Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September 2016

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1 Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September 206. Geben Sie die Einheiten der in den Teilaufgaben a) bis d) angegebenen Größen bzw. Ausdrücke an. Benutzen Sie dabei ausschließlich die Einheiten V, A, s und m. a) Stromdichte J b) Magnetische Flussdichte B c) Magnetische Feldstärke H d) δ-distribution δ(x), wobei x die Einheit m habe 2x e) Drücken Sie den Ausdruck F(x,y,z) = y mit Hilfe der Zylinderkoordinaten z ρ, ϕ und z aus. f) Berechnen Sie für die Vektoren a = und 5 b = 6 das Kreuzprodukt a b. 3 4 Formulieren Sie die Raumladungsdichten ρ für die in den Teilaufgaben g) bis i) angegebenen Anordnungen. Verwenden Sie dafür die δ-distribution. g) Punktladung Q im Ursprung h) Linienladungsdichte τ auf einer geschlossenen Kreislinie mit dem Radius a, die Kreislinie liegt in der x-y-ebene mit Mittelpunkt im Ursprung i) Flächenladungsdichte σ auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Kugelradius b und Mittelpunkt im Ursprung Formulieren Sie für die in den Teilaufgaben j) und k) gegebenen Anordnungen die Stromdichte J. Verwenden Sie dazu die δ-distribution. j) Strom I auf einem linienförmigen Leiter entlang der x-achse in positiver x-richtung k) Strom I in Längsrichtung auf der Mantelfläche eines unendlich langen Zylinders mit dem Radius a. Der Zylinder befindet sich rotationssymmetrisch um die z-achse. Der Strom fließt in Richtung der positiven z-achse. + l) Geben Sie die Lösung des folgenden Integrals an: x 2 δ(x a)dx (2 Punkte) 2. Ein durch einen Ohmschen Widerstand fließender Strom verursacht bekanntermaßen eine Verlustleistung. Wird parallel zu diesem Ohmschen Widerstand ein ideal leitender Draht in den Stromkreis geschaltet, so wird der Stromfluss durch diese Parallelschaltung im Gleichstromfall verlustfrei sein. Wieso gilt dies, also die Verlustfreiheit, für diese Anordnung prinzipiell nicht mehr bei Wechselstrom? Abstrahlung soll hierbei vernachlässigt werden. Tipp: Was verursacht der sich ändernde Strom, der im ideal leitenden Draht fließt? (3 Punkte)

2 Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September Die Kontinuitätsgleichung lautet div J + ρ t = 0. a) Geben Sie an, welcher physikalische Grundsatz dahinter steht. b) Was wäre möglich, wenn obiger Grundsatz nicht gilt? Beantworten Sie diese Frage, indem Sie aus folgender Tabelle die Aussagen angeben, welche wahr sind. Wenn obiger Grundsatz gilt nicht gilt dann kann es Orte geben, an denen div J = 0 ist. A B dann kann es Orte geben, an denen ρ t = 0 ist. C D dann kann es Orte geben, an denen gleichzeitig div J = 0 und ρ t 0 ist. E F c) In obiger Form beschreibt die Kontinuitätsgleichung das Verhalten an jedem Raumpunkt. Wie sähe eine entsprechende Gleichung aus, welche das aufintegrierte Verhalten in einem begrenzten Raumgebiet beschreibt? Geben Sie die resultierende Gleichung mit den in der Elektrotechnik dafür gebräuchlichen Variablen an und erläutern Sie möglichst genau die Bedeutung der beiden dann auftretenden Terme in Worten. B d) Nebenstehend sehen Sie eine Skizze zur Aufladung eines Kondensators. Welcher Term der Kontinuitätsgleichung bezieht sich bei integralen Betrachtungen auf die Berandungen der Raumgebiete A und B, welcher auf deren Inhalte? Klassifizieren Sie die Terme div J und ρ t für diese Gebiete und für den Punkt C hinsichtlich der Eigenschaft: > 0, = 0 und < 0. (7 Punkte) A C 4. a) Geben Sie die Randbedingung für das elektrische Feld E an einer ebenen Grenzschicht an, d.h. die Randbedingung, bei der die Permittivitäten keinen Einfluss haben. Verwenden Sie zur Darstellung der Randbedingung die Formel bei der der Normalenvektor n der Grenzschicht benutzt wird. b) Beschreiben Sie die Aussage der Randbedingung in Worten. c) Was folgt für das elektrische Feld an der Oberfläche eines idealen elektrischen Leiters. d) Geben Sie die Gleichung an, aus der die Randbedingung hergeleitet werden kann. e) Welche Geometrie war in der Vorlesung Ausgangspunkt der Herleitung? f) Was für eine Veränderung an der Geometrie ist dann betrachtet worden? g) Welche elektromagnetische Größe ist dadurch zu Null geworden? (7 Punkte)

