Spezielle Relativitätstheorie

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1 Spezielle Relativitätstheorie Skript zur Vorlesung von Apl. Prof. Jörg Main Berbeitung von Sebastian Boblest Vorläufige Version SS Institut für Theoretishe Physik Universität Stuttgart Pfaffenwaldring Stuttgart Korrekturen und Verbesserungsvorshläge bitte an:

2 Inhaltsverzeihnis Inhaltsverzeihnis 1 Einführung Newtonshe Mehanik Elektrodynamik Transformationsverhalten der Maxwellgleihungen Möglihkeit Möglihkeit Die Lorentz-Transformation Bemerkungen Definitionen und Shreibweisen in der SRT Matrixdarstellung von Lorentz-Transformationen Spezielle Lorentz-Transformationen Verknüpfung von Lorentz-Transformationen Lorentz-Transformationen und klassishe Mehanik Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe Bewegte Uhren: Zeitdilatation Beispiel: Bewegte Elementarteilhen Verlust der Gleihzeitigkeit Das Addititionstheorem der Geshwindigkeit Raum-Zeit-Diagramme Paradoxa der SRT Das Stab-Rahmen-Paradoxon Betrahtung im System K Betrahtung im System K Fazit Das Uhren-Paradoxon Erklärung Zwillingsparadoxon Lösung Mathematisher Formalismus der SRT Der Minkowski-Raum Definition des Minkowski-Raumes Definition der Lorentz-Transformationen Kontra- und kovariante Vektoren Definition des kontravarianten Vierervektors Definition des kovarianten Vierervektors i

3 Inhaltsverzeihnis Transformationsverhalten der Differentiale und Koordinatenableitungen Lorentz-Skalare Tensoralgebra Definition von Tensoren ) Multilinearität ) Indexshreibweise ) Tensorprodukt ) Tensorverjüngung (Kontraktion) ) Tensor-Transformationen ) Lorentz-Tensoren ) Das Differential der Eigenzeit Relativistishe Mehanik Vierer-Geshwindigkeit Vierer-Beshleunigung Vierer-Impuls Vierer-Kraft Beshreibung der kräftefreien Bewegung Konstant beshleunigte Rakete ) Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleihungen ) Betrahtung der Eigenzeit Relativistishe Energie ) Photonen ) Stöße Äquivalenz von Masse und Energie Konsequenzen der Äquivalenz von Masse und Energie Beispiele Drehimpulstensor und Drehmoment Klassisher Drehimpuls Kovarianter Drehimpuls und Drehmoment Relativistishe Erhaltungssätze Kovariante Formulierung der Elektrodynamik Grundlagen der klassishen Elektrodynamik Die homogenen Maxwellgleihungen Die inhomogenen Maxwellgleihungen Beispiel: Spezielle Lorentz-Transformation in x-rihtung Lorentz-Tensoren 2. Stufe in der Elektrodynamik Der Feldstärketensor ) Der kontravariante Feldstärketensor ) Shlussfolgerungen ii

4 Inhaltsverzeihnis 6.3 Kovariante Form der Erregungsgleihungen Kovariante Form der inneren Feldgleihungen Der duale Feldstärketensor Formulierung der inneren Feldgleihungen Kovariante Form der Lorentz-Kraft Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetishen Feldes Klassishe Energiegrößen der Elektrodynamik Einführung des Energie-Impuls-Tensors Interpretation des Energie-Impuls-Tensors Der relativistishe Doppler-Effekt Elektromagnetishe Wellen im Vakuum Transformation in ein bewegtes Bezugsystem Der longitudinale Doppler-Effekt Der transversale Doppler-Effekt Literaturverzeihnis 63 iii

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6 1 Einführung Die fundamentalsten Begriffe in der Physik sind wohl Raum und Zeit. 3 Raum- und 1 Zeitdimension sind uns vertraut. Unsere (klassishe) Vorstellung ist die folgende: Jeder Raumpunkt ist beshreibbar durh Koordinaten (x,y,z) R 3 in einem beliebig gewählten Koordinatensystem. Jeder Zeitpunkt ist beshreibbar durh die Zeit t relativ zu einem beliebig gewählten Zeitnullpunkt (z.b. Greenwihzeit). In dieser Raumzeit werden wihtige physikalishe Theorien formuliert, z.b. die Newtonshe Mehanik und die Elektrodynamik. 1.1 Newtonshe Mehanik Für die Bewegung eines Punktteilhens mit Masse m gilt F = m a = mẍ bzw. ẍ(t) = 1 F (x,t). (1.1) m Aus dieser Differentialgleihung ergibt sih die Bahnkurve des Teilhens. Nah dem klassishen Verständnis von Raum und Zeit gelten die Gesetze der (Newtonshen) Mehanik in jedem Inertialsystem ( = unbeshleunigtes System). Ein Wehsel des Inertialsystems in ein mit der Geshwindigkeit v bewegtes System erfolgt über die Umrehnung x x = x v t (1.2) Die allgemeinst möglihe Transformation zwishen Inertialsystemen heißt Galilei-Transformation mit der Gleihung x = D x v t x 0 t = t t 0. (1.3) Dabei bezeihnet D eine orthogonale Drehmatrix, v die Relativgeshwindigkeit zwishen den Inertialsystemen und x 0, t 0 sind Vershiebungen des Raum- und Zeitursprungs. Mit den jeweils drei freien Parametern von D, x 0 und v und dem einen Parameter von t 0 ergeben sih insgesamt 10 Parameter für eine allgemeine Galileo-Transformation. Die Menge der Galilei-Transformationen bildet daher ein 10-parametrige Gruppe. 1

7 1 Einführung Die klassishe Mehanik ist invariant unter Galilei-Transformation. 1.2 Elektrodynamik Grundgleihungen der Elektrodynamik sind die Maxwellshen Gleihungen: 1 µ 0 B ε 0 Ė = j, E + Ḃ = 0, E = 1 ε 0 ϱ, B = 0 (1.4) Die Maxwellshen Gleihungen sind ein Differentialgleihungssystem zur Bestimmung der elektrishen und magnetishen Felder E(x,t) und B(x,t) bei gegebener Verteilung der elektrishen Ladungen ϱ(x,t) und Ströme j(x,t). Möglihe Lösungen sind statishe Felder (Elektro-, Magnetostatik) oder elektromagnetishe Wellen, die sih im Vakuum mit der Lihtgeshwindigkeit = 1 ε0 µ 0 = m s (1.5) ausbreiten Transformationsverhalten der Maxwellgleihungen Die Maxwellshen Gleihungen sind niht invariant unter Galilei-Transformationen. Um dies klar zu mahen betrahten wir die Ausbreitung einer ebenen Welle in x- Rihtung. In einem bewegten System mit x = x v e x t breitet sih die Welle mit der Geshwindigkeit = + v aus. Diese Welle mit Geshwindigkeit ist keine Lösung der Maxwellshen Gleihungen. Es sind zwei möglihe Konsequenzen dieser Feststellung denkbar. Möglihkeit 1 Die Maxwellshen Gleihungen gelten niht in beliebigen, sondern nur in einem ausgezeihneten Inertialsystem, dem so genannten Weltäther. Experimente zeigen: Es gibt keinen Weltäther. Die Maxwellshen Gleihungen gelten in jedem Inertialsystem. Die Vakuumlihtgeshwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleih. Diese Möglihkeit kann daher ausgeshlossen werden! 2

