Spezielle Relativitätstheorie

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1 Spezielle elaiiäsheorie

2 . GUNDEGIFFE DE ELATIVITÄTSTHEOIE. ELATIVEWEGUNGEN ewegung eines Körpers is gleih bedeuend i Lageänderung des Körpers. Die Lage eines Körpers wird ier relai zu ewas angegeben. ewegungen sind soi relai, sie hängen o ezugsyse ab, relai zu de die ewegungen angegeben werden. An eine eispiel erläuern wir, dass Geshwindigkeisangaben nur dann sinnoll sind, wenn dabei gleihzeiig das ezugsyse angegeben wird. Je ein eobaher a Sraßenrand, i orbeifahrenden Auo sowie i dahineilenden Zug führen Geshwindigkeisessungen durh. Der Zug und das Auo fahren dabei o Sraßenrand aus gesehen in die gleihe ihung. Die Tabelle enhäl die Geshwindigkeien, die jeweils on den drei eobahern, jeder sih selbs als ruhend berahe, geessen wurde: Geshwindigkeisangabe des eobahers in k/h für den Sraßenrand für das Auo für den Zug o Sraßenrand aus 5 o Auo aus -5 7 o Zug aus - -7 Jeder eobaher iss gegenüber eine anderen eobaher eine andere Geshwindigkei. Daraus ergib sih das folgende elaiiäsprinzip, das shon Galileo Galilei (564-64) erkanne: Ales elaiiäsprinzip: Jede ewegung spiel sih in allen ezugsyseen so ab, als ob diese ruhen würden. Daher is jede ewegung relai, da das jeweilige ruhende ezugsyse frei gewähl werden kann. Man kann Vorgänge aus eine beliebig gewählen ezugssyse heraus beobahen. Es gib also keinen absoluen uhezusand. Es selle sih heraus, dass dieses elaiiäsprinzip für Geshwindigkeien iel kleiner als die Lihgeshwindigkei gülig is.. INETIALSYSTEME Zur eshreibung on physikalishen Vorgängen benöig an ezugsysee für den au und für die Zei. Ein ezugsyse beseh dabei aus aeriellen Punken, auf die wir die ewegung der Körper beziehen. Mi de ezugsyse is ein Koordinaensyse sarr erbunden, so dass die Lage eines jeden Punkes des bewegen Körpers i drei Orskoordinaen eindeuig fesgeleg is. Das ezugsyse kann frei gewähl werden. Allerdings werden in der Speziellen elaiiäsheorie nur so genanne Inerialsysee benuz. Inerialsysee sind räulihe ezugsysee, in denen ein kräfefreier Körper in uhe oder in geradlinig gleihföriger ewegung erharr, also in denen das Trägheisprinzip gil. Das ezugsyse S i den Koordinaen (x, y, z) is i de ahnda erbunden, während das Syse S i den Koordinaen (x, y, z ) o Güerzug geragen wird. eide Sysee bewegen sih geradlinig gleihförig zueinander. Man erware, dass die physikalishen Geseze in beiden ezugsyseen die gleihe For haben. elaiiäsheorie