3 Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September Gegeben ist eine ideal leitende Halbkugeloberfläche mit Radius R, die sich in Kugelkoordinaten über den Bereich π/2 ϕ π/2 und 0 ϑ π erstreckt. Ein Strom I fließt über die Halbkugeloberfläche vom Punkt (0,0, R) (kart. Koord.) zum Punkt (0, 0, R) (kart. Koord.), wobei an diesen beiden Punkten ideale Leiter auf der z-achse den Strom I in positiver z-richtung fortsetzen. Die Stromdichte auf der Halbkugeloberfläche ist nicht von ϕ abhängig. Das bedeutet, dass die Stromdichte konstant ist auf dem Halbkreis, der entsteht, wenn die Kugeloberfläche von einer Ebene parallel zur x-y-ebene geschnitten wird. Der durch den Schnitt erzeugte Halbkreis besitze den Radius a. y z I I J x a) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der rechten Zeichnung die Größe a und geben Sie die Länge L eines Halbkreises mit dem Radius a in Abhängigkeit von ϑ und R an. b) Geben Sie die Stromdichte auf der Halbkugel in Kugelkoordinaten an. Beachten Sie, dass die Oberfläche der Halbkugel als unendlich dünn angesehen wird. a ϑ R c) Geben Sie das Biot-Savart-Gesetz für Stromdichten an. d) Stellen Sie das Integral zur Berechnung der magnetischen Flussdichte im Ursprung B( r 0 = 0) verursacht durch die Stromdichte auf der Halbkugeloberfläche auf. Die Zuleitungen sind zu vernachlässigen. Benutzen Sie Kugelkoordinaten. Lösen Sie das Integral noch nicht, aber vereinfachen Sie den Integranden, auch mit der Beziehung e ϕ = e r e ϑ = ( e ϑ e r ). e) Transformieren Sie den noch vorkommenden Einheitsvektor in kartesische Koordinaten, drücken ihn also in Abhängigkeit von ϕ und/oder ϑ aus. Lösen Sie das Integral, um die Flussdichte im Ursprung auszurechnen. (0 Punkte) 6. Gegeben sei eine monochromatische, ebene, elektromagnetische Welle, die in z-richtung linear polarisiert ist und sich in negative x-richtung ausbreitet. Sie hat bei t = 0 im Ursprung die Phase 0 und besitzt die Amplitude Ê0. a) Geben Sie das elektrische Feld der Welle in einer Formel in komplexer Schreibweise an und erläutern Sie, woran erkennbar ist, in welche Richtung sich die Welle ausbreitet. b) Zu welcher in der Vorlesung hergeleiteten Gleichung stellt diese Formel eine Lösung dar? Geben Sie die Gleichung und ihren Namen an. c) Leiten Sie unter Zuhilfenahme einer Maxwellgleichung die Formel her, welche die zugehörige magnetische Flussdichte der Welle angibt.