8 1.2 Elektrodynamik Möglihkeit 2 Die Maxwellshen Gleihungen gelten in allen Inertialsystemen, aber der Wehsel zwishen Inertialsystemen erfolgt niht über die Galilei-Transformation! Die Lorentz-Transformation Vor Einstein war bereits bekannt, dass die Maxwellshen Gleihungen invariant unter Lorentz-Transformationen sind. Wir wollen im Folgenden eine Herleitung, bzw. eine Motivation der Lorentz-Transformation geben. Wir gehen aus von einem Spezialfall der Galilei-Transformation mit D = 1, v = ve x, x 0 = 0, t 0 = 0, also x = x vt, y = y, z = z, t = t. (1.6) Wir betrahten einen im Raum-Zeit-Ursprung (x = 0, t = 0) startenden Lihtstrahl. Es muss gelten: x 2 + y 2 + z 2 = 2 t 2 und x 2 + y 2 + z 2 = 2 t 2, (1.7) also x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = 0 = x 2 + y 2 + z 2 2 t 2. (1.8) Dagegen führt die Galilei-Transformation führt auf (x vt) 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 2xvt + v 2 t 2. (1.9) Der Term 2xvt + v 2 t 2 soll jetzt durh eine Transformation der Zeit beseitigt werden. Dazu werden wir zwei Ansätze ausprobieren. 1.Ansatz: Einsetzen führt auf x = x vt, y = y, z = z, t = t α. (1.10) x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 2xvt + v 2 t 2 + 2αt 2 2 α 2 2 t 2 ) ) = (1 v2 x 2 + y 2 + z 2 + (1 v2 2 t 2. 2 Dabei wurde in der letzten Zeile α = xv gesetzt. Die Faktoren 2 störend. Der Ansatz führt also niht zum gewünshten Ergebnis. 2.Ansatz: x = 1 (x vt), y = y, z = z, t = 1 v v2 2 ( )(1.11) 1 v2 sind 2 ( t xv 2 ). (1.12) 3

9 1 Einführung Einsetzen liefert das gewünshte Ergebnis x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 t 2. (1.13) Wir haben in Gleihung (1.12) die spezielle Lorentz-Transformation für v = ve x eingeführt. Bemerkungen 1. Für v geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über. 2. Die Größe s 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 ist invariant unter Lorentz-Transformation. 3. Die Formeln für die spezielle Lorentz-Transformation gelten analog auh für v = ve y und v = ve z. 4. Die Maxwellshen Gleihungen sind, wie bereits erwähnt, invariant unter der Lorentz- Transformation. In der Notation wie in Gleihung 1.4 wird diese Invarianz niht deutlih. Die Gleihungen lassen sih aber auf eine mathematish sehr elegante Form bringen, die kovariante Formulierung der Elektrodynamik, bei der die Lorentz-Invarianz klar zu erkennen ist. 4

10 2 Definitionen und Shreibweisen in der SRT 2.1 Matrixdarstellung von Lorentz-Transformationen Im Folgenden werden wir die folgenden Abkürzungen verwenden: β Def. = v, γ Def. = 1 = 1 v β 2. (2.1) Des Weiteren werden wir von nun an Ort und Zeit zur 4-dim. Raum-Zeit zusammenfassen: x 0 = t x 1 = x x 2 x µ R 4. (2.2) = y x 3 = z Dabei bezeihnet man x µ als Vierervektor und es gilt µ {0,1,2,3}. Die spezielle Lorentz- Tranformation in x-rihtung ergibt in dieser Shreibweise x 0 = γ(x 0 βx 1 ), x 1 = γ(x 1 βx 0 ), x 2 = x 2, x 3 = x 3. (2.3) Die Lorentz-Transformation ist also eine lineare Transformation in den Raum-Zeit- Koordinaten. In Matrix-Shreibweise ergibt sih x 0 x 1 x 2 x 3 = γ βγ 0 0 βγ γ x 0 x 1 x 2 x 3 Def. = Λ x 0 x 1 x 2 x 3, (2.4) bzw. in Kurzshreibung (x µ ) = Λ x µ. (2.5) 5

11 2 Definitionen und Shreibweisen in der SRT Spezielle Lorentz-Transformationen Sonderfälle der Lorentz-Transformationen sind die Boosts Λ x, Λ y und Λ z in x-, y- und z-rihtung, sowie reine Drehungen Λ R : γ βγ 0 0 γ 0 βγ 0 Λ x = βγ γ , Λ y = βγ 0 γ 0, (2.6) γ 0 0 βγ Λ z = , Λ R = 0 0 D, βγ 0 0 γ 0 mit einer Drehmatrix D, für die gilt D T D = DD T = Verknüpfung von Lorentz-Transformationen Lorentz-Transformationen lassen sih miteinander verknüpfen. Seien Λ 1,Λ 2,...,Λ n Lorentz- Transformationen, dann ist auh Λ = Λ 1 Λ 2... Λ n (2.7) eine Lorentz-Transformation, wobei die normale Matrixmultiplikation ist. Als Beispiel betrahten wir hier die Verknüpfung einer Drehung mit einem Boost und anshließender Rükdrehung, d.h. die Form D 1 ΛD: γ βγ Λ = 0 vx vy 0 v v 0 vy v xv 0 βγ γ v 0 xv v y 0 v 0 vy v xv 0 v v (2.8) γ βγ vx βγ vy 0 v v βγ vx 1 + (1 γ) v2 x = v v 2 (γ 1) vxvy 0 v 2 βγ vy (γ 1) vxvy 1 + (1 γ) v2 y 0. v v 2 v

12 2.2 Lorentz-Transformationen und klassishe Mehanik 2.2 Lorentz-Transformationen und klassishe Mehanik Aus den bisherigen Bemerkungen könnte man folgern, dass sih die klassishe Mehanik nah der Galilei-Transformation und die Elektrodynamik nah der Lorentz-Tranformation transformiert. Einsteins Verdienst war es zu erkennen, dass die Lorentz-Transformationen niht auf die Elektrodynamik beshränkt sind, sondern eine allgemeine Eigenshaft von Raum und Zeit darstellen. Die (mit der Galilei-Transformation verbundenen) uns vertrauten Eigenshaften von Raum und Zeit (z.b. Existenz einer absoluten Zeit) gelten in der Relativitätstheorie niht mehr. 7

13 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation 3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe Wir betrahten zwei Koordinatensysteme K und K, die sih relativ zueinander mit der Geshwindigkeit v = ve x bewegen und eine Streke parallel zur x-ahse zwishen zwei Punkten A und B, die in K ruhen, siehe Abbildung 3.1. Für die x-koordinaten der Punkte ergibt sih t K t v K l x l /γ x Abbildung 3.1: Zur Lorentz-Kontraktion: Der Stab mit Länge l im System K ersheint im unbewegten System K mit der verkürzten Länge l. x A = 0 LT = γ(x A vt) also x A (t) = vt, x B = l LT = γ(x B vt) also x B (t) = 1 γ l + vt. (3.1) In K ergibt sih der Abstand zwishen beiden Punkten zu l = x B (t) x A (t) = 1 γ l = 1 v2 2 l < l (3.2) 8

14 3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe für v 0. Diese Ersheinung heißt Längenkontraktion: Bewegte Objekte ersheinen in Bewegungsrihtung um den Faktor 1 = 1 v2 verkürzt. γ Bewegte Uhren: Zeitdilatation Wir positionieren zwei baugleihe Uhren in den Koordinatenursprüngen von K und K. Die in K ruhende Uhr zeigt die Zeit t am Ort x = 0. Im System K bewegt sih diese Uhr mit Geshwindigkeit v. Wir rehnen die Koordinaten wieder ins System K um: x = 0 LT = γ(x vt) also x(t) = vt und damit t LT = γ (t v ) ) x = γ (t v2 2 t = 1 v2 2 t = 1 v2 2 1 t < t (3.3) 2 v2 2 für v 0. Diese Ersheinung heißt Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer. Beispiel: Bewegte Elementarteilhen Viele Elementarteilhen haben (in ihrem Ruhesystem) eine kurze mittlere Lebensdauer, etwa Myonen µ mit τ s. Ohne Zeitdilatation ergäbe sih daraus eine mittlere Reihweite von maximal τ 600 m. Mit Zeitdilatation dagegen erhält man eine mittlere Reihweite von maximal γτ 6000 m bei v = 0,995. Im Teilhenbeshleuniger haben kurzlebige Teilhen daher eine lange Lebensdauer. Dieser Effekt spielt beim Zwillingsparadoxon eine wihtige Rolle Verlust der Gleihzeitigkeit Wir betrahten zwei Systeme K und K. In K mögen zwei Ereignisse gleihzeitig stattfinden. Ein Ereignis ist dabei gegeben durh Ort und Zeit, d.h. alle vier Komponenten eines Vierervektors x µ : P 1 : (x 1,t ), P 2 : (x 2, t ), mit x 1 x 2. (3.4) Uns interessieren die Zeitkoordinaten in K. Aus der Lorentz-Transformation ergibt sih ( LT! = γ t 1 v ) ( x 2 1 = γ t 2 v ) x 2 2. (3.5) t (1,2) 9

