r r ' 4 = 0 r ' ' r ' ' r ' ' - 1

Transkript

1 Zu a) r r ', r r ' = 0 1 r r ' = div grad 1 r r = = div r r ' r r ' 3 = div r r ' r r ' 3 r r ' grad 3 r r ' 3 r r ' 3 r r ' r r ' 1 r r ' 3 1 r r ' 4 = 0 b) V d 3 1 r r ' r r ' = d 3 1 r ' ' r ' ' V r ' ' r ' ' = r r ' Wegen a) ist der Integrand für r'' 0 Null. --> Enthält V den Nullpunkt, so kann man das Integral über eine Kugel im Ursprung durchführen. V d 3 r r 1 r = V K d 3 r div grad 1 r = d f - 1 r e r 2 2 = 0 d 0 F r 0 sin d r 2 e r r e = 4 2 r d 3 r ' ' 1 r = 0 falls r = 0 V 36

2 Elektrisches Feld eines Dipols Eine positive Ladung q sei bei r 1 und eine negative gleichgroße Ladung (-q) bei r 2. r = q r r 1 q r r 2 Das Potenzial ergibt sich aus der Lösung der Poissongleichung. U r = 1 r ' d 3 r ' 4 0 r r ' = 1 [ q 4 0 r r 1 q r r 2 ] = 1 q r ' r 1 q r ' r 2 d 3 r ' 4 0 r r ' = Das elektrische Feld lautet E r = gradu r = q 4 0 [ r r 1 r r 1 3 r r 2 r r 2 3 ] Das Dipolmoment ist ein Vektor mit der Einheit Coulomb mal Meter: p = q r 1 r 2 Eine noch häufig genutzte Einheit ist das Debye: 1 Debye = C m. Für Moleküle liegt das Dipolmoment meist im Bereich von 0-12 Debye (H 2 O: 1.84). 37

3 Potenzials eines Dipols Feldlinien eines Dipols 38

4 2.3 Das Coulombsche Gesetz in Materie a) Nichtmetalle 0 ersetzen = r 0 r 0 Die dielektrischen Funktion ε in Materie setzt sich aus der Dielektrizitätskonstante des Vakuums ε 0 und der relativen dielektrischen Funktion ε r zusammen. ε und ε r sind phänomenologische Größen, die prinzipiell aus Experimenten bestimmbar oder mittels Quantentheorie berechenbar sind. Achtung! Materie muss nicht homogen sein. r1 r2 r3 r div D = div [ r E r ] = r div [ r grad U r ] = r U r r r Ausweg: effektive Medien-Theorie gemitteltes ε (ε 1, ε 2,..., Konzentration, Struktur) 39

5 Materie besteht aus positiven und negativen Ladungen. Alle chemischen Bindungen und Wechselwirkungen lassen sich auf elektrostatische Anziehung zwischen entgegengesetzten Ladungen zurückführen. - kovalente Bindungen - Ionenbindung - Metallbindung - Dipolwechselwirkungen (z.b. Wasser) E mikroskopisch 0, selbst wenn die Materie insgesamt elektrisch neutral ist. Die klassische Elektrodynamik ist ein makroskopische Theorie, so dass wir ein Mittelungsprozedur über mikroskopische Bereiche benötigen. Definition: E r = E mikro r Mittelwert über mikroskopische Felder Mittelung über großen Bereich + Materie neutral ergibt die Mittelung Null (z.b. Ein Eimer Wasser besitzt kein Dipolmoment, auch wenn jedes Molekül ein Dipolmoment besitzt.) - typische Längenskalen mikroskopisch m, 40