4 Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September 206 d) Stellen Sie die Realteile der elektromagnetischen Welle graphisch dar. Wählen Sie einen Zeitpunkt, bei dem das elektrische Feld der Welle im Ursprung einen Nulldurchgang hat. In Ihrer Zeichnung soll die elektromagnetische Welle in Ausbreitungsrichtung über einem Abschnitt von mindestens zwei Wellenlängen zu sehen sein. Achten Sie darauf, dass sich alle markanten Größen in Ihrer Zeichnung durch Beschriftung wiederfinden und wichtige Winkel kenntlich gemacht sind. Zeichnen Sie auch den Wellenvektor ein. e) Verdeutlichen Sie die Ausrichtung der Felder, indem Sie deren Realteile in einer Projektion auf die y-z-ebene für die Orte r = ( λ, λ, 3λ) und r = ( λ, 3 λ, λ) zu 4 2 dem selben Zeitpunkt wie zuvor qualitativ zeichnen. Achten Sie auch hier wieder auf eine entsprechende Beschriftung und zeichnen Sie ebenfalls jeweils den Wellenvektor ein. f) Was ist an einer ebenen Welle eben, respektive was wird durch dieses Attribut beschrieben? (2 Punkte) 7. Gegeben sei eine ebene Welle im eingeschwungenen Zustand mit der relativen Amplitude E 0 =.Sie trifftunter einem Einfallswinkel ϕ aufeine ebenegrenzfläche, der Halbraum dahinter besitze den Brechungsindex,5 und davor sei dieser Wert (beide rein reell und µ r = in beiden Halbräumen). a) Zeichnen Sie einen Schnitt senkrecht zur Grenzfläche, geben Sie den Einfallswinkel ϕ und drei charakteristische Vektoren der einfallenden Welle an. Zeichnen Sie ein, in welche Richtung(en) die weitere Wellenausbreitung erfolgt. b) Welche Größen werden in den Kurven, 2, 3, 4 dargestellt und woher kommt der Unterschied zwischen dem Paar, 2 und dem Paar 3, 4? Es gibt mehrere aus den Kurven ableitbare Begründungen, dass es sich um den Übergang der ebenen Welle von n = nach n =,5 handelt und nicht umgekehrt. Geben Sie mindestens eine an ϕ ϕ 90 c) Bei welcher der vier Kurven ist das Auftreten des Brewster-Winkels zu erkennen und wozu kann man ihn technisch nutzen? d) Was müsste in der Aufgabenstellung bei unveränderten Brechungsindices verändert werden, um eine Totalreflexion erhalten zu können? Wo wird die Totalreflexion in der Informationsübertragungstechnik entscheidend ausgenutzt? (0 Punkte)

5 Elektromagnetische Felder I Klausur 2. September 206 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ einf ) Z cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) r r 3 r q t qt q t t 2 E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ trans ) Z cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) 3 q q q 2

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7 Elektromagnetische Felder II Klausur 2. September a) Die leitende Verbindung zwischen zwei Punkten A und B in einem Ersatzschaltbild, z.b. zwischen zwei Bauelementen, besitzt als Idealisierung immer einen ohmschen Widerstand von 0 Ω. Welche zwei weiteren Idealisierungen kommen im Wechselstromfall hinzu? Hinweis: Denken Sie bei einer der zwei gefragten Idealisierungen an den realen Abstand von A nach B. b) Welcher nichtideale, parasitäre Effekt muss für einen realen ohmschen Widerstand bei höheren Frequenzen typischerweise zuerst im Ersatzschaltbild berücksichtigt werden? c) Welche physikalische Eigenschaft wird durch den Begriff der Kapazität beschrieben? (4 Punkte) 9. Die Ladung Q wird auf eine Vollmetallkugel mit Radius R im freien Raum aufgebracht. Hinweis: Das elektrische Feld einer Punktladung darf als bekannt angenommen werden. a) Berechnen Sie die Energie W des elektrischen Feldes der Kugel. b) Wieviel Energie W q ist näherungsweise erforderlich, um eine weitere kleine Probeladung q, d.h. q Q, aus dem Unendlichen auf die Kugeloberfläche zu bringen? c) Welches Potential ϕ K hat die Kugel gegen das Nullpotential im Unendlichen? d) Berechnen Sie die Kapazität C der Kugel. (0 Punkte) 0. Das dynamische Vektorpotential kann aus einer Stromdichteverteilung J folgendermaßen berechnet werden: A( r,t) = µ 4π V J( r,t r r v ) r r d 3 r a) Was bedeutet Retardierung und wie bzw. mit welchem Term ist diese im oben angegebenen Ausdruck berücksichtigt? b) Für harmonische Ströme kann obiges Potential auch als A( r,t) = µ 4π V J( r ) e j(ωt k r r ) r r d 3 r geschrieben werden. Ist in diesem Ausdruck auch eine Retardierung berücksichtigt? Wenn nicht, warum entfällt diese bei harmonischen Signalen? Wenn ja, an welcher Stelle mit welchem Term? c) Welche zwei Elementarlösungen der eindimensionalen homogenen Wellengleichung gibt es und welche dieser Lösungen ist die physikalisch sinnvolle jeweils für eine sich in positive und eine sich in negative x-richtung ausbreitende Welle? (5 Punkte)

