Theoretische Elektrodynamik

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1 Theoretishe Elektrodynamik Kompendium) Herausgegeben von Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky Stand: 23 Oktober 2008

2 Inhaltsverzeihnis Elektrodynamik im Vakuum 3 Grundgrößen 3 Maxwellgleihungen im Vakuum 3 Ausgewählte Folgerungen 3 Erhaltungssätze 3 Elektromagnetishe Potentiale, Mathematishe Hilfsmittel 4 Elektromagnetishe Potentiale 4 Eihtransformationen 4 Greenshe Funktion 4 Bestimmung von Vektorfeldern 4 Elektrostatik 5 Punktladung 5 Elektrisher Dipol 5 Elektrisher Quadrupol 5 Allgemeine ruhende Ladungsverteilung 5 Magnetostatik 6 Stromfaden 6 Magnetisher Dipol 6 Allgemeine ruhende Stromverteilung 6 Relativistishe Elektrodynamik 7 Operatoren 7 Grundgrößen und -gleihungen 7 Relativistishe Mehanik 7 Transformation von Feldern 7 Matrixdarstellungen 7 Zeitabhängige elektromagnetishe Felder 8 Retardierte Potentiale 8 Multipolentwiklung eines Strahlungsfeldes 8 Liénard-Wiehert-Potentiale 8 Elektrodynamik in Materie 9 Materialgrößen 9 Maxwellgleihungen in Materie 9 Wihtige Folgerungen 9 Grenzbedingungen 9 Stromkreise 0 Bauteilparameter 0 Sätze für Stromkreise 0 Kapazität 0

3 AGeS-Kompendium Elektrodynamik im Vakuum Seite 3 Im gesamten Kompendium wird das Gauss she Maßsystem verwendet Grundgrößen Ladungsdihte ϱ r, t) und Stromdihte j r, t) = ϱ v elektrishes und magnetishes Feld: E r, t) und B r, t) Lorentz-Kraft: K = q E + v B ), Kraftdihte: k = ϱ E + j B Maxwellgleihungen im Vakuum rot E = B t Faradayshes Induktionsgesetz div E = 4π ϱ Gaußshes Durhflutungsgesetz rot B = E t + 4π j Durhflutungsgesetz von Oersted und Ampère div B = 0 Ausshluss magnetisher Monopole Ausgewählte Folgerungen Kontinuitätsgleihung: ϱ t + div j = 0 in einer Leitershleife induzierte Spannung: U ind = d dt Erhaltungssätze d Energiebilanz: dt V w dv + V j E dv = S df SV ) d Impulsbilanz: dt p meh + p elm ) = e i V i,k Drehimpulsbilanz: V Hierbei sind: S B d f = CS) x k T ik dv = e i SV ) T ik i,k r ) ) k dv + d S dt r V dv = 2 SV ) r t ) df E + v B ) d r e k df ) = t df SV ) w = E 2 + B 2 8π die Energiedihte des elektrishen und magnetishen Feldes S = 4π E B der Poynting-Vektor p meh mit d dt p meh = V k dv der mehanishe Impuls p elm = 2 V S dv der elektromagnetishe Impuls T der Maxwellshe Spannungstensor mit den Komponenten T ik = 4π E i E k 2 δ ik E 2 + B i B k 2 δ ik B 2 ) [ ) t = 4π E E ef 2E 2 e f + B ) B ef 2 B ] 2 e f mit dem Flähennormaleneinheitsvektor e f

4 AGeS-Kompendium Elektromagnetishe Potentiale, Mathematishe Hilfsmittel Seite 4 Elektromagnetishe Potentiale Vektorpotential A r, t) und skalares elektrostatishes ) Potential ϕ r, t) magnetishes Feld: B = rot A elektrishes Feld: E = grad ϕ A t Eihtransformationen transformiertes Vektorpotential: A = A + grad Λ r, t) transformiertes Skalarpotential: ϕ = ϕ t Λ r, t) Die Potentiale müssen den folgenden Bedingungen genügen: A grad 2 2 A t 2 div A + ϕ t ϕ + t div A = 4πϱ Lorenz-Eihung: A, ϕ mit Eihbedingung: div A + t ϕ = 0 Coulomb-Eihung: A, ϕ mit Eihbedingung: div A = 0 Eihfunktion Lorenz-Eihung Λ 2 2 t Λ = div ) A + 2 t ϕ Coulomb-Eihung Greenshe Funktion Λ = div A i= ) = 4π j Potentiale A 2 2 t A = 4π 2 j ϕ 2 2 t ϕ = 4πϱ 2 A 2 2 t 2 A grad t ϕ = 4π j ϕ = 4πϱ Problem: Suhe Ψ in Lx,, x n ) Ψx,, x n ) = fx,, x n ) mit dem Differentialoperator n n Lx,, x n ) = a + a i x i x q,i ) + 2 a ij x i x q,i ) x j x q,j ) + Greenshe Funktion: Gx,, x n ) = G 0 x,, x n ) + 2π) n dk = dk n Hierbei löst G 0 x,, x n ) die Differentialgleihung L G 0 = 0 Lösung: Ψx,, x n ) = Ψ 0 x,, x n ) + dx Hierbei löst Ψ 0 x,, x n ) die Differentialgleihung L Ψ 0 = 0 Bestimmung von Vektorfeldern Problem: Suhe F r) für gegebenes div F r) und rot F r) Lösung: F r) = F hom r) + 4π e i Pl k lx l a + i l a l k l l,m a lm k l k m + dx n Gx x,, x n x n) fx,, x n) d 3 r div F r ) r r ) + rot F r ) r r ) r r 3 Hierbei berüksihtigt die homogene Lösung F hom r) mit div F hom r) = 0 und rot F hom r) = 0 eventuelle Rand- und Anfangsbedingungen