6 Mittelung über molekulare Teilchen pro cm -3 in Bewegung entspricht einer Mittelung über räumlich und zeitlich schnell oszillierende Felder, Jede makroskopische Messung ist immer eine Mittelung über einen endlichen Bereich. Die Eigenschaften der Materie auf diesen makroskopischen Skalen sollen homogen sein. Definition: A r,t = 1 V r V r d 3 r ' A r ',t = 1 V V 0 A(r,t): mikroskopische Feldgröße V(r): mikroskopisch groß, makroskopisch kleines Volumen (Kugel bei r) z. B. V 10-6 cm ³ ~ Teilchen) d 3 r ' A r ' r,t wegen der großen Zahl von Teilchen werden durch die räumliche Mittelung gleichzeitig auch die raschen zeitlichen Fluktuationen geglättet. f = f 41

7 2.3.1 Polarisation von Materie Das Einbringen einer zusätzlichen Ladung erzeugt eine Verschiebung von Ladungen -> Polarisation (Dipole entstehen, Deformationspolarisation) E = E vak E pol Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht Dielektrische Polarisation nennt man eine Ladungsverschiebung in einem nichtleitendem Material, die durch das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes verursacht wird. Die Ladungsverschiebung in einem Leiter wird Influenz genannt. Im Inneren der Materie sowie an den Oberflächen ist eine makroskopische Ladungsverteilung (Polarisationsladungen) wahrnehmbar. 42

8 Verschiebungspolarisation Bei unpolaren Molekülen wird die Elektronenwolke, die den Atomkern umgibt, durch das angelegte elektrisches Feld gegen den Atomrumpf verschoben. Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte wird ein Dipolfeld erzeugt. Im Inneren des Körpers entsteht so eine makroskopische, inhomogene Ladungsverteilung. Orientierungspolarisation In einem Körper mit polaren Molekülen richten sich dessen Dipole im äußeren elektrischen Feld aus. 43

9 Die Polarizationsladungen erzeugen elektrische Felder, so dass das elektrische Feld im Inneren der Materie eine Überlagerung aus dem äußeren elektrischen Feld (Feld ohne Materie = Feld im Vakuum) und dem elektrischen Feld der Polarizationsladungen darstellt. E = E vak E pol Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht E vak : Feld, das im Vakuum vorhanden wäre E pol : Feld durch Polarisation E 0, E < E vak Damit erhalten wir aus den Maxwellschen Gleichungen: 0 div E = 0 div E vak E pol = pol ρ pol : Polarizationsladung durch auftretende Dipole 44

10 Definition: Polarizationsvektor oder Verschiebungsvektor In der Elektrostatik bezeichnet der Vektor der Polarisation das Vektorfeld, das aus einem permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material (Dielektrikum) resultiert. Der Polarisationsvektor P hat die Einheit eines Dipolmoment pro Volumen. Es ist dem Feld E in der Materie entgegen gerichtet. P = 0 E pol div P = pol Historisch war ρ pol unbekannt, so dass eine einfache Form für div D = ρ gesucht wurde. D = 0 E P div D = div 0 E div P = pol pol = Jedes Atom/Molekül spürt nicht nur das Vakuumfeld, sondern auch alle Felder der anderen Atome oder Moleküle. P wird nicht durch E vak allein verursacht, verschwindet aber ohne äußeres Feld. E = E vak E pol E vak P = P E P E vak 45

11 Wenn P eine Funktion von E ist und wir hinreichend kleine Felder voraussetzen, ist eine lineare Näherung (Taylor-Entwicklung) möglich. P = 0 e E χ e : Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisierbarkeit von Materie. D = 0 E P = E = 0 1 e = 0 r E = E vak E pol = E vak 1 0 P = E vak e E 1 e E = E vak da E E vak, muss e 0 46

12 Folgerungen: 1) In Materie mit großen ε oder χ e sind elektrische Felder schwächer. 2) ε ist groß, falls Ladungen leicht verschiebbar sind (große Polarisierbarkeit) Ionenkristall: Ladungen fest auf Atomen -> ε klein kovalente Bindungen: Elektronen müssten bewegt werden -> ε größer Wasser: Rotation der H 2 0-Moleküle -> ε groß Eis: keine Rotation -> ε klein 0 Diamant 5,5 Wasser 80 Glas Aceton 22 Si 11,7 Äthanol 25 Helium Luft Wasserstoff Metall 47

