Elektromagnetische Felder Klausur 20. Juli 2009

Transkript

1 . In den folgenden Teilaufgaben sind die Größen mit Index 0 konstant und von jeweils passender Dimension. (a) Berechnen Sie das elektrische Feld E zum elektrostatischen Skalarpotential ϕ = ϕ 0 e r/r 0 in Kugelkoordinaten! (b) Berechnen Sie die Raumladungsdichte ρ zur dielektrischen Verschiebung D = D 0 ( (x z) y 0, y2 y 2 0, (x z) y 0)! y 2 y 2 (c) Berechnen Sie, außerhalb von r = 0, die elektrische Stromdichte J zum Magnetfeld H = H 0 (r 0 /r) e ϕ im magnetostatischen Fall in Zylinderkoordinaten mit r als der radialen Koordinate! (d) Berechnen Sie die Kraft F auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v = v 0 5 (4, 3, 0) in der magnetischen Flussdichte B = B 0 (0, 0, ) bewegt! (e) Berechnen Sie die Potentialdifferenz U im elektrostatischen Feld E = E 0 r 0 (x, y, 2z) zwischen den Orten r a = r 0 (,, 0) und r b = r 0 (, 0, )! (8 Punkte) 2. a) Wie lautet das Coulombsche Kraftgesetz, das zwischen einer Ladungsdichteverteilung ρ und einer Punktladung q beobachtet werden kann? b) Mit welcher mathematischen Umformung leitet man aus der Kraftgleichung von a) den Begriff des elektrischen Feldes E ab und wie interpretiert man E? c) Geben Sie das elektrostatische Potential ϕ und den Zusammenhang zwischen E und ϕ an. d) Was für eine mathematische Eigenschaft muss E allgemein besitzen, damit der Zusammenhang in c) sinnvoll angebbar ist? Geben Sie eine weitere hierzu äquivalente Aussage an. e) Was für eine Einheit besitzt ϕ und was für eine physikalische Bedeutung besitzt der Begriff Potential? f) Gegeben sei eine Potentialdifferenz ϕ a ϕ b und eine Ladungsmenge Q. Welche hieraus zusammengesetzte Größe ist das Maß, nach dem Sie an Ihr Stromversorgungsunternehmen zahlen müssen? (8 Punkte) 3. a) Aus welchem Naturprinzip folgt die Kirchhoffsche Knotenregel? b) Welchen Ladungswert hat die Elementarladung? c) Wie lautet die Gesamtkraft zwischen einer Stromdichteverteilung J( r) und einem extern erzeugten Feld B( r)? d) Welche Gleichungen werden zusätzlich zu den makroskopischen Maxwellgleichungen mindestens benötigt zur Bestimmung der vier Felder E, D, B und H? Geben Sie die Formeln an. Wie nennt man diese Gleichungen? (5 Punkte)

2 4. Geben Sie die Einheiten der folgenden Ausdrücke an, und zwar zusammengesetzt aus den Grundeinheiten A, C, J, V, kg, s und m: a) magnetischer Fluss Φ, b) Selbstinduktivitätskoeffizient L, c) magnetische Energiedichte w mag, d) Permeabilität des Vakuums µ 0, e) Wellenvektor k, f) Poyntingvektor S und g) Diracsche Deltafunktion δ(x), wobei x die Dimension einer Länge hat. Außerdem: h) Geben Sie die beiden definierenden Eigenschaften der Deltafunktion an. i) Was bedeutet die Deltafunktion anschaulich? (5 Punkte) 5. Gegeben sei die nebenstehende Leiteranordnung in einem kartesischen Koordinatensystem. Die drei Leiter sind im Ursprung des Koordinatensystems miteinander leitend verbunden. Der Leiter auf der x-achse erstreckt sich von 0 bis +, die beiden Leiter auf der y- und z-achse jeweils von 0 bis. Der Gleichstrom I fließt auf der z-achse aus dem Unendlichen kommend in Richtung Koordinatenursprung und teilt sich dort in zwei gleich große Ströme I/2 auf den beiden anderen Leitern auf. Es soll das am Ort r a := (a, a, 0) (mit a > 0) erzeugte B-Feld bestimmt werden. I/2 I z y I/2 x r a = (a, a, 0) a) Welche Beiträge zum Magnetfeld werden sich am Ort r a gegenseitig zu Null aufheben? Geben Sie eine Begründung an. b) Berechnen Sie das B-Feld am Ort r a aus dem verbleibenden Beitrag mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes in kartesischen Koordinaten. c) Geben Sie das B-Feld am Ort r a in Kugelkoordinaten an, also mit Hilfe der Basisvektoren e r, e ϑ, e ϕ. (9 Punkte)

