Der Dopplereffekt in der Astronomie

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1 Bundesgymnasium und Bundesrealgymnasium Waidhoen an der Thaya Der Dopplereekt in der Astronomie Fahbereihsarbeit aus Physik eingereiht bei Pro. Mag. Franz Shneider on Matthias Kühtreiber Waidhoen/Thaya, im Februar 007

2 Der Dopplereekt in der Astronomie Inhaltserzeihnis Vorwort 4 Einleitung... 5 Raum und Zeit Das Problem der Zeitmessung Koordinaten-Transormationen Die spezielle Koordinaten-Transormation Die Gleihzeitigkeit Lineare Transormationsormeln....6 Das Additionstheorem der Geshwindigkeiten... 3 Längen und Zeitdilatation Bewegte und ruhende Maßstäbe Bewegte und ruhende Uhren Grundlagen der Relatiitätstheorie Das Relatiitätsprinzip Die elementare Relatiität Die physikalishen Postulate der klassishen Raum-Zeit... 5 Die klassishe Theorie des Dopplereektes Die Galilei-Transormation Der klassishe Doppler-Eekt uelle ruhend, Beobahter in Bewegung uelle in Bewegung, Beobahter ruhend Verallgemeinerung des akustishen Doppler-Eektes Die exakte Theorie des Doppler-Eektes Die physikalishen Postulate der relatiistishen Raum-Zeit Die Lorentz-Transormation Der exakte Doppler-Eekt uelle ruhend, Beobahter in Bewegung uelle in Bewegung, Beobahter ruhend Der Doppler-Eekt bei elektromagnetishen Wellen Der Dopplereekt in der Astronomie Spektren... 33

3 Der Dopplereekt in der Astronomie 3 7. Die Spektralanalyse in der Astronomie Rotershiebung Hubble-Eekt Der Dopplereekt im Sonnensystem Auswirkungen on Erdbewegungen au astronomishe Beobahtungen Planetenradar Dopplereekt und Sonnengranulen Der Dopplereekt im stellaren Raum Anwendung au Doppelsternsysteme Rotation on Sternen Rotation der Milhstraße Strukturuntersuhungen der Milhstraße mithile der -m-strahlung Die Kosmishe Hintergrundstrahlung Exkurs: selbst durhgeührte Spektroskopie Abbildungserzeihnis 69 Bildquellen 7 Literaturerzeihnis 74 Erklärung 76

4 Der Dopplereekt in der Astronomie 4 Vorwort Wer kennt niht den typishen Klang des Motorengeräushs eines orbeirasenden Rennwagens, den zunähst hohen, dann tieen Ton, der bei der Annäherung, beziehungsweise während des Enternens entsteht. Der österreihishe Physiker Christian Andreas Doppler, der 803 in Salzburg geboren wurde, konnte den nah ihm benannten Dopplereekt, der ür die Physik, aber or allem auh ür die Astronomie, bis in unsere Zeit on größter Bedeutung ist, bereits 84 zum ersten Mal mathematish korrekt beshreiben. Er erkannte, dass ein bewegtes Objekt, welhes Shallwellen mit einer bestimmten Wellenlänge aussendet, in der Zeit, die es brauht, um zwei Wellenberge zu erzeugen, sih natürlih auh um einen gewissen Weg weiterbewegt hat. Um diesen Weg wird die Wellenlänge entweder zusammen gestauht oder auseinander gezogen, je nahdem, ob sih dieses Objekt au den Shallwellenempänger zu bewegt oder es sih on ihm enternt. Da der Dopplereekt, wie ih oben bereits erwähnt habe, ür die Astronomie on enormer Releanz ist und dieser Bereih der Wissenshat mih, mit seinen unorstellbar weit enternten exotishen Phänomenen, shon seit meiner rühen Kindheit an in den Bann gezogen hat, sah ih in diesem Eekt ein optimales Verbindungsthema zwishen Physik und Astronomie, geeignet zum Verassen einer Fahbereihsarbeit.

5 Der Dopplereekt in der Astronomie 5 Einleitung In der olgenden Arbeit möhte ih zunähst den Dopplereekt in der klassishen Physik, also ohne Einbeziehung der Relatiitätstheorie, mathematish herleiten. Dazu werde ih mih au die Galilei-Transormation beziehen. Im nähsten Shritt wird diese durh die Lorentz-Transormation ersetzt, was den Eintritt in die relatiistishe Physik ermögliht, um den exakten Dopplereekt zu beshreiben. Der danah olgende Teil wird der Astronomie gewidmet sein, in dem ih au einige der wihtigsten Anwendungen des Dopplereekts eingehe. Eines der sekundären Ziele, das ih zu erreihen hoe, wird die selbstständige praktishe Betätigung im Bereih der Astronomie sein. Meine Mitgliedshat in der Waldiertler Astronomishen Gesellshat und der damit erbundene Zugang zu einer der wenigen Sternwarten im Waldiertel, die sih im Besitz dieses Vereins beindet, wird mir dabei sehr nützlih sein.

6 Der Dopplereekt in der Astronomie 6 Raum und Zeit Um den Dopplereekt ausührlih und wissenshatlih zu behandeln, sind einige Vorkenntnisse im Bezug au die Zeitmessung nötig, da dieser Begri in den olgenden Kapiteln des Öteren Erwähnung inden wird. Die mathematishen Umgangsweisen mit Koordinaten- und Inertialsystemen werden daür ebenalls wihtige Rollen spielen, weswegen ih diese in den kommenden Abshnitten beshreiben möhte.. Das Problem der Zeitmessung Seit Einsteins Relatiitätstheorie ist bekannt, dass es keine einheitlihe Zeit im Uniersum gibt, was bedeutet, dass eine Uhr in jedem Ort einen untershiedlih shnellen Takt auweisen würde. Möhte man jedoh eine Art Netzwerk aus solhen Messgeräten erstellen, die alle die gleihe Zeit anzeigen sollen, müssen sie synhronisiert werden. Dieser Vorgang ist jedoh niht so einah wie man glauben könnte. Eines der autretenden Probleme wäre beispielsweise, dass man einen Zeitpunkt bestimmen müsste, ab dem man alle Uhren gleihzeitig startet. Da dieser Zeitpunkt jedoh auh ortsabhängig ist, würden olglih auh die Messgeräte niht rihtig synhronisiert sein. Natürlih könnte man auh ersuhen, alle Uhren in einem bestimmten Ortspunkt gleih zu shalten und sie erst danah im Raum erteilen, jedoh würden sie laut Einstein alleine augrund der Bewegung durh den Raum zeitlih niht übereinstimmen. Um die Synhronisation on zwei Uhren U A und U B exakt durhzuühren, wird eine Streke mit den Endpunkten A, au dem sih das Zeitmessgerät U A beindet, und B, dessen Ortskoordinaten mit denen on U B übereinstimmen, estgelegt. Die Länge dieser Streke wird als l bezeihnet. Nun wird ein Körper, beispielsweise ein Lihtteilhen, mit der Geshwindigkeit längs dieser Streke bewegt. Passiert das Photon U A, so wird diese au t gestellt, sobald das Teilhen am Punkt B au U B trit, wird ür die Zeit der zweiten Uhr t B t eingegeben, wodurh nun die Anzeigen beider Messgeräte l

7 Der Dopplereekt in der Astronomie 7 übereinstimmen, Abb..-. Die Lihtgeshwindigkeit müssen wir ür diese Methode jedoh kennen, was wiederum ein Problem bereitet, da diese durh die Zeit, die das Photon brauht, um on A nah B zu gelangen, berehnet wird. Dieser Wert wird durh Messung on t t ermittelt, womit man die Lihtgeshwindigkeit durh l B t B t berehnen könnte. Um t t B korrekt zu bestimmen, müssten aber die Uhren shon synhronisiert werden. Es muss also einen anderen Weg geben, um die Lihtgeshwindigkeit zu erhalten. Für das System I postulieren wir eine Grunderahrung, die Homogenität und Isotropie unserer Raumzeit: Es ist möglih, die Uhren in I so zu synhronisieren, daß [si] an jedem Ort und in jeder Rihtung dieselben physikalishen Eigenshaten gemessen werden. Für das Liht wird dann in jeder Rihtung dieselbe Geshwindigkeit estgestellt. Abbildung.-: Shematishe Darstellung zur Uhrensynhronisation Da wir nun siher sein können, dass die Lihtgeshwindigkeit sowohl on A nah B, als auh on B nah A, immer den selben Wert hat, können wir das Lihtteilhen, welhes in B nah der Zeit t B eintrit zurükshiken, wo es in A zum Zeitpunkt t wieder registriert wird. So kann also durh olgende Formel berehnet werden: 3 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 4 GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 4 3 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 4

8 Der Dopplereekt in der Astronomie 8 l (F..-) t t Damit ist es uns möglih, in jedem beliebigen Ortspunkt eine Uhr zu platzieren, die mit allen anderen Uhren synhron läut, um genaue Aussagen über die Zeit im Raum zu mahen.. Koordinaten-Transormationen Zu dem orhin bereits genannten Bezugssystem I, wird nun ein weiteres mit der Bezeihnung I hinzugeügt, in dem zwei Punkte gleih weit oneinander enternt wären, wie im orherigen. Dieses Inertialsystem hat ebenso wie sein Vorgänger einen Koordinatenursprung O (0,0,0). Damit ist es möglih jedem Punkt im Raum Ortskoordinaten zuzushreiben. Da auh in I Uhren erteilt und synhronisiert werden können, ist es möglih jedem Ortspunkt die Zeitkoordinate t zu erleihen. Natürlih möhten wir jetzt ein bestimmtes Ereignis E in beiden Systemen deinieren können, was uns mit der so genannten Koordinatentransormation gelingt. Die Raumkoordinaten x, y, z on E, können kurz als x bezeihnet werden. Das Ereignis E ist on I aus betrahtet E(x,t) und on I E(x,t ). Es wird nun angenommen, dass sih I in Bezug au I mit der konstanten Geshwindigkeit bewegt. Daher lautet die allgemeine Transormation der Koordinaten: 4 x' y' z' t' 4 3 ( x, t, ) x ( x', t', ) ( x, t, ) y ( x', t', ) ( x, t, ) z ( x', t', ) ( x, t, ) t ( x', t', ) 4 3 (F..-) 4 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 7