3 Eingeshlossen in eine shwarzen Kasen kann an durh keinen Versuh herausfinden, ob an sih i Syse S oder i Syse S befinde. Insbesondere kann nih fesgesell werden, welhes dieser beiden Syse in uhe is. Es gib nur relai zueinander in uhe befindlihe Sysee. Sogar wenn an zu Fenser herausshau und einen zweien Zug wahrni, is es of sehr shwierig zu beureilen, ob der eigene Zug oder der andere in ewegung is. In Nih-Inerialsyseen reen zusäzlihe Trägheiskräfe auf. Ers die Allgeeine elaiiäsheorie eröglih die erahung on ezugsyseen, die relai zu eine Inerialsyse beshleunig sind..3 GUNDPINZIPIEN DE SPEZIELLEN EALITIVITÄTSTHEOIE Einsein posuliere, dass sih alle Inerialsysee gleiheraßen zu Aufbau der Physik eignen. Dies is der Inhal des elaiiäsprinzips, das Einsein als Grundlage für seine Spezielle elaiiäsheorie wähle: elaiiäsprinzip: Naurgeseze haben in allen Inerialsyseen die gleihe For. Die physikalishen Gesezäßigkeien haben in zwei zueinander bewegen Syseen dieselbe For und sind unabhängig on der relaien Geshwindigkei zwishen den beiden Syseen. Dies ha insbesonders große Konsequenzen in der Theorie des Elekroagneisus, in der die Vakuulihgeshwindigkei explizi in den Gleihungen aufri. Wenn alle Inerialsysee gleihberehig sind, so uss sih ein Lihsignal i Vakuu offensihlih in jede dieser Sysee in alle ihungen i der gleihen Geshwindigkei ausbreien. Dies is das Prinzip der Konsanz der Lihgeshwindigkei. ei gleihförig geradliniger ewegung zwishen Lihquelle und eobaher wird die Vakuulihgeshwindigkei unabhängig on der elaigeshwindigkei zu selben Were geessen. Prinzip der Konsanz der Lihgeshwindigkei: Die Lihgeshwindigkei is o ewegungszusand der Lihquelle und des eobahers unabhängig. Die Lihgeshwindigkei i Vakuu beräg in jede Inerialsyse = 3 k/s. Das elaiiäsprinzip (nah Einsein) und das Prinzip der Konsanz der Lihgeshwindigkei sind aus Erfahrung gewonnen und i eigenlihen Sinne nih beweisbar, sondern nur widerlegbar; es sind Posulae. Man kann nur Shlussfolgerungen aus ihnen ableien und die so gewonnenen Erkennnisse experienell überprüfen. Das auf diesen beiden Grundprinzipien aufgebaue egriffsyse und die Gesahei der daraus folgenden esulae sellen den Inhal der Speziellen elaiiäsheorie dar. elaiiäsheorie 3

4 . ELATIVISTISCHE KINEMATIK. LICHTUH D Wir wollen den Gang einer bewegen Uhr unersuhen. U diese Überlegungen zu erleihern, konsruieren wir zunähs in Gedanken eine öglihs einfahe Uhr, die Lihuhr. Sie beseh aus eine Zylinder, an dessen oberen Ende sih eine lizlape befinde. Ein on der Lape ausgesendeer Lihbliz durhläuf den Zylinder und wird a uneren Ende on eine Spiegel reflekier. Wenn der Lihbliz wieder a oberen Ende einriff, soll on der Lape sofor ein neuer liz ausgesende werden. Außerde rük die Anzeige der Uhr u eine Zeieinhei weier. Für die Länge des Zylinders D =,5 is die Zeieinhei i uhesyse S uh der Uhr: D,5 9 s ns 8 3 / s Die Anzeige gib hier die Zei in Nanosekunden an.. ZEITDILATATION A ns ns D L L ½ C Wir berahen den Lihweg nun in eine ezugssyse S ew (z.. in eine aushiff), in de sih die Lihuhr i der Geshwindigkei beweg. Zwishen de Aussenden und de egisrieren eines Lihblizes wird i ezugssyse S ew das Zeiinerall geessen. Während dieser Zei leg das aushiff i der Lihuhr eine Disanz zurük. Verglihen i de Lihweg in S uh uss das Lih in S ew einen längeren Weg zurüklegen. Geäß de Prinzip der konsanen Lihgeshwindigkei wird in beiden Syseen dieselbe Lihgeshwindigkei geessen. Daraus folg, dass der Lihbliz i bewegen Syse S ew für einen Durhlauf eine Zei brauh, die länger is als i uhesyse S uh. elaiiäsheorie 4

