11d Mathematik Stefan Krissel. Nullstellen

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1 d Mathematik..009 Stefan Krissel D E R Z W E I T E S C H R I T T B E I D E R F U N K T I O N S U N T E R S U C H U N G : Nullstellen Der zweite Shritt bei der Untersuhung von Funktionen ist die Untersuhung auf Nullstellen. Das sind shlihtweg die Stellen (=Variablenwerte), an denen die Funktionswerte 0 betragen. Anders ausgedrükt: Wenn man in die Funktionsmashine eine Nullstelle hineinwirft, kommt eine 0 heraus. Eine Nullstelle ist dabei nur manhmal selbst 0, meistens jedoh irgendeine andere Zahl. Wenn man die Zusammenhänge von Stellen und Funktionswerten in einem Graphen veranshauliht, sind Nullstellen die Stellen, an denen der Funktionsgraph die Koordinatenahse shneidet, auf der die Stellen abgetragen werden (oft die so genannte x-ahse). Die Bedingung kann man in mathematisher Sprahe so formulieren: Nullstellen einer Funktion r(s) sind alle Stellen sni, für die gilt: r(sni) = 0. Finden von Nullstellen Das Auffinden der Nullstellen funktioniert prinzipiell reht einfah: Man setzt den Funktionsterm gleih 0 und versuht, mithilfe algebraisher Methoden die Variablenwerte zu finden, für die der Funktionswerte o beträgt. Beispiele zur Berehnung Konstante Funktionen Funktionen des Typs k(u) =, wobei eine feste Zahl ist, also z.b. k(u) = 70, haben keine Nullstellen, da die Gleihung 0 = 70 niht erfüllt werden kann und immer falsh ist. Die Funktion j(l) = 0 hat nur Nullstellen, der Funktionswert ist überall 0. Lineare Funktionen Funktionen des Typs d(g) = ag + b, wobei a und b feste Zahlen sind, haben, sofern niht irgendwelhe Zusatzbedingungen ins Spiel kommen, genau eine Nullstelle. Ihre Graphen sind Geraden. Ein Beispiel dazu: d(g) = -5g + (das ist die Funktionsgleihung) d(g) = 0 (das ist das, was man gern hätte: Funktionswert gleih 0) 0 = -5g + (das ist die Kombination aus den beiden Zeilen darüber) 5g = g =, Die einzige Nullstelle ist also gn =,. d(,) = -5, + d(,) = - + = 0

2 d Mathematik..009 Stefan Krissel Quadratishe Funktionen Quadratishe Funktionen haben maximal zwei Nullstellen. Manhe aber auh eine oder keine. Zu allen drei Fällen ein Beispiel: Die Funktion r(t) = 5t + hat keine Nullstelle, denn egal, was man für t (die Variable) einsetzt, man erhält immer eine positive Zahl als Funktionswert. t wird nämlih quadriert und Quadrate sind immer positiv. Die Funktion z(t) = 5t hat genau eine Nullstelle, denn es gibt genau eine Stelle, die bewirkt, dass der Funktionswert 0 wird, nämlih eben auh die 0. Die Funktion z(t) = 5t 5 hat genau zwei Nullstellen, denn es gibt genau zwei Stellen, die bewirken, dass der Funktionswert 0 wird, nämlih + und. Wie man Nullstellen bei quadratishen Funktionen findet Quadratishe ganzrationale Funktionen lassen sih ja stets in der Grundform 0 f(x) = a x + a x + a x = a x + a x + a 0 0 shreiben. Man erinnere sih daran, wieso man in der hinteren Version des Terms die im Exponent und das ganze x 0 weglassen kann! Damit die Funktion quadratish bleibt, darf a niht 0 sein (siehe Definition ganzrationaler Funktionen), aber die beiden anderen Koeffizienten dürfen gerne 0 sein. Wie man quadratishe Funktionen löst, dazu folgende Beispiele. Jeweils ist ein anderer (oder kein) Koeffizient 0. j(k) = 9k Hier sind alle Koeffizienten außer a gleih 0. a ist gleih 9. Man findet nun Nullstellen folgendermaßen: j(k) = 9k j(k) = 0 0 = 9k 0 = k 0 = k Es gibt also eine Nullstelle: kn = 0

3 d Mathematik..009 Stefan Krissel Nähste Funktion: w(p) = 38p p Hier ist nur der Koeffizient a0 (der gleihzeitig das absolute Glied ist) gleih 0. a ist gleih 38, a ist gleih. Man findet nun Nullstellen folgendermaßen: w(p) = 38p p w(p) = 0 38p p = 0 p(38p ) = 0 pn 0 38pN 0 38pN p N = = = = = 38 9 Es gibt also zwei Nullstellen: Nullstelle: pn = 0 und pn = 9 Noh was anderes: n() = Bei dieser Funktion ist keiner der Koeffizienten 0. Es gilt: a = 76, a = 38, a0 = 9 Nun geht man so vor: n() = n() = = 0 = 0 / / / / = ± + = ± = + ± 6 5 = ± + 5 = 0, = -0,