9 Der Dopplereekt in der Astronomie 9.3 Die spezielle Koordinaten-Transormation Die in. beshriebene einahe Koordinaten-Transormation wird nun soweit erbessert, dass wir damit auh in der relatiistishen Raum-Zeit zwishen zwei Inertialsystemen umrehnen können. Koordinatentransormationen werden als spezielle Koordinaten-Transormationen bezeihnet, wenn die Ahsen der beiden Bezugssysteme zueinander parallel liegen und eines der beiden im Vergleih zum anderen sih längs einer der Ahsen mit konstanter Geshwindigkeit bewegt. H. A. Lorentz stellte est, dass ein Stab, der sih mit einer beliebigen Geshwindigkeit so bewegt, dass die Flugrihtung normal au seine Linearausdehnung steht, dieselbe Länge besitzt, als würde er sih in Ruhelage beinden. Wir gehen daon aus, dass zu Beginn die Koordinatenursprünge beider Inertialsysteme ineinander allen. Das bedeutet, dass sih ein Ereignis E 0, welhes im Koordinatenursprung O im Zeitpunkt t ' 0 stattindet ebenalls in O mit der Zeitkoordinate t 0 passiert. 5 E 0: x' 0 x 0 y' 0 y 0 z' 0 z 0 t' 0 t 0 (F..3-) Für den orhin genannten Stab gilt also unter Anwendung dieser Anangsbedingung: y' y z' z (F..3-) Das bedeutet also, dass die Länge des au der y-ahse ruhenden Einheitsstabes, unter Verwendung der Bedingung (F..3-) im Bezugssystem I, y beträgt, da in diesem Falle seine Koordinaten 0 und y sind. Laut der Formel (F..3-) hat seine Länge in jedem beliebigen Zeitpunkt in I denselben Wert und besitzt daher die Endkoordinaten 0 und 5 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 8,9

10 Der Dopplereekt in der Astronomie 0 y. Bei der speziellen Koordinaten-Transormation geht es nun um den Zusammenhang der Koordinaten des Ereignisses E in den gewohnten beiden Inertialsystemen I und I. 6 E( x, t) E( x', t') (F..3-3) x' t' 4 ( x, t, ) x ( x', t', ) ( x, t, ) t ( x', t', ) 4 (F..3-4).4 Die Gleihzeitigkeit Die so genannte allgemeine Synhronunktion, welhe ür die Deinition der Gleihzeitigkeit wihtig ist, leitet sih on der Formel (F..3-4) der speziellen Koordinaten-Transormation her. Eine in I ruhende Uhr, betrahtet on I, die sih zum Zeitpunkt t 0 im Ort x beindet, zeigt t' 4( x,0, ). 7 Allgemeine Synhronunktion: ( x, ) : 4( x,0, ) (F..4-) Um spätere Herleitungen einah zu halten, werden bewusst nur Fälle beobahtet, bei denen die Synhronunktion au der x-ahse in I einen linearen Wert besitzt. Dies wird niht als Allgemeine Synhronunktion ( x, ) sondern als lineare Synhronunktion ( x, ) bezeihnet: 8 ( x,0, ) ( x, ) ( ) x (F..4-) 4 6 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 9 7 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 0 8 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 0

11 Der Dopplereekt in der Astronomie.5 Lineare Transormationsormeln Im System I gilt: Die uotienten aus bewegter und ruhender Länge eines Stabes und aus bewegter und ruhender Shwingungsdauer einer Uhr hängen weder on den Koordinaten (x,t), noh on der Stablänge oder der Shwingungsdauer selbst ab, sondern allein on der Geshwindigkeit ihrer Bewegung. 9 Spezielle Transormation der Koordinaten: x' k( x t) x k t' x qt t k q x' q k q x' k k q k q t' t' (F..5-) y' y z' z k k q q.6 Das Additionstheorem der Geshwindigkeiten dx( t) Ein Körper K bewegt sih mit der Geshwindigkeit entlang der x-rihtung des Inertialsystems I. Nun wird ein zweites Bezugssystem I angenommen, welhes on K als Koordinatenursprung gebildet wird. Ein weiteres Objekt K bewegt sih on I aus gesehen ebenalls entlang seiner x-ahse mit der Geshwindigkeit dt. Beobahtet man nun K on K aus, also om System I, so wird seine Geshwindigkeit zu. ' dx'( t') dt' Um on au umzurehnen müssen wir die in. beshriebene Koordinaten- Transormation anwenden: 0 dx( t) dt 9 GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 0 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 8

12 Der Dopplereekt in der Astronomie 4 ), ), ( ( ), ), ( ( ' ' ' ' ' t t x dt d t t x dt d dt dt dt dx dt dx dt dx 4 4 ' t x t x (F..6-) Setzt man nun in die Formel (F..6-) ür kt kx und ür qt x 4 aus der Koordinaten-Transormation (F..-) ein, erhält man das Additionstheorem der Geshwindigkeiten zur Transormation: ) ( ) ( ) ( ) ( ' t qt x x qt x t kt kx x kt kx k k q q k ' ' ' (F..6-) Nimmt man einen Körper L an, der in I ruht, ist ist jetzt die Geshwindigkeit, die ein im Ruhezustand beindliher Beobahter on I aus ür I eststellt. q k ' 0 (F..6-3) Die Geshwindigkeit 0, wird nur dann on I aus ür I gemessen, wenn gleihzeitig ein ruhender Beobahter in I ür I die Geshwindigkeit misst.

13 Der Dopplereekt in der Astronomie 3 3 Längen und Zeitdilatation 3. Bewegte und ruhende Maßstäbe Die Ruhelänge l 0 eines Maßstabes kann nur dann genau bestimmt werden, wenn er sih relati zum Beobahter in einem Zustand on ölliger Bewegungslosigkeit beindet. Solange dies zutrit brauhen lediglih die Ortskoordinaten seiner Endpunkte bekannt sein, um durh die Dierenz seine Länge zu berehnen. Weist dieser Stab jedoh eine beliebige Geshwindigkeit relati zum beobahtenden Inertialsystem au, so ist es ein wesentliher Untershied, ob man die Enternungen seiner Endpunkte zum Koordinatenussprung gleihzeitig misst oder zu ershiedenen Zeitpunkten, da sie sih ständig erändern und somit das Ergebnis erälshen würden. Die Ortspunkte x und x werden daher mit x x ) und x x ) estgelegt. Wie bereits erwähnt wird die ( t ( t Länge eines bewegten Stabes l durh die Dierenz der beiden Punkte zur gleihen Zeit t bestimmt: x ( t) x ( t) l (F.3.-) Da hierür die Deinition einer Gleihzeitigkeit nötig ist und diese bereits in Kapitel.4 beshrieben wurde, können wir die eben genannte Formel (F.3.-) ür das Inertialsystem I einah erwenden. Um die Länge eines bewegten Stabes on einem anderen Bezugssystem I aus zu bestimmen, müssen wir die lineare Synhronunktion (F..4-) anwenden, da wir die Gleihzeitigkeit in anderen Systemen mithile der Synhronisation zweier Uhren bestimmt haben. Nimmt man einen Stab im System I an, der sih mit einem Endpunkt x im Koordinatenursprung beindet und mit seiner linearen Ausdehnung parallel zur x- Ahse liegt, sodass der zweite Endpunkt x als x-koordinate die Länge des unbewegten Stabes l 0 hat und beobahtet man diese on dem Bezugssystem I aus, dann bewegen gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S.

14 Der Dopplereekt in der Astronomie 4 sih die beiden Punkte mit der Geshwindigkeit mit der sih auh I on I enternt. Daher gilt x x ) und x x ). Möhte man nun die Länge des on I aus ( t ( t beobahteten bewegten Stabes x t) x ( ) messen, müssen die räumlihen l ( t Punkte in einem beliebigen Zeitpunkt zum Beispiel t 0 bekannt sein. Unter Anwendung der Anangsbedingung (F..3-) erhält man in I : x ' 0, t' 0 und in I: x (0) 0, t 0. In I besitzt der Punkt x immer die Raumkoordinate l 0, da sih der Stab in diesem System in Ruhe beindet. Für die zeitabhängige Koordinate on x in I wird die Spezielle Transormation der Koordinaten (F..5-) benötigt. Es gilt also unter Anwendung on x' k ( x t) ür die Ruhelänge l 0 des Stabs, l0 k x (0). l0 Das bedeutet also, dass in I zum Zeitpunkt t 0 der Punkt x durh x (0) ermittelt k werden kann. Zusammenassend heißt dies, dass die Länge eines bewegten Stabes durh olgende Formel ermittelt werden kann: I : t 0, x (0) 0, l0 x (0), k (F.3.-) k l x ( 0) x (0) l0 Da die Länge l eines in I bewegten Stabes diidiert durh seine Ruhelänge 0 den Wert ergibt, gilt: k l (F.3.-3) l k 0 Also kann der Parameter k in der Koordinaten-Transormation durh Messung im System I ermittelt werden, um Aussagen über die Funktion k k() mahen zu können. gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 3

15 Der Dopplereekt in der Astronomie 5 3. Bewegte und ruhende Uhren In diesem Abshnitt wird die Veränderung des Ganges on identishen Uhren oder allgemeiner generell on shwingungsähigen Systemen gemessen, die sih relati zueinander bewegen. Zuerst sollte der Begri der so genannten Eigenshwingung estgelegt werden. Ähnlih wie im orherigen Kapitel wird auh hier als Vergleihswert ür spätere Messungen on bewegten Uhren ihre Eigenperiode T 0 erwendet. Diese ist genauso wie die in 3. erwähnte Ruhlänge eines Stabes ein estgelegter und niht eränderbarer Wert der in allen Bezugssystemen gleih ist. T 0 wird etwa wie l 0 angenommen als die Shwingungsdauer einer Uhr U, die on einem Beobahter aus gemessen wird, welher sih relati zu U in Ruhe beindet. Um die Zeit, die eine bewegte Uhr angibt, ergleihen zu können, benötigen wir zwei Normaluhren an ershiedenen Ortspunkten. Es wird die erste Normaluhr U im Koordinatenursprung des Inertialsystems I angenommen. Diese ruhende Uhr zeigt die Zeit t an und wird on I aus beobahtet. Da wir auh hier wieder die Anangsbedingung (F..3-) annehmen, sodass sih zum Zeitpunkt t 0 die Koordinatenursprünge sowohl on I als auh on I in einem Punkt treen. Daher zeigt die zweite Normaluhr U 0 die sih im Nullpunkt on I beindet dieselbe Zeit an wie U, wenn sie an ihr orbeiliegt. 3 E 0: I : x 0, t 0 I': x' 0, t' 0 (F.3.-) Ist die Zeit um t weitergelauen, hat sih die Uhr U in I nun au den Punkt bewegt. Es wird nun die on U angezeigte Zeit t mit der in x t x t im System I ruhenden Uhr erglihen. Die Spezielle Transormation der Koordinaten kommt erneut zum Einsatz: 4 t' x qt x t 3 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 4 4 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 4, 5

