Fortgeschrittene Quantenmechanik

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1 Fortgeschrittene Quantenmechanik Sommersemester 2004 H. G. Evertz

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3 Inhaltsverzeichnis I Nichtrelativistische Vielteilchenphysik 3 Zweite Quantisierung 4. Unterscheidbare Teilchen Identische Teilchen Teilchen-Ununterscheidbarkeit: Konsequenzen für Operatoren Konstruktion total (anti-)symmetrischer Zustände Normierte total (anti-)symmetrische Basis-Zustände Besetzungszahldarstellung Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Observable in 2. Quantisierung Einteilchen-Operatoren Zweiteilchen-Operatoren Transformationen zwischen Basissystemen. Feldoperatoren Transformationen zwischen Basissystemen Feldoperatoren Observable ausgedrückt in Feldoperatoren Bewegungsgleichung für Feldoperatoren Impulsraum Fouriertransformation Basistransformation für Erzeuger und Vernichter Vielteilchenoperatoren im Impulsraum Spin Dichtematrix und endliche Temperatur Freie Fermionen Grundzustand Endliche Temperatur Einteilchen-Korrelationsfunktion (Greensfunktion) bei T = iii

4 INHALTSVERZEICHNIS.9.4 Paarverteilungsfunktion bei Temperatur Null Freie Bosonen Korrelationen und Greensfunktionen Schrödinger-, Heisenberg- und Dirac-Bild Schrödingerbild Heisenbergbild Dirac-Bild = Wechselwirkungsbild (= interaction picture) Linear Response Beispiele Magnetische Suszeptibilität Freie Fermionen Korrelationsfunktionen Spektraldarstellung in der Zeit Spektraldarstellung in der Energie Spektraldichte Fluktuations-Dissipationstheorem Spektraldarstellung der Spektraldichte Spektraltheorem Zustandsdichte Halbseitige Fouriertransformation (Laplace-Transf.) Spektraldarstellung von G ret,η Kramers-Kronig-Relationen (= Dispersionsrelationen) Bewegungsgleichungen für Greensfunktionen Wechselwirkende Systeme II Relativistische Wellengleichungen 63 3 Auszüge aus der Speziellen Relativitätstheorie Notation und Definitionen Einheiten Relativistische Notation Elektromagnetisches Feld Die Lorentz-Gruppe Relativistische Dynamik iv

5 INHALTSVERZEICHNIS 4 Die Klein-Gordon-Gleichung 77 5 Die Dirac-Gleichung Aufstellen der Dirac-Gleichung (DG) Kovariante Form der Dirac-Gleichung Eigenschaften der γ-matrizen Lösungen der Dirac-Gleichung für ein ruhendes freies Teilchen Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung Bedingungsgleichung für Forminvarianz Allgemeine Form der Spinortransformation Lorentzboost Drehung um eine Achse Drehimpuls Lösungen der freien Dirac-Gleichung Lösungen in beliebigem Bezugssystem Freie DG im Impulsraum Projektionsoperatoren für Energie und Spin Das Wasserstoffatom Winkelanteil der Lösung Radiale Anteile der Lösung Energieniveaus Korrekturen in der QED DG für andere Potentiale: Foldy-Wouthuysen-Transformation Symmetrien der Dirac-Gleichung Kontinuierliche Symmetrien Paritätstransformation Raumspiegelung Ladungskonjugationen Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) III Quantenfeldtheorie 6 Kanonische Quantenfeldtheorie 2 6. Lagrange-Formalismus Lagrangesche Mechanik (Erinnerung) Bewegungsgleichungen in der Feldtheorie v

6 INHALTSVERZEICHNIS 6..3 Beispiel: Einteilchen - Klein-Gordon-Gleichung Noethersches Theorem Zweite Quantisierung Erinnerung an die 2. Quantisierung der Schrödingergleichung (Kap. ) Verallgemeinerung Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes Ortsraum Impulsraum Normalordnung Propagatoren Φ 4 -Modell: Störungstheorie Feynmanregeln Regularisierung Renormierung Trivialität Quantisierung des freien Dirac-Feldes Quantisierung des Strahlungsfeldes Bemerkungen zur Quantenelektrodynamik Pfadintegrale und Erzeugende Funktionale 4 7. Feynmansches Einteilchen-Pfadintegral Vielteilchen-Pfadintegral in Operator-Darstellung Vielteilchen-Pfadintegral im Ortsraum Vielteilchen-Pfadintegral mit kohärenten Zuständen Zustandssummen und erzeugende Funktionale Klassische Statistische Physik Quantenmechanik Gittereichtheorien vi

