Bewegungsgleichung der Speziellen Relativitätstheorie

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1 Ator: Walter islin on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 ewegngsgleihng der Seiellen Relatiitätstheorie Dienstag, 6. Jni - :4 Ator: wabis Themen: Wissen, Physik, Kosmologie Wenn es m Geshwindigkeiten ab einigen Proenten der Lihtgeshwindigkeit geht, treten mehr nd mehr sogenannte relatiistishe Effekte in Ersheinng: Die Zeit läft im bewegten System langsamer als im rhenden nd die Längen werden in ewegngsrihtng kürer, m nr einige der [] Effekte erwähnen. Im Prini wird aber die relatiistishe ewegngsgleihng wie die Newtonshe ewegngsgleihng gelöst. Nr sind die Formeln einiges komliierter. In der Regel sind ewegngsgleihngen so komliiert, dass sie nr mit nmerishen Verfahren gelöst werden können. Das eisiel einer konstant beshlenigten Rakete ist jedoh einfah geng, sodass die ewegngsgleihng algebraish gelöst werden kann. [] Vektoren Zr Herleitng der relatiistishen ewegngsgleihng mss ih nähst Viererektoren nd deren Ableitng erklären. Im dreidimensionalen Ram hat ein Vektor bekanntlih drei Komonenten wie hier m eisiel ~ der Vektor : ~ = m = Ein Vektor hat in einem Koordinatensystem die drei Koordinaten. In einem anderen Koordinatensystem, das gegenüber dem ersten gedreht ist, hat der selbe Vektor andere Über eine Rotations-Transformation können die Koordinaten on einem System in das andere mgerehnet werden. Eine Rotations-Transformation ist im Wesentlihen eine Matri-Mltilikation. Was aber in beiden Koordinatensystemen gleih bleibt, ist die Länge des Vektors, die wiefolgt berehnet werden kann: 3 KS ( ; y ; ) A y A [3] KS (; y; ) l () l = + y + = q + y + Die Länge eines Vektors ist inariant beüglih Rotations-Transformationen oder allgemeiner beüglih Galilei-Transformationen. Viererektoren

2 Ator: Walter islin on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 Ein Viererektor ist ein Vektor mit einer Zeit nd drei Ramdimensionen nd hat ein sog. indefinites Längenqadrat (Interall) [4]. Letteres bedetet, dass ah ein Viererektor eine inariante Grösse hat, ähnlih der Länge eines 3-D-Vektors. Dieses Längenqadrat ist inariant nter der sog. [5] [6] Lorent-Transformation. In wei gegeneinander bewegten Inertialsystemen hängen die Komonenten des Viererektors drh eine Lorent-Transformation miteinander sammen. Shreibweise Um Viererektoren on 3-dimensionalen Vektoren ntersheiden können, erwendet man griehishe hstaben als Inde (.., srih mü). Diese haben die Werte (,,, 3): = kontraariant Dies ist kontraarianter Viererektor. Die Viererektoren gibt es in wei Varianten, kontraariant nd koariant 3 A. eim koarianten Vektor stehen die Indies nten. Ein koarianter Vektor wird r Untersheidng oft als Zeilenektor geshrieben: ; ; ; ) = ( 3 koariant Die Komonenten wishen koarianten nd kontraarianten Vektoren werden über den sog. [8] Metrik-Tensor in einander transformiert. In der seiellen Relatiitätstheorie, wo es m flahe Rameit geht, ist der Metrik-Tensor einfah dieser Stelle niht näher eingehen. diag(; ; ; ), aber daraf brahe ih an Hinweis: In Teten werden beide Vektorarten meist als Zeilenektoren geshrieben. Anhand der Position des Inde kann ja ein kontraarianter on einem koarianten Vektor ntershieden werden. Längenqadrat (Interall) Das inariante Längenqadrat (ah Rameit-Interall oder einfah Interall genannt) ist für [9] Viererektoren als Skalarrodkt des koarianten mit dem kontraarianten Vektor definiert: () ds = d d = (d ) (d ) (d ) 3 (d ) Im Gegensat 3-D-Vektoren gehen bei den Viererektoren die Qadrate der drei Ramkoordinaten mit einem Minseihen in das Längenqadrat ein! Nr wenn das Längenqadrat eines 4-dimensionalen Vektors inariant gegenüber der Lorent- Transformation ist, handelt es sih m einen ehten Viererektor.