16 Der Dopplereekt in der Astronomie 6 E: I : x t, t I': x' 0, t' ( q) t. (F.3.-) I: t' q t (F.3.-3) Je größer der Wert der Periodendauer ist, desto kleiner ist der Wert der angezeigten Uhrzeit. Die Formel 3.-3 kann man olgendermaßen auh mit Hile der Periodendauer T und der Eigenperiode T 0 ausdrüken: 5 I: T T 0 q (F.3.-4) Hier kann praktish genau wie im orherigen Kapitel 3. der Parameter q durh genaue Messung ermittelt werden. Diese Folgerungen (F.3.-3) und (F.3.-4) stützen sih au das Postulat der Homogenität und Isotropie des Raumes, welhes ih in Kapitel. zitiert habe. Natürlih muss auh bestimmt werden, wann die Koordinaten- Transormationen linear sind. Daür muss die lineare Synhronunktion ( x, ) (F..4-) mit dem bereits erwähnten Postulat der Homogenität und Isotropie ereinbar sein. Die bereits einige Male erwendeten Parameter k(), q() und θ(), welhe zum ersten Mal in den Formeln der Speziellen Koordinaten-Transormation Anwendung geunden haben, sind bis jetzt noh niht genau erklärt worden, was sih aber demnähst ändern wird. Albert Einstein hat diese Parameter einzig und allein mit seinem Relatiitätsprinzip erklärt. 5 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 5

17 Der Dopplereekt in der Astronomie 7 4 Grundlagen der Relatiitätstheorie 4. Das Relatiitätsprinzip Dieses Prinzip der Relatiität drükt einah gesagt aus, dass, wenn sih beispielsweise zwei Körper, die sih irgendwo im Raum aueinander zu bewegen, lediglih die Relatigeshwindigkeit zwishen ihnen eststellbar ist, jedoh niht ihre Eigengeshwindigkeiten. Selbst wenn man Inertialsysteme wie etwa den Fixsternhimmel annimmt, kann man natürlih auh damit nur eine Relatibewegung der Körper im Bezug au die Sterne beobahten. Augrund ähnliher Überlegungen asste Albert Einstein diese Tatsahe als ein Naturgesetz au und ormulierte daraus das Relatiitätsprinzip. Ih werde nun die beiden wihtigsten Hauptsätze dieses Prinzips on Einstein zitieren:. Die Gesetze, nah denen sih die Zustände der physikalishen Systeme ändern, sind unabhängig daon, au welhes on zwei relati zueinander in gleihörmiger Translationsbewegung beindlihen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden.. Jeder Lihtstrahl bewegt sih im ruhenden Koordinatensystem mit der bestimmten Geshwindigkeit V, unabhängig daon, ob dieser Lihtstrahl on einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Hierbei ist Lihtweg Geshwindi gkeit, Zeitdauer wobei Zeitdauer im Sinne der Deinition des auzuassen ist. 6 6 GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 6

18 Der Dopplereekt in der Astronomie 8 Dieser on Einsteins Relatiitätsprinzips, die Deinition der Gleihzeitigkeit, beinhaltet im Grunde bereits eine etwas andere Formulierung zur Synhronisation on Uhren. Das Bemerkenswerte an dieser Methode ist, dass man nur ein Photon oder nur einen Körper mit bestimmter konstanter Geshwindigkeit benötigt, um in jedem beliebigen Inertialsystem alle Uhren gleih zu shalten. Ein typishes Gedankenexperiment des Relatiitätsprinzips ist olgendes: Es wird eine Streke angenommen, die im System I ruht, jedoh om zweiten System I aus gesehen sih mit der Geshwindigkeit au dessen x-ahse bewegt. Im Zeitpunkt t t' 0 wird ein Lihtblitz on einer Strahlungsquelle ausgesendet, die sih exakt in der Mitte der Streke beindet. Vorausgesetzt wird, dass alle Uhren in den Systemen synhronisiert sind, um gewährleisten zu können, dass die Lihtgeshwindigkeit in allen Rihtungen ein und denselben Wert hat. Wird nun diese Anordnung on I aus beobahtet, erreihen die Photonen au beiden Seiten der Messstreke gleihzeitig die Enden. Wehselt man nun aber die Pespektie au das Bezugssystem I, so wird man erkennen, dass au Grund der relatien Bewegung der Streke ein Endpunkt rüher om Liht erasst wird, da ür ihn als Photongeshwindigkeit gemessen wird und ür den anderen Endpunkt. Daraus olgt, dass der Lihtblitz an jenem Ende der Streke, das sih au das L0 Liht zu bewegt, im Zeitpunkt t ( ) und am anderen Ende zur Zeit L 0 t ankommt. Daher gilt ür die Beobahtung on I aus: 7 t Lo t (F.4.-) Es wird deutlih, dass dasselbe Ereignis, also das Ankommen on Photonen an den beiden Endpunkten einer Streke in I gleihzeitig erläut aber niht in I. 7 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 6

19 Der Dopplereekt in der Astronomie 9 4. Die elementare Relatiität In den orhergehenden Kapiteln wurden bereits einige Male die Parameter k (), q () und () erwendet, die nun endlih zusammengeasst und deiniert werden. Der Parameter k() wird mit Hile der Thematik bewegter und ruhender Maßstäbe, die in 3. behandelt wurde, deiniert. Misst man die Länge eines mit der Geshwindigkeit bewegten Stabes und diidiert diese durh seine Ruhlänge, erhält man den Kehrwert des Parameters k (). Wihtig ist, dass dieser on abhängig ist, da diese bereits in der Formel enthalten ist. I : l (F.4.-) l k( ) o Mit Hile der bewegten und ruhenden Uhren wird ( ) q( ) deiniert als der uotient der Shwingungsperiode einer wieder mit der Geshwindigkeit bewegten Uhr und der Eigenperiode derselben Uhr. I : T T o ( ) q( ) (F.4.-) Benutzt man nun den Parameter () als Deinition der Synhronisation zweier Uhren im Bezugssystem I, kann man alle der erwähnten Parameter korrekt behandeln. Da man ür () einen beliebigen Wert einsetzen kann, ist es ratsam, diesen so zu wählen, dass die Transormationsormeln besonders einah zu benutzen sind. Aus diesem Grund erwähne ih das so genannte elementare Relatiitätsprinzip: 8 8 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 8

20 Der Dopplereekt in der Astronomie 0 Das elementare Relatiitätsprinzip: Wenn der Beobahter in dem zunähst ausgezeihneten Bezugssystem I ür das Inertialsystem I die Geshwindigkeit gemessen hat, dann sollen die in I ruhenden Normaluhren so in Gang gesetzt werden, dass [si] ein in I ruhender Beobahter eststellt, das Bezugssystem I hat die Geshwindigkeit. Sind die Uhren im System I eingestellt, dann ist das elementare Relatiitätsprinzip allein ein Auswahlprinzip über die Synhronisation der Uhren in den Systemen I. 9 Der Beobahter, der sih im Bezugssystem I im bewegungslosen Zustand beindet, misst ür I die Geshwindigkeit. In Kapitel.6 haben wir bezüglih des Additionstheorems der Geshwindigkeiten einen Spezialall betrahtet, bei dem ast dieselbe Situation eintritt. Wir haben ür in Gleihung (F..6-) den Wert 0 eingesetzt, um dadurh die in dem System I gemessene Geshwindigkeit ür I zu erhalten, also (F..6-3) k 0 ' q. Das bedeutet, dass wir nun ür das elementare Relatiitätsprinzip lediglih die Geshwindigkeit umkehren müssen, da in unserem Spezialall die Inertialsysteme genau umgekehrt erwendet wurden: ' 0 k 0 ' q q k (F.4.-3) Das bedeutet, dass wir mit dem bisherigen Wissen ausgerüstet in der Lage sind mit Hile bewegter und unbewegter Maßstäbe und der daraus olgenden Formel (F.3.-) den Parameter k () durh Präzisionsmessung im Inertialsystem I zu bestimmen. l l0 k 9 GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 8

21 Der Dopplereekt in der Astronomie Des Weiteren kann ebenalls durh Präzisionsmessung im Bezugssystem I die Parameterkombination T0 ( ) q( ) T ermittelt werden. Der letzte Parameter der Koordinaten-Transormation ist, welher olgendermaßen bestimmt werden kann: In der Formel (F..5-), der speziellen Transormation der Koordinaten, haben wir die Orts und Zeitkoordinaten in I so estgelegt: x' k( x t) t' x qt Setzt man nun in diese Gleihungen alle bisherigen Parameter ein, erhält man: l0 T0 x' ( x t), t' ( x t) t l T Unter Anwendung des elementaren Relatiitätsprinzips (F.4.-3) und der Bestimmung der anderen Parameter ergibt sih daraus eine Form der Synhronisation der Uhren in I. T0 l0 T l ( ) (F.4.-4) Diese Synhronisation des elementaren Relatiitätsprinzips heißt konentionelle Gleihzeitigkeit. Alle anderen Synhronisationen heißen nihtkonentionell. Da wir die konentionelle Synhronisation nur durh bewegte und ruhende Uhren und Maßstäbe durh Präzisionsmessungen im Inertialsystem I bestimmen, um dadurh alle nötigen Parameter zu erhalten, bedeutet dies, dass die gesamte elementare Relatiität on diesen Messungen abhängig ist und dadurh auh die gesamte Raum-Zeit-Struktur. 0 0 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 30

22 Der Dopplereekt in der Astronomie 4.3 Die physikalishen Postulate der klassishen Raum-Zeit Diese Postulate, die in diesem Kapitel olgen werden, sind sehr wihtig, um die berühmte Galilei-Transormation beshreiben zu können, mit deren Hile es mir endlih möglih sein wird die klassishe Theorie des Doppler-Eekts behandeln zu können. Wihtig ür diesen Abshnitt ist noh, dass in der klassishen Physik oder besser gesagt in der klassishen Mehanik sowohl die Länge eines Stabes, als auh die Frequenz einer Uhr bei jeder beliebigen Geshwindigkeit immer denselben konstanten uneränderlihen Wert besitzt. Dies sind einah gesagt bereits die beiden physikalishen Postulate der klassishen Raum-Zeit: l I : l k 0 (F.4.3-) T I : T ( ) q( ) 0 (F.4.3-)

23 Der Dopplereekt in der Astronomie 3 5 Die klassishe Theorie des Dopplereektes 5. Die Galilei-Transormation Für die Galilei Transormation wird das elementare Relatiitätsprinzip orausgesetzt, was bedeutet, dass der Beobahter in I ür das zweite Inertialsystem I die Geshwindigkeit misst und daon ausgehend ein Beobahter in I die dortigen Normaluhren so synhronisieren muss, dass er wiederum ür I die Geshwindigkeit misst. Des Weiteren werden die physikalishen Postulate der klassishen Raumzeit l gemäß (F.4.3-) und (F.4.3-) ür gültig erklärt. Setzt man diese beiden Werte und T ür die Synhronisation der Uhren im elementaren Relatiitätsprinzip ein, so T0 erhält man einen so genannten absoluten Synhronparameter a : l0 T0 l0 T l a 0 (F.5.-) ( ) 0 a Setzt man wieder den Wert ür die Parameter k und q ür die spezielle Koordinaten-Transormation (F..5-) ein, erhält man endlih die Galilei- Transormation (der klassishen Raum-Zeit): x' x t x x' t' t' t, t t' (F.5.-) Natürlih wird nun auh ein Additionstheorem der Geshwindigkeiten in der klassishen Raum-Zeit benötigt, welhes wir einah so erhalten, indem wir ür unser moderneres und genaueres Additionstheorem der Geshwindigkeiten (F..6-) erneut gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 3