15 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation Mit x 1 x 2 LT = γ (x 1 vt 1 ) und daher x 1 = 1 γ x 1 + vt 1 und genauso LT = γ (x 2 vt 2 ), d.h. x 2 = 1 γ x 2 + vt 2 (3.6) folgt t = γt 1 v 2 x 1 γ v2 2 t 1 = 1 γ t 1 v 2 x 1 = 1 γ t 1 v 2 x 2. (3.7) Durh inverse Lorentz-Transformation folgt shließlih: t 1 = γ ( ) } t + v x 2 1 t 2 = γ ( ) t + v x also t 2 t 1 = γ v (x 2 x 1) 0. (3.8) Dabei ist die inverse Lorentz-Transformation in x-rihtung gegeben durh x = (x + vt ), t = γ (t + v ) x, y = y, z = z, (3.9) 2 bzw. in Matrixshreibweise Λ 1 = γ βγ 0 0 βγ γ (3.10) Das Addititionstheorem der Geshwindigkeit t t t K K K v 1 (K, K ) v 2 (K, K ) v 3 (K, K ) x Abbildung 3.2: Zum Geshwindigkeits-Additionstheorem: Gesuht ist die Geshwindigkeit v 3 des Systems K relativ zum System K in Abhängigkeit von den Geshwindigkeiten v 1 von K relativ zu K und v 2 von K relativ zu K. Gegeben seien drei Koordinatensysteme K, K und K, die sih relativ zueinander mit x x 10

16 3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe Geshwindigkeiten parallel zur x-ahse bewegen, siehe Abbildung 3.2. Zu klären ist jetzt, wie sih das System K relativ zum System K bewegt. Laut Galilei-Transformation ergäbe sih einfah v 3 = v 1 + v 2. In der SRT dagegen gilt Λ 3 = Λ 2 Λ 1. Diese Bedingung ergibt für die relevanten Koordinaten ( ) ( ) γ2 β Λ 3 = 2 γ 2 γ1 β 1 γ 1 = β 2 γ 2 γ 2 β 1 γ 1 γ 1 ( γ1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) Daraus lässt sih der Zusammenhang γ 3 = γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) = 1 + β 1 β 2 1 β β 2 2 ) (! γ3 β = 3 γ 3 β 3 γ 3 γ 3 ). (3.11) = = 1 + β 1 β 2 1 β 2 1 β β 2 1β β 1 β 2 2β 1 β 2 = 1 ( 1 ) 2 β 1 +β 2 1+β 1 β 2! = 1 1 β β 1 β 2 (1 + β1 β 2 ) 2 (β 1 + β 2 ) 2 (3.12) ableiten. Damit folgt das Additionstheorem der Geshwindigkeit: Für v 1 <, v 2 = ergibt sih z.b.: β 3 = β 1 + β 2, v 3 = v 1 + v β1 β v 1v 2. (3.13) 2 Es gilt also v 3, wie erwartet. v 3 = v v 1 2 = v 1 + v 1 + =. (3.14) Raum-Zeit-Diagramme Abbildung 3.3 zeigt ein Raum-Zeit-Diagramm, wie es in der SRT zur Veranshaulihung gut geeignet ist. Alle Punkte für die gilt s 2 > 0 heißen zeitartig, für s 2 < 0 raumartig und für s 2 = 0 lihtartig. Raumartige Punkte können niht kausal verbunden sein, da keine Signalausbreitung mit v > möglih ist. 11

17 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation t zeitartig (Zukunft) Lihtkegel x 2 + y 2 + z 2 = 2 t 2 raumartig x zeitartig (Vergangenheit) Abbildung 3.3: Raum-Zeit-Diagramm mit den raumartigen (s 2 > 0) und zeitartigen Bereihen (s 2 < 0). Der Lihtkegel mit s 2 = 0 trennt diese Bereihe voneinander. 12

18 3.2 Paradoxa der SRT Rahmensystem K Stabsystem K v v l/γ γ l/γ 0 x l x 0 l x A (t) x B (t) x 1 (t) x 2 (t) Abbildung 3.4: Stab-Rahmen-Paradoxon: Im Ruhesystem K des Rahmens gelte x 1 = 0, x 2 = l und im Ruhesystem K des Stabes entsprehend x A = 0 und x B = l. Je nah Bezugssystem ersheint entweder der Rahmen oder der Stab um den Faktor 1/γ verkürzt. 3.2 Paradoxa der SRT Die Konsequenzen der SRT (Längenkontraktion, Zeitdilatation) widersprehen unseren gewohnten Vorstellungen. Kritiker haben versuht, widersprühlihe Aussagen aus der Theorie zu gewinnen und sie so ad absurdum zu führen Das Stab-Rahmen-Paradoxon Wir betrahten einen bewegten Stab der Länge l und einen ruhenden Rahmen mit derselben Länge l, siehe Abbildung 3.4. Wegen der Längenkontraktion passt der Stab bequem in den Rahmen. Kritiker wendeten hier ein: Im Bezugssystem des Stabes erfährt der Rahmen eine Längenkontraktion. Der Stab passt niht in den Rahmen. Damit ergibt sih ein sheinbarer Widerspruh zur Beobahtung im Bezugssystem des Rahmens! 13

19 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation Erklärung des Paradoxons Die Sprehweise: passt in den Rahmen bedeutet Anfangs- und Endpunkt befinden sih gleihzeitig innerhalb des Rahmens. Im Folgenden bewege sih der Stab mit Geshwindigkeit v in x-rihtung, K sei das Ruhesystem des Rahmens. Wir wählen den Zeitnullpunkt in K so, dass der Anfangspunkt x A des Stabes zur Zeit t = 0 den Anfangspunkt des Rahmens erreiht: x A (t = 0) = 0. Betrahtung im System K Für den Rahmen gilt und für den Stab x 1 (t) = 0, x 2 (t) = l (3.15) x A x B LT = γ(x A vt) = 0 also x A (t) = vt, LT = γ(x B vt) = l also x B (t) = 1 γ l + vt. (3.16) Bei t 1 = 0 erreiht der Anfangspunkt des Stabes den Anfangspunkt des Rahmens. Wir berehnen den Zeitpunkt t 2, zu dem die beiden Endpunkte zusammenfallen: x B (t) = 1 γ l + vt = x 2 = l also folgt t 2 = 1 ( 1 1 ) l. (3.17) v γ Fazit: Im Zeitintervall t 1 = 0 < t < t 2 = innerhalb des Rahmens. Betrahtung im System K Für den Stab gilt und für den Rahmen ( ) 1 1 l γ v befindet sih der Stab vollständig x A(t ) = 0, x B(t ) = l (3.18) x 1 inv. LT = γ(x 1 + vt ) = 0 also x 1(t ) = vt x 2 inv. LT = γ(x 2 + vt ) = l also x 2(t ) = 1 γ vt (3.19) Bei t 1 = 0 erreiht der Anfangspunkt des Rahmens x 1 den Anfangspunkt des Stabes x A. Der Endpunkt des Rahmens befindet sih zu diesem Zeitpunkt wegen der Längenkontraktion des Rahmens bei x 2(t 1 = 0) = 1 l < l. γ Die Endpunkte des Rahmens x 2 und des Stabes x B treffen aufeinander, wenn gilt x 2(t 2) = 1 γ l vt 2 = x B = l. (3.20) 14