3 Ator: Walter islin 3 on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 Orts-Viererektor Die erste Komonente eines Orts-Viererektors ist die Zeitkoordinate, mltiliiert mit der Lihtgeshwindigkeit, damit diese Koordinate ah die Einheit einer Länge hat. Die kontraariante Darstellng des Orts-Viererektors ist: Dass 3 A t y A = t ~ ein Viererektor ist folgt daras, dass sein Längenqadrat (Interall) nter der Lorent- Transformation inariant bleibt. Das indefinite Längenqadrat latet: (3) ds = d d = dt d dy d Was dieses Längenqadrat assagt ist folgendes: Jedes Ereignis findet in einem Inertialsystem an einem bestimmten Ort nd einer bestimmten Zeit statt. Ort nd Zeit bilden sammen die Komonenten eines Ortsiererektors. In einem anderen Inertialsystem, das sih gleihförmig mit der Geshwindigkeit bewegt, hat das selbe Ereignis andere Koordinatenwerte. Über die Lorent-Transformation können diese Werte on einem System in das andere mgerehnet werden. Was jedoh in jedem das Längenqadrat: = ( t; ; y; ) = ( t ; ; y ; ) immer gleih bleibt, ist (4) s = t y = t y Vierergeshwindigkeit As dem Orts-Viererektor lassen sih weitere Viererektoren ableiten. Wir benötigen nähst die Vierergeshwindigkeit. Diese erhält man drh Differenieren des Ortsiererektors nah [] d der Eigeneit. Die Vierergeshwindigkeit ist definiert als: (5) d = = d d t y _ = = y _ y _ = A ~

4 Ator: Walter islin 4 on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 (6) s d = dt = dt $ d t = d = d q (7) = q = q + + y wobei = Vierergeshwindigkeit = Orts-Viererektor = Eigeneit des bewegten Systems [] = Lorentfaktor t = Zeit des rhenden Systems = Geshwindigkeit des bewegten Systems begl. des Rhesystems [] = Lihtgeshwindigkeit Znähst wird in (5) drh nah der Formel (6) ersett. Dadrh kommt der Lorentfaktor ins Siel. Dann wird jede Komonente des Ortsektors nah der Zeit abgeleitet. Es entsteht ein neer Viererektor. Ein Pnkt af einem hstaben bedetet abgeleitet nah der Zeit: d _ = dt d dt t eweis dass Vierergeshwindigkeit ein Viererektor ist Ih mss siher sein, dass die abgeleitete Vierergeshwindigkeit ein Viererektor ist, das heisst, dass der etrag des Vektors in allen Inertialsystemen den selben Wert hat, also inariant nter der Lorent-Transformation ist. Ih berehne daher den etrag j j der Vierergeshwindigkeit: (8) j j = = ( ; ; y ; y A = y [9] eahte, dass oben das Skalarrodkt des koarianten mit dem kontraarianten Vektor berehnet wird. Die Terme in der letten Klammer bilden also keinen Vektor, sondern eine Zahl. Die letten drei Terme in der Klammer ergeben gerade die negatie Länge des rämlihen Geshwindigkeitsektors im Qadrat:

5 Ator: Walter islin 5 on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 (9) = + y + Also kann ih (8) ah shreiben: () j j = + y + = ( ) Wenn ih jett noh as (7) einsete erhalte ih: () j j = = ( ) ( ) = Der etrag der Vierergeshwindigkeit ist somit immer gleih der Lihtgeshwindigkeit, j j welhe in jedem Inertialsystem er Definition der Relatiitätstheorie die selbe ist! Ah jeder andere Viererektor, der so abgeleitet wird, mss ein Viererektor sein! Das nüte ih nn as: Viererimls Der klassishe Imls ist definiert als ~ = m ~. Der relatiistishe Viererimls ist analog definiert: () = m = m ~ wobei = relatiistisher Viererimls m = Rhemasse des Körers = Vierergeshwindigkeit = Lorentfaktor, siehe (7) = Lihtgeshwindigkeit ~ = 3-dimensionaler Geshwindigkeitsektor ( ; ; ) eahte: Weil ein Viererektor ist, ist ah der Imls ein Viererektor, denn wenn ein Viererektor mit einem Skalar (im eisiel die Masse d.h. sein etrag ist in jedem Inertialsystem der selbe. m y ) mltiliiert wird, bleibt er ein Viererektor, Viererkraft nd ewegngsgleihng Wie beim Viererimls kann eine Viererkraft, ah Minkowski-Kraft genannt, analog r

6 Ator: Walter islin 6 on 6 walter.bislins.h/blog/.5.3 3:6 entsrehenden Newton-Kraft F ~ = d~ =dt definiert werden: (3) K d = = m d d d ewegngsgleihng der seiellen Relatiitätstheorie wobei = Viererkraft K m = Viererimls = Vierergeshwindigkeit = Eigeneit des bewegten Systems = Konstante Masse des Objektes Da der Imls ein Viererektor ist nd dieser nah der Eigeneit abgeleitet wird, ist ah die Minkowskikraft ein ehter Viererektor, dessen etrag inariant nter der Lorent- K Transformation ist! Im nähsten Abshnitt werde ih diese ewegngsgleihng am eisiel einer gleihförmig beshlenigten Rakete lösen. Weitere Informationen Relatiitätstheorie; Wikiedia Nmerishe Mathematik; Wikiedia Vektor; Wikiedia Viererektor; Wikiedia Lorent-Transformation; Wikiedia Inertialsystem; Wikiedia Koarian; Wikiedia Metrisher Tensor; Wikiedia Skalarrodkt; Wikiedia Eigeneit; Wikiedia Lorentfaktor; Wikiedia Lihtgeshwindigkeit; Wikiedia