13 Verallgemeinerung: a) D = ε E ist ein Materialgesetz (Näherung) für alle nicht kubischen Kristalle oder nicht isotropen Medien wird ε zu einem Tensor D i = ik E k ε ik = ε ε ε = ε ik für kubische Kristalle Falls eine Vorzugsrichtung existiert, ist E im Allgemeinen nicht mehr parallel zu P. D = E, D im Allgemeinen nicht parallel zu E b) P ~ E ist nur lineares Glied der Taylor-Entwicklung von P(E) P = P 0 0 e E E c E E 3 48

14 Arten von dielektrischen Stoffen: 1) Paraelektrikum heißen Stoffe mit permanenten Dipolen (H 2 0, NH 3,...), die zufällig angeordnet sind und die sich in einem äußeren elektrischen Feld E ausrichten können (Orientierungspolarisation). 2) P 0 sei eine ohne äußeres elektrisches Feld bestehende Polarisation. Ferroelektrika besitzen einen permanenten Dipol, der oberhalb einer kritischen Temperatur T c verschwindet. Siegnette-Salz: NaKC 4 H * 4H 2 0, Bariumtitanat BaTi0 3 Pyro- und piezoelektrische Materialien Glieder höherer Ordnung wichtig für nichtlineare Optik (Laser-Frequenzverdopplung) Starke T- und p-abhängigkeit H 2 0 bei Normaldruck exp 0 C 10 C 20 C 30 C 40 C 50 C 87,8 83,9 80,1 76, ,7 Temperatur -> Fluktuationen wirken gegen die Ausrichtung im elektrischen Feld 49

15 c) frequenzabhängige Felder E r,t = E 0 cos k r t mit k = k e k, = 2 v, k = 2 =, k Die k-abhängigkeit ist oft unwesentlich, außer bei: - optisch aktive Substanzen (Rechts Linksquartz) ε(ω,e) - für λ ~ Röntgenbereich: Bragg-Reflexion (Interferenz) - (photonic bandgap) Materialien mit photonischer Bandlücke (Opal) Die ω-abhängigkeit ist sehr wichtig. H 2 0: ε r (ω = 0) = 80 ε r (ω Licht ) 1,8 Die Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. Brechzahl n = µ 50

16 Schematische Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion Orientierungspolarisation 1010 Hz IR-Ionenpolarisation 1012 Hz Elektronenpolarisation Hz -> bei hohen Frequenzen nährt sich ε(ω) -> ε 0 Ladungen können den Änderungen von E nicht mehr folgen. 51

17 Frequenzabhängigkeit des Brechungindex von Wasser 52

18 Frequenzabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von Wasser Schlechtes Wetter beeinträchtigt die Übertragung von Satelliten im Wellenlängenbereich λ 3 cm mehr, als die Übertragung über terrestrische Sender bei λ 30 cm. 53

19 Metalle b) frei bewegliche Ladungen Eine zusätzliche Ladung wird völlig kompensiert: Elektronen fließen, solange das elektrische Feld im Inneren nicht Null ist, und schirmen die Ladung ab. Der Ladungsüberschuss verteilt sich effektiv auf die Oberfläche (Rand). Das elektrische Feld im Inneren von Metallen ist Null. Daraus folgt (wegen grad), dass das elektrische Potenzial im Inneren konstant ist. Der Rand (die Oberfläche) des Metalls ist eine Äquipotenzialfläche. Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen immer senkrecht auf Äquipotenzialflächen. Daraus folgt -> Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Oberfläche von Metallen. D im Inneren D = 0 E P = 0 54

