Woche Zweite Quantisierung

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1 Woche 4.6 Zweite Quantisierung Beschreibung eines Vielteilchensystems mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Konstruktionsoperatoren). Die Operatoren bilden den Zustand des N-Teilchensystems aus dem Zustand des Systems aus N ± Teilchen, d.h. sie verbinden die Hilbert-Räume der Systeme mit verschiedenen Teilchenzahlen. Die Darstellung eine liefert höchst anschauliche Beschreibungsweise. Die Bezeichnung Zweite Quantisierung ist etwas unglücklich, es geht hier um Darstellung der normalen, ersten Quantisierung), hat sich aber etabliert..6. Konstruktionsoperatoren Nolting, 8.3). Sei H ±) N ein Hilbertraum der symmetrischen antisymmetrischen) Zustände eines N-Teilchensystems. N wird als freier Parameter betrachtet. Es wird ein Vakuumzustand 0 als einziges Element von H ±) 0 definiert; 0 0. In Vielteilchenräumen betrachten wir alle Einteilchenzustände α Zustandsvektoren φ α ) als vorgegeben z.b. nicht-ww Teilchen). Der Erzeugungsoperator a α verbindet Hilbert-Räume H ±) N und H ±) N. Seine Wirkungsweise: a α 0 α H a α 2 α 2 α 2 α H 2 a α n α n α 2 α n α n α n α 2 α H n. Der Erzeugungsoperator a α fügt dem N-Teilchensystem ein weiteres Teilchen im Einteilchenzustand α hinzu. Daher: α n α n α 2 α n! a α n a α 2 a α 0. Die Kommutationseigenschaften: Für Bosonen α i α j α 2 α ) α j α i α 2 α ) a α j α 2 α ) a α j α 2 α )

2 und a α j a α j [ a α j, ] ) 0, die Erzeugungsoperatoren für Bosonen kommutieren. Für Fermionen α i α j α 2 α ) α j α i α 2 α ) und a α j α 2 α ) a α j α 2 α ) a α j a α j [ a α j, ] 0, die Erzeugungsoperatoren für Fermionen antikommutieren. Bemerkung: Die Antikommutationsbeziehung drückt das Pauli-Prinzip aus: daher gilt: a α a α ) 0, doppelte Besetzung eines Einteilchenzustandes ist nicht möglich. Der zum Erzeugungsoperator adjungierte Operator a α a α heisst Vernichtungsoperator. Da a α n α n α 2 α ±) n α n α n α 2 α ±) Für die entsprechenden Bras gilt: ) α n α 2 α ±) a αn n α n α n α 2 α ±). Dabei benutzen wir α n α 2 α ±) n! 0 a α a α 2 a α n ) n! 0 a α a α2 a αn. Berechnen wir nun ein Matrixelement zwischen 2 Zuständen aus H ±) H n ±) : β n β 2 β ±) a βn α n α n α 2 α ±) n β n β 2 β α n α n α 2 α 2 n und

3 Daher: n n! P α ±) pα ˆPα [δγ, α )δβ 2, α 2 )δβ n, α n )] n N )! {δγ, α ) P α ±) pα ˆP α [δβ 2, α 2 )δβ n, α n )] ±)δγ, α 2 ) P α ±) p α ˆPα [δβ 2, α )δβ n, α n )] ±) n δγ, α n ) ±) p α ˆPα [δβ 2, α )δβ n, α n )] P α n {δγ, α ) β n β 2 β α n α n α 2 ±) n δγ, α n ) β n β 2 β α n α n 2 α }. a γ α n α n α 2 α ±) n { δγ, α ) α n α n α 2 ±) ±) n δγ, α n ) α n α n α ±)}. Kommt der Zustand γ unter den Zuständen α α n vor, so resultiert die Anwendung von a γ in einem n )-Teilchenzustand, in dem γ nicht mehr vorhanden ist vernichtet ). Kommt γ nicht unter den Zuständen α α n vor, so ist das Resultat 0; a γ 0 0. Wegen [a ) [a α, a α2 ] ± α, a α 2 ]± gilt für Vernichtungsoperatoren [a α, a α2 ] ± 0 Antikommutator für Fermionen, Kommutator für Bosonen). Wir brauchen nun die Vertauschungsregel für Erzeuger und Vernichter. Aus der Wirkungsweise der Operatoren hat man: a β a γ α n α n α 2 α ±) n a β α γ α n α n α 2 α ±) { δβ, γ) α n α n α ±) ±)δβ, α ) α γ α n α n α 2 ±) ±) n δγ, α n ) α n α 2 α ±)} 3

4 und a γ a β α n α n α 2 α ±) { δβ, α ) α γ α n α n ±) ±)δβ, α 2 ) α γ α n α 3 α ±) ±) n δγ, α n ) α n α 2 α ±)}. Multipliziert man die Gl. mit ±) und zieht sie von der vorherigen ab, so heben sich alle Glieder bis auf die ersten weg: aβ a γ a γ a β ) αn α n α 2 α ±) δβ, γ) α n α n α 2 α ±). Daher: [ ] aβ a γ δβ, γ) Kommutator für Bosonen, Antikommutator für Fermionen). Fortschritt: Die Anti)symmetrisierung der Zustände ist überflüßig geworden. Der entsprechende Effekt wird durch Kommutationsregel automatisch berücksichtigt. Bemerkung: Die Operatoren a und a wirken nicht in einem Hilbert- Raum H N sondern in einem größeren, als direkte Summe aller H N s definierten Hilbert-Raum F H 0 H H N Fock-Raum). Seine Basis besteht aus Vektoren 0, a α 0,, a α a ω 0,. Die Basisvektoren aus verschiedenen H N s sind zueinander orthogonal..6.2 Besetzungszahldarstellung Der Fall, wenn die anti)symmetrisierten N -Teilchenzustände in einer Basis diskreter Einteilchenzustände die ein VONS von Einteilchenwellenfunktionen bilden) beschrieben werden kann, lässt eine spezielle Schreibeweise des Zustandsvektors zu: Die Besetzungszahldarstellung. Sie erlaubt, die als Hilfsmittel eingeführte, aber physikalisch unmögliche Teilchennummerierung nicht mehr zu erwähnen. Die Besetzungszahl n α zeigt wie viele Mal der Einteilchenzustand α in der Gesamtwellenfunktion φ α φ α2 φ αn vorkommt. Es gilt: n αi N i 4

5 und für Ferimonen Zustände in H N) und n αi 0, n αi 0,, 2,, N für Bosonen Zustände in H N). Die WF, die aus der Anti)symmetrisierung eines beliebigen Zustands α α 2 α N folgt, ist α α 2 α N ±) C ±) p φ ) φ 2) φ ) ˆP α α 2 N) α N. P C Normierungskonstante). Man kann die Zustände in φ ) φ 2) φ α α 2 N) α N so anordnen, dass zuerst alle WF von Typ φ α, dann alle Funktionen vom Typ φ α2 u.s.w. vorkommen: C P ±) p ˆP φ ) φ 2) α α φ k) α i φ m) α i }{{}}{{} n a n αi und den entsprechenden Zustand als n α, n αj, ±) notieren, einen Fock-Zustand alle Besetzungszahlen, inklusive n αi 0 für unbesetzte Zustände angeben, so dass k n αk N). Die Anwendung der Operatoren a γ und a β auf diese Zustände ergibt: Für Bosonen: und Daher a α k nα, n αk, ) nαk nα, n αk, ) a αk nα, n αk, ) nαk nα, n αk, ). n α, n αk, ) nα!n α k! a α ) nα a α k ) nα2 0. ) Daraus folgen die Normierungsfaktoren für die Zustandsvektoren in Besetzungszahldarstellung. 5

6 Für Fermionen: a nα, n α α2, n αk, ) ) ν k n αk ) n α, n αk, ) k und a αk nα, n αk, ) ) ν k n αk nα, n αk, ), dabei ist ν k k i n αi die Summe aller n αi, die in dem Zustandsvektor links von α k stehen. Die Beziehung ) gilt auch für Fermionen, allerdings sind alle n α!, da 0!!. Aus diesen Beziehungen folgt: Der Operator a α k a αk nα, n αk, n αk nα, n αk, ˆn i a i a i ist ein Besetzungszahloperator. Die Zustände mit unterschiedlichen Besetzunngszahlen sowie die Zustände mit unterschiedlichen N sind zueinender orthogonal. Unter richtigen Normierung nα, n αj, n α, n α 2, n α j, δ NN δ nα n α δ nα nn. αn Die Gesamtzahl der Teilchen N wird im Weiteren nicht mehr erwähnt. In dem entsprechenden Fock-Raum bilden n α, n αj, eine vollständige Basis: n α, n αj, n α, n αj, Î. n α n αn Bezüglich dieser Basis lässt sich ein beliebigen Zustandsvektor durch seine Komponenten ausdrücken ψ n α, n αj, n α, n αj, ψ n α,n αk, n α,n αk, n α!n αk! a α ) nα a α k ) nα2 0 0 aαk ) nα2 aα ) nα ψ. Die Komponente n α!n αk! ) /2 ) nα2 ) nα 0 aαk aα ψ gibt die Amplitude an, dass sich im Zustand ψ n α Teilchen im Einteilchenzustand α,, n αk Teilchen im Einteilchenzustand α k befinden. Ein beliebiger Operator  lässt sich durch seine Matrixelemente bezügl. dieser Basis darstellen. 6

7 .6.3 Operatoren in zweiter Quantisierung Der beliebige Operator ÂN einer N-Teilchen-Observablen lässt sich folgendermassen darstellen:  N α n α 2 α ±) α n α 2 α ±)  N β n β 2 β ±) β n β 2 β ±) {α i },{β i } N! {α i },{β i } a α a α 0 α n α 2 α ±)  N β n β 2 β ±) 0 a βn a β.  aus Sum- In allen physikalisch relevanten Fällen besteht ein Operator men von Ein- und Zweiteilchenanteilen:  N N i  i) 2 i j  i,j) 2. Wie in der Vorlesung Woche 3, Hartree-Fock-Methode) betrachten wir zunächst als Basis in H N die Tensorporodukte der orthonormierten Eigenfunktionen von Âi) damals Ĥi) ). Die Matrizenelemente der Einteilchenanteile α n α 2 α ±) i  i) β n β 2 β ±) verschwinden zwischen den Zustandsvektoren gleicher Struktur und reduzieren sich zu N α ) Â). Daher gilt: j j α ) j N  i) α ) Â) j α ) j a αj a αj i α j der Rest von der Summe bildet einen Einheitsoperator in H N ; es ist klar dass da a α j a αj ˆn αj, geht die Summe über i in die Summe über n αi über). Wenn wir eine andere Basis in H N auswählen Zustände µ i ) so erfolgt das durch eine unitäre Transformation: und a αj µ i µ i α j a µi a α j µ k α j µ k a µ k 7

8 a µ k und a µi sind die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für Zustand µ k ) so dass i.a. N  i) µ i  µ k a µ j a µk. µ i,µ k i Man kann das etwas umständlich) auch direkt in jeder beliebigen Basis zeigen, sieh Nolting Anschauliche Deutung: Der Einteilchenoperator vernichtet ein Teilchen im Zustand a µk und erzeugt das Teilchen im Zustand µ j. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude solcher Prozesse ist µ i  µ k. Teilchenzahl bleibt dabei erhalten. Analog für die Zweiteilchenanteile:  i,j) 2 A µi,µ j,µ k,µ l a µ j a µ j a µl a µk i j µ i,µ j,µ k,µ l mit A µi,µ j,µ k,µ l µ ) 2) i µ j Â,2) 2 µ ) µ 2) k l beachte die Reihenfolge der Indizes, in Vernichtungsoperatoren ungekehrt zu Bras). Insgesamt, z.b. für den Hamilton-Operator Ĥ N i p 2 i 2m e 2 2 i j r ij freies Elektronengas). In 2. Quantisierung Ĥ µ i p2 i µ i,µ k 2m µ k a µ j a µk e 2 a µ 2 r j a µ j a µl a µk. ij Da in beiden Termen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in gleicher Zahl vorhanden sind, ist die Gesamtteilchenzahl erhalten Hausaufgabe). Treten die Terme mit ungleicher Anzahl der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren auf, ändert sich die Teilchenzahl z.b. Absorption und Emission der Photonen durch Elektronen in Atom). Bemerkung: Warum dieser Formalismus Zweite Quantisierung heisst. Der obengenannte Formalismus erlaubt eine andere Darstellung. Sei â j ein Erzeugungsoperator im Zustand j hier sind alle Operatoren mit Hut, da die gleichen Buchstaben zweimal vorkommen). Sei ψ j q) die entsprechende Einteilchenwellenfunktion. Die WFen ψ j q) bilden ein VONS der Basisfunktionen. Führen wir die Operatoren ˆψq) j i j φ j q)â j 2) 8

9 und ˆψ q) j φ jq)â j 3) ein. Der Operator ˆψ q 0 ) vergrößert um die Anzahl der Teilchen im System; das neue Teilchen wird bei q q 0 geboren i.e. wenn q die Koordinate ist, dann am Orte q 0, wenn q Impuls ist mit Impuls q 0 u.s.w.): ˆψ q 0 ) 0 j φ jq 0 )a j 0 j φ jq 0 )φ j q) δq q 0 ) δ-fkt. im kontinuierlichen Fall; δ-symbol in diskreten Fall). Die Kommutationsbedingungen für Feldoperatoren ˆψq) folgen aus den Kommutationsbedingungen für a j : ˆψq) ˆψ q ) ˆψ q ) ˆψq) δq q ) für Bosonen, für Fermionen). Die Feldoperatoren erlauben eine folgende Darstellung des Hamiltonoperators: Ĥ i H j â âj ) 2) i µ i µ j i,j 2 Â,2) 2 µ ) µ 2) k l â i â j â l â k i,j,k,l ˆψ q)h ˆψq)dq ˆψ q ) 2 ˆψ q)v 2 ˆψq) ˆψq )dqdq. Die Analogie zwischen den Gl en ) und 2) und der Entwicklung über dem VONS der Einteilchen-Eigenfunktionen ψq) j ψ q) j φ j q)a j φ jq)a j 4) ist der Grund der unglücklichen Bezeichnung: Zuerst löst man das Einteilchenproblem. Man schreibt die klassische Hamiltonfunktion hin, und ersetzt die zahlwertige Variablen p und x durch Operatoren, um an die Eigenfunktionen φ j x) zu gelangen erste Quantisierung, Einteilchenproblem). Um zur Beschreibung des Vielteilchenproblems zu gelangen, benutzt man Gl.3) und ersetzt die zahlwertige Koeffizienten a j und a j durch Operatoren mit entsprechenden Kommutationseigenschaften a j â j, a j â j zweite Quantisierung für Vielteilchenproblem, Einzelteilchen sind als Quanten des ψ-feldes angesehen). 9