Transporttheorem. n 2. n 1. Transporttheorem

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1 Tranporheorem 1 Tranporheorem Aren der Behleunigung Behleunigungen ind zeilihe Gehwindigkeiänderungen. Sie können poiiv oder negaiv ein. Daß e zwei grundäzlih verhiedene Aren der Behleunigung gib, kann man hon im Sraßenverkehr eellen: Die eine beobahe man in Kurven. Vor der Kurve wird da Fahrzeug gebrem (negaive Behleunigung). Au der Kurve herau wird e behleunig (poiive Behleunigung). Beide i eine Behleunigung von Or zu Or. In der Phyik nenn man da konvekive Behleunigung. Die andere Ar der Gehwindigkeiänderungen beobahe man bei Weerweheln. Wenn Regen einez, wird die Gehwindigkei unlih herabgeez. Wenn die Sraße wieder abrokne, wird die Gehwindigkei allmählih wieder heraugeez. Auh da i eine Behleunigung. In einer Kurve gehieh ie nih von Kurveneingang zu Kurvenaugang, ondern ie i an jedem Or der Kurve zu beobahen. In der Phyik nenn man da örlihe bzw. lokale Behleunigung. Ein Beobaher, der am Sraßenrand eh und nih weier ieh al einen beimmen Or, durh den ih aueinanderolgende Fahrzeuge bewegen, kann nur ehen, wie ih die Gehwindigkei am Or änder. Andere Ore ieh er nih. Er kann alo lediglih die lokale, nih aber die konvekive Behleunigung eellen. Ein Beobaher in einem Fahrzeug kann hingegen beide Behleunigungaren eellen. Wenn ie zugleih aureen, addieren ie ih au einer Sih zu einer Geambehleunigung. Da i z.b. der Fall, wenn gleihzeiig Regen einez und da Fahrzeug au eine Kurve zuähr. Die Geambehleunigung wird auh ubanielle Behleunigung genann. Darin komm zum Audruk, daß e ih um eine Behleunigung handel, die eine bewege Subanz, hier: da Fahrzeug, erähr. n 1 n 2 Bild 1: Behleunigungraen in einer Rohrrömung In Rohrrömungen können lokale Behleunigungen z.b. durh zeilihe Veränderungen der Pumpendrehzahl und konvekive Behleunigungen durh Querhniänderungen enehen. Bewege Teilhen erleben beide al ubanielle Behleunigung Ob man Srömungen au der Sih der bewegen Teilhen oder orbezogen berahe, i eine grundäzlihe Frage. Wir Menhen ind e gewohn, un durh den Raum zu bewegen. Die naürlihere Sihweie wäre demnah die eilhenbezogene. Hingegen ind Syeme, in denen ehnihe Srömungen berieben werden, Rohrleiungen, Lüungkanäle uw., owie die zugehörigen Aggregae, Pumpen, Lüer uw., in der Regel ore. Selb bewege Syeme wie z.b. Flugzeuge laen ih ebenall al ore auaen. In Windkanälen ind ie da auh aählih.

