Isotrope Dielektrika. Das Coulombsche Gesetz in der Form F =1/(4πɛ 0) q 1 q 2. ist nur für zwei Ladungen im Vakuum gültig.

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1 Das Coulombsche Gesetz in der Form F =/(4πɛ 0) q q ist nur für zwei Ladungen im Vakuum gültig. r Versuche mit der Cavendish-Drehwaage mit flüssigen oder gasförmigen Isolatoren zwischen den beiden Ladungen ergeben stets Kräfte, die kleiner sind als jene, die im Vakuum auftreten. Das Medium, der Isolator zwischen den Ladungen, nach M. Faraday genannt, hat also einen Einfluss auf die elektrischen Felder. In der Natur gibt es keine vollkommenden Nichtleiter bzw. Isolatoren, jedoch ist der Ladungstransport in einem Isolator so gering, dass wir Isolatoren in sehr guter Näherung als ideale Nichtleiter behandeln können. Isolatoren sind für das elektrische Feld durchlässig, während Leiter das Feld abschirmen. Wie gerade erwähnt bezeichnet man Isolatoren als Dielektrika. Zum Spannungsbegriff V = Ed r in einem Plattenkondensator mit : 3 4 Für einem Plattenkondensator, in dem in der oberen Hälfte ein steckt, muss nach der Definition der Spannung als Arbeit pro Ladungseinheit (W = q Ed r = qv ) die Spannung zwischen den Punkten - und 3-4 gleich und die Arbeit über den Weg null sein. D.h.: (i) Die Wege -3 und 4- laufen auf Äquipotentialflächen und die Arbeit ist null. (ii) In Anbetracht der Nichtexistenz eines Perpetuum mobile. Art muss gelten: W = W 34. Die Spannungsdefinition mit oder ohne ein bleibt damit gleich. Bezüglich des Einflusses nichtleitender Materie (Isolatoren, Dielektrika) auf elektrische Felder zeigen Experimente Folgendes: ➀ Wird ein zwischen die Platten eines geladenen Kondensators geschoben, wobei sich die Ladung nicht ändert, so verkleinert sich die ursprüngliche Potentialdifferenz V V, respektive wird die elektrische Feldstärke E oder der effektive Plattenabstand reduziert. Das Ausmass der Verkleinerung hängt vom jeweiligen Material ab. Q Q E d V V = V ➁ Wird ein zwischen die Platten eines geladenen Kondensators geschoben, wobei mit einer angelegten Batterie die Spannung konstant gehalten wird, dann erhöht sich die Ladung des Kondensators und es fliesst ein Strom. Q Q Q Q Q =konst. E < E V V = V < V E I Q > Q V =konst. Der mikroskopische Grund hierfür liegt darin, dass auch Isolatoren aus positiven und negativen Ladungen bestehen. Wird nun ein Isolator in ein elektrische Feld gebracht, so können in den Atomen elektrische Dipolmomente induziert oder in Molekülen bereits vorhandene Dipolmomente im Feld ausgerichtet werden. q q d Das Dipolmoment wird definiert als p =. q d, () wobei seine Richtung definitionsgemäss von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Der Abstand d ist ein Mass für die Asymmetrie der Ladungen. Im äusseren elektrischen Feld werden also positive und negative Ladungen Eσp ± ± ± ± ± ± ± ± gegeneinander verschoben; die Materie wird polarisiert. Während sich die ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Ladungen im Inneren des Körpers immer noch aufheben, treten an den ± ± ± ± ± ± ± ± ± Oberflächen Ladungen σ p, σ p auf, wobei der Körper als Ganzes neutral ± ± ± ± ± ± ± ± ± σ p