24 Der Dopplereekt in der Astronomie 4 ür k, q einsetzen und zusätzlih den Absoluten Synhronparameter (F.5.-) 0 als gültig annehmen. Daraus erhalten wir das Galileishe Additionstheorem der Geshwindigkeiten: ' ' (F.5.-3) 5. Der klassishe Doppler-Eekt Der so genannte Doppler-Eekt entsteht einah gesagt immer dann, wenn sih eine uelle, die Wellen mit einer bestimmten Wellenlänge λ aussendet, relati zu einem Beobahter bewegt oder umgekehrt, und dadurh ihre om Beobahter aus gemessene Frequenz geringer ersheint als die Normalrequenz 0, die man eststellen würde, wenn sih weder die uelle noh der Beobahter relati zueinander bewegen würden. Im Alltag lässt sih dieses Phänomen sehr einah an orbeiahrenden Fahrzeugen beobahten. Da es immer nur um eine Relatigeshwindigkeit geht, kann man diesen Eekt natürlih auh dann beobahten, wenn man selbst eine Shallquelle passiert. Inwieern sih diese beiden genannten Szenarien beim akustishen Doppler-Eekt oneinander untersheiden und warum diese beim optishen Doppler-Eekt keinen Untershied auweisen, werde ih unter anderem in den olgenden Kapiteln beshreiben. Es sei gesagt, dass die so genannte klassishe Theorie des Doppler-Eekts nur bei Geshwindigkeiten, die im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit einen so kleinen Wert haben, dass man ihn ernahlässigen kann, in der Realität rihtige Ergebnisse bringen. Später werde ih die exakte Theorie des Doppler-Eekts beshreiben, ür die jedoh noh einiges an Vorwissen nötig sein wird. Vor allem muss die Galilei-Transormation daür in die Lorentz-Transormation umgewandelt werden. Doh dazu später mehr.

25 Der Dopplereekt in der Astronomie uelle ruhend, Beobahter in Bewegung Nehmen wir im Inertialsystem I zunähst eine Shwingungsquelle an, die mit gleihmäßiger Frequenz Wellen aussendet, welhe sih mit der Geshwindigkeit im Medium ausbreiten. Der Beobahter B, der sih mit B der uelle nähert, besitzt sein eigenes Bezugssystem I und beindet sih zur Zeit t t' 0, on I aus betrahtet, im Ortspunkt x, wo er die erste Wellenront wahrnimmt. Der Punkt x beindet sih genau um den Weg λ ersetzt in Bewegungsrihtung des Beobahters. Nah der Zeit T, also im Zeitpunkt t, hat der Beobahter nun x erreiht und somit auh die zweite Shwingung. Wihtig ist, dass diesem natürlih die Wellen mit entgegenkommen und er sih ihnen mit B nähert, was eine resultierende Relatigeshwindigkeit on Kennt man nun die Zeitdierenz T, kann man sih mit B der Wellen olgendermaßen berehnen: ergibt., die beobahtete Frequenz T B s t T B T ( ) B B B B B (F.5..-) 5.. uelle in Bewegung, Beobahter ruhend Diesmal wird der ruhende Beobahter im System I angenommen und die sih mit der Geshwindigkeit bewegende uelle in I. Zum Zeitpunkt t t' 0 sendet die Shwingungsquelle den ersten Wellenberg aus. Au ihrem Weg in Rihtung on B shikt sie nah der Zeit T das zweite Shwingungsmaximum hinterher, wenn sie sih in x beindet und gleihzeitig die zweite Shwingung den Ortspunkt x erreiht. Das bedeutet, dass sie sih nun on der ersten Wellenront genau um den Weg λ enternt beindet. Die Wellenlänge kann also durh x x berehnet werden: gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 73, 74

26 Der Dopplereekt in der Astronomie 6 T x T x ( ) T Um nun die Zeit T B zu berehnen, die ergehen muss, damit beide Shwingungen denselben Ort in Flugrihtung on passieren, wird in s t eingesetzt: 3 T T B ) ( B B (F.5..-) 5..3 Verallgemeinerung des akustishen Doppler-Eektes Nimmt man sowohl ür den Beobahter B eine Geshwindigkeit B als auh ür die uelle eine Geshwindigkeit an, wobei beide parallel sind aber entgegengesetzt gerihtet, kann man eine Verallgemeinerung des akustishen Dopplereekts herleiten. B B B B B B B B (F.5..3-) Um aber letztlih reale Beobahtungen des akustishen Dopplereekts beshreiben zu können, müsste man untershiedlihe Bewegungen im Raum sowie die Bewegung des Mediums (Windgeshwindigkeit in Betrag und Rihtung) berüksihtigen. 3 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 73

27 Der Dopplereekt in der Astronomie 7 6 Die exakte Theorie des Doppler-Eektes 6. Die physikalishen Postulate der relatiistishen Raum- Zeit Beor ih die relatiistishe Raum-Zeit näher beshreiben kann, müssen sowohl die Lorentz-Kontraktion, als auh die Zeitdilatation als grundlegende Vorraussetzungen kurz erwähnt werden. Die Lorentz-Kontraktion wurde au Grund des berühmten Mihelson-Morley-Experiments entdekt. Sie beshreibt einah gesagt, dass sih alle bewegten Körper längs ihrer Bewegungsrihtung erkürzen: Wenn im ausgezeihneten System I ür einen dort ruhenden Stab die Länge l o gemessen wird, dann besitzt derselbe Stab, wenn er sih relati zu I mit der Geshwindigkeit bewegt, die erkürzte Länge l : 4 I : l lo (F.6.-) Den zweiten oben erwähnten Begri, die so genannte Zeitdilatation, hat Einstein durh sein, wie er es selbst nannte experimentum ruis der Speziellen Relatiitätstheorie zum ersten Mal praktish nahgewiesen. In diesem Experiment wurde ein shwingender Wasserstokern au eine hohe Geshwindigkeit beshleunigt, die man im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit niht ernahlässigen kann und seine Shwingungsrequenz T mit der eines gleihen, ruhenden Teilhens erglihen: Wenn im ausgezeihneten System I ür eine dort ruhende Uhr die Eigenperiode T o gemessen wird, dann wird ür dieselbe Uhr, wenn sie sih relati zu I mit der Geshwindigkeit bewegt, die gedehnte Periode T gemessen. 5 4 GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 37

28 Der Dopplereekt in der Astronomie 8 I : T To (F.6.-) Die Ergebnisse dieser beiden Experimente werden nun zu den physikalishen Parametern der relatiistishen Raum-Zeit, indem man sie genau wie bei der elementaren Raum-Zeit ür die Formeln (F.4.3-) und (F.4.3-) einsetzt: l I : (F.6.-3) l k o I : T T o (F.6.-4) ( ) q( ) Es wird nun au dieselbe Weise wie in 4.3, ausgehend hieron, im nähsten Kapitel beispielsweise eine Synhronisation der Uhren hergeleitet, um den Parameter θ erwenden zu können. Wihtig ist, dass nun in der relatiistishen Raum-Zeit das Inertialsystem I kein ausgezeihnetes System mehr ist, sondern lediglih ein isotropes. 6. Die Lorentz-Transormation Nun wird erneut das elementare Relatiitätsprinzip (F.4.-3) erwendet, um mit den kürzlih erwähnten Postulaten der relatiistishen Raum-Zeit (F.6.-3), (F.6.-4) und der Synhronisation der Uhren in der elementaren Relatiität laut (F.4.-4) den Parameter θ in der relatiistishen Raum-Zeit zu bestimmen.

29 Der Dopplereekt in der Astronomie 9 l l T T o o In 5. wurde der absolute Synhronparameter a hergeleitet. Au dieselbe Weise wird auh nun der so genannte Lorentzshe Synhronparameter θ L errehnet: L (F.6.-) k q ) ( L (F.6.-) Die neu deinierten Parameter k, q und θ L, werden in die spezielle Transormation der Koordinaten (F..5-) eingesetzt, um die spezielle Lorentz-Transormation zu erhalten. 6 ' ' ' ' ' ' x t t x t t t x x t x x (F.6.-3) 6 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 40

30 Der Dopplereekt in der Astronomie Der exakte Doppler-Eekt Zunähst wird die in der klassishen Physik üblihe Annahme der überall gleihlauenden Zeit durh die Zeitdilatation (F.6.-4) erdrängt. Für jede Art on Shwingung, welhe sozusagen das Vergehen der Zeit darstellt, gilt also bei einer bestimmten Relatigeshwindigkeit : (F.6.3-) o 6.3. uelle ruhend, Beobahter in Bewegung Es wird nun wieder, wie in Kapitel 5.., eine ruhende Shwingungsquelle im System I angenommen und ein Beobahter im System I, welher sih mit der Geshwindigkeit, längs der Verbindungslinie zwishen und B au die uelle zu bewegt. Die om Beobahter registrierte Frequenz B beträgt on I aus gesehen, wenn statt o in Formel (F.6.3-) B eingesetzt wird. Diese Formel wird nun ür B in (F.5..-) geshrieben: 7 B B (F.6.3.-) 6.3. uelle in Bewegung, Beobahter ruhend Der Beobahter B beindet sih im Bezugssystem I im ruhenden Zustand, genauso wie der Sender S in I. Dieser bewegt sih, on I aus betrahtet geradewegs au B, mit der Geshwindigkeit. Die Frequenz, der Shwingungen, die die uelle aussendet, muss 7 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 77

31 Der Dopplereekt in der Astronomie 3 nun au Grund der Lorentz-Transormation in Formel (F.5..-) mit der Frequenz aus (F.6.3-) ersetzt werden: 8 B (F.6.3.-) Der Doppler-Eekt bei elektromagnetishen Wellen Da die Ausbreitung des Lihts niht, wie lange Zeit ermutet, on einem Medium abhängig ist, muss lediglih die Relatibewegung zwishen uelle und Beobahter betrahtet werden. Folglih ist es, natürlih augrund des Relatiitätsprizips, egal welher dieser beiden Partner ruht, oder sih bewegt. Daher erhält man sowohl aus (F.6.3.-), als auh aus (F.6.3.-) dasselbe Ergebnis durh Umormung: B B B (F ) 8 gl. GÜNTHER Helmut: Starthile Relatiitätstheorie, S. 76, 77

32 Der Dopplereekt in der Astronomie 3 Wendet man ür sehr kleine Geshwindigkeiten die erste Näherung n n im Zähler beziehungsweise im Nenner an, ergibt sih: B (F ) B (F ) Diese bekannten Beziehungen beshreiben die Spezialälle des akustishen Dopplereekts.