5 AGeS-Kompendium Elektrostatik Seite 5 Punktladung Situation: einzelne Punktladung q am Ort r q Potential: ϕ r) = q r r q elektrishes Feld: E r) = q r rq) r r q 3 mehrere Punktladungen Coulomb-Wehselwirkung: W w = 2 Elektrisher Dipol α β q α q β r α r β Situation: Anordnung zweier entgegengesetzer gleihgroßer Punktladungen q am Ort r d ) und +q am Ort r d + a); Übergang zu q und a 0 derart, dass das Dipolmoment p = q a konstant bleibt Ladungsverteilung: ϱ r) = Potential: ϕ r) = p grad r r r d = p r r d) r r d 3 elektrishes Feld: E r) = 3 [ p r r d)] r r d ) r r d 5 p r r d 3 lim q [δ r r d + a)) δ r r d )] = p grad r δ r r d ) q, a 0 mehrere Dipole Dipoldihte: P r) = α p α δ r r α ) Gesamt)Dipolmoment: p = P r) dv = ϱ r) r dv Elektrisher Quadrupol Situation: Anordnung zweier entgegengesetzt ausgerihteter Dipole p am Ort r q ) und p am Ort r q + d); Übergang zu p und d 0 derart, dass die Komp des Qmomentes q ij = d i p j konstant bleiben Quadrupolmoment: q ij = 2 ϱ r) x i x j dv 3 ] Quadrupoltensor: Q ij = 3 q ij δ ij q ll = 2 ϱ r) [3x i x j r r q 2 δ ij dv Potential: ϕ r) = q ij l= Beahte: Quadrupolmoment und -tensor sind symmetrish, Spur von Q vershwindet [ Ladungsverteilung: ϱ r) = p grad r δ r r q + ] d)) grad r δ r r q ) = [ ] 3xi x q,i) x j x q,j) δij = Q r r q 5 r r q 3 ij xi xq,i) xj xq,j) r r q 5 Allgemeine ruhende Ladungsverteilung Potential: ϕ r) = d 3 r ϱ r ) r r + ϕ hom r) q ij 2 x i x j δ r r q ) elektrishes Feld: E r) = d 3 r ϱ r ) r r ) + E r r 3 hom r) r 2 Vershiebungsarbeit: A = K d r = q [ϕ r2 ) ϕ r )] für eine Probeladung q von r nah r 2 r Wehselwirkungsenergie im el Feld: W el = 2 ϱ r) ϕ r) dv ϕ des Felderzeugers, ϱ der Probe) V Kraft: K = ϱ r) E r) d 3 r Drehmoment um Koordinatenursprung: M = r ϱ r) E r) d 3 r Multipolentwiklung einer Ladungsverteilung um r = 0 für weit entfernten Betrahter + bei Abbruh nah der /r 3 -Ordnung) Kraft: K = q E r = 0) + p grad r ) E + q ij 2 r=0 x r=0 i x j E E ändere sih über ϱ nur langsam) Drehmoment: M = p E r = 0) + 2 e i q ij E Potential: ϕ r) = q r + p r r 3 Q ij x ix j r 5 x j Gesamtladung q wie üblih, Dipol- und Quadrupolmoment wie oben über Ladungsverteilung definiert r=0

