Elektromagnetische Felder Klausur 3. September 2008

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1 1. Geben Sie die Einheiten der folgenden Größen bw. Ausdrücke an: a) J E b) div ( E H) c) 2 Q( r) r r d3 r d) A( r) = µ 4π e) rot A( r) f) rot (rot A( r)) J( r ) r r d3 r g) Im Ausdruck E = E e α e j(ωt β) die Einheiten von α und β. (7 Punkte) 2. Ein Elektron bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = 3 m/s entlang der positiven -Achse in einem konstanten B-Feld, welches in Richtung der -Achse eigt, mit B = (,, 5) mt. Um eine Ablenkung des Elektrons u verhindern soll die wirkende magnetische Kraft durch ein elektrisches Feld kompensiert werden. Berechnen Sie den hieru nötigen elektrischen Feldstärkevektor E. (3 Punkte) 3. Gegeben sei eine kugelsmmetrische Materialanordnung mit der Schichtenfolge: I II III IV V VI Dielektrikum Vakuum Metall Vakuum Dielektrikum mit endlicher ohne Leitfähigkeit, Leitfähigkeit, ε r = 5 ε r = 1 r = r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 Vakuum a) In den Bereich I wird die Ladungsmenge +Q eingebracht. Wie verteilt sich diese? b) Zusätlich u +Q im Bereich I wird eine Ladung Q an der Grene wischen den Bereichen V und VI gleichmäßig verteilt aufgebracht. Leiten Sie ausgehend von der Mawellgleichung, welche die dielektrische Verschiebung mit der Raumladungsdichte verbindet, unächst eine für kugelsmmetrische Ladungsverteilungen allgemein gültige Formel für das elektrische Feld her. c) Wenden Sie die in b) gefundene Formel auf die 6 Bereiche an und geben Sie die entsprechenden elektrischen Felder an. Beachten Sie, dass Sie usätlich u den Ladungen +Q und Q noch weitere Ladungsdichten berücksichtigen müssen! d) Wie groß ist die Potentialdifferen, welche eine Probeladung q auf dem Weg von r = bis r durchläuft? e) Geben Sie die bei r 5 verteilte Ladungsmenge Q in der Form einer Flächenladungsdichte σ und einer Raumladungsdichte ρ an. (11 Punkte)

2 4. Gegeben ist die rechts abgebildete Anordnung mit dem Winkel α in der --Ebene. Auf dem dargestellten Leiterstück der Länge 2L fließt der Strom I. a) Berechnen Sie mit dem Biot-Savart-Geset den Beitrag dieses Leiterstücks ur magnetischen Flussdichte B P im Punkt P = (,, ) auf der hier nicht dargestellten -Achse, mit >. b) Berechnen Sie nun im Vakuum den Betrag der magnetischen Flussdichte B P im Punkt P für α = 45, = 3 m, I = 15 A und L = 4 m. Geben Sie den Zahlenwert mit Einheit an. (11 Punkte) 5. In der --Ebene des im nebenstehenden Bild geeigten Koordinatensstems befindet sich eine dreiecksförmige Leiterschleife, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v = v e in die positive -Richtung bewegt. Die an der Stelle (, s, ) unterbrochene Leiterschleife sei im Vergleich u den übrigen Abmessungen so dünn, dass sie als Linienleiter aufgefasst werden kann. Entlang der -Achse fließt ein Gleichstrom I. Der gesamte Raum besitt die Permeabilität µ, ferner gilt: s = s(t) = s + v t mit s >, v > und t >. Die gesamte Leiterschleife soll also nur im Halbraum > untersucht werden. a a I 1 2 L I L α 1 2 v = v e s s + a a) Bestimmen Sie,.B. mit Hilfe des Durchflutungsgesetes in integraler Form, das Magnetfeld, welches durch den entlang der -Achse fließenden Linienstrom I ereugt wird. Geben Sie das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an. (Wichtig für die weitere Rechnung!) b) Wie lautet das Faradasche Induktionsgeset in Integralform? Schreiben Sie es unter Verwendung integraler Feldgrößen auf. c) Bestimmen Sie den magnetischen Fluss Φ welcher die Leiterschleife durchsett in Abhängigkeit von der Position s. d) Berechnen Sie ausgehend von dem Ergebnis aus Aufgabenteil c) den eitlichen Verlauf der induierten Spannung wischen den Enden der offenen Leiterschleife. e) Gegen welchen Wert strebt die induierte Spannung nach hinreichend langer Zeit? f) Bestimmen Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil c) die Gegeninduktivität dieser Anordnung. Die Leiterschleife wird nun geschlossen. Der Schleifenwiderstand beträgt R. Rechnen Sie im Folgenden abkürend mit u i (t) als induierter Spannung weiter. g) Wie groß ist der in der Leiterschleife induierte Strom i i (t)? h) In welche Richtung wird die auf die gesamte Leiterschleife wirkende Kraft eigen, welche aus der Wechselwirkung wischen i i (t) und I herrührt? Begründen Sie kur Ihre Antwort. (12 Punkte)