3 6. Eine kugelförmige Wolke mit Radius a = km besitze eine konstante Raumladungsdichte ρ V = 20 nc/m 3. a) Berechnen Sie das durch die Raumladungsdichte erzeugte elektrische Feld im Inneren der Wolke und im gesamten äußeren Raum. Die Erde wird dabei vernachlässigt. Geben Sie alle benötigten Formeln und Gesetze (auch mit Namen) an. Verwenden Sie für die Berechnung ε 0 = C 2 /(Jm). b) Wie groß wäre die Oberflächenladungsdichte σ, wenn die gesamte in der Wolke vorhandene Ladung gleichmäßig nur auf der Oberfläche der Wolke verteilt wird und wie groß sind dann die elektrischen Felder im Inneren und Äußeren? c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem inneren elektrischen Feld, dem äußeren elektrischen Feld und der Oberflächenladungsdichte? (9 Punkte) 7. In der Nachrichtentechnik werden optische Signale mit Photodioden detektiert. Damit ein möglichst großer Teil der auftreffenden Leistung genutzt werden kann, werden Photodioden mit einer Entspiegelungsschicht versehen, um einen reflexionsarmen Übergang zum Übertragungsmedium herzustellen. Diese Entspiegelungsschicht soll im Folgenden dimensioniert werden. a) Was bedeutet es für die Imaginärteile von ε r und Z, sowie für die Reflexions- und Transmissionsfaktoren am Übergang von I nach II, wenn innerhalb des Materials keine Verluste auftreten? Medium I Medium II Medium III ε r,0 ε r,s ε r,p Z 0 Z s Z p Photodiodensenkrechter Welleneinfall x = 0 Schichtdicke d x = d Übertragungsmedium Entspiegelungsschicht schicht Alle 3 Schichten sind verlustlos und haben µ r =. b) Wie hängt der Wellenwiderstand Z von den Materialparametern ε 0, ε r, µ 0, µ r ab? c) Wie lautet der Reflexionsfaktor R für das E-Feld einer Welle, die von Medium I auf Medium II einfällt? Wie hängt der Transmissionsfaktor T 2 am Übergang von I nach II mit dem Reflexionsfaktor R zusammen? (Stetigkeit des E-Feldes) d) Stellen Sie die Gleichung für die Feldstärke E ges der gesamten reflektierten Welle bei x = 0 auf, in der die Reflexionsfaktoren und Transmissionsfaktoren an beiden Grenzschichten, sowie die Phasendrehung in der Entspiegelungsschicht vorkommen müssen. Hinweis: Mehrfachreflexionen beachten e) Bestimmen Sie die minimale Schichtdicke d und den Wellenwiderstand Z s, für die die reflektierte Welle E ges zu Null wird. Geben Sie die minimale Schichtdicke als Vielfaches der Wellenlänge im Medium der Entspiegelungsschicht an. Hinweis: Die Wellenwiderstände möglichst spät in die Reflexions-/Transmissionsfaktoren einsetzen. Bedenken Sie die Ergebnisse vom Aufgabenteil a). (2 Punkte)