6 AGeS-Kompendium Magnetostatik Seite 6 Stromfaden Situation: Entlang eines geshlossenen Weges ϕ umshließend die Flähe S) fließt ein Strom I, welher in allen Quershnitten des Leiters tangential zur Bewegungsrihtung gleih ist Potential: A r) = I ϕ d r r r = I S d f grad r r r d r r r ) r r 3 magnetishes Feld: B r) = I ϕ magnetisher Fluss im Faden α durh Feld anderer Fäden: Φ α = I β L αβ mit β α β Wehselwirkung mehrerer Stromfäden: W magn = I α I β 2 L αβ = 2 Φ α I α α β α Induktionskoeffizienten: L αβ = d r α d r β 2 ϕ α ϕ β r α r β Kraft durh den Faden α auf β: K β α = Iα I β d r β [d r α r β r α)] 2 ϕ ϕ 2 = Iα I β r β r α 3 2 ϕ ϕ 2 Magnetisher Dipol r β r α d r r β r α 3 α d r β Situation: Stromfaden wie oben am Ort r m ; Übergang zu S 0 und I derart, dass das magnetishe Moment m = I S d f konstant bleibt Potential: A r) r rm = m grad r r r m = m r r m 3 magnetishes Feld: B r) = 3 [ r rm) m] r rm) m r r m 5 r r m 3 mehrere Dipole Dipoldihte: M r) = m α δ r r α ) Gesamtdipolmoment: m = d 3 r M r) = m α α Potential einer Dipolverteilung: A r) = d 3 r M r ) grad r r r Stromdihte einer Dipolverteilung: j r) = rot M r) = m α grad δ r r α ) α Wehselwenergie einer Dipolv: W m = 2 m α B β r α ) = α α β Allgemeine ruhende Stromverteilung Potential: A r) = d 3 r j r ) r r + A hom r) magnetishes Feld: B r) = d 3 r j r ) r r ) r r 3 + B hom r) α β 2 rαβ 3 [ ] 3 r αβ m α) r αβ m β ) m rαβ 2 α m β Wehselwirkungsenergie im magn Feld: W magn = 2 V j r) A r) dv A des Felderzeugers, j der Probe) Kraft: K = j r) B r) d 3 r Drehmoment um Koordinatenursprung: M = r [ j r) B r) ] d 3 r Multipolentwiklung einer Stromverteilung um r = 0 für weit entfernten Betrahter Dipolmoment der Stromverteilung: m = 2 V d3 r [ r j r ) ] Potential: A r) = m r r 3 bei Abbruh nah der /r 3 -Ordnung) r m) r r 5 m r 3 magnetishes Feld: B r) = 3 Kraft: K [ ] = grad B r) m r=0 Drehmoment um Koordinatenursprung: M = m B r = 0)

7 AGeS-Kompendium Relativistishe Elektrodynamik Seite 7 Operatoren Viererdivergenz-Operator: µ = D Alembert-Operator: = ν ν = 2 d dx und µ = d µ dx µ d2 dt 2 Grundgrößen und -gleihungen Kontravariante Größe Kovariante Größe Vierervektor der Stromdihte J µ = ϱ, j) J µ = ϱ, j) Kontinuitätsgleihung: µ J µ = 0 Viererpotential Φ µ = ϕ, A) Φ µ = ϕ, A) Feldstärketensor F νµ = µ Φ ν ν Φ µ F νµ = µ Φ ν ν Φ µ Bestimmungsgleihung für das Potential: Φ µ = 4π J µ homogene Maxwellgleihungen: λ F νµ + ν F µλ + µ F λν = 0 inhomogene Maxwellgleihungen: µ F νµ = 4π J ν Relativistishe Mehanik Kontravariante Größe Kovariante Größe Viererkraftdihte f µ v = k, ) v k f µ = k, ) k Viererkraft F µ v = γ K, K ) F µ v = γ K, K ) ) Energie-Impuls-Tensor T νµ = 4π g λσ F σν F λµ 4 gµν F λσ F λσ Bewegungsgleihung: m 0 duµ dτ = F µ mit Eigenzeit dτ = dt γ und Vierergeshwindigkeit uµ = γ, v) Viererkraftdihte: f ν = J µ F µν = µ T νµ liefert Energiebilanz für ν = 0) Transformation von Feldern Das Bezugssystem Σ bewege sih gegen das Bezugssystem Σ mit v Transformation von Feldkomponenten parallel zu v: E = E und B = B Transformation von Feldkomponenten senkreht zu v: E γ = E + v B ) und B γ = B v E ) Matrixdarstellungen F µν = F µν = 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x T µν = E z B y B x 0 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x T µν = E z B y B x 0 Die Größen in den Matrizen sind alle wie auf den vorhergehenden Seiten w S x S y S z S x T xx T xy T xz S y T yx T yy T yz S z T zx T zy T zz w S x S y S z S x T xx T xy T xz S y T yx T yy T yz S z T zx T zy T zz