20 3.2 Paradoxa der SRT Daraus folgt Das Kleinerzeihen gilt wegen Fazit ( ) 1 l t 2 = γ 1 v ( ) 1 1 < 0. γ < 0. (3.21) Es gilt t 2 < t 1, also befindet sih der Stab zu keinem Zeitpunkt vollständig innerhalb des Rahmens. Das ist aber kein Widerspruh zur Beobahtung in ( K. In) K erreiht der Endpunkt x B des Stabes den Punkt x 2 des Rahmens bei t 2 = 1 1 l > 0, x γ v 2 = l. Wir führen wieder eine Lorentz-Transformation ins System K durh: x 2(t) LT = γ (x 2 vt 2 ) = γl (γ 1)l = l. (3.22) (Position der Stabspitze in K, Endpunkt des Stabes) t 2 LT = γ ( t 2 v ) x 2 2 = (γ 1) l v γ v ( ) 1 l l = 2 γ 1 v < 0 (3.23) Die Lösung des Paradoxons liegt in der Transformation der Zeit und einer dabei möglihen Umkehr der zeitlihen Abfolge (raumartiger) Ereignisse. System K: Ereignis 1: x A = x 1 = 0 bei t 1 = ( 0 ) Ereignis 2: x B = x 2 = l bei t 2 = 1 1 l > t γ v 1 System K : die beiden Ergeinisse( vertaushen ) die zeitlihe Abfolge Ereignis 2: x 2 = x B = l bei t 1 l 2 = < 0 γ v Ereignis 1: x 1 = x A = 0 bei t 1 = 0 > t 2 Für den Abstand zwishen den Ereignissen 1 und 2 erhalten wir ( ( s) 2 = 2 ( t) 2 ( x) 2 = ) 2 l 2 γ v 2 l2 = 2 γ + 1 l2 < 0. (3.24) Der Abstand ist also raumartig, d.h. es besteht kein kausaler Zusammenhang zwishen den beiden Ereignissen Das Uhren-Paradoxon Wir betrahten zwei (baugleihe) Uhren. Uhr 1 ruht, Uhr 2 bewegt sih mit Geshwindigkeit v. Uhr 2 läuft dann also langsamer als Uhr 1 (Zeitdilatation) (siehe Abbildung 3.5). 15

21 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation Uhr 2 Uhr 1 v 0 l x Abbildung 3.5: Uhrenparadoxon: Im Ruhesystem von Uhr 1 läuft die mit Geshwindigkeit v bewegte Uhr 2 langsamer als Uhr 1. Kritiker bemerkten nun: Im Ruhesystem von Uhr 2 bewegt sih Uhr 1 und erfährt eine Zeitdilatation, es läuft also Uhr 1 langsamer als Uhr 2, dies ist ein Widerspruh. Erklärung Im Ruhesystem K von Uhr 1 ruht diese bei x 1 (t) = l, Uhr 2 bewegt sih mit Geshwindigkeit v auf Uhr 1 zu, also gilt x 2 (t) = vt. Für Uhr 1 gilt in K genauer ( E 1 : (x = l, t = 0), E 2 : x = l, t = l ), t 1 = l v v. (3.25) mit der Anzeige t 1 der Uhr 1 bei Kollision. Für Uhr 2 gilt in K E 1 : (x = 0, t = 0), E 2 : ( x = l, t = l ), t 2 = l v v. (3.26) Jetzt führen wir die Lorentz-Transformation x = γ(x vt) und t = γ ( t xv 2 ) von K nah K durh. Für Uhr 1 in K erhalten wir ( E 1 : x = γl, t = γ vl ) (, E 2 2 : x = 0, t = 1 ) l, γ v t 1 = 1 l γ v + γ vl = l ( ) 1 2 v γ γ + 2 β2 = lv (3.27) γ. 16

22 3.2 Paradoxa der SRT Für Uhr 2 gilt in K E 1 : (x = 0, t = 0), E 2 : ( x = 0, t = 1 ) l, t 2 = 1 l γ v γ v, (3.28) mit der Anzeige t 2 der Uhr 2 bei Kollision. Wir berehnen die Zeitdilatation von Uhr 2 im System K. Diese ist definiert über t 2 t 2 = Eigenzeit der in K ruhenden Uhr 2 Zeitdifferenz der Ereignisse für Uhr 2 in System K = 1 γ = t 2 = 1 t 1 γ Anzeige Uhr 2 bei Kollision = Anzeige Uhr 1 bei Kollision < 1. (3.29) Die bewegte Uhr 2 geht also langsamer. Analog betrahten wir die Zeitdilatation von Uhr 1 im System K : t 1 t 1 = = 1 γ Eigenzeit der in K ruhenden Uhr 1 Zeitdifferenz der Ereignisse für Uhr 1 in System K < 1 Anzeige Uhr 1 Anzeige Uhr 2 (3.30) Die bewegte Uhr 1 geht also langsamer. Die in K vergangene Zeit zwishen den Ereignissen E 1 und E 2 ist niht die von Uhr 2 angezeigte Zeit. Welhe Uhr shneller oder langsamer geht, hängt also von der Wahl des Bezugssystems ab! Zwillingsparadoxon Ein Zwilling bleibt auf der Erde, der andere reist mit hoher Geshwindigkeit und kehrt zur Erde zurük. Auf der Erde ist mehr Zeit vergangen als im Raumshiff. Das Paradoxon bei dieser Situation ergibt sih, wenn man sie aus der Siht des anderen Zwillings betrahtet: Vom Raumshiff aus betrahtet bewegt sih der Zwilling auf der Erde mit hoher Geshwindigkeit. Kommt es also Zeitdilatation auf der Erde? 17

23 3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation Lösung Start und Ende der Reise ist die Erde, diese ist das gewählte Bezugssystem, wobei im Raumshiff die Zeitdilatation auftritt. Der reisende Zwilling ist niht während der gesamten Reise im gleihen Inertialsystem, da er um zurükzukehren beshleunigen muss. Wir betrahten das Zwillingsparadoxon nohmals im Kapitel zur relativistishen Mehanik. 18

24 4 Mathematisher Formalismus der SRT Wir hatten bereits Vierervektoren x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (t,x,y,z) und die Lorentz- Transformation x µ = Λ µ νx ν kennengelernt. Die Lorentz-Transformation entspriht hier einer Matrix-Vektor-Multiplikation, wobei wir die Einsteinshe Summenkonvention benutzen, das heißt über mehrfah vorkommende Indizes wird summeriert: x µ 3 Λ ν µx ν. (4.1) ν=0 Als Beispiel sei nohmals der Lorentz-Boost in x-rihtung gezeigt, d.h. die Transformation in ein mit v = ve x bewegtes System: γ βγ 0 0 Λ µ ν = βγ γ (4.2) Unter Lorentz-Transformationen ist die Größe invariant, d.h. es gilt s 2 = s 2, bzw. s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (4.3) (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2. (4.4) Bei nur positiven Vorzeihen in Gleihung (4.4) würde x 2 = x 2 (4.5) gelten, d.h. Λ würde als Drehmatrix die Norm des Vektors erhalten, wie in der Euklidishen Geometrie. In diesem Kapitel werden wir die Mathematik zur Formulierung der SRT genauer diskutieren. Insbesondere die Struktur des Minkowski-Raumes und die mathematishe Behandlung von Tensoren sind hier wihtig, insbesondere auh um später die kovariante Formulierung der Elektrodynamik besprehen zu können. Darüberhinaus ist dieser Formalismus notwendig, um leihter die Verallgemeinerung hin zur Allgemeinen Relativitätstheorie vornehmen zu können. 19

25 4 Mathematisher Formalismus der SRT Euklidisher Raum Minkowski-Raum Skalarprodukt (a,b) = i a ib i a µ b µ = η µν a µ b ν Matrix-Vektor-Multiplikation y = D x y µ = A µ νx ν y i = j A ijx j Matrizenmultiplikation C = A B C µ ν = A µ λ Bλ ν ij = k a ikb kj Transponierte Matrix A T = ( A T) ij (A µ ν) = A µ ν = A ji = η να η µβ A α β Tabelle 4.1: Vergleih von Shreibweisen im Euklidishen und im Minkowski-Raum. 4.1 Der Minkowski-Raum Definition des Minkowski-Raumes Der Minkowski-Raum ist ein vierdimensionaler, reeller Vektorraum mit folgendem Skalarprodukt: Seien a µ und b µ Vierervektoren. Das Skalarprodukt (a,b) ist gegeben durh: (a,b) = a µ b µ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = η µν a µ b ν, (4.6) mit η = diag (1, 1, 1, 1), dem kontravarianten Vektor b µ = (b 0,b 1,b 2,b 3 ) mit hohgestelltem Index und dem kovarianten Vektor a µ = (a 0,a 1,a 2,a 3 ) = η µν a ν = (a 0, a 1, a 2, a 3 ) mit tiefgestelltem Index. Im Euklidishen Raum gilt (x,x) > 0 x 0 und (x,x) = 0 x = 0. (4.7) Das Skalarprodukt ist hier also positiv definit. Im Gegensatz dazu folgt aus der Definition des Skalarproduktes im Minkowski-Raum: Das Skalarprodukt im Minkowski-Raum ist niht positiv definit! Die vershiedenen Shreibweisen im Euklidishen Raum und im Minkowski-Raum mit Hilfe der Einsteinshen Summenkonvention sind in Tabelle 4.1 verglihen. Die Matrix η µν = η µν ermögliht im Minkowski-Raum das Herauf- und Herunterziehen von Indizes. 20