5 elaiiäsheorie 5 Aus Sih des Inerialsysees S ew benöig das Lih ehr Zei, beor es a oberen Ende des Zylinders einriff. Das ik-ak der ruhenden Uhr wird zu iiik-aaak der bewegen Uhr. Diesen Effek bezeihnen wir als Zeidilaaion (Zeidehnung). U die Zeidilaaion zu berehnen, üssen wir fessellen, welhe eziehung zwishen de Zeiinerall i bewegen Syse S ew und der Zeispanne i uhesyse S uh beseh. Wenden wir den Saz des Pyhagoras auf dieses rehwinklige Dreiek (AC) an, so erhalen wir : L D [A] I ezugssyse S ew beräg die o Lihbliz in der Zei zurükgelege Sreke L : L L I uhesyse S uh beräg die o Lihbliz in der Zei zurükgelege Sreke D : D D Durh Einsezen der Ausdrüke für L und D in die eziehung [A] erhalen wir : Wegen < gil ier >. Die on einer bewegen Uhr für einen Vorgang geessene Zeispanne is ses größer als die i uhesyse eriele Zeispanne für den gleihen Vorgang. Es gil der Zusaenhang i wobei die elaigeshwindigkei zwishen den ezugssyseen und die Lihgeshwindigkei sind. bezeihnen wir als relaiisishen -Fakor.

6 Zwishen zwei Ereignissen iss der eobaher den kürzesen Zeiabsand, der sie direk also ruhend in seine eigenen ezugssyse erleb. Diese Zei heiß Eigenzei. Die Zeidilaaion ri nih nur bei den hier beraheen Lihuhren auf, sondern gil für alle Uhren und bei allen Vorgängen. Man kann weiergehen und jedes Werden und Vergehen in der Naur als ein Maß für den Ablauf der Zei ansehen. So sellen Pflanzen, Tiere und Menshen ebenfalls Uhren dar, die der Zeidilaaion unerworfen sind. Eine lue, die in eine aushiff in ihrer Eigenzei nur eine Wohe blüh, könne bei ensprehend großer Geshwindigkei des aushiffs on der Erde aus gesehen länger als ein Jahr blühen..3 LÄNGENKONTAKTION Ha eine Sreke in eine zu ihr ruhenden Syse eine Länge x, so ha die gegen den eobaher in Längsrihung bewege Sreke eine kleinere Länge x : x x Die i uhesyse geessene Länge heiß Eigenlänge x. I Inerialsyse i ruhende Maßsab iss an in ewegungsrihung den axialen Wer einer Länge gegenüber allen anderen Inerialsyseen. Die Längen senkreh zur ewegungsrihung bleiben ungeänder. Der Superheld flieg i << : Alles ershein wie gewohn. Der Superheld flieg i annähernd gleih : Aus seiner Sih sind Einsein und die Sad erkürz. Der Superheld flieg i annähernd gleih : Aus Einseins Perspekie is der Held erkürz. Hier gil für die Längenkonrakion x =,55 x, was einer Geshwindigkei =,835 ensprih elaiiäsheorie 6

7 .4 MYONENZEFALL Die Myonen gleihen in ielen Eigenshafen den Elekronen; sie sind jedoh shwerer und sie zerfallen shon kurze Zei nah ihrer Ensehung in andere Teilhen: an sag, sie seien insabil. Dieser Zerfall folg eine exponeniellen Zeigesez. Ha an z.. zu Zeipunk = insgesa Myonen erzeug, so finde an nah der so genannen Halbwerszei nur ehr die Hälfe or. Die anderen 5 Myonen sind in der Zwishenzei zerfallen. Eine Naurersheinung, die i Hilfe der Zeidilaaion bzw. der Längenkonrakion erklär werden kann, beriff die in der Naur orkoenden Myonen. Sie werden in ungefähr k Höhe on der Höhensrahlung erzeug und bewegen sih annähernd i Lihgeshwindigkei (z.. =,9994) zur Erde. Troz ihrer geringen Eigenhalbwerszei H, =,5 s erreih noh ein berähliher Aneil dieser Myonen die Erdoberflähe.. Dies läss sih nur i Hilfe der speziellen elaiiäsheorie erklären : Erklärung aus der Sih eines relai zur Erdoberflähe ruhenden Syses : Dieses Syse iss die Eigenlänge der Flugsreke der Myonen : x = k. U diese Sreke zu durhfliegen benöigen die Myonen die Zei 4 x, 9994, / s 5 s 3 s. Wegen der Zeidilaaion is der Zerfall der Myonen erlangsa, und die Halbwerszei H, der sih in ewegung befindlihen Myonen ergrößer sih daher auf den Wer H, H, H, H,,5, ,6 s H, und sind in der gleihen Größenordnung. Dies erklär waru noh ein berähliher Teil der Myonen die Erdoberflähe erreihen kann. Erklärung aus der Sih eines relai zu den Myonen ruhenden Syses : Dieses Syse iss die Eigenhalbwerszei der Myonen H, =,5 s. In diese Syse beweg sih die Erdoberflähe fas i Lihgeshwindigkei auf die ruhenden Myonen zu. Wegen der Längenkonrakion shrupf die Höhe on k auf den Wer x i, , 4 x x 5 U diese Sreke x zu durhfliegen benöigen die Myonen die Zei x 34,5 ',4 s H, und sind in der gleihen Größenordnung. Dies erklär waru noh ein berähliher Teil der Myonen die Erdoberflähe erreihen kann. elaiiäsheorie 7