20 2.4. Grenzflächen zweier Medien/Randbedingungen ε sei stückweise stetig: Sprung an Grenzflächen 1 2 z x div r 0 E = a) Nichtmetalle (Dielektrika) Stokes'scher Satz rot E = 0 für jeden geschlossenen Weg b a d E x 1 dx c E d r = 0 = rot E d f a E 2 x dx E z dz E z dz d b für h 0 und endliche Felder c = 0 a h d dz z dx l h << l b c 1 2 x 55

21 Mittelwertsatz der Integralrechnung: b a f x dx = f b a b a E x 1 dx = E x 1 l mit hinreichend kleinem l E x 1 l = E x 2 l E x 1 = E x 2 analog E y 1 = E y 2 Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig. E 1 2 t = E t Elektrostatisches Potenzial U 1 = U(x,y,z=+0), U 2 = U(x,y,z=-0): Angenommen es gelte U 1 = U 2 + const., wegen E = -grad U, U z = ~ E z = daraus folgt const = 0 U 1 = U 2 56

22 Normalkomponenten von D z d f Zylinder mit Höhe h und Deckfläche F, h F, h 0 1 div D = V D d f = Q 2 h d f Fluss von D durch den Zylinder D d f = D 1 z d f z D m d f D 2 z d f z = Q Mantelfläche mit h 0 und endlichen Feldern 57

23 Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und hinreichend kleine Fläche F, so dass D in der Fläche konstant ist. D z 1 F D z 2 F = Q = F = Flächenladung Q F D z 1 D z 2 = D z entspricht der Normalkomponente D N auf der Fläche F. D N 1 D N 2 = Die Differenz der Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung ist gleich der Flächenladung auf der Grenzfläche. Falls keine Flächenladung auf der Grenzfläche (σ = 0) existiert: D N 1 = D N 2 1 E N 1 = 2 E N 2 Die Normalkomponenten des elektrischen Feldes sind an der Grenzfläche unstetig, der Sprung des elektrischen Feldes ist durch den Sprung der Dielektrizitätsfunktion der Medien bestimmt. 58

24 Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien Einschränkung der Allgemeinheit σ = 0 D = ε E 1 2 falls = 0 tan 1 tan 2 = E t 1 1 D N 1 E t 2 2 D N 2 tan 1 = E 1 t 1 E N tan 2 = E 2 t 2 E N = 1 2 = E 1 t 1 1 D N = E 2 t 2 2 D N da die Tangentialkomponenten von E und die Normalkomponenten D an der Grenzfläche gleich sind. 59

25 b) Metalle - Leiteroberflächen Im Inneren ist E = 0 = D -> U = const. Die Oberfläche ist eine Äquipotenzialfläche, die Feldlinien stehen senkrecht auf die Oberfläche. E t außen = E t innen = 0 ~ U innen = U außen D N außen =, da D N innen = 0 Wird ein äußeres Feld 0 angelegt, fließen solange Ladungen bis das elektrische Feld im Inneren Null wird <-> Oberfläche ist geladen. 60

26 2.5 Einfache Aufgaben aus der Elektrostatik 1. Gegeben seien E und ε, gesucht seien D und ρ -> trivial (Multiplikation + div.) 2. Gegeben seien ρ und ε, gesucht sind D und E a) U r = 1 d 3 r ' r ' 4 r r ' E = gradu b) Symmetrien nutzen (Gaußscher Satz) 61

27 3. Dielektrika im Raum Lösung Poisson-Gleichung U = in Medium und Randbedingungen (numerische Lösung mittels finiter Elemente und Ansatz) - Punktladung - Dipol - kugelförmige Raumladung 4. Metallkörper im Raum (Numerik, Spiegelungsprinzip) elektrisches Feld einer geladenen Metallkugel Q = 4 R 2 D d f = Q, D d f Kugelsymmetrie D 4 r 2 = Q E = Q 3 r außen E = 0 innen 4 r U innen = U außen U außen = Q 4 r Oberfläche 62