26 4.1 Der Minkowski-Raum Definition der Lorentz-Transformationen Die Lorentz-Transformationen sind die Drehungen (orhogonalen Transformationen) im Minkowski-Raum: Λ µ λ Λλ ν = δ µ ν, (4.8) mit Λ µ λ = (Λµ λ )T, bzw. Λ µ λ = η λαη µβ Λ α β. (4.9) Beispiele Als erstes betrahten wir wieder den Lorentz-Boost in x-rihtung: γ βγ 0 0 Λ α β = βγ γ (4.10) Hohziehen des zweiten Index geshieht über Λ αµ = η βµ Λ α β = Λ α βη βµ. (4.11) In Matrixdarstellung ausgeshrieben lautet diese Gleihung γ βγ 0 0 Λ αµ = βγ γ = γ βγ 0 0 βγ γ (4.12) Herunterziehen des ersten Index erfolgt weiter durh Λ µ λ = η λαλ αµ. (4.13) 21

27 4 Mathematisher Formalismus der SRT Diese Gleihung können wir wiederum auh in Matrixshreibweise darstellen: γ βγ 0 0 Λ µ λ = βγ γ = γ βγ 0 0 βγ γ (4.14) Damit gilt insgesamt Λ µ λ Λλ ν = = γ βγ 0 0 βγ γ γ 2 (1 β 2 ) γ 2 (1 β 2 ) γ βγ 0 0 βγ γ = = δµ ν, (4.15) wie gefordert. Bei diesen Beispielen wird auh erkennbar, dass in Einsteinsher Summenkonvention dargestellte mathematishe Operationen niht immer oder niht direkt als Matrixgleihung dargestellt werden können. So muss in Gleihung (4.11) die Reihenfolge vertausht werden um eine gültige Matrixmultiplikation zu finden. Sei eine Lorentz-Transformation durh eine reine Drehung gegeben, also Λ µ λ = ( D Dann ergibt sih ebenfalls Λ µ λ Λλ ν = ), mit DD T = D T D = 1. (4.16) ( D T ) ( D ) = δ ν µ. (4.17) 22

28 4.2 Kontra- und kovariante Vektoren 4.2 Kontra- und kovariante Vektoren Sei a µ V ein kontravarianter Vektor. Dann ist a µ = η µν a ν V ein kovarianter Vektor und ein Element des Dualraumes V der 1-Formen, d.h. ϕ a : V R ist lineare Abbildung mit a µ : b µ (a,b) = a µ b µ R. (4.18) Definition des kontravarianten Vierervektors Jede vierkomponentige Größe a µ, die sih unter Lorentz-Transformation mit der Lorentz- Matrix transformiert gemäß a µ = Λ µ να ν, (4.19) nennt man einen kontravarianten Tensor 1. Stufe Definition des kovarianten Vierervektors Sei a µ kontravarianter Vektor mit a µ = Λ µ να ν, dann gilt a µ = η µα a α = η µα Λ α ν }{{} a ν = η µα η νβ Λ α νa β = Λµ β a β, (4.20) η νβ α β mit der inversen Lorentz-Transformation Λ β µ. Jede vierkomponentige Größe, die sih mit der inversen Lorentz-Matrix transformiert gemäß heißt kovarianter Tensor 1. Stufe. a µ = Λ ν µ a ν (4.21) Transformationsverhalten der Differentiale und Koordinatenableitungen Sei x µ kontravarianter Vektor. Es gilt dann x µ = Λ µ νx ν also auh dx µ = Λ µ νdx ν (4.22) Die Differentiale dx µ tranformieren sih wie kontravariante Vektoren. Sei f = f(x µ ) skalare Funktion, dann gilt für df: df = f x µ dxµ. (4.23) 23

29 4 Mathematisher Formalismus der SRT Mit folgt x µ = Λ µ νx ν also x ν = ( Λ 1) νµ x µ (4.24) df = f x µ dx µ = f [ x ν (Λ x ν x µ dx µ 1 = ) ] ν fdx µ (4.25) µ x ν mit der inversen Lorentz-Transformation xν x µ wihtige Resultat: = (Λ 1 ) ν µ. Ein Vergleih liefert folgendes Die Koordinatenableitungen transformieren sih wie kovariante Vektoren. x µ µ (4.26) Lorentz-Skalare Ein Lorentz-Skalar ist eine reelle Größe, die invariant bleibt unter Lorentz-Transformation. Wir betrahten zwei Beispiele: Das Skalarprodukt zwishen Lorentz-Vektoren: S = a µ b µ, S = a µb µ = a α Λ α µ Λ µ β bβ = a α b β δ α β = a µ b µ = S. (4.27) Die Eigenzeit τ: Das differentielle Linienelement ds 2 = dx µ dx µ = 2 dt 2 (dx) 2 ist invariant unter Lorentz-Transformation. Dann ist auh dτ = 1 ds = 1 dxµ dx µ (4.28) invariant unter Lorentz-Transformation und damit shließlih die Eigenzeit ein Lorentz-Skalar. τ = ˆτ 2 τ 1 dτ (4.29) 24

30 4.3 Tensoralgebra 4.3 Tensoralgebra Definition von Tensoren Ein Tensor vom Typ (r,s) ist eine multilineare Abbildung T : V } V {{... V } V } V {{... V } R r mal s mal (ϕ,χ,...,ω; u,v,...,w) T (ϕ,χ,...,ω; u,v,...,w) R. }{{}}{{} r mal s mal (4.30) Dabei bezeihnen griehishe Buhstaben Elemente von V und lateinishe Buhstaben Elemente von V. T heißt r-fah kontra und s-fah kovarianter Tensor. 1) Multilinearität Unter Multilinearität versteht man die Eigenshaft, linear in jedem Argument (bei Festhalten der übrigen) zu sein. Es lässt sih zerlegen: χ = aχ 1 + bχ (4.31) Die Menge aller Tensoren des Typs (r,s) bildet einen Vektorraum V r s. 2) Indexshreibweise In Indexshreibweise kann diese Abbildung in der Form dargestellt werden. r mal {}}{ T α 1...α rβ1 ϕ...β α1 χ α2...ω αr u β 1 v β 2...w βs R (4.32) }{{} s s mal 25

31 4 Mathematisher Formalismus der SRT 3) Tensorprodukt Seien T Vs r und S V r, dann gilt s T S Vs r Vs r = V r+r s+s, T α 1...α rβ1...β s S α 1...α r β 1...β s = U α 1...α r α 1...α r β 1...β s β 1...β s. (4.33) Die Operation heißt Tensorprodukt oder direktes Produkt. 4) Tensorverjüngung (Kontraktion) Sei T Vs r ein Tensor vom Typ (r,s). Indem in Komponentenshreibweise der k-te kovarianter und der j-te kontravarianter Index das gleihe Symbol bekommen und über diese zwei Indizes aufsummiert wird, erhält man einen Tensor aus Vs 1 r 1 : T α 1...β j...α r β 1...β j...β s V r s = Sp k j T V r 1 s 1. (4.34) Diese Operation heißt Tensorverjüngung oder Kontraktion. Beispiele Seien a µ und b µ V 1 0 kontravariante Vierervektoren. Dann ist η µν a ν = a µ V 0 1 ein kovarianter Vektor a µ b ν V 2 0 ein direktes Produkt und kontravarianter Tensor 2. Stufe µ ν = a µ b ν V 1 1 ein direktes Produkt und einfah kontra-, einfah kovarianter Tensor µ µ = a µ b µ V 0 0 = R eine Kontraktion und Tensor 0. Stufe, d.h. ein Skalar 5) Tensor-Transformationen Sei die Transformation der kovarianten, bzw. kontravarianten Basisvektoren gegeben durh e α = A α α e α und ω β = A β β ωβ. (4.35) Weiter gilt T α 1...α rβ1...β s e α1...e αr ω β 1...ω βs = T α 1...α rβ 1...β s e α 1...e α r ωβ 1...ω β s. (4.36) 26