2 2 Tranporheorem Auh der Begri der aionären Srömung beruh au der orbezogenen Sihweie. Saionär mein nur, daß ih die Gehwindigkei am Or nih veränder. Von Or zu Or kann ie ih auh bei aionärer Srömung ehr wohl verändern. Mi den neuen Begrien heiß da: Saionäre Srömungen haben keine lokale Behleunigung, wohl aber können konvekive Behleunigungen aureen. Weil ubanielle Behleunigung und lokale Behleunigung nih da gleihe ind, verlangen ie auh unerhiedlihe Shreibweien. Im olgenden wird immer nur die angeniale Komponene der Gehwindigkei, oder kürzer:, berahe. Al Shreibweie ür die ubanielle Behleunigung i eingeühr worden, während die lokale Behleunigung bezeihne. Darin i die Zei. Mi dieen Zeihen gil ür die ubanielle Behleunigung: (1). Darin eh ür die konvekive Behleunigung. Im olgenden wird gezeig, wie ie ih berehne. Dazu wird die aionäre Srömung in einer Verjüngung berahe (Bild 2). Saionär bedeue nah Gleihung 1, daß die konvekive Behleunigung der ubaniellen enprih, denn die lokale Behleunigung i aionär ja eben Null. A 1 A m Bild 2: Verlau der angenialen Gehwindigkei in einer Verjüngung Die Teilhen de Fluid reen mi der Gehwindigkei in die Verjüngung ein und erahren dor einen Gehwindigkeianieg. Um die durhhnilihe Behleunigung der Teilhen zu erhalen, muß noh durh die Zeidauer geeil werden, in der ie die Verjüngung durhlauen. Wenn die Länge und die milere Gehwindigkei in der Verjüngung bekann ind, gil ür die Zeidauer : (2). Darau olg ür die durhhnilihe konvekive Behleunigung in der Verjüngung: (3). Bild 3 zeig Zahlenbeipiele ür drei verhiedene Einrigehwindigkeien. Da Fluid wird al inkompreibel angenommen, da Flähenverhälnie mi 0,5. Au der Koninuiägleihung ür da inkompreible Fluid,, olg darau. Vereinahend wird angenommen, daß die Gehwindigkei in der Verjüngung linear aneig. Die milere Gehwindigkei in der Verjüngung i in dieem Fall der arihmeihe Mielwer von und. Bild 3 zeig oben in der Mie.

3 Tranporheorem 3 [m/] 5 [m/] [m] m [m/] , [m] D/D[1/] 4 [m/] m/² 7,5 m/² [] [] 1 : 1,00 2 : 1,67 2,17 1 : 0,50 1,08 1 : 0,25 2 : 0,83 2 : 0, [m/] 5 1 m/² 0,54 [] [m] Bild 3: Zahlenbeipiele ür die angeniale konvekive Behleunigung Reh daneben erhein da Verhälni. Bei doppeler Gehwindigkei verdoppel e ih, bei halber Gehwindigkei halbier e ih. Unen ieh man den zeilihen Gehwindigkeiverlau. Bei halber Gehwindigkei dauer alle doppel o lange, bei doppeler Gehwindigkei halb o lange. Beide Eeke wirken quadraih zuammen und orgen daür, daß ih die konvekive Behleunigung bei doppeler Gehwindigkei vervierah und bei halber Gehwindigkei vierel. +d () (+d) (+d) () d d +d d ((+d)) (()) D D D () (+d) Bild 4: Tangeniale konvekive Behleunigung in einem unendlih kleinen Sromadenabhni E wird nun die örlihe konvekive Behleunigung uneruh. Dazu wird a der Verjüngung mi ihrer endlihen Länge ein unendlih kleiner Sromadenabhni mi der Länge berahe. In Bild 4 lieg er innerhalb der Verjüngung, eine Lage i aber beliebig. E wird nah wie vor Saionariä angenommen. Die konvekive Behleunigung muß weier der ubaniellen Behleunigung enprehen. E gil alo. Darin i der Gehwindigkeizuwah, den ein Teilhen während einer unendlih kleinen Zeipanne erähr. Dabei eh ür beliebige Zeipannen. Inbeondere kann auh o gewähl wird, daß e gleihbedeuend mi der Zeipanne i, in der da Teilhen den Sromadenabhni bi durhläu. Der Gehwindigkeizuwah, den da Teilhen erähr, i dann gleihbedeuend mi dem Gehwindigkeizuwah, der zwihen den Oren und herrh. Die Durhlauzei berehne ih al. Für die ubanielle Behleunigung, die hier ja gleihbedeuend mi der konvekiven Behleunigung i, ergib ih darau: (4).

