Ferienkurs Experimentalphysik 2

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Vorlesung 3 Elektrostatik Andreas Brenneis, Marcus Jung, Ann-Kathrin Straub Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik Grundlegende Konzepte Der elektrische Dipol Leiter im elektrischen Feld Kapaziät Dielektrika im elektrischen Feld Der elektrische Strom Ohmsches Gesetz Stromleistung Stromkreise Wheatstonesche Brückenschaltung

2 1 Elektrostatik 1.1 Grundlegende Konzepte Gleichartige Ladungen stoÿen sich ab Ladung kann nicht vernichtet werden Kleinste Ladung: Elementarladung e = 1, C (Coulomb) Die Kraft F mit der zwei elektrische Ladung wechselwirken gehorcht dem Coulombschen Kraftgesetz: Dielektrizitätskonstante ɛ 0 = 8, A s V 1 m 1 q, Q sind Ladungen [Coulomb] F = q Q 1 ˆr (1) 4πɛ 0 r2 Über diese Kraft wird das elektrische Feld E deniert. Dazu nimmt man an, dass q eine kleine Probeladung sei und man die Kraft F misst, die auf diese Probeladung wirkt. E = F q = [V m 1 ] (2) Daraus folgt denitionsgemäÿ für die Kraft auf eine Ladung q im elektrischen Feld E: F = qe (3) Das elektrische Feld, das von einer Ansammlung von Ladungen erzeugt wird, lässt sich mit dem Coulombschen Kraftgesetz ausrechnen: E = 1 4πɛ 0 i Q i r 2 i ˆr i (4) Mit der Ladungsträgerdichte ρ (Q = i Q i = d 3 r ρ) lässt sich die Summe in ein Integral umschreiben: E(R) = 1 d 3 R r r ρ(r) (5) 4πɛ 0 R r 3 Hierbei drückt der Term das elektrische Feld an jedem Ort R im Raum aus. Ein weiteres wichtiges Konzept ist der elektrische Fluss φ el. Sein Dierential ist das Produkt aus einer kleinen Fläche da und dem dort herrschenden elektrischen Feld: dφ el = E da φ el = E da (6) 1

3 Der elektrische Fluss ist ein Maÿ für die Zahl der elektrischen Feldlinien, die durch die Fläche d A laufen. Die Feldlinien des elektrischen Feldes gehen von Plus nach Minus. Mit Hilfe des Gauÿschen Satzes lässt sich der elektrische Fluss auch durch ein Volumenintegral bestimmen: φ el = S E da = d 3 r dive (7) V (S) Man ndet dive = ρ ɛ 0 (8) als erste Maxwell Gleichung. Oder in anderen Worten:! Elektrische Ladung ist die Quelle/ Senke des Elektrischen Feldes. Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberäche hängt nur nicht von der (Anzahl der) eingeschlossenen Ladungen ab von der Form der Oberäche oder von der Ladungsverteilung im Inneren. Das elektrische Feld ist ein konservatives Feld. Damit existiert ein Potential, das sogenannte elektrostatische Potential φ, das bis auf eine Konstante für jedes System eindeutig deniert ist. Oft setzt man diese Konstante so, dass es im Unendlichen Null ist: φ( ) = 0. Folgich ist q φ(r) die Arbeit, die man aufwenden muss (bzw. die frei wird), um eine Ladung q vom Unendlichen zum Ort R zu bringen. Das elektrostatische Potential einer Punktladung q folgt aus der Integration von Gleichung 4 und lautet: φ(r) = q 1 (9) 4πɛ 0 R r In diesem Zusammenhang redet man von der elektrischen Spannung U zwischen zwei Punkten R 1 und R 2 : U = φ(r 1 ) φ(r 2 ) = R1 R 1 E dr = [V] (10) Durchläuft eine Ladung q eine Potentialdierenz U dann ändert sich dessen potentielle Energie um qu. Im Fall eines freien Elektrons wird diese Energie komplett in kinetische Energie umgewandelt. Wird ein Elektron zum Beispiel in einem Plattenkondensator an dem 1 V anliegt beschleunigt, dann hat das (vorher ruhende) Elektron eine kinetische Energie von einem Elektronen-Volt hat (1 ev). Wie aus jedem Potential lässt sich auch hier das elektrische Feld aus dem elektrischen Potential ableiten: E = φ (11) 2