8 3. ELATIVISTISCHE DYNAMIK 3. ELATIVISTISCHE MASSENZUNAHME Nehen wir al an der Anrieb einer akee sei genau so eingesell, dass die akee i einer Kraf beshleunig wird, die der Erdbeshleunigung ensprih: a /s -. Geäß den Gesezen der klassishen Physik ni bei einer konsanen eshleunigung die Geshwindigkei linear i der Zei zu, d. h. an kann errehnen, dass ewa nah eine Jahr die Lihgeshwindigkei übershrien würde. Dies aber widersprih eindeuig den Posulaen der elaiiäsheorie. In den 98er Jahren ha an a Linearbeshleuniger der Sanford-Uniersiä Elekronen so sark beshleunig, dass sie klassish gerehne eine 8fahe Lihgeshwindigkei häen erreihen üssen, asählih wurde die Lihgeshwindigkei nih übershrien. Der Ausgang dieser eshleunigungsexperiene läss sih nur dadurh erklären, dass die Masse eines Körpers i wahsender Geshwindigkei zuni und bei Lihgeshwindigkei einen unendlihen Wer ha. Nur so is eine weiere eshleunigung über Lihgeshwindigkei hinaus ausgeshlossen. Mi Hilfe eines Gedankenexperiens können wir die Massenzunahe für bewege Körper ableien. S u Es fliege i relai zur Wand ruhenden Inerialsyse S eine shwere Eisenkugel der Masse i der konsanen Geshwindigkei u gegen eine Wand und shlage dor ein Loh hinein. Die Kugel überräg also ihren gesaen Ipuls p = u an die Wand. Der Grad der Zersörung der Wand is ein Maß für diesen Ipuls der Kugel, der sih aus seiner Geshwindigkei und seiner Masse zusaensez. S Nun sei derselbe Vorgang on eine Inerialsyse S aus berahe, das sih parallel zur Wand i der Geshwindigkei beweg. S S S u Vo Syse S aus berahe fliegen die Wand und die Kugel i der Geshwindigkei nah links. Für den eobaher in S is das Syse S ruhend, währendde die Wand und die Kugel das bewege Syse darsellen. Soi is wegen der Zeidilaaion die i Syse S geessene Zeispanne größer als die i Syse S geessene Zeispanne. Es gil Der eobaher in S zieh die Mauer ebenso ief eingedrük wie der eobaher in S, denn senkreh zur ewegungsrihung gib es keine Längenkonrakion. In S ha die Kugel or de Soß also den gleihen Ipuls als in S. p = p u = u Von S aus berahe laufen also alle Vorgänge langsaer ab, insbesonders is u < u. Da die Ipulskoponene senkreh zur Wand in beiden Syseen gleih is (p = p ), bedeue dies, dass die Kugel in S nih die Masse sondern eine höhere Masse besiz Massenzuwahs. [A] elaiiäsheorie 8