33 Der Dopplereekt in der Astronomie 33 7 Der Dopplereekt in der Astronomie Mit diesem Kapitel shließe ih den theoretish-mathematishen Teil meiner Fahbereihsarbeit ab und dringe nun in die hohinteressante Thematik der Astronomie ein. In den nun olgenden Abshnitten möhte ih mit der Entstehung und der Analyse on Spektren kosmisher Objekte beginnen. 7. Spektren Würde man ein beliebiges, hemishes Element immer weiter erhitzen, beginnt es ab einer bestimmten Temperatur sihtbares Liht abzustrahlen, da die Elektronen im Inneren der Atome durh die erhöhte Intensität der thermishen Bewegung in einen angeregten Zustand ersetzt werden. Das Elektron beindet sih nun au einem höheren Energienieau, welhes aber nah etwa 0-8 Sekunden wieder relaxiert und au die energetish niedrigste Ebene zurükällt. Da das Elektron dabei seine Energie wieder abgibt, sendet es elektromagnetishe Wellen mit einer bestimmten Frequenz aus. Max Plank entdekte einen Zusammenhang zwishen der Energiedierenz ΔE und der besagten Frequenz, woraus das berühmte Plank she Wirkungsquantum, h 6, J. s ermittelt wurde: E h (F.7.-) Da sih die Elektronen nur in Orbitalen auhalten können und jedes Element eine harakteristishe, einmalige Anordnung dieser Auenthaltsbereihe hat, besteht olglih das ausgestrahlte Liht eines Elements im gasörmigen Zustand aus bestimmten Frequenzen. Würde man dieses Liht nun mit Hile eines Prismas oder eines Beugungsgitters in ein Spektrum zerlegen, lassen sih an bestimmten Stellen ärbige Linien erkennen. Dies bezeihnet man als Emissionsspektrum.

34 Der Dopplereekt in der Astronomie 34 Abbildung 7.-: Emissionsspektrum Shikt man das Liht eines glühenden esten oder lüssigen Körpers durh ein Spektroskop, erhält man ein kontinuierlihes Spektrum, in dem alle Farben des sihtbaren Lihts ertreten sind. Abbildung 7.-: Kontinuierlihes Spektrum Der dritte und speziell ür die Astronomie auh interessanteste Fall, ist das so genannte Absorptionsspektrum, bei dem ein Körper weißes Liht, also ein kontinuierlihes Spektrum aussendet, dieses jedoh durh eine kühlere Flüssigkeit oder ein Gas hindurhstrahlt und dabei ganz bestimmte Strahlungsanteile absorbiert werden, welhe sih im Spektrum als dunkle Linien bemerkbar mahen. Abbildung 7.-3: Absorptionsspektrum 7. Die Spektralanalyse in der Astronomie Joseph Fraunhoer entdekte als Erster diese dunklen Streien im Sonnenspektrum und nannte sie Fraunhoershe Linien. Den intensien Forshungen on Kirhho und Bunsen, die in ihren Laboratorien eine Vielzahl on Emissionsspektren hemisher Elemente genau untersuht und diese später mit dem Absorptionsspektrum der Sonne erglihen haben, ist es zu erdanken, dass im 9. Jahrhundert die meisten Fraunhoershen Linien ihrem bestimmten Sto zugewiesen werden konnten. Die

35 Der Dopplereekt in der Astronomie 35 Spektroskopie ist bis heute die Hauptinormationsquelle über weit enternte kosmishe Objekte, aus welhen man zum Beispiel bei Sternen au die Temperatur, das Alter, die Relatigeshwindigkeit zur Erde usw. shließen kann. Bei der praktishen Durhührung zur Erzeugung eines Spektrums, wird das Liht durh eine spaltörmige Blende geleitet, welhe dazu dient, das Spektrum bandörmig au einen Shirm zu projizieren. Um das Bild shärer ersheinen zu lassen, werden ot noh weitere Linsen in den Strahlengang gebraht. Das Prisma kann weißes Liht auspalten, da die ershiedenen Lihtrequenzen wegen ihren untershiedlihen Ausbreitungsgeshwindigkeiten im Glas untershiedlih stark gebrohen werden. Bei Verwendung eines Gitter-Spektrographen erolgt dies durh Beugung an ielen engen Spalten, die zueinander den Abstand d haben. Der Winkel Θ, unter dem eine konstruktie Intererenz entsteht, ist bei polyhromatishem Liht wellenlängenabhängig. Die arbigen Spektren ersheinen nah außen hin immer breiter. Erhöht man die Anzahl der Spalte und lasst die Abstände unerändert, so werden die Maxima shärer abgebildet und es werden weitere sihtbar. Mit olgender Formel lässt sih der besagte Beugungswinkel ür eine beliebige Ordnung berehnen: n sin n (F.7.-) d Abbildung 7.-: Shematishe Darstellung on Lihtbeugung am Mehrahspalt

36 Der Dopplereekt in der Astronomie 36 Abbildung 7.-: Entstehendes Intensitätsdiagramm der Maxima ershiedener Ordnungen bei monohromatishem Liht (oben); Abbildung des entstehenden Spektrums (unten) Die Dispersion, also die Auspaltung on Liht mit ershiedenen Wellenlängen, wird als Winkeldispersion bezeihnet. Die Dispersionsbeziehung erhält man durh olgende Ableitung on (F.7.-): d os d n n d d d n d os (F.7.-) Die Größe des Winkels, unter welhem das Spektrum augespaltet wird, ist also on der Strahlungswellenlänge niht abhängig. Ein einaher optisher Spektrograph besteht meist aus einer Spaltblende, die hinter dem Objekti des Teleskops angebraht wird, durh die das Liht au einen Kollimator ällt, welher die Strahlen wieder parallel anordnet. Dieses Bündel gelangt nun unter den Winkel Θ au das spektroskopishe Gitter und wird on diesem unter dem Winkel Θ relektiert. Dieses aus dem Gitter austretende Liht ist wellenlängenabhängig und wird dadurh in ein Spektrum augespaltet. Shließlih wird das Strahlungsbündel noh durh eine Kameralinse geleitet und kann danah au dem Detektor abgebildet werden. 9 9 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S

37 Der Dopplereekt in der Astronomie 37 Abbildung 7.-3: Shematisher Aubau eines Gitterspektrographen Abbildung 7.-4: Entstehendes Spektralmusster, bei der Beugung on Liht mit 3 ershiedenen Wellenlängen (grün, blau iolett) und 5 Spalten Ein wihtiger Aspekt bei jedem Spektrographen ist die so genannte spektrale Aulösung. Diese beshreibt den kleinsten sihtbaren Abstand Δλ zwishen zwei Spektrallinien. An dieser Stelle indet das so genannte Rayleigh-Kriterium seine Anwendung. Das Rayleighshe Kriterium besagt, dass zwei Punktquellen und gleiher Helligkeit als augelöst gelten sollen, wenn der Winkelabstand mindestens gleih dem Radius der Punktbildunktion ist [ ]. 30 Nun kann man in die Gleihung der Winkeldispersion das Maß eines Beugungsmaximums einsetzen, um den besagten Abstand Δλ zu erhalten. n d os Nd os 30 WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S

38 Der Dopplereekt in der Astronomie 38 Die Variable N beshreibt die Liniendihte des Beugungsgitters. Das spektrale Aulösungsermögen wird übliherweise als R. Außerdem gilt R n N ist unabhängig on λ. Das bedeutet, dass Δλ indirekt proportional zu R, also zur Güte des Spektroskops, ist. 7.3 Rotershiebung Anang des 0. Jahrhunderts wurde das Liht ieler astronomisher Objekte spektroskopiert und die Absorptionslinien einiger harakteristisher Elemente mit denselben im Labor gemessenen erglihen. Es wurde bemerkt, dass die Fraunhoershen Linien in ihrer Position innerhalb des Spektrums an einem anderen Ort zu erkennen sind als die Linien des Laborspektrums. Diese Beobahtung wurde dem Dopplereekt zugeshrieben. Man ermutete, dass lediglih augrund einer Relatibewegung zwishen dem Objekt und der Erde die Absorptionslinien entweder zum roten oder zum blauen Bereih des Spektrums hin ershoben sind. Daher erwendet man auh die Bezeihnungen Rot- und Blauershiebung. Abbildung 7.3-: Absorptionsspektrum ohne Dopplerershiebung (oben); rotershobenes Absorptionsspektrum (unten) Die Wellenlänge eines bestimmten Strahlungsanteils des beobahtenden Objekts wird mit der Wellenlänge desselben Anteils im Labor erglihen. Daraus berehnet man die Dierenz der beiden: (F.7.3.)

39 Der Dopplereekt in der Astronomie 39 Diese Formel ist noh niht relatiistish und kann daher nur ür Geshwindigkeiten, die im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit ernahlässigbar sind, erwendet werden. Erreiht einen zu hohen Wert, muss die relatiistishe Formel erwendet werden. 0 ( ) (F.7.3.) Heute weiß man jedoh, dass der Dopplereekt in den meisten Fällen niht die einzige Erklärung ür die Frequenzänderung sein kann. 3 Für weit enternte Objekte entsteht diese, nah dem heutigen Stand der Wissenshat, or allem durh die so genannte kosmologishe Rotershiebung, welhe au dem Prinzip des sih ausdehnenden Uniersums beruht. Dabei wird orausgesetzt, dass sih die gesamte Raum-Zeit ständig ausdehnt, die Objekte innerhalb jedoh streng genommen ihre Position beibehalten soern sie keine Eigenbewegung auweisen. Natürlih wird dieser Eekt unterdrükt, wenn die ershiedenen Kräte zwishen den Körpern ausreihend stark sind. Beispielsweise enternen sih die Planeten unseres Sonnensystems niht oneinander, da sie on der Graitation der Sonne als Zentripetalkrat au ihrer Bahn gehalten werden. Jedenalls bewirkt dies, dass sih während der Zeit, die das Liht benötigt, um den Beobahter au der Erde zu erreihen, der Raum weiter ausgedehnt hat und dadurh die Wellenlänge ergrößert wird. Dass ih diesen Eekt anhand weit enternter Objekte erklärt habe, liegt daran, dass die Enternungsgeshwindigkeit der Körper mit wahsendem Abstand zur Erde ebenalls ansteigt, doh dazu mehr in Kapitel 7.4 (Der Hubble-Eekt). Auh eine dritte Möglihkeit, die als Grund ür eine Rotershiebung in Frage kommt, ist bekannt. Dabei handelt es sih um die so genannte Graitationsrotershiebung, bei der das Liht on einem Körper emittiert wird, der ein, im Vergleih zur Erde, iel größeres Graitationseld auweist. Aus der Allgemeinen Relatiitätstheorie ist bekannt, dass ür einen Beobahter, der einen Ort betrahtet, in dem die Graitation größer ist als an seinem eigenen Standpunkt, die dortige Zeit oenbar langsamer ergeht. Dadurh wird die Wellenlänge größer und das Spektrum des Objekts ersheint rotershoben. 3 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. 45,46.