4 Mit dive = φ lässt sich die erste Maxwell Gleichung (vgl. Gl. 8) zur Poisson Gleichung umschreiben: φ = ρ ɛ 0 (12) Diese Gleichung wir oft verwendet, um aus einer gegebenen Ladungsverteilung das Potential abzuleiten. Das heiÿt, dass man aus einer bekannten Raumladung immer das elektrische Feld an jedem Ort berechnen kann. Falls die Raumladung in einem Gebiet Null ist reduziert sich die Poisson Gleichung zur Laplace Gleichung: φ = 0 (13) Im Zusammenhang mit dem elektrostatischen Potential spricht man oft von Äquipotentialächen 1 auf denen das Potential konstant ist: φ = konst. Das impliziert, dass der Anteil des elektrischen Feldes in dieser Fläche verschwindet. Sonst würde auf eine elektrische Ladung eine Kraft in Bewegungsrichtung wirken, wenn diese auf einer Äquipotentialfäche verschoben wird. Damit würde Arbeit verrichtet werden. Die Ladung soll sich aber auf gleichem Potential benden. Deswegen steht das elektrische Feld immer senkrecht auf einer Äquipotentialäche. Im Gleichgewicht stellt jeder elektrische Leiter eine Äquipotetntialäche 2 dar, sonst würden sich die freien Ladungstäger im Leiter solang umverteilen bis keine Kraft mehr auf sie wirkt, dh. das elektrische Feld Null ist. 1.2 Der elektrische Dipol Zwei entgegengesetzt, gleich groÿe elektrische Ladungen (Q 1 = Q 2 = Q) im Abstand d zueinander bilden einen elektrischen Dipol. Dessen Dipolmoment p ist deniert als Hier zeigt das Dipolmoment von der negativen zur positiven Ladung. p = Q d. (14) 1 oder in 2 Dimensionen von Äquipotentiallinien 2 eigentlich sogar ein Äquipotentialvolumen 3

5 Das Potential einer Punktladung kann man mit Gleichung 9 berechnen: φ(r) = Q ( ) 1 4πɛ 0 R d/2 1 R + d/2 Oft ist man von einem Dipol soweit entfernt, dass nur noch das Fernfeld interessiert. In einer Taylorentwicklung bis zur Ordnung R 1 ndet man in erster Näherung für das Potential eines Dipols: φ D (R) = Q d R = 1 p R = p cos θ (15) 4πɛ 0 R 3 4πɛ 0 R 3 4πɛ 0 R 2 Das Potential eines elektrischen Dipols fällt also mit R 2 ab. Bei einer Punktladung ging es nur mit R 1. Im Allgemeinen fällt das Potential eines Multipols höher Ordnung schneller ab, als das Potential eines Multipols niedriger Ordnung. Deswegen reicht es oft aus nur die ersten Multipolentwicklungen einer Ladungsverteilung zu betrachten. Das elektrische Feld eines Dipols E D können wir aus dem Potential ableiten in dem wir darauf anwenden: E D (R) = 1 ( 3 p 4πɛ 0 R ˆR ) cos θ p 3 In einem homogenen elektrischen Feld wirkt auf einen Dipol auf Grund seiner Ladungsneutralität keine eektive Kraft, sondern nur ein Drehmoment D: D = p E Die potentielle Energie eines Dipols im homogenen elektrischen Feld lautet: W pot = p E (16) Sie ist also für den Fall minimal, wenn Feld und Dipolmoment parallel sind. In einem inhomogenen, elektrischen Feld sieht eine Ladung des Dipols ein gröÿeres Feld als die andere. Folglich verschwindet die resultierende Kraft auf den Dipol nicht. Der Betrag der Kraft lässt sich mit dem Vektorgradienten des elektrischen Feldes ausdrücken: E, dabei handelt es sich um einen Tensor. Im eindimensionalen Fall ist es anschaulicher. Angenommen das elektrische Feld nimmt in die positive x-richtung zu und Dipolmomoment und elektrisches Feld sind parallel, so dass kein Drehmoment wirkt. F - F + d - + E x ( ) E Die Kraft F + auf die positive Ladung rechts ist um den Betrag p Q gröÿer als die Kraft F x Q auf die linke negative Ladung. Der Ausdruck in der Klammer berechnet gerade, wie sehr sich das elektrische Feld entlang des Dipolmoments der Länge d = p/q ändert.! Ein elektrischer Dipol wird im inhomogenen Feld immer in den Bereich des gröÿeren Feldes gezogen x 4