4 4 Tranporheorem Der Audruk bleib auh dann die konvekive Behleunigung, wenn die Srömung nih mehr aionär i und die Teilhen zuäzlih eine lokale Behleunigung erahren. Ihre ubanielle Behleunigung i dann: (5). Alle Audrüke in Gleihung 4 ind owohl vom Or al auh von der Zei abhängig. Wenn die Srömung nih mehr aionär i, wird zu. Wenn ih zeilih änder, gil da auh ür. Umgekehr i elb die lokale Behleunigung nih nur von der Zei, ondern auh vom Or abhängig. Im Beipiel i ie am Auri der Verjüngung doppel o hoh wie am Einri. Die konvekive Behleunigung läß ih auh noh weier umormen. In angenialer Rihung gil. (6), Probe:. Da enprih der oben hon gemahen Beobahung, daß die konvekive Behleunigung nih mi der Gehwindigkei, ondern mi ihrem Quadra wäh. Reynoldhe Tranporheorem in eine Rihung () (+d) (+d) () d d d ((+d)) (()) D D D +d +d () (+d) Bild 5: Temperaurerhöhung in einer Rohrrömung Sa der zeilihen Änderung der Gehwindigkei wird nun die zeilihe Änderung einer beliebigen Orgröße berahe. In Bild 5 i al Beipiel ür die Temperaur in einer Rohrrömung gewähl. E ih könne um ein Rohr in einem Wärmeüberrager handeln. Die Zuammenhänge gelen aber allgemein ür Orgrößen in einer Srömung. In der Mie von Bild 5 i der örlihe Verlau von gezeig. Weil er nih konan i, ag man: Er ha einen Gradienen. Da i die Seigung. Reh in Bild 5 i der Verlau von gezeig, den ein Teilhen erähr, da ih mi einer Gehwindigkei durh da Rohr beweg. Die Seigung diee Verlau i die ubanielle Änderung. Ebeno wie oben noh bei der ubaniellen Änderung der Gehwindigkei, der ubaniellen Behleunigung ez ih auh die ubanielle zeilihe Änderung einer beliebigen Orgröße au einer lokalen Änderung und einer konvekiven Änderung zuammen. E gil: (7). Im Beipiel de Wärmeüberrager kommen lokale Änderungen der Temperaur bei Auheiz-, oder Abkühlvorgängen zuande. Ähnlih wie in einer Kurve die Gehwindigkei an jedem Or reduzier

5 Tranporheorem 5 wird, wenn e regne, verminder ih auh die Temperaur im geamen Wärmeüberrager, wenn er aukühl, weil z.b. ein primäreiiger Keel gerade augehale worden i. Konvekive Änderungen, ind durh den Gradienen beding. Ähnlih wie die Teilhen in einer Verjüngung in Bereihe mi immer höherer Gehwindigkei kommen und eine Gehwindigkeiänderung von Or zu Or erahren, gelangen ie im Rohr de Wärmeüberrager in immer wärmere Bereihe und erahren eine Temperauränderung von Or zu Or. Für die einzelnen Teilhen änder ih die Temperaur umo hneller, je höher ihre Gehwindigkei i. Wenn der Wärmeüberrager weder augeheiz wird noh aukühl, änder ih der Temperaurverlau nur noh örlih, aber nih mehr zeilih. Er i aionär. Allgemein i der Verlau einer Orgröße aionär, wenn e keine lokale Änderung gib. Die ubanielle Änderung i dann rein konvekiv. Da wird auh hier wieder genuz, um die konvekive Änderung zu berehnen: Die ubanielle Änderung ag au, daß die Teilhen in einer Zei einen Zuwah erahren. wird wieder o gewähl, daß ie der Zei enprih, in der die Teilhen vom Or zum Or gelangen. E gil dann. Der Zuwah enprih dann dem örlihen Zuwah zwihen und. Darau ergib ih die konvekive zeilihe Änderung al (8). Für die ubanielle zeilihe Temperauränderung ühr da ingeam au (9). Diee Gleihung i eine Form de Reynoldhen Tranporheorem. E gil ür beliebige Ore und beliebige Zeipunke und beag, daß Teilhen, die zu einem Zeipunk einen Or durhlauen, einerei eine zeilihe Änderung von am Or erahren, die auh an anderen Oren wirk (lokale Änderung) und andererei eine Änderung, die au dem örlihen Anieg von und ihrer eigenen Gehwindigkei reulier (konvekive Änderung). E wäre müßig, ein Rehenbeipiel ür da Tranporheorem anzugeben. Denn e wird nih genuz, um konkree Berehnungen zu ühren, ondern al heoreihe Werkzeug. Mihile de Tranporheorem laen ih zeilihe Änderungen beliebiger Orgrößen umrehnen. Z.B. wird e im Arbeibla Bernoulli-G leihung dazu genuz,die Bernoulli-Gleihung au einem Kräegleihgewih an einem bewegen Flüigkeivolumen herzuleien. Gleihung 9 gil nur ür den Fall, daß der Anieg der Orgröße läng zur Bahn de Teilhen erolg.in Bahnlinienkoordinaen bedeue läng : in angenialer Rihung. Nur in dieem Fall kann die Oränderung mi noier werden. Auh eh ja nih ür eine Gehwindigkei in eine beliebige Rihung, ondern i gleihbedeuend mi der Tangenialgehwindigkei. Man ag ür den Fall, daß der Gradien mi noier werden kann, auh: Gehwindigkeivekor und Gradien haben die gleihe Rihung.