28 Methode der Bildladungen (Spiegelladungen) Wir betrachten eine Punktladung vor einer Metallwand. Der Abstand der Ladung zur Platte sei a. Wenn die Metallplatte geerdet ist, besitzt sie das Potenzial Null. Gesucht ist das elektrostatische Potenzial und die Influenzladung auf der Wand. 63

29 Die Metallplatte teilt den Raum in zwei Hälften (x<0 und x>0). Im rechten Teilraum, der ohne Ladung ist, erhalten wir als Lösung: U r = 0 für x 0 Diese Lösung genügt auch der Laplacegleichung mit den Randbedingungen Φ=0 bei x=0. Es ist ebenfalls Lösung, falls der gesamte Raum x>0 durch einen vollen Metallkörper ersetzt wird. Wir suchen nun die Lösung für den linken Teilraum, wobei wir als Randbedingung beachten müssen, dass die Feldlinien senkrecht auf der Metallwand stehen. Eine äquivalente Randbedingung ist das Übereinstimmen des Potenzials auf der Wand. U r = q r a e x für x 0, U x=0, y, z = 0 Wenn man sich an das Potenzial eines Dipols erinnert, stellt man fest das dieses Potenzial eine Lösung für die linke Seite ist. U r = q r a e x 1 r a e x 64

30 Die Methode der Bildladungen besteht allgemein darin, zusätzliche Ladungen außerhalb des interessierenden Bereiches zu finden, so dass die Randbedingungen für das Potenzial erfüllt werden. Diese Spiegelladungen existieren nicht wirklich, sondern dienen der mathematischen Beschreibung. Das elektrische Feld auf der linken Seite lautet E r = gradu r = q 4 0 [ r a e r a e ] x r a e x 3 x r a e x 3 für x 0 Das reale elektrische Feld auf der rechten Seite ist Null. 65

31 Influenzladung Die auf der Metallwand induzierte Ladung ist durch die Normalkomponente von D gegeben. Die Normalkomponente auf der Wand entspricht der x-komponenten von ε 0 E. y, z = 0 E x x=0, y, z = q [ a ] 2 a 2 y 2 z 2 3/2 Die Oberflächenladung ist maximal bei y=0 und z=0 und nimmt mit wachsenden Abstand von diesem Lotpunkt ab. Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist dann q infl = y, z dy dz = 2 d 0 Zylinderkoordinaten = q a [ 0 d ] a 2 2 = q 3/2 Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte aufeinander aus, die messbar sind. 66

32 2.6. Die Energie eines elektrostatischen Feldes Das Zusammenführen zweier gleicher Ladungen kostet Arbeit. Das Zusammenführen zweier ungleicher Ladungen bringt Energie. Vereinbarung - Energie hat das Symbol W (wegen E = E) - Energiedichte ω(r): W = d 3 r ω(r) Im elektrischen Feld E(r) am Ort r wird auf die Punktladung q die Kraft F(r) = q E(r) ausgeübt. Um die Punktladung q im Feld E(r) vom Punkt B nach A zu verschieben, muss also Arbeit geleistet werden. A W = B F r d r A A E r d r = q B = q B = q [U A U B ] du F dr sei negativ, falls beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben. du = U x U U dx dy dy z dz=grad U d r 67

33 1. Situation - eine Punktladung sei bei r 1, Q 1 (Energie Q 1 nach r 1 zu schaffen ist Null, da f(r) = 0) - eine zweite Punktladung Q 2 aus dem Unendlichen nach r 2 schaffen - elektrisches Feld wird durch Q 1 erzeugt r Q 1 r 2 2 Q d r r 1 2 r 2 r 1 E r = Q 1 r r 1 4 r r 1 3 x = r r 1 r 2 W = = Q r 2 1Q F r d r = Q 2 r 2 Q 1 dx x = Q 1Q r r 1 d r = Q 1Q 2 r 2 r r r 1 2 = Q 1Q 2 r r r 2 r 1 r r 1 d r r 1 r r