7 Einleitung Die Vorlesung Fortgeschrittene Quantenmechanik besteht aus drei großen Teilen. Im ersten Teil Nichtrelativistische Teilchenphysik behandeln wir zunächst die Beschreibung von quantenmechanischen Systemen vieler Teilchen mittels der sogenannten 2. Quantisierung. Als Beispiele dienen uns unter anderem freie Fermionen und Systeme wechselwirkender Spins. Wir besprechen die Korrelationen und Greenschen Funktionen solcher Teilchen im Rahmen des Linear Response -Formalismus. Dieser Teil der Vorlesung ist auch Grundlage für weiterführende Physik, z.b. der Theoretischen Festkörperphysik einschließlich aktueller Forschung. Im zweiten Teil der Vorlesung wird die Quantenmechanik einzelner relativistischer Teilchen besprochen. Nach kurzen Auszügen aus der speziellen Relativitätstheorie behandeln wir dort die Klein-Gordon-Gleichung, welche ein spinloses relativistisches Teilchen beschreibt, und dann ausführlich die grundlegende Dirac-Gleichung für Spin- Teilchen wie das Elektron. Die Dirac-Gleichung werden wir im freien Fall und für das Wasserstoffatom explizit 2 lösen. Die dann behandelten Symmetrien der Dirac-Gleichung geben wichtige Auskunft über die grundlegenden physikalischen Eigenschaften der Welt. Im dritten Teil, Quantenfeldtheorie, geht es vor allem um die Beschreibung relativistischer Vielteilchensysteme, also um die Synthese der ersten beiden Teile der Vorlesung. Dazu behandeln wir zunächst den älteren Zugang, die sogenannte kanonische Quantenfeldtheorie im Lagrange-Formalismus. Wir besprechen ausführlich den einfachsten Fall, die 2. Quantisierung der Klein-Gordon-Gleichung, und in kürzerer Form diejenige der Dirac-Gleichung und der elektromagnetischen Strahlung. Als Synthese ergibt sich schließlich die Quantenelektrodynamik. Der alternative, modernere Zugang zur Vielteilchenphysik über Pfadintegrale bildet den Abschluß der Vorlesung. Wir werden sehen, daß alle bisher behandelten Teilgebiete, von der nichtrelativistischen Einteilchen-Quantenmechanik bis zur relativistischen Vielteilchenphysik, und sogar einschließlich der statistischen Physik, hier in einem gemeinsamen Formalis-

8 INHALTSVERZEICHNIS mus anschaulich behandelt werden können. Dieser Pfadintegralzugang ist auch Grundlage eines großen Teils der aktuellen physikalischen Forschung sowohl in der Festkörper- als auch in der Elementarteilchenphysik. In dieser zweistündigen Vorlesung können viele Teile dieser sehr umfangreichen Gebiete nur sehr knapp besprochen werden. Andere sehr interessante Physik wird nur kurz erwähnt oder musste ganz wegfallen. Für weiterführende Studien folgt daher hier eine Auswahl aus der Literatur. Empfohlene Literatur: Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (Für Teile I, II, III) Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Teil 7: Viel-Teilchen-Theorie (Für Teil I) Negele, Orland: Quantum Many Particle Physics (Für Teile I, III (Festkörper)) Messiah: Quantenmechanik 2. (Für Teil II) Strange: Relativistic Quantum Mechanics (Für Teile II, III (Festkörper) ) Ramond: Field Theory, A Modern Primer (Für Teil III) Kaku: Quantum Field Theory (Für Teile II, III) Ryder: Quantum Field Theory (Für Teile II, III) Itzykson, Zuber: Quantum Field Theory (Klassiker. Für Teile II, III) 2

