklären: 1. Ein glühender, fester oder flüssiger Körper sowie Gase unter sehr hohem Druk und hoher Temperatur erzeugen ein zusammenhängendes, kontinuierlihes Spektrum ohne Linien.. Leuhtende Gase unter geringerem Druk oder niedrigerer Temperatur zeigen einzelne helle Emissionslinien. Jedes hemishe Element erzeugt seine eigenen Linienserien. Das Emissionsspektrum irgendwelher leuhtender Gase errät also deren hemishe Zusammensetzung. 3. Durhläuft das Liht eines Körpers, das für sih allein genommen ein kontinuierlihes Spektrum ergibt ein (kühleres) Gas, so zeigen sih auf dem Kontinuum genau bei denjenigen Wellenlängen dunkle Linien (Absorptionslinien, Fraunhofershe Linien), bei denen das durhstrahlte Gase im alleinigen Leuhtzustand Emissionlinien erzeugen würde. Dies gilt auh für die meisten Sterne und die Sonne, wo die on tieferen Zonen stammenden Lihtstrahlen äußere, kühle Randshihten durhlaufen und in dieser umkehrenden Shiht die Fraunhofer-Linien entstehen. Man kann diese Vorgänge am besten erstehen, wenn man die Emission und Absorption on Liht am Modell des einfahsten Atoms, dem Wasserstoff, erklärt. Hier umkreist ein einzelnes elektrishe negati geladenes Elektron, den aus einem positien Proton bestehenden Kern. Dem Elektron stehen zahlreihe, aber ganz bestimmte Bahnen offen, die ganz bestimmten Energiestufen entsprehen. Die inerste Bahn 1 (Grundzustand) ist die energieärmste. Soll eine äußere Bahn erreiht werden, so muß das Elektron on außen dazu angeregt werden, d.h. es muß Energie zugeführt werden. Umgekehrt wird bei Elektronensprüngen on einer äußeren auf eine innere Bahn ein jeweils ganz bestimmter Energiebetrag in Form einer Strahlung bestimmter Wellenlänge frei. Es entsteht also eine Emissionslinie im Spektrum. Wellenlänge λ und freiwerdender Energiebetrag E stehen dabei folgendermaßen in Beziehung: E = h. f h ist eine Konstante, das Plankshe Wirkungsquantum (h = 6, Js) und f die Frequenz. Eine kontinuierlihe Strahlung entsteht bei zahlreihen Sprüngen freier Elektronen, die sih zuor zwishen den Atomkernen frei bewegten, auf irgendeine der möglihen Bahnen eines Atoms. Die Wellenlänge der dabei im Einzelfall emittierten Strahlung ist abhängig on der Differenz zwishen dem Energiebetrag, den das Elektron or dem Sprung hatte, und der Energiestufe der shließlih erreihten Bahn. Da die ursprünglih freien Elektronen sehr ershiedene Energiebeträge haben können, werden bei diesen Sprüngen ganz ershiedene Wellenlängen erzeugt, die sih zu einem Kontinuum ershmieren. Im Inneren eines Sterns gibt es bei den dort orliegenden hohen Druk- und Temperaturwerten sehr iele freie Elektronen. So kommt es zu deren Einfang auf die ershiedensten Bahnen und damit zum Kontinuum. Natürlih handelt es sih niht nur um Wasserstoff, sondern auh um shwerere, komplizierter aufgebaute Atome. Das Prinzip ist jedoh dasselbe. In den äußeren kühleren Shihten des Sterns nehmen nun aber z.b. die Wasserstoffatome gerade die Energiebeträge aus dem Kontinuum auf, die sie zur Anregung ihrer Elektronen benötigen. So kommt an bestimmten Stellen zu Absorptionslinien.

