in Molekülen: möglicherweise unterschiedliche Polarisierbarkeiten in verschiedenen Richtungen p = ᾱ E

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1 orlesung Dienstag. Maxwellgleichungen der Elektrostatik E = ρ ɛ 0 () B = 0 (2) E = 0 (3) B = µ 0 j (4).2 Polarisation Einteilung der Materie - Leiter (freie Ladungsträger) - Isolatoren (nur gebundene Ladungsträger) Wirkung auf Materie im E-Feld in Atomen: erschiebung der e gegen die Atomkerne Dipolmomente werden induziert p = α E dabei: α : atomare Polarisierbarkeit. in Molekülen: möglicherweise unterschiedliche Polarisierbarkeiten in verschiedenen Richtungen p = ᾱ E ausrichtung polarer Moleküle: N = p E F = ( p ) E Polarisation Die Dipolmomente ergeben zusammen die makroskopische Größe Polarisation: P = < p > (5).3 Feld polariserter Objekte Das Feld eines el. Dipols ist ( r) = ( r r ) p r r 3 Mit p = P d 3 r folgt für das Feld eines polarisierten Objektes: ( r) = d 3 r ( r r ) P ( r ) 3 (6)

2 Umformung des Integrals: ( ) r r r r = 3 = ( ) d 3 r P (7) [ (f A) = f( A)+ A( f) = d 3 r ( P ) ] d 3 r ( P ) (8) Gauss = r r P da d 3 r ( P ) (9) Dies ergibt das Feld einer olumenladung und einer Oberflächenladung: = σ b da d 3 r ρ b r r (0) dabei ist: σ b = P ˆn ρ b = P ().4 Dielektrische erschiebung Die Ladung eines Körpers setzt sich zusammen aus der freien Ladung und der gebundenen Ladung aufgrund der Polarisation: ρ = ρ f + ρ b Setzt man dass in M ein erhällt man: ɛ 0 E = ρ = ρb + ρ f = P + ρ f (2) (ɛ 0 E + P ) = ρf (3) Damit kann man die dielektrische erschiebung D definieren: D = ɛ 0 E + P (4) Und damit M: D = ρ f (5) Achtung: 2

3 D = ρ f sieht zwar genauso aus wie E = ρ ɛ 0 es genügt aber nicht bei der Lösung eines Problems nur die freien Ladungsträger zu betrachten und D analog den Methoden für E auszurechnen: D( r) 4π Die Rotation von D verschwindet nicht zwangsläufig: d 3 r r r 3 ρ f (6) D = ( E) }{{ +( } P ) = P (7) =0 Somit lässt sich falls P 0 die dielektrische erschiebung D nicht als Gradient eines Skalarfeldes darstellen und die Lösungsmethoden versagen. Randbedingungen: erwendet man die integrale Form von Gleichung 5 so gilt: D = ρ f d 3 r D = Q enc (8) Mit Hilfe des Gauß schen Satzes ergiebt das: Dd A = Q enc (9) Wendet man dies auf eine sehr kleine Box um die Grenzfläche an, die so klein ist dass D nicht variiert und die die Höhe h 0 hat, so erhällt man: ( D 2 D ) na = σ f A ( D 2 D ) n = σ f (20) Die integrale Form von M3 lautet: E = 0 γ Ed l = 0 (2) Eine Schleife die durch beide Medien geht und für deren Höhe wieder gilt h 0 ergibt dann: ( E 2 E ) t = 0 (22) Dies lässt sich auch schreiben als: ( D 2 D ) t = ( P 2 P ) t (23) 3