2 F = qe F = qe d bleibt; er besitzt nun ein elektrisches Dipolmoment. Daher können auch Isolatoren in elektrischen Feldern Kräfte erfahren. Ein konstantes Feld erzeugt ein Drehmoment τ = q d E und dreht die einzelnen Dipole, während ein inhomogenes, mit dem Ort sich änderndes Feld eine Kraft F = (q d E) auf die Dipole ausübt. Die Polarisation P eines Körpers ist definiert als Dipolmomente pro Volumeneinheit p/ V. Sie hat für isotrope Dielektrika die Richtung des angelegten Feldes E, und es gilt P =. [ χ e E As Vm V ] [ ] C = m m. () χ e ist die materialabhängige elektrische Suszeptibilität. Sie kann mittels einer Federkonstanten k zwischen den zwei Ladungen interpretiert werden: Seien kd = F = ee, p = e d = e E/k, dann ist P = e E/(k V ) und χ e = e /(k V ). Da die elektrische Suszeptibilität dimensionslos ist, hat P die Dimension von E [C/m ]. Wir betrachten nun ein rechteckiges Stück der Dicke d und der Fläche A im elektrischen Feld E. Das gesamte Dipolmoment ist Polarisation Volumen, also P V = P Ad. Anderseits ist ein Dipolmoment definiert als Ladung Abstand der Ladungen, q d, wonach hier P A gleich der unbeweglichen Polarisationsladung σ p A sein muss: P Ad = Q Q p = σ p A p d = σ p A d, d.h. P = σ p. Hierbei ist σ die bewegliche und σ p die feste Polarisationsflächenladungsdichte. Allgemein gilt P n = σ p die Normalkomponente der Q p = σ p A E P σ Polarisation ist gleich der Flächenladungsdichte an der Oberfläche eines p s. P d zeigt mit Gleichung () von σ p nach σ p. Dies erklärt die Verkleinerung der Potentialdifferenz im Kondensator. Zusätzlich zu den Ladungen auf der Kondensatorplatte treten entgegengesetzte Polarisationsladungen σ p auf, sodass die Feldstärke im Innern des s verkleinert wird. Für das effektive Feld E eines ebenen Plattenkondensators gilt: E = σ σ p. Leiter Q = σa Q p=σ pa E D P Ep E Vac Q p=σ pa Leiter Q = σa Die Anwesenheit polarisierbarer Materie modifiziert ganz allgemein das elektrische Feld. Statt mit der Polarisation und Polarisationsladungen zu rechnen, ist es oft zweckmässig, ein weiteres Vektorfeld einzuführen, nämlich die dielektrische Verschiebung D. = E P. (3) Die Bezeichnung Verschiebung wurde von Maxwell eingeführt, um damit die Verschiebung der positiven und negativen Ladungen im durch das äussere Feld zu charakterisieren. Für den Fall isotroper Dielektrika (Gläser, Plastik, polykristalline Materialien, kubische Kristalle) gilt mit (), (3): [ ] P = χ e E, und mit := χe : D = E P = ( χ e ) E = E C m. (4) Die dimensionslose Materialkonstante heisst relative Dielektrizitätskonstante. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Optik (Bsp. Brechungsindex). χ e ist wieder die Suszeptibilität; im Vakuum ist χ e = 0, = und damit D = E. Anisotrope Dielektika sind i.a. nichtkubische Kristalle mit einer Kristallstruktur, die in verschiedenen Raumrichtungen unterschiedlich ist. Die Dielektrizitätskonstante ist dann ein Tensor und D steht nicht parallel zu E.