7 Wienshes Vershiebungsgesetz Grundsätzlih lassen sih Temperaturn zunähst für die Oberflähen der Sterne gleihfalls dem Spekturm entnehmen. Hierzu dient das Wienshe Vershiebungsgesetz, nah dem das Intensitätsmaximum im Kontinuum temperaturabhängig ist und sih mit wahsender Temperatur T nah kürzeren Wellenlängen ershiebt. Für die Temperatur gilt T = a λ max wobei a = 0,89 m.k ist und für λ max die Wellenlänge des Intensitätsmaximum zu setzen ist. Die Keplershen Gesetze Die on Johannes Kepler aufgestellten Gesetze der Planetenbewegungen lauten: 1. Die Planeten bewegen sih auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.. Die Verbindungslinie Planet-Sonne überstreiht in gleihen Zeiten gleihe Flähen. 3. Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten erhalten sih wie die Kuben (dritte Potenz) ihrer mittleren Entfernung on der Sonne. Das. Keplershe Gesetz besagt, dass die Geshwindigkeit eines Planeten in seinem Aphel (Sonnenferne) am kleinsten, im Perihel (Sonnennähe) am größten ist, und zwar gerade so, dass die in einem bestimmten Zeitabshnitt om Radiusektor überstrihene Flähe stets konstant ist. Das 3. Keplershe Gesetz läßt sih auh in folgender Formel ausdrüken: a : = P a P1 : Dabei sind P 1 und P die Umlaufszeiten der Planeten 1 und, a 1 und a die jeweiligen großen Halbahsen. Das Graitationsgesetz Der Inhalt des on Isaa Newton aufgestellten Graitationsgesetzes lautet: Alle Massen im Weltall ziehen sih gegenseitig an, und zwar mit einer Kraft F, die dem Produkt der beiden beteiligten Massen m 1 und m proportional und dem Quadrat ihres gegenseitigen Abstands r umgekehrt proportional ist, also

8 m1. m F = G r G ist dabei die Graitationskonstante. Es ist 6, m 3 /kg. s. Aus dem Graitationsgesetz lassen sih die Keplershen Gesetze ableiten. Ein Planet befindet sih auf einer stabilen Bahn, wenn er weder infolge der Shwerkraft auf die Sonne stürzt, noh infolge der Zentrifugalkraft, die auf dieser Bahn entsteht, aus dieser herausgeshleudert wird: Shwerkraft der Sonne und Zentrifugalkrat müssen sih gegenseitig aufheben. Die Zentrifugalkraft Z hängt on der Masse des Planeten m, seiner Bahngeshwindigkeit und dem Krümmungsradius r der Bahn, also der Entfernung Planet-Sonne, ab. Es ist m. Z = r Die Kreisbahngeshwindigkeit k ist die erforderlihe Geshwindigkeit zur Erhaltung des Gleihgewihts Zentrifugalkraft = Sonnenanziehung für einen gegebenen Sonnenabstand r. Ist die tatsählihe Geshwindigkeit etwas kleiner, so bewegt sih der Planet auf einer Ellipsse zur Sonne hin. Gleihzeitig nimmt gemäß dem. Keplershen Gesetz die Bahngeshwindigkeit zu. In sonnennahen Sheitelpunkt der Ellipsenbahn überwiegt shließlih die entstehende Zentrifugalkraft die Sonnenanziehung, und der Planet bewegt sih auf der Ellipse wieder on der Sonne weg, bis wieder die Sonnenanziehung durh die sih jetzt erringernde Bahngeshwindigkeit die Oberhand gewinnt. Rotation der Sterne Während man bei unserer Sonne aus der Beobahtung der Sonnenfleken und anderer Ersheinungen sehr leiht die Rotationsgeshwindigkeit bestimmen kann, ist dies bei den Sternen auf direkte Weise niht möglih; man kann sie nur als Punkte beobahten und daher keine Oberfläheneinzelheiten sehen. Doh die Rotationsgeshwindigkeit der Sonne läßt sih unter Anwendung des Doppler-Effekts bestimmen: man beobahtet getrennt den Ostund Westrand der Sonne und stellt eine Blaubzw. Rotershiebung der Spektrallinien fest. Bei einem Stern läßt sih twar niht der eine