3 6. Berechnen Sie mit Hilfe der Integralsäte für elektro- und magnetostatische Fälle die Feldverteilungen von D und H im gesamten Raumgebiet für folgende Anordnungen: a) einen geraden Leiter mit Radius R und J(r) = J ( r R) 2 e (hierbei ist die Mittelachse des Leiters die -Achse und r ist der Abstand von der -Achse) und b) eine Kugel mit Radius R und konstanter Raumladungsdichte ρ im Innern. c) Außerhalb einer Kugel liefert die Berechnung von D mit Hilfe des Gaußschen Sates überall Null. Kann daraus geschlossen werden, dass das Feld innerhalb der Kugel wangsläufig divergenfrei ist? Mit Begründung! (9 Punkte) 7. Berechnen Sie die Kapaität C eines Zlinderkondensators der Länge l mit Innenradius a und Außenradius 2a. Das Dielektrikum sei abhängig vom Radius ρ und habe eine relative Dielektriitätsahl ε r (ρ) = ρ. Es erstreckt sich von der inneren Kondensatorfläche bei a ρ = a ur äußeren Kondensatorfläche bei ρ = 2a. Vernachlässigen Sie Randeffekte an den Deckelseiten des Zlinders. (4 Punkte) 8. In einem homogen mit verlustlosem Material gefüllten Raum breite sich eine ebene elektromagnetische Welle mit der Wellenlänge λ aus. Die Welle ist linear polarisiert und hat im Ursprung eines kartesischen Koordinatensstems um Zeitpunkt t = 1 s die Feldstärken E = 1 V/m V/m V/m und H = a) In welche Richtung breitet sich die Welle aus? A/m 1 A/m A/m. b) Wie groß sind E und H um selben Zeitpunkt (t = 1 s) an den drei Raumpunkten λ/2 r 1 =, r 2 = λ/4 und r 3 =? 3λ c) Warum ist die ebene Welle ein idealisiertes Gebilde (Stichwort Leistung)? d) Wieso kann das reale Wellenverhalten in vielen Situationen trotdem mit ebenen Wellen hinreichend genau beschrieben werden? Erläutern Sie dies am Beispiel des Hertschen Dipols. Geben Sie hierfür die Bedingungen an, unter denen die Annahme der ebenen-wellen-näherung passt. e) Geben Sie mindestens einen Grund dafür an, dass mit einer ortsfesten, aber eitlich variierenden Punktladung, also.b. ρ( r, t) = Q δ() δ() δ() sin(ωt) als Feldquelle, keine ideale Kugelwelle ereugt werden kann. (7 Punkte)

4 9. Welche Proportionalitäten in Abhängigkeit vom Abstand r bestehen bei großen Abständen für die elektrische und magnetische Feldstärke im Vakuum für: a) eine elektrische Ladung (nur E), b) einen elektrostatischen Dipol (nur E), c) einen elektrostatischen Quadrupol (nur E), d) einen Hertschen Dipol (E und H), e) eine geradlinige, unendlich lange Linienladung (nur E), f) einen geradlinigen, unendlich langen Linienstrom (nur H)? (6 Punkte) 1. Gegeben sei die nebenstehende idealisierte Anordnung eines weit ausgedehnten Flüssigkeitstanks. Seine Seitenwände können in der folgenden Betrachtung vernachlässigt werden. Der Tank lässt sich in drei Teilbereiche untergliedern, mit den jeweils ugehörigen Dielektriitätsahlen. Eine ebene elektromagnetische Welle trifft senkrecht von oben kommend auf die Flüssigkeitsoberfläche bei = h. Betrachtet wird der eingeschwungene Zustand. h I II III ε r1 = 1 ε r2 = 9 ε r3 = a) Bestimmen Sie die Wellenwiderstände für die Bereiche I, II und III - beogen auf den Freiraumwellenwiderstand Z. b) Berechnen Sie die wei Refleions- und die wei Transmissionskoeffiienten an der Flüssigkeitsoberfläche bei = h sowie den Refleionskoeffiienten am Boden des Behälters bei =. c) Bestimmen Sie ahlenmäßig den Betrag des Wellenvektors im Bereich II für eine Frequen der Welle von f = 5 MH. d) Geben Sie den Gesamtrefleionskoeffiient R ges für die vorliegende Anordnung bei = h an der Flüssigkeitsoberfläche an. Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich ohne Zahlenwerte einuseten. e) Seten Sie nun die berechneten Zahlenwerte aus b) und c) in den Ausdruck für R ges ein und vereinfachen Sie das Ergebnis. f) Wie hoch muss die Flüssigkeit in einem nicht-leeren Tank, also h >, mindestens stehen damit die reflektierte Welle die gleiche Phasendrehung erfährt wie bei einer Refleion am Boden des leeren Tanks, also h =? Beachten Sie, dass in diesem verlustlosen Aufbau die gleiche Phasendrehung weier Anordnungen auch den gleichen Refleionskoeffiienten der beiden Anordnungen bedeutet und umgekehrt. Geben Sie das Ergebnis mit Einheit und einem kuren Rechenweg an. Hinweis: Rechnen Sie mit π 3 und µ r = 1. (12 Punkte)