3 Dielektrizitätskonstanten und χ e einiger Materialien bei Normaldruck und 0 C; es ist immer >. Material χ e Material χ e Vakuum 0 Luft He O Benzol.3.3 Aceton 0 Bernstein.8.8 TiO Paraffin Glas Wasser 8 80 Eis 3 V=konstant Zusammenfassung der Grundversuche: Q=konstant V = V Vac Q = Q Vac > Q Vac E = E Vac D = σ = E = E Vac C = Q/V = C Vac = A/d V = V Vac / < V Vac Q = Q Vac E = E Vac / < E Vac D = σ = E = E Vac C = Q/V = C Vac = A/d Mit einem kann die Kapazität eines Kondensators um erhöht werden. (E Vac, V Vac und C Vac sind die Grössen im Vakuum.) Der verallgemeinerte Gauss sche Satz Für einen Kondensator mit gilt mit dem Gauss schen Satz, Ed A = qein /ɛ 0, Leiter E n L = 0 σ σp Ed A = E n da = (σ σ p )da = (σ P n )da, E n oder mit Q, der wahren Ladung ohne Polarisationsladung, E n da P n da = σda = Q ; Leiter und da aus Gleichung (3) D = E P ist, also Dn = E n P n, erhalten wir hieraus den allgemeinen Gauss schen Satz Dd A = D n da = Q (5) bzw. - in differentieller Form - die. Maxwell Gleichung mit D = ρ. (6) Der Fluss des D-Feldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich der Summe der eingeschlossenen Ladungen. Die Polarisationsladungen sind im D-Feld enthalten und dürfen auf der rechten Seite der Gleichung nicht mitgezählt werden. Die differentielle Form Gl.(6) ist die. Maxwell Gleichung mit einem ; sie wird analog zur. Maxwell Gleichung 3 ohne ( E = ρ/ ) hergeleitet. Elektrostatische Probleme mit Dielektrika können entweder mit den Grössen E, σ, P, σp gelöst werden, oder mit E, σ, D. Da die dielektrische Verschiebung D die Polarisationsladungen bereits einschliesst, müssen nur noch die wahren Ladungen berücksichtigt werden. (Im Allgemeinen ist D das einfachere Feld Vgl. Halliday, Kap Siehe Ergänzungen Die Poissongleichung. 3

4 zur Berechnung, aus dem dann das physikalische Feld E abgeleitet werden kann.) Die Feldstärke in einem variiert im atomaren Bereich von Ort zu Ort, sie kann daher nur als ein Mittelwert über einen grösseren Volumenbereich aufgefasst und nicht etwa atomistisch interpretiert werden. Beispiele zu Dielektrika Das Verhalten der Feldstärken an den Grenzflächen. a) Leiter- Eine geschlossene Gauss sche Fläche habe die Form einer Pillenschachtel, mit der Grund- und Deckfläche d A parallel zur Grenzfläche. E und D stehen senkrecht auf der Leiteroberfläche, im Innern des Leiters sind beide Felder null. Mit dem allgemeinen Gauss schen Satz, D d A = Q, integriert über die geschlossene Fläche, wobei die Integrale über die Seitenflächen sich aufheben, gilt D E P da Leiter E = 0 D = 0 σ σ p D da = σ da also D = D = σ. Daraus folgt mit D = E und D = E P sowie der Eigenschaft, dass P von σ p nach σ p zeigt ( P = σ p, siehe Gleichung ()): E = D = σ ( σ p = P = E D = σ ), eine Beziehung zwischen σ p auf dem und σ auf dem Leiter. b) - D n D D n A D E t D E E B C E t Trägt die Trennfläche nur Polarisationsladungen, d.h. σ p 0 und σ = 0, so gilt mit Gl. (5) (wobei sich die Flächenintegrale über die Seitenflächen der Pillenschachtel wiederum aufheben): D n da D n da = 0, also D n = D n bzw. E n = E n. Die Normalkomponente von D ist an der Trennfläche stetig. Die Normalkomponente von E ändert sprunghaft. Wird ferner ein geschlossener Weg ABCD betrachtet, wobei AB=CD= d, d parallel zur Trennfläche, so gilt mit Ed l = 0, integriert über den geschlossenen Weg, wobei sich die Wegintegrale über die Seitenstrecken senkrecht zur Trennfläche aufheben (das elektrostatische Feld hat ein Potential, daher gilt E = 0): E t d E t d = 0, also E t = E t bzw. D t / = D t /. In Worten ausgedrückt: Die Tangentialkomponente von E ist an der Trennfläche stetig, die Tangentialkomponente von D hingegen ändert sprunghaft. Die obigen zwei Eigenschaften führt zum Brechungsgesetz der Feldlinien an der Trennfläche (vgl. das Brechungsgesetz in der Optik): Es ist tan α = E t /E n und tan α = E t /E n und damit lautet das E n α E t E t α E E E n Brechungsgesetz (mit E t = E t ) : tan α tan α = E n E n =. c) Plattenkondensator mit einem Teil eines s Um die Durchschlagfestigkeit eines Plattenkondensators bei konstanter Spannung zu verbessern, steckt jemand ein zwischen die Platten, das nur einen Teil des Plattenabstandes füllt. Es gilt für den Abstand d ohne 4

5 E 0 = V V =konst. dd (ohne ), und mit D = E = D = E E = E /. d Somit ist V = E ds = E d ( d E d = E d d ) = E 0 (d d ). Da > folgt E 0 < E, d.h. im Luftspalt wird das Feld grösser und dieser so geschützte Kondensator schlägt, wenn mit E die Durchschlagsfeldstärke erreicht wird, eher durch. Stattdessen hätte die Dicke des s gerade so gewählt werden müssen, dass d = 0 gegolten hätte. d) Felder einer Kugel oder einer Punktladung im unendlichen können wie die E-Felder im Vakuum geschrieben werden, es muss einzig durch ersetzt werden: D = Q r 4πr 3, E Q r = 4πr 3. Für zwei Punktladungen Q und Q gilt F = E( r ) Q = Q Q r 4πr 3 ; durch das wird die Kraft zwischen den zwei Ladungen gegenüber derjenigen im Vakuum um den Faktor verringert. Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstante Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstante muss im molekularen Bau der Materie gesucht werden. Es gibt nichtpolare, bezüglich ihrer Ladung symmetrische Moleküle (z.b. CO ) und polare, unsymmetrische (z.b. H O): Nichtpolare Moleküle CH 4 Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen fallen zusammen, die symmetrischen Moleküle haben kein permanentes Dipol- CO C O C O moment. Ein äusseres E-Feld verschiebt die Ladungen und induziert damit einen elektrischen Dipol proportional zum Feld E F am Molekül p e = p m E F, wobei p m die molekulare elektrische Polarisierbarkeit, eine Konstante des Moleküls, ist. E F ist nicht elementar berechenbar, es hängt vom Einfluss der Nachbarmoleküle ab, kann aber für isotrope Substanzen durch das innere Feld und die Polarisation ausgedrückt werden als E F = E innen P /(3 ). Für n Moleküle ist dann n p e = P = n p m ( E innen P /(3 )) P = [(n p m )/( n pm 3 )] E innen, und mit D = E = E P sowie P = ( ) E : n p m = 3 die Clausius-Masotti Formel. Damit besteht ein Zusammenhang zwischen der makroskopischen Dielektrizitätskonstanten und der mikroskopischen, molekularen elektrischen Polarisierbarkeit p m. Die induzierten Dipole tragen mit dem Wert zum Wert, der absoluten Dielektrizitätskonstanten des Materials, bei. ist nicht von der Temperatur abhängig. H H O O H P As m HCl. V/m H HCl CH 4 /T C - Cl Polare Moleküle Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen fallen nicht zusammen. Polare, nichtsymmetrische Moleküle haben daher ein permanentes Dipolmoment p = q d (mit dem Abstand der beiden Schwerpunkte d). Im E-Feld erhalten die zunächst ungeordneten Dipole eine Orientierung in Feldrichtung und erzeugen damit eine Polarisierung des s. Dieser Polarisierung wirkt die Wärmebewegung mit zunehmender Temperatur entgegen ist von der Temperatur abhängig. Zusätzlich muss, wie bei den nichtpolaren Molekülen, noch der Anteil der induzierten Dipole berücksichtigt werden.eine genaue Berechnung der Temperaturabhängigkeit ist elementar nicht möglich. Die Frequenzabhängigkeit = (ω) ist wichtig für die Optik. 5