8 AGeS-Kompendium Zeitabhängige elektromagnetishe Felder Seite 8 Retardierte Potentiale skalares Potential: ϕ r, t) = d 3 r ϱ «r,t r r r r «Vektorpotential: A r, t) = d 3 r j r,t r r r r Multipolentwiklung eines Strahlungsfeldes Gegeben sei eine lokalisierte Strom- und Ladungsverteilung um r = 0 mit weit entferntem Beobahter [ )] Skalarpotential: ϕ r, t) = div r pt ) + mt ) e r + q t ) e r + onst r) Vektorpotential: A r, t) = r pt ) + mt ) ) e r + q t ) e r mit t = t r [ magnetishes Feld: B r, ) ) ] t) = 2 r pt ) e r e r + e r mt ) + 3 Qt ) e r e r e r [ elektrishes Feld: E r, ) )] t) = 2 r pt ) e r + mt ) e r e r + 3 Qt ) e r e r Zusammenhang zwishen den Feldern: E = e r B und B = E e r Liénard-Wiehert-Potentiale Eine Punktladung q bewege sih auf der Bahnkurve r q t) mit der Geshwindigkeit v q t) = d dt r qt) Es werden die Abkürzungen Rt) = r r q t) und t = t Rt ) verwendet Potentiale: ϕ r, t) = q Rt ) Rt ) v qt ) und A r, t) = Felder: B r, Rt t) = ) Rt ) E r, t) und E r, t) = q [ ) ) vqt ) 2 Rt ) ) vqt Rt ) 2 + Rt ) 2 q v qt ) Rt ) Rt ) v qt ) [ Rt ) vqt ) Rt 3 )] [ Rt ) ) vqt Rt ) ) v q t ) ]]

9 AGeS-Kompendium Elektrodynamik in Materie Seite 9 Materialgrößen Polarisation: P = χ e E mit elektrisher Suszeptibilität χ e dielektrishe Vershiebung: D = E + 4π P = ε E mit Dielektrizitätskonstante ε = + 4π χ e Magnetisierung: M = χ m H mit magnetisher Suszeptibilität χ m Magnetfeld: H mit B = H + 4π M = µ H mit Permeabilität µ = + 4π χ m Leitfähigkeit: σ mit j = σ E niht für Supraleiter) Maxwellgleihungen in Materie rot E = B t Faradayshes Induktionsgesetz div D = 4π ϱ Gaußshes Durhflutungsgesetz rot H = D t + 4π j Durhflutungsgesetz von Oersted und Ampère div B = 0 Ausshluss magnetisher Monopole Wihtige Folgerungen Dispersionsrelation für Wellen: ω = ε µ k Feld eines Permanentmagneten: H = grad φ mit φ = d3 r div M r ) r r = SV ) d f M r ) r r V d3 r div M r ) r r Energiebilanz: div S + t w el + w magn ) = σ E 2 Hierbei sind S = 4π E H der Poynting-Vektor w el = ε 8π E 2 die elektrishe Feldenergie w magn = µ 8π H 2 die magnetishe Feldenergie Grenzbedingungen An der Grenzflähe Flähennormale n, beliebige Tangente t) zwishen zwei Materialien gilt: n D2 D ) = 4π ϱ F Die Normalkomponenten des D-Feldes sind unstetig t E2 E ) = 0 Die Tangentialkomponenten des E-Feldes sind stetig n B2 B ) = 0 Die Normalkomponenten des B-Feldes sind stetig t H2 H ) = 4π j F t Die Tangentialkomponenten des H-Feldes sind unstetig Hierbei sind ϱ F und j F die Flähenladungs- bzw Flähenstromdihte auf der Oberflähe

10 AGeS-Kompendium Stromkreise Seite 0 Bauteilparameter Widerstand eines Leiters: R = l σ A Länge l, Quershnitt A) elektromotorishe Kraft einer Stromquelle: ε = + E e) d r Integral der eingeprägten Kraft der Quelle) ) Ohmshes Gesetz bei Anwesenheit von Stromquellen: j = σ E + E e) Sätze für Stromkreise Ein Stromkreisnetzwerk enthalte nur Stromquellen und Widerstände Knotensatz: I = 0 Mashensatz: R I = ε Energiesatz: R I 2 = ε I Kapazität Kapazität eines Leiters: C = Q ϕ 0 ϕ 0 auf der Leiteroberflähe) Kapazitätskoeffizienten eines Systems von Leitern: Q α = β C αβ ϕ β Kapazität eines Kondensators: C = Q ϕ ϕ 2 elektrishe Energie: W el = 2 α,β C αβ ϕ α ϕ β Q auf einem der beiden Leiter, ϕ i auf den Leiteroberflähen)