4 .5 Lineare Dielektrika Der einfachste Fall für dielektrische Materialien ist der lineare und isotrope Fall. Dann gilt: P = ɛ 0 χ e E (24) Setzt man dies in die Definition von D ein, so erhällt man: D = ɛ 0 E + P = ɛ0 E + ɛ0 χ e E = ɛ0 ( + χ e ) E (25) Damit kann man die Dielektrizitätskonstante ɛ definieren und es gilt: D = ɛ E ɛ = ɛ 0 ( + χ e ) (26).6 Magnetisierung Einteilung der Materie Diamagnetismus: magn. Momente werden entgegen dem äußeren Feld induziert Paramagnetismus: vorhandene Momente werden ausrerichtet (parallel zum äußeren Feld) Ferromagnetismus: Magnetisierung auch ohne äußeres Feld Wirkung auf Materie im B-Feld - qualitative Erklärung (klassisch!!!) Para: vorhande Momente Richten sich aus: N = m B Dia: nur beobachtbar wenn kein magnetischen Momente vorhanden Elektron auf Kreisbahn: F z = F e e 2 v = m 2 R 2 e R äußeres Feld: F z + F L = F e e 2 v + e vb = m 2 R 2 e R Änderung von v Änderung von m magn. Momente von Elektronen auf Kreisbahnen in versch. Richtungen heben sich nicht mehr auf Magnetisierung Die Dipolmomente ergeben zusammen die makroskopische Größe Magnetisierung: M = < m > (27) 4

5 .7 Feld magnetisierter Objekte Das Feld eines magn. Dipols ist A( r) = µ 0 m ( r r ) 4π r r 3 Mit m = Md 3 r folgt für das Feld eines polarisierten Objektes: Umformung des Integrals: ( ) r r = A( r) = µ 0 M( r d 3 r ) ( r r ) 4π 3 (28) [ ( r r 3 A µ 0 = d 3 r M( r ) 4π (29) )] (f A) = f( A) + A ( f) (30) A = µ 0 4π [ d 3 r M( r ) ( )] d 3 r M( )r (3) d 3 r U = U d A (32) A µ 0 = 4π [ r r M( r )] d 3 r + µ 0 4π r t [ M( r ) d A ] Dies ergibt das Feld eines olumenstroms und einer Oberflächenstroms: A( r) = µ 0 4π j d 3 r b + µ 0 4π (33) kb da (34) dabei ist: j b = M kb = M ˆn (35).8 Das magnetische Feld H Der Stromfluss durch einen Körper setzt sich zusammen aus dem freien Strom und den gebundenen Strömen der Magnetisierung: j = j f + j b 5

6 Setzt man dass in M4 ein erhällt man: µ 0 ( B) = j = j f + j b = j f + ( M) (36) ( ) B M = j f (37) µ 0 Damit kann man das magnetische Feld H definieren: H = µ 0 B M (38) Und damit M4 schreiben als: H = j f (39) Achtung: H = j f sieht zwar genauso aus wie B = µ 0 j es genügt aber nicht bei der Lösung eines Problems nur die freien Ströme zu betrachten und H analog den Methoden für B auszurechnen da: Randbedingungen: H = M 0 (40) Die integrale Form von M2 lautet: B = 0 d 3 r B = 0 (4) Mit Hilfe des Gauß schen Satzes ergiebt das: Bd A = 0 (42) Wendet man dies auf eine sehr kleine Box um die Grenzfläche an, die so klein ist dass D nicht variiert und die die Höhe h 0 hat, so erhällt man: ( B 2 B ) na = 0 ( B 2 B ) n = 0 (43) Dies kann man auch schreiben als: ( H 2 H ) n = ( M 2 M ) n (44) 6

7 Die integrale Form von 39 lautet: H = j f γ Hd l = j f da (45) A Eine Schleife die durch beide Medien geht, die sektrecht zu j f ist und für deren Höhe wieder gilt h 0 ergibt dann: ( H 2 H ) t = k f (46).9 Lineare Medien Der einfachste Fall ist wieder ein lineares und isotropes Medium. Dann gilt: M = χ m H (47) Setzt man dies in die Definition von B ein, so erhällt man: B = µ 0 ( H + M) = µ 0 ( H + χ m H) = µ0 ( + χ m ) H (48) Damit kann man die magnetische Permeabilität µ definieren und es gilt: B = µ H µ = µ 0 ( + χ m ) (49).0 Energie von Feldern in Materie Für die Energie von Feldern in Materie gilt: U = ρ f Φd 3 r = 2 2 D Ed 3 r (50) U = 2 j f Ad 3 r = 2 B Hd 3 r (5) 7