5 11. a) Bestimmen Sie für ein Material mit der elektrischen Leitfähigkeit σ und der reellen Dielektriitätskonstanten ε die Frequen f bei der die elektrische Leitungsstromdichte und die Verschiebungsstromdichte betraglich gleich groß sind. b) Wie groß ist diese Frequen für Kupfer mit σ S/m und ε ε? (5 Punkte) 12. Gegeben sind folgende wei Geometrien, jeweils eine Linienladung und Metallebenen mit (halb-)unendlicher Ausdehnung. 1) 2) = a/ 2 τ τ = a/ 2 = a 2 Die Ebenen erstrecken sich also jeweils über die positive - bw. -Achse sowie die komplette dritte, hier nicht eingeeichnete, Dimension. Bei der Metallebene in Geometrie 2) sollte bedacht werden, dass diese eine Ober- und eine Unterseite besitt. a) Mit Hilfe der konformen Abbildung w = p sollen diese Geometrien in eine einfache Geometrie überführt werden. Geben Sie für jede Geometrie das entsprechende p für die geeignete Abbildungsvorschrift an. Gehen Sie hierbei von einem Winkelbereich ϕ [ : 2π[ sowie = + j = r e jϕ aus. Hinweis: Die Geometrie in der w-ebene ist bei beiden Anordnungen identisch. b) Kenneichnen Sie in einer eigenen Skie in der -Ebene die Komponenten der Geometrie und in einer weiteren Skie wohin diese Komponenten in der w-ebene überführt werden. c) Berechnen Sie in der w-ebene das Potential, welches im Unendlichen Null sein soll. d) Berechnen Sie aus dem Potential das elektrische Feld in der w-ebene. e) Skiieren Sie in der -Ebene jeweils, für welche Raumgebiete die Lösungen nach einer Rücktransformation nur gültig wären. (14 Punkte)

6 13. Zur Lösung der Wellengleichung in Hohlleitern gemäß nebenstehender Abbildung soll folgender Produktansat verwendet werden: Π(,, ) = Π cos(k ) cos(k ) e j(ωt k ), mit Π >. a) Berechnen Sie das E-Feld mit Hilfe der Beiehung E(,, ) = rot (,, Π(,, )). a (,, ) b b) Berechnen Sie das H-Feld aus dem Ergebnis von a) mit der geeigneten Mawellgleichung. c) Was muss allgemein für k und k gelten, damit das E-Feld und das H-Feld aus dem obigen Ansat ableitbar sind, d.h. gültige Feldverteilungen im Hohlleiter resultieren, und welche Randbedingung wird damit erfüllt? d) Geben Sie an, wie die Ausbreitungskonstante k mit k, k und der Frequen usammenhängt. e) Berechnen Sie den Wellenwiderstand im Hohlleiter mit den Ergebnissen aus a) bis d) für die H 1 -Mode. f) Skiieren Sie die E-Feldverteilung der H 21 -Mode in der =-Ebene um Zeitpunkt t =. Gehen Sie dau wie folgt vor: i) Zeichnen Sie das E-Feld in der =-Ebene, indem Sie jeweils die Voreichen der E - und der E -Komponenten über bestimmte Abschnitte des Hohlleiters bestimmen und durch Pfeile andeuten. Diese Abschnitte unterschiedlichen Voreichens können durch Betrachtung der einelnen Sinus- bw. Kosinusfunktionen mit entsprechenden k und k gefunden werden. ii) Verbinden Sie nun die einelnen Pfeile u Feldlinien, berücksichtigen Sie dabei aber die geltenden Randbedingungen. (13 Punkte)

7 Hilfsformeln: d a2 + b + c 3 = 2 (2a + b) (4ac b 2 ) a 2 + b + c d a2 + b + c 3 = 2 (b + 2c) (4ac b 2 ) a 2 + b + c d ( b)2 + a 23 = b a 2 ( b) 2 + a 2,,, sin 2 a d = sin 2a 4a cos 2 a d = sin 2a 4a d ( 2 + a = ln + ) 2 + a = für < = für < 1 1 (1 ) = für < 1 Refleion und Brechung an Grenflächen: E senkrecht ur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) Einfallsebene kr Er Grenfläche Hr He Ee ke k H t t t Et Medium 1 Medium 2 E parallel ur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) Er Einfallsebene kr Hr Grenfläche H e Ee k e Et Ht t kt Medium 1 Medium 2