Einführung in die theoretische Physik 1

Transkript

1 Einführung in die theoretische Physik 1 Prof. Dr. L. Mathey Dienstag 15:45 16:45 und Donnerstag 10:45 12:00 Beginn: Jungius 9, Hörs 2 1

2 Organisatorisches Vorlesung am 1.11.: wird dankenswerterweise von Prof. Potthoff gehalten. Meine Übungsgruppe am 1.11.: wird von Robert Höppner gehalten 2

3 3 Mathey Einführung in die theor. Physik 1 Spatprodukt Spatprodukt ( triple product ) der Vektoren ~a, ~ b und ~c: ~a ( ~ b ~c) Es beschreibt das gerichtete Volumen des Parallelepipeds das durch die Vektoren aufgespannt wird. Eigenschaften: ~a ( ~ b ~c) =~c (~a ~ b)= ~ b (~c ~a) ~a ( ~ b ~c) =det(~a, ~ b,~c) Eine rechtsändige Orthonormalbasis ~e 1, ~e 2 und ~e 3 hat die Eigenschaft ~e 1 (~e 2 ~e 3 )=1

4 4 Motivation für Kronecker-Delta und Levi-Civita Tensor Skalarprodukt: ~a ~b = P i,j a ib j (~e i ~e j )= P i,j a ib j ij = P i a ib i Vektorprodukt: ~a ~ b = P i,j a ib j (~e i ~e j )= P i,j,k ijka i b j ~e k Wie muss ijk gewählt werden, damit das Vektorprodukt korrekt dargestellt ist? ~a ~ b =(a 1 b 2 a 2 b 1 )~e 3 +(a 3 b 1 a 1 b 3 )~e 2 +(a 2 b 3 a 3 b 2 )~e 1 Daher: 123 = 1, 312 = 1, 231 = 1 und 213 = 1, 132 = 1, 321 = 1. Alle anderen Komponenten sind null.

5 5 Levi-Civita Tensor Total antisymmetrischer Tenor dritter Stufe: ijk = ~e i (~e j ~e k ) Wenn (i, j, k) eine zyklische Permutation von (1, 2, 3) sind ist ijk = 1. Wenn es eine antizyklische Permutation ist ijk = 1. Sonst ijk = 0. ~a ~ b = P i,j,k ijka i b j ~e k ~a ~ b ~c = P i,j,k ijka i b j c k Wichtige Eigenschaft: P l jkl mil = jm ki ji km

6 6 Beweis des Entwicklungssatzes Wir zeigen ~a ( ~ b ~c) = ~ b(~a ~c) ~c(~a ~b) mittels LC Tensor. ~a ( ~ b ~c) = X ijk a i b j c k ~e i (~e j ~e k ) = X a i b j c k jkl mil ~e m ijklm = X X a i b j c k jm ki ~e m a i b j c k ji km ~e m ijklm ijklm = X X a i b j c i ~e j a i b i c k ~e k ijklm ik = ~ b(~a ~c) ~c(~a ~b)

7 7 Mathey Einführung in die theor. Physik 1 Vektoren, Vektorräume, Basen, etc. Physikerzugang: Größen werden häufig in einer Basis dargestellt. Dann werden mittels Basistransformationen deren Eigenschaften nachgewiesen, und ihre Basisunabhängigkeit gezeigt. Rechnungen werden meistens in einer Basis durchgeführt. Geschickte Basiswahl vereinfacht die Rechnung. Mathematikerzugang: Algebraische und geometrische Objekte werden basisunabhängig definiert. Dies muss möglich sein, wenn ein bestimmtes Objekt tatsächlich basisunabhängig ist. Darüberhinaus zeigt es, welche Eigenschaften des mathematischen Umfeldes notwendig, um dieses mathematische Objekt zu ermöglichen.

8 Geometrische Beschreibung von Kurven Beschreibung einer Kurve ohne eine vorgegebene Parametrisierung Eine Kurve ist ein Schnitt zweier Flächen: Eine Fläche kann z.b. durch z = f (x, y) dargestellt werden. Oder allgemeiner durch F (x, y, z) = 0. Eine Kurve ist daher: K {(x, y, z) F 1 (x, y, z) =0, F 2 (x, y, z) =0} Beispiel: Kreis in x-y Ebene, um 0 mit Radius R. K = (x, y, z) z =0, x 2 + y 2 = R 2 Diese Kurve kann auch durch eine Parameterdarstellung gegeben werden: K = {R(cos(y), sin(y), 0) 0 apple y < 2 } Dies kann gezeigt werden, indem die definierenden Gleichungen überprüft werden. Parametrisierungen sind nicht eindeutig, z.b. kann man für den oberenn Halbkreis schreiben K = R(, p o 1 2, 0) 1 apple apple 1 8

9 9 Mathey Einführung in die theor. Physik 1 Die Bewegung eines Massepunktes wird durch eine Abbildung beschrieben. Geschwindigkeit: Beschleunigung: t x(t) v(t) d x(t) dt a(t) d2 x(t) dt 2 Die Zeitableitung erfolgt komponentenweise: ~v = d~r dx dt = dt, dy dt, dz dt Trajektorien Beispiele: Geradlinige Bewegung: ~r(t) =~r 0 + f (t)~s Geschwindigkeit: ~v(t) =f 0 (t)~s Beschleunigung: ~a(t) =f 00 (t)~s O x(t) a(t) v(t) ~a = d 2 ~r dt 2 = d 2 x dt 2, d 2 y dt 2, d 2 z dt 2

10 10 Mathey Einführung in die theor. Physik 1 Beispiele für Trajektorien Gleichförmige, geradlinige Bewegung: ~r(t) =~r 0 + ~v 0 t Geschwindigkeit: ~v(t) =~v 0 Beschleunigung: ~a(t) =0 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: ~r(t) =~r 0 + ~v 0 t ~a 0t 2 Geschwindigkeit: ~v(t) =~v 0 + ~a 0 t Beschleunigung: ~a(t) =~a 0 Gleichförmige Kreisbewegung, mit Winkelgeschwindigkeit!: ~r(t) =R(cos(!t), sin(!t), 0) Geschwindigkeit: ~v(t) = d~r(t) dt = R!( sin(!t), cos(!t), 0) Beschleunigung: ~a(t) = d2 ~r(t) ~r(t) = R, d~r(t) dt = R! 2 ( cos(!t), sin(!t), 0) =! 2 ~r(t) Es gilt: dt 2 = R!, d2 ~r(t) = R! 2 dt 2