a) Zeigen Sie, dass es sich um ein Orthonormalsystem handelt und diskutieren Sie die geraden und ungeraden Anteile.

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1 Elektromagnetische Wellen Wintersemester 2016/2017 Prof. Thomas Mussenbrock ID 1/131 Website: Übungsaufgaben Aufgabe 1 Diskutieren Sie den Helmholtz-Zerlegungssatz. Aufgabe 2 a) Zeigen Sie, dass gilt δ(x) = lim d l (x x 0 ), wobei d l (x) = 1 ( exp x2 l 0 2πl 2 2l 2 1 b) Zeigen Sie weiterhin, dass gilt δ(x) = lim exp l 0 2π Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass gilt 2 1 r r = 4πδ( r r ). Aufgabe 4 ( l2 k 2 Geben Sie die Fourier-Reihe der periodischen Funktion f(x) = Sie dazu die entsprechenden Fourier-Koeffizienten. Aufgabe 5 2 ). ) exp (ixk) dk. p= δ(x 2πp) an. Berechnen Analysieren Sie das Funktionensystem U n (x) = 1 π cos(nx) für n = 1, 2, 3,..., U 0 (x) = 1 2π für n = 0 und V n (x) = 1 π sin(nx) für n = 1, 2, 3,... im Intervall π x π. a) Zeigen Sie, dass es sich um ein Orthonormalsystem handelt und diskutieren Sie die geraden und ungeraden Anteile. b) Wie müssen die Koeffizienten a n und b n gewählt werden, um eine beliebige Funktion f(x) im gegebenen Intervall durch f(x) = a 0 U 0 + n=1 a nu n (x) + b n V n (x) auszudrücken? c) Diskutieren Sie eine Verallgemeinerung auf das Intervall d/2 x d/2. Aufgabe 6 Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen gelten: a) V = 0 b) ( A B) = A B A B + B A B A c) V V = 2 V d) (f g) = f g + g f e) (f g) = f g g f

2 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 2 Aufgabe 7 Gegeben sind die drei nicht komplanaren Vektoren a, b und c für die also gilt a ( b c) 0. Zeigen Sie, dass dann die drei reziproken Vektoren auch nicht komplanar sind und dass gilt: a) a a = b b = c c = 1 a = b c a ( b c), b c a = a ( b c), c = a b a ( b c) b) a b = a c = b a = b c = c a = c b = 0 c) Wenn a ( b c) V, dann a ( b c ) 1/V Aufgabe 8 Gegeben seien die allgemeinen Koordinaten q 1, q 2 und q 3. Zeigen Sie, dass r/ q 1, r/ q 2, r/ q 3 und q 1, q 2, q 3 zwei reziproke Systeme von Vektoren bilden und dass { ( r r r )} { q 1 ( q 2 q 3 )} = 1. q 1 q 2 q 3 Aufgabe 9 Gegeben seien die allgemeinen Koordinaten q 1, q 2 und q 3 und eine beliebige Funktion φ(q 1, q 2, q 3 ). Geben Sie den Gradienten φ in der allgemeinen Basis e qi an. Aufgabe 10 Gegeben seien die allgemeinen Koordinaten q 1, q 2 und q 3 und ein beliebiges Vektorfeld A(q 1, q 2, q 3 ). Geben Sie die Divergenz A in den allgemeinen Koordinaten q i an. Aufgabe 11 Gegeben seien die allgemeinen Koordinaten q 1, q 2 und q 3 und ein beliebiges Vektorfeld A(q 1, q 2, q 3 ). Geben Sie die Rotation A in der allgemeinen Basis e qi an. Aufgabe 12 Gegeben seien die allgemeinen Koordinaten q 1, q 2 und q 3 und eine beliebige Funktion ψ(q 1, q 2, q 3 ). Geben Sie den Deltaoperator ψ = 2 ψ = ψ in den allgemeinen Koordinaten q i an.