32 4.3 Tensoralgebra Dies führt dann auf T α 1...α r β 1...β s = T α 1...α rβ1...β s A α 1 α1...a α r αr A β 1 β 1...A βs β. (4.37) s Das heißt also A, bzw. A 1 kommt für jeden ko-, bzw. kontravarianten Index einmal vor. 6) Lorentz-Tensoren Folgende Tensoren spielen in der SRT wihtige Rollen Vektoren aus R 4 (Vierervektoren) A µ ν = Λ µ ν ist Lorentz-Transformation Metrisher Tensor ist g µν = η µν = ergibt sih das infinitesimale Wegelement mit x µ = η µν x ν. Damit ds 2 = g µν dx µ dx ν = η µν dx µ dx ν = dx µ dx µ. (4.38) Der Differentialoperator: µ = ( x = µ (t), x, y, ) z (4.39) heißt Vierergradient. Anwendung auf Lorentz-Skalar ϕ: ist kovarianter Vektor. Anwendung auf Vierervektor a µ : µ ϕ ϕ µ (4.40) µ a µ (4.41) ist ein Lorentz-Skalar und heißt Viererdivergenz. Weiter ist ν a µ µ a ν (4.42) ein antisymmetrisher, kovarianter Tensor 2. Stufe und heißt Viererrotation. 27

33 4 Mathematisher Formalismus der SRT 7) Das Differential der Eigenzeit Im Ruhesystem eines in einem Inertialsystem ungleihförmig bewegten Teilhens gilt: dx = dy = dz = 0 (ds) 2 = 2 (dτ) 2 (4.43) mit der Eigenzeit τ im Ruhesystem des Teilhens. Das infinitesimale Wegelement (ds) 2 ist Lorentz-invariant, im Inertialsystem lautet es: Daraus folgt (ds) 2 = dx µ dx µ = 2 (dt) 2 (dx) 2 = 2 (dt) 2 v(t) 2 (dt) 2 ( ) = 2 1 v2 (t) (dt) 2 = 2 (1 β(t) 2 )(dt) 2! (4.44) = 2 (dτ) 2 2 Integration liefert die Eigenzeit τ = ˆτ 2 dτ = 1 β(t) 2 dt = 1 dt (4.45) γ(t) τ 1 dτ = τ 2 τ 1 = Die Eigenzeit ist Lorentz-Skalar aber wegabhängig! ˆt 2 t 1 1 β(t)2 dt < t 2 t 1. (4.46) 28

34 5 Relativistishe Mehanik Wie wir bereits gesehen haben ist die Newtonshe Mehanik niht kovariant unter Lorentz-Transformation, zum Beispiel führt eine konstante Beshleunigung a auf v(t) = at > für t >. Unser Ziel ist die Formulierung einer Lorentz-kovarianten Mehanik, a die bei kleinen Geshwindigkeiten in die Newtonshe Mehanik übergeht. Wir betrahten dazu ein Punktteilhen in der 4-dimensionalen Raum-Zeit. Die Größe ( ) t x µ = x µ (t) = (5.1) x(t) ist kontravarianter Vierervektor, wie wir bereits gesehen haben. 5.1 Vierer-Geshwindigkeit Bei der Definition einer Vierergeshwindigkeit haben wir das Problem, dass t kein Lorentz- Skalar ist, deshalb ist dx µ /dt niht Lorentz-kovariant. Wir haben aber bereits gesehen, dass die Eigenzeit τ ein Lorentz-Skalar ist. Deshalb ist u µ = dxµ dτ (5.2) ein kontravarianter Vierervektor und heißt Vierergeshwindigkeit. Mit der Definition des Eigenzeitdifferentials folgt ( ) u µ = γ(t) dxµ = γ(t) ẋ dt ẏ = γ(t) (5.3a) v ż ( ) u µ = η µν u ν = γ(t) ẋ ẏ = γ(t). (5.3b) v ż Kontraktion der Vierergeshwindigkeit liefert dann ein Lorentz-Skalar: u µ u µ = γ 2 2 γ 2 v 2 = γ 2 2 (1 β 2 ) = 2 > 0 (5.4) Es ist also u µ u µ > 0 und daher ist u µ ein zeitartiger Vektor. 29

35 5 Relativistishe Mehanik Vierer-Beshleunigung Analoges Vorgehen führt zur Vierer-Beshleunigung Eine explizite Rehnung führt auf Mit b µ = γ duµ dt = γ d dt γ b µ = duµ dτ = d2 x µ dτ 2. (5.5) ẋ ẏ ż = γ γ ẋ ẏ ż + γ2 0 ẍ ÿ z. (5.6) γ = d 1 dt = 1 β 2 γ3 β β = γ 3 v v (5.7) 2 folgt dann b µ = γ 4 v v ( ) ( ) ( + γ 2 = 2 v 0 v γ 2 v + γ ( ) Im Grenzfall v gilt damit b µ, wie verlangt. 0 v 4 v v γ 4 v v v 2 ) (5.8) Vierer-Impuls Die Ruhemasse eines Teilhens ist Lorentz-Skalar. Damit lässt sih shreiben: ( ) p µ = mu µ = mγ. (5.9) v Ahtung: Es gilt niht m(γ) = m 0 γ bzw. m(v) = m 0 1 v2 2 (5.10) Die Ruhemasse eines Teilhens ist ein Lorentz-Skalar und niht geshwindigkeitsabhängig. Das γ in Gleihung (5.9) gehört zur Vierer-Geshwindigkeit und niht zur Masse. 30

36 5.1 Vierer-Geshwindigkeit Vierer-Kraft Bei Newton gilt Also führen wir analog ein: F µ = dpµ dτ = γ dpµ dt = mbµ = ( F N = ṗ. (5.11) m γ4 v v mγ 2 v + mγ 4 v v v 2 ) = ( m γ4 v v γf N ) (5.12) Dabei ist zu bemerken, dass die Identifikation F µ = dp µ /dτ niht beweisbar ist, die Identifikation mγ 2 4 v v v + mγ v = γf N ist die kritishe Stelle der SRT. 2 Weiter ergibt sih 1 γv F N = γ 2 m v2 m v v + γ4 2 v v = [ γ 2 + γ 4 β 2] }{{} und damit F µ = γ ( v F N F N γ 4 ) m v v = γ4 m v v = F 0 (5.13)! = mb µ. (5.14) Mit der eingeführten Vierer-Kraft lassen sih dann die relativistishen Bewegungsgleihungen formulieren. Über F N = F (x,v,t) (5.15) folgt eine Differentialgleihung für x(t) Beshreibung der kräftefreien Bewegung Eine kräftefreie Bewegung ist beshreibbar als die kürzeste Verbindung zwishen zwei Raum-Zeit-Ereignissen A und B. Die Berehnung erfolgt über Variation des Weges (Abb. 5.1), d.h. ˆA δ B ds! = 0. (5.16) 31

37 5 Relativistishe Mehanik B A r(t) + δr(t) r(t) Abbildung 5.1: Variation des Weges: Betrahtet werden kleine Variationen δr(t) des Weges r(t) von Ereignis A zu Ereignis B, mit der Bedingung, dass δr(t A ) = δr(t B ) = 0. Wobei wir den Weg über die Zeit t parametrisieren. Nah Einsetzen der Definition des Linienelementes folgt δ ˆB (dx)2 (dy) 2 (dz) (dt) 2 A ˆB = δ dt ˆB ṙ = ṙδṙ dt 2 ṙ. 2 (5.17) A A Zur Auswertung des Integrals wenden wir die Produktintegration an. Wir setzen u = und erhalten nah Differentiation bzw. Integration Dabei haben wir ausgenutzt, das gilt ṙ 2 ṙ 2 und dv = δṙ dt (5.18) du = d ṙ dt und v = δr. (5.19) dt 2 ṙ2 δṙ = δ dr dt = d δr, (5.20) dt 32