oder andere Rand der Sternsheibe getrennt untersuhen. Vielmehr erhält man on den ershiedensten Teilen der Sterne Liht, also on Teilen, die sih infolge der Rotation auf die Erde zu bewgen, und anderen Teilen, die sih infolge der Rotation on ihr weg bewegen. Das bedeutet, dass die Spektrallinien sowohl nah Blau (oder Violett) als auh nah Rot ershoben sind, d.h. die Linien sind erbreitert. Diese Doppler-Verbreiterung ist ein Maß für die Rotationsgeshwindigkeit. Allerdings erhält man die wirklihe äquatoriale Rotationsgeshwindigkeit nur für den Fall, daß die Rotationsahse des Sterns senkreht zur Beobahtungsrihtung steht. Da

9 dies in den seltensten Fällen zu erwarten ist, erhält man meist einen zu geringen Wert für die Rotationsgeshwindigkeit. Würde man genau in Rihtung der Rotationsahse bliken, erfolgt über keine Doppler-Verbreiterung mehr: der Stern würde sheinbar niht rotieren. Da es leider prinzipiell keine Möglihkeit gibt, die Neigung der Rotationsahse zu bestimmen, erhalten wir nur Minimalwerte für die Rotationsgeshwindigkeiten. Doppelsterne Diese Systeme bestehen wie der Name shon sagt aus zwei Sternen. Kennzeihnend für ein Doppelsternsystem ist, dass sih eine Masse jeweils um die andere dreht und dadurh der Shwerpunkt in den Raum zwishen den beiden Himmelskörpern erlagert wird. Bei der Beobahtung on solhen Systemen ist jedoh zu beahten, dass manhe nur sheinbar Doppelsterne sind (optishe Doppelsterne). In Wirklihkeit haben diese beiden Sterne ganz ershiedene Entfernungen und ersheinen uns auf der Erde wie Doppelsterne. Im Gegensatz zu den ehten, physishen Doppelsternen besitzt der Stern keinen Umlaufbahn um den anderen. Spektroskopishe Doppelsterne Daneben gibt es noh sehr enge Doppelsterne, die auh in größeren Fernröhren niht zu trennen sind, die sih aber oft auf spektroskopishem Wege erraten. Da sih die beiden Komponenten eines solhen Systems um den gemeinsamen Shwerpunkt bewegen, zeigen sie auh relatie Bewegungen zur Erde, es sei denn, die Bahnebenen der beiden Körper stehen senkreht zur Blikrihtung. Wie bei der zuor erwähnten Methode zur Ermittlung der Rotationsgeshwindigkeit, erfährt man hier auf gleihe Weise: Sind die beiden Komponenten eines solhen Systems ungefähr gleih hell, dann überlagern sih zwei Spektren, deren Linien sih wegen dees Doppler-Effekts gegeneinander ershieben: bewegt sihdie eine Kompnente auf den Beobahter zu, dann sind deren Spektrallinien nah Blau ershoben. Gleihzeitig muß sih aber die andere Komponente om Betrahter weg bewegen und deren Linien sind nah Rot erlagert. Eine halbe Umlaufsperiod später ist es umgekehrt. Ein Viertel einer Umlaufsperiode danah bewegn sih dagegen beide Komponenten rehtwinklig zur Blikrihtung. Jetzt ergeben sih sih keine Doppler-Vershiebeungen: die Spektrallinien beider Sterne fallen zusammen. Mit anderen Worten: die Spektrallinien spalten bei den spektroskopishen Doppelsternen innerhalb einer Umlaufsperiode zweimal auf und fallen zweimal wieder zusammen. Bedekungseränderlihe Ist die Bahnneigung bei einem engen Doppelstern nahe 90, d.h. liegt die Bahnebene so im Raum, dasss man on der Erde aus fast in deren Rihtung sieht, können sih die Komponenten während ihres Umlaufs gegenseitig bedeken. Wie bei den Sonnenfinsternissen, so kommen auh bei den Bedekungseränderlihen totale, ringförmige und partielle Bedekungen or. Manhe Doppelsternpartner sind so eng benahbart, dass es zu einem Materieaustaush zwishen ihnen kommen kann.