9 Aus [A] folg : u u s s Es finde keine Längenkonrakion sa, da sih das Inerialsyse S senkreh zur ewegungsrihung der Kugel beweg, d. h.: s s Für die Masse der bewegen Kugel gil dann: Wir bezeihnen die Masse in unsere Gedankenexperien als uheasse; is die dynaishe Masse des bewegen Körpers, die soi on seiner Geshwindigkei abhäng. elaiisishe Massenzunahe: eweg sih ein Körper der uheasse i der Geshwindigkei, so beräg seine dynaishe Masse i (relaiisisher -Fakor) Da ier kleiner als is, uss die dynaishe Masse des Körpers ier größer als seine uheasse sein. Die Masse des Körpers ni i seigender Geshwindigkei ier weier zu. Physikalish gesehen bedeue dies, dass der Körper i wahsender Geshwindigkei ier räger wird: er widersez sih also ier ehr einer weieren eshleunigung; der Grenzfall = bleib denah für einen i Masse behafeen Körper unerreihbar. Masselose Teilhen (deren uheasse = also ershwinde) bewegen sih ier i der Vakuulihgeshwindigkei. Das Phoon (Liheilhen) ha keine uheasse; deshalb breie sih Lih i der durh die elaiiäsheorie orgegebenen axialen Grenzgeshwindigkei aus. Masselose Teilhen bewegen sih ier, und in jede ezugsyse, i der gleihen Geshwindigkei = 3 8 /s. elaiiäsheorie 9

10 elaiiäsheorie 3. ELATIVISTISCHES GUNDGESETZ DE DYNAMIK Wie uss an sih jez das. Newonshe Gesez der Mehanik in relaiisisher For orsellen? Da ein Erreihen der Lihgeshwindigkei für assie Körper unöglih is, uss auh der Ausdruk für die kineishe Energie abgeänder werden. Wir üssen in erah ziehen, dass die Masse eines Körpers nih länger eine Konsane, sondern geshwindigkeisabhängig is. Wir unersuhen, wie sih eine Ipulsänderung auswirk: d dp F i p Da in der Ipulsforel nur die Geshwindigkei i der Zei änder, ergib sih für die Ableiung: a d dp d d d dp d dp F wobei a = d/d die eshleunigung bezeihne. Die Ableiung p () = dp/d kann nun i Hilfe der folgenden egel berehne werden: g g f g f g f () i f ) ( bzw. g ) (. Dann finden wir für die ensprehenden Ableiungen: f ) ( ' () beziehungsweise: 3 g g ' ) '( Sez an die Ausdrüke () und (3) in die Gleihung () ein, so ergib sih: d dp d dp

11 dp d Daraus ergib sih : F dp a d a Grundgleihung der Dynaik: F a i der dynaishen Masse Für i Vergleih zur Vakuulihgeshwindigkei kleine Geshwindigkeien << geh das relaiisishe Grundgesez in die klassish bekanne For über. 3.3 ELATIVISTISCHE FOM DE KINETISCHEN ENEGIE Zu eshleunigen eines Körpers aus der uhe auf die Geshwindigkei uss eshleunigungsarbei errihe werden, die dann als kineishe Energie E kin gespeiher is : Es gil außerde : E ds ds Daraus folg für die kineishe Energie: E E kin kin kin F ds d d a f ( ) d a F( ) F( ) wobei F() eine Safunkion der Funkion f() is: F( ) 3 3 d a d d d a a d d elaiiäsheorie