34 2. Situation: 3. Ladung aus dem Unendlichen nach r 3 führen Energie von Q 1 und Q ist bekannt. Q und Q erzeugen ein elektrisches Feld, das mit Q 3 wechselwirkt. Superposition der elektrischen Felder E(r) = E 1 + E 2 W = Q 1 Q 2 4 r 1 r 2 Q 1 Q 3 4 r 1 r 3 Q 2 Q 3 4 r 2 r 3 3. Situation: viele Punktladungen (N) N W = i j Q i Q j 4 r i r j andere Schreibweise (z.b. Nolting) W = 1 N Q i Q i 8 i,j=1 r i r j i j wegen Doppelsummation i j j i 1, 2 2,1 69

35 4. eine Raumladungswolke ρ(r), ->, Q -> dq = ρdv W = 1 8 d 3 r d 3 r ' U r = 1 4 d 3 r ' r ' r r ' r r ' r r ' = 1 2 d 3 r r U r Sechsfaches Integral (Die Singularität r = r' ist integrierbar und stört nicht) 5. Zwei Raumladungswolken ρ 1 (r), ρ 2 (r) W = 1 d 3 r 8 [ d 3 r ' 1 r 1 r ' r r ' 2 r 2 r ' 2 1 r 2 r ' ] r r ' r r ' W 1 W 2 W 12 Energie der ersten Wolke + Energie der zweiten Ladungswolke + Wechselwirkung zwischen Wolken 70

36 Es gilt für eine Ladungswolke ρ i W i = 1 2 d 3 r i r U i r außerdem gilt die Poissongleichung (für homogenes ε) U i = i i = U i W i = 2 d 3 r U i r U i r Weiterhin folgt aus der Vektoranalysis die folgende Beziehung: div U gradu = gradu 2 U U W i = 2 V d 3 r div U i gradu i 2 V Anwendung des mathematischen Gauß'schen Satzes d 3 r gradu i 2 V div A dv = V A d f W i = 2 V d f U i grad U i 2 V d 3 r E i E i 71

37 Beweis der folgenden Beziehung aus der Vektoranalysis: div U gradu = gradu 2 U U div U U x,u U y,u U z = U x, U y, U z U x, U y, U z + U 2 U U U x 2 2 y 2 2 z 2 Die linke Seite gibt: x U U x y U U y z U U = U x 2 U y 2 U U z 2 U 2 z U x 2 2 U y 2 2 U z 2 72

38 W i = 2 V d f U i grad U i 2 V d 3 r E i E i Wir fordern: Alle Ladungen befinden sich in einem endlichen Volumen V Es ist dann möglich, über eine Kugel mit R -> zu integrieren, da ρ nur im Endlichen 0 d f... ~ R 2 U ~ 1 R U = 1 d 3 r ' r ' 4 r r ' grad U ~ 1 R 2 Für den ersten Term erhalten wir damit als Grenzwert für R -> d f U gradu R 1 R 0 Nur der zweite Term überlebt und gibt einen Beitrag W = 2 d 3 r E r E r 73

39 W = 1 2 d 3 r E r D r w = 1 2 E D Das elektrische Feld ist der Träger der elektrostatischen Energie. Quantenmechanische Interpretation: Die klassische Elektrodynamik kann für kleine Impuls- und Energieüberträge und einer großen Anzahl von Photonen als ein Grenzfall der Quantenelektrodynamik betrachtet werden. Die Energie des Feldes ist in den Photonen (Feldquanten) gespeichert. Die Anzahl der Photonen ist proportional zur elektrischen Feldstärke. d N ~ E 2 d V Die elektrostatische Kraftwirkung wird durch den Austausch von Photonen zwischen den Ladungen vermittelt. 74