9 Teil I Nichtrelativistische Vielteilchenphysik 3

10 Kapitel Zweite Quantisierung In der Quantenmechanik I wurde die Physik eines einzelnen Teilchens behandelt. Im allgemeinen möchte man aber gleichzeitig viele miteinander wechselwirkende Teilchen betrachten. Wir werden dazu nun die Quantenmechanik auf die Beschreibung vieler Teilchen verallgemeinern. Der Formalismus dafür ist die sogenannte zweite Quantisierung. Sie berücksichtigt insbesondere die Symmetrie der Wellenfunktion von identischen Teilchen, z.b. Elektronen, Photonen, identischen Atomen. Der Name 2. Quantisierung ist etwas irreführend. Im wesentlichen geht es um die geeignete Symmetrisierung und Umnumerierung des Vielteilchen-Zustandsraumes. Dabei stellt sich eine Beschreibung mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren als günstig heraus, ähnlich denjenigen des harmonischen Oszillators, wobei hier nun formal Teilchen erzeugt oder vernichtet werden. Man gelangt so zur sogenannten Besetzungszahldarstellung. Andere Formulierungen, z.b. über Pfadintegrale, werden wir gegen Ende der Vorlesung kennenlernen. Eine erste Einführung zum Thema finden Sie auch in der Vorlesung QM I, Kapitel 7: Identische Teilchen. Die 2. Quantisierung ist Grundlage für weiterführende Physik, wie zum Beispiel der Theoretischen Festkörperphysik einschließlich aktueller Forschungegebiete. Wir werden in diesem Kapitel zunächst Basiszustände von Vielteilchensystemen aufbauen, und dabei zur Besetzungszahldarstellung gelangen. In dieser werden wir dann auch die wichtigsten Operatoren im Vielteilchenraum konstruieren. 4

11 Kapitel. Zweite Quantisierung. Unterscheidbare Teilchen Zunächst betrachten wir ein System von unterscheidbaren quantenmechanischen Teilchen, die wir zusammen beschreiben wollen. Die Teilchen seien numeriert:, 2,... N. Die Numerierung wird einmal vorgegeben und bleibt dann fest. H (α) Ein Teilchen sei der Hilbertraum des Teilchens α, mit einer Basis i (α), wie in der QM I kennengelernt. Die Basis besteht wie gewohnt aus Eigenzuständen eines vollständigen Systems von Observablen. Der (Multi-)Index i steht dabei für alle Quantenzahlen, z.b. für Ort und Spin. Die Basis sei orthonormiert: (α) i j (α) = δ ij (oder = δ(i j)) und vollständig: i (α) i i (α) = Der N-Teilchen-Hilbertraum ist das Produkt mit der Basis H N = H () H (2) (N) Teilchen N H Ein Teilchen i () i 2 (2) i N (N) Teilchen N =: i i 2... i N }{{} In dieser Notation erfolgt die Teilchennumerierung durch die Position im Ket-Vektor. Der Ausdruck i N steht weiterhin für ein Teilchen im Zustand i N. Ein allgemeiner Zustand wird durch Entwicklung nach obiger Basis beschrieben: ψ = c i...i N i... i N i...i N Die Schrödinger-Gleichung lautet wie gewohnt i t ψ = Ĥ ψ 5

12 Kapitel. Zweite Quantisierung.2 Identische Teilchen Wir beschreiben nun ein System von identischen quantenmechanischen Teilchen, z.b. Elektronen, Photonen oder Atome gleicher Art. Wir werden sehen, daß wir dazu die Vielteilchen- Wellenfunktion geeignet symmetrisieren müssen. Für Bosonen wird sie total symmetrisch unter Teilchenvertauschung sein, und für Fermionen total antisymmetrisch. Def. Identische Teilchen: Teilchen, die unter gleichen Bedingungen durch keine Messung voneinander unterschieden werden können. Weil identische Teilchen, die miteinander wechselwirken, quantenmechanisch ununterscheidbar sind, gilt Die Vertauschung von identischen Teilchen hat keine beobachtbaren Konsequenzen! Def. Transpositionsoperator ˆP αβ : vertauscht Quantenzahlen der Teilchen α und β ˆP αβ i i 2... i α... i β... := i i 2... i β... i α... Der Zustand i enthält Information über den Platz x des Teilchens; also vertauschen hier die Teilchen α und β auch ihre Plätze. ( Achtung: Hier werden die Teilchen noch als numeriert behandelt!) Vertauschung ist unbeobachtbar Zustand ändert sich nur um eine Phase ˆP αβ ψ = e iλ ψ Zweifache Vertauschung führt wieder zum Ausgangszustand zurück: ˆP 2 αβ = e 2iλ = ˆP αβ ψ