40 Der Dopplereekt in der Astronomie 40 Anders ausgedrükt kann man aber auh sagen, dass das Liht zum Austreten aus einem sehr starken Graitationseld eine gewisse Energie aubringen muss und dadurh die Gesamtenergie der elektromagnetishen Welle sinkt, was eine Erhöhung der Wellenlänge zuolge hat, da sih die Lihtgeshwindigkeit niht erändern kann. Dieser Eekt ist jedoh in den meisten Fällen so gering, dass er ot ernahlässigt werden kann. Aber mit ausgeklügelten Messerahren wie dem Mößbauereekt konnten Pound, Repka und Snider die Rotershiebung sogar ür ein austeigendes uant au der Erde nahweisen. An dieser Stelle möhte ih die ür die Astronomie überaus wihtige Formel (F ) und das bisherige theoretishe Vorwissen anhand eines kleinen praktishen Rehenbeispiels erläutern. Das Spektrum des Milhstraßensystems Corona Borealis weist eine eindeutige Rotershiebung au. Die Absorptionslinien des Wasserstos und des Kaliums haben eine au der Erde beobahtete Wellenlänge on 394 B nm. Im Labor erhält man ür eine ruhende uelle den Wert 43 nm. Da sih das Objekt enternt, muss in der Formel des optishen Dopplereekts das Vorzeihen on ertausht werden: B B B B B B B B,07 0 3,94 0 4,3 7 7 B m 7 0,3 0,0709,07,07 m/s 3 3 SEXL Roman, SCHMIDT Herbert Kurt.: Relatiitätstheorie, S. 7, 73

41 Der Dopplereekt in der Astronomie Hubble-Eekt In den 0er Jahren des origen Jahrhunderts stellten die Astronomen est, dass die allermeisten kosmishen Objekte eine Rotershiebung auweisen. Edwin Hubble erkannte, dass sih alle kosmishen Objekte mit immer größer werdenden Geshwindigkeit on uns enternen, je größer ihre Enternung ist. Die daraus resultierende Annahme, dass sih die gesamte Raum-Zeit ausdehnt, ist einer der wihtigsten Argumente, die ür einen Anang des Uniersums durh den Urknall sprehen. Es wurde bewusst on der Ausdehnung der gesamten Raum-Zeit gesprohen, da man sonst meinen könnte, dass sih unsere Galaxie sozusagen im Mittelpunkt des Uniersums beinden könnte und sih alle anderen Körper mit einer bestimmten Radialgeshwindigkeit on uns enternen. Da sih aber die gesamte Raum-Zeit selbst ergrößert, enternen sih alle Objekte oneinander, solange die Expansion niht durh irgendwelhe Kräte gestoppt wird. Als Gedankenexperiment könnte man sih einen im Bakoen augehenden Rosinenkuhen orstellen, in dem der Teig die Raum-Zeit und die Rosinen einzelne Galaxien darstellen. Würde man sih nun in einer beliebigen Rosine beinden, während der Teig expandiert, würde man genauso eststellen, dass sih alle anderen Rosinen enternen. Abbildung 7.4-: Shematishe Darstellung der Expansion der Raum-Zeit

42 Der Dopplereekt in der Astronomie 4 Abbildung 7.4-: Shematishe Darstellung eines expandierenden Rosinenkuhens Hubble mahte noh eine weitere erstaunlihe Entdekung. Ihm gelang es, durh anangs noh relati ungenaue Enternungsmessungen, estzustellen, dass die Geshwindigkeitszunahme mit wahsender Enternung sehr gleihmäßig ansteigt. Dieser simple Zusammenhang ermöglihte es, den Wert der Hubble-Konstante H 0 zu bestimmen. H 0 d (F.7.4-) Heutige Messungen mit dem Hubble-Weltraumteleskop und mit dem Röntgenweltraumteleskop Chandra ergeben ür den Wert H 7 ±8 km s - Mp -. 6 Dieser Wert bedeutet, dass pro Megaparallaxensekunde ( 3,60 Lihtjahre) die Enternungsgeshwindigkeit des Objekts um 7 km/s ansteigt. In SI-Einheit ergibt sih 0 8 H,3 s - 0 0

43 Der Dopplereekt in der Astronomie 43 Abbildung 7.4-3: Au moderne Daten beruhendes Hubble-Diagramm. Theoretish könnte man mithile eines genauen Werts ür H 0 die Enternung on kosmishen Objekten lediglih durh den Dopplereekt bestimmen. Formt man (F.7.3-) so um, dass man die Enternungsgeshwindigkeit berehnen kann, erhält man: H 0 0 d (F.7.4-) Die Rotershiebung kann man einaher als z 0 ausdrüken. Setzt man nun den Wert z in (F.7.4.) ein, kann man sih die Enternung d des Himmelskörpers berehnen. Dieses Verahren kann praktish leider erst ab Geshwindigkeiten angewandt werden, die größer als etwa 3000 km s - sind, da die sonst zu nahe gelegenen Objekte durh die Anziehungskräte unserer Milhstraße keine eindeutige Hubble- Relation mehr auweisen und somit die Ergebnisse deutlih erälsht würden gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. 76, 77

44 Der Dopplereekt in der Astronomie 44 Mithile des Hubble-Gesetzes (F.7.4.) ist es au sehr einahe Weise möglih, einen ungeähren Wert des Alters des Uniersums zu bestimmen. Die Ausgangsormel, wird dazu olgendermaßen umgeormt: d H 0 d H 0 d t (F.7.4-3) t H 0 Setzt man nun H 0,3 0 der Größenordnung on 8 s - ein, so kommt man au ein Alter des Uniersums in t,3 0 8 s 7 4,80 s 3, 6 Mrd Jahre

45 Der Dopplereekt in der Astronomie 45 8 Der Dopplereekt im Sonnensystem 8. Auswirkungen on Erdbewegungen au astronomishe Beobahtungen Eine interessante Frage ist, wie stark die Auswirkungen der Eigenbewegungen der Erde au Himmelsbeobahtungen sind und wodurh sie sih bemerkbar mahen. Die Rotation um die Erdahse und die Umlaubewegung um die Sonne reihen aus um einen sihtbaren Dopplereekt auszulösen. Die größtmöglihe Dopplerershiebung im Falle der Erdrotation in den Spektren ist proportional zuos os, wobei φ die terrestrishe Breite des Beobahters und δ die Deklination des Himmelskörpers ist. Als Deklination wird der sheinbare Abstand beispielsweise eines Sterns zur Äquatorialebene der Erde bezeihnet. Bei der Erdbahnbewegung ist die Frequenz des Lihts jener Objekte am meisten erändert, die sih genau in der Ekliptik beinden. Am Pol der Ekliptik tritt in diesem Fall kein Dopplereekt au. Die ekliptikale Breite eines Objekts wird als β bezeihnet. Die Amplitude der Dopplerershiebung ist eine Funktion on os Planetenradar In den 60er Jahren des orherigen Jahrhunderts wurden mithile des Planetenradars erstmals die Rotationszeiten der Planeten sehr genau bestimmt. R. Dye und G. Pettengrill haben 965 zunähst starke Radarpulse au den innersten Planeten Merkur gesendet. Dazu wurde das 305-m-Radioteleskop in Areibo (Puerto Rio) erwendet. Die entstehenden und au der Erde relati shwah gemessenen Ehos wurden genau untersuht. Die au die Merkuroberlähe treenden Radiosignale werden als erstes im so genannten subterrestrishen Punkt relektiert, da dieser zur Erde die kürzeste Enternung hat. Etwas zeiterzögert gelangen danah die Ehos der restlihen 34 gl. EDEN Ale, BRETTERBAUER Kurt, DOPPLER Christian.: Christian Doppler, S. 8

46 Der Dopplereekt in der Astronomie 46 ringörmigen konzentrishen Planetenzonen zur Erde. Augrund der Rotation des Objekts weist der Rand der sheinbaren Sheibe, der sih on der Erde ort bewegt, eine Rotershiebung au, der gegenüberliegende eine Blauershiebung. Betrahtet man genau den subterrestrishen Punkt, kann man keinerlei Dopplerershiebung wahrnehmen. Zur einaheren Berehnung wird der Planet als Kugel mit dem Radius R angenommen. Seine Rotationsgeshwindigkeit, die am Äquator maximal ist, beträgt daher: r äqu (F.8.-) T Als T wird hier die noh unbekannte Rotationsdauer des Himmelskörpers bezeihnet. Nun wird (F.8.-) in die Rotershiebungsbeziehung (F.7.3-) eingesetzt. Δλ wird zwishen dem subterrestrishen Punkt und einem der sheinbaren Planetenränder angenommen. Da beide Ränder zur entstehenden Dopplerershiebung beitragen, müssen auh beide berüksihtigt werden: 0 0 äqu r 4 T 0 (F.8.-) Durh genaue Messungen on Δλ und dem Radius r kann T ermittelt werden Dopplereekt und Sonnengranulen Die so genannte Sonnengranulation kommt durh das ständige Austeigen und Absinken on Wasserstogasblasen in der etwa 00 km diken Konektionszone unseres Zentralgestirns zustande. Die typishe Musterung entsteht dadurh, da diese Erhebungen, die einen Durhmesser on ira 000 m haben, in der Mitte, wo das 35 gl. EDEN Ale, BRETTERBAUER Kurt, DOPPLER Christian.: Christian Doppler, S. 8, 8, 83

47 Der Dopplereekt in der Astronomie 47 Wasserstogas austeigt, um 500 K kühler sind als die Randzonen, welhe daher überstrahlt werden und als shwarze Ränder ersheinen. (siehe Abbildung 8.3-) Abbildung 8.3-: Ausshnitt der Sonnenoberähe mit austeigenden Wasserstogasblasen Das Spektrum eines Sonnenausshnitts besteht daher aus wellenartig erzogenen Absorptionslinien, ausgelöst durh die Annäherung und Enternung einzelner Granulen, aber auh geraden Linien der Erdatmosphäre. Es existieren aber auh Gasblasen, die etwa 0 mal so groß sind wie die gewöhnlihen und sih im Liht manher spezieller Spektrallinien bemerkbar mahen. Man erkennt dann große Bereihe ershiedener Lihtintensität, die durh die bereits erwähnten Eekte entstehen. 36 Abbildung 8.3-: Shematishe Darstellung des Entstehungsprinzips on Sonnengranulen in der Konektionszone der Sonne 36 gl. URL: /leiiphysik/web_ph/ersuhe/dopplereekt/granulation.htm