38 5.1 Vierer-Geshwindigkeit d.h. die Differentiationen sind vertaushbar. Wir setzen diese Ergebnisse ein und erhalten ṙ B 2 ṙ δr + 2 A ˆB A δr(t) d ṙ dt = 0. (5.21) dt 2 ṙ2 Da δr(a) = δr(b) = 0 vershwindet der erste Term. Wir wollen auh noh ṙ 2 durh v 2 ersetzen. Jetzt haben wir ˆB A δr(t) d ṙ dt = 0 δr(t). (5.22) dt 2 v2 Diese Gleihung läßt sih für beliebige δr(t) nur erfüllen, wenn gilt. Wir führen die Ableitung aus und erhalten: d ṙ dt 2 v = 0 (5.23) 2 0 = r 2 v 2 + rv 2 ( 2 v 2 ) = r. ( 2 v 2 ) 3 2 = r ( 2 v 2 ) 3 2 [ 2 v 2 + v 2] (5.24) Das bedeutet r = 0 oder ṙ = onst = v. (5.25) Durh Multiplikation der rehten Seite der Gleihung (5.23) mit der Masse m 0 erhalten wir eine Aussage über den relativistishen Impuls p: 0 = d m 0 ṙ dt 2 v = d m 0 ṙ 2 dt mit β = v 1 β 2. (5.26) Dabei ist die Lihtgeshwindigkeit eine Konstante und wird von der Ableitung niht beeinflußt. Dann folgt also: 0 = d m 0 ṙ dt. (5.27) 1 β 2 33

39 5 Relativistishe Mehanik Dies ist die Gleihung für den relativistishen Impuls für den Fall, dass eine kräftefreie Bewegung vorliegt. Er ist dann eine Erhaltungsgröße. Für den relativistishen Impuls allgemein gilt: p rel = m 0 ṙ 1 β 2 = γp klass, mit γ = 1 1 β 2. (5.28) Wie in der klassishen Mehanik gilt also auh in der relativistishen Mehanik: Konstant beshleunigte Rakete dp dt = F. (5.29) Wir betrahten eine Rakete die in ihrem Ruhesystem konstant mit a = g in x-rihtung beshleunigt wird. 1) Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleihungen Inertialsystem K sei die Erde, das Ruhesystem der Rakete K. Dann folgt: 0 γ βγ 0 0 b µ = g inv LT 0 b µ = βγ γ b µ (5.30) und damit wegen v = vee x und damit b x = γg = d dτ u x = d dτ (γv) = γ d (γv) (5.31) dt g = d (γv). (5.32) dt Mit den Anfangsbedingungen x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = 0, sowie dx(t)/dt = v(t) folgt Mit folgt γv = gt = γ dx dt β = und weiter dx dt = v = β = 1 β 2 gt. (5.33) 2 β 2 = (1 β 2 )g 2 t 2 also ( 2 + g 2 t 2 )β 2 = g 2 t 2 (5.34) gt 2 + g 2 t 2 = v und damit v(t) = gt <. (5.35) 1 + g2 t

40 5.1 Vierer-Geshwindigkeit v t Abbildung 5.2: Relativistishe Bewegungsgleihung der Rakete: Während in der Newtonshen Mehanik die Geshwindigkeit der Rakete über alle Grenzen wähst (gestrihtelte Linie), ist in der SRT die Lihtgeshwindigkeit die obere Shranke (durhgezogene Linie). Siehe auh Abbildung 5.2. Integration der Geshwindigkeit liefert x(t) = t v(t )dt = t g 2 0 ˆt 0 = t g 2 2 g = 2 2 g 1 + ( gt ) 2 1. (5.36) für kleine t gilt also x(t) g 2 t2 wie in der Newtonshen Mehanik, für große Zeiten dagegen ist x(t) t, unabhängig vom Wert der Beshleunigung, siehe Abbildung

41 5 Relativistishe Mehanik x gt 2 /2 t t Abbildung 5.3: Relativistishe Bewegungsgleihung der Rakete: Während in der Newtonshen Mehanik der zurükgelegte Weg x für alle Zeit mit g 2 t2 pro Zeit t zunimmt (gestrihelte Linie), ändert er sih in der SRT für große t proportional zu t, unabhängig von der Beshleunigung g. 2) Betrahtung der Eigenzeit Für die Eigenzeit τ erhalten wir τ = ˆt 0 = g ln 1 β2 (t )dt = gt ˆt 0 ( gt ) 2 1 g2 t 2 2 dt + gt 2 (5.37) Auflösen nah t ergibt = q arsinhgt. t(τ) = g sinh gτ (5.38) Diese Ergebnisse erlauben uns eine genauere Betrahtung des Zwillingsparadoxons. 36

42 5.1 Vierer-Geshwindigkeit Zwillingsparadoxon Wir nehmen an, einer der beiden Zwillinge reise 5 Jahre in seiner Eigenzeit mit Beshleunigung g, dann 10 Jahre mit Beshleunigung g und shließlih wieder 5 Jahre mit Beshleunigung g, d.h. er kehrt nah 20 Jahren Eigenzeit zur Erde zurük. Für den Zwilling auf der Erde ergibt sih aus Gleihung (5.38) t(5 Jahre) = 84,4 Jahre. (5.39) Der reisende Zwilling kehrt für ihn also erst nah 4t(5 Jahre) = 337,4 Jahren wieder zurük. Die maximale Entfernung zwishen den beiden Zwillingen ergibt sih aus Gleihung (5.36) zu 167 Lihtjahren. Eine umfassende Betrahtung des Zwillingsparadoxons findet sih in [1] Relativistishe Energie Shauen wir uns nohmal die Vierer-Kraft an: Für die nullte Komponente gilt: F µ = γ ( v F N F N ) (5.40) Daraus ersehen wir den Zusammenhang F 0 = m du0 dτ = mγ d dt (γ) = γ v F N. (5.41) d dt (mγ2 ) = v F N = F N dx dt = dw dt. (5.42) Dabei ist zu beahten das dw = F N dx auh relativistish gilt. Damit ist die relativistishe Energie W = γm 2 = E (5.43) eingeführt. Die auftretende Integrationskonstante haben wir so gewählt, dass die Energie des ruhenden Teilhens E = m 2 ist. Weiter folgt E = γm 2 = p 0 bzw. p 0 = E, (5.44) also ist der Energie-Impuls-Vektor gegeben durh ) p µ = ( E mγv = ( E p ). (5.45) 37

43 5 Relativistishe Mehanik Für ihn gilt p µ p µ = E2 2 p2 = m 2 2, (5.46) wobei das letzte Gleihheitszeihen in das Ruhesystem des Teilhens führt, wo p = 0 und γ = 1 gelten. Da p µ p µ Lorentz-Skalar ist gilt shließlih E 2 = m p 2 bzw. E = m p 2 (5.47) Damit ist der relativistishe Energiesatz eingeführt. Für kleine Impulse lässt sih der Ausdruk für E in Gleihung (5.47) in eine Taylorreihe entwikeln: ) E = m (1 p2 m 2 2 m2 + p2 2m = p2 2 2m + m2 + O(p 4 ), (5.48) mit der Ruheenergie m 2 und der kinetishen Energie p2 2m + O(p4 ). Wihtig ist zu erkennen, dass für m > 0 gilt E für v (5.49) Daraus folgt, dass sih Teilhen mit niht vershwindender Ruheenergie langsamer als Liht bewegen! 1) Photonen Photonen haben keine Ruhemasse. Deswegen gilt Daraus folgt dann Mit den Zusammenhängen p µ p µ = E2 2 p2 = m 2 2 = 0. (5.50) E = p = ħω = h λ. (5.51) p = ħk und E = hν = ħω (5.52) zwishen Impuls und Wellenvektor, bzw. Energie und Frequenz für Photonen haben wir dann ( ħω ) ( ω ) p µ = = ħ = ħk µ, (5.53) ħk k mit dem relativistishen Wellenvektor k µ. 38

