QUANTENMECHANIK II. Wolfram Weise. Wintersemester 2009/2010

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1 QUANTENMECHANIK II Wolfram Weise Wintersemester 2009/2010 Teil I: Quantenmechanik zeitabhängiger Prozesse Teil II: Elemente der quantenmechanischen Streutheorie Teil III: Quantenmechanik der Vielteilchensysteme Teil IV: Relativistische Quantenmechanik zu I - III: Literatur (zur Orientierung): L.D. Landau, E.M. Lifschitz Theoretische Physik III (Quantenmechanik) F. Schwabl Quantenmechanik für Fortgeschrittene H.A. Bethe, R. Jackiw Intermediate Quantum Mechanics zu IV: J.D. Bjorken, S.D. Drell Relativistische Quantenmechanik weiterführend: C. Itzykson, J.B. Zuber Quantum Field Theory

2 Teil I: Quantenmechanik zeitabhängiger Prozesse

3 Rückblick und Vorbereitung: AXIOME der QUANTENMECHANIK i) Der quantenmechanische Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen ZUSTANDSVEKTOR ψ. ψ ist Element des HILBERT-Raumes H. ii) Beobachtbare physikalische Größen (Observablen) werden dargestellt durch (hermitesche) Operatoren Â auf H. Erwartungswerte (Mittelwerte von Meßgrößen): A = ψ Â ψ iii) Die ZEITENTWICKLUNG eines Zustandes wird bestimmt durch die zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung mit dem HAMILTON-Operator Ĥ. i h ψ(t) = Ĥ ψ(t) t

4 - 2 - Bemerkungen: 1) Die Zustände n seien Eigenzustände von Â mit Eigenwerten a n : Â n = a n n. { n } bildet ein vollständiges Orthonormalsystem in H mit m n = δ mn. Befindet sich ein System im Zustand ψ, so gilt die Entwicklung ψ = c n n mit c n = n ψ, n und c n 2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, den Zustand ψ im Eigenzustand n zu finden. Insbesondere gilt A = ψ Â ψ = c n 2 a n n 2) Es seinen nun φ n Eigenzustände des Hamiltonoperators: Ĥ φ n = E n φ n. Für einen beliebigen Zustand ψ(t) gilt: ψ(t) = n c n (t) φ n. Mit i h t ψ(t) = Ĥ ψ(t) folgt c n (t) = φ n ψ(t) = e ie nt/ h c n (0). 3) Für einen STATIONÄREN Zustand mit Energie E ist ψ E (t) = e iet/ h ψ E (t = 0). Dann gilt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Ĥ ψ E = E ψ E mit ψ E ψ E (t = 0). 4) Wellenfunktionen sind Projektionen von Zuständen in den Ortsraum. Es sei ˆ r der Ortsoperator mit Eigenzuständen r r r = δ 3 ( r r ) und. Wellenfunktion: ψ( r, t )= r ψ(t).

5 Zeitentwicklungsoperator ; SCHRÖDINGER-Bild und HEISENBERG-Bild Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung besitzt die formale Lösung i h ψ(t) = Ĥ ψ(t) t ψ(t) = Û(t) ψ(t = 0) mit dem (unitären) ZEITENTWICKLUNGSOPERATOR (Û = Û 1 ) : Û(t) =e iĥt/ h =1 ī hĥ t 1 2 h 2 Ĥ2 t = ν=0 ( i) ν ν! (Ĥ t h ) ν bisher (in QM I) wurde in der Schrödinger-Darstellung (im S-Bild) gearbeitet: Zustände zeitabhängig Operatoren (z.b. Ort ˆ r, Impuls ˆ p, Drehimpuls ˆ L ) nicht explizit zeitabhängig Eine äquivalente Darstellung der Quantenmechanik ist das Heisenberg-Bild (H-Bild): Zustände ψ H ψ(t = 0) zeitunabhängig Operatoren Â H (t) =Û(t) Â Û(t) =e iĥt/ h Â e iĥt/ h zeitabhängig

6 - 4 - Erwartungswerte sind invariant unter einem Wechsel der Darstellung (S-Bild H-Bild): ψ(t) Â ψ(t) = ψ H e iĥt/ h Â e iĥt/ h ψ H = ψ H Â H (t) ψ H Bewegungsgleichung für Operatoren: falls Â(im S-Bild) nicht explizit von der Zeit abhängt: d dtâh(t) = ī h [Ĥ, ÂH (t)] = ī ) (Ĥ Â H (t) Â H (t) Ĥ h (bei expliziter Zeitabhängigkeit Â = Â(t) : addiere der Bewegungsgleichung.) tâ(t) auf der rechten Seite Erhaltungsgrößen:... kommutieren mit dem Hamiltonoperator, unabhängig von ihrer Darstellung im Schrödinger- oder Heisenberg-Bild: ] ] [Ĥ, ÂH = [Ĥ, Â =0

7 ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE 2.1 Wechselwirkungsbild und Störungsentwicklung Ausgangspunkt: Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ 0 + ˆV(t) zeitunabhängig; Störung ˆV(t) explizit zeitabhängig Ĥ 0 i) ˆV(t) sei klein im Vergleich zu Ĥ0 ii) ˆV(t) =0 für t t 0 für t t 0 : i h t ψ(0) (t) = Ĥ 0 ψ (0) (t) nach Einschalten der Störung: i h ] [Ĥ0 t ψ(t) = + ˆV(t) ψ(t) mit der Anfangsbedingung: ψ(t) = ψ (0) (t) für t t 0 WECHSELWIRKUNGSBILD: Def. i h t ψ(t) I = i h t eiĥ 0 t/ h ψ(t) = ψ(t) I = e iĥ 0 t/ h ψ(t) [ ( )] Ĥ 0 e iĥ 0 t/ h + e iĥ 0 t/ h Ĥ 0 + ˆV(t) ψ(t) = e iĥ 0 t/ h ˆV(t) ψ(t) = e iĥ 0 t/ h ˆV(t) e iĥ 0 t/ h ψ(t) I

8 - 6 - Es folgt: Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist äquivalent zur Gleichung im Wechselwirkungsbild mit i h ] [Ĥ0 t ψ(t) = + ˆV(t) ψ(t) i h t ψ(t) I = ˆV I (t) ψ(t) I ˆV I (t) =e iĥ 0 t/ h ˆV(t) e iĥ 0 t/ h Äquivalente Integralgleichung: ψ(t) I = ψ(t 0 ) I ī h t 0 dt ˆV I (t ) ψ(t ) I Iterative Lösung durch Reihenentwicklung: ψ(t) I = ψ(t 0 ) I ī h t 0 dt ˆV I (t ) ψ(t 0 ) I 1 h 2 t 0 dt t 0 dt ˆV I (t ) ˆV I (t ) ψ(t 0 ) I +... (von Neumann - Reihe)

9 Übergänge 1. Ordnung im diskreten Spektrum... unter der Wirkung der zeitabhängigen Störung ˆV(t). Das System befinde sich anfangs 0 <t t 0 (zur Zeit ) in einem Eigenzustand von Ĥ 0 m(t) = e iĥ 0 t/ h m = e ie mt/ h m ( m m(t =0) ) Zur Zeit t 0 werde die Störung eingeschaltet. Gesucht: Wahrscheinlichkeit W mn (t) für den Übergang vom Anfangszustand m in einen Eigenzustand n(t) von Ĥ 0 zu einer Zeit t nach Einschalten der Störung: W mn (t) = n(t) ψ(t) 2 mit n(t) ψ(t) = n e iĥ 0 t/ h ψ(t) = n ψ(t) I und der Anfangsbedingung ψ(t 0 ) I = ψ (0) (t 0 ) I = e iĥ 0 t 0 / h m(t 0 ) = e iĥ 0 t 0 / h e iĥ 0 t 0 / h m = m eingesetzt in die von Neumann - Reihe (1. Ordnung): ψ(t) I = m ī h t 0 dt ˆV I (t ) m n(t) ψ(t) = n ψ(t) I = n m ī h t 0 dt n ˆV I (t ) m = δ mn ī h dt e i(e n E m )t / h n ˆV(t ) m t 0

10 - 8 - Übergangswahrscheinlichkeit: W mn (t) = 1 h 2 t 0 dt e iω mnt n ˆV(t ) m 2 mit hω mn = E m E n für t 0 and t + : W mn = W mn (t) = 1 h 2 lim W mn(t) t,t 0 + dt e iωmnt n ˆV(t (t) ) m 2 Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zum Betragsquadrat der Fouriertransformierten des Übergangsmatrixelements

11 Beispiel Zeitlich konstante Störung, die bei t = t 0 eingeschaltet wird. V 0 ˆV(t) = ˆV 0 θ(t t 0 ) t 0 t Setze t 0 =0. Mit ω mn =(E m E n )/ h gilt: W mn (t) = 1 h dt m E n n ˆV 0 m = n ˆV 0 m e i(e n E 2 m )t/ h h 2 mnt/ h e iω 2 1 ω mn 2 = n ˆV 0 m 2 2 h 2 ωmn 2 (1 cos ω mn t) = n ˆV 0 m 2 h 2 ( sin ω mn t 2 ω mn t 2 )2 = π h 2 t sin2 ω mnt 2 π ( ) ω mn t 2 n ˆV 0 m 2 2 t

12 Untersuche nun die Funktionenfolge mit den Eigenschaften: δ t (ω) = t π... ω =0 und δ t(ω) < 1 πω 2 t δ t (ω) = sin2 ωt πω 2 t... ω 0 δ t (ω) Dies definiert die Delta-Distribution lim δ t(ω) =δ(ω) t mit + dω δ(ω)f (ω) =F (0) π/t π/t ω Es folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit im Grenzfall langer Beobachtungszeit t : W mn (t) = π h 2 tδ(ω mn/2) n ˆV 0 m 2 = 2πt h δ(e m E n ) n ˆV 0 m t (Dabei wurde verwendet: δ(ω mn /2) = δ ( ) Em E n =2 hδ(e m E n ) ) 2 h 2 Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit: merke: Bei zeitlich konstanter Störung und t : Übergang nur zwischen Zuständen gleicher Energie möglich.

13 Zeitlich periodische Störungen; Fermi s Goldene Regel Betrachte nun eine periodische Störung ˆV(t), die zur Zeit t = 0 eingeschaltet wird: ˆV(t) = ˆV 0 e iωt θ(t) Dann gelten die Relationen aus 2.2, jedoch mit W mn (t) = 1 h 2 dt e i(e n E m hω)t / h n ˆV 0 m Für t 0 erhält man die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Γ m n = 2π h δ(e n E m hω) n ˆV 0 m Interpretation: der (stationäre) Zustand m geht durch Absorption eines Energiequants hω in den (ebenfalls stationären) Zustand n über. 2 2 Übergänge im kontinuierlichen Spektrum: Zustandsdichte (Zahl der Endzustände dn(e) mit Energie E im Energieintervall [E, E+dE]): ρ(e) = dn(e) de ρ(e) diskretes Spektrum kontinuierliches Spektrum E

14 Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit, summiert über alle verfügbaren Endzustände: Γ= Γ mn dn(e n )Γ mn = de n ρ(e n )Γ mn n = 2π h de n ρ(e n ) δ(e n E m hω) n ˆV 0 m 2 Γ= 2π h ρ(e f ) f ˆV 0 m 2 E f =E m + hω mit ˆV 0 = ˆV(t =0) (Fermi s Goldene Regel ) Hinweis: In der Herleitung wurde angenommen, daß im Falle eines entarteten Endzustands f alle Übergangsmatrixelemente zur Energie E f den gleichen Wert besitzen. Ist dies nicht der Fall, so müssen diese Beiträge getrennt aufsummiert werden, mit entsprechender Berücksichtigung der Besetzungszahlen in der Dichte der Endzustände.

15 Beispiel: Elektromagnetische Übergänge Betrachte zwei Zustände und (z.b.: Grundzustand und angeregter Zustand eines Atoms, eines Moleküls oder eines Atomkerns... ) Übergang durch Absorption oder Emission eines Photons (Lichtquants) mit der Energie hω a b b a Wechselwirkungsoperator: ˆV (t) = 1 c d 3 x J( x ) A( x, t ) b hω a hω Vektorpotential des elektromagn. Feldes Vektorpotential: mit A( x, t )=0 A( x, t )=N Φ=0 Stromdichte in der Coulomb- (transversalen) Eichung ( ε e i k x iωt + ε e i k x +iωt ) Absorption Emission ω = c k Elektrische und magnetische Felder: E = 1 c A t B = A

16 Energie des Strahlungsfeldes: hω = 1 8π V d 3 x Normierung: N = ( E 2 + B 2) = 1 8π 2π hc 2 ωv V (. ) 1 d 3 x c 2 A 2 + k B 2 (Faktor 2 aus der Summe über Polarisationsfreiheitsgrade) Fermi s Goldene Regel für den Übergang a b durch Photoabsorption: Γ a b = 2π h ρ(e b = E a + hω) b ˆV (t =0) a 2 mit ˆV (t =0)= 2π hc 2 ωv V d 3 x J( x ) ε e i k x Beispiel für ein Teilchen mit Ladung e und Masse m : am Ort x = r Stromdichte des absorbierenden Systems J( x )= e mc δ3 ( x r ) ˆ p mit dem Impulsoperator ˆ p = i h Γ a b = 4π2 e 2 ωm 2 V ρ(e b = E a + hω) b e i k r ε ˆ p a 2

17 Elektrische Dipol-Übergänge Es sei nun der Hamiltonoperator des ungestörten Systems (z.b. eines Atoms): Ĥ 0 Ĥ 0 a = E a a Ĥ 0 b = E b b In der Atomphysik gilt für Übergänge im diskreten Spektrum: kr << 1 für typische Atomradien R e i k r =1+i k r (Dipolnäherung) Mit linear polarisiertem Photon (z.b. in z-richtung) ε =(0, 0, 1) T und. ˆ p m = r = ī h [Ĥ0, r] : b ˆp z m a = ī h b [Ĥ0,z] a = ī h b Ĥ0 z z Ĥ0 a = ī h (E b E a ) b z a = iω b z a Wahrscheinlichkeit pro Zeit für einen elektrischen Dipol-Übergang: el. Dipol Γa b = 4π2 e 2 V ωρ(e b = E a + hω) b z a 2 (Hinweis zu den gewählten Einheiten: c.g.s. System mit hc = ev Å e 2 hc = ; entspricht 4πε 0 =1. ) 1Å =10 8 cm

18 Ergänzung: zur Wechselwirkung geladener Teilchen mit dem elektromagnetischen Strahlungsfeld Bei Emission oder Absorption von Lichtquanten in Übergängen zwischen atomaren Zuständen werden Photonen erzeugt oder vernichtet. Zur Formulierung solcher Absorptions- oder Emissionsprozesse ist der quantenfeldtheoretische Formalismus am besten geeignet. Zur Erinnerung: Hamiltonoperator eines Elektrons im elektromagnetischen Feld: Ĥ = 1 e ] 2 [ˆ p ˆ A( x, t ) + eφ( x, t ) 2m c Zeitabhängiger Wechselwirkungsterm: ˆV (t) = e {ˆ p, A( x, t ) 2mc }+ + e2 2mc 2 A 2 ( x, t )+eφ( x, t ) mit dem Antikommutator } {ˆ p, A = ˆ p A + A ˆ p ( ) = i h A + A + Für ein System von N punktförmigen Teilchen mit Masse m, Ladung e: N [ ˆV (t) = e ] {ˆ p 2mc i, A( x i,t)} + e2 + 2mc 2 A 2 ( x i,t)+eφ( x i,t) i=1 Dichte: n( x )= δ 3 ( x x i ) Stromdichte: e J( x )= {ˆ p 2m i,δ 3 ( x x i )} i i Dann gilt: [ ] 1 ˆV (t) = d 3 x J( x c ) A( x, t )+ e2 2mc 2 n( x ) A 2 ( x, t ) e n( x ) Φ( x, t ) +

19 Quantisierung des Strahlungsfeldes: Vakuumzustand (keine Photonen) 0 Erzeugungsoperator Zustand mit einem Photon (Wellenvektor k, Polarisation λ ): k, λ = a kλ 0 Vernichtungsoperator a kλ k, λ = 0 Darstellung des Vektorpotentials als Fourier-Integral bzw. Fourier-Summe: (Volumen V) mit Normierung so, daß die Energie gegeben ist durch