48 Der Dopplereekt in der Astronomie 48 Abbildung 8.3-3: Spektrum eines kleinen Teils der Sonnenoberlähe mit deutlih erkennbaren Dopplerershiebungen innerhalb einzelner Absorptionslinien, ausgelöst durh die Bewegung der Sonnengranulen

49 Der Dopplereekt in der Astronomie 49 9 Der Dopplereekt im stellaren Raum 9. Anwendung au Doppelsternsysteme Bei so genannten bedekungseränderlihen Doppelsternen lassen sih die Durhmesser beider Sterne einzig und allein mit dem Dopplereekt bestimmen. Es wird der Fall orausgesetzt, dass ein Stern a mit dem Durhmesser D, on einem zweiten Stern b mit dem Durhmesser d so mit der Geshwindigkeit umkreist wird, dass die Bahnebene in der Rihtung des Beobahters liegt und sih daher beide Sterne immer wieder gegenseitig überdeken. Das Sternensystem enternt sih on der Erde aus betrahtet mit der Radialgeshwindigkeit V. Betrahtet man nun Stern b, ändert dieser den Wert seiner, durh Spektralanalyse, gemessenen Enternungsgeshwindigkeit dauernd und shwankt zwishen V bei Enternung und V bei Annäherung. Diesen Eekt beobahtet man im Spektrum als ein Hin- und her pendeln der Fraunhoershen Linien zwishen den Extremwerten Δλ und Δλ. Durh die Rotershiebung (F.7.3.) wird dies durh olgende Beziehung ausgedrükt: V, V (F.9..) Sobald das Ausmaß der Linienshwankung bekannt ist, kann daraus au die Umlaugeshwindigkeit on b geshlossen werden. Jedes Mal, wenn b hinter a ershwindet, sinkt der au der Erde gemessene Strahlungsstrom s. Dies ist in Abbildung 9.- zwishen den Zeitpunkten t und t zu erkennen. Bis t 3 bleibt die Helligkeit au einem konstanten Minimum, wonah sie wieder steigt und in t 4 ihren Ausgangswert erreiht.

50 Der Dopplereekt in der Astronomie 50 Abbildung 9.-: Messung des Strahlungsstroms s des bedekungseränderlihen Sterns zu ershiedenen Zeitpunkten Da der Stern b nah t beginnt hinter a zu ershwinden und in t 4 wieder als ollständige Sheibe zu erkennen wäre, lässt sih olgende Gleihung annehmen: D d t 4 t Von t bis t 3 bleibt b on a erdekt, daher gilt: D d t 3 t (F.9..) Trotz einiger Fehlerquellen, die diese Methode mit sih bringt, wie beispielsweise die Annahme, dass die Umlaubahn on b um a ein Kreis und die Umlauebene parallel zu unserer Blikrihtung seien, gehört dieses Messerahren noh heute zu den wihtigsten. Eine ebenalls ergebniserälshende Wirkung hat die Tatsahe, dass nur die Umlaubewegung on a um b und niht eine, wie es in der Praxis bei jedem Sternensystem sein müsste, Umkreisung beider Sterne um den gemeinsamen Shwerpunkt. Haben beide Massen einen ähnlihen Wert, wäre der entstehende Fehler zu groß. Um dies zu korrigieren, müssten die Geshwindigkeiten beider Sterne bekannt sein. Dazu bräuhte man beide Spektren, was aber leider in ielen Fällen niht möglih ist, da eines der Spektren om anderen überstrahlt wird gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. 07, 08

51 Der Dopplereekt in der Astronomie 5 9. Rotation on Sternen Es wird zunähst ein Stern angenommen, der um eine Ahse mit der Winkelgeshwindigkeit ω rotiert, die senkreht zur Beobahtungsrihtung steht. Ein bestimmter Punkt au der Oberlähe des Sterns hat einen Abstand r on der Rotationsahse und eine Geshwindigkeit r. Die Radialgeshwindigkeit des Sterns ist om Beobahter aus gesehen eine Projektion on au die Beobahtungsrihtung (siehe Abb.9.-). Abbildung 9.-: Shematishe Darstellung der einzelnen Geshwindigkeitskomponenten eines rotierenden Sterns Aus der shematishen Darstellung lässt sih die projizierte Radialgeshwindigkeit r sin ablesen. Die Spektrallinien sind hier um den Wert r ershoben. Der größtmöglihe Betrag dieser Geshwindigkeit r wird beobahtet, wenn α die Werte 90 oder 70 erreiht, also wenn sih der beobahtete Punkt sozusagen am Rand der Sternsheibe beindet. Außerdem müsste dieser Punkt auh noh Teil des Äquators sein, das heißt ür r R. Für einen dieser beiden Äquatorpunkte würde man daher + R messen, und ür den anderen R. Dies ist natürlih sehr selten direkt beobahtbar, da dasselbe Problem wie im orherigen Kapitel bei der Messung des Durhmessers on Sternen autritt, und zwar, dass der Winkeldurhmesser der meisten Sterne ür die Gerätshaten au der Erde iel zu klein sind. Bei ielen Bedekungseränderlihen 0

52 Der Dopplereekt in der Astronomie 5 lässt sih dieses Problem umgehen, da immer wieder nur diese Randteile des Äquators sihtbar werden und alle anderen Stellen om Begleiter erdekt sind. Bei jedem anderen einzelnen Stern erhält man also ein Spektrum, bei dem alle Dopplerershiebungen der gesamten sihtbaren Oberlähe ertreten sind, also alle Werte zwishen R und + R. Die entstehenden Spektrallinien sind über jenen Bereih R erbreitert. Diese spezielle Form der Dopplererbreitung wird als Rotationsproil bezeihnet. Der Wert on R lässt sih aus dem Rotationsproil, das R beträgt, ermitteln. Der Ergebniswert kann je nah Aulösungsermögen des Spektrographen durh die eigene Linienunshäre erälsht werden. 38 Wie in den Formeln (F ) und (F ) gezeigt wurde, dar man ür sehr kleine Geshwindigkeiten die erste Näherung erwenden: B oder B oder (F.9.-) (F.9.-) Das bedeutet zum Beispiel ür eine Rotationsgeshwindigkeit on einer Lihtwellenlänge on 500nm: 4 30 m/s und m 50 m = 0,05nm Um diesen Eekt messen zu können, benötigt man ein entsprehend hohaulösendes Spektroskop. Das größte Problem bei der Bestimmung der Rotationsgeshwindigkeit on Sternen liegt jedoh darin, dass man bei den allermeisten keine Inormation darüber erhält, um welhen Winkel die Rotationsahse tatsählih zur Beobahtungsrihtung geneigt ist. 38 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. -3

53 Der Dopplereekt in der Astronomie 53 Zum Beispiel würde man ür einen Stern, dessen Rotationsahse sih parallel zur Blikrihtung beindet, also ür = 0, keine Rotation messen. Für manhe Sterngruppen wird ein bestimmter Mittelwert on sin angenommen. ( sin 0, ) Zur Vereinahung wurde hier angenommen, dass der Stern sozusagen starr rotiert, was in Wirklihkeit normalerweise niht der Fall ist. Selbst ür unsere Sonne lässt sih eine dierentielle Rotation nahweisen. Ihre Umdrehungsgeshwindigkeit ist im Äquatorbereih (a. 5 Tage) weitaus höher, als zu den Polen hin (über 30 Tage) Rotation der Milhstraße Die einzelnen Teilsterne der Milhstraße müssen sih au bestimmten Bahnen um das galaktishe Zentrum bewegen, damit sih dessen Zentriugalkrat, genauso wie bei den Planeten unseres Sonnensystems, mit der Graitationskrat auheben kann. Wäre dieses Gleihgewiht niht gegeben, würde unsere Galaxie entweder expandieren oder kollabieren. Moderne Beobahtungen zeigen, dass sih Sterne der näheren Umgebung in ganzen Gruppen au Bahnen bewegen, die annähernd die Form on Kreisen haben. Der Begri der dierentiellen Rotation des Milhstraßensystems bezeihnet die Tatsahe, dass die Winkelgeshwindigkeit ω je nah indiiduellem Abstand R om galaktishen Zentrum ariiert und sih dadurh im Laue der Zeit benahbarte Sterne aneinander orbeishieben. Eigenbewegungen einzelner Sterne, die zum Teil stark on ihrem Geshwindigkeitseld abweihen, bezeihnet man als Pekuliarbewegungen relati zu ihrer Umgebung. Um systematishe Bewegungsmuster, or allem jener Sterne zu ermitteln, die sih in der Nähe der Sonne beinden, müssen sowohl Radial- als auh Tangentialgeshwindigkeiten gemessen werden. Die Radialgeshwindigkeit kann wieder einah mithile der Dopplerershiebung ermittelt werden. Hingegen ist die Bestimmung der Tangentialkomponente weitaus shwieriger, da die sheinbare Bewegung des Sterns au der Himmelskugel relati zu anderen Objekten in bestenalls großen Zeitinterallen beobahtet werden muss. Natürlih ist dazu auh eine genaue 39 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. -3

54 Der Dopplereekt in der Astronomie 54 Enternungsbestimmung der Himmelskörper on Nöten, da die Relatibewegung in ihrem Ausmaß daon stark abhängig ist. Die Blikrihtung im Raum, in der das galaktishe Zentrum liegt, wird mit = 0 estgelegt. Beobahtet man einen Stern, der sih genau in dieser Rihtung on der Erde aus gesehen beindet, erhält man bei der Analyse seiner Bewegung lediglih einen Wert ür seine Tangentialbewegung und zwar in Rihtung on etwa = 90. Suht man einen weiteren Stern unserer Milhstraße, der sih in der genau entgegengesetzten Rihtung beindet, so würde man ebenalls eine reine Tangentialbewegung messen, aber ür = 70. Auh hieraus kann man au eine Rotation der Milhstraße shließen. Abbildung 9.3-: a: Je näher Sterne am galaktishen Zentrum sind, desto höher ist ihre Umlaugeshwindigkeit. b: Im Bezug au die Sonne beobahtete Relatigeshwindigkeiten. : Messung der Radialgeshwindigkeiten; d: Messung der Eigenbewegungen; Aus und d werden durh Vektoraddition die au die Sonne bezogenen Raumgeshwindigkeiten (b). Die orhin bereits erwähnte Pekuliarbewegung zeigt sih auh bei unserer Sonne. Die Radialgeshwindigkeiten aller Sterne, die mit der Sonne in einer Gruppe die Milhstraße umlauen, weisen eine einheitlihe Abweihung au, was als Beweis ür eine solhe Bewegung gilt. Interessanterweise kann man untershiedlihe Pekuliargeshwindigkeiten im Bezug au ershiedene Sterntypen messen. Zum Beispiel erhält man ür relati junge Sterne im Bereih zwishen den Spektralklassen B und F einen Wert on 8 km s - in Rihtung = 60 und b = 5. Für Kugelsternhauen und eher alte Sterne erhält man Werte on 00 km s - in Rihtung = 90 und b = 4. Aus diesem Phänomen lässt sih die Eigengeshwindigkeit erkennen, mit der die Sonne die Milhstraße umrundet, die ähnlih wie die der jungen Sterne etwa 00 km s - beträgt und ihre Bahn im Vergleih zur Rotationsebene der Galaxie etwas geneigt ist. Die alten