4 8. Gegeben sei ein Koaxialkabel mit dem Radius des Innenleiters a und dem inneren Radius des Außenleiters b. Ein Strom I fließt auf der Oberfläche des Innenleiters in die positive z-richtung und auf der inneren Oberfläche des Außenleiters in die negative z-richtung. a) Geben Sie zunächst die Gleichung für das äußere B-Feld eines geraden, unendlich langen, vom Strom I durchflossenen Leiters an. Nur das Feld außerhalb des Leiters ist gefragt, eine Herleitung ist nicht gefordert, verwenden Sie Zylinderkoordinaten und nehmen Sie an, dass der Strom in die positive z-richtung fließt. b) Berechnen Sie mit Hilfe der magnetischen Feldenergie den Eigeninduktivitätsbelag L, also die Eigeninduktivität pro Längeneinheit, des Koaxialkabels. c) Wie ändert sich der Eigeninduktivitätsbelag, wenn berücksichtigt wird, dass der Strom nicht nur an den Oberflächen von Innen- und Außenleiter fließt, sondern auch in deren Innerem? Eine qualitative Antwort ohne Rechnung, aber mit anschaulicher Begründung reicht. (7 Punkte) 9. Betrachtet wird ein Hertzscher Dipol im Koordinatenursprung, der in Richtung der z-achse ausgerichtet ist. a) In welchen Abständen von dem Hertzschen Dipol endet das Nahfeld und wo beginnt das Fernfeld in der Ebene z = 0? b) Welche Feldkomponenten gibt es in Längsrichtung z des Dipols? Strahlen diese Energie ab? c) Unter welchen beiden Voraussetzungen können die von einem Dipol abgestrahlten Wellen, außer in Richtung der z-achse, näherungsweise als ebene Wellen betrachtet werden? d) Warum können die abgestrahlten Wellen auch in großem Abstand nicht als Kugelwellen betrachtet werden? e) Welche Abstandsabhängigkeit weist die Leistungsflussdichte im Fernfeld auf und wie verhält sich dann folglich die Abstandsabhängigkeit der insgesamt abgestrahlten Leistung? (6 Punkte) 0. a) Wodurch wird bei einem Hohlleiter der nutzbare Frequenzbereich im Allgemeinen begrenzt? Was ist der Unterschied zu einem (Koaxial-)Kabel? b) Welche Spannungen ergeben sich bei der Integration des E-Feldes für die beiden Wege und 2 zwischen den Punkten A und B? Geben Sie für jeden Abschnitt nur an, ob die Spannungen gleich Null oder ungleich Null sind und gehen Sie von einer H 0 -Mode im Hohlleiter aus, mit nichtverschwindendem E-Feld für einen festen Zeitpunkt. Warum sind die Spannungen für die Wege und 2 gleich oder unterschiedlich? Begründen Sie Ihr Ergebnis für alle Teilwege des Weges 2, d.h. A A, A B und B B. c) Warum werden Rundhohlleiter in der Praxis meist nicht eingesetzt, sondern Rechteck- oder Ovalhohlleiter bevorzugt? B A 2 B A

5 d) Welche Gleichung bildet den Ausgangspunkt für die Berechnung der Feldverteilung im Hohlleiter? Die Angabe des allgemeinen Namens reicht als Antwort. e) Welche analytische Methode wird zur Lösung der Gleichung aus d) angewendet? (7 Punkte). Die inhomogene Wellengleichung für das dynamische Skalarpotential ϕ( r, t) im Vakuum bei Vorhandensein der Raumladungsdichte ρ( r, t ) hat als Lösung: ϕ( r, t) = 4πε 0 V ρ( r, t r r /c) d 3 r r r a) Erläutern Sie den Ausdruck in der obigen Gleichung, welcher den Unterschied zur einfacheren Darstellung des elektrostatischen Potentials ausmacht. Was bewirkt bzw. beschreibt dieser Ausdruck? b) Zur Berechnung des elektrischen Feldes E reicht im elektrostatischen Fall die Kenntnis von ϕ( r) alleine aus. Im allgemeinen dynamischen Fall ist ϕ( r, t) zur Berechnung des elektrischen Feldes nicht ausreichend. Welche zusätzliche Größe muss hier bekannt sein? Geben Sie ihren Namen und das für sie typischerweise verwendete Formelzeichen an. Hinweis: Für diese Größe kann ebenfalls eine Wellengleichung aufgestellt werden, deren Lösung eine analoge Form wie oben hat. Das ist hier jedoch nicht gefordert. c) Wodurch wird die in Teil b) gesuchte Größe erzeugt, also was verursacht die Inhomogenität in ihrer Wellengleichung? (4 Punkte) 2. Für den dynamischen Fall (ω > 0) wird die ebene Grenzschicht zwischen einem nichtleitenden Material, gekennzeichnet durch die reellen, konstanten Materialparameter ε und µ, und einem idealleitendem Material 2 betrachtet - beispielsweise die Seitenwand eines Hohlleiters. Mat. σ = 0 ε,µ Mat.2 σ = a) Welche Komponenten des elektrischen Feldes E und welche Komponenten der magnetischen Flussdichte B verschwinden im Material in unmittelbarer Nähe zur Grenzschicht zum Material 2? Eine Herleitung wird nicht erwartet. Erläuterung: Verschwinden bedeutet hier gegen Null gehen. b) Aus jeweils welcher Maxwellgleichung lässt sich das Verschwinden für diese Feldkomponenten ableiten, wenn das Verschwinden der Felder im idealleitenden Material 2 als bekannt vorausgesetzt werden kann? Ordnen Sie die jeweilige Maxwellgleichung eindeutig der verschwindenden Komponente zu. c) Berechnen Sie Bx und By in Material in unmittelbarer Nähe zur Grenzschicht. z z Starten Sie mit dem Maxwell-Ampereschen Gesetz und nutzen Sie die Lösung zu Teil a). Hierbei soll das kartesische Koordinatensystem so angeordnet sein, dass die Grenzschicht auf z = 0 fällt und Material 2 im Halbraum z > 0 liegt. (8 Punkte)