12 Shlussendlih erhalen wir : E kin E kin Es lieg nun nahe, in der Gleihung den Ter E kin als uhenergie E eines Teilhens anzusehen, denn es is die Energie, die ein Teilhen auh shon bei = ha. der Geshwindigkei. Es gil : MEKE : E is dann die Gesaenergie eines Teilhens bei Gesaenergie = uheenergie + kineishe Energie E = E + E kin Für Geshwindigkeien geringer als % der Lihgeshwindigkei kann der relaiisishe Ausdruk der kineishen Energie durh den uns bekannen E kin Ausdruk der klassishen Physik E kin ersez. Für Geshwindigkeien höher als % der Lihgeshwindigkei uss der relaiisishe Ausdruk erwende werden. 3.4 ÄQUIVALENZ VON MASSE UND ENEGIE Einsein zeige, dass Energie und Masse zwei äquialene (gleihwerige) Größen sind. Die Urehnung on der einen zur anderen Größe erfolg geäß der Masse-Energie-elaion (Einseinshe Gleihung): E Die Gesaenergie und die dynaishe Masse unersheiden sih nur durh den Fakor. Führen wir also eine ruhenden Teilhen die Energie E zu, so seig seine Masse u E/. Jede Massenänderung bedeue eine Energieänderung und ugekehr. eispiel: Die Massenzunahe bei übliher Energiezufuhr, z.. bei Erwären on adewasser oder bei eshleunigen eines Auos on k/h auf k/h is so klein, dass sie gegenüber den sons orkoenden Massen absolu ernahlässigbar is. So gil beispielsweise für das eshleunigen eines Auoobils der uheasse = 3 kg on auf k/h = 7,8 /s: E kin 3 kg ( 7,8 / s ) 386 kj Dieser ewegungsenergie ensprih ein Massenzuwahs on: elaiiäsheorie

13 E kin 386kJ 8 3 / s 4,8 kg Ugekehr werden allerdings bereis, wenn kleine Massen in Energie ugewandel werden, sehr große Energien frei. So wird z.. bei der Explosion einer Wassersoffbobe durh die Fusion (Kernershelzung) on Wassersoff zu Heliu pro kg Heliu eine Energie on ungefähr Millionen kwh frei, genug, u den jährlihen Energiebedarf einer ielgroßen Orshaf zu deken. Dabei ri bei der Fusionsreakion pro kg Heliu bloß ein Massenerlus on ewa 7 g auf. In eine Teilhenbeshleuniger erhöh sih bei einer Energiezufuhr on 4 GeV die Masse auf das ewa 4 fahe der uheasse. Dabei erreih das Teilhen nahezu Lihgeshwindigkei. MEKE : Ein Elekronenol ( ev) is die Energie, die ein freies Elekron in eine elekrishen Feld der Spannung on Vol aufni : E e U E E, 6, 6 Aus der Einseinshen Gleihung folg aber auh, dass an die gesae aerielle Wel als eine Anhäufung on Energie berahen kann. Zu Glük is die Speiherung der Energie in For on Masse außergewöhnlih sabil, so dass sih bei den eisen physikalishen und heishen Vorgängen nur winzige ruheile der Masse in freie Energie uwandeln. 9 9 J ev 3.5 MASSENDEFEKT Jeder Aokern is aus Nukleonen (Proonen und Neuronen) aufgebau, die durh sarke Kernkräfe aneinander gebunden sind. U ein Nukleon aus de Aokern zu enfernen, uss an Arbei gegen die Kernkräfe errihen, also Energie aufwenden. au an den Aokern dagegen aus Nukleonen auf, so wird Energie frei, die Kernbindungsenergie. Diese Energieabgabe ensprih wegen der Masse-Energie-eziehung einer Abnahe der uheasse der zu Aokern ereinigen Nukleonen u. Die Masse des ereinigen Aokerns is ses kleiner als die Sue der Massen der einzelnen Nukleonen. Diese Differenz heiß Massendefek. Allgeein gil für den Massendefek: ( Z p N n ) k Hierin bedeue Z die Anzahl der i Aokern orhandenen Proonen (Kernladungszahl), N die Zahl der i Aokern orhandenen Neuronen,,p die uheasse eines Proons,,n die uheasse eines Neurons und k die Gesa-uheasse des Aokerns. Massendefek: Die Masse eines Aokerns is ses kleiner als die Suer der Nukleonenassen. Die der Massendifferenz ensprehende Energie is die Kernbindungsenergie, welhe bei Zusaenfügen des Aokerns aus seinen Nukleonen frei wird. eispiel: Der Kern des shweren Wassersoffes (Deueriu) beseh aus eine Proon und eine Neuron. ei Zusaenfügen dieser beiden Teilhen wird die indungsenergie E =,3 MeV = 3,58-3 J an die Ugebung abgegeben. Der Deueriukern uss also eine geringere Masse haben als Proon und Neuron zusaengenoen. Der Massendefek beräg: E 3,583 J (3 8 ) 3,97 3 kg elaiiäsheorie 3