4 d Mathematik..009 Stefan Krissel Es kamen also unter Zuhilfenahme der pq-formel zwei Nullstellen zum Vorshein. Aber Obaht: Es kann sein, dass unter der Wurzel bei der pq-formel eine 0 oder gar eine negative Zahl steht. Dann hat die Funktion eine oder auh keine Nullstelle. Mit den vorgestellten Verfahren sollten sih die Nullstellen aller quadratishen Funktionen finden lassen. Ganzrationale Funktionen höheren Grades Leider hat man es niht nur mit linearen und quadratishen Funktionen zu tun, die noh reht gemütlih zu bearbeiten sind, sondern auh mit ganzrationalen Funktionen höheren Grades, bei denen zur Findung der Nullstellen teils reihlih bizarre und zudem reihlih unmathematish sheinende Methoden benutzt werden. Finden der Nullstellen ohne wirklih neue Tehnik Zunähst gibt es drei Sorten von Funktionen höheren Grades, denen man mit bisherigen Mittel und einem kleinen Trik beikommen kann. Danah kommen die fiesen Funktionen. 7 Die erste Sorte sieht etwa so aus: s(j) = j Es sind also lediglih die Koeffizienten an und a0 ungleih 0, alle anderen Koeffizienten sind gleih 0. Bei einer solhen Funktion die Nullstellen zu finden, ist niht sehr geheimnisvoll, man muss einfah beim geeigneten Shritt die n-te Wurzel zu ziehen: 7 s(j) = j s(j) = j = = j 3778 = j = j 7 7 Man beahte, dass sih zwei Nullstellen ergeben hätten, wenn n eine gerade Zahl gewesen wäre. Bei der zweiten Sorte einfah zu lösender höhergradiger Funktionen muss man einfah möglihst viel von der Variable ausklammern wenn es denn eben geht. i(f) = 5f,665f + 0,000f i(f) f (5f,665f 0,000) = + Mit dem Wissen um quadratishe Funktionen lässt sih das dann lösen.

5 d Mathematik..009 Stefan Krissel Bei der dritten Sorte einfah zu lösender höhergradiger Funktionen muss ein Trik angewandt werden, nämlih die Substitution. 0 0 e(y) = Y + 0Y + 9 Bei dieser Funktion ist die Beobahtung ausshlaggebend, dass die Variable nur in zwei Potenzen vorkommt und die eine doppelt so groß ist wie die andere. Dann kann man den eben erwähnten Trik der Substitution anwenden und Y 0 (weil da die Variable in der kleineren Potenz vorkommt) durh irgendein anderes 0 0 Symbol ersetzen, z.b. Ü. Damit würde dann auh gelten: Y = (Y ) = Ü und somit könnte man für den Funktionsterm auh shreiben: e(ü) = Ü + 0Ü + 9 Das ist nun eine quadratishe Funktion, die man wie oben beshrieben lösen kann. Man bekommt nah Anwendung der pq-formel folgendes Ergebnis: Ü= und Ü = 9 Nun darf man aber niht vergessen, dass man am Anfang Y 0 durh Ü ersetzt hat und muss diese Ersetzung nun rükgängig mahen. Damit würde also folgendes vorläufiges Ergebnis dastehen: 0 0 Y = - und Y = -9 Man müsste also jeweils aus -9 und - die 0te Wurzel ziehen. Da man aber keine gerade Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann, haben wir uns Zeit gespart und können allerdings auh keine Nullstellen für die Funktion e(y) vorweisen. Soweit, so gut. Jetzt wird s herb. Finden der Nullstellen über Raten und Polynomdivision Ja, ihr habt rihtig gelesen: Es gibt Funktionen, deren Nullstellen man raten muss. Bei einer Funktion wie 3 z(g) = g g g +, bei der die ersten vier Koeffizienten (a3, a, a, a0) alle ungleih 0 sind, können wir nihts ausklammern, wir kommen mit der pq-formel niht weiter und substituieren bringt auh nihts. Und in so einem Fall muss man tatsählih eine Nullstelle erraten. Das hört sih besheuert an, ist es auh irgendwie, aber es gibt tatsählih kein besseres Verfahren. Allerdings steht man beim Raten niht völlig im Regen: Wenn es eine o- der mehrere Nullstellen gibt, findet man sie in vielen Fällen, indem man Teiler des 5

