(1,y,0) e y dy + z 2. d) E muß rotationsfrei sein, also konservatives Feld

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Kilian Gerber
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1 . a) E = grad ϕ = e r ϕ/ r = ϕ e r/ e r b) ρ = div D = D ( y 2y2 y 2 y ) = 2D y 2 y 3 y 2 y 3 c) J = rot H = H e z ( / )) = d) F = q v B = q v B 5 (3, 4,) e) U = = rb Ed l = r a [ ] E y2 2 r (,,) E y= + (,,) [ E z 2 (,y,) e y dy + ] r z= = E 2 r (,,) (,,) E (,,2z) e z dz 2. a) F c ( ) = 4πε q ρ( r) r r 3 d 3 r b) Kraft Ladung, also teilen durch q, E= gedachte Kraft auf eine Probeladung r c) ϕ (r) ϕ (r ) = E(r )d r, E = grad ϕ d) E muß rotationsfrei sein, also konservatives Feld e) [ϕ] = V = Nm Energie As, also Ladung f) Energie W = Q(ϕ a ϕ b ) 3. a) Erhaltung der Ladung b),6 9 C c) F = J( r) B ( r) d 3 r d) D = ε E und µ H = B: konstituierende Gleichungen 4. a) [Vs] b) [Vs/A] c) [J/m 3 ] d) [Vs/Am] e) [/m] f) [ J m 2 s ] oder g) [/m] h) δ[r] = für r f(r) δ(r)dr = f()

2 i) δ(r) ist ein unendlich schmaler und unendlich hoher Spike an der Stelle r = ( Dirac-Impuls ) 5. a) Die Beiträge der Leiter auf der x- und der y-achse werden sich am Ort r a zu Null aufheben. Durch beide Leiter fließt ein gleich großer Strom, das von diesen Strömen bei r a erzeugte Magnetfeld zeigt in die positive bzw. negative z-richtung, da sowohl die Ströme als auch die Verbindungsvektoren zwischen den Stromorten und r a in der x-y-ebene liegen und somit der Term d l ( r a r ) des Biot-Savart- Gesetzes in z-richtung zeigt. Nach der Rechte-Hand-Regel zeigt der Magnetfeldbeitrag der x-achse in die negative z-richtung, der Beitrag der y-achse in die positive z-richtung und außerdem gibt es aufgrund der symmetrischen Lage des Ortes r a auf der Winkelhalbierenden zwischen x- und y-achse zu jedem Beitrag eines Stücks der x-achse einen betraglich gleich großen Beitrag von der y-achse, weswegen sich schließlich die Magnetfeldbeiträge zu Null aufheben. b) Die Berechnung der Magnetfeldbeiträge des Stroms auf der z-achse ergibt sich ausgehend vom Biot-Savart-Gesetz für einen Linienleiter zu: B( r a ) = µ I dz e z ( r a r ) 4π r a r 3 Mit r = (,,z ) folgt nach Berechnung des Kreuzprodukts: B( r a ) = µia 4π dz µia = (z 2 +2a 2 ) 3/2 4π = µ I 8πa z 2a 2 z 2 +2a 2 z = c) 6. a) E ( R) = ρvr 3ε e r E 2 ( R) = ρv a3 3ε e R 2 r b) σ = a/3 ρ v - Feld innen Null - Feld außen gleich c) E = σ ε ε r B( r a ) = Feld innerhalb Feld außerhalb 7. a) Imaginärteile = und r,t reell b) Z = µ µ r ε ε r 2 µ I 8πa e ϕ

3 c) R 2 = Z S Z Z S +Z T 2 = +R 2 d) R ges = R 2 + T 2e j2kd R 23 T 2 R 23 R 2 e jkd 2 e) d = λ/4 Z S = Z Z p (λ in Medium II = λ Vakuum / ε r,s ) V 8. a) B I = µ e 2π ϕ b) Betrachtet wird ein Stück des Koaxialkabels mit der Länge l. Die in seinem Volumen V gespeicherte magnetische Energie W mag ergibt sich aus W mag = 2 µh2 dv. Andererseits hängt die im Feld gespeicherte magnetische Energie mit der Induktivität L über W mag = 2 LI2 zusammen. Es folgt damit LI 2 = l dz b d 2π dϕ µh 2 = l ( ) 2 b d 2πµ I a a 2π = l µi 2 b d µi2 = l ln b 2π a 2π a Umformen ergibt den Eigeninduktivitätsbelag L = L/l = µ 2π ln b a. c) Der Eigeninduktivitätsbelag wird größer, da sich die Feldstärke zwischen Innenund Außenleiter bei gleicher Stromstärke nicht ändert, jedoch im Inneren der Leiter zusätzliche Bereiche vom Magnetfeld durchsetzt werden, dort also zusätzliche magnetische Energie in Folge des Stromflusses gespeichert wird. 9. a) } k r > r > λ Fernfeld 2π } k r < r < λ Nahzone 2π b) E r cosϑ aber nur Nahfeld und Übergangsbereich, also keine Energieabstahlung, da kein H dazu existiert c) - sehr großer Abstand vom Dipol, mind. Fernfeld - kleines Volumen betrachten, sonst kreisförmige Ausbreitung d) Im Fernfeld sind die Feldstärken der abgestrahlten Wellen proportional zu sin ϑ. Als Kugelwellen dürften sie nicht von ϑ abhängen. e) r 2, const.. a) - Cutoff-Frequenz unten - Nächste Mode oben - Koax-Kabel: Hz bis zur ersten Cutoff-Frequenz b) A B : A A : = A B : = B B : = db, nicht wirbelfrei dt c) Definierte Orientierung der Moden; feststehende Polarisation in Rechteck- oder Oval-HL