3 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 3 Aufgabe 13 Die zylindrischen Koordinaten q i sind definiert durch die Transformation x = q 1 cos q 2, y = q 1 sin q 2, z = q 3. Die Koordinaten sind definiert im Bereich q 1 0, 0 q 2 < 2π und < q 3 <. a) Skizzieren Sie die Koordinatenlinien für q 1 = konst. und q 2 = konst. in der xy-ebene. b) Zeigen Sie, dass die Transformation eine orthogonale Transformation ist. c) Berechnen Sie die Lamé-Koeffizienten h i = r q i und drücken Sie die Basis ( e 1, e 2, e 3 ) durch die kartesische Basis ( e x, e y, e z ) aus. d) Zeigen Sie, dass die krummlinige Basis ( e 1, e 2, e 3 ) eine orthonormale Basis ist. Aufgabe 14 Die sphärischen Koordinaten q i sind definiert durch die Transformation x = q 1 cos q 2 sin q 3, y = q 1 sin q 2 sin q 3, z = q 1 cos q 3. Die Koordinaten sind definiert im Bereich q 1 0, 0 q 2 < 2π und 0 q 3 π. a) Skizzieren Sie die Koordinatenlinien für q 1 = konst. und q 2 = konst. in der xy-ebene. b) Zeigen Sie, dass die Transformation eine orthogonale Transformation ist. c) Berechnen Sie die Lamé-Koeffizienten h i = r q i und drücken Sie die Basis ( e 1, e 2, e 3 ) durch die kartesische Basis ( e x, e y, e z ) aus. d) Zeigen Sie, dass die krummlinige Basis ( e 1, e 2, e 3 ) eine orthonormale Basis ist. Aufgabe 15 Die elliptisch zylindrischen Koordinaten q i sind definiert durch die Transformation x = q 1 q 2, y = (q1 2 l2 )(1 q2 2), z = q 3. l > 0 ist ein Parameter für die Transformation. Die Koordinaten sind definiert im Bereich q 1 l > 0, q 2 1 und q 3 <. a) Skizzieren Sie die Koordinatenlinien für q 1 = konst. und q 2 = konst. in der xy-ebene. b) Zeigen Sie, dass die Transformation eine orthogonale Transformation ist. c) Berechnen Sie die Lamé-Koeffizienten h i = r q i und drücken Sie die Basis ( e 1, e 2, e 3 ) durch die kartesische Basis ( e x, e y, e z ) aus. d) Zeigen Sie, dass die krummlinige Basis ( e 1, e 2, e 3 ) eine orthonormale Basis ist.

4 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 4 Aufgabe 16 Leiten Sie das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen her. Aufgabe 17 Gegeben ist eine Kugelschale mit dem Radius r 0. Die obere Hälfte liegt auf dem Potential V 0 und die untere Schale liegt auf dem Potential V 0. Berechnen Sie das Potential im Innern der Schale sowie im Außenraum. Berechnen Sie außerdem die Oberflächenladungsdichte auf der oberen Halbkugelschale. Aufgabe 18 Berechnen Sie das Magnetfeld B(r) eines unendlich langen, dünnen Drahtes, der von einem Gleichstrom I durchflossen wird, indem Sie a) das Biot-Savart-Integral auswerten. b) das Vektorpotential direkt auswerten. Aufgabe 19 Berechnen Sie das Vektorpotential A( r) sowie das Magnetfeld B( r) einer unendlich dünnen Kreisschleife mit dem Radius R 0, die von einem Gleichstrom I durchflossen wird. Aufgabe 20 Zeigen Sie, dass für die Zeitableitung eines Flussintegrals der folgende Ausdruck gilt: [ d B B d s = ( dt S(t) S(t) t + B ) ( v v B) ] d s Aufgabe 21 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen für Vakuum mit Quellen jeweils eine Wellengleichung für das elektrische Feld E und das magnetische Feld B her und diskutieren Sie den d Alembert- Operator.