6 d Mathematik..009 Stefan Krissel absoluten Glieds ausprobiert, und zwar jeweils die positive und die negative Version. Das absolute Glied hier ist, also probieren wir die und ihr negatives Gegenstük, die - aus. 3 z() = + = + = 0 3 z( ) = ( ) ( ) ( ) + = + + = 0 Sensationell! Bei beiden Stellen hat es geklappt, also haben wir durh reines Ausprobieren zwei Nullstellen gefunden, nämlih und -. Nun ist natürlih die Frage berehtigt, wieso wir bisher Ausklammern oder auh die pq-formel benutzen mussten, wenn man Nullstellen doh genauso gut einfah erraten kann. Die Antwort ist ernühternd: Das Erraten von Nullstellen ist zwar bei einigen Funktionstypen die einzige zum Ziel führende Strategie, allerdings sind in der Realität (also Wirtshaft, Naturwissenshaft et.) vorkommende Funktionen oft niht so gutmütig wie die Funktion eben. Da stehen ungemütlihe Dezimalbrühe als absolutes Glied hinten und die Strategie, Teiler des absoluten Glieds auszuprobieren, geht niht auf. Mit den Verfahren hingegen, die wir auf Funktionen bis zum Grad angewandt haben, lassen sih jedoh alle quadratishen Funktionen knaken, egal, wie kompliziert sie sind. Rein mathematish sind wir jetzt in einer blöden Situation: Wir sind darauf angewiesen, wenn es um höhergradige Funktionen geht, solhe Funktionen vorgesetzt zu bekommen, deren Nullstellen relativ einfah zu erraten sind. Das ist irgendwie unbefriedigend, aber ist nun mal so. Ansonsten müssten wir das Finden von Nullstellen einem Computer überlassen, was zwar reht bequem, aber ohne jeden Lerneffekt wäre. Fassen wir zusammen: Wir können zwar bei jeder Art von quadratishen Funktionen die Nullstellen finden, bei höhergradigen aber nur, wenn wir einige Nullstellen mindestens eine erraten können. Bezüglih unseres Beispiels gibt es aber noh eine zu beantwortende Frage: Haben wir denn alle Nullstellen gefunden? Zunähst gilt es den folgenden, allgemeinen Satz zu beahten: Ganzrationale Funktionen n-ten Grades haben maximal n Nullstellen. Das heißt in Bezug auf unser Beispiel, dass es maximal drei Nullstellen geben kann. Es können aber auh nur die zwei sein, die wir shon haben. Wie können wir das herausfinden? Wenn es tatsählih nur die beiden shon gefundenen Nullstellen gibt, ist Ausprobieren kein weiter führender Weg. Man kann durh Raten und Probieren nämlih zwar Nullstellen finden, aber wenn man auf diese Weise keine weiteren Nullstellen findet, kann man niht sagen, dass es keine weiteren gibt! Es ist so ähnlih wie mit Ostereiern, die im Garten verstekt sind. Wenn man eins findet, kann man beweisen, dass es eins gibt, aber wenn man nah langem Suhen keins mehr findet, kann man niht beweisen, dass man alle gefunden hat. Es könnte sih immer noh eins irgendwo verbergen. 6

7 d Mathematik..009 Stefan Krissel Wie kann man nun (relativ) siher sein, alle Nullstellen gefunden zu haben? Dazu muss man den Funktionsterm zerlegen. Und das geht mit einem wahren Shülershrek, der Polynomdivision. Man geht folgendermaßen vor: Man nimmt sih den Funktionsterm (niht die ganze Funktionsgleihung!), also 3 g g g + Dann nimmt man sih die Funktionsvariable, also g, und zieht von ihr eine der erratenen Nullstellen ab, nehmen wir mal. Dann hat man: g So, und nun teilt man den Funktionsterm durh dieses g : 3 (g g g + ) : (g ) = Tja ähhh und wie maht man das? Es funktioniert im Grunde genauso wie das shriftlihe Dividieren aus der Grundshule. Wie es genau geht, zeigt euh die PowerPoint-Datei, die auh auf steyvel.om zu finden ist. Mit den Animationen dort kann man das besser erklären als auf einem starren Blatt. Jedenfalls kommt als Ergebnis Folgendes heraus: 3 (g g g + ) : (g ) = g Das Ergebnis ist also ein quadratisher Term. An die restlihen Nullstellen des Ursprungsterms gelangt man, indem man die Nullstellen dieses kleinen quadratishen Terms ausrehnet. Und die sind wieder und -. Das heißt, dass es keine weiteren Nullstellen gibt, außer den beiden, die wir shon hatten. Zur Veranshaulihung hier der Funktionsgraph der Funktion. Tipp: Mit dem kostenlosen Programm Geo- Gebra kann man sih Funktionsgraphen zeihnen lassen, auh zur Überprüfung der eigenen Rehnungen. Bei anderen Funktionen kann durhaus noh eine weitere Nullstelle herausspringen, aber hier war es eben niht so. Nun ist es an der Zeit, selbst einige Aufgaben zu rehnen. Amen. 7