14 Die Masse des Deueriukernes kann wie folg berehne werden: ( Z p N n ) k k ( Z p N n ) Für p = 67,6-3 kg, n = 674,93-3 kg, = 3,97-3 kg und Z = N = ergib sih für die Masse des Deueriukernes: 3.6 PAA-ZESTAHLUNG k = 3 343,58-3 kg. I Jahre 93 beobahee an Teilhen, die in den eisen Eigen-shafen i Elekronen übereinsien. Ihre Ablenkung i Magnefeld zeige jedoh, dass diese Teilhen posiie Ladung aufweisen. Man nanne sie daher Posironen. Diese Posironen ereinigen sih sofor i den zahlreih orhandenen Elekronen. Dabei ko es zu einer Paar-Zersrahlung, d. h. das Elekron-Posiron-Paar ershwinde und seine gesae Energie wird in Srahlung ungewandel. Posironen waren die ersen Anieilhen, die an endeke. Inzwishen können Aniproonen, Anineuronen und andere Foren der Aniaerie erzeug werden. Triff diese Aniaerie i Maerie zusaen, so wandel sih die uheasse ollsändig in Energie u. Aniaerie kann nur uner sehr hohe Energieaufwand in großen eshleunigern erzeug werden. Zur Zei beseh also keine Hoffnung auf eine prakishe ealisierung der Energiegewinnung bei Zusaenreffen on Maerie und Aniaerie. 3.7 ELATIVISTISCHE IMPULS Für den Soß zweier Teilhen gelen in der Newonshen Physik folgende Soßgeseze: Soßgeseze der Newonshen Physik: Ipulserhalung: p p p Energieerhalung: Massenerhalung: Der Ipuls is durh p E 3 p4, E, E,3 E, 4,,,3, 4 Der Vollsändigkei halber is hier auh die Massenerhalung in die Soßgeseze aufgenoen. Die Punke auf der rehen Seie der Gleihungen deuen an, dass die Teilhen bei Soß auseinander brehen können. U die Soßgeseze auf die relaiisishe Physik zu erallgeeinern, üssen wir die Massenzunahe berüksihigen und daher den Ausdruk für den Ipuls ersezen durh: und die Energie durh E gegeben. elaiiäsheorie 4

15 p Der relaiisishe Ipulssaz ha die gleihe For wie in der Newonshen Physik, wobei jedoh an die Selle der uheasse die dynaishe Masse der Teilhen ri. Experiene i Maerie und Aniaerie zeigen, dass die Erhalung der uheasse nih allgeein gil. I Massenerhalungssaz uss sie durh die dynaishe Masse ersez werden: 3 4 Muliplizieren wir diesen Erhalungssaz i, so folg: 3 4 Weil E = die Gesaenergie eines Teilhens is, können wir in dieser Gleihung die Energie einsezen. Der Erhalungssaz shreib sih dann: E E E 3 E 4 Die Erhalung der dynaishen Masse erweis sih also zugleih als Erhalungsgröße für die Gesaenergie. Zerlegen wir sie in kineishe Energie E kin und uheenergie, so wird deulih, wie Energieerhalung und Massenerhalung nunehr in eine einzigen Erhalungssaz aufreen: E kin,, E kin,, E kin,3,3 E kin,4,4 Die Trennung on Energie- und Masseerhalung is aufgehoben, da Energie und Masse äquialen sind. Soßgeseze der relaiisishen Physik: Ipulserhalung: Energieerhalung: p p p 3 p 4 E E E 3 E 4 Der Ipuls eines Teilhens beräg: p Die Gesaenergie eines bewegen Teilhens beseh aus uhenergie und kineisher Energie: E E kin ei Zusaenprall on Elekronen und Posironen enseh bei einer besien Energie ein -Teilhen (sprih: Psi-Teilhen) i hoher Masse. Die Messungen ergeben, dass die Masse des neuen Teilhens gleih der Sue der dynaishen Massen on Elekron und Posiron is, was die oben aufgeführen Ergebnisse besäig. elaiiäsheorie 5