8 Elektromagnetische Felder II Klausur 2. September 206. a) Welche Feldkomponenten sind beim elektrischen Hertzschen Dipol in Kugelkoordinatendarstellung vorhanden? b) Welche drei Feldbereiche werden beim elektrischen Hertzschen Dipol klassifiziert und in welchen Abständen r vom Dipol befinden sie sich für den Winkel ϑ = 90, d.h. in der x-y-ebene bei z = 0? c) Welche Feldkomponenten dominieren im Fernfeld, außer auf der z-achse? Wie lautet deren Abstandsabhängigkeit? d) Geben Sie die Impedanz des Strahlungsfeldes an. e) Welche Abstandsabhängigkeit weist die Leistungsflussdichte im Fernfeld auf? Wie verhält sich damit die Abstandsabhängigkeit der insgesamt abgestrahlten Leistung? (8 Punkte) 2. Gegeben sei eine in der x-z-ebene, bei y = 0 liegende, leitfähige Ebene auf dem Potential 0 V. Parallel zur x-achse verläuft die Linienladungsdichte +τ durch den Punkt (0, d, 0). Es gilt τ, d > 0. Leiten Sie für diese Geometrie eine Konstruktionsvorschrift für die Äquipotentiallinien im Halbraum y > 0 her. Lösen Sie dazu folgende Teilaufgaben. a) In der Vorlesung wird dieses Problem behandelt. Geben Sie die Formel für das elektrische Potential passend zu der in der Aufgabenstellung gegebenen Geometrie an. b) Stellen Sie basierend auf der in a) gefragten Gleichung eine Bedingung auf, welche von Punkten gleichen Potentials erfüllt wird. c) Punkte gleichen Potentials entsprechen Kreisen in der y-z-ebene. Wie lautet die allgemeine Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten für die besagte Ebene für Kreise mit Mittelpunkt bei (y m,z m ) und Radius r? d) Lassen sich die in b) gefragte Bedingung in eine Kreisgleichung überführen und markante Elemente/Größen identifizieren? Für den Erhalt von Punkten ist eine Begründung notwendig. Führen Sie es deshalb durch, falls die Antwort ja lautet. Falls sie nein lautet, zeigen Sie, warum es nicht geht. e) Lässt sich zwischen der y-koordinate des Kreismittelpunkts einer Äquipotentiallinie, deren Radius und dem Abstand der Linienladungsdichte zum Ursprung ein Zusammenhang aufstellen, der ausschließlich diese drei Elemente enthält? Beantworten Sie diese Frage in Form einer Gleichung. Sollte Ihrer Antwort ein mathematischer Satz zugrunde liegen, so ist dessen Name anzugeben. f) Geben Sie basierend auf Ihrer Antwort aus e) eine Konstruktionsvorschrift für die Äquipotentiallinien der gegebenen Anordnung in Worten an und illustrieren Sie diese anhand einer Skizze. (2 Punkte)