6 6 Tranporheorem Reynoldhe Tranporheorem in mehrere Rihungen grad (0, / y) grad v y x ( / x,0) u Bild 6: Unerhiedlihe Rihungen von Gehwindigkeivekor und Gradien x() dx() dx x(+d) dy Bild 6 zeig den Fall, daß Gehwindigkeivekor und Gradien unerhiedlihe Rihungen haben. Al Beipiel ür die Orgröße kann man ih wieder eine Temperaur vorellen. Allerding i nun nih mehr von einer Rihung abhängig, wie gerade noh al, ondern von zwei Rihungen, i jez. Die grau augezogenen Linien ind Linien, au denen überall den gleihen Wer ha. Bei einer Temperaur nenn man ie Iohermen. Der Gradien erhein nun al Vekor. Er enhäl die beiden pariellen Ableiungen von. E gil. Wie Bild 6 link in der Mie zeig, läß ih der Gradien al Addiion der Vekoren und auaen. Die Länge de Vekor i dabei gleihbedeuend mi dem Anieg, die Länge von i. Man erkenn: Seig in beide Rihungen gleih ark an, zeig der Gradien in 45 -Rihung. I geringer al, i er laher, umgekehr i er eiler. Im Ergebni zeig der Gradien immer in die Rihung de eilen Anieg. Auh wenn nun ein Vekor i, bleib elber hier noh eine ungerihee Größe, wie e im gewählen Beipiel der Temperaur ja auh der Fall i. Weil der Gradien und der Gehwindigkeivekor nih mehr gleihgerihe ind, muß auh jez in eine beiden Komponenen und augeeil werden, wie e Bild 6 reh in der Mie zeig. Auh die Ore ind jez Orvekoren (Bild 6 reh). Zum Zeipunk beinde ih ein Teilhen am Or x(), zum Zeipunk +D am Or x(+d). Die Oränderung i der Vekor dx() mi den Koordinaen und. Zwihen den Oren x() und x(+d) erahren Teilhen einen unendlih kleinen Zuwah ag dazu auh: ein Dierenial. E handel ih um ein oale Dierenial, da ih al. Man () behreiben läß. Darin ind und die Zuwähe in - und in -Rihung. Sie bilden zuammen den Geamzuwah. Wie in einer Geradengleihung ergib ih ih au der örlihen Änderung von in -Rihung und der Oränderung in -Rihung. Ebeno ergib ih ih au der örlihen Änderung von in -Rihung und der Oränderung in -Rihung. Zugleih ind und die beiden Koordinaen de Gradienen und und die beiden Koordinaen der Oränderung. Wenn keine lokale Änderung der Orgröße vorlieg, i die ubanielle zeilihe Änderung rein konvekiv. E gil dann alo wieder. Der örlihe Zuwah oll wieder gleihbedeuend mi dem zeilihen Zuwah ein, den ein Teilhen in der Zei erähr. i dann die Zei, in der ih ein Teilhen vom Or x() zum Or x(+d) beweg. In -Rihung ha e ih dann um die Wegreke beweg. Weil e da mi der Gehwindigkei u, i auh gleih. Ebeno gil.