5 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 5 Aufgabe 22 Nehmen Sie an, dass Φ und A die Bedingungen der Lorenz-Eichung erfüllen. a) Welcher Gleichung muss χ genügen, damit Φ = Φ χ t erfüllt wie Φ? dieselbe inhomogene Wellengleichung b) Welcher Gleichung muss χ genügen, damit A = A+ χ dieselbe inhomogene Wellengleichung erfüllt wie A? c) Welche Gleichung muss χ erfüllen, so dass A = A+ χ und Φ = Φ χ t sind, die die Bedingungen der Lorenz-Eichung erfüllen? ebenfalls Potentiale Aufgabe 23 Zeigen Sie, dass man die Lösung der elektrodynamischen Potentiale auf die Lösung einer einzigen skalaren Wellengleichung zurückführen kann. Machen Sie hierzu den Ansatz A( r, t) = u( r, t) s. Dabei ist s ein beliebiger, aber konstanter Vektor. Aufgabe 24 Als Zwischenergebnis bei der Berechnung der Green-Funktion zur Wellengleichung findet man mit τ = t t und R = r r den bereichsweise definierten Ausdruck { G( R, 0 für τ < 0 τ) = c 1 2π 2 k sin(ckτ)ei k R d 3 k für τ > 0. Zeigen Sie, dass die Integration dieses Ausdrucks führt auf: ( ) G( R, δ t t r r c τ) = r r Aufgabe 25 Diskutieren Sie allgemein die d Alembert-Lösungen zur Wellengleichung. Aufgabe 26 Zeigen Sie, dass der Ausdruck E( r, t) = 1 (2π) 4 Ê( k, ω)e i( k r ωt) dωd 3 k (1) eine Lösung der Wellengleichung für das elektrische Feld im Vakuum ist. Nutzen Sie hierzu die d Alembert-Lösungen. Aufgabe 27 Leiten Sie die Randbedingungen für elektrische und magnetische Felder am Übergang zweier unterschiedlicher Medien her. Aufgabe 28 Berechnen Sie zur Ladungsdichte ρ( r, t) = N k=1 q kδ( r r k (t)) die Stromdichte j so, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist.

6 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 6 Aufgabe 29 Die magnetostatische Gleichung B = µ 0 j ist nicht konsistent mit der Kontinuitätsgleichung für den Fall, dass die Ladungsdichte von der Zeit abhängt. Zeigen Sie, dass Konsistenz erreicht werden kann durch B ( ) = µ 0 j + j D und geben Sie einen sinnvollen Ausdruck für j D an. Aufgabe 30 Machen Sie sich noch einmal den aus der Mechanik stammenden Begriff Drehimpuls klar. Aufgabe 31 Gegeben ist ein Plattenkondensator. Das elektrische Feld zwischen den Elektroden ist durch E = E e z gegeben. Berechnen Sie die Kraft, die pro Flächenelement zwischen den Elektroden wirkt. Aufgabe 32 Zeigen Sie, dass die beiden Felder E( r, t) = E ( k r ckt) und B( r, t) = 1 c e k E ( r, t) alle vier Maxwell-Gleichungen erfüllen. Aufgabe 33 Zeigen Sie, dass mit E( r, t) = Ee i( k r ωt) und B( r, t) = Be i( k r ωt) für die elektromagnetische Energiedichte der folgende Zusammenhang gilt: Aufgabe 34 u em = 1 ( 2 ɛ E 2 + c 2 B 2) = 1 4 ɛ ( E E + c 2 B B ) ɛ Re [( E E + c 2 B B ) e 2i( k r ωt) ] Betrachten Sie eine monochromatische ebene Welle in einem unbegrenzten, isotropen, homogenen und nicht-leitenden Medium. Leiten Sie die folgenden Ausdrücke her: a) S = 1 [ 2 Re E H ] = 1 ɛ E 2 µ 2 n b) u em = 1 (ɛ E 4 E + 1µ ) B B = ɛ E 2 2 Aufgabe 35 Das elektrische Feld einer sogenannten evaneszenten Welle ist gegeben durch E = e y E 0 e i(hz ωt) κx a) Wie hängen die Parameter h, κ und ω zusammen? b) Berechnen Sie das zugehörige magnetische Feld. c) Unter welchen Bedingungen ist das magnetische Feld fast zirkular polarisiert? d) Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor.