44 5.2 Äquivalenz von Masse und Energie 2) Stöße Ohne äußere Kräfte ist der Viererimpuls erhalten, also ist d dτ pµ = d ( E ) = F µ = 0. (5.54) dτ p Für Stöße zwishen zwei Teilhen gilt p µ 1 + p µ 2 = p µ 1 + p µ 2. (5.55) Dieser Zusammenhang gilt auh für Photonen (Compton-Streuung). 5.2 Äquivalenz von Masse und Energie Wir betrahten noh einmal den Vierer-Impuls: ( E ) p µ = p (5.56) mit p = mγv. Da p µ Vierer-Vektor ist gelten die Lorentz-Transformationen (wie für x µ ). Wir betrahten wie immer die spezielle Lorentz-Transformation in x-rihtung. Für x µ gilt: t = γ(t + βx ), x = γ(x + βt ). (5.57) Für p µ gilt entsprehend E = γ ( ) E + βp x, p x = γ (p x + β E Im Ruhesystem des Teilhens gilt p x = 0 und E = E 0 = E 0. Daraus folgt und damit E = γe 0 und p x = γβ E 0 = γ ve 0 2 ). (5.58) rel. Imp. = mγv (5.59) E 0 = m 2 (5.60) für die Ruhenergie im Ruhesystem. Es ist also keine Integrationskonstante möglih! 39

45 5 Relativistishe Mehanik p p m 1 m 2 Abbildung 5.4: Zur Äquivalenz von Masse und Energie: Ein Teilhen, das 2 Photonen gleiher Energie in entgegengesetzte Rihtung emittiert, ändert seinen Impuls und entsprehend auh seine kinetishe Energie niht, es muss also seine Ruhemasse verringern Konsequenzen der Äquivalenz von Masse und Energie Wir betrahten ein Teilhen mit Masse m 1, das zwei Photonen in entgegengesetzter Rihtung emittiert (so dass kein Rükstoss erfolgt) (siehe Abbildung 5.4). Erhaltung des Gesamt-Viererimpulses: ( E1 0 Daraus folgt für E 2 ) = ( p p Daher können wir shliessen, dass weiter ) + ( E2 0 ) + ( p p ) (5.61) E 2 = E 1 2 p bzw. m 2 2 = m p. (5.62) m 2 = m 1 2 p = m 1 2 E Photon 2 (5.63) gilt. Abgestrahlte Energie, d.h. Photonen bzw. elektromagnetishe Strahlung, verringert also die Ruhemasse des Teilhens (z.b. ein angeregtes Atom). Zusammengefasst haben wir damit die Äquivalenz von Masse und Energie: Jeder Form von Energie kann eine träge Masse zugeordnet werden, nah der Vorshrift E = m 2. (5.64) Beispiele Bei den folgenden Situationen wird die Äquivalenz von Masse und Energie deutlih: 40

46 5.2 Äquivalenz von Masse und Energie 1. Angeregte Atome oder Moleküle sind shwerer als Atome oder Moleküle im Grundzustand. Wir betrahten das Wasserstoffatom. Die Massen von Proton und Elektron ergeben zusammen m p + m e = 1, kg + 9, kg = 1, kg. (5.65) Für Wasserstoff im Grundzustand findet man 13,6 ev m H = m p + m e = 1, kg 2, kg 2 (5.66) 1, kg 10 8 m p Die Masse des Wasserstoffatoms ist also kleiner als die Masse von Proton plus Elektron. Man spriht vom Massendefekt, hier verursaht von der negativen Bindungsenergie von Elektron und Proton. Für das Wasserstoffatom ist dieser Effekt sehr klein. 2. Atomkerne zeigen ebenfalls einen Massendefekt. Die Gesamtmasse von Atomkernen ist kleiner als die Summe der Massen der Protonen und Neutronen. Der Massendefekt ergibt sih aus der Bindungsenergie E B / 2 aufgrund der starken Wehselwirkung. Die Masse des Atomkernes ist also m(a,z) = Zm p + (A Z)m n + E B 2 (5.67) wobei E B < 0 ist. Wir betrahten als Beispiel das Nuklid 12 C. Hier ist A = 12 und Z = 6. Die atomare Masseneinheit ist Im Vergleih ergibt sih 1 12 m ( 12 C ) = 1, kg. (5.68) 1 12 (6m p + 6m n ) = 1 2 (1, kg + 1, kg) = 1, kg. (5.69) Das heißt etwa 0,8% der Masse der Protonen und Neutronen geht in die Bindungsenergie. 3. Teilhen und Antiteilhen können paarweise erzeugt oder vernihtet werden, z.b in der Reaktion e + + e 2γ. (5.70) 41

47 5 Relativistishe Mehanik Aus Elektron und Positron entstehen also zwei Photonen. Es gilt: m e = 9, kg also E γ m e 2 = 8, J = 512 kev. (5.71) Hier werden 100% der Masse in Energie umgewandelt. 5.3 Drehimpulstensor und Drehmoment Klassisher Drehimpuls In der klassishen Mehanik gilt für den Drehimpuls L = r p. (5.72) In Komponentenshreibweise ergibt dies L i = x j p k x k p j mit (i,j,k) = (1,2,3) und zyklishen Permutationen. (5.73) Kovarianter Drehimpuls und Drehmoment Wir definieren eines Lorentz-kovarianten Drehimpuls über L µν = x µ p ν x ν p µ = L νµ. (5.74) L µν ist also antisymmetrisher Tensor 2. Stufe. In der klassishen Mehanik gilt weiter für das Drehmoment M = dl dt = r F N. (5.75) In kovariante Formulierung erhalten wir entsprehend d dτ Lµν = d dτ (xµ p ν x ν p µ ) = u µ p ν + x µ dpν dτ uν p µ x ν dpµ dτ = x µ F ν x ν F µ = M µν. (5.76) Dabei wurde ausgenutzt, dass sih die Terme u µ p ν und u ν p µ zu Null addieren. 42

48 5.4 Relativistishe Erhaltungssätze 5.4 Relativistishe Erhaltungssätze Wir betrahten ein System von N Massepunkten, die keinen äußeren Kräften unterliegen. Erhaltungsgrössen in der klassishen Mehanik sind für solh ein System der Gesamtimpuls, der Gesamtdrehimpuls und die Gesamtenergie. In der SRT gilt entsprehend N p µ i = onst, (5.77) also i=1 E = p = N E i = onst, i=1 N p i = i=1 i=1 N m i γ i v i = onst, (5.78a) (5.78b) mit den relativistishen Energien E i. 43

49 6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik Die Newtonshe Mehanik ist Galilei-invariant. Deshalb mussten wir im vorherigen Kapitel eine kovariante Formulierung für eine relativistishe Mehanik finden. Dies führte zu einer Modifikation der Bewegungsgleihungen. Im Gegensatz dazu ist die Elektrodynamik, d.h. die Maxwellshen Gleihungen, bereits Lorentz-invariant. Dies kommt jedoh bei der Formulierung mit (E, B,j,ϱ) niht explizit zum Ausdruk, insbesondere sind E, B und j keine Vierervektoren und ϱ kein Lorentz-Skalar. In diesem Kapitel wollen wir daher die Maxwellshen Gleihungen in einer kovarianten Formulierung darstellen. Dies wird es uns möglih mahen, direkt zu sehen, wie sih die elektrishen und magnetishen Felder, sowie Ladungen und Ströme transformieren. 6.1 Grundlagen der klassishen Elektrodynamik Das elektrishe Feld E ist definiert über die Kraft F el, die auf eine (ruhende) kleine Probeladung q wirkt: F el (r) = qe(r) (6.1) Die magnetishe Induktion ist definiert über die Kraft F m, die auf eine sih mit Geshwindigkeit v bewegende Ladung q wirkt: F m = q (v B(r)) (6.2) Daraus ergibt sih die Lorentzkraft, die Kraft auf eine Probeladung q im elektromagnetishen Feld, zu F = q(e(r) + v B(r)) (6.3) Die homogenen Maxwellgleihungen Für das elektrishe und magnetishe Feld gelten Nebenbedingungen (innere Feldgleihungen), die homogenen Maxwellgleihungen. Zum einen E + Ḃ = 0. (6.4) 44