9 Elektromagnetische Felder II Klausur 2. September Es gibt zwei Effekte, die im Wechselstromfall die reale Stromverteilung im Leiterquerschnitt bestimmen. a) Nennen Sie die beiden Begriffe. b) Welche Parameter und/oder Ursachen sind relevant? (4 Punkte) 4. Im Folgenden wird ein Rechteckhohlleiter mit der Breite a = 0 mm und der Höhe b = 5 mm betrachtet. Der Hohlleiter ist mit einem Dielektrikum (ε r 4) gefüllt. Nebenstehende Abbildung zeigt den Hohlleiter. b a a) Definieren Sie die sogenannte cut-off-frequenz eines Hohlleiters. Was versteht man unter Modenreinheit und warum sollte diese bei der Signalübertragung in Hohlleitern eingehalten werden? b) Leiten Sie die Gleichung zur Berechnung der cut-off-frequenz der H m,n -Mode aus der Eigenwertgleichung des Rechteckhohlleiters ( her. Hinweis: Für die Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung gilt km,n 2 = ε ω rµ 2 r π 2 m 2 + ). n2 c 2 a 2 b 2 Der Hohlleiter wird nun bei einer Frequenz von 0,6 GHz Hz betrieben. c) Zeigen Sie rechnerisch, welche H-Moden bei dieser Frequenz in dem Rechteckhohlleiter ausbreitungsfähig sind. Liegt Modenreinheit vor? Hinweis: Die cut-off-frequenz der niedrigsten ausbreitungsfähigen E-Mode liegt deutlich oberhalb von 0,6 GHz. d) Berechnen Sie ausgehend von der Eigenwertgleichung die Hohlleiterwellenlänge λ HL der H 0 -Mode des Rechteckhohlleiters. e) Wie groß ist die Feldwellenimpedanz Z für die H 0 -Mode? Hinweise: Es ist Z = fµ 0 λ HL. Sollten Sie in Aufgabenteil d) keinen Wert für λ HL ermittelt haben, nehmen Sie λ HL = 30 mm an. An den Hohlleiter wird gemäß nebenstehender Skizze ein zweiter Hohlleiter mit identischen Querschnittsabmessungen, aber einem anderen, unbekannten Dielektrikum angeschlossen. Der Reflexionsfaktor R an dem Übergang von Hohlleiter zu Hohlleiter 2 beträgt 0,5. Z Z 2 f) Bestimmen Sie den Transmissionsfaktor T von Hohlleiter zu Hohlleiter 2 und die Feldwellenimpedanz Z 2 des zweiten Hohlleiters. Hinweis: Sollten Sie in Aufgabenteil e) keinen Wert für Z bestimmt haben, rechnen Sie mit Z = 00 Ω. (2 Punkte)

10 Elektromagnetische Felder II Klausur 2. September Die nachfolgenden sechs Abbildungen zeigen Ladungen und ideal leitfähige Oberflächen. Dabei sind Linienladungen mit τ und Punktladungen mit q bezeichnet. Die Linienladungen und die ideal leitenden Oberflächen sind senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt. 60 q +q 30 q +q 2a a 60 q d +q 2 3 +τ q τ a) Geben Sie für die Anordnungen jeweils an, ob die Verteilung des elektrischen Feldes mit der Methode der Bildladungen berechnet werden kann. b) Lässt sich auf die Anordnungen 4 und 5 eine konforme Abbildung anwenden? c) Fertigen Sie für die Anordnungen, auf die die Methode der Bildladungen angewandt werden kann, Skizzen zu der Verteilung der Spiegelladungen an. Aus den Skizzen sollen sowohl die Position der erforderlichen Bildladungen als auch deren Vorzeichen hervorgehen. Nun soll die nebenstehende Anordnung betrachtet werden: In der x-z- Ebene befindet sich eine unendlich ausgedehnte, ideal leitfähige Platte auf dem Nullpotential. Oberhalb dieser Platte sind die Punktladungen Q und Q 2 angeordnet. Es gilt: Q = 3 nc, Q 2 = 63 nc, r Q = (0,2,0)m, r Q2 = (3,2,6)m, ε 0 As 0 Vm. z 6 Q 2 2 y Q 3 x d) Geben Sie zunächst das elektrostatische Potential einer Punktladung q im freien Raum an. Die Ladung q befinde sich am Ort r 0 = (x 0,y 0,z 0 ). e) Berechnen Sie für obige Anordnung zahlenmäßig die Potentiale ϕ( r ) und ϕ( r 2 ) an den Raumpunkten r = (0,4,0)m und r 2 = (0, 4,2)m. Geben Sie auch die Ortsvektoren etwaiger Bildladungen sowie deren jeweilige elektrische Ladung an. (0 Punkte)

11 Elektromagnetische Felder II Klausur 2. September 206 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ einf ) Z cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) r r 3 r q t qt q t t 2 E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ trans ) Z cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) 3 q q q 2

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