6 3. Gegeben sei ein gerader Draht mit der Leitfähigkeit σ und dem Radius R. In ihm fließt ein Gleichstrom I. Betrachtet wird ein Stück des Drahtes mit der Länge L. a) Berechnen Sie zunächst das Magnetfeld H(r) im Inneren eines von einem Gleichstrom I gleichmäßig durchflossenen geraden, unendlich langen Leiters mit Radius R. Hierbei ist r der Abstand zur Mittelachse des Leiters. b) Berechnen Sie nun die in das Drahtstück der Länge L einfließende Leistung mittels Integration des Poyntingvektors S über die Oberfläche dieses Drahtstücks. L z R I σ c) Berechnen Sie zum Vergleich das Volumenintegral von J E im selben Drahtstück. d) Wie hängen der Poyntingvektor S und J E im Gleichstromfall zusammen? e) Welche zusätzlichen Beiträge müssten im Wechselstromfall beim Zusammenhang zwischen Poyntingvektor S und J E noch berücksichtigt werden? (2 Punkte) 4. Gegeben sei eine Linienladung τ mit dem Ladungsbelag τ = C/m, welche parallel zur y-achse verläuft. Bei x = 2 m und x = +2 m werden zwei dünne metallische, geerdete Folien in der y-z-ebene (mit z 0 m) aufgespannt. Außerdem befindet sich eine Folie bei z = 0 m im Bereich x = [ 2 m; +2 m]. Das elektrische Feld soll mit Hilfe der Spiegelladungsmethode bestimmt werden z/m τ 2 x/m 3 Beantworten Sie zunächst die allgemeinen Fragen zur Spiegelladungsmethode. a) Ist die Spiegelladungsmethode in nur zwei oder in allen drei Raumdimensionen anwendbar? b) Was sind die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit des passenden Eindeutigkeitssatzes, der hier zum Beweis der Eindeutigkeit der Lösung gebraucht wird? c) Fertigen Sie eine Zeichnung an, aus der hervorgeht wo welche Spiegelladungen zu platzieren sind, um die Randbedingungen zu erfüllen. d) Wie viele Spiegelladungen werden zur Erfüllung der Randbedingung in dieser Aufgabe benötigt? e) Wie lauten allgemein die Formeln für das Potential und das elektrische Feld einer Linienladung? f) Berechnen Sie eine Näherung für das elektrische Feld am Ursprung des Koordinatensystems, indem Sie die Beiträge der sechs nächstgelegenen (Spiegel-)Ladungen berücksichtigen. (2 Punkte)

7 Hilfsformeln: dx (x 2 + a 2 ) 3 2 = x a 2 x 2 + a 2, x dx ax2 + bx + c 3 = 2 (bx + 2c) (4ac b 2 ) ax 2 + bx + c x = + x + x2 + x für x < x = + 2 x2 + x 4 + x für x < ( x) = + 2x + 2 3x2 + 4x für x < Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ einf ) Z cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z cos(θ trans ) Einfallsebene kr x Er z Grenzfläche Hr He e Ee e ke k H t t t Et Medium Medium 2 y E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ trans ) Z cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z cos(θ einf ) x Er Einfallsebene kr Hr z Grenzfläche e H e Ee e k e Et Ht t kt Medium Medium 2 y

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