16 4. AUFGAEN ZU ELATIVITÄTSTHEOIE. Zur Überprüfung der Zeidilaaion können Myonen herangezogen werden. Solhe Myonen ensehen in der Hohaosphäre in einer Höhe on k über der Erdoberflähe. Diese Eleenareilhen gleihen in ielen Eigenshafen den Elekronen, sind jedoh insabil und zerfallen sofor. Der Zerfall genüg eine Exponenialgesez, wie dies auh für den radioakien Zerfall gil. Die Halbwerszei für Myonen beräg,5 μs. Die Halbwerszei is die Zei nah der die Hälfe der ursprünglih orhandenen Teilhen zerfallen is. Die Geshwindigkei der Myonen is =, Zeigen Sie, dass solhe Myonen die Erdoberflähe nur in Folge der Zeidilaaion erreihen können!. In eine Versuh werden Aokerne i posii geladenen Pionen beshossen, die sih i,9faher Lihgeshwindigkei bewegen. Die on den Pionen zurükzulegende Sreke on der Quelle bis zu Ziel beräg 44,5. uhende Pionen haben eine Halbwerszei on,8-8 s. Wie iele Pionen erreihen prozenual das Ziel? (6,9 %) 3. U wie iel wird ein Auo shwerer, wenn es sa zu sehen i einer Geshwindigkei on k/h fähr? ( +,7-4 al shwerer) 4. Ein Teilhenbeshleuniger bring Elekronen auf eine kineishe Energie on 75 MeV. a) Wie groß is die dynaishe Masse der Elekronen? b) Wie shnell bewegen sih die Elekronen? ( =,34-6 kg) ( =, ) 5. Der nähse Fixsern is Alpha-Cenauri a südlihen Sernenhiel. Seine Enfernung beräg 4,5 Lihjahre. a) Wie lange brauh ein uopishes aushiff, u zu Sern und wieder zur Erde zu gelangen, wenn seine Geshwindigkei =,5 beräg? ( = 8 a) b) Wie lange würde der Flug für die Asronauen an ord des aushiffs dauern? ( = 5,6 a) ) Welhe Geshwindigkei üsse das aushiff haben, dai für die esazung während der eise nur ein Jahr ergeh? ( =,9938 ) 6. Die Srahlungsleisung der Sonne beräg 4 3 kw. U wie iel erringer sih dadurh die Masse der Sonne pro Sekunde? ( = 4,4 9 kg) 7. Die Masse eines Heliukerns is ewa,6 % geringer als die Masse on 4 Wassersoffkernen. a) Wie iel Energie wird bei der Vershelzung on kg Wassersoff zu Heliu frei? (E = 5,39 4 J) b) Wie iel Wassersoff uss i Sonneninneren pro Sekunde erarbeie werden, u die Sonnensrahlung aufreh zu erhalen? ( = 7,4 kg) 8. Wie groß is die Geshwindigkei eines Elekrons, wenn sein Ipuls p = 4 MeV/ beräg? ( =,99 9 ) elaiiäsheorie 6

17 9. Ein Heliuaokern besiz die kineishe Energie 5 GeV. Wie groß sind seine dynaishe Masse und seine Geshwindigkei? ( =,56-6 kg, =,94 ). Ein Proon besiz eine Gesaenergie on 5 MeV. a) Wie groß sind seine dynaishe Masse und seine Geshwindigkei? ( =,67-7 kg, =,78 ) b) Welher Prozensaz der Gesaenergie des Proons enfäll auf die uheenergie beziehungsweise auf die kineishe Energie? (E kin : 37,5 %, E : 6,5 %). Ein Elekron durhläuf eine eshleunigungsspannung on 5 kv. a) erehne seine Geshwindigkei i klassishen Gesezen! b) erehne seine Geshwindigkei relaiisish! ) erehne seine Gesaenergie! ( =,3 8 /s) ( =,9 8 /s) (E =,6-3 J = 66 kev) elaiiäsheorie 7