4 d) ebene Wellen Gl. e) Separation der Variablen. a) Der Ausdruck t r r /c beschreibt, dass eine Quelle (hier die Raumladungsdichte) am Ort r ihre Wirkung am Ort r des zu bestimmenden Potentials erst nach einer endlichen Zeitdifferenz r r /c ausüben kann, welche durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c bestimmt wird. b) Dynamisches Vektorpotential A c) Stromdichte J( r,t ) 2. a) Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes und die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte verschwinden in unmittelbarer Nähe der Grenzschicht. b) Aus rot E = B t lässt sich das Verschwinden der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes und aus div B = das Verschwinden der Normalkomponente der magnetischen Flussdichte ableiten. c) rot H = J + D, im nichtleitenden Material ist J =, H und D können durch B und E ausgedrückt werden, es folgt: rot B = µε E. An der Grenzschicht sind die x- und y-komponenten (Tangentialkomponenten) des elektrischen Feldes Null, mithin auch ihre zeitlichen Ableitungen, und außerdem ist die z-komponente (Normalkomponente) der magnetischen Flussdichte an der gesamten Grenzschicht konstant Null, mithin auch ihre räumlichen Ableitungen in x- und y-richtung (im allgemeinen jedoch nicht in z-richtung). Also: rot B = ( B y / z, B x / z, B y / x B x / y) = µε (,,Ėz). Aus den x- und y-komponenten der letzten Gleichung folgt unmittelbar: B x / z = B y / z = in Material an der Grenzschicht. 3. a) Die Gleichung rot H = J wird über einem Drahtquerschnitt mit Radius r aufintegriert: rot Hd a = J d a. Die linke Seite wird mit dem Satz von Stokes umgeformt, die rechte Seite enthält die konstante Stromdichte J = I πr 2 e z. Es folgt Hd l = I (r/r) 2 und weiter H ϕ rdϕ = I (r/r) 2, wegen der Zylindersymmetrie existiert nur eine ϕ-komponente des Magnetfelds. Schließlich folgt H = I r 2πR 2 e ϕ innerhalb des Leiters. b) Das elektrische Feld zur Berechnung des Poyntingvektors ergibt sich aus σ E = J und zeigt somit in z-richtung. Hieraus folgt, dass der Poyntingvektor S = E H = I Ir e σ πr 2 z e ϕ = I2 r 2πR 2 σ2π 2 R 4 e senkrecht zur z-richtung steht und somit die Integration über die Stirnflächen des zylinderförmigen Leitervolumens keinen Beitrag zur Leistungsbilanz liefert. Lediglich über die Mantelfläche des Zylinders ist eine Integration auszuführen: Sd a L = dz 2π I RdϕS = 2πRL 2 = σ2π 2 R 3 I2 L σπr 2

5 c) J EdV L = dz R dr 2π rdϕ J J/σ = L dz R dr 2π rdϕ I2 = π 2 R 4 σ L R 2 π I 2 = I2 L (da J E im Leiter konstant ist, entspricht die Aufintegration einer Multiplikation mit dem π 2 R 4 σ πr 2 σ Zylindervolumen) d) div S = J E e) d dt ( 2 εe2 + 2 µh2 ) 4. a) in allen drei b) - unveränderte Ladungsverteilung im Lösungsgebiet - keine Veränderung der Randbedingungen, die auf dem Rand des Lösungsgebietes gelten c) z/m 3... τ τ 2 τ τ τ... x/m τ τ τ τ τ d) unendlich viele e) ϕ(r) = τ 2πε ln( r ) E(r) = τ 2πεr e r f) E ges(,,) = τ πε 5 7 ez

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