7 Tranporheorem 7 Au Gleihung 11 wird o: (11). Da i die konvekive zeilihe Änderung von. Nimm man noh die lokale Behleunigung hinzu, ergib ih ür die ubanielle Behleunigung die Beziehung (12). Darin ind der Gehwindigkeivekor und der Gradien reh berei al Vekoren gehrieben. Die beiden Vekoren bilden zuammen ein Skalarproduk. Mi den Symbolen der beiden Vekoren läß ih Gleihung 12 auh hreiben al (13). Beide Vekoren können ebeno dreidimenional ein. Auh im Raum bleib der Gradien die Rihung de ärken Anieg. Zum Beipiel wei der Feuhegradien am Rand einer Wolke in Innere der Wolke. Reynoldhe Tranporheorem ür vekorielle Orgrößen Bilang wurden die Orgrößen immer al ungerihe berahe, wie e bei einer Temperaur ja auh der Fall i, und al augehrieben. Allerding gib e auh gerihee Orgrößen wie z.b. die Gehwindigkei oder die Shubpannung. Sie werden al Vekoren behrieben mi den Koordinaen, und. Da Tranporheorem bekomm ür vekorielle Orgrößen die Form (14) D/D = d/d + grad. Augehrieben ind da drei Gleihungen. Sie lauen: (15). Reynoldhe Tranporheorem ür die Poiion eine Teilhen, ~ ~ Bild 7: Zeilihe Änderung der Poiion Auh die Poiion eine Teilhen i eine Orgröße. Wenn ih Teilhen nur angenial bewegen können, kann ihre Poiion in Bahnlinienkoordinaen al behrieben werden. Sie muß unerhieden werden vom Or elb, der weier mi bezeihne wird (Bild 7). Ein Teilhen veränder augehend von eine Poiion mi der Zei und erreih zum Zeipunk einen Or. i auh davor und danah immer der gleihe Or. Die Poiion de Teilhen änder ih hingegen ändig und i nur zum Zeipunk dekunggleih mi dem Or.

8 8 Tranporheorem Angewende au die Poiion eine Teilhen, müße da Tranporheorem lieern, daß die zeilihe Änderung eine Teilhen einer Gehwindigkei enprih. Man ehe: (16). Die lokale Änderung i Null, weil, ander al, zeilih konan i. i hon rein arihmeih Ein. In einem Diagramm über wäre die Winkelhalbierende und ihre Seigung, alo auh wieder Ein. könne auh gehrieben werden. Die ubanielle Shreibw eie m i großem D bring aber elb hon zum Audruk, daß e ih hier um die Poiion eine bewegen Teilhen handeln muß., ~ Bild 8: Zeilihe Änderung einer Orgröße au Teilhen- und au Orih (aionär) Genauo wie in der ubaniellen Ableiung al zu verehen i, i auh jede andere Orgröße in der ubaniellen Ableiung eigenlih al zu verehen (Bild 8). Ein bewege Teilhen erähr einen zeilihen Verlau. Zu einem beimmen Zeipunk erreih e den zugehörigen Or. Dor erähr e einen Wer von, der zu dieem Zeipunk auh örlih al Wer von gemeen werden kann. Der lokale zeilihe Verlau von i in Bild 8 konan. Da i der Sonderall der Saionariä. Wenn zeilih nih mehr konan i, enprih da einer lokalen zeilihen Änderung, die auh da Teilhen zuäzlih erahren würde. Die orbezogene Sihweie ha den Voreil, daß ie aionäre Verläue und inaionäre Vorgänge klar unerheide. Inereierende Zuammenhänge können orbezogen er einmal al Gleihungen ür den inaionären Fall angegeben werden. In dieer Form haben ie die höhe Güligkei. Die Einhränkung au den aionären Fall gehieh dann ehr einah und überihlih durh Sreihen der lokalen Änderung der Orgröße, man ag auh: durh Sreihen de inaionären Term. ~