55 Der Dopplereekt in der Astronomie 55 Sterne bewegen sih ast haotish ohne gerihtete Rotationskomponente durh den Halo Strukturuntersuhungen der Milhstraße mithile der -m-strahlung Innerhalb der Milhstraße existiert eine große Anzahl an Gas- und Staubwolken, die ür ultraiolette und sihtbare Strahlungsanteile des elektromagnetishen Spektrums nur sehr wenig oder gar niht durhlässig sind. Das Autreten dieser Extinktion ist in ihrem Ausmaß on der Wellenlänge der jeweiligen Strahlung abhängig und ist etwa proportional zu. Dies ist der Grund daür, dass Radiowellen selbst on sehr weit enternten Sternen zu uns dringen. Die so genannte -m-strahlung des neutralen Wasserstos wird mehr oder weniger überhaupt niht durh diesen Staub gestört. Dieser Teil des Radiospektrums des neutralen Wasserstos ermögliht das Entdeken ershiedener interstellarer Gaswolken und lieert gleihzeitig Aushluss über die Wasserstokonzentration innerhalb dieser Gebilde, da die Intensität dieser Emissionslinie etwa proportional zur Wasserstokonzentration der jeweiligen Wolke ist. Die Lage dieser speziellen Linie ist im Spektrum allerdings durh den Dopplereekt ershoben, da auh die Gaswolken um das galaktishe Zentrum rotieren. Meistens werden ungewollter weise gleih mehrere Wasserstowolken hintereinander beobahtet, was sih im Spektrum als Gemish ershiedener Maxima untershiedliher Intensität deutlih maht. Diese Eigenshaten maht man sih in der Radioastronomie or allem ür Strukturuntersuhungen unserer Galaxie zu Nutze. 40 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S.9 gl. De BOER Klaas, FÜRST Dietmar, HERMANN Dieter B., LICHTENFELDJörg, SCHWARZ Olier, ULLERICH Klaus, ZILL Bernd: Astronomie, S. 06, 07

56 Der Dopplereekt in der Astronomie 56 Abbildung 9.3.-: Shematishe Darstellung der Strukturuntersuhung der Galaxis unter den Annahmen, dass sih das Gas in einer Sheibe beindet, es sih au Kreisbahnen um das Zentrum bewegt und die Rotationsgeshwindigkeit mit zunehmender Enternung om Zentrum abnimmt (3. Keplershes Gesetz) Analysiert man das Liht ieler au einem Sehstrahl liegender Wasserstowolken, erhält man ür jede eine bestimmte Dopplerershiebung, die Aushluss über ihre radiale Geshwindigkeitskomponente lieert. Eine dieser beobahteten Wolken, die die höhste gemessene Umlaugeshwindigkeit auweist, liegt im Tangentialpunkt T (siehe Abb.9.3.-). Mit dieser Methode ist es möglih das Rotationserhalten der Galaxis in Enternungen zu untersuhen, die weit über die Möglihkeiten direkter isueller Astronomie hinausgehen Die Kosmishe Hintergrundstrahlung 964 gelang es A. Penzias und R. Wilson mithile einer speziellen Hornantenne Mikrowellensignale zu registrieren, die oenbar on allen Seiten des Raumes ast gleihmäßig orkommen. Nah einiger Zeit konnte man mit Siherheit sagen, dass diese Strahlung ihren Ursprung niht au der Erde hat, sondern dass es sih um ein ast perekt isotropes Strahlungseld handelt mit einer Energiedihte on etwa 3K 4 gl. De BOER Klaas, FÜRST Dietmar, HERMANN Dieter B., LICHTENFELDJörg, SCHWARZ Olier, ULLERICH Klaus, ZILL Bernd: Astronomie, S. 07, 08

57 Der Dopplereekt in der Astronomie 57 Temperatur. Für diese Entdekung erhielten Penzias und Wilson 978 den Nobelpreis ür Physik. Dieses Phänomen gilt heute als einer der stärksten Beweise ür die Urknalltheorie. Bereits in den 40er Jahren des orherigen Jahrhunderts wurde ein solhes Strahlungseld, unter anderen on G. Gamow, als Nahwirkung des extrem heißen und dihten Urzustandes des Uniersums und der stetigen Abkühlung durh Expansion orhergesagt. Die orhin erwähnten winzigen Abweihungen on der Isotropie konnten erstmals durh den Satelliten COBE der amerikanishen Weltraumbehörde erasst werden. Einen noh detaillierteren Einblik in die Struktur des Mikrowellenhintergrundes ershate WMAP im Jahr 003.

58 Der Dopplereekt in der Astronomie 58 Abbildung 9.4-: Kosmishe Hintergrundstrahlung augenommen durh COBE (oben) und WMAP (unten). Die ershiedene Färbung zeigt geringügige Temperaturshwankungen im Strahlungseld. Rote Bereihe stellen höhere, blaue niedrigere Temperaturen dar. Die Temperaturuntershiede betragen etwa ± 0-5 K. Interessanterweise zeigt sih ein globaler Temperaturuntershied, der den Mikrowellenhintergrund durhteilt. Au einer Hemisphäre ist die Strahlungstemperatur um etwa 0,00 K höher und au der anderen geringer. Diese Tatsahe wird wieder durh den Dopplereekt erklärt. Das gesamte Milhstraßensystem bewegt sih, natürlih samt der Erde, mit einer Geshwindigkeit on 60 km/s relati zur kosmishen Hintergrundstrahlung. Die Blauershiebung in und die Rotershiebung dipol entgegengesetzt der Bewegungsrihtung beträgt ür die Temperatur beträgt T = (,78 ± 0,004) K. 4 dipol. Der derzeit genaueste Wert 4 gl. WEIGERT A., WENDKER H.J., WISTOTZKI L.: Astronomie und Astrophysik, S. 33, 333, 334

59 Der Dopplereekt in der Astronomie 59 0 Exkurs: selbst durhgeührte Spektroskopie Am. und. Oktober 006 war es mir glükliherweise möglih, niht zuletzt augrund meiner Mitgliedshat der Waldiertler Astronomishen Gesellshat, Zutritt zur Sternwarte in Höhenberg (nordwestlihes Waldiertel) zu erhalten, um dort einige Spektren on ershiedenen Sternen otograieren zu können. Mit reundliher Unterstützung des Obmanns Ing. Hermann Lahoer, welher mir die notwendigen Gerätshaten zur Verügung gestellt hat und mir bei der praktishen Durhührung beratend zur Seite stand, konnte ih dieses hohinteressante und erahrungseinbringende Experiment wagen. Abbildung 0-: Sternwarte bei Höhenberg Das zur Spektrenbeobahtung erwendete Gerät war ein Cassegrain Teleskop mit einem Önungsdurhmesser on 340mm und einer Brennweite on 4000mm. Das erwendete Okular hatte eine Brennweite on mm, was einer 333-ahen Vergrößerung entspriht. Das erwendete Spektroskop, om Hersteller Rainbow Optis, war mit einer speziellen Zylinderaudehnlinse ersehen, um das Spektrum etwas stärker zu weiten.

60 Der Dopplereekt in der Astronomie 60 Abbildung 0-: Hauptteleskop der Sternwarte: Cassegrain Es olgt nun eine Aulistung der beobahteten Sterne, ihrer wihtigsten Daten und die jeweils dazugehörigen Photos. Außerdem sind Ausshnitte on Sternkarten, au denen man die Positionen der Körper ablesen kann und proessionell augenommene Spektren zum möglihen Absorptionslinienergleih ebenalls orhanden. Wega α Lyr (Sternbild Leier) sheinbare Helligkeit Enternung Spektraltyp Rektaszension Deklination 0,04 mag 5,3 Lj A0 8 h 36,9 m +38,78 Abbildung 0-3: Sternbild Leier

61 Der Dopplereekt in der Astronomie 6 Abbildung 0-4: Selbst augenommenes Spektrum on Wega. Im blauen Spektralberih sind zwei Absorptionslinien deutlih zu erkennen. Abbildung 0-5: Detailliertes Spektrum on α Lyr Albireo β Cyg (Sternbild: Shwan) sheinbare Helligkeit Enternung Spektraltyp Rektaszension Deklination,9 mag (3,;5,) 390 Lj K3, B8 9 h 30,7 m +7,96

62 Der Dopplereekt in der Astronomie 6 Abbildung 0-6: Sternbild Shwan Abbildung 0-7: Bei starker Vergrößerung wird erkennbar, dass Albireo einen Begleiter besitzt (rehts), die Distanz beträgt 34,5.

63 Der Dopplereekt in der Astronomie 63 Abbildung 0-8: Selbst augenommenes Spektrum on Albireo. (Bei genauer Betrahtung erkennt man die Spektren beider Sterne) Altair α Aql (Sternbild: Adler) sheinbare Helligkeit Enternung Spektraltyp Rektaszension Deklination 0,8 mag 6,7 Lj A7 9 h 50,8 m +8,87 Abbildung 0-9: Sternbild Adler

64 Der Dopplereekt in der Astronomie 64 Abbildung 0-0: Selbst augenommenes Spektrum on Altair Abbildung 0-: Spektrum on Altair Aldebaran α Tau (Sternbild: Stier) sheinbare Helligkeit Enternung Spektraltyp Rektaszension Deklination 0,9 mag 66Lj K5 4 h 35,9 m +6,5 Abbildung 0-: Sternbild Stier

65 Der Dopplereekt in der Astronomie 65 Abbildung 0-3: Selbst augenommenes Spektrum on Aldebaran Abbildung 0-4: Spektrum on Aldebaran Beteigeuze α Ori (Sternbild: Orion) sheinbare Helligkeit Enternung Spektraltyp Rektaszension Deklination 0,3-0,9 350 Lj M 5 h 55, m +7,4

66 Der Dopplereekt in der Astronomie 66 Abbildung 0-5: Sternbild Orion Abbildung 0-6: Selbstaugenommenes Spektrum on Beteigeuze Abbildung 0-7: Spektrum on Beteigeuze Am. Oktober habe ih ein Spektrum der Sonne augenommen, das wegen der großen Lihtintensität eine sehr kurze Belihtungszeit zuließ und natürlih eine entsprehend bessere ualität hat: