Vielteilchentheorie. Skript zur gleichnamigen Vorlesung Sommersemester 2008, Universität Hamburg

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1 Vielteilchentheorie Skript zur gleichnamigen Vorlesung Sommersemester 2008, Universität Hamburg Prof. Dr. Michael Potthoff Hamburg,

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3 Inhaltsverzeichnis Quantenstatistik 9. Prinzipien der Quantenmechanik Quantenmechanisches N-Teilchen-System Gemischter Zustand, Dichteoperator Shannon-Information Großkanonische Gesamtheit Zweite Quantisierung Systeme identischer Teilchen Hilbert-Raum der physikalischen Zustände (Anti-)symmetrisierte Produktzustände Besetzungszahldarstellung Erzeuger und Vernichter Darstellung von Observablen Spezielle Observablen Unitäre Transformationen Unterscheidbare Teilchen Feldoperatoren Quantisierung der Schrödinger-Gleichung Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie 5 3. Ideales Fermi- und Bose-Gas Ideales Gas aus Quasiteilchen Response-Größen und Korrelationsfunktionen Verallgemeinerters Ritzsches Prinzip Wick-Theorem Mean-Field-Theorie Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme 8 4. Gittermodelle Hubbard-Modell Grenzfälle und Phasendiagramm Symmetrien

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Anderson-Modelle Mehrband-Modelle Effektive Niederenergie-Modelle Heisenberg- und t-j-modell Kondo-Modell Kondo-Gitter-Modell Green-Funktionen 5. Spektroskopien Spektraldichte Linear-Response-Theorie Frequenzabhängige Green-Funktion Retardierte und avancierte Green-Funktion Linear Response, statischer Limes Bewegungsgleichung Selbstenergie und Dyson-Gleichung Einfache Anwendungen Atomares Hubbard-Modell Hubbard-I-Näherung und Mott-Isolator

5 Vielteilchentheorie geplanter Inhalt: Quantenmechanik, Quantenstatistik Zweite Quantisierung Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme Effektive Niederenergie-Modelle Spontane Symmetriebrechung Anregungen von Viel-Teilchen-Systemen Green-Funktionen Diagrammatische Störungstheorie Funktionaltheoretische Methoden Dynamische Mean-Field-Theorie Korrelationsinduzierter (Mott) Isolator mögliche weitere Themen: Pfadintegrale Magnetische Ordnung Supraleitung Numerische Verfahren Dichte-Funktional-Theorie Quanten-Cluster-Theorien Unordnung

6 Literaturauswahl umfassend, einführend: W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 (Vieweg) E.K.U. Gross, E. Runge: Veilteilchentheorie (Teubner) A. L. Fetter, J. D. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems (McGraw-Hill) G. D. Mahan: Many-Particle Physics (Plenum) spezielle Themen: P. Nozières, D. Pines: The Theory of Quantum Liquids (Addison-Wesley) E. H. Lieb, D. C. Mattis: Mathematical Physics in One Dimension (Academic) F. Gebhard: The Mott Metal-Insulator Transition (Springer) A. C. Hewson: The Kondo Problem to Heavy Fermions (Cambridge University Press) H. E. Stanley: Phase Transitions and Critical Phenomena (Academic) W. Nolting: Quantentheorie des Magnetismus I, II (Teubner) G. Czycholl: Theoretische Festkörperphysik (Vieweg) spezielle Methoden: A. A. Abrikosow and L. P. Gorkov and I. E. Dzyaloshinski: Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Prentice-Hall) R. M. Dreizler and E. K. U. Gross: Density Functional Theory (Springer) J. W. Negele, H. Orland: Quantum Many-Particle Systems (Addison-Wesley) H. Eschrig: The Fundamentals of Density Functional Theory (Teubner)

7 Viel-Teilchen-Theorie: Motivation reale Systeme sind meist als quantenmechanische Viel-Teilchen-Systeme aufzufassen (z.b. Atomkerne, Atome, Moleküle, Nanostrukturen, Mesoskopische Systeme, Festkörper) meist Systeme mit (starker) Wechselwirkung Beschreibung von Vielteilchensystemen daher i.allg. nicht reduzierbar auf Ein-Teilchen-Konzepte Bild unabhängiger Teilchen nicht haltbar Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen erzwingt (Anti-)Symmetrisierung der Viel-Teilchen-Wellenfunktion Ψ(r, σ, r 2, σ 2,...) Formalismus der zweiten Quantisierung (Erzeuger, Vernichter) Viel-Teilchen-Wellenfunktion von 0 23 Teilchen uninteressant neue Basisgrößen, z.b. Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen, Green- Funktionen, zu diskutieren Ein-Teilchen-Problem (H Ψ = E Ψ ) im wesentlichen lösbar (ggfs. numerisch), Viel-Teilchen-Problem i.allg. nicht exakt lösbar neue Methodik erforderlich (Mean-Field-Ansätze, Feynman-Diagramme, QMC, Pfadintegral, Funktionaltheoretische Methoden, etc.) qualitativ neue Phänomene: Fermiflüssigkeiten, Luttinger-Flüssigkeiten, Schwerfermionenverhalten, Kondo- Effekt, Bose-Einstein-Kondensation, Supraleitung, kollektiver Magnetismus, Mott-Isolatoren, (Quanten-)Phasenübergänge, etc.

8 8 INHALTSVERZEICHNIS

9 Kapitel Quantenstatistik. Prinzipien der Quantenmechanik Zustand bzw. Ψ H mit Ψ Ψ = Ψ Ψ Zustandsraum: { Ψ } = H (Projektor) Hilbert-Raum Observable: hermitesche Operatoren auf H: A = A mögliche Messwerte: Eigenwerte a r von A A a r, γ = a r a r, γ (γ =,..., g r, g r : Entartung von a r ) a r, γ Eigenzustand von A zum Eigenwert a r QM: keine sichere Vorhersage einzelner Messungen prinzipielle Unvorhersagbarkeit, auch bei vollständiger Präparation eines reinen Zustands Ψ objektive WK Quantenstatistik: gemischte Zustände mit weiteren ( subjektiven ) WK 9

10 0 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK Messung von A am System im Zustand Ψ liefert a r mit WK P(a r ) = a r Ψ 2 = Ψ a r a r Ψ = Π(a r ) Ψ Π(a r ): Projektor auf den Unterraum zum Eigenwert a r bei Entartung von a r : P(a r ) = γ a r, γ Ψ 2 = Ψ g r γ= Systemzustand nach der Messung (mit Resultat a r ): Π(a r ) Ψ a r, γ a r, γ Ψ = Π(a r ) Ψ Kollaps, akausale Entwicklung Präparation eines reinen Zustands Ψ. Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Observabler a r, b s,... = Π(a r )Π(b s ) Ψ Erwartungswert von A bei Messung im Zustand Ψ: A Ψ = r P(a r )a r = r,γ a r, γ Ψ 2 a r = Ψ a r, γ a r a r, γ Ψ = Ψ A Ψ r,γ zeitliche Entwicklung des Zustands: Ψ = Ψ(t) Anfangsbedingung: Ψ(t 0 ) = Ψ 0 Dynamik: Hamilton-Operator H = H(q, p) klassische Hamilton-Fkt. aber [q, p] = i Bewegungsgleichung i d Ψ(t) = H Ψ(t) dt Schrödinger-Gleichung formale Lösung: Ψ(t) = exp ( i ) H(t t 0) Ψ(t 0 ) = U(t t 0 ) Ψ(t 0 ) mit Zeitentwicklungsoperator U (H nicht explizit zeitabhängig) Zeitabhängigkeit eines Erwartungswerts: A t = Ψ(t) A Ψ(t) Schrödinger-Bild

11 .2. QUANTENMECHANISCHES N-TEILCHEN-SYSTEM = Ψ(0) e i Ht Ae i Ht Ψ(0) = Ψ(0) A(t) Ψ(0) Heisenberg-Bild mit: A(t) e i Ht Ae i Ht Schrödinger-Bild: A = A(q, p) Operatoren zeitunabhängig Ψ(t) Zustände zeitabhängig Schrödinger-Gleichung Heisenberg-Bild Operatoren zeitabhängig Heisenberg-Gleichung Zustände Ψ zeitunabhängig Heisenberg-Gleichung (A nicht explizit zeitabhängig): i d dt A(t) = i d dt ( e i Ht Ae i Ht) = [A, H](t) Erhaltungsgrößen: [A, H] = 0 Energieerhaltung: [H, H] = 0 A = const. H = const..2 Quantenmechanisches N-Teilchen-System Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H ONB von H : { φ α } φ α φ β = δ αβ (Orthonormierung) φ α φ α = (Vollständigkeit) α α: diskreter Index! (konzeptionell: Teilchen in einer (makroskopischen) Box vermeidet formale Schwierigkeiten bei überabzählbaren Basis) Ein-Teilchen-Hilbert-Raum des i-ten Teilchens: H (i)

12 2 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK ONB von H (i) : { φ (i) α } N-Teilchen-Hilbert-Raum: H N = H () H (2) H (N) (Tensorprodukt) ONB von H N : { φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N } Index oben: Teilchen Produktzustände Index unten: vollständiger Satz von Quantenzahlen es folgt: dim H N = N i= dim H (i) = (dim H ) N falls H endlichdimensional bzw. dim H (i) = dim H beachte: Definition von H N nur für unterscheidbare Teilchen (s.u.) Orthogonalität: φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N φ () β φ (2) β 2 φ (N) β N = φ () α φ () β φ (N) α N φ (N) β N = δ α β δ αn β N Vollständigkeit: α,...,α N φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N = Bestimmung eines Energie-Eigenzustands: Darstellung des Hamilton-Operators H in ONB H = φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N H φ () β φ (N) β N φ () β φ (N) β N α,...,α N,β,...,β N mit r = (α,..., α N ), s = (β,..., β N ) ist: H = H rs r s rs

13 .2. QUANTENMECHANISCHES N-TEILCHEN-SYSTEM 3 Eigenwerte/-zustände von H Eigenwerte/-zustände der Matrix H rs H rs = r H s Matrixdimension: N dim H (i) = (dim H ) N (bei gleichen Dimensionen) i= für Diagonalisierung von Matrizen Matrixdimension 3, also: Aufwand (dim H ) 3N Aufwand e N Bestimmung der Grundzustandsenergie mit Hilfe des Ritzschen Prinzips: mit E 0 = min Ψ H Ψ Ψ Ψ Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N c α,...,α N Variationsparameter, Anzahl e N Minimierung der Funktion E 0 ({c α,...,α N }): Aufwand e N gegeben N-Teilchen-Zustand Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N Berechnung des Erwartungswerte einer Observablen A: Ψ A Ψ = c α,...,α N c β,...,β N φ () α φ (N) α N A φ () β φ (N) α,...,α N,β,...,β N 2N-fache Summe mit jeweils dim H Termen e N Summanden Aufwand e N Operieren mit N-Teilchen-Zuständen: Aufwand e N aber: reiner Zustand enthält zu viel Information Ausweg durch quantenstatistische Beschreibung? β N

14 4 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK.3 Gemischter Zustand, Dichteoperator Mikrozustand: Ψ reiner Zustand bei unvollständiger Information: Ψ k mit WK p( Ψ k ) = p k gemischter Zustand gemischter Zustand = Satz von reinen Zuständen mit zugehörigen WK Zustand Ψ k ist eine Zufallsgröße zusätzliche statistische Beschreibung definiere Dichteoperator ρ = k p k Ψ k Ψ k Operator im Hilbert-Raum (aber nicht als Observable aufzufassen) beachte: Ψ k können als Zustände nach einer Messung einer Observablen (oder einen Satzes von Observablen) B mit paarweise exklusiven und vollständigen Messresultaten (Eigenwerten) b k aufgefasst werden die Aussagen A k : System im Zustand Ψ k sind daher paarweise exklusiv und vollständig (Partition) in diesem Fall ist { Ψ k } eine ONB die wesentlichen Eigenschaften des Dichteoperators hängen aber nicht von der Orthonormalität ab Eigenschaften: Normierung: ({ Ψ k } ONB) Sp ρ = k Sp ρ = Ψ k ρ Ψ k = k p k = Positive Definitheit: sei Φ beliebig: Φ ρ Φ = Φ k p k Ψ k Ψ k Φ = k p k Φ Ψ k 2 0

15 .3. GEMISCHTER ZUSTAND, DICHTEOPERATOR 5 ρ 0 Hermitizität: ( ) ρ = p k Ψ k Ψ k = p k Ψ k Ψ k = ρ ρ = ρ umgekehrt: k k ρ = ρ, ρ 0, Sp ρ = Eigenwerte reell, nicht negativ, Summe: Eigenwerte als WK interpretierbar Operator mit diesen Eigenschaten charakterisiert (eindeutig!) einen gemischten Zustand { Ψ k, p k } reiner Zustand als Spezialfall: p k = δ kk0 ρ = k p k Ψ k Ψ k = Ψ k0 Ψ k0 weiter gilt: Sp (ρ 2 ) = Ψ k ρ Ψ l Ψ l ρ Ψ k = k,l k p 2 k Ψ k Ψ k = k p 2 k Sp (ρ 2 ) = ρ = Ψ Ψ für ein Ψ ρ reiner Zustand Motivation der Definition von ρ = p k Ψ k Ψ k k alle messbare Größen: direkt durch ρ darstellbar! System mit WK p k im Zustand Ψ k. Messung von A. WK a r zu messen: P(a r ) = k P(a r System im Zustand Ψ k ) p k beachte: System im Zustand Ψ k bilden eine Partition es ist: also: P(a r ) = k Π(a r ) Ψk p k mit Π(a r ) = g r γ= (Marginalisierungsregel) a r, γ a r, γ

16 6 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK P(a r ) = Ψ k n n Π(a r ) Ψ k p k k n = n Π(a r ) Ψ k p k Ψ k n = Sp (Π(a r )ρ) = Sp (ρπ(a r )) n k P(a r ) ist also nur über den Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig Erwartungswert einer Observablen A: A = a r P(a r ) = a r Sp (ρπ(a r )) r r = Sp ( ρ r a r Π(a r ) ) = Sp (ρa) nur über Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig somit: A ρ = Sp (ρa) und P(a r ) = Π(a r ρ speziell für einen reinen Zustand ρ = Ψ Ψ : A Ψ = Sp( Ψ Ψ A) = n Ψ Ψ A n = Ψ A n n Ψ = Ψ A Ψ n n und: P(a r ) = Π(a r ) Ψ =... = Ψ γ a r, γ a r, γ Ψ = γ a r, γ Ψ 2 Beispiel: 2-dimensionaler Hilbert-Raum Basis: = ( 0 ) = ( 0 normierter reiner Zustand: ( ) α Ψ = = α + β ( α 2 + β 2 = ) β kohärente Superposition reiner Zustände normierter gemischter Zustand: )

17 .4. SHANNON-INFORMATION 7 ρ = α 2 + β 2 ( α 2 + β 2 =, Sp ρ = ) inkohärente Mischung reiner Zustände ) ) ρ = α 2 ( 0 (, 0) + β 2 ( 0 (0, ) = ( α β 2 beachte: Sp ρ 2 = α 4 + β 4 < für α 0, α unterschiedliche Messresultate, z.b. Observable S x = ( (( ) ( )) α σ x ρ = Sp (ρσ x ) = Sp 0 β 2 0 ( ) 0 α 2 = Sp β 2 = 0 0 dagegen: σ x Ψ = (α, β ) ( 0 0 (Interferenz von WK-Amplituden) ) ( α β ) = (α, β ) ( β α Dichteoperator des reinen Zustands ρ Ψ : ( ) ( α α ρ Ψ = Ψ Ψ = (α, β 2 βα ) = ) β αβ β 2 Interferenzterme fehlen auf der Nebendiagonalen von ρ ) ) ) = α β + β α = 2 σ x.4 Shannon-Information Versuch mit Elementarereignissen k (Ereignisse paarweise exklusiv und vollständig, Partition ) definiere Shannon-Information: σ = σ({p k }) = k p k ln p k mittlerer Informationswert = ln p k Anzahl der notwendigen, vorab festgelegten, binären Fragen zur Festlegung des Ereignisses k ln 2 Bsp: M = 6 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse (4 4-Schachbrett)

18 8 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK p k = /6 4 binäre Fragen, also 4 ln 2 = ln 2 4 = ln 2 4 = ln p k Eigenschaften: σ(p,..., p M ) 0 σ(p,..., p M ) = 0 p k = δ kk0 für ein k 0 (minimale Unkenntnis) Beitrag von k zu σ klein für p k (kaum neue Info) oder p k 0 (wegen x ln x 0 unwichtig für mittlere Info) für p k = M = const. (Gleichverteilung) ist σ(p,..., p M ) = Monotonie M k= M ln M = lnm σ M σ( M,..., ) monoton wachsend M (größere Unkenntnis bei wachsender Anzahl gleichwahrscheinlicher Möglichkeiten) Stetigkeit σ(p,..., p M ) stetig in allen Argumenten Additivität σ(p,..., p M ) = σ(p, p 3,..., p M ) + pσ( p p, p 2 p ) für p = p + p 2 (folgt durch direktes Nachrechnen) Unkenntnis unabhängig davon, ob EE in Klassen zusammengefasst werden Monotonie, Stetigkeit und Additivität bestimmen σ eindeutig bis auf eine Konstante (Shannon)

19 .5. GROSSKANONISCHE GESAMTHEIT 9 Shannon-Information eines gemischten Zustands ρ = p k Ψ k Ψ k : k σ = σ({p k }) = k p k ln p k p k Eigenwerte von ρ, Ψ k Eigenzustände Ψ k Eigenzustände von ρ ln ρ, Eigenwerte: und somit: ρ ln ρ Ψ k = p k ln p k Ψ k p k ln p k = Ψ k ρ ln ρ Ψ k σ = k Ψ k ρ lnρ Ψ k σ = Sp (ρ lnρ) Beispiel von oben: σ = σ( α 2, β 2 ) = α 2 ln α 2 β 2 ln β 2 maximale Unkenntnis für σ =max., also für α 2 = β 2 = /2 gemischter Zustand maximaler Unkenntnis: ( ) /2 0 ρ = = ( ) (, 0) + 0 / oder: ρ = ( /2 0 0 /2 ( 0 ) (0, ) ) = ( ) 2 (, ) + ( System mit WK /2 in Zustand mit Spin in ±x-richtung ) 2 (, ).5 Großkanonische Gesamtheit typische Situation: System mit Energie- und Teilchenaustauschkontakt Kontrollparameter: Temperatur T bestimmt mittlere Energie

20 20 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK chemisches Potenzial µ bestimmt mittlere Teilchenzahl gemischter Zustand der GK Gesamtheit, ρ =? MaxEnt-Prinzip σ(p,..., p M ) = max mit Nebenbedingungen p k = k k k p k E k = H (E k = Ψ k H Ψ k ) p k N k = N (N k = Ψ k N Ψ k ) notwendige Bedingung für σ = max: 0 = ( ) p k ln p k λ 0 p k λ p k E k λ 2 p k N k p k k k k k also: 0 = ln p k λ 0 λ E k λ 2 N k p k = const. exp( λ E k λ 2 N k ) Bedeutung der Lagrange-Parameter: damit: λ 0 Normierung λ = k B T p k = const.e (E k µn k )/k B T normierte Wahrscheinlichkeiten: mit p k = Z e β(e k µn k ) β = k B T und der Zustandssumme Z(T, µ) = k großkanonisches Potenzial e β(e k µn k ) = e βω Ω(T, µ) = k B T ln Z(T, µ) λ 2 = µ k B T

21 .5. GROSSKANONISCHE GESAMTHEIT 2 Formulierung mit Dichteoperator: ρ = Z e β(h µ N) Z = Sp e β(h µ N) Berechnung des Erwartungswerts einer Observablen A es sei (o.b.d.a.) dann folgt: H = H 0 + λa A = Sp (ρa) = Z Sp Ae β(h 0 λa) = λ ( k BT) ln Sp e β(h 0+λA) also A = Ω λ Berechnung von Ω(T, µ, λ) bzw. von Z(T, µ, λ): Z = Sp e βh = φ () α φ (N) α N e βh φ () α φ (N) α,...,α N α N Übung Aufwand e N Fazit Quantenstatistik: keine Verbesserung bzgl. des Komplexitätsproblems aber: angemessene Beschreibung eines Viel-Teilchen-Systems

22 22 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK

23 Kapitel 2 Zweite Quantisierung identische Teilchen: (Anti-)symmetrisierung der Zustände notwendig Umformulierung der üblichen QM mit Erzeugern und Vernichtern Quantisierung der Schrödinger-Gleichung als klassische Feldgleichung (s.u.) 2. Systeme identischer Teilchen identische Teilchen: Teilchen mit vollständig übereinstimmenden inneren Teilcheneigenschaften (Masse, Ladung, Spin,...) Identische Teilchen sind ununterscheidbar klassisch: unterscheidbar, da (prinzipiell) Trajektorie jedes einzelnen Teilchens verfolgt werden kann p KM 2 3 t=0 t>0 q quantenmechanisch: Konzept der Trajektorie sinnlos Vertauschung von Teilchen darf zu keinen messbaren Konsequenzen führen N-Teilchen-Hilbert-Raum: 23

24 24 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG H N = H () H (2) H (N) ONB { φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N } Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H (i) ONB { φ (i) α } identische Teilchen: H (i) isomorph zu H (j) definiere Vertauschungsoperator P ij : (auf Basis) P ij φ () α φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ () α φ (j) α i φ (i) α j φ (N) α N oder (Wirkung auf Ein-Teilchen-Zustände): P ij φ () α φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ () α φ (i) α j φ (j) α i φ (N) α N (es wird vereinbart, dass Zustände in einem Tensorprodukt kommutieren) es gilt: P ij = P ij und P 2 ij = Teilchenvertauschung darf Messwerte nicht ändern! Ψ A Ψ = P ij Ψ A P ij Ψ für beliebige physikalische Observable A und beliebigen physikalischen Zustand Ψ H N : Ψ A Ψ = Ψ P ijap ij Ψ A = P ijap ij [P ij, A] = 0 also auch: Ψ Ψ P ij = P ij Ψ Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = P ij Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = ε Ψ aber ε = ±, denn P ij = P ij und P 2 ij = somit: P ij Ψ = ± Ψ Bsp.: (für α i α j ) P ij ( φ (i) α i φ (j) α j ) = ( φ (j) α i φ (i) α j ) ± ( φ (i) α i φ (j) α j )

25 2.2. HILBERT-RAUM DER PHYSIKALISCHEN ZUSTÄNDE 25 Produktzustände nicht physikalisch Bsp.: r (i) Ortsoperator des i-ten Teilchens P ijr (i) P ij = r (j) r (i) r (i) nicht physikalisch Bsp.: H = N i= P ijhp ij = H H physikalisch p (i)2 2m + α 2 i j r (i) r (j) Fermionen Bosonen P ij Ψ = Ψ P ij Ψ = + Ψ antisymmetrische symmetrische Zustände symmetrische symmetrische Observable ε = ε = + (Vorzeichenkonvention) halbzahliger Spin ganzzahliger Spin (Spin-Statistik-Zusammenhang QFT) 2.2 Hilbert-Raum der physikalischen Zustände physikalisch erlaubte Zustände aus: Ψ H (ε) N Bsp: H (ε) N H N ist (anti-)symmetrisch φ () α φ(2) α H(+) 2 ( φ () α φ (2) β ± 2 φ(2) α φ () β ) H (±) 2 (normiert für α β) N = 2: (anti-)symmetrisierte Produktzustände H (ε) Verallgemeinerung auf N > 2: definiere Permutationsoperator P (auf Basis)

26 26 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG P φ () α φ (N) α N = φ (i ) α φ (i N) α N wobei (i,..., i N ) Permutation P der Zahlen,..., N definiere Vorzeichen der Permuation: ( ) P = ( ) p mit p = Anzahl der Transpositionen, aus denen sich die Permutation aufbaut P ist unitär, P = P definiere damit (Anti-)Symmetrisierungsoperator S (ε) N S (ε) N = N! Eigenschaften: ε P P P (S (ε) N )2 = S (ε) N (Idempotenz) (S (ε) N ) = S (ε) N (Hermitizität) also: S (ε) N Projektoren S (+) N S ( ) N = S ( ) N S (+) N = 0 also: orthogonale Projektoren Übung es gilt: Ψ H N S (ε) N Ψ H (ε) N denn: P ij S (ε) N Ψ = P ij ε P P Ψ = ε P P Ψ N! N! mit P = P ij P wegen ε P = εε P ist also: P ij S (ε) N Ψ = ε N! also: S (ε) N Ψ (anti-)symmetrisch da Ψ H N beliebig war, ist auch: P ε P P Ψ = ε ε P P N! P P P Ψ = εs (ε) N Ψ

27 2.3. (ANTI-)SYMMETRISIERTE PRODUKTZUSTÄNDE 27 P ij S (ε) N = εs(ε) N PS (ε) N = εp S (ε) N sei S (0) N S (0) N jetzt gilt: = S(+) N S( ) N ist ein zu S (ε) N orthogonaler Projektor Übung mit: H N = H (+) N H (+) N = S (+) N H N H ( ) N = S ( ) N H N H (0) N = S (0) N H N H ( ) N H (0) N (orthogonale Summe) 2.3 (Anti-)symmetrisierte Produktzustände Produktzustände (bilden Basis von H N ) φ () α φ (N) α N definiere (anti-)symmetrisierte Produktzustände: es ist φ α φ αn (ε) = S (ε) N φ () α φ (N) α N φ α φ αn (ε) H (ε) N beachte: { φ α φ αn (ε) } bilden keine Basis, sind i. allg. linear abhängig! beachte: dimh (ε) N < dimh N φ αi φ αj (ε) = ε φ αj φ αi (ε) Beispiel: H ( ) N φ α φ αn ( ) = N! P ( ) P P φ () α φ (N) α N

28 28 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG = N! det φ () α φ (N) α φ () α N φ (N) α N (mit Entwicklungssatz nach Leibniz) Slater-Determinante falls α i = α j für i j, folgt φ α φ αn ( ) = 0 Pauli-Prinzip damit ist auch: φ α φ αn (ε) 2 Zustände nicht normiert i.allg. sei Ψ N (ε) H (ε) N dann gilt: Ψ N (ε) = = = nach Anwenden von S (ε) N Ψ N (ε) = Zerlegung der Eins: φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N Ψ N (ε) α,...,α N φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N S (ε) N Ψ N (ε) α,...,α N φ () α φ (N) α N (ε) φ α φ αn Ψ N (ε) α,...,α N auf beiden Seiten folgt: α,...,α N φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn Ψ N (ε) φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn = (ε) H N α,...,α N 2.4 Besetzungszahldarstellung Vereinbarung einer Anordnung der Basiszustände: α =,..., d Standardordnung: φ, φ 2,, φ d mit d = dim H Besetzungszahldarstellung eines (anti-)symmetrisierten Produktzustands:

29 2.4. BESETZUNGSZAHLDARSTELLUNG 29 n, n 2,..., n d = K ε φ φ φ φ 2 φ 2 φ d φ d (ε) mit Normierungskonstante K ε ( n, n 2,..., n d n, n 2,..., n d = ) und: n i = Anzahl der Teilchen im Zustand φ i Besetzungszahl für φ α,..., φ αn (ε) : n i = Anzahl Indizes mit α j = i Produktzustand: φ 8 φ 4 φ φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N (anti-)symmetrisierter Produktzustand in Besetzungszahldarstellung: Ein Teilchen φ φ 2 φ d Zustände φ 3... (Teilchen ohne Identität) es gilt: (Beweis s.u.) { n, n 2,..., n d } ist ONB von H (ε) N (NB: α n α = N) Orthonormalität: n, n 2,, n α, n, n 2,, n α, = δ n n δ n 2 n 2 Vollständigkeit: n α nα=n n 2 n, n 2,, n α, n, n 2,, n α, = (ε) H N n α Bsp.: N = 2 Teilchen Produktzustand: φ () α φ(2) β H N=2 (Anti-)symmetrisierter Produktzustand:

30 30 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG S (±) 2 φ () α φ(2) β = ( φ () α 2! φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) = ±S (±) 2 φ (2) α φ() β = K± 0 n α = n β = 0 H (±) 2 Normierung: (K ± reell) K± 2 = (±) S N φ() α φ(2) β 2 = 4 = 4 K ± = ( φ () α φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) ( φ () α φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) ( φ () α φ (2) β φ() α φ (2) β + φ(2) α φ () β φ(2) α φ () β ) ± φ () α φ(2) β φ(2) α φ() β ± φ(2) α φ() β φ() α φ(2) β = 4 ( + ± δ αβ ± δ αβ ) = 2 ( ± δ αβ) 2 ± δ αβ allgemein: (s.u.) K ε = N! α n α! K = N! Fermionen: n α = 0, (aufgrund des Pauli-Prinzips) Ein Teilchen φ φ 2 φ d Zustände φ 3... M = dim H ( ) N = ( d N ) Bosonen: n α = 0,, 2,... Ein Teilchen φ φ 2 φ 3... φ d Zustände ( ) M = dim H (+) d + N N = N

31 2.4. BESETZUNGSZAHLDARSTELLUNG 3 Beispiel: N=2 Teilchen, d=3 Orbitale (also dimh = d = 3) K ε φ φ (ε) = 200 K ε φ φ 2 (ε) = 0 K ε φ φ 3 (ε) = 0 ε K ε φ 2 φ (ε) = 0 K ε φ 2 φ 2 (ε) = 020 K ε φ 2 φ 3 (ε) = 0 ε K ε φ 3 φ (ε) = 0 ε K ε φ 3 φ 2 (ε) = 0 K ε φ 3 φ 3 (ε) = 002 = 0 für Fermionen = 0 für Fermionen = 0 für Fermionen dimh N = 9 = 3 2 dimh (+) N = 6 = dimh ( ) N = 3 = ( 3 2 ( ) ) dimh (0) N = 0 (nicht typisch!) Beweis der Orthonormalität: Normierung: es seien α,..., α N standardgeordnet (ε) n,...,n d n,...,n d (ε) = K 2 ε (ε) φ α φ αn φ α φ αn (ε) = K 2 ε N! P ε P φ () α φ (N) α N P φ () α φ (N) α N = für P = (für Fermionen einzige Möglichkeit, ε P = +) = für P mit Teilchenpermutationen innerhalb von n α gleichen Zuständen = 0 sonst Anzahl der P, die liefern: Π α (n α!) also: (ε) n,...,n α,..., n d n,...,n α,...,n d (ε) = K 2 ε N! Π α(n α!)

32 32 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG K ε = Π N! α(n α!) Vollständigkeit: α nα=n n n 2 n α N; n, n 2,, n α, (ε)(ε) N; n, n 2,, n α, = Kε 2 φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn (K ε = K ε (n, n 2,...)) α,...,α N = Kε 2 φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn α,...,α N k ε = H (ε) N α,...,α N : alle Indizes unabhängig (Vollständigkeitsrelation von oben) α,...,α N : nur standardgeordnete Indextupel Mehrfachzählung in α,...,α N : k ε = Anzahl der Möglichkeiten, die N Teilchen so zu verteilen, dass n sich in φ befinden, n 2 sich in φ 2 befinden, etc. das sind gerade Orthogonalität: N! Π α (n α!) = K2 ε Möglichkeiten (ε) n,, n d n,, n d (ε) = K 2 ε (ε) φ α φ αn φ α φ α N (ε) = K 2 ε ε P P (δ α α N! δ P α N α ) N = δ n n δ n d n d K2 ε = δ n n δ n d n d N! Π α(n α!) definiere Fock-Raum

33 2.5. ERZEUGER UND VERNICHTER 33 H (ε) = N=0,,... H (ε) N Hilbert-Raum aller N = 0, N =,... - Zustände dimh (ε) =dimh (ε) 0 +dimh (ε) + = (direkte, orthogonale Summe) speziell: dimh (ε) 0 = (Vakuumzustand), dimh (ε) = d (s.o.) { n,, n d (ε) } (ohne NB) ist eine ONB des Fock-Raums! 2.5 Erzeuger und Vernichter ONB von H (ε) : { n n 2 n α n d (ε) } Definition von c α und c α auf ONB Erzeuger c α c α n, n 2,, n α, (ε) = ε Nα n α + N + ; n, n 2,, n α +, (ε) mit: = n α + N + ; n, n 2,, n α +, (+) (Bosonen) = ( ) Nα N + ; n, n 2,,, ( ) (Fermionen) N α = α n β β= c α : H (ε) N H (ε) N+ es folgt (vollständige Induktion) n,...,n d (ε) = (c ) n n! (c d )n d nd! 0 Die Bedeutung von N α zeigt sich z.b. bei der Herleitung der fundamentalen Antikommutatorrelationen. Übung Die Reihenfolge im Produkt ist strikt zu beachten! c ist der Erzeuger für der erste Basisorbital φ gemäß der Standardordnung. 0 H 0 ist der Vakuumzustand, 0 0 =, dim H 0 =, 0 0 = 0

34 34 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG Vernichter es gilt: c α = (c α ) (ε) N; n α c α N ; n α (ε) = ε Nα n α + (ε) N + ; n α + N ; n α (ε) = ε Nα n α + δ N+,N ( δ nα+,n ) α = ε N α n α δ N,N ( δ nα,n α ) = ε N α n α (ε) N; n α N ; n α (ε) N; n α (ε) c α N; n α (ε) = ε Nα n α N ; n α (ε) = n α N ; n α (+) (Bosonen) = ( ) Nα N ; n α ( ) (Fermionen) c α : H (ε) N H (ε) N c α, c α sind keine Observablen! Vertauschungsrelationen: für Bosonen und α β ist: c α c β n α n β (+) = n β + c α n α n β + (+) = n β + n α + n α + n β + (+) = c β c α n α n β (+) [c α, c β ] = 0 für α β und (trivial) für α = β analog: [c α, c β ] = 0 für α, β beliebig analog: [c α, c β ] = 0 für α β für α = β ist: c α c α n α (+) = n α + c α n α + (+)

35 2.5. ERZEUGER UND VERNICHTER 35 = n α + n α + n α (+) und c α c α n α (+) = n α c α n α (+) = n α nα n α (+) c α c α c α c α = n α + n α = [c α, c β ] = δ αβ analog: Fermionen für Bosonen und Fermionen gilt also: Übung [c α, c β ] ε = 0 [c α, c β ] ε = 0 [c α, c β ] ε = δ αβ ([A, B] + = AB + BA Antikommutator) Wirkung von c α auf (anti-)symmetrisierte Produktzustände es seien α,..., α N standardgeordnet, dann ist c α φ α φ αn (ε) = c α n n 2 n α (ε) K ε n!n 2! n α! = ε Nα n α + n n 2 n α + (ε) N! n!n 2! n α! = ε Nα n α + (N + )! N! n!n 2! (n α + )! φ α φ α (ε) also: = N + ε Nα φ α φ α (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) (n α +-mal)

36 36 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG damit gilt auch (durch Iterieren der Formel): φ α φ αn (ε) = N! c α c α N 0 Mit dem Einfügen von φ α an die erste Position geht evtl. die Standardordnung verloren. Bezüglich der φ α φ αn ist die Standardordnung noch gegeben. Das Resultat gilt aber auch allgemein, denn bei Permutation der Orbitale tritt links und rechts in der Gleichung dasselbe Vorzeichen auf. 2.6 Darstellung von Observablen eine allgemeine physikalische Observable besteht aus Ein- und Zwei-Teilchen- Anteilen: A = N i= i: Teilchenindex A (i) + 2 beachte: [A, P] = 0 i j i,j=,..,n A (i,j) 2 (Bsp.) Hamilton-Operator N p 2 i H = 2m + 2 es ist: A = A = α,...,α N i= i j i,j=,..,n ( = (ε) H ) N e 2 4πε 0 r i r j β,...,β N φ α φ αn (ε)(ε) φ α φ αn A φ β φ βn (ε)(ε) φ β φ βn Matrixelement des Ein-Teilchen-Anteils: N (ε) φ α φ αn A (i) φ β φ βn (ε) i= = φ () α φ (N) α N N i= A (i) φ β φ βn (ε) denn: [ i ] A (i), S (ε) N = 0

37 2.6. DARSTELLUNG VON OBSERVABLEN 37 N = φ α A (i) φ αi φ αn φ β φ βn (ε) i= N = φ α A (i) φ αi φ αn ε P P φ β φ βn i= N! P = ( ε P β P β φ () α N! A () φ () β φ (2) α 2 φ (2) β 2 φ (N) α N φ (N) β N P β = N! einsetzen... + ) + φ () α φ () β φ (N ) α N φ (N ) β N φ (N) α N A (N) φ (N) β N P β ε P β P β + P β wirkt hier (äquivalenterweise) auf β- statt auf Teilchenindizes. ( φ α A φ β δ α2 β 2 δ αn β N ) + δ α β δ αn β N φ αn A φ βn jeder der N Terme liefert gleichen Beitrag! z.b. letzter Term: Umbenennung der Summationsvariablen: α α 2 und β β 2 α N α und β N β 2N Vertauschungen, so dass ursprüngliche Ordnung von φ α φ αn (ε) und (ε) φ β φ βn wiederhergestellt wird Faktor ε 2N = jeder der N! Terme der P-Summe liefert gleichen Beitrag! ursprüngliche Ordnung im Matrix- für jedes P: Umbenennung der β i element p Vertauschungen der φ βi ursprüngliche Ordnung in (ε) φ β φ βn

38 38 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG also folgt: damit Faktor ε p, sowieso expliziter Faktor ε p also: ε 2p = N i= A (i) = N α,...,α N = N α β φ α φ αn (ε) φ α A φ β δ α2 β 2 δ αn β (ε) N φ β φ βn β,...,β N α 2,...,α N φ α φ αn (ε) φ α A φ β (ε) φ β φ α2 φ αn mit c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) (s.o.) folgt weiter: N i= A (i) = N c α α β α 2,...,α N N φ α2 φ αn (ε) φ α A φ β (ε) φ α2 φ αn c β N also: = c α (ε) H φ α A φ β c β = c α φ α A φ β c β N α β α β N i= A (i) = φ α A φ β c α c β αβ Interpretation: Teilchen hüpft mit Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude φ α A φ β vom Orbital φ β nach φ α analog: Übung mit 2 i j i,j=,...,n A (i,j) 2 = 2 φ α φ β A 2 φ γ φ δ c αc β c δc γ αβγδ φ α φ β A 2 φ γ φ δ = φ () α φ(2) β A(,2) 2 φ () γ φ(2) δ Beachte unterschiedliche Reihenfolge der Indizes! Interpretation: Das Wechselwirkungsmatrixelement φ α φ β A 2 φ γ φ δ bewirkt eine Streuung zweier Teilchen aus den Orbitalen φ γ, φ δ in die Orbitale φ α φ β

39 2.7. SPEZIELLE OBSERVABLEN 39 (Bsp.) Nichtwechselwirkende Teilchen in äußerem Potenzial H = ( p 2 ) i i 2m + V (r i) = H (i) i H = p2 2m + V (r) ONB von H : { ε n } mit H ε n = ε n ε n Erzeuger, Vernichter: c n, c n H = ε m H ε n c m c n = mn n ε n c n c n (Bsp.) System mit Coulomb-Wechselwirkung H = t αβ c αc β + U αβγδ c αβ 2 αc β c δc γ αβγδ mit t αβ = φ α H φ β Hopping und U αβγδ = φ α φ β H 2 φ γ φ δ Coulomb-WW-Parameter (Bsp.) Nur ein Orbital: dim H =, ONB: { } beliebiger Operator: A = ωc c + vc c cc (ω, v reell) Fermionen: A = ωc c 2.7 Spezielle Observablen Besetzungszahloperator n α = c αc α es ist n α = (c αc α ) = n α hermitesch, Observable und n α n,...,n d (ε) = c α c α n,...,n d (ε)

40 40 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG also: = ε Nα n α c α n,...,n α,...,n d (ε) = ε 2Nα n α 2 n,..., n α,...,n d (ε) n α n...n α... n d (ε) = n α n...n α...n d (ε) Basiszustände sind Eigenzustände von n α Teilchenzahloperator N = α n α es ist: N n n d (ε) = α n α n n d (ε) = N n n (ε) es gilt: (für Fermionen und Bosonen!) Übung [c α, n β ] = δ αβ c α c α sind Leiteroperatoren! (vergleiche: [J ±, J z ] = J ± für Drehimpuls, J ± = J x ± ij y ) Bosonen: mit cc c c = und ˆn = c c ist A = ωc c vc c + vc cc c = (ω v)ˆn + vˆn 2 (Bsp.) Nur ein Orbital Bosonen: A = ωc c vc c + vc cc c = (ω v)ˆn + vˆn 2 Eigenzustände: n ( ) = n! (c ) n 0 Eigenwerte: a n = (ω v)n + vn ( 2 harmonischer Oszillator: H = ω ˆn + ) 2 Hilbert-Raum eines Spin-/2-Teilchens (ε =, Fermion): H = H (Bahn) H (Spin) ONB von H : { ϕ α } = { ψ i χ σ } mit α = (i, σ) i indiziert räumliche Orbitale

41 2.7. SPEZIELLE OBSERVABLEN 4 σ =, indiziert Spin-Orbitale ( ) ( 0 χ =, χ 0 = Erzeuger, Vernichter, Besetzungszahloperator, Teilchenzahloperator: c iσ, c iσ, ˆn iσ, ˆN = definiere Doppelbesetzung es ist: d i = ˆn i ˆn i = ˆn i ˆn i d i = d i = d 2 i i ) σ ˆn iσ Erwartungswert in einem beliebigen Zustand: 0 d i Übung beachte: d i = ˆn i ˆn i ˆn i ˆn i i.allg. definiere ( e : empty) es ist e i = ( ˆn i )( ˆn i ) = e i + ˆn i + ˆn i d i für Spin-/2-Fermionen definiere: mit S i = (S ix, S iy, S iz ) S iz = 2 (n i n i ) S ix = 2 (S i+ + S i ) S iy = 2i (S i+ S i ) es gilt: S i+ = c i c i S i = c i c i = S i+ kompakt: S i = S i S i± = S ix ± is iy

42 42 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG S iµ = c 2 iσσ (µ) σσ c iσ σσ mit den Pauli-Matrizen: ( ) 0 σ (x) = 0 σ (y) = µ = x, y, z ( 0 i i 0 ) σ (z) = ( 0 0 ) Drehimpulsalgebra: Übung [S ix, S iy ] = i S iz (und zyklisch) [S ix, S jy ] = i δ ij S iz (und zyklisch) S i : Spin des Orbitals i falls i die Plätze eines Gitters indiziert (ein Orbital ψ i pro Platz): lokaler Spin m i = S i / bzw. µ i = gµ B S i / : lokales magnetisches (Spin-)Moment Eigenwerte von S iz = (n i n i )/2: 0, ± /2 Eigenwerte von Siz 2 : 0, 2 /4 Eigenwerte von S 2 i = 3S2 iz : 0, 3 2 /4, also S = 0 und S = /2 Übung S i ist kein Spin-/2! beachte: S (j) : Spin des j-ten Elektrons, j =,..., N (keine Obs.), (S (j) ) 2 = 3 2 /4 S i : Spin am i-ten Gitterplatz, i =,..., L (Observable), S 2 i const. (Def.) Gesamtspin N S = S (j) j= 2. Quantisierung: S = iσ () S () i σ () c iσc i σ = iσ ii σσ iσσ 2 σ iσ c iσc iσ = c iσ iσσ 2 σ σσ c iσ also: N L S = S (j) = S i j= i=

43 2.8. UNITÄRE TRANSFORMATIONEN Unitäre Transformationen abkürzende Schreibweise: α φ α { α } ONB von H unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis: α = U αα α mit U unitär α { α } ONB von H wie transformieren sich Erzeuger und Vernichter? betrachte: c α 0 = α = U αα α = U αα c α 0 α α also: α = α U αα α c α = α U αα c α c α = α U αα c α Ableitung der letzten Gleichung durch Adjungieren, (...) : konjugiert komplex. Alternative: Die Gleichung c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) zeigt, dass sich c α genauso transformiert wie φ α es gilt: α c α = ( α α α = ( α also: und damit: β α U α α U αβ α c α = α c α α α A = c α α A β c β + 2 αβ ) U α α α (U β ) β α ) c β α c β = α α c α c α α = c α α α α αβγδ c α c β αβ A 2 δγ c γ c δ = c α α A β c β + c α 2 c β α β A 2 δ γ c γ c δ α β α β γ δ forminvariant!

44 44 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG fundamentale Vertauschungsrelationen: [c α, c β ] ε = δ α β etc. Transformation der Matrixelemente: α A β = αβ U α α α A β U ββ 2.9 Unterscheidbare Teilchen betrachte System aus N unterscheidbaren Teilchen Hamilton-Operator: H N = Hilbert-Raum: ONB: N i= H (i) H N = H () H (N) { φ () α φ (N) α N } Beispiele: ) paarweise verschiedene Teilchen H-Atom: Elektron, Proton 4 verschiedene Atome: H, He, Li, Be φ 8 φ 4 φ φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N M = d N keine relevanten Beispiel-Systeme 2) identische Teilchen, aber räumlich getrennt qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = /2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen)

45 2.9. UNTERSCHEIDBARE TEILCHEN 45 φ 3 φ φ 2 M = d N... φ d φ φ 2 φ 3 physikalisch wichtige Beispiele... φ d φ φ 2 φ 3... φ d Ein Teilchen Zustände Begründung der Unterscheidbarkeit: prinzipiell sind auch identische Teilchen, die räumlich getrennt sind (kein Überlapp von Wellenfunktionen), ununterscheidbar und somit als Bose-/Fermi-System zu behandeln, aber die Behandlung als unterscheidbare Teilchen liefert dieselben Ergebnisse: betrachte Messung einer lokalen Observablen A, d.h. N A = A (i) i= Erwartungswert in (anti-)symmetrisiertem Produktzustand: A = K± 2 φ() α φ (N) α N S (±) N N i= A (i) S (±) N φ() α φ (N) α N die Teilchen befinden sich in paarweise verschiedenen Ein-Teilchen-Zuständen dim H = Nd Besetzungszahlen n α = 0, K 2 ± = N! bei Beschreibung mit ununterscheidbaren Teilchen! N A = N! φ () α φ (N) α N A (i) S (±) N φ () α φ (N) α N i= = N (±) P φ () α φ (N) α N A (i) φ () α P() φ (N) i= P α P(N) wegen n α = 0, liefert nur P = einen nichtverschwindenden Beitrag: N A = φ () α φ (N) α N A (i) φ () α φ (N) α N i= A = φ () α φ (N) α N A φ () α φ (N) α N Erwartungswert im Produktzustand (wie für unterscheidbare Teilchen) Argument erweiterbar: Ψ A Φ = Ψ S (ǫ) N AS(ǫ) N Φ

46 46 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG für Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N Φ = d α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N falls α aus den ersten d, α 2 aus den zweiten d Zuständen, etc. 2.0 Feldoperatoren ONB { α }, unendlichdimensional und kontinuierlich ONB { r }, kontinuierlich, Ortseigenzustände r r = δ(r r ) d 3 r r r = Spinfreiheitsgrade werden der Einfachheit halber in diesem Abschnitt nicht berücksichtigt. Wegen der Überabzählbarkeit der Basis sind die Betrachtungen hier nur mit eventuellen Zugeständnissen an die mathematische Exaktheit durchführbar. Vorsicht ist auf jeden Fall geboten bei naiver Übertragung von Resultaten, die nur für den diskreten Fall Sinn machen (z.b. Besetzungszahldarstellung). Transformation: α = d 3 r r r α = d 3 r U rα r mit: U rα = r α = φ α (r) (, kontinuierlich) (Def.) Feldoperatoren Vernichter, Erzeuger in neuer Darstellung ψ(r) c r ψ (r) c r (in jedem Raumpunkt sind Operatoren ψ und ψ definiert) es ist:

47 2.. QUANTISIERUNG DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG 47 [ ψ(r), ψ (r ) ] [ = α r c α, ] α r c ε α α α ε = α r α r δ αα = r α α r = r r α α α [ ψ(r), ψ (r ) ] = δ(r ε r ) Hamilton-Operator für System mit Coulomb-WW in äußerem Potenzial ( = ): ( H = d 3 r ψ (r) ) 2m + V (r) ψ(r) + d 3 r d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) (Def.) Teilchendichteoperator ˆn(r) = δ(r ˆr i ) i ˆn(r) = = d 3 r d 3 r Man beachte den Unterschied zwischen dem Ortsvektor und dem Ortsoperator des i-ten Teilchens! d 3 r ψ (r ) r δ(r ˆr) r ψ(r ) d 3 r ψ (r ) r δ(r r ) r ψ(r ) = d 3 r ψ (r ) r r ψ(r) ˆn(r) = ψ (r)ψ(r) 2. Quantisierung der Schrödinger-Gleichung Einheiten: = System wechselwirkender Teilchen (z.b. Coulomb-Wechselwirkung) üblicher Übergang von KM zur QM: Newton-Mechanik von Massenpunkten Lagrange-Formalismus Hamilton- Formalismus, H = H(q i, p j ) Quantisierung: [q i, p j ] = iδ ij Alternative: klassische Feld-Theorie Lagrange-Formalismus Hamilton-Formalismus Quantisierung

48 48 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG Ψ(r, t) beschreibe ein klassisches Feld Bewegungsgleichung? Ansatz: Schrödinger-Gleichung i ( t Ψ(r, t) = ) 2m + V (r) Ψ(r, t)... hier gemeint als klassische dynamische Grundgleichung, die die Newton sche Bewegungsgleichung für Punktteilchen ersetzt! Interpretation von Ψ(r, t): Ψ(r, t) 2 = ρ(r, t) ist die Teilchendichte Aus der Schrödinger-Gleichung folgt die Kontinuitätsgleichung, die hier die Erhaltung der Teilchenzahl ausdrückt. Geladene Materie führt (klassisch, nichtrelativistisch) zu einem elektrostatischen Potenzial V C (r) = e2 d 3 r ρ(r ) 4πε 0 r r Grundgleichung der klassischen Feldtheorie (nicht-linear!): i ( t Ψ(r, t) = ) 2m + V (r) Ψ(r, t) + e2 d 3 r Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t) 4πε 0 r r Lagrange-Funktion L = L[Ψ(r), t Ψ(r)] Lagrange-Gleichung: d δl dt δ t Ψ(r) δl δψ(r) = 0 äquivalent zur Bewegungsgleichung, falls L = d 3 rψ (r)i t Ψ(r) d 3 rψ (r) L ist eine Funktion von (kontinuierlich) unendlich vielen generalisierten Koordinaten Ψ(r) und Geschwindigkeiten t Ψ(r), also ein Funktional. Für die Ableitungen (Funktionalableitungen, δ) behandeln wir die unabhängigen Variablen als diskret. ( 2m + V (r) ) Ψ(r)

49 2.. QUANTISIERUNG DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG 49 2 d 3 rd 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r Ψ(r )Ψ(r) Ψ und Ψ werden (statt Real- und Imaginärteil) als unabhängige Variablen betrachtet. denn: d δl dt δ t Ψ(r) = i t Ψ (r) ( δl δψ(r) = Ψ (r) ) 2m + V (r) d 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r Ψ(r ) 2 (Bewegungsgleichung folgt durch Adjungieren) kanonisch konjugierter Impuls: Π(r) = δl δ t Ψ(r) = iψ (r) Legendre-Transformation Hamilton-Funktion H = H[Ψ(r), Π(r)] H = d 3 rπ(r) t Ψ(r) L = d 3 r iψ (r) t Ψ(r) L also: H = + 2 ( d 3 rψ (r) ) 2m + V (r) Ψ(r) d 3 rd 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r Ψ(r )Ψ(r) d 3 r Ψ (r )Ψ (r) e2 4πε 0 r r Ψ(r ) Quantisierung: Ψ(r), Π(r) ψ(r), π(r) wobei ψ(r), π(r) Operatoren sind, die durch die kanonischen Vertauschungsrelationen festgelegt sind: [ψ(r), π(r )] = iδ(r r ) also (mit π = iψ ): oder: [ψ(r), iψ (r )] = iδ(r r ) [ψ(r), ψ (r )] = δ(r r )

50 50 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG H = + 2 ( d 3 r ψ (r) d 3 r Dies definiert aber gerade die oben eingeführten Feldoperatoren! Man bekommt also den schon bekannten Hamilton-Operator. ) 2m + V (r) ψ(r) d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) Die Herleitung macht die Begriffe 2. Quantisierung und Quantenfeldtheorie plausibel. Im Falle eines fermionischen Systems wären ad hoc Antikommutatorrelationen anzusetzen, das entspricht einer veränderten Korrespondenzregel. Spin und andere nicht-klassische Observablen können natürlich nicht aus einem klassischen Ansatz abgeleitet werden. Interessanterweise zeigt hier die klassische Feldtheorie (für Materie!) wegen der Schrödinger- Gleichung schon (fälschlicherweise) die typischen Wellenphänomene (Beugung, Tunneln). Austausch-Wechselwirkung (und Korrelationen) bleibt ein quantenmechanisches Konzept (V C ist nur der Hartree-Anteil der Wechselwirkung). vergl.: Hartree-Fock-Approximation: d 3 r d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) d 3 r ψ (r) = d 3 r d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r d 3 r ψ (r)u(r, r )ψ(r ) ψ(r) d 3 r ψ (r) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r) ψ(r ) 4πε 0 r r mit: U(r, r ) = δ(r r ) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r e2 ψ (r )ψ(r) 4πε 0 r r Dies als Vorgriff auf eine spätere Diskussion.

51 Kapitel 3 Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie Einheiten: k B =, = 3. Ideales Fermi- und Bose-Gas allgemeines freies System: H = αβ t αβ c αc β t: Matrix H hermitesch t hermitesch U unitär, so dass U tu = ε ε Diagonalmatrix mit Elementen ε m sei c m = U αm c α (unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis) α dann ist: ) H = αβ c α(uεu ) αβ c β = m ( α U αm c α ε m β U mβ c β = m ε m c mc m H ist diagonal Eigenzustände im Ein-Teilchen-Raum: m = c m 0 = α U αm α 5

52 52KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE oder: wechselwirkungsfreie Teilchen in äußerem Potenzial: H in erster Quantisierung: H = ( ) p 2 i i 2m + V (r i) Lösen der Schrödinger-Gleichung: ( ) p 2 2m + V (r) ε n = ε n ε n Ein-Teilchen-Basis { n } H in zweiter Quantisierung bereits diagonal: H = m ε m c m c m Ideales Quanten-Gas: H = m ε m c m c m exakt lösbares Modell (für Fermionen oder Bosonen) Demonstrationsmodell der statistischen Physik insbesondere Bosonen: Phasenübergang in freiem System! Fermionen: approximative Beschreibung von Leitungselektronen Bezugspunkt für wechselwirkende (nicht-ideale) Systeme großkanonischer Hamilton-Operator: H = H µ ˆN Zustandssumme: Z = Sp e βh = (ε) n n 2 e β(h µ ˆN) n n 2 (ε) n n d = (ε) n n 2 e β m (εm µ)ˆnm n n 2 (ε) n n 2 = (ε) n n 2 e β m (εm µ)nm n n 2 (ε) n n 2

53 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 53 = e β(εm µ)nm n n 2 m = e β(εm µ)nm m n m Fermionen: = (e (εm µ)/t ) nm m n m=0 = ( + e (εm µ)/t ) m großkanonisches Potenzial: Ω = T ln Z = T m ln( + e β(εm µ) ) es folgt die komplette Thermodynamik des Fermi-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = ˆn m = c mc m = Ω ( A = Ω/ λ, H = H 0 + λa) ε m = T = + e β(εm µ)( β)e β(εm µ) e β(εm µ) + = f(ε m µ) Fermi-Verteilungsfunktion f(e) = e βe + im Sommerfeld-Modell (freie Elektronen in Volumen V ) ist: ε m ε(k) = k2 2m ONB: { k, σ } ebene Wellen n m n(k) k diskret, aber 3 k = (2π) 3 /V 0 für V

54 54KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE n(k) T=0 k F T>0 k Definitionen für T = 0: f(ε(k) µ) = Θ(µ ε(k)) ε F µ(t = 0): Fermi-Energie k mit ε(k) = ε F : Fermi-Wellenvektor {k ε(k) = ε F }: Fermi-Fläche (Sommerfeld-M.: Kugeloberfläche) machen diese Konzepte Sinn für wechselwirkende Systeme? Teilchenzahl: N = ˆN = n(k) = 2 n(k) kσ k für T = 0 gilt: N = 2 V (2π) 3 d 3 kθ(ε F ε(k)) = 2 V (2π) 3V FS Teilchenzahl = von der Fermi-Fläche eingeschlossenes Volumen im k-raum! wechselwirkende Systeme: Luttinger-Theorem Innere Energie: U = Ω Ĥ = Ĥ = λ = n(k)ε(k) (mit H λh, λ = ) kσ Temperaturabhängigkeit? definiere Ein-Teilchen-Zustandsdichte ρ 0 (ω) = Anzahl Zustände m mit ω < ε m < ω + pro = ( Θ(ω + ε m ) ) Θ(ω ε m ) m m

55 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 55 = m δ(ω ε m ) für 0 damit ist: N = U = dωf(ω µ)ρ 0 (ω) dωf(ω µ)ωρ 0 (ω) Sommerfeld-Entwicklung: (F(ω): T-unabhängig, regulär in Fermi-Schicht) µ dωf(ω µ)f(ω) = dωf(ω) + α n T 2n F (2n ) (µ) n= ( mit α n = 2 ) ζ(2n) und ζ(n) = (Riemannsche ζ-fkt.) 2 2n pn dωf(ω µ)f(ω) = µ p= dωf(ω) + π2 6 T 2 F (µ) + O(T/µ) 4 damit gilt für tiefe T (N = N(µ) µ = µ(n), N fest): µ = ε F π2 6 T 2ρ 0 (ε F) ρ 0 (ε F ) + U = E 0 + π2 6 T 2 ρ 0 (ε F ) + ( ) U C V = = π2 T 3 Tρ 0(ε F ) + = γt + N,V vergleiche klassisches ideales Gas: U = 3N 2 T, C V = 3N/2 extrem starke Unterdrückung von C V! Abschätzung: für T 0 Übung C V U T U T Pauli-Prinzip: nur Elektronen in der Fermi-Schicht werden thermisch angeregt: C V (Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht T) T Breite der Fermi-Schicht: T, Höhe der Zustandsdichte ρ(ε F ) C V Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht ρ 0 (ε F )T allgemeine Argumente! gültig für wechselwirkende Elektronensysteme?

56 56KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE analog: Kompressibilität, Spin-Suszeptibilität, Schall-Geschwindigkeit, etc. Bosonen s.o.: Z = Sp e β(h µ ˆN) = m (e β(εm µ) ) nm n m=0 = m /( e β(εm µ) ) Konvergenz: e β(εm µ) < m e β(ε 0 µ) < (ε 0 ε m ) µ < ε 0 (ansonsten unphysikalische Resultate) großkanonisches Potenzial: Ω = T ln Z = T m ln( e β(εm µ) ) komplette Thermodynamik des Bose-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = n m = c m c m = Ω ε m = b(ε m µ) Bose-Verteilungsfunktion b(e) = e βe 0 b(ε m µ) < mit µ < ε 0 ε m T = 0: b(ε m µ) = 0 für m für N = const muss n 0 = N sein, also µ = ε alle Teilchen im (Ein-Teilchen-)GZ m = 0 T : n m = b(ε m µ) = O() T = T C : Phasenübergang! Bose-Einstein-Kondensation (BEC) T < T C : m = 0 makroskopisch besetzt!, n 0 = O(N) Exp: Rb, T C µk, 995 Phasenübergang im nicht-wechselwirkenden System! Bestimmung von T C :

57 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 57 N = ˆN = m n m = m b(ε m µ) = m e β(εm µ) = ρ 0 (ω) dω e β(ω µ) mit der Zustandsdichte ρ 0 (ω) = m δ(ω ε m ) freie (V (r) = 0) spinlose Bosonen: m k, ε(k) = k 2 /2m ρ 0 (ω) = ( ) δ ω k2 k 2m = V k 2mδ ( (k + 2mω)(k 2mω) ) (2π) 3 3 k = V (2π) 34π dk k 2 2m 2 2mω δ ( k 2mω ) damit: = V (2π) 34π2mω2m 2 2mω = V 4π 2(2m)3/2 ω /2 N = V 4π 2(2m)3/2 0 ω /2 dω = N(µ, T) e β(ω µ) µ = µ(n, T) bzw. (N fest) µ = µ(t) µ/t klassisch Fermi T T c Bose kritische Temperatur: µ(t C ) = 0 = ε(k = 0) (denn, falls µ > 0, ist n(k = 0) = O() für T > 0) beachte: für T < T C ist die Rechnung nicht korrekt, denn für ω 0 und µ = 0 gilt: ρ 0 (ω) ω 0 n 0 liefert keinen Beitrag zum Integral aber n 0 N!

58 58KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE in einer oder zwei Dimensionen keine BEC! es ist ρ(ω) const., / ω für ω 0 es gilt: N V = dω ω/2 4π 2(2m)3/2 0 e β Cω = 4π 2(2mT C) 3/2 ζ(3/2)γ(3/2) (mit Einführung von und k B ) T C mk B (N/V ) 2/3 Interpretation: λ(t C ) 3 = ( 2πmkB T C ) 3 = 3 (2π3.3 2 (N/V ) 2/3 ) 3/2 V N bei T C : thermische debroglie-wellenlängle Volumen pro Teilchen weitere einfache Rechnungen liefern: ( ( ) T 3/2 ) für T < T C : n 0 = N = O(N) TC Zwei-Phasen-Gemisch (im k-raum!) für T > T C ist n 0 = O() Sprung der Steigung von C V bei T C! (dritte Ableitung von Ω unstetig, Ω, S, C V ) C V = T ( ) S T für 4 He: T C = 3.4K V Exp: λ-übergang bei T C = 2.2K (zwischen He I und He II) Problem: 4 He ist stark w.w. BG! (Bose-Flüssigkeit) Phasenübergänge in wechselwirkenden Fermi-Systemen? 3.2 Ideales Gas aus Quasiteilchen betrachte ideales Quantengas aus N unterscheidbaren Teilchen (identisch, aber räumlich getrennt)

59 3.2. IDEALES GAS AUS QUASITEILCHEN 59 Bsp: Atome (mit Spin S) auf einem Gitter quantisierte Gitterschwingungen = Phononen sind Bosonen! (unahbängig von S), warum? ein Phononengas zeigt keine BEC! warum? Hamilton-Operator, Hilbert-Raum, ONB: H N = betrachte N i= H (i) H N = H () H (2) H (N) { φ () α φ (N) α N } qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = /2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen) N = qubit: Hamilton-Operator eines qubits (dim H = 2): H = ε φ φ + ε 2 φ 2 φ 2 ( φ, φ 2 normiert, φ φ 2 = 0) o.b.d.a. (Wahl des Energienullpunkts, Umnumerierung): damit: also: ε = 0 ε 2 = ε φ α = n mit α = n = 0 und α = 2 n = H = ε n=0, n n n beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien N = harmonischer Oszillator: Hamilton-Operator eines Oszillators (dim H = ): H = p2 2m + 2 mω2 q 2 wähle Energienullpunkt als GZE, dann gilt für die Eigenenergien: ε n = ε n

60 60KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE mit ε = ω und n = 0,, 2,..., d = Eigenzustände nicht entartet, also: H = ε n n n n=0 beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien System von N qubits/oszillatoren (N unterscheidbare Teilchen) Produktzustände: n () n (2) n (N) mit n i = 0, bzw. n i = 0,, 2,... bilden ONB aus Eigenzuständen von H N = mit beachte: N i= H (i) : H N n () n (2) n (N) = E n () n (2) n (N) N E = n i ε i i= n i ε i ist Ein-Teilchen-Energie des i-ten Teilchens ε i = ε (i =,..., N) ist die charakteristische Energieskala des Ein-Teilchen-Hamiltonian H (i) Abbildung: n () n (2) n (N) n, n 2,..., n N (±) vergleiche mit Gas von M identischen Fermionen/Bosonen wobei H M = M m= N = dim H H (m) und der i-te Ein-Teilchen-Basiszustand i ein Zustand mit Ein-Teilchen-Energie ε i ist, also

61 3.2. IDEALES GAS AUS QUASITEILCHEN 6 { i } i=,...,n ONB von H N H = ε i i i i= i = c i 0 Eigenzustand von H M : n,..., n N (±) mit n i = 0, bzw. n i = 0,, 2,... Eigenenergie von H M : es ist: N E = n i ε i i= N M = n i i= N unterscheidbare qubits/harm. Oszillatoren mit Ein-Teilchen-Energien n i ε i (n i = 0, /n i = 0,, 2,...) für qubit/oszillator i äquivalent zu N M = n i freie identische Fermionen/Bosonen mit Ein-Teilchen-Energien ε i i= für i =,..., d und d = N beachte: Fermi-/Bose-Gas mit nicht kontrollierbarer Teilchenzahl M Quasiteilchen GK Beschreibung: Ω = Ω(T) Lagrangeparameter µ wird nicht benötigt, Quasiteilchenzahl M nicht kontrolliert (kein Lagrangeparameter µ = 0) Phononen-, Photonengas bosonische Quasiteilchen: N 0 für T = 0, denn für T = 0 System im GZ, keine Anregungen, keine Quasiteilchen keine BEC

62 62KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE 3.3 Response-Größen und Korrelationsfunktionen betrachte quantenmechanisches Viel-Teilchen-System mit Hamiltonian: H = t αβ c αc β + αβ 2 U αβγδ c αc β c δc γ αβγδ großkanonischer Hamiltonian H = H µ ˆN großkanonische Zustandssumme und großkanonisches Potenzial: Z = Sp e β(h µn) (β = /T) Ω = T ln Z = Ω(T, V, µ, {t αβ }, {U αβγδ }) exponentiell schnelles Anwachsen der Hilbert-Raum-Dimension Bestimmung von Ψ H (ε) nicht sinnvoll besser (relevanter, direkt aufs Experiment bezogen): Berechnung der Antwort des Viel-Teilchen-Systems bei vorgegebener (schwacher) Störung hier: statische Störungen zeitabhängige Störungen Linear-Response-Theorie (s.u.) Frage: Wie ändert sich der Erwartungswert einer Observablen A bei kleiner Änderung des Hamiltonians? A = Z Sp Ae βh kann stets als Ableitung von Ω geschrieben werden betrachte dazu die Zerlegung: es gilt: Ω λ = A H = H 0 + λa Der physikalische Hamiltonian kann z.b. für λ = realisiert sein: H = H(λ = ) mit H(λ) = H A + λa.

63 3.3. RESPONSE-GRÖSSEN UND KORRELATIONSFUNKTIONEN 63 Beweis: Ω λ = T λ ln Z = T Z Sp und: Sp λ e β(h 0+λA µ ˆN) = Sp = Sp = Sp = Sp k=0 k=0 k=0 k! ( β)k = β Sp Ae βh k=0 k H k r AH r r= k! ( β)k kh k A (k )! ( β)k H k ( βa) λ e β(h 0+λA µ ˆN) k! ( β)k λ (H 0 + λa µ ˆN) k also: Ω λ = T ( ) β Sp Ae βh = Z Z Sp Ae βh = A jetzt zur Frage: Änderung von A bei kleiner Änderung von λ? 2 Ω λ 2 =? Problem: In Ausdrücken der Form H HAH HAH H hilft die zyklische Invarianz der Spur nicht weiter (falls [A, H], [A, ˆN] 0). es ist: 2 Ω λ = 2 λ ( Z Sp ( )) Ae β(h 0+λA µ ˆN) = Z Z 2 λ Sp Ae βh + Z Sp A und mit Z λ = Sp Ae βh T folgt λ e β(h 0+λA µ ˆN) 2 Ω λ = 2 β A 2 + Z Sp A λ e β(h 0+λA µ ˆN) hier hilft die Trotter-Zerlegung: Übung

64 64KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE damit folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) exp m (A + B) = exp m A exp m B + O m 2 SpA λ e βh = SpA λ lim ( e β m (H 0 µ ˆN) e β λa) m m = lim m m SpA m r= X m r X λ Xr mit ist: X m X λ = ( e β m λa e β m (H 0 µ ˆN) ) = ( e β λa) m e β m (H 0 µ ˆN) = β λ λ m AX SpA λ e βh = lim m SpA m r= X m r ( β m A )XX r = Sp lim m m r= β m AXm r AX r Kontinuumslimes: definiere dann ist τ = r β m [0, β] m dτ = β m X r = e r β m H = e Hτ X m = e βh X m r = e βh e Hτ und Sp A λ e βh = Sp = = Z β 0 β 0 β 0 dτ Sp e βh e Hτ Ae Hτ A dτ A(τ)A(0) definiere modifizierte Heisenberg-Darstellung A(τ) = e Hτ Ae Hτ dτae βh e Hτ Ae Hτ

65 3.4. VERALLGEMEINERTERS RITZSCHES PRINZIP 65 Im Unterschied zum Heisenberg-Bild: imaginäre Einheit i fehlt, keine unitäre Transformation H statt H imaginäre Zeit τ mit iτ = t ([τ] = [β] = [/Energie] = [Zeit]) damit folgt: 2 Ω λ = 2 β A 2 allgemeiner: β 0 dτ A(τ)A(0) = A λ sei H = H 0 + λ A A + λ B B Ω = Ω(λ A, λ B ) dann ist: Ω λ A = A und: Ω λ B = B 2 Ω = A β = β B A dτ B(τ)A(0) = B = λ B λ A λ B 0 λ A 2 Ω λ A λ B ( A / λ B )dλ B ist die Änderung des Erwartungswerts von A bei kleiner Störung λ B λ B + dλ B KM: Response-Größen sind Korrelationsfunktionen QM: zeitabhängige Korrelationsfunktionen das Resultat kann auch in folgender Form geschrieben werden: A β = dτ (B B )(τ)(a A )(0) λ B 0 auch: Dissipations-Fluktuations-Theorem 3.4 Verallgemeinerters Ritzsches Prinzip speziell für [A, H] = 0 folgt A(τ) = A(0) = A und 2 Ω λ 2 = β A 2 β A 2 = β (A A ) 2 0 Resultat gilt aber auch allgemein (auch für [A, H] 0):

66 66KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE 2 Ω λ 2 0 Ω als Funktion von λ konkav! Aus der Konkavität von Ω ist eine zentrale Eigenschaft mit verschiedenen Implikationen. Hier soll ein wichtiges Extremalprinzip hergeleitet werden. Beweis: schreibe A = A A, dann ist (mit A = A ): 2 Ω β λ = dτ (A A )(τ)(a A )(0) 2 0 β = dτ 0 Z Sp ( e βh A(τ) A(0) ) β = dτ 0 Z Sp ( e βh e Hτ Ae Hτ A ) β = dτ 0 Z Sp ( e βh e Hτ/2 Ae Hτ/2 e Hτ/2 Ae Hτ/2) β = dτ 0 Z Sp ( e βh A(τ/2) A(τ/2) ) β = dτ e βem m A(τ/2) n n A(τ/2) m 0 Z mn β = dτ e βem m A(τ/2) n Z mn wobei H m = E m m Hamilton-Operator: H t,u = t αβ c αc β + αβ 2 großkanonische Dichtmatrix: ρ t,u = großkanonisches Potenzial exp( β(h t,u µ ˆN)) U αβδγ c αc β c γc δ αβγδ Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) Ω t,u = T lnz t,u = T ln Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) definiere das Dichtematrix-Funktional

67 3.4. VERALLGEMEINERTERS RITZSCHES PRINZIP 67 Ω t,u [ρ] = Sp Extremalprinzip: Beweis: ( ρ(h t,u µ ˆN ) + T ln ρ) ρ ist hier als eine (Operator-)Variable aufzufassen. Für jedes ρ liefert Ω t,u [ρ] einen Wert, der parametrisch von t und U abhängt. µ und T sind beliebig aber fest. Ω t,u [ρ] = min. für ρ = ρ t,u und Ω t,u [ρ t,u ] = Ω t,u zunächst gilt: Ω t,u [ρ t,u ] = Sp = Sp An der Gleichgewichtsdichtematrix ist das Dichtematrix-Funktional also minimal und gleich dem großkanonischen Potenzial. ( ρ t,u (H t,u µ ˆN ) + T ln ρ t,u ) ( ρ t,u [H t,u µ ˆN + T( β)(h t,u µ ˆN) ) T ln Z t,u ] = Sp ρ t,u ( T) ln Z t,u = Ω t,u es bleibt zu zeigen, dass Ω t,u [ρ] Ω t,u für beliebiges ρ (allgemeiner) Ansatz: ρ = ρ t,u = damit folgt: Natürlich ist ρ nicht vollständig beliebig. ρ soll eine physikalisch sinnvolle Dichtematrix darstellen, muss also inbesondere normiert sein (Sp ρ = ) und positiv definit (Wahrscheinlichkeitsinterpretation). Als allgemeinster Ansatz ist daher ρ als Dichtematrix eines beliebigen Hamiltonians H zu wählen. exp( β(h t,u µ ˆN)) Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) = exp( β(h µ ˆN)) t,u Z t,u Ω t,u [ρ t,u ] = Sp ( ρ t,u (H t,u µ ˆN + T ln ρ t,u ) ) = Sp (ρ t,u (H t,u µ ˆN + T( β)(h t,u µ ˆN) ) T ln Z t,u )

68 68KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE ) = Sp (ρ t,u (H t,u H t,u ) + Ω t,u betrachte die folgende Zerlegung: H(λ) = H t,u + λ(h t,u H t,u ) es ist H(0) = H t,u und H() = H t,u und für Ω(λ) = T ln Sp exp( β(h(λ) µ ˆN)) ist Ω(0) = Ω t,u und Ω() = Ω t,u damit gilt jetzt: Ω(λ) Ω t,u [ρ t,u ] = Ω(0) + λ andererseits: Ω(λ) konkav Ω(0) + Ω(λ) λ Ω(λ) λ λ=0 λ=0 für λ = folgt also: Ω(λ) Ω t,u [ρ t,u ] = Ω(0) + Ω() = Ω t,u λ λ=0 Eine konkave Funktion ist überall kleiner als ihre lineare Approximation in einem festen Punkt. Das Extremalprinzip stellt eine Verallgemeinerung des Ritzschen Variationsprinzips auf endliche Temperaturen dar. 3.5 Wick-Theorem notwendig zur Auswertung des Ritz-Prinzips Ausgangspunkt für Formulierung der statischen Mean-Field-Theorie zentrales Theorem für diagrammatische Störungstheorie Idee: Rückführung von höheren auf Ein-Teilchen-Korrelationsfunktionen für freies System definiere für c α mit α =,..., d:

69 3.5. WICK-THEOREM 69 d i = c i Hamilton-Operator: d d+i = c i H 0 = ij h ij d i d j freies System! mit i, j =,..., 2d Ein-Teilchen -Korrelationsfunktion: c αc β (0) Der Hamilton-Operator enthält (je nach Wahl von h) neben den üblichen Termen der Form c c auch nicht-teilchenzahlerhaltende Terme der Form cc und c c. Wichtig ist nur, dass H quadratisch in den d i (und hermitesch) ist. N-Teilchen -Korrelationsfunktion: c α c α 2 c α N c β c β2 c βn (0) (0) : freier Erwartungswert, Erwartungswert im System H 0 mit H 0 = H 0 µn gilt: Ld i = [d i, H 0 ] = j D ij d j mit einer Matrix D damit folgt: e βh 0 d i e βh 0 = e βl ( β) n d i = L n d i = n=0 n! j also: ( e βd ) ij e βh 0 d j ( e βd ) ij d j Übung d i e βh 0 = j weiter gilt: (beachte, dass der (Anti-)Kommutator eine c-zahl ist) d i d j (0) = [d i, d j ] ε + ε d j d i (0) = [d i, d j ] ε + ε Z Sp ( ) d i e βh 0 d j = [d i, d j ] ε + ε ( ) e βd Z Sp ( ) e βh 0 d k d j ik k der (Anti-)Kommutator kann also als Erwartungswert geschrieben werden: [d i, d j ] ε = k M ik d k d j (0) mit M ij = δ ij ε ( e βd) ij

70 70KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE N-Teilchen-Korrelationsfunktion (s = 2N ist gerade): d i d is (0) = [d i, d i2 ] ε d i3 d is (0) + ε d i2 d i d is (0) = [d i, d i2 ] ε d i3 d is (0) +ε d i2 [d i, d i3 ] ε d i4 d is (0) +ε s 2 d i2 d is [d i, d is ] ε (0) +ε s d i2 d is d i (0) letzter Summand: ε s d i2 d is d i (0) = ε Z Sp ( ) d i e βh ( 0 d i2 d ) is = e βd d j d i2 d is (0) ij Zusammenfassen mit Term auf der linken Seite: j M i j d j d i2 d is (0) = [d i, d i2 ] ε d i3 d is (0) +ε d i2 [d i, d i3 ] ε d i4 d is (0) +ε s 2 d i2 d is [d i, d is ] ε (0) (Anti-)Kommutatoren als Erwartungswerte schreiben: j M i j d j d i2 d is (0) = M i k d k d i2 (0) d i3 d is (0) k + + +ε s 2 d i2 d is M i k d k, d is (0) (0) k Multiplikation mit M li, Summation über i, Umbenennen l i : d i d i2 d is (0) = d i d i2 (0) d i3 d is (0) + + +ε s 2 d i2 d is d i d is (0) (0) j

71 3.5. WICK-THEOREM 7 Ordnungsoperator: T (d i d j ) = εd j d i T (d i d j ) = d i d j Jetzt stören nur noch die Vorzeichen. Eine elegante Formulierung gelingt mit der Definition von Ordnungsoperator und Kontraktion. Ein Ordnungsoperator wird so definiert, dass Erzeuger und Vernichter sich wie (anti- )kommutierende Zahlen verhalten. falls d i Vernichter, d j Erzeuger sonst T ordnet die Erzeuger links von den Vernichtern an (beachte: ε) es gilt: T (d i d j ) = εt (d j d i )... wie man leicht für die verschiedenen Fälle verifiziert. Diese Eigenschaft besagt, dass sich Erzeuger und Vernichter in dem Argument von T wie (anti-)kommutierende Zahlen verhalten! Verallgemeinerung auf Produkte von s Erzeugern oder Vernichtern: T (d i d is ) = ε p d k d ks wobei d k d ks geordnet ist (alle Erzeuger links von allen Vernichtern) p: Anzahl der Vertauschungen für (i,..., i s ) (k,..., k s ) Verallgemeinerung auf Linearkombinationen aus Produkten mit s Erzeugern oder Vernichtern: T λ i,...,i s d i d is = λ i,...,i s T (d i d is ) i,...,i s i,...,i s beachte: in T gelten nicht die üblichen (Anti-)Vertauschungsrelationen Bsp: (c c = ε + εcc ) c c = T (c c) T ( ε + εcc ) = T ( ε) + εt (cc ) = ε + c c definiere Kontraktion zweier Erzeuger/Vernichter:

72 72KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE d i d j = T (d i d j ) (0) die Kontraktion ist eine c-zahl es gilt: d i d j = εd j d i für ein Produkt aus k Erzeugern oder Vernichtern A = d i d ik sei d i Ad j = ε k d i d j A = ε k Ad i d j Im Falle von Teilchenzahlerhaltung sind nur Kontraktionen zwischen Erzeugern und Vernichtern ungleich Null. betrachte Erwartungswert von s bereits geordneten Erzeugern/Vernichtern: T (d i d i2 d is ) (0) = d i d i2 d is (0) mit den Überlegungen weiter oben ist: d i d i2 d is (0) = d i d i2 d i3 d is (0) + + ε s 2 d i2 d is d i d is (0) denn die kontrahierten Operatoren sind geordnet also: T (d i d i2 d is ) (0) = d i d i2 d i3 d is (0) + d i d i2 d i3 d is (0) d i d i2 d is (0) nach Herausziehen der Kontraktionen (c-zahlen!) und Iteration ist: T (d i d i2 d is ) (0) = {Summe über alle vollständig kontrahierten Terme} Wick Theorem gültig auch falls Operatoren links nicht bereits geordnet sind, denn Ordnung führt links und rechts zu gleichem Vorzeichenfaktor Voraussetzungen sind:

73 3.5. WICK-THEOREM 73 ) s gerade 2) H 0 quadratisch in Erzeugern und Vernichtern Anzahl Terme: (s )(s 3) 3 Anzahl der Terme bei Teilchenzahlerhaltung: (s/2)! Bsp. (Fermionen, H 0 = αβ t αβ c αc β, Teilchenzahlerhalung): n α n β (0) = c α c αc β c β (0) = c α (δ αβ c β c α)c β (0) = δ αβ c α c β (0) c αc β c αc β (0) = δ αβ c αc β (0) T (c αc β c αc β ) (0) = δ αβ c α c β (0) ( c α c α c β c β + c α c β c β c α) = δ αβ c αc β (0) + T (c αc α ) (0) T (c β c β) (0) T (c αc β ) (0) T (c β c α) (0) = δ αβ c α c β (0) + c α c α (0) c β c β (0) c α c β (0) c β c α (0) Das Wicksche Theorem kann auf den Fall zeitabhängiger Erzeuger und Vernichter verallgemeinert werden. Die wird vor allem bei der diagrammatischen Störungstheorie wichtig. Die Zeitabhängigkeit entsteht im (modifizierten) Heisenberg-Bild mit einem in den Erzeugern und Vernichtern quadratischem Hamilton-Operator. betrachte: d i (τ) = exp(h 0 τ)d i exp( H 0 τ) wegen [d i (τ), H 0 ] = exp(h 0 τ)[d i, H 0 ] exp( H 0 τ) = j D ij d j (τ) laufen alle Rechnungen analog Die Art der vereinbarten Ordnung ist für die Gültigkeit des Wickschen Theorems nicht wichtig. Üblich ist bei zeitabhängigen Erzeugern/Vernichtern aber die Zeitordnung im tatsächlichen Wortsinn.

74 74KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE definiere den Zeitordnungsoperator: Merksatz: T (d (τ )d 2 (τ 2 )) = Θ(τ τ 2 )d (τ )d 2 (τ 2 ) + ε Θ(τ 2 τ )d 2 (τ 2 )d (τ ) Frühere Operatoren operieren früher. bei Gleichzeitigkeit: Erzeuger links vom Vernichter (konsistent mit Def. oben) alternativ: τ Erzeuger = τ Vernichter : positives Infinitesimal Das Wicksche Theorem gilt jetzt für zeitabhängige und zeitgeordnete N-Teilchen- Korrelationsfunktion (s = 2N): T (d i (τ ) d is (τ s ) (0) = {Summe über alle vollständig kontrahierten Terme} mit der Kontraktion: man nennt d i (τ i )d j (τ j ) = T (d i (τ i )d j (τ j )) (0) = Θ(τ i τ j ) d i (τ i )d j (τ j ) (0) + εθ(τ j τ i ) d j (τ j )d i (τ i ) (0) c α (τ)c β (τ ) = T (c α (τ)c β (τ )) (0) G αβ (τ, τ ) Ein-Teilchen-Green-Funktion (auch: Matsubara-Funktion, thermische Green-Funktion, imaginär zeitabhängige Green-Funktion) 3.6 Mean-Field-Theorie Konstrukton von Näherungen: Variationsprizip δω t,u [ρ] = 0 allgemeinster Ansatz ρ = ρ t,u exakte Lösung ρ = ρ t,u mit t und U beliebig (eingeschränkter) Ansatz ρ = ρ λ mit Parameter(n) λ liefert gemäß λ Ω t,u[ρ λ ] = 0 für λ = λ 0

75 3.6. MEAN-FIELD-THEORIE 75 ein optimales ρ λ0 mit Ω t,u [ρ λ0 ] Ω t,u Ansatz für ρ durch Wahl eines Referenzsystems: H = H λ ρ x = exp( β(h x µ ˆN))/Z x Berechnung von Korrelationsfunktionen für H λ 0 (statt H) als Approximation sinnvoll, falls H λ 0 einfach (lösbar) Mean-Field-(Hartree-Fock-)Näherung: Dieses Approximationsschema ist naheliegend, hat aber den ernstzunehmenden Nachteil, dass eine gute Approximation für ρ noch lange keine gute Approximation für eine Korrelationsfunktion impliziert. Für Korrelationsfunktionen ist daher stets unabhängig zu diskutieren, wie weit die Näherung trägt. H = H t,0 = αβ t αβc αc β t beliebig sei ρ = Z e β(h µ ˆN) und = Sp (ρ ) Bestimmung von t : 0 = Ω t t,u [ρ t ] µν = ( Sp ρ t (H t,u µ ˆN ) + T ln ρ t ) t µν = t µν = t µν Es wird also derjenige Ein-Teilchen- Hamiltonian H gesucht, der zum optimalen großkanonischen Potenzial für H = H t,u führt. Dabei sind sämtliche Ein-Teilchen- Parameter t frei und als Variationsparameter aufzufassen. ( H t,u µ ˆN + Sp [ρ t T( β)(h µ ˆN) ) ln Z )] ( H t,u µ ˆN H µ ˆN ) + Ω t,0 = t t αβ c αc β + µν αβ 2 U αβδγ c αc β c γc δ + c t αβc αc β µ c ν αβδγ αβ

76 76KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE denn Ω t,0/ t µν = c µ c ν definiere: dann ist: K ανµβ = c α c β t µν 0 = t αβ K ανµβ + 2 αβ = T c αc β c µc ν U αβδγ t αβγδ µν H bilinear Wick-Theorem anwendbar: also: β c αc β c γc δ = c αc δ c β c γ + ε c αc γ c β c δ U t αβδγ c α c β c γc δ µν αβγδ = t µν = t µν αβγδ αβγδ 0 dτ c α(τ)c β (τ)c µc ν c α c β c γc δ αβ U αβδγ ( c α c δ c β c γ + ε c αc γ c β c δ ) (U αβδγ + εu αβγδ ) c α c δ c β c γ = (U αβδγ + εu αβγδ ) ( c α c δ K βνµγ + K ανµδ c β c γ ) αβγδ t αβ K ανµβ = (U γαδβ + εu γαβδ ) c γ c δ K ανµβ + (U αγβδ + εu αγδβ ) K ανµβ c γ c δ αβγδ αβγδ mit (αβγ) (γαβ) (.Term) und (βγδ) (γδβ) (2.Term) = ((U γαδβ + U αγβδ ) + ε(u γαβδ + U αγδβ )) c γ c δ K ανµβ αβγδ = 2 (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ K ανµβ αβγδ mit U αβδγ = U βαγδ also folgt insgesamt: 0 = αβ t αβ K ανµβ αβ t αβk ανµβ + (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ K ανµβ αβγδ 0 = αβ t αβ t αβ + γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ K ανµβ Invertierbarkeit von K vorausgesetzt, bedeutet dies:

77 3.6. MEAN-FIELD-THEORIE 77 t αβ = t αβ + γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ der optimale Ein-Teilchen-Hamiltonian ist also: H = ( tαβ + Σ (HF) ) αβ c α c β αβ mit Σ (HF) αβ = γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ Σ (HF) Hartree-Fock-Selbstenergie, effektives Potenzial beachte: die Bestimmung von Σ (HF) muss selbstkonsistent erfolgen: Σ (HF) H c α c β Σ (HF) Kochrezept: Entkopplung des Wechselwirkungsterms U αβδγ c α 2 c β c γc δ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ c α c β αβγδ αβ γδ ergibt sich aus der Ersetzung: c α c β c γc δ c α c β c γc δ + c α c β c γc δ + c α c β c γc δ + c α c β c γc δ (ala Wick-Theorem, aber nicht ganz vollständige Kontraktion) Die Hartree-Fock-Selbstenergie ist hermitesch und frequenzunabhängig, ist also als ein (effektives) Ein-Teilchen-Potenzial zu interpretieren. Der erste Term ist das Hartree- Potenzial, der zweite das Austausch-Potenzial. Dies wird deutlich beim Übergang zur kontinuierlichen Ein-Teilchen-ONB { r } (Ortseigenzustände). U: Coulomb-Wechselwirkung, spinlose Teilchen (() Σ (HF) (r, r ) = e2 d 3 r d 3 r r (2) r 4πε 0 r () r (2) r () r (2) ) +ε () r (2) r r () r (2) r () r (2) Ψ(r ) Ψ(r )

78 78KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE Ψ(r): Feldoperator (Vernichter am Ort r) r (i) : Ortsoperatoren der Teilchen i =, 2 Σ (HF) (r, r ) = e2 d 3 r d 3 r (δ(r r )δ(r r ) 4πε 0 r r ) +εδ(r r )δ(r r ) Ψ(r ) Ψ(r ) r r also: Σ (HF) (r, r ) = e2 δ(r r ) 4πε 0 d 3 r n(r ) r r + ε e2 4πε 0 r r Ψ(r ) Ψ(r) Darstellung des Dichteoperators in.quantisierung: N n(r ) = δ(r r (i) ) i= Der erste Term ist das (lokale) Hartree- Potenzial und ist als elektrostatisches Potenzial der Ladungsdichteverteilung n(r ) interpretierbar. Der Austausch-Term ist nicht klassisch interpretierbar. Hartree-Term: Σ (H) (r, r ) = δ(r r ) e2 N 4πε 0 i= r r (i) es ist: Ω t,u [ρ t ] = Sp Nach der Bestimmung der optimalen Ein- Teilchen-Variationsparameter t steht noch die Berechnung des großkanonischen Potenzials in der Hartree-Fock-Näherung aus. ( ρ t (H t,u µ ˆN ) + T ln ρ t ) = Ω t,0 + t αβ c α c β + U αβδγ c α 2 c β c γc δ t αβ c α c β αβ αβδγ αβ = Ω t,0+ t αβ c αc β + αβ 2 αβγδ (U αβδγ + εu αβγδ ) c αc δ c β c γ t αβ c αc β αβ

79 3.6. MEAN-FIELD-THEORIE 79 und mit t αβ = t αβ + γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ folgt: Ω t,u [ρ t ] = Ω t,0 + (U αβδγ + εu αβγδ ) c α 2 c δ c β c γ αβγδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ c α c β αβγδ 2.Term: (αβγ) (βγα) Ω t,u [ρ t ] = Ω t,0 2 αβγδ (U αβδγ + εu αβγδ ) c α c δ c β c γ der Zusatzterm ist: (/2) αβ Σ (HF) αβ c αc β Wick-Theorem, aber invers Ω t,u [ρ t ] = Ω t,0 U αβδγ c 2 αc β c γc δ = Ω t,0 Σ (HF) αβ αβγδ 2 c αc β αβ Der erste Term ist das großkanonische Potenzial des effektiven Modells unabhängiger Teilchen und beinhaltet über die Renormierung der Ein-Teilchen-Energien, t t, schon Wechselwirkungseffekte. Der zweite Term ist als eine Korrektur aufzufassen, mit der Doppelzählungen vermieden werden. man gewinnt eine exakte obere Schranke für das großkanonisches Potenzial: Ω t,0 2 αβγδ U αβδγ c α c β c γc δ Ω t,u setze U αβδγ λu αβδγ Entwicklung des großkanonischen Potenzials in der Wechselwirkungsstärke λ: Ω t,u = Ω t,0 + λ Ω t,0 λ + O(λ2 ) = Ω t,0 + λ U αβδγ c 2 αc β c γc δ + O(λ 2 ) αβγδ = Ω t,0+ (t αβ t αβ ) Ω t,0 +O(λ 2 )+λ αβ t αβ 2 U αβδγ c α c β c γc δ +O(λ 2 ) αβγδ

80 80KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE denn t αβ t αβ = γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ = O(λ) mit Ω t,0/ t αβ = c αc β (und λ = ) folgt also: Ω t,u = Ω t,0 + (t αβ t αβ ) c α c β + αβ 2 = Ω t,0 αβ Σ (HF) αβ c α c β + 2 αβγδ αβγδ = Ω t,0 U αβδγ c 2 αc β c γc δ + O(λ 2 ) αβγδ = Ω t,u [ρ t ] + O(λ 2 ) U αβδγ c α c β c γc δ + O(λ 2 ) U αβδγ c α c β c γc δ + O(λ 2 ) Hartree-Fock liefert also das bis auf O(λ 2 ) korrekte großkanonische Potenzial

81 Kapitel 4 Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme S = /2-Gitter-Fermi-Modelle 4. Gittermodelle Gitterplätze: i =,..., L Ortsvektoren zu Gitterplätzen: D R i = i k a k mit i k Z k= Basis a,..., a D spannen Einheitszelle (EZ) auf Volumen der Einheitszelle: V EZ = det(a,..., a D ) Systemvolumen V = LV EZ reziprokes Gitter: D G i = i k b k mit i k Z k= Basis b,..., b D spannen reziproke Einheitszelle (rez) auf a i b j = 2π δ ij spezielle rez:. Brillouin-Zone (BZ) V BZ = det(b,..., b D ) 8

82 82KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME es ist V EZ V BZ = (2π) D periodische Randbedingungen auf dem Volumen V V BZ k = (2π)D /V EZ (2π) D /V = V V EZ = L Anzahl der k-punkte in der BZ: L (diskrete) Fourier-Transformation zwischen realem und reziprokem Raum: U ik = L e ikr i U ist quadratisch! U ist unitär: U ik U kj = k k U ki U ik = i i k BZ U ik U jk = k U iku ik = i mit der Darstellung des Kronecker-Deltas: δ ij = e ik(r i R j ) L k e ikr i e ikr j = δ ij L L e ikr i e ik R i = δ kk L L δ kk = e i(k k )R i L i Diese Relationen gelten mit der Vereinbarung, alle Wellenvektoren stets auf die BZ zu beschränken. Übung Gittermodell: Ein-Teilchen-ONB { α } mit α = (i, m, σ), wobei es ist i: Gitterplatz m: orbitaler Freiheitsgrad am Platz i σ: Spinfreiheitsgrad (σ =, für Spin-/2-Teilchen) imσ = im σ H = H (B) H (S) Orbital im zentriert am Platz i Hopping-Matrixelemente:

83 4.. GITTERMODELLE 83 t imσ,i m σ = imσ ( p 2 V spinunabhängig: t ii mm σσ = δ σσ t ii mm V gitterperiodisch: also: 2m + V (r) t imσ,i m σ = t mm (R i R i) H 0 = t ii mm c imσc i m σ ii mm σ ) i m σ Fourier-Transformation der Ein-Teilchen-Basis: imσ kmσ (m und σ fest) damit (hier der Einfachheit halber nur ein Orbital pro Platz, m weglassen): H 0 = ε(k, k )c kσ c kσ k,k σ H 0 forminvariant unter unitären Transformationen der Ein-Teilchen-Basis Ein-Teilchen-Matrixelement: ε(k, k ) = ij U ki t iju jk = L e ikr i t ij e ik R j ij = e ik(r i R j ) t(r i R j )e i(k k)r j L ij i i+j = L e ikr i t(r i )e i(k k)r j = ij i = e ikr i t(r i )δ L kk ij = δ kk ε(k) i i j = L e ikr i t(r i )δ kk e ik(r i R j ) t ij δ kk ij ε(k) = e ik(r i R j ) t ij L ij t ij = e ik(r i R j ) ε(k) L k (diskrete) Fourier-Transformation diagonalisiert H 0 : H 0 = t ij c iσc jσ = ijσ kσ ε(k)c kσ c kσ unter Ausnutzung der Translationsinvarianz ist:

84 84KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME ε(k) = e ik(r i R j ) t ij = L ij i e ikr i t i0 Tight-Binding-Näherung: nur nächst-nachbar-hüpfen t i0 = t (kubisches Gitter, D = 3): ε(k) = t n.n.e ikr i = 2t(cosk x a + cosk y a + cosk z a) Wahl des Energienullpunkts: t ii = 0 mehrere Orbitale: H 0 = ii mm σ t ii mm c imσc i m σ = kmm σ ε mm (k)c kmσ c km σ eine weitere unitäre Transformation (k-abhängig) zur Diagonalisierung der Matrix ε mm (k) wird notwendig H 0 = krσ ε r (k)c krσ c krσ r: Bandindex Für ein gitterperiodisches Potenzial, V (r + R i ) = V (r), vertauscht H 0 mit den diskreten Translationsoperatoren T i = exp(ir i p). Eigenzustände können daher durch die Eigenwerte der T i, also durch exp(ikr i ), bzw. durch k charakterisiert werden. Eigenzustände mit k und k + G i liegen im gleichen gemeinsamen Eigenraum von H und von allen T i. Also Beschränkung auf k BZ möglich. Eigenzustände sind also charakterisierbar durch k BZ und Bandindex r (Bloch-Theorem). Wechselwirkungsterm: H = 2 mit α = (iσ): H (,2) int αβγδ U αβγδ c αc β c δc γ U αβγδ = U iσ,jσ,kσ,lσ = φ() iσ φ (2) jσ H(,2) int φ () kσ φ(2) lσ spin-unabhängig (z.b. Coulomb-WW)

85 4.2. HUBBARD-MODELL 85 also: U αβγδ = φ () iσ φ (2) jσ H(,2) int φ () kσ φ(2) lσ δ σσ δ σ σ = U ijklδ σσ δ σ σ H = 2 ijkl σσ σ σ U ijkl δ σσ δ σ σ c iσc jσ c lσ c kσ H = 2 ijkl σσ U ijkl c iσc jσ c lσ c kσ Translationsinvarianz Matrix-Elemente der Wechselwirkung im k-raum: U kk k k = δ k+k,k +k U kk k k Übung mit U k,p (q) = U k+qp qkp (q: Impulsübertrag) ist: H = 2 kpq σσ U k,p (q)c k+qσ c p qσ c pσ c kσ für U ijkl = δ ij δ ik δ il U (lokale Wechselwirkung) folgt: U kk k k = δ U k+k,k +k U k,p (q) = U L L H = U c k+qσ 2L c p qσ c pσ c kσ kpq σσ Übung 4.2 Hubbard-Modell spinunahbängiges, gitterperiodisches Potenzial nur ein Orbital m pro Platz (m weglassen) tight-binding-näherung H 0 = t ij c n.n. iσc jσ = t c iσc jσ ij σ ij σ lokale Wechselwirkung U ijkl = δ ij δ ik δ il U H = 2 ijkl σσ Uδ ij δ ik δ il c iσc jσ c lσ c kσ = U 2 i σσ c iσc iσ c iσ c iσ = U 2 n iσ n i σ i σ H = U i n i n i Hubbard-Modell

86 86KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME n.n. H = t c iσc jσ + U 2 ijσ n iσ n i σ iσ 963: J. Hubbard, J. Kanamori, M.C. Gutzwiller qualitative Beschreibung von: Magnetismus, Mott-Isolatoren, unkonventionelle Supraleitung, etc. Motivation der Approximationen: stark lokalisierte 3d- oder 4f-Orbitale möglichst starke Vereinfachung Beibehaltung des nichttrivialen Wechselspiels zwischen H 0 und H für H 0 0 und H 0 nicht allgemein lösbar das Demonstrationsmodell der VT-Theorie einfachstes nicht-triviales Gitter-Modell 4.3 Grenzfälle und Phasendiagramm Parameter: Wechselwirkungsstäke U/t ( Hubbard-U ) Teilchenzahl N =,..., 2L bzw. µ (konjugierte Variablen) TD Limes: N, L, N/L = n =const. n: Füllung, n = 0 2 n = : Halbfüllung Temperatur T Gitter-Dimension D und -Struktur U-n-T-Phasendiagramm? Anregungen (Spektroskopien)? Liste der Grenzfälle des Hubbard-Modells, Spekulationen zum Phasendiagramm: ) Band-Limes U = 0 n.n. H = t c iσc jσ ijσ

87 4.3. GRENZFÄLLE UND PHASENDIAGRAMM 87 Fermi-Gas (tight-binding-bild) 2) Atomarer Limes t ij = δ ij ε 0 H = ε 0 n iσ + U n iσ n i σ iσ 2 iσ H = i H i, exakt lösbar Übung 3) Leeres Band n = 0 E 0 = 0, 0,... ( ) 4) Volles Band n = 2 E 0 =,,... ( ) E 0 = E 0 H E 0 = ε 0 + U = L(2ε 0 + U) iσ 2 iσ 5) N klein dimh ( ) N = ( 2L N ) kleiner Hilbert-Raum für N = 0,, 2,... und N = 2L, 2L, 2L 2,... 6) D = (siehe unten: Luttinger-Flüssigkeit) nicht-trivialer Grenzfall, viele Größen exakt berechenbar 7) D = (siehe unten: dynamische Mean-Field-Theorie) nicht-trivialer Grenzfall Abbildung auf einfacheres Modell möglich (Störstellen-Anderson-Modell) sehr gut numerisch zu behandeln 8) niedrige Gitterdimension D = : keine LRO

88 88KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME D = 2: keine LRO für T > 0 9) n =, U Abbildung auf das einfachere Heisenberg-Modell möglich (s.u.) antiferromagnetische Ordnung (nicht-frustriertes Gitter!) n : t-j-modell 0) n =, U 0 Störungstheorie in U antiferromagnetische Instabilität ) n =, T > T N crossover Metall Isolator (s.u.) Phasenübergang in metastabiler PM Phase bei T = 0 und U = U c (Mott-Übergang) 2) U klein: schwach korreliertes System Störungstheorie in U (s.u.) Fermi-Flüssigkeit 3) U groß, n Konkurrenz verschiedener langreichweitiger Ordnungen (LRO), normaler und seltsamer metallischer Phasen: - magnetische Phasen (dimensionsabhängig!!): AF, F - inhomogene Phasen: Streifen, CDW - (Hochtemperatur-)Supraleitung? (D = 2) - Spinglas - Pseudogap

89 4.4. SYMMETRIEN Symmetrien Def: Symmetrie, Symmetrietransformation Transformation T von Observablen und Zuständen, so dass Messresultate unverändert bleiben. T : A A T : Ψ Ψ Wigner: T ist eine (anti-)unitäre Transformation! U unitär: A = UAU und Ψ = U Ψ Antiunitäre Transformationen treten in Verbindung mit der Zeitumkehr auf und werden hier nicht weiter betrachtet. es ist: A = A[c α, c α ] A = UA[c α, c α ]U = A[Uc α U, Uc α U ] = A[c α, c α ] und: A = UA U = (UAU ) = A und: Ψ Ψ Ψ Ψ = U Ψ Ψ U Angabe von c α c α ist hinreichend zur Def. von T... aber nicht notwendig, d.h. die Unitarität der Transformation muss dann noch nachgewiesen werden. Beispiel: Teilchen-Loch-Transformation c α c α = c α es folgt: c α c α Symmetrietransformation? U unitär mit c α = Uc α U, c α = Uc αu, α? es gilt: ˆN = ( α c α c α) = α c α c α = α( c α c α) = d ˆN mit d: Anzahl der Orbitale (HM: d = 2L) also: 0 = 0, 0,... ( ) 0 =,,... ( )

90 90KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME also: Wenn 0 der (nichtentartete) Eigenzustand von N zum Eigenwert 0 ist, dann ist 0 der (nichtentartete) Eigenzustand von N (U ändert den Entartungsgrad nicht) zum gleichen Eigenwert (U ändert Eigenwerte nicht). n, n 2,... ( ) = (c ) n (c 2 ) n2 0 = c n cn 2 2 = ± n, n 2,... ( ) T permutiert die Basiszustände in H ( ) T ist eine unitäre Transformation! Beispiel: U()-Eichtransformation c α e iφ c α es ist c α c α = e iφ c α mit reeller Zahl φ T = T φ (kontinuierliche, abelsche) Transformationsgruppe U() Symmetrietransformation, denn: iφ ˆN U = U φ = e U unitär: klar Uc α U = e iφ c α letzteres folgt aus dem Baker-Hausdorff-Theorem: e λa Be λa = e λl A B mit L A (X) = [X, A] denn es ist: [c α, ˆN] = β [c α, ˆn β ] = c α also: L ˆNc α = c α und somit Uc α U = e iφ ˆNc α e iφ ˆN = e iφl ˆNcα = k k! ( iφ)k L kˆnc α = k k! ( iφ)k c α = e iφ c α Beispiel: lokale U()-Eichtransformation c α e iφ c α mit reeller Zahl φ α analog mit U = e i α φαˆnα

91 4.4. SYMMETRIEN 9 beachte: Symmetrietrsf. H ( ) H ( ) unitäre Trsf. der -T-Basis H H! H H : Wechsel der Darstellung (Ort Impuls Energie ) Übergang zwischen zwei -T-ONB s: { α } { α } bzw. c α c α H in zweiter Quantisierung dargestellt durch c α, c α Forminvarianz bei Darstellungswechsel H ( ) H ( ) : feste Darstellung, feste -T-ONB { α } t αβ, U αβγδ fest, aber c α c α = Uc α U unitäre Transformation im gesamten H ( ) bei fester Darstellung allgemeiner! (s. T-L-Transformation: c α ist ein Erzeuger!) es gilt immer: [c α, c β ] + = [Uc α U, Uc β U ] + = δ αβ Beispiel Spinrotation c α Uc α U S: Gesamtspin mit U = U(ϕ) = e iϕs U ist unitär, SU(2)-Transformationsgruppe (nicht-abelsch) SU(2): c α Uc α U mit U = e iϕs mit dem Baker-Hausdorff-Theorem folgt für α = (iσ): und mit ist analog: Uc iσ U = e il ϕs c iσ L ϕs ( ci c i ( c i c i ) ) = [ ( ci c i = e iϕs ( ci c i ) ) (c i, c i ) = e +iϕσ/2 (c i, c i ), ϕs] = ϕ 2 σ ( ci c i e iϕs = e iϕσ/2 ( ci c i ) ) Übung Invarianz von H unter Symmetrietransformationen? H ist invariant unter T (beschrieben durch U), falls H H = UHU = H bzw. [U, H] = 0 Invarianz Generatoren sind Erhaltungsgrößen (für kontinuierliche Gruppen!)

92 92KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME U(): c α e iφ c α, c α eiφ c α (falls H c c + c c cc) H UHU = H 0 = [U, H] = [e iφ ˆN, H] [ ˆN, H] = 0 ˆN Erhaltungsgröße φ SU(2): c α Uc α U mit U = e iφs für das Hubbard-Modell gilt: [S, H] = 0 (direkte Rechnung oder manifest SU(2)-invariante Umformulierung) S Erhaltungsgröße! Teilchen-Loch-Transformation: c iσ c iσ (diskrete Trsf.!) H H = t ij c iσ c jσ + U ijσ 2 = 2Lε 0 t ij c jσc iσ + U ijσ 2 = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 H nicht invariant! c iσ c iσc i σ c i σ iσ ( n iσ )( n i σ ) iσ n iσ n i σ + U(L ˆN) + 2Lε 0 iσ Übung Spezialfall: bipartites Gitter, n.n.-hopping, ε 0 = 0, Halbfüllung: N = L Symmetrietransformation T mit c iσ c iσ, falls i A, c iσ c iσ, falls i B Ein Gitter heisst bipartit, falls es zwei Untergitter A, B gibt, in die es zerlegt werden kann, so dass jeder nächste Nachbar von A in B liegt und umgekehrt. Bsp: sc, Gegenbsp: fcc, Dreiecksgitter. es gilt: n iσ n iσ und für n.n. i, j ist: c iσc jσ c iσc jσ H invariant unter kombinierter Trsf. T und T-L-Trsf.! H invariant unter Gittertranslationen, -rotationen, -spiegelungen, falls dies Symmetrien des Gitters selbst sind. z.b.: c iσ c i+i0 σ, Translation um R i0 H invariant, falls t ij = t i+i0,j+i 0

93 4.5. ANDERSON-MODELLE Anderson-Modelle oft mehr als ein Orbital pro Platz für qualitative Beschreibung wichtig Bsp Ce: Elektronenkonfiguration von Ce: [Xe]4f 5d 6s 2 2 Gruppen von Orbitalen: 4f: stark lokalisiert, großes U: Erzeuger f iσ 5d, 6s: breites Band, U 0: Erzeuger c iσ Modell (ohne Entartungen): H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 iσ n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ + H sf ijσ H sf ist eine Kopplung zwischen den f- und s-subsystemen H sf Hybridisierung periodisches Anderson-Modell H sf Interband-Austausch Kondo-Gitter-Modell denkbar ist auch eine Dichte-Dichte-Interband-WW periodisches Anderson-Modell (PAM): H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 iσ n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ + V ij (c iσf jσ + H.c.) ijσ ijσ oft: V ij = V δ ij als Modellannahme Beschreibung von seltenen Erden und Aktiniden Valenzfluktuationen: ε f ε F Hybridisierung sehr effektiv Kondo-Limes: ε f ε F ε f + U stabiles lokales f-moment Kondo-Gitter-Modell (KLM):

94 94KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 iσ n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ ijσ i JS (f) i S (s) i mit J < 0: (antiferromagnetisches) KLM mit J > 0: ferromagnetisches KLM Letzteres kann als ein effektives Niederenergiemodell zum periodischen Anderson-Modell aufgefasst werden, wie weiter unten gezeigt wird. (Bsp.) LaMnO 3 atomare Elektronenkonfigurationen: La 5d 6s 2, Mn 3d 5 4s 2, O 2p 4 Festkörper: La 3+ Mn 3+ O 2 3 Mn 3d 4 -Konfiguration Band e g g=2 J>0 Core S=3/2 t 2g g=3 Störstellenmodelle keine Translationsinvarianz Störstellen Anderson-Modell (SIAM): H = σ ε f f σ f σ + U 2 σ n σ (f) n(f) σ + t ij c iσc jσ + ijσ iσ V i (c iσf σ + H.c.) korrelierte (U > 0) Störstelle (f i ) an einem (Zwischen-)Gitterplatz gekoppelt (V i ) an ein Band (t ij ) von Leitungselektronen (c iσ) 4.6 Mehrband-Modelle mehrere Orbitale pro Platz: ONB { imσ } Ein-Teilchen-Anteil des Hamilton-Operators H = H 0 + H :

95 4.6. MEHRBAND-MODELLE 95 H 0 = t ii mm c imσc i m σ ii mm σ (spinunabhängiges äußeres Potenzial) Wechselwirkungsterm H : H = 2 mit α = (imσ): αβγδ U αβγδ c α c β c δc γ U αβγδ = U imσ,i m σ,i m σ,i m σ = φ() imσφ (2) i m σ H(,2) int φ () i m σ φ(2) i m σ H (,2) int spin-unabhängig (Coulomb-WW) σ = σ, σ = σ stark abgeschirmte, lokale Wechselwirkung i = i = i = i U αβγδ = U iiii,mm m m δ ii δ ii δ ii δ σσ δ σ σ Translationsinvarianz U iiii,mm m m = U mm m m also: H = 2 i mm m m Terme mit nur zwei orbitalen Indizes: also: m = m m = m direkt σσ U mm m m c imσc im σ c im σ c im σ m = m m = m Austausch Für Modellbildungen werden meist nur direkte und Austauschterme berücksichtigt. m = m m = m (wird nicht weiter betrachtet) U mm m m δ mm δ m m U mm + δ mm δ m m J mm ( δ mm ) mit direkten WW-Parametern: U mm = U mm mm = e2 4πε 0 = e2 4πε 0 Der Fall m = m = m = m darf natürlich nicht doppelt gezählt werden. d 3 r d 3 r 2 φ imσ (r ) 2 φ im σ (r 2) 2 r r 2 d 3 r d 3 r 2 φ imσ (r )φ im σ (r 2) r r 2 φ imσ(r )φ im σ (r 2)

96 96KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME und Austausch-Parametern: J mm = U mm m m = e2 4πε 0 d 3 r d 3 r 2 φ imσ (r )φ im σ (r 2) r r 2 φ im σ(r )φ imσ (r 2 ) damit: wobei: H = H (dir) + H (ex) H (dir) = 2 = 2 iσ iσσ mm U mm c imσc im σ c im σ c imσ mm U mm c imσc im σ c im σc imσ + 2 iσ mm U mm c imσc im σ c im σc imσ = m m U mm n imσ n im 2 σ+ m m U mm n imσ n im iσ mm 2 σ+ U mm n imσ n im σ iσ mm 2 iσ m H (dir) = 2 U mm n imσ n im σ + m m iσ m 2 iσ mm U mm (n imσ n im σ + n imσ n im σ) und H (ex) = ( δ mm )J mm c 2 imσc im σ c imσ c im σ iσσ mm = 2 iσ m m mm J mm c imσc im σ c imσc im σ+ 2 iσ m m mm J mm c imσc im σ c im σc im σ = 2 iσ m m mm J mm n imσ n im σ 2 iσ m m mm jetzt gilt: c imσc im σ c im σ c im σ = S im+ S im + S im S im + und: σ = 2(S imx S im x + S imy S im y) = 2(S im S im S imz S im z) S imz S im z = 2 (n im n im ) 2 (n im n im ) J mm c imσc im σ c im σ c im σ S imz S im z = 4 (n im n im + n im n im n im n im n im n im ) S imz S im z = (n imσ n im 4 σ n imσ n im σ) σ

97 4.7. EFFEKTIVE NIEDERENERGIE-MODELLE 97 also: H (ex) = 2 iσ m m mm J mm n imσ n im σ i m m mm J mm S im S im bzw: + 4 iσ m m mm J mm (n imσ n im σ n imσ n im σ) H (ex) = i m m mm J mm S im S im 4 iσ m m mm J mm (n imσ n im σ + n imσ n im σ) insgesamt ist also: H = U mm n imσ n im σ 2 iσ m + m m (U mm ) 2 iσ mm 2 J mm (n imσ n im σ + n imσ n im σ) i m m mm J mm S im S im oder mit U mm = U mm J mm /2 und n im = σ n imσ : H = U mm n imσ n im σ + m m 2 iσ m 2 i mm U mm n imn im i m m mm J mm S im S im 4.7 Effektive Niederenergie-Modelle Hubbard-Modell, n =, U : hopping der Elektronen unterdückt Spinprojektion an jedem Platz als einziger dynamischer Freiheitsgrad Idee: H Hubbard H eff für Energien, Temperaturen U Idee der Renormierunsgruppe H H H H fix

98 98KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME iteratives Ausintegrieren unwichtiger Freiheitsgrade Analyse des Fixpunkt-Hamiltonians H fix liefert Niederenergiephysik von H bestimmt Phasenübergänge 2. Ordnung charakterisiert Niederenergieanregungen NRG, DMRG, funrg,... hier nur ein Schritt: Hubbard-Modell H eff =? Hubbard-Modell: H = T + V mit T = t ij c iσc jσ, ijσ V = U i n i n i definiere ˆd = i n i n i Eigenwertgleichung: ˆd d, r = d d, r d: Anzahl doppelt besetzter Gitterplätze, hochgradig entartet definiere: P d = d, r d, r (Projektor auf den d-unterraum) r Orthogonalität und Vollständigkeit P d P d = δ dd P d L d=0 P d = betrachte Schrödinger-Gleichung H Ψ = E Ψ Zerlegung von H: ( ( ) H = P d )H d d P d T d = d P d+ d TP d T d ändert d um d, hier: d = 0, ± H = T 0 + T + T + V Zerlegung von Ψ :

99 4.7. EFFEKTIVE NIEDERENERGIE-MODELLE 99 Ψ = P d Ψ = Ψ 0 + Ψ + d=0 Schrödinger-Gleichung: (T 0 + V + T + T )( Ψ 0 + Ψ + ) = E ( Ψ 0 + Ψ + ) in Matrixform: hier: T 0 also: ( T0 T T T 0 + U T T T 0 + 2U Ψ 0 Ψ Ψ 2 = E Ψ = Ψ 0 + Ψ > Ψ > = Ψ + T T H > 2. Gleichung: ) ( Ψ0 Ψ > ) = E T Ψ 0 + H > Ψ > = E Ψ > Ψ > =. Gleichung: also: E H > T Ψ 0 ( Ψ0 Ψ > T 0 Ψ 0 + T Ψ > = E Ψ 0 ( ) T 0 + T T Ψ 0 = E Ψ 0 E H > ) Ψ 0 Ψ Ψ 2 H eff = T 0 + T E H > T es ist U t Störungstheorie in t/u Ψ 0 H > wirkt im d = -Unterraum im d = -Unterraum ist H > = U + O(t) für E = O(t) (d = 0-Unterraum) ist also: H eff = T 0 U T T + O(t 3 )

100 00KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME gleiches Resultat wie Brillouin-Wigner-Störungstheorie oder Methode der kanonischen Transformationen algebraisch am wenigsten aufwändig Behandlung höherer Ordnungen: Chernyshev et al, cond-mat/ ( setze U =, es ist: H (4) eff = T 0 T T +T T 0 T 2 (T T T 0 +T 0 T T )+(T T ) 2 2 T 2 T 2 T T 2 0 T + T T 0 T T 0 + T 0 T T 0 T 2 (T T T T 2 0 T T ) + O(t 5 ) was ist mit T 0 T T T 0? verschiedene Resultate der 3 Methoden für H (4) eff! verbunden durch unitäre Symmetrie! 4.8 Heisenberg- und t-j-modell Startpunkt: Hubbard-Modell H = T + V = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 erster Term: es ist: T 0 = P 0 TP 0 = P 0 t ij c iσc jσ P 0 ijσ n iσ n i σ iσ Wie sieht für das Hubbard-Modell und für N L der effektive Hamilton-Operator T 0 U T T in 2. Quantisierung aus? P 0 c iσ = P 0 c iσn i σ + P 0 c iσ( n i σ ) = P 0 c iσ( n i σ ) c iσ( n i σ ) ändert Doppelbesetzungen nicht: [c iσ( n i σ ), n iσ n i σ ] = 0 im d = 0-Unterraum ist also: T 0 = t ij c iσ( n i σ )( n j σ )c jσ ijσ für Halbfüllung N = L ist T 0 = 0

101 4.8. HEISENBERG- UND T-J-MODELL 0 Anschaulich: Hopping ist bei Halbfüllung unmöglich ohne doppelt besetzte Gitterplätze zu erzeugen. zweiter Term: T T = P 0 TP 2 TP 0 = P 0 t ij c iσc jσ P i j k l ijσ = t ij t kl P 0 c iσc jσ P c kσ c lσ P 0 ijσ klσ für k l ist P c kσ c lσ P 0 Ψ = n k σ c kσ c lσ P 0 Ψ und für beliebige Ψ, Φ : also: Φ P 0 c iσc jσ n j σ n k σ c kσ c lσ P 0 Ψ 0 T T = i j,j l ijlσ A: Terme mit i = l B: Terme mit i l es gilt: B = i j,j l,i l ijl klσ t kl c kσ c lσ P 0 Ψ nur für j = k σσ t ij t jl P 0 c iσc jσ n j σ n j σ c jσ c lσ P 0 = A + B es bleiben die Terme mit i = l: σσ t ij t jl P 0 c iσc jσ n j σ n j σ c jσ c lσ P 0 Man sieht, dass B für Halbfüllung verschwindet, denn das durch c lσ erzeugte Loch müsste durch c iσ wieder besetzt werden, was aber wegen i l nicht möglich ist. Damit ist der Beitrag von B zu H eff sowohl klein von der Ordnung O(t 2 /U) als auch klein bei geringer Abweichung von Halbfüllung ( Dotierung ) und wird deshalb vernachlässigt. Ein einfacher effektiver Hamiltonian kann demnach nur im Limes geringer Dotierung erreicht werden.

102 02KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME i j T T = t ij t ji P 0 c iσc jσ n j σ n j σ c jσ c iσ P 0 ijσ σσ i j = t ij t ji P 0 (c iσc jσ n j σ n j σ c jσc iσ + c iσc jσ n j σ n jσ c j σc i σ )P 0 ijσ i j σ = t ij t ji P 0 (c iσn j σ c iσ + c iσc jσ c j σc i σ )P 0 ijσ σ dies kann mit Hilfe des lokalen Spins einfacher geschrieben werden: S iµ = c 2 iσσ (µ) σσ c iσ σσ es ist (i j): c iσc jσ c j σc i σ = σ σ = c i c i c j c j c i c i c j c j µ = x, y, z c iσc i σ c j σc jσ und: = S i+ S j S i S j+ = (S ix + is iy )(S jx is jy ) (S ix is iy )(S jx + is jy ) = 2(S ix S jx + S iy S jy ) c iσn j σ c iσ = n iσ n j σ = n i n j + n i n j σ σ mit n i = n i + n i und n i = 2 (n i + 2S iz ) und n i = 2 (n i 2S iz ) folgt: c iσn j σ c iσ = σ 4 ((n i + 2S iz )(n j 2S jz ) + (n i 2S iz )(n j + 2S jz )) = 4 (2n in j 8S iz S jz ) = 2 n in j 2S iz S jz einsetzen: i j ( ) T T = t ij t ji P 0 2 n in j 2S iz S jz 2(S ix S jx + S iy S jy ) P 0 ij U T T = i j ij 2t 2 ij U P 0 (S i S j ) 4 n in j P 0 n i und S i ändern Doppelbesetzungen nicht im d = 0-Unterraum ist also:

103 4.8. HEISENBERG- UND T-J-MODELL 03 mit U T i j ( T = J ij S i S j ) 4 n in j ij J ij = 2t2 ij U für N = L kann n i = gesetzt werden insgesamt folgt: H eff = t ij c i j ( iσ( n i σ )( n j σ )c jσ J ij S i S j ) ijσ ij 4 für Halbfüllung (N = L) ist: i j H eff = ij ( J ij S i S j ) 4 (t-j-modell) Dieser effektive Hamilton-Operator hat im d = 0-Unterraum die gleiche Wirkung wie der Hubbard-Hamiltonian bis auf Terme der Ordnung O(t 3 /U 2 ) für N = L und Terme der Ordnung O(t 2 /U) für N < L. Diskussion: (Heisenberg-Modell) Herausprojizieren hochenergetischer Zustände einfachere effektive Modelle mit weniger Freiheitsgraden Idee der Renormierungsgruppe: Systematisierung dieses Verfahrens, Fluss der Wechselwirkungsparameter: U J N = L: Niederenergiesektor des Hubbard-Modells: nur Spindynamik Hopping wegen Energiestrafe U/t unterdrückt für N = L ist S 2 i = 3S2 iz = 3(n i +n i 2d i )/4 = 3/4 im d = 0-Unterraum S 2 i = S(S + ) mit S = /2 Abbildung auf antiferromagnetisches Heisenberg-Modell, J < 0

104 04KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME Hubbard-Modell bei Halbfüllung ist ein Antiferromagnet mit Néel-Temperatur T N /U kinetische Energie + spinunabhängige Coulomb-WW + Pauli-Prinzip effektive Spin-Spin-Wechselwirkung Vergleiche Heisenbergs Idee zur Erklärung von Ferromagnetismus, hier allerdings Antiferromagnetismus. Beispiel für (Anderson) Superaustausch-Mechanismus! Direkte Rechnung für Zwei-Platz-HM Übung Anschauliches Bild: Bei AF-Ordnung ist (virtuelles) nächst-nachbar-hopping (hin und zurück) möglich (siehe Störungstheorie 2. Ordnung) und führt zu einem Gewinn an kinetischer Energie. Ferro- und paramagnetische Zustände sind dagegen energetisch ungünstiger. U i j t-j-modell: Hopping möglich N = L : Hopping führt zu Frustration des AF String-Potenzial gepaarte Löcher sind mobiler Supraleitung?

105 4.9. KONDO-MODELL Kondo-Modell gesucht: effektiver Niederenergie-Hamiltonian zum Störstellen-Anderson-Modell H = ε d d σd σ + U σ 2 n dσ n d σ + t ij c iσc jσ + V i (c iσd σ +d σc iσ ) σ ijσ iσ n dσ = d σ d σ es ist H = T + W W = U 2 und [W, ˆd] = [W, ˆn d ] = 0 n dσ n d σ σ ˆn d = n dσ + n d σ, ˆd = ndσ n d σ Zerlegung von H gemäß = P 0 + P : mit H = T 0 + T + T + W = H 0 + H H 0 = T 0 + W H = T + T = O(V ) Im Unterschied zum Hubbard-Modell liegt hier nur ein korreliertes (U 0) Orbital vor. Dessen Doppelbesetzung kann 0 oder sein. gelöst kleine Störung im d = 0-Unterraum kann H durch H eff ersetzt werden: H eff = T 0 U T T + O(V 3 ) Ein in zweiter Quantisierung einfacher effektiver Hamilton-Operator ergibt sich nur für ˆn d = (analog zu N = L im Hubbard- Modell). Hier ist allerdings [ˆn d, H] 0, so dass ˆn d = nur erreicht werden kann im sogenanneten Kondo-Limes.

106 06KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME Kondo-Limes ε d ε(k) ε d + U ε d ε(k), ε d + U ε(k) Γ µ ε(k) mit ε(k) = e ik(r i R j ) t ij und L ij ( ) Γ = π Vi 2 ρ 0 (0) L i Mit der mittleren Hybridisierungsstärke und der Zustandsdichte der Leitungselektronen ρ 0 (ω) = δ(ω ε(k)) lässt sich ein Maß L k für die Breite der Niveaus ε d bzw. ε d +U definieren. Im Kondo-Limes ist für niederenergetische Viel-Teilchen-Zustände ˆn d =. U ε( k) ε d µ Γ im ˆn d = - und damit auch d = 0-Unterraum (Projektor P 0 ) ist: T T = P 0TP TP 0 = P 0 V i V j (c iσd σ + d σc iσ )P (c jσ d σ + d σ c jσ )P 0 ijσσ = V i V j P 0 c iσd σ n d σ n d σ d σ c jσ P 0 ijσσ = V i V j P 0 (c iσd σd σ c jσ + c iσd σ d σc j σ ))P 0 ijσ definiere: s ij = c 2 iσσ σσ c jσ σσ s ii ist der lokale Spin der Leitungselektronen am Platz i s k = e ik(r i R j ) s ij = c kσ L ij 2 σ σσ c kσ σσ

107 4.9. KONDO-MODELL 07 ist ein Spin für jedes k damit gilt: c iσd σ d σc j σ = d σd σ c iσc j σ = (S s ij+ + S + s ij ) σ σ = 2(S x s ijx + S y s ijy ) wobei S der lokale Spin der Störstelle ist: S = d 2 σσ σσ d σ σσ weiter gilt: c iσd σd σ c jσ = c iσc jσ d σd σ = c i c j d d + c i c j d d σ σ = ( ( c 4 iσc jσ + 2s ijz )(ˆn d 2S z ) + ( ) c iσc jσ 2s ijz )(ˆn d + 2S z ) σ σ = 2 einsetzen: T T = P 0 damit: c iσc jσˆn d 2S z s ijz σ ( V i V j c ij 2 iσc jσ 2Ss ij )P 0 σ T 0 = P 0TP 0 = P 0 σ ε d d σd σ + t ij c iσc jσ P 0 ijσ = const. + P 0 t ij c iσc jσ P 0 ijσ und damit insgesamt: H eff = const. + t ij c iσc jσ ijσ ij J ij ( Ss ij 4 ) c iσc jσ σ = const. + t ij c iσc jσ ijσ ij J ij Ss ij wobei J ij = 2V iv j t ij U = t ij + 4 J ij für lokale Hybridisierung V i = V δ ii0 (i 0 ist der Störstellenplatz) gilt: H eff = const. + t ijc iσc jσ JSs i0 ijσ

108 08KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME mit (Kondo-Modell) J = 2V 2 U antiferromagnetische Austausch-Wechselwirkung zwischen Störstellen-Spin und lokalem Spin der Leitungselektronen am Störstellenplatz Ist der Kondo-Limes realisiert, so hat dieser effektive Hamilton-Operator im ˆn d = - Unterraum die gleiche Wirkung wie der Hamiltonian des Störstellen-Anderson-Modells bis auf Terme der Ordnung O(V 3 /U 2 ). Der Kondo-Limes kann erreicht werden für V = const. und U J 0. Kondo konnte allerdings zeigen, dass das Modell nicht mit Störungstheorie in J behandelt werden kann. Für J 0 treten hier Divergenzen auf, die erst bei Aufsummation von Störtermen beliebig hoher Ordnung verschwinden. 4.0 Kondo-Gitter-Modell Weitgehend analog verlaufen die Überlegungen zum periodischen Anderson-Modell. periodisches Anderson-Modell mit lokaler Hybridisierung: H = ε d d iσd iσ + U iσ 2 n iσ n i σ + t ij c iσc jσ + iσ ijσ iσ V (c iσd iσ + d iσc iσ ) (n iσ = d iσd iσ ) Gesamt-Doppelbesetzung: ˆd = iσ n iσ n i σ Zerlegung von H mit = d P d : H = T + W = T 0 + T + T + W = H 0 + H H 0 = T + W H = T + T = O(V ) Kondo-Limes

109 4.0. KONDO-GITTER-MODELL 09 ε d ε(k) ε d +U ε d ε(k), ε d +U ε(k) Γ µ ε(k) mit Γ = πv 2 ρ 0 (0) n iσ + n i σ = für niederenergetische Zustände T T = P 0 TP TP 0 = V 2 P 0 c iσd iσ P d jσ c jσ )P 0 ijσσ = ( V 2 P 0 c iσ( n iσ )c iσ d iσd i σ c ) i σc iσ P 0 iσ = 2V 2 i P 0 ( 2 n iσc iσc iσ S i s i )P 0 H eff = const. + t ij c iσc jσ ijσ i JS i s i mit (Kondo-Gitter-Modell) J = 2V 2 U lokale antiferromagnetische Austausch-Wechselwirkung zwischen den d- und den c-spins an jedem Gitter-Platz Eine Ausrichtung des d-spins an einem Platz i bewirkt via J eine dazu antiparallele Ausrichtung des lokalen Leitungselektronenspin am gleichen Platz. Durch Hopping-Prozesse führt diese zu einer Polarisation der lokalen Leitungselektronenspins in der Umgebung, so dass an einem anderen Gitterplatz j wiederum durch die Austausch-Wechselwirkung J eine Ausrichtung des d-spins erfolgen kann (parallel oder antiparallel zur Ausgangsrichtung). Dieser RKKY-Mechanismus begünstigt eine magnetische Ordnung des Systems. Die Curie- bzw. Néel-Temperatur wird für kleine J von der Ordnung O(J 2 ) sein.

110 0KAPITEL 4. WECHSELWIRKENDE VIEL-ELEKTRONEN-SYSTEME ε( ) k µ J J i j

111 Kapitel 5 Green-Funktionen 5. Spektroskopien (großkanonischer) Hamiltonian des Systems: H = H µn = H 0 + H Eigenenergien, -zustände: H m = E m m ONB: { m } m : Viel-Teilchen-Zustand, zu viel Information Idee: (schwache) Störung Antwort des Systems Anregungsprozess R Wirkungsquerschnitt, Intensität I Anregungen liefern komprimierte und messbare Information über das System Photoemission: R = c α winkel- und spinaufgelöst: α = (k, σ) inverse Photoemission: R = c α komplementäre Spektroskopie Auger-Prozess:

112 2 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN R = c α c β Auftrittspotenzialspektroskopie: R = c α c β Transport, Raman, Neutronenstreuung, etc.: R = c α c β dies sind elementare Anregungsprozesse Ein-Teilchen-Anregungen: c α, c α Zwei-Teilchen-Anregungen: c α c β, c αc β, c αc β dazu kommen muss eine Spektroskopie-Theorie z.b. für die Photoemission in etwa so: elekronischer Übergang induziert durch Ankopplung an Strahlungsfeld: p p qa Vernachlässigung des A 2 -Terms, Coulomb-Eichung, Dipol-Approximation: H H + V, V = A 0 p zweite Quantisierung: V = β A 0 p γ a β c γ + h.c. = M βγ a β c γ + h.c. βγ βγ mit: a hochenergetische Zustände, c Valenzzustände Endzustand in sudden approximation (keine Wechselwirkung zwischen Photoelektron und Restsystem): f a α m E f = E m + ε α Anfangszustand: i = n E i = E n + hν mit a α n 0 also: f V i = m a α (M βγ a β c γ + h.c.) n = m γ βγ M αγ c γ n

113 5.. SPEKTROSKOPIEN 3 ohne Matrixelemente: f V i = m c γ n d.h. R = c γ als elementarer Baustein der Photoemission Berechnung der Intensität für schwache Störung R: zunächst T = 0: System im GZ 0 Wahrscheinlichkeit für Übergang 0 m m R 0 2 (Störungstheorie. Ordnung in R) Anregungsenergie: ω = E m E 0 Intensität spektrale Dichte der Übergänge mit Anregungsenergie zwischen ω und ω + dω: I R (ω) = m m R 0 2 δ(ω (E m E 0 )) (es ist ω 0, E m = E m möglich) Dies ist letztlich Fermis goldener Regel, zeitabhängige Störungstheorie. Ordnung in R, gültig für schwache Störung für T 0 ist das System anfänglich mit Wahrscheinlichkeit p n = Z e βen im Zustand n I R (ω) = Z ω < 0 möglich e βen m R n 2 δ(ω (E m E n )) mn für die komplementäre Spektroskopie mit Operator R ist: I R (ω) = e βen m R n 2 δ(ω (E m E n )) Z mn

114 4 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN bzw. = e βen n R m 2 δ(ω (E m E n )) Z mn = e βem m R n 2 δ(ω (E n E m )) (m n) Z mn = e βω e βen m R n 2 δ( ω (E m E n )) Z mn I R (ω) = e βω I R ( ω) I R (ω) = e βω I R ( ω) Diskussion für R = c α (Photoemission), R = c α (inverse PE) I R (ω) ist für ω > 0 das normale (IPE) Spektrum I R ( ω) ist für ω > 0 exponentiell unterdrückt, aber messbar Multiplikation mit Exponentialfaktor liefert das normale PE Spektrum I R (ω) = e βω I R ( ω) aber: die Messfehler werden ebenfalls exponentiell größer, Methode nur geeignet für ω Spektraldichte Zusammenfassen von Spektroskopie und komplementärer Spektroskopie durch Spektraldichte: S AB (ω) = mn e βem ε e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z für beliebige Operatoren A, B (hier meist A = R, B = R ) Lehmann-Darstellung ε = +: Kommutator-Spektraldichte ε = : Antikommutator-Spektraldichte übliche Wahl: ε = ε k k: die Anzahl der Erzeuger/Vernichter sind, aus denen sich A bzw. B aufbaut es gilt (A = R, B = R ):

115 5.2. SPEKTRALDICHTE 5 S RR (ω) = e βen n R m m R n δ(ω (E m E n )) Z mn ε e βem n R m m R n δ(ω (E m E n )) Z mn (nach Umbenennung m n) und somit: S RR (ω) = I R (ω) ε e βω I R (ω) = ( ε e βω )I R (ω) I R (ω) = eβω e βω ε S RR (ω) mit I R ( ω) = e βω I R (ω) ist und I R ( ω) = e βω ε S RR (ω) S RR (ω) = I R (ω) ε I R ( ω) Spektraldichte _ ε I R ( ) ω I + R ( ω) Diskussion Spektraldichte: PE 0 IPE zentrale formale Größe (äquivalent zur Green-Funktion) notwendig für diagrammatische Störungstheorie Bezug zum Experiment elementare Anregungen des Systems aus dem Gleichgewicht (prinzipiell also Nichtgleichgewichtsgröße, für schwache Störung aber gemäß Störungstheorie. Ordnung (Fermis goldener Regel) ein thermodynamischer Erwartungswert) weitere Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Lehmann-Darstellung: ω

116 6 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN S AB (ω) = ε S BA ( ω) für die Antikommutator-Spektraldichte: S AA (ω) reell und nicht-negativ (ε = ) für die Kommutator-Spektraldichte (sign(ω) = ± für ω > 0, ω < 0): sign(ω)s AA (ω) reell und nicht-negativ (ε = ) Fourier-Transformation: X(ω) = exp(iωt)x(t)dt X(t) = exp( iωt)x(ω)dω 2π mit der Lehmann-Darstellung ist: S AB (ω) = mn e βem ε e βen ) m A n n B m Z 2π e i(ω (En Em))t dt mit: S AB (t) = 2π mn = 2π mn = 2π Z e βem ε e βen ) m A n n B m e ient e iemt Z e βem ε e βen ) m e iht Ae iht n n B m Z ( e βe m m A(t) n n B m ε e βen m A(t) n n B m ) mn = ( A(t)B(0) ε B(0)A(t) ) 2π S AB (t) = 2π [A(t), B(0)] ε A(t) = exp(iht)a exp( iht) (zeitabh. Korrelationsfunktion) (großkanonische Heisenberg-Darstellung) S AB hat in Zeitdarstellung einfache Form zeitabhänigige Korrelationsfunktionen sind Fourier-transformierte Spektren (Anti-)Kommutator-Spektraldichte: Namensgebung offsichtlich

117 5.2. SPEKTRALDICHTE 7 Hier sieht man, dass die oben getroffen Vereinbarung ε = ε k Sinn macht, denn damit kann der auftretende (Anti- )Kommutator auf die fundamentalen (Anti- )Vertauschungsrelationen zurückgeführt werden. Beispiel: Fermi-Gas H = α (ε α µ)c α c α Ein-Teilchen-(Antikommutator)Spektraldichte A αβ (ω) = S cαc = dt e β(ω) iωt S cαc (t) = β 2π dt e iωt [c α (t), c β (0)] + es ist (Lc α = [c α, H] = (ε α µ)c α ) und somit c α (t) = e iht c α e iht = e itl c α = e i(εα µ)t c α also: und [c α (t), c β (0)] + = e i(εα µ)t [c α, c β ] + = e i(εα µ)t δ αβ A αβ (ω) = 2π dt e iωt e i(εα µ)t δ αβ A αβ (ω) = δ αβ δ(ω (ε α µ)) für α = β = k, H = k ε(k)c k c k: A k (ω) = δ(ω (ε(k) µ)) freies System (keine Wechselwirkung H ) ein δ-peak mit H 0 ist allgemein (gemäß Lehmann-Darstellung): A k (ω) = S ck,c (ω) = k r ω r (k): Anregungsenergie z r (k): spektrales Gewicht für V : z r (k)δ(ω ω r (k))

118 8 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN A k (ω) drz r (k)δ(ω ω r (k)) evtl. glatte Funktion von ω Lebensdauerverbreiterung von Bändern Lehmann-Darstellung für T = 0: S AB (ω) = S AB > (ω) ε S< AB (ω) mit S AB > (ω) = 0 A m m B 0 δ(ω (E m E 0 )) (ω > 0) m S AB < (ω) = 0 B m m A 0 δ(ω (E 0 E m )) (ω < 0) m es gilt: δ-peak in Spektraldichte (B = A ) unendliche Lebensdauer Beweis : in einer Umgebung von ω 0 > 0 sei S RR (ω) = z 0 δ(ω ω 0 ) R 0 hat nichtverschwindenden Überlapp nur mit Eigenzuständen der Energie E 0 + ω 0 (denn sonst ist das Matrixelement endlich und weitere δ-peaks entstehen; hierzu muss allerdings die (plausible) Annahme gemacht werden, dass keine hochenergetischen Zustände außerhalb der Umgebung von ω 0 reinmischen) R 0 ist ein Eigenzustand zur Energie E 0 + ω 0 die Anregung R zerfällt zeitlich nicht, das System verbleibt (bis auf einen Phasenfaktor exp(i(e 0 + ω 0 )t)) im angeregten Zustand R 0 globale Eigenschaften der Spektraldichte: mit LA = [A, H] ist i(d/dt)a(t) = LA(t) k-tes Moment der Spektraldichte: ( dω ω k S AB (ω) = dω i dt) d k e iωt S AB (ω) t=0

119 5.2. SPEKTRALDICHTE 9 ( = 2π i d ) k dω e iωt S AB (ω) dt 2π t=0 ( = 2π i dt) d k S AB (t) t=0 ( = 2π i d ) k dt 2π [A(t), B(0)] ε t=0 = [L k A(t), B(0)] ε t=0 dω ω k S AB (ω) = [L k A, B] ε 0-tes Moment: dω S AB (ω) = [A, B] ε Beispiel: A = c iσ, B = c jσ Ein-Teilchen-Spektraldichte S ciσ c jσ(ω) = A ijσ (ω) dω A ijσ (ω) = [c iσ, c jσ] ε = δ ij Lehmann-Darstellung: Die Spektraldichte erfüllt eine wichtige Summenregel. S AB (ω) = mn e βem ε e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z wobei: es ist: S AB (ω) = S AB (ω) + S(D) AB (ω) S AB(ω) = S (D) AB (ω) = E m E n mn E m=e n mn e βem ε e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z e βem ε e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z

120 20 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN S AB(ω) = E m E n mn e βem ε e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z = (e βω ε) Z dω E m E n mn Em En e βω ε S AB (ω) = e βen m A n n B m δ(ω (E n E m )) mn e βen Z m A n n B m = BA D AB mit es ist D AB = E m=e n mn e βen S (D) E m=e n AB (ω) = mn damit folgt für und für ε = + : ε = : ε = : BA = dω Z m A n n B m Wegen (exp(βω) )δ(ω) = ωδ(ω) = 0 sind die Diagonalterme mit E m = E n gesondert zu behandeln. e βem ε e βem m A n n B m δ(ω) Z S (D) AB (ω) = 0, S (D) AB (ω) = 2D ABδ(ω) dω e βω + S(D) AB (ω) = S AB(ω) = S AB (ω) dω e βω ε S AB(ω) + + ε D AB 2 e βω + 2D ABδ(ω) = D AB (Spektraltheorem) Für ε = + treten die Diagonalelemente D AB als Korrekturterm auf! vergleiche freies Fermi-Gas: N = dω f(ω µ)ρ 0 (ω) Bedeutung der Fermi(Bose)-Funktion für wechselwirkende Systeme Zustandsdichte ρ 0 (ω) S AB (ω) Spektraldichte aber für allgemeine A, B

121 5.3. LINEAR-RESPONSE-THEORIE Linear-Response-Theorie 2 Ω/ λ A λ B : statische Störung statische Antwort imag. zeitabh. Korrelationsfunktion Theorie elementarer Spektroskopien: elementare Anregung R Intensität I Spektraldichte linear-response-theorie: zeitabhängige Störung zeitabhängige Antwort Green-Funktion betrachte H t = H + λ B (t)b mit λ B (t) klein und H zeitunabhängig gesucht: Antwort A t bis zu erster Ordnung in λ B (t) ( linear response ): δ A t δλ B (t ) λb (t ) 0 offensichtlich ist A t λb (t ) 0 = A 0 zeitunabhängig explizit zeitabhängiger Hamiltonian H = H t Gleichgewichts-Dichteoperator ρ(t) Z e β Ht erfüllt nicht die von Neumannsche Differenzialgleichung: i d dt ρ(t) = [ H t, ρ(t)] beachte: i d dt ρ(t) = i d p m m m = p m ( H t m m m m H t ) = [ H t, ρ(t)] dt m m System nicht im thermischen Gleichgewicht (gemischter) Zustand ρ =?? aber: bei schwacher Zeitabhängigkeit (langsam oder schnell) ist zeitabhängige Störungstheorie (. Ordnung) zur Bestimmung des Systemzustands möglich

122 22 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN Bestimmung des (gemischten) Systemzustands (hinreichend allgemeiner) Ansatz für ρ(t): ρ(t) = e iht ρ (t)e iht damit ist: ) i d (i dt ρ(t) = Hρ(t) ρ(t)h + d e iht dt ρ (t) und: [ H t, ρ(t)] = [H, ρ(t)] + λ B (t)[b, ρ(t)] mit der von Neumannschen DGL für ρ(t) folgt: ) e iht e (i iht d dt ρ (t) e iht = λ B (t)[b, ρ(t)] = λ B (t)[b, e iht ρ (t)e iht ] also: i d dt ρ (t) = e iht [λ B (t)b, e iht ρ (t)e iht ] e iht i d dt ρ (t) = [λ B (t)e iht Be iht, ρ (t)] Umwandeln in Integralgleichung Anfangsbedingung? Dies ist die Bewegungsgleichung für ρ (t). Die Idee zu dieser Ableitung ist im Wesentlichen der Übergang vom Schrödinger- zum Dirac- Bild. es sei: λ B (t) 0 für t ( Einschalten der Störung ) dann folgt: ρ(t) e βh /Z und ρ (t) e βh /Z für t also: ρ (t) = t Z e βh i dt [λ B (t )e iht Be iht, ρ (t )] Iterieren und Abbrechen nach. Ordnung: ρ (t) = Z e βh i t nach der Bestimmung von ρ (t) folgt für ρ(t): ρ(t) = Z e βh i t dt [λ B (t )e iht Be iht, Z e βh ] + O(λ 2 B ) dt e iht [λ B (t )e iht Be iht, Z e βh ] e iht +O(λ 2 B )

123 5.3. LINEAR-RESPONSE-THEORIE 23 ρ(t) = t Z e βh i dt λ B (t )[e ih(t t ) Be ih(t t ), Z e βh ] + O(λ 2 B ) jetzt ist der Zustand bekannt, es folgt die Brechnung von A t : A t = Sp ρ(t)a = Z Sp e βh A i t dt λ B (t ) Sp ( [e ih(t t ) Be ih(t t ), ) Z e βh ] A Terme der Ordnung O(λ 2 B ) sind vernachlässigt. t ( A t = A 0 i dt λ B (t ) Sp [e ih(t t ) Be ih(t t ), ) Z e βh ] A Ausnutzen der zyklischen Invarianz der Spur: Z Sp ( ) = Sp ( e ih(t t ) Be ih(t t ) e βh A ) Sp ( e βh e ih(t t ) Be ih(t t ) A ) = Sp ( e βh Ae ih(t t ) Be ih(t t ) ) Sp ( e βh e ih(t t ) Be ih(t t ) A ) = Sp ( e βh e iht Ae iht e iht Be iht ) Sp ( e βh e iht Be iht e iht Ae iht) = Z A(t)B(t ) Z B(t )A(t) = Z [A(t)B(t )] beachte: A(t) = e iht Ae iht : freie (Heisenbergsche) Zeitabhängigkeit A = Z Sp e βh A = A 0 : freier Erwartungswert damit folgt (bis auf Terme der Ordnung O(λ 2 B )): oder: t A t = A 0 i dt λ B (t ) [A(t)B(t )] δ A t δλ B (t ) λb (t ) 0 = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = G (ret) AB (t, t )

124 24 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN (Kubo-Formel) (Nichtgleichgewichts-)Eigenschaften des gestörten Systems H + λ B (t)b werden bis zu linearer Ordnung in λ B (t) durch Gleichgewichtseigenschaften des Systems H bestimmt! der lineare Response ist gegeben durch die: retardierte Kommutator-Green-Funktion G (ret) AB (t, t ) = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = A(t); B(t ) (ret) da H nicht explizit zeitabhängig ist, gilt G (ret) AB (t, t ) = G (ret) AB (t t ) (Homogenität der Green-Funktion) der Faktor Θ(t t ) ist Ausdruck des Kausalitätsprinzips: Übung Die Reaktion des Systems zur Zeit t kann nicht von einer zur Zeit t > t vorliegenden Störung verursacht werden. Diskussion: Zusammenhang mit Spektraldichte: G (ret) AB (t, t ) = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = 2πiΘ(t t )S AB (t t ) G (ret) AB (t, t ) und S AB (t t ) haben gleichen Informationsgehalt (Formel zur Berechnung von S bei gegebenem G s.u.) linear-response-theorie formal sauberer als Theorie der elementaren Anregungen oben linear-response-theorie motiviert G (ret) AB (t, t ) nur für hermitesche A, B, nicht für A = c α, B = c β definiere: A(t) = A t A Fourier-Transformation: A(t) = dω e iωt A(ω) 2π λ B (t ) = dω e iωt λ B (ω) 2π G (ret) AB (t t ) = dω e iω(t t ) G (ret) AB (ω) 2π

125 5.4. FREQUENZABHÄNGIGE GREEN-FUNKTION 25 damit gilt: A(t) = = = 2π = 2π dt G (ret) AB (t t )λ B (t ) dt G (ret) AB (t t ) 2π dω e iωt λ B (ω) dω e iωt G (ret) AB (ω)λ B(ω) A(ω) = G (ret) AB (ω)λ B (ω) dω e iωt λ B (ω) dt e iωt G (ret) AB (t ) mit der Substitution t t t also: Im linear-response-bereich bewirkt eine mit ω oszillierende zeitabhängige Störung eine Antwort des Systems, die mit gleicher Frequenz oszilliert! bzw.: Ein response bei anderen Frequenzen als ω zeigt, dass die Störung zu stark ist, um in erster Ordnung behandelt werden zu können (Bsp.: Spektroskopien mit starken Laser-Feldern, Frequenzverdopplung, nichtlineare Optik). 5.4 Frequenzabhängige Green-Funktion Hier soll mit der Green-Funktion die zentrale Größe der Viel-Teilchen-Theorie systematisch diskutiert werden. Ausgangspunkt der Diskussion ist die retardierte Green-Funktion. Berechnung von G (ret) AB (ω): G (ret) AB (ω) = dt e iωt G (ret) AB (t) = dt e iωt ( 2πi)Θ(t)S AB (t) = dt e iωt ( 2πi)Θ(t) dω e iω t S AB (ω ) 2π = dω S AB (ω ) dt e i(ω ω )t ( i)θ(t) das t-integral ist eine Distribution: dt e i(ω ω )t ( i)θ(t) = lim dt e i(ω ω +iη)t ( i)θ(t) ηց0 +iη)t = lim( i) ηց0 i(ω ω + iη)t ei(ω ω 0

126 26 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN = lim ηց0 ω ω + iη = damit folgt: ω ω + i0 + G (ret) AB (ω) = Verallgemeinerung: dω S AB (ω ) ω ω + i0 + (Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion) zu beliebigem A, B definiere (Anti-)Kommutator-Green-Funktion G AB (ω) = dies ist die Green-Funktion, sie umfasst: retardierte Green-Funktion dω S AB(ω ) ω ω ω R, ω / R! (Spektraldarstellung der Green-Funktion) G (ret) AB (ω) = G AB(ω + i0 + ) (ω reell) avancierte Green-Funktion G (av) AB (ω) = G AB(ω i0 + ) (ω reell) thermische Green-Funktion, Matsubara-Funktion mit G (M) AB (ω n ) = G AB (iω n ) ω n = (2n + )πt n Z (Fermionen) ω n = 2n)πT n Z (Bosonen) Eigenschaften von G AB (ω)? es ist: S AB (ω) = (e βem ε e βen ) m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z mn durch Einsetzen folgt unmittelbar:

127 5.4. FREQUENZABHÄNGIGE GREEN-FUNKTION 27 G AB (ω) = Z (e βem ε e βen ) m A n n B m mn ω (E n E m ) (Lehmann-Darstellung der Green-Funktion) analytische Eigenschaften von G AB (ω) G AB (ω) ist eine analytische Funktion auf C \ R L < (vor dem thermodynamischen Limes) diskrete Eigenenergien E n, diskrete Anregungsenergien ω nm = E n E m G AB (ω) besitzt Pole. Ordnung bei ω = ω nm R Im thermodynamischen Limes hat man ggfs. ein kontinuierliches Anregungsspektrum. Pole von G AB (ω): Anregungsenergien des Systems Residuum von G AB (ω) in ω = E n E m : a nm = lim ω E n E m (ω E n E m )G AB (ω) a nm = Z (e βem ε e βen ) m A n n B m nur bestimmte Pole besitzen ein nichtverschwindendes Residuum und sind nicht hebbar G AB (ω) = nm ω ω nm a nm häufiger Spezialfall: B = A a nm = Z (e βem ε e βen ) m A n 2 Antikommutator-GF (ε = ): a nm 0 Kommutator-GF (ε = +): a nm 0 für ω nm 0 (E n E m ) a nm 0 für ω nm 0 (E m E n )

128 28 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN Im ω Pole von G Re ω Anwendungen der Funktionentheorie möglich Schreibweise: G AB (ω) = A; B ω Bilinearität der Green-Funktion bezüglich der Operatoren A und B: c A + c 2 A 2 ; B ω = c A ; B ω + c 2 A 2 ; B ω A; c B + c 2 B 2 ω = c A; B ω + c 2 A; B 2 ω A, B Erhaltungsgrößen Green-Funktion trivial; z.b. [B, H] = 0 impliziert: A; B ω = (e βem ε e βen ) m A n b m n m Z mn ω (E n E m ) = Z ( ε) m e βem m AB m ω = ( ε) AB = ( ε) BA ω ω mit ε = + für die Kommutator-GF bedeutet das, dass der linear response verschwindet beachte: H + λ B (t )B und H haben gemeinsamen Satz von Eigenzuständen insbesondere ist also für T = 0 A t = GZ A GZ unabhängig von λ B (t )! es gilt:

129 5.4. FREQUENZABHÄNGIGE GREEN-FUNKTION 29 also: G BA (ω) = (e βem εe βen ) m B n n A m Z mn ω (E n E m ) = (e βen ε e βem ) m A n n B m Z mn ω (E m E n ) = ε (ε e βen e βem ) m A n n B m Z mn ω (E n E m ) = ε (e βem ε e βen ) m A n n B m Z mn ω (E n E m ) G BA (ω) = ε G AB ( ω) Verhalten von G AB (ω) für ω G AB (ω) = dω S AB(ω ) ω ω = dω S AB (ω ) ω ω /ω = dω S AB (ω ) (ω /ω) k ω k=0 = dω S k=0 ω k+ AB (ω ) ω k k-tes Moment der Spektraldichte: dω S AB (ω ) ω k = [L k A, B] ε mit LA = [A, H] also: G AB (ω) = insbesondere: k=0 [L k A, B] ε ω k+ G AB (ω) [A, B] ε für ω ω Verhalten von G AB (ω) für ω 0 wobei: G AB (ω) = G AB (ω) + G(D) AB (ω)

130 30 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN G AB(ω) = Z E m E n mn (e βem ε e βen ) m A n n B m ω (E n E m ) es ist: G AB(ω) (D) = E m=e n Z mn lim ω 0 G AB (ω) = G AB (0) andererseits ist für ω 0: (e βem ε e βen ) m A n n B m mn ω (E n E m ) lim ω 0 ωg AB (ω) = 0 (kein Pol bei ω = 0) G AB(ω) (D) = ( ε) E m=e n e βen m A n n B m Z ω = ε ω D AB insgesamt: lim ω 0 ωg AB(ω) = ( ε) D AB Antikommutator-Green-Funktion (ε = ): G AB (ω) hat bei ω = 0 einen Pol. Ordnung mit Residuum 2D AB Kommutator-Green-Funktion (ε = +): G AB (ω) ist analytisch bei ω = Retardierte und avancierte Green-Funktion Dirac-Identität: Für gegebene Spektraldichte ist die Green- Funktion über die Spektraldarstellung gegeben. Diese Relation lässt sich (zumindest für reelle Spektraldichte) auch invertieren. Damit besitzen Green-Funktion und Spektraldichte den gleichen Informationsgehalt. x + i0 = P + x iπδ(x) analog: x i0 = P + x + iπδ(x) beachte: dx x + i0 +f(x) = lim dx η 0 x + iη f(x) dxp ( η ) f(x) = lim + dx x η 0 η x f(x)

131 5.5. RETARDIERTE UND AVANCIERTE GREEN-FUNKTION 3 dxδ(x)f(x) = f(0) für ω R und S AB (ω) reell gilt: π Im G AB(ω + i0 + ) = π Im also: dω S AB (ω ) = ω + i0 + ω dω S AB (ω )δ(ω ω ) S AB (ω) = π ImG AB(ω + i0 + ) = Im G(ret) AB (ω) π (ω reell) (Darstellung von S mit retardierter Green-Funktion) und: S AB (ω) = π ImG AB(ω i0 + ) = π ImG(av) AB (ω) (ω reell) (Darstellung von S mit avancierter Green-Funktion) G (ret) AB (ω) (G (av) AB (ω)) kann in die obere (untere) komplexe Halbebene analytisch fortgesetzt werden (und ist dort mit G AB (ω) identisch) Im ω Im ω Pole von G (av) Re ω Re ω Pole von G (ret) G (ret) AB (ω) analytisch für Imω 0 0 = C dω G (ret) AB (ω) ω ω i0 + Man kann die analytischen Eigenschaften von retardierter und avancierter Green-Funktion ausnutzen, um eine Relation zwischen ihren Real- und Imaginärteilen herzuleiten. (ω reell) (Pole von G (ret) AB (ω) unterhalb der reellen Achse, weiterer Pol bei ω = ω i0 + )

132 32 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN Im ω C Re ω (ret) Pole von G wegen G (ret) AB (ω) [A, B] ε ω 0 = dω G (ret) AB (ω) ω ω i0 + für ω folgt: Ausnutzen der Dirac-Identität 0 = P dω G(ret) AB (ω) ω ω + iπg(ret) AB (ω ) somit: G (ret) AB (ω) = i π P dω G(ret) AB (ω ) ω ω und: Re G (ret) AB (ω) = π P Im G (ret) AB (ω) = π P dω ImG(ret) AB (ω ) ω ω Re G(ret) AB (ω ) dω ω ω avancierte Green-Funktion: analoge Relationen (ω reell) (Kramers-Kronig-Relationen) Fourier-Transformation G(ω) = dt e iωt G(t) G(t) = 2π dω e iωt G(ω) ω reelle Variable! Fourier-Transformation nur für G (ret) AB (ω) und G (av) AB (ω)

133 5.5. RETARDIERTE UND AVANCIERTE GREEN-FUNKTION 33 es gilt: 2π dω e iωt ω ω ± i0 + = iθ(±t)e iω t Beweis (für oberes Vorzeichen): schon oben wurde gezeigt: iθ(t) = ω + i0 + also auch: = iθ(t) ω + i0 + direkter Beweis: Integrationswege: t > 0 t < 0 sei t > 0, Imω < 0 auf dem Integrationsweg dω e iωt 2π ω ω + i0 = dω e iωt + 2π C ω ω + i0 + = 2π 2πi( )res ω (e iωt ω ω ) = ie iω t sei t < 0, Imω > 0 auf dem Integrationsweg dω e iωt 2π ω ω + i0 = dω e iωt + 2π C ω ω + i0 = 0 + insgesamt: 2π zweites Vorzeichen: analog dω e iωt ω ω + i0 + = iθ(t)e iω t damit gilt: G (ret) AB (t) = 2π dω e iωt G (ret) AB (ω)

134 34 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN = dω e iωt dω S AB (ω ) 2π ω + i0 + ω = dω S AB (ω )( i)θ(t)e iω t = ( i)θ(t)2π S AB (t) = iθ(t) [A(t), B(0)] ε unter Ausnutzung der Homogenität der Green-Funktion: analog: G (ret) AB (t t ) = iθ(t t ) [A(t), B(t )] ε G (av) AB (t t ) = iθ(t t) [A(t), B(t )] ε 5.6 Linear Response, statischer Limes statischer Response auf statische Störung? Kubo-Formel: A t = A 0 + es muss gelten: daher sei λ B (t ) 0 für λ B (t ) = λ B e ηt dt λ B (t )G (ret) AB (t t ) t mit einen positiven Infinitesimal η (bzw. statischer Limes: η 0) dann gilt: A t A = = λ B e ηt = λ B e ηt = λ B e ηt G (ret) AB (iη) im Limes η 0 ist: dt G (ret) AB (t t )λ B e ηt dt G (ret) AB (t t ) e η(t t ) d(t t ) G (ret) AB (t t ) e iω(t t ) A t A = G (ret) AB (0) λ B mit ω = iη

135 5.6. LINEAR RESPONSE, STATISCHER LIMES 35 System z.zt. t = : H Erwartungswert A Beachte, dass hier die frequenzabhängige Green-Funktion gemeint ist! System z.zt. t = 0: H + dλ B B Erwartungswert A + G (ret) AB (0)dλ B Diese Schreibweise deutet an, dass das Ergebnis natürlich nur bis zu erster Ordnung in λ B gelten kann. also: A λ B = G (ret) AB (ω = 0) einschalt. (Störung langsam eingeschaltet) Vergleich mit Resultat für zeitunabhängige Störung: System: H Erwartungswert A System: H + dλ B B Erwartungswert A + A λ B dλ B linear response: A λ B = β B A β 0 dτ B(τ)A(0) weitere Auswertung mit Eigenzuständen von H: es ist: β 0 H m = E m m dτ B(τ)A(0) β = dτ 0 Z n e βh e Hτ Be Hτ m m A n m,n = β e βen dτe (En Em)τ n B m m A n Z m,n 0 falls E m = E n, ist: β e βen dτe (En Em)τ = βe βen 0 falls E m E n, ist:

136 36 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN e βen β 0 dτe (En Em)τ = e βen E n E m ( e β(e n E m) ) = e βem e βen E n E m β 0 dτ B(τ)A(0) = β Z E m=e n m,n e βen n B m m A n + Z mit (s.o.) E m E n m,n e βen e βem n B m m A n E n E m D AB = Z E m=e n m,n e βen m A n n B m ist der erste Terme durch βd AB gegeben mit dem rein imaginären Infinitesimal i0 + gilt für den zweiten Term: E m E n Z m,n = Z = Z damit ist: E m E n m,n m,n e βen e βem n B m m A n E n E m e βem e βen i0 + (E n E m ) n B m m A n e βem e βen i0 + (E n E m ) n B m m A n A λ B = β A B βd AB + G (ret) AB (ω = 0) Die Terme mit E m = E n können ergänzt werden, da der Nenner nie verschwinden kann. oder: denn: also: A λ B = A A ; B B ω=i0 + βd A A,B B ; B ω=i0 + = Z m,n e βem e βen i0 + (E n E m ) m n n B m

137 5.6. LINEAR RESPONSE, STATISCHER LIMES 37 und const.; B ω=i0 + = A; const. ω=i0 + = 0 D A A,B B = Z E m=e n m,n D A A,B B = D AB A B e βen m A A n n B B m im allgemeinen sind also die Antworten verschieden! es ist: A λ B = A D AB = A B λ B einschalt. betrachte System ohne Energieentartungen, d.h. E m = E n m = n dann ist D AB = Z E m=e n m,n und es folgt für T 0: D AB = 0 A 0 0 B 0 = A B e βen m A n n B m = e βen n A n n B n Z n Dies ist plausibel, denn in diesem Fall entwickelt sich der (nichtentartete) Grundzustand für t kontinuierlich in den (nichtentarteten) Grundzustand für t = 0, ohne dass sich Zustände kreuzen. Bei Systemen mit Entartung, sieht dies anders aus. Beispiel: verschobener harmonischer Oszillator ( H = ω 0 b b + ) + λ(b + b ) 2 zunächst direkte Berechnung von A / λ mit A = b + b definiere Änderung des Ortserwartungswerts bei Veränderung des äußeren linearen Potenzials.

138 38 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN c = b + λ/ω 0 [c, c ] = damit: ( H = ω 0 (c λ/ω 0 )(c λ/ω 0 ) + ) 2 = ω 0 (c c + ) 2 + λ2 /ω0 2 2λ 2 /ω 0 + λ(c + c 2λ/ω 0 ) also: ( H = ω 0 c c + ) 2 λ2 ω0 2 ONB von H: { n } mit n = (c ) n 0 / n!, Energien: E n = ω 0 (n+/2 λ 2 /ω 2 0) Z = n e βh n n=0 Z = e βen = (e βω 0 ) n e β(λ2 /ω 0 ω 0 /2) n=0 n=0 Ω = T ln Z = T ln( e βω 0 ) + ω 0 /2 λ 2 /ω 0 A = b + b = Ω λ = 2 λ ω 0 A λ = 2 Ω λ 2 = 2 ω 0 jetzt Auswertung gemäß A λ = β A 2 β 0 Chemisches Potenzial µ = 0 (Phononen). Bei trivialer Verallgemeinerung auf (unendlich großes) System entkoppelter Oszillatoren macht (groß)kanonische Gesamtheit Sinn. dτ A(τ)A(0) wegen [c, H] = ω 0 c ist Lc = ω 0 c und c(τ) = e Hτ ce Hτ = e τl c = e ω 0τ c c (τ) = e ω 0τ c also: A(τ)A(0) = (b + b )(τ)(b + b ) Beachte: c (τ) (c(τ))! = (c + c 2λ/ω 0 )(τ)(c + c 2λ/ω 0 ) = c(τ)c + c (τ)c + 4λ 2 /ω 2 0

139 5.6. LINEAR RESPONSE, STATISCHER LIMES 39 = e ω 0τ cc + e ω 0τ c c 4λ 2 /ω 2 0 denn: c = c(τ) = 0 β dτ e ω0τ = ( e βω 0 ) ω 0 also: 0 β β 0 dτ e ω 0τ = ω 0 (e βω 0 ) 0 dτ A(τ)A(0) = ω 0 ( ( e βω 0 ) cc + (e βω 0 ) c c ) + 4λ 2 /ω 2 0 = ω 0 ( + ) + 4λ 2 /ω 2 0 = 2 ω 0 + 4λ 2 /ω 2 0 und: ( β β A 2 dτ A(τ)A(0) = β 2 λ ) 2 2 4λ 2 /ω0 2 = 2 0 ω 0 ω 0 ω 0 Beispiel: verschobener harmonischer Oszillator ( H = ω 0 b b + )+λ(b+b ) = ω 0 (c c + ) 2 2 λ2 es gilt: A = b + b = 2 λ ω 0 zeitabhängige Störung: H t = H + f(t)(b + b ) Berechnung der retardierten Green-Funktion: ω 2 0 A λ = 2 ω 0 (c = b+λ/ω 0 ) A(t) = c(t) + c (t) 2 λ ω 0 c(t) = e iω 0t c [A(t), A(0)] = [c(t) + c (t) 2 λ ω 0, c + c 2 λ ω 0 ] = [c(t), c ] + [c (t), c] = e iω 0t e iω 0t G (ret) (t) = +iθ(t)(e iω0t e iω0t ) G (ret) (ω) = dt e iωt iθ(t)(e iω0t e iω0t ) = i dt ( e i(ω+ω0)t e ) i(ω ω 0)t 0 = i i(ω + ω 0 ) ei(ω+ω 0)t i 0 i(ω ω 0 ) ei(ω ω 0)t 0

140 40 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN für ω = iη mit η > 0 ist G (ret) (iη) = (iη + ω 0 ) + (iη ω 0 ) η 0: also: G (ret) (0) = 2 ω 0 G (ret) (0) = A λ in der Tat ist: D AA = Z E m=e n m,n e βen m A n n A m = e βen n A n n A n Z n n A n = n c + c 2 λ ω 0 n = 2 λ ω 0 also: D AA = n A n n A n = 4 λ2 ω 2 0 = A Bewegungsgleichung Heisenberg-Gleichung also: i d dt G(ret/av) AB (t) = i d dt [ iθ(±t) [A(t), B(0)] ε ] [ ] [ d = ± dt Θ(±t) [A(t), B(0)] ε iθ(±t) i d ] dt [A(t), B(0)] ε = δ(t) [A(t), B(0)] ε iθ(±t) [[A, H] (t), B(0)] ε i d dt A(t); B(0) (ret/av) = δ(t) [A, B] ε + [A, H] (t); B(0) (ret/av) Randbedingung: A(t); B(0) (ret/av) = 0 für t < 0/t > 0 [A, H] (t); B(0) (ret/av) : höhere Green-Funktion (Bewegungsgleichung der Green-Funktion)

141 5.7. BEWEGUNGSGLEICHUNG 4 Fourier-Transformation: A(t); B(0) (ret/av) A; B (ret/av) ω δ(t) i d dt ω Die höhere Green-Funktion ist i.allg. (nämlich wenn H nicht nur bilinear ist) aus mehr Erzeugern/Vernichtern aufgebaut als [A(t); B(0)] ε (ret/av). Bewegungsgleichung für frequenzabhängige Green-Funktion: ω A; B (ret/av) ω rein algebraisch! = [A, B] ε + [A, H] ; B (ret/av) ω Bewegungsgleichung für höhere Green-Funktion: ω [A, H] ; B (ret/av) ω Beachte, dass sowohl der Kommutator als auch der Kommutator/Antikommutator auftritt! = [[A, H], B] ε + [[A, H], H] ; B (ret/av) ω Dies ergibt eine Kette von immer komplexeren Bewegungsgleichungen. In Spezialfällen kann die Hierarchie der Bewegungsgleichungen abbrechen; dann liefert das Lösen der Bewegungsgleichungen ein einfaches und elegantes Verfahren zur Bestimmung von Green- Funktionen. retardierte und avancierte Green-Funktion erfüllen dieselbe Bewegungsgleichung der Unterschied liegt in den spezifischen Randbedingungen ω ω ± i0 + retardierte/avancierte Green-Funktion die Green-Funktion G AB (ω) ist die analytische Fortsetzung von G (ret/av) AB (ω) in die obere bzw. untere komplexe Halbebene, also: ω C \ R Green-Funktion G AB (ω) Beispiel: Ein-Teilchen-Green-Funktion G αβ (ω) = c α ; c β ω

142 42 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN ε = ε! Bewegungsgleichung: ω c α ; c β ω = [c α, c β ] ε + [c α, H] ; c β ω betrachte bilinearen Hamiltonian ohne Wechselwirkung: H = αβ t αβ c α c β dann ist: [c α, H] = α β (t α β µδ α β )[c α, c α c β ] für ε = (Fermionen) und ε = (Bosonen) ist gleichermaßen: also: [c α, c α c β ] = δ αα c β [c α, H] = β (t αβ µδ αβ )c β und ω c α ; c β ω = δ αβ + β (t αβ µδ αβ ) c β ; c β ω Matrixschreibweise: ωg(ω) = + (t µ)g(ω) Lösen der Gleichung durch Matrixinversion: G(ω) = ω + µ t retardierte/avancierte Green-Funktion: G(ω) (ret/av) = ω ± i0 + + µ t Die Kette der Bewegungsgleichungen bricht also ab. Wegen des fehlenden Wechselwirkungsterms tritt keine neue höhere Green-Funktion auf. (Green-Funktion für ω C \ R) Diese besonders einfache Form für die Green- Funktion ohne Temperaturabhängigkeit und mit trivialer µ-abhängigkeit ist eine Konsequenz der nicht betrachteten Wechselwirkung.

143 5.7. BEWEGUNGSGLEICHUNG 43 unitäre Transformation der Ein-Teilchen-ONB: α = U αα α c α = U αα c α α α damit: c α ; c β ω = α U αα c α; β U ββ c β ω = αβ U α α c α; c β ωu ββ also: G (ω) = U G(ω)U Konsistenzcheck: G (ω) = = ω + µ t = U (ω + µ t)u = U Die Ein-Teilchen-Green-Funktion transformiert sich bei unitärer Transformation der ONB genauso wie die Hopping-Matrix t. ω + µ U tu ω + µ t = U ω + µ t U = U G(ω)U U Beachte: /(ABC) = (/C)(/B)(/A) für Matrizen A, B, C. sei U die Transformation, die t diagonalisiert: (bei translationsinvariantem Gitter: Fourier-Transformation i k) ε = U tu diagonal G diagonal mit Elementen G m (ω) = ω + µ ε m retardierte Green-Funktion: G (ret) m (ω) = G m (ω + i0 + ) = Ein-Teilchen-Spektraldichte: ω + i0 + + µ ε m A m (ω) = π ImG(ret) m (ω) = δ(ω + µ ε m)

144 44 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN Bilinearität der Spektraldichte S AB (ω) bzgl. A, B Die übliche Bezeichnung für die Ein-Teilchen- Spektraldichte: A... (ω) A αβ (ω) = m U αm δ(ω + µ ε m )U mβ 5.8 Selbstenergie und Dyson-Gleichung Hamiltonian H = H 0 + H : H = t αβ c α c β + αβ 2 αβγδ Ein Wechselwirkungsterm im Hamiltonian führt i.allg. dazu, dass die Kette der Bewegungsgleichungen nicht mehr abbricht, dass also die höhere Green-Funktion sich nicht durch die Ausgangs-Green-Funktion ausdrücken lässt. Für die Ein-Teilchen- Green-Funktion kann dieses Problem auf die sogenannte Selbstenergie verschoben werden, die hier kurz diskutiert werden soll. Die volle Bedeutung der Selbstenergie zeigt sich aber erst in Zusammenhang mit der diagrammatischen Störungstheorie. U αβγδ c α c β c δc γ Ein-Teilchen-Green-Funktion c α ; c β ω, Bewegungsgleichung: ω c α ; c β ω = δ αβ + [c α, H 0 ] ; c β ω + [c α, H ] ; c β ω (H = H 0 µ ˆN + H ) es ist: [c α, H] = γ (t αγ µδ αγ )c γ Dieser Term bereitet also keine Schwierigkeiten und führt wieder auf die Ein-Teilchen- Green-Funktion. (Def.) Selbstenergie Σ αβ (ω)

145 5.8. SELBSTENERGIE UND DYSON-GLEICHUNG 45 [c α, H ] ; c β ω = γ Σ αγ (ω) c γ ; c β ω für ω C \ R retartierte Selbstenerige Σ (ret) αβ (ω) = Σ αβ(ω + i0 + ) avancierte Selbstenerige Σ (av) αβ (ω) = Σ αβ(ω i0 + ) damit ist: ω c α ; c β ω = δ αβ + γ (t αγ µδ αγ ) c γ ; c β ω + γ Σ αγ (ω) c γ ; c β ω Matrix-Schreibweise (Matrix G(ω) mit Elementen G αβ (ω) = c α ; c β ω): auflösen: ω G(ω) = + (t µ) G(ω) + Σ(ω) G(ω) G(ω) = ω + µ t Σ(ω) H = 0 G(ω) = G (0) (ω) = mit G (0) = /(ω + µ t) folgt: also: G(ω) = G (0) (ω) Σ(ω) Σ(ω) = G (0) (ω) G(ω) ω + µ t Σ(ω) = 0 Die Selbstenergie beschreibt also sämtliche Wechselwirkungseffekte. Die wechselwirkende Green-Funktion erscheint als freie Green- Funktion eines effektiven Hamiltonians H (eff) 0, der aus H 0 durch die Ersetzung t t + Σ(ω) hervorgeht. Diese Sichtweise ist allerdings wegen der ω-abhängigkeit und vor allem wegen der für nicht-reelle ω vorliegenden Nicht- Hermitizität von H (eff) 0 problematisch. (alternative Definitionsmöglichkeit für die Selbstenergie) Multiplikation mit G (0) (von links) und mit G (von rechts): und damit: G (0) (ω)σ(ω)g(ω) = G(ω) G (0) (ω)

146 46 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN iterieren: G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) (Dyson-Gleichung) G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω) ( G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) ) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g (0) (ω) + Die Entwicklung zeigt, dass sich die volle Green-Funktion aus der freien Green-Funktion durch wiederholte Wechselwirkungsprozesse ergibt. Dies hat in der Diagrammtheorie eine tiefere Bedeutung. Verhalten von Σ(ω) für große ω? es ist: k = 0: k = : G αβ (ω) = k=0 [c α, c β ] ε = δ αβ [L k c α, c β ] ε ω k+ Lc α = [c α, H 0 ] + [c α, H ] es ist (für ε = ±): [c α, H 0 ] = γ (t αγ µδ αγ )c γ und: [c α, H ] = (U αβδγ + εu βαδγ )c β 2 c γc δ βγδ und somit: definiere: [[c α, H ], c β ] ε = (U αγβδ + εu γαβδ )c γc δ Übung γδ G αβ (ω) = δ αβ ω + ω 2 t αβ µδ αβ + (U αγβδ + εu γαβδ ) c γ c δ + O(ω 3 ) γδ

147 5.8. SELBSTENERGIE UND DYSON-GLEICHUNG 47 Σ (HF) αβ = (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ γδ war im Zusammenhang mit statischer Mean-Field-Theorie als effektives Potenzial im Referenzsystem eingeführt worden Σ (HF) αβ damit ist: G(ω) = ω + ω 2 ( t µ + Σ (HF) ) + O(ω 3 ) und es folgt: also: Σ(ω) = ω + µ t G(ω) = ω + µ t ( ω + ω ) 2 t µ + Σ (HF) + O(ω 3 ) ω = ω + µ t ( + ω ) t µ + Σ (HF) + O(ω 2 ) = ω + µ t ω ( ω ( t µ + Σ (HF)) + O(ω 2 ) ) Σ(ω) = Σ (HF) + O(ω ) statische Mean-Field-Theorie approximiert also die Selbstenergie durch ihren statischen Hochfrequenzanteil Σ (HF) man kann zeigen: Σ(ω) analytisch in C \ R, Pole. Ordnung auf R Definition der retardierten/avancierten Selbstenergie sinnvoll Kramers-Kronig-Relationen für die retardierte Selbstenergie: Für den Beweis hat man lediglich G AB (ω) durch Σ (ret) (ω) Σ (HF) zu ersetzen. ReΣ (ret) (ω) = Σ (HF) π P dω ImΣ(ret) (ω ) ω ω ImΣ (ret) (ω) = π P dω ReΣ(ret) (ω ) Σ (HF) ω ω (falls Σ (HF) reell)

148 48 KAPITEL 5. GREEN-FUNKTIONEN Analoge Relationen gelten für die avancierte Selbstenergie.

149 Kapitel 6 Einfache Anwendungen Hier sollen einige Anwendungen des Formalismus der Green-Funktionen vorgestellt werden, um zu zeigen, wie man (lösbare) Probleme effizient lösen kann und einfache Approximationen (für nicht lösbare Probleme) konstruiert werden können. Im Vordergrund stehen dabei die Bewegungsgleichungsmethode und Entkopplungsschemata. Weitere methodische Zugänge zur Berechnung von Green- Funktionen (Pfadintegral, Diagrammtechnik, Funktionaltheoretische Methoden) werden erst später diskutiert. 6. Atomares Hubbard-Modell atomares Hubbard-Modell (Fermionen, ε = ): H = ε 0 c σ c σ + U σ 2 n σ n σ σ 49

150 50 KAPITEL 6. EINFACHE ANWENDUNGEN Ein-Teilchen-Green-Funktion: G σ (ω) = c σ ; c σ ω Kommutator: (n σ = c σ c σ) [c σ, H] = (ε 0 µ)c σ + Uc σ n σ Bewegungsgleichung: ωg σ (ω) = + (ε 0 µ)g σ (ω) + UΓ σ (ω) höhere Green-Funktion Γ σ (ω) = c σ n σ ; c σ ω Bewegungsgleichung: ωγ σ (ω) = [c σ n σ, c σ ] + + [c σ n σ, H] ; c σ ω Streng genommen ist ein Modell H = i H i voneinander unabhängiger atomarer Modelle H i mit i =,..., L zu betrachten, wobei L, um sinnvollerweise Statistik für T > 0 diskutieren zu können bzw. um den großkanonischen Dichteoperator als (gemischten) Zustand des Systems rechtfertigen zu können. Die Ergebnisse sind aber trivial von H i auf H = i H i zu übertragen. = n σ + (ε 0 µ) c σ n σ ; c σ ω + U c σ n 2 σ; c σ ω = n σ + (ε 0 µ + U)Γ σ (ω) Kette der Bewegungsgleichungen bricht ab! also: Γ σ (ω) = n σ ω + µ ε 0 U einsetzen: n σ ωg σ (ω) = + (ε 0 µ)g σ (ω) + U ω + µ ε 0 U mit Partialbruchzerlegung folgt: G σ (ω) = n σ n σ + ω + µ ε 0 ω + µ ε 0 U

151 6.. ATOMARES HUBBARD-MODELL 5 Die Green-Funktion und damit die Spektraldichte sind also abhängig von der Besetzung der Störstelle und von der Temperatur (über den Erwartungswert n σ )! Solche Abhängigkeiten sind durch die Wechselwirkung induziert und in einem freien System nicht möglich, wo die Form der Spektraldichte stets unverändert bleibt. Dies ist typisch für Viel-Teilchen-Systeme. Ein-Elektronen-Spektraldichte: A σ (ω) = π ImG σ(ω + i0 + ) A σ (ω) = ( n σ ) δ(ω + µ ε 0 ) + n σ δ(ω + µ ε 0 U) Es bleibt noch die Bestimmung des Erwartungswerts. Spektaltheorem (mit Fermi-Funktion f(ω) = /(exp(βω) + )): c σ c σ = dω f(ω)a σ (ω) also: n σ = ( n σ ) f(ε 0 µ) + n σ f(ε 0 µ + U) Dies sind für σ =, zwei lineare Gleichungen für die Unbekannten n σ und n σ. lösen: n σ = n σ = f(ε 0 µ) + f(ε 0 µ) f(ε 0 µ + U) G σ (ω) = G σ (ω) Keine magnetische Ordnung in einem endlichen oder sogar atomaren System, daher spinunabhängige Green-Funktion. spinunabhängig Interpretation der Spektraldichte A(ω) = ( n σ ) δ(ω + µ ε 0 ) + n σ δ(ω + µ ε 0 U) Ein-Elektronen-Spektraldichte: Photoemission (PES), inverse Photoemission (IPE)

152 52 KAPITEL 6. EINFACHE ANWENDUNGEN allgemein ist: I R (ω) = eβω e βω ε S RR (ω) und I R ( ω) = e βω ε S RR (ω) hier: (R = c, Fermionen) I IPE (ω) = für T = 0: eβω e βω + A(ω) und I PES( ω) = e βω + A(ω) I IPE (ω) = Θ(ω)A(ω) und I PES (ω) = Θ(ω)A( ω) also: ω > 0: IPE-Spektrum und ω < 0: PES-Spektrum µ < ε 0 n σ = 0 A(ω) = δ(ω + µ ε 0 ) ω = ε 0 µ > 0 nur IPE-Spektrum µ > ε 0 + U n σ = A(ω) = δ(ω + µ ε 0 U) ω = ε 0 µ + U < 0 nur PES-Spektrum ε 0 < µ < ε 0 + U n σ = /2 A(ω) = (/2)δ(ω + µ ε 0 ) + (/2)δ(ω + µ ε 0 U) IPE- und PES-Spektrum Berechnung der Selbstenergie: Σ(ω) = G (0) (ω) G(ω) = ω + µ ε 0 nach kurzer Rechnung: Σ(ω) = U n σ + ( ) n σ n σ + ω + µ ε 0 ω + µ ε 0 U U 2 n σ ( n σ ) ω + µ ε 0 U( n σ )

153 6.2. HUBBARD-I-NÄHERUNG UND MOTT-ISOLATOR 53 Der erste Term ist die Hartree-Fock- Selbstenergie. Der zweite Term ist von der Ordnung O(/ω). Der Imaginärteil der retardieren Selbstenergie ist, bis auf den Faktor /π, eine Delta-Funktion: δ(ω + µ ε 0 U( n σ )). Eine retardierte Selbstenergie, deren Imaginärteil aus einer endlichen Anzahl von Delta-Peaks besteht, ist typisch für endliche Systeme. Fermi-Flüssigkeitsverhalten, d.h. ImΣ(ω + i0 + ) ω 2 kann sich erst im thermodynamischen Limes ergeben. 6.2 Hubbard-I-Näherung und Mott-Isolator Idee der Hubbard-I-Näherung: Die Einfachheit der Rechnung für das atomare Problem verführt zu einer einfachen Näherung für das entsprechende Gitter-Modell. freie (U = 0) Ein-Teilchen-Green-Funktion des Hubbard-Modells: G (0) (ω) = ω + µ t volle Green-Funktion: G(ω) gegeben mittels Dyson-Gleichung: G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) Approximation: Σ atom.,ij (ω) = δ ij Σ atom. (ω) Σ atom (ω) = U n σ + wobei ε 0 = t ii Σ(ω) Σ atom. (ω) U 2 n σ ( n σ ) ω + µ ε 0 U( n σ ) selbstkonistente Bestimmung von n σ : n σ = π f(ω) ImG ii (ω + i0 + ) mit G ii (ω) = (G(ω)) ii

154 54 KAPITEL 6. EINFACHE ANWENDUNGEN Idee der Cluster-Störungstheorie: Es fragt sich natürlich, wie eine solche Näherung zu rechtfertigen ist. Antwort: Die Hubbard-I-Näherung kann als erster Schritt in einem systematischen Verfahren verstanden werden, das letztlich zur exakten Lösung für G(ω) konvergieren muss. Verallgemeinerung der Hubbard-I-Näherung für endliche Cluster: mit G(ω) = G (0) (ω) Σ(ω) Σ(ω) Σ cluster (ω) Σ cluster (ω) ist die Selbstenergie eines Systems enkoppelter Cluster: Hubbard Modell System entkoppelter Cluster Σ cluster (ω) kann exakt berechnet werden: Σ cluster (ω) = G (0) cluster (ω) G cluster (ω) Hubbard-Modell: H = H 0 (t) + H (U) Es versteht sich, dass G (0) cluster (ω), bzw. G cluster (ω) für ein endliches (und nicht zu großes) System exakt aus der Lehmann- Darstellung berechenbar sind, wenn nötig mit numerischer Bestimmung der Eigenenergien und Eigenzustände des einzelnen Clusters. Cluster-System: H = H 0 (t )+H (U) mit t = t V, V : Inter-Cluster-Hopping einsetzen:

155 6.2. HUBBARD-I-NÄHERUNG UND MOTT-ISOLATOR 55 also: G(ω) = G (0) (ω) G (0) cluster (ω) + G cluster (ω) = ω + µ t (ω + µ t ) + G cluster (ω) = G cluster (ω) t + t G(ω) = G cluster (ω) V korrekt im Limes großer Cluster N c (N c : Anzahl Plätz pro Cluster) N c = : Hubbard-I-Näherung Ein Nachteil des Verfahrens ist, dass offensichtlich (für N c und N c ) die Translationssymmetrie der Green-Funktion durch die Näherung gebrochen wird. Denkbar sind aber Verfahren, die direkt im reziproken Raum arbeiten. Offen ist weiterhin, wie das Verfahren (außer für N c ) selbstkonsistent gemacht werden kann. Dies ist wichtig, um z.b. magnetische Ordnung beschreiben zu können. Ohne Selbstkonsistenz können magnetische Phasen nicht erfasst werden, da G(ω) aus der Cluster-Green-Funktion für N c < konstruiert wird, und für N c < keine spontane Symmetriebrechung möglich ist. Diskussion für N c = : mit der Hubbard-I-Näherung ist: Σ k (ω) = e ik(r i R j ) Σ ij (ω) = Σ atom. (ω) L ij k-unabhängige Selbstenergie in dieser Näherung G k (ω) = = G (0) k Σk (ω) ω + µ ε(k) U n σ U2 n σ ( n σ ) ω+µ U( n σ )

156 56 KAPITEL 6. EINFACHE ANWENDUNGEN (mit ε 0 = t ii = k ε(k) = 0 durch Wahl des Energie-Nullpunkts) mit Partialbruchzerlegung folgt: mit G k (ω) = α (k) ω ω (k) + α 2(k) ω ω 2 (k) ω,2 (k) = 2 (U + ε(k)) 4 (U ε(k))2 + U n σ ε(k) µ α,2 (k) = ω,2(k) U( n σ ) ω 2 (k) ω (k) beachte: exaktes Resultat für Grenzfälle: U = 0 (Band-Limes) und ε(k) = ε 0 = 0 (atomarer Limes) und n σ = 0 n σ = vereinfachte Diskussion für U : also: ω (k) = ( n σ )ε(k) µ ω 2 (k) = U + n σ ε(k) µ α (k) = n σ = α 2 (k) G k (ω) = n σ ω + µ ( n σ )ε(k) + n σ ω + µ n σ ε(k) + U lokale Spektraldichte: A ii (ω) = A k (ω) = dz ρ 0 (z)a z (ω) L k wobei ρ 0 (z) = δ(z ε(k)) L k... denn die k-abhängigkeit von A k (ω) ist nur mittels z = ε(k) gegeben. also: A ii (ω) = dz ρ 0 (z) ( n σ ) δ(ω + µ ( n σ )z) + dz ρ 0 (z) n σ δ(ω + µ n σ z + U) und somit:

157 6.2. HUBBARD-I-NÄHERUNG UND MOTT-ISOLATOR 57 A ii (ω) = dz ρ 0 (z) δ ( z ω + µ ) n σ + δ ( z ω + µ U n σ ) also: ( ) ( ) ω + µ ω + µ U A ii (ω) = ρ 0 + ρ 0 n σ n σ U=0 U groß A( ω) A( ω) ~U <n> klein 0 ω 0 ω A( ω) A( ω) ~U <n> groß 0 Viel-Teilchen-Effekte: band-narrowing ω Satellit oberes und unteres Hubbard-Band füllungsabhängige Zustanddichte spectral-weight transfer temperaturabhängige Zustanddichte (via n σ ) korrelationsinduzierter Mott-Isolator bei Halbfüllung n σ = /2 für µ = U/2 ( ) ω + U/2 A ii (ω) = ρ 0 /2 n σ = 0, n σ = : Band-Isolator n σ = /2: Mott-Isolator ( ) ω U/2 + ρ 0 = 0 für ω = 0 /2 0 ω

158 58 KAPITEL 6. EINFACHE ANWENDUNGEN Dies ist eine qualitativ korrekte Vorhersage der Hubbard-I-Näherung, die in besseren Approximationen bestätigt werden kann. Ein Defekt der Näherung ist aber, dass der Mottisolierende Zustand bei Halbfüllung für alle U, also insbesondere für kleine U 0 bestehen bleibt. Plausibler ist, dass es einen kritischen Wert U c > 0 gibt, an dem der Übergang zum Metall stattfindet. Die Hubbard-I-Näherung liefert (fälschlicherweise) U c = 0. Resultate der Cluster-Störungstheorie: (D. Senechal, D. Perez, M. Pioro-Ladriere, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 522) Hubbard-Modell, D =, n.n.-hopping t, U = 4t, N c = 2 n = : n = 5/6:

159 6.2. HUBBARD-I-NÄHERUNG UND MOTT-ISOLATOR 59 n = : Mott-Isolator, n : Metall freie Dispersion: ε(k) = 2t cos k A: Spinon, B: Holon (D: Spiegelband), C: Hubbard-Band (kein LL-Feature!)