6 1.3 Leiter im elektrischen Feld Wie bereits erwähnt, werden sich Ladungen in einem elektrischen Leiter solange umverteilen, bis der gesamte Leiter auf gleichem Potential ist. Bringt man also einen Leiter in ein elektrisches Feld, dann wird das komplette äuÿere Feld abgeschirmt, indem an der Oberäche die Ladungsträgerkonzentration steigt. Diesen Vorgang nennt man Inuenz.! Das Innere eines Leiters ist feldfrei. 1.4 Kapaziät Ein Kondensator ist eine Anordnung aus zwei (entgegengesetzt geladenen) Platten. Legt man an einen Kondensator eine Spannung an, dann werden Ladungen getrennt. Dabei entstehen auf den Oberächen Ladungen die dafür sorgen, dass das Innere der Platten feldfrei ist. Die Spannung fällt zwischene den beiden Platten ab: U = E dx. Der Zusammenhang zwischen der getrennten Ladungsmenge und der Potentialdierenz wird durch die Kapaziät C hergestellt: C = Q U = [F] (17) Für eine einfache Plattengeometrie gilt C = ɛ 0 A/d. Dabei ist A die Fläche einer Platte und d der Abstand der Platten. Schaltet man zwei Plattenkondensatoren gleichen Abstands parallel so addieren sich ihre Flächen und damit ihre Kapazitäten. Allgemein gilt für eine Parallelschaltung von Kondensatoren: C ges = i C i (18) Eine Seriellschaltung verkleinert die Gesamtkapazität, so dass gilt: C 1 = ges i C 1 i (19) Eine geladene Kapazität speichert Energie, wenn die Kapazität konstant ist gilt E = 1 2 CU 2 (20) Diese Energie ist im elektrischen Feld gespeichert, das zwischen den beiden Platten herrscht. Die Energie, die in einem elektrischen Feld gespeichert ist, berechnet sich (im Vakuum) aus der Feldstärke: ω el = 1 2 ɛ 0E 2 (21) 1.5 Dielektrika im elektrischen Feld Dielektrika sind Isolatoren, deshalb kann dort keine frei Ladungsverschiebung wie im Leiter stattnden. Infolgedessen ist ein Dielektrikum auch nicht in der Lage ein äuÿeres Feld in seinem Inneren komplett abzuschirmen. Eine Ladungsverschiebung ndet nur innerhalb eines Atoms oder Moleküls des Dielektrikums statt. 5

7 Der Polarisationsprozess der Materie ist auf induzierte Dipole zurückzuführen. Dabei werden die Ladungsschwerpunkte gegeneinander verschoben und es entstehen atomare bzw. molekulare Dipolmomente p: p = Z e d = q d (22) Diese sind in Richtung des externen Feldes ausgerichtet, so dass ihre potentielle Energie minimal ist. Folglich wird das elektrische Feld durch diese Dipole abgeschwächt. Die Vektorsumme aller dieser mikroskopischen Dipolmomente ist die Polarisation des Dielektrikas: P = 1 p V i (23) Im Allgemeinen ist die Verschiebung d klein gegen den Atomdurchmesser. Auf atomarer Ebene lässt sich der Zusammenhang zwischen den mikroskopischen Dipolmoment p und dem externen Feld E durch die Polarisierbarkeit α ausrücken: i p = α E (24) Für kleine Felder (E < 10 5 V m 1 ) ist dieser lineare Zusammenhang eine gute Näherung. Die Abschwächung des elektrischen Feldes im Inneren des Dielektrika lässt sich mit Hilfe von Polarisationsladungen beschreiben, die als Oberächenladungen σ pol in einer dünnen Schicht d am Dielektrikum auftreten. Dabei ist d der Abstand der gegeneinander verschobenen Ladungen, der zur Berechnung des Dipolmomentes verwendet wurde. Die Obeächenladungsdichte σ pol der Obeäche A folgt aus der Dipolkonzentration n dip : σ pol = q (n dip (A d)) 1 A = P (25) Die Oberächenladungsdichte entspricht also der Polarisation. Aus den Oberächenladungen kann man das zusätzliche Feld berechnen, welches im Inneren des Dielektrikum dem externen Feld entgegen wirkt. Alle anderen verschobenen Ladungen im Volumen heben sich gegenseitig auf. Aus der 6