7 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 7 Aufgabe 36 Eine ebene Welle ist gegeben durch die Phasoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke ( E = e x E 1 + e y E 2 e iψ) e ikz H = 1 ) ( e x E 2 e iψ + e y E 1 e ikz Z wobei Z der Feldwellenwiderstand und ψ die Phasenverschiebung zwischen der x- und der y- Komponente ist. a) Zeigen Sie, dass die durch die beiden Phasoren definierte ebene Welle die Maxwell-Gleichungen erfüllt. b) Skizzieren Sie die Ortskurve und identifizieren Sie den Polarisationszustand der Welle für die folgenden Parameter: i) E 1 = 1, E 2 = 2, ψ = 0, ii) E 1 = 1, E 2 = 2, ψ = π, iii) E 1 = 1, E 2 = 1, ψ = π/2, iv) E 1 = 1, E 2 = 2, ψ = π/2 und v) E 1 = 1, E 2 = 1, ψ = π/4. Aufgabe 37 Eine zirkular polarisierte Welle mit E 1 breitet sich in positive z-richtung aus und wird an der Stelle z = 0 reflektiert. Bei der reflektierten Welle handelt es sich ebenfalls um eine zirkular polarisierte Welle mit E 1. Der Phasor des gesamten elektrischen Feldes ist gegeben durch E = ( e x + i e y )E 1 e ikz + ( e x ± i e y )E 1e ikz a) Berechnen Sie die komplexen Poynting-Vektor für beide Fälle. b) Welche Wellenwiderstände muss die einfallende Wellen sehen, um die beiden reflektierten Wellen zu erzeugen? Aufgabe 38 Berechnen und beschreiben Sie das elektromagnetische Feld, das zu der Superposition zweier monochromatischer ebener Wellen gleicher Amplitude gehört, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. a) Die Welle, die sich in positive z-richtung ausbreitet, ist links-zirkular polarisiert. Die andere Wellen ist rechts-zirkular polarisiert. b) Beide Wellen sind links-zirkular polarisiert. Aufgabe 39 Zeigen Sie, dass eine beliebig elliptisch polarisierte ebene Welle dargestellt werden kann durch die Überlagerung zweier gegensinnig zirkular polarisierter ebener Wellen. Aufgabe 40 Diskutieren Sie das Zerfließen eines Wellenpakets beim Durchgang durch ein dispersives Medium.

8 Aufgaben, Elektromagnetische Wellen, WS 2016/2017, Prof. T. Mussenbrock 8 Aufgabe 41 a) Betrachten Sie einen einzelnen, zylindrischen Hohlleiter mit unendlicher Leitfähigkeit. Leiten Sie einen Ausdruck für die sogenannten Cutoff-Frequenz ω λ her und skizzieren Sie die Abhängigkeit der Wellenzahl k λ als Funktion der Frequenz ω für die verschiedenen Moden λ. b) Betrachten Sie nun einen rechteckigen Hohlleiter. Berechnen Sie die Moden, welche innerhalb des Wellenleiters angeregt werden (beziehungsweise sich ausbreiten) können. c) Leiten Sie einen Ausdruck für den Energiefluss und die Dämpfung innerhalb eines Wellenleiters her. d) Berechnen Sie die Moden, welche in zylindrischen Hohlraumresonatoren schwingfähig sind. Aufgabe 42 Entwickeln Sie das Coulomb-Integral nach Multipolen. Aufgabe 43 Berechnen explizite Ausdrücke für die Multipolmomente einer lokalisierten Ladungsverteilung bis zur Ordnung l = 2. Berechnen Sie außerdem die entsprechenden elektrostatischen Potentiale und Felder. Aufgabe 44 a) Berechnen Sie explizit das elektrische und magnetische Feld eines strahlenden Dipols sowohl in Nahfeld- als auch in Fernfeldnäherungen. b) Berechnen Sie die Gesamtstrahlungsleistung sowie die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung einer Linearantenne mit symmetrischer Speisung.