8 ersten Maxwell Gleichung 8 folgt das jede Seite der Obeächen(ladungen) einen Beitrag E = P/(2ɛ 0 ) zum Polarisationsfeld leistet. 3 Beide Oberächenladungen schwächen das Feld im Inneren um den Betrag P/ɛ 0. Daraus folgt das tatsächliche Feld im Inneren des Dielektrikums E diel : E diel = E vac P (26) ɛ 0! Ein Dielektrikum ist bestrebt das Feld in seinem Innern zu kompensieren, es wird also kleiner. Der materialspezische Parameter, der ein Dielektrikum beschreibt, ist die dielektrische Suszeptibilität χ. Sie ist über die Polarisierbarkeit α deniert: P = N α E diel =: ɛ 0 χ E diel (27) Die Suszeptibilität stellt einen Zusammenhang zwischen dem Vakuum Feld E vac und dem Feld im Dielektrikum E diel her: E diel = E vac 1 + χ = E vac ɛ Im letzten Schritt wurde die relative Dielektrizitätskonstante ɛ = 1+χ = 1+N α/ɛ 0 eingeführt. Füllt man also das Volumen zwischen einem Plattenkondensator, der die Ladungen Q von einander trennt und isoliert ist, vollständig mit einem Dielektrika, dann sinkt die Feldstärke um den Faktor ɛ und folglich auch die Spannung zwischen den beiden Platten. Um die dielektrische Verschiebungsdichte D einzuführen wenden wir auf Gleichung 26 die Divergenz an: E diel = E vac 1 ɛ 0 P (29) E vac kennen wir, das entspricht nach der ersten Maxwell Gleichung der freien Ladungsträgerdichte: E vac = ρ/ɛ 0 P werden wir uns nun kurz überlegen: Die Polarisationsladung haben wir durch Integration der Oberächenladung erhalten, die der Polarisation entsprach: Q pol = σ pol da = ρ pol d 3 r = P da = P d 3 r (30) Dazu haben wir die Oberächenladung verallgemeinert und in eine Volumenladungsdichte umgeschrieben. Im letzten Schritt wurde der Gauÿsche Satz angewendet. Aus dieser Umwandlung folgt, dass ρ pol = P (31) gilt. Dieses Ergebnis setzten wir nun in Gleichung 29 ein und erhalten: (28) E diel = ρ ρ pol ɛ 0 (32) Wenn wir nun zum Feld im Dielektikum wieder die Polarisation dazu addieren erhalten wir wieder das Vakuumfeld, welches wir als dielektrische Verschibungsdichte D denieren: ɛ 0 E diel + P = ɛ ɛ 0 E diel = ɛ 0 E vac =: D (33) 3 Hierzu nehmen wir jeweils eine Ladungsverteilung ρ der Form ρ = σ pol δ(z) an 7

9 Damit können wir die erste Maxwell Gleichung allgemein (also auch in Anwesenheit von Materie) schreiben als: D = ρ (34) Wobei wir zur Berechnung der dieelektrischen Verschiebungsdichte nur die freien Ladungsträgerdichte ρ betrachten. In einem Plattenkondensator, in dem sich ein Dielektrikum bende steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Oberäche. Dabei ist die Normalkomponente der dielektrische Verschiebung beim Übergang vom Vakuum ins Dielektrikum erhalten. Das elektrische Feld sinkt nach Gleichung 28 um den Faktor ɛ. Für die Komponenten parallel zur Grenzäche gilt dies nicht. Hier muss das elektrische Feld im Vakuum E und das elektrische Feld im Dielektrikum E erhalten sein. vac diel Wir hatten bereits einen Ausdruck für die Energiedichte des elektrischen Felds im Vakuum angegeben. Im Dielektrikum müssen wir die Polarisation beachten und man erhält: ω el = 1 2 E D = 1 2 ɛ 0 ɛ E 2 (35) 2 Der elektrische Strom Als Stromstärke I bezeichnet man den Ladungsuss pro Zeiteinheit durch eine gegebene Querschnittsäche. Die Einheit ist folglich Coulomb pro Sekunde bzw. Ampere. I = dq dt Für eine allgemeine Beschreibung bewegter Ladung ist die vektorielle Gröÿe der Stromdichte j besser geeignet. Sie bezieht sich auf die durchströmte Querschnittsäche. Durch die Integration über eine Fläche folgt aus ihr die Stromstärke: I = j da (37) (36) 8

10 Um die Leitung eines Materials (Metall oder Halbleiter) zu beschreiben drückt man die Stromdichte über die freien Ladungsträgerdichte n aus. j = q n v (38) }{{} Anzahl der Ladungen pro Volumen n v Fläche A Hier ist v die Driftgeschwindigkeit mit der sich die freien Ladungsträger eektiv im elektrischen Feld bewegen.! Der technische Strom ieÿt immer von Plus nach Minus. Die Erhaltung der elektrischen Ladung wird durch die Kontinuitätsgleichung ausgedrückt: 2.1 Ohmsches Gesetz j + ρ t = 0 (39) Die Gröÿe, die die Driftgeschwindigkeit mit dem angelegten elektrischen Feld verknüpft, ist die Beweglichkeit µ: µ = v (40) E Aus einem Relaxationszeitansatz folgt µ = eτ/m, dabei ist τ die Relaxationszeit, die auf Stöÿe mit dem Gitter zurückzuführen ist. m ist die Masse des bewegten Ladungsträgers. Um damit die Stromdichte auszudrücken müssen wir die Beweglichkeit mit der Ladungsträgerkonzentration und ihrer Ladung multiplizieren. Wir erhalten so die elektrische Leitfähigkeit σ: j = q n µ E =: σe (41) }{{} v Für einen homogenen Leiter der Querschnittsäche A und Länge L können wir daraus das ohmsche Gesetz ableiten. Dazu integrieren wir die obige Gleichung über den Querschnitt: I = j da = σ A L U (42) der Term vor der Spannung ist das Inverse des Widerstands R: U = L I =: R I (43) σ A Als Inverses zur elektrischen Leitfähigkeit ist der spezische Widerstand deniert: E = ρ s j Für den homogenen, isotropen Fall, auf den wir uns hier beschränken, erhalten wir den einfachen Zusammenhang: σ = ρ 1 s (44) 9

11 Im allgemeinen sind σ und ρ s Tensoren. Man spricht von einem ohmschen Leiter, wenn ρ s konstant ist. Dann sind Strom und Spannung nach Gleichung 43 zueinander proportional. Ein Beispiel in dem wir das Ohmsche Gesetz anwenden können ist das Laden einer Kapazität C über einen Widerstand R. Man nennt dies auch ein RC-Glied, da Strom und Spannung sich exponentiell mit der typischen Ladezeit τ = R T ändern. 2.2 Stromleistung Da sich das Elektronen in einem Leiter mit einer mittleren Dirftgeschwindigkeit bewegt bleibt seine mittlere kinetische Energie konstant, dh. die gesamte aufgenommene Energie wird durch Stöÿe an das Gitter abgegeben. Damit ist die elektrische Leistung P eines Leiters durch den der Strom I ieÿt und an dem die Spannung U anliegt P = U I. (45) Diese Leistung wird in Form von Wärme abgegeben. 2.3 Stromkreise Mit Hilfe der Kirchhoschen Regeln kann man Stromkreise beschreiben. Die erste Kirchhosche Regel besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten verschwindet: I i = 0 (46) i Dies spiegelt die Kontinuitätsgleichung wieder. Die zweite Kirchhosche Regel beschreibt, dass das Integral des elektrischen Feldes entlang eines geschlossenen Weges Null ist: E dr = 0 (47) Seriell verschaltete Widerstände addieren sich, paralelle Widerstände werden reziprok addiert. 2.4 Wheatstonesche Brückenschaltung Eine Wheatstonesche Brückenschaltung kann dazu genutzt werden, die Gröÿe eines Widerstands genau zu bestimmen. Dabei ist R 2 und R 3 ein Potentiometer, und ihr Verhältnis lässt sich durch das Teilungsverhältnis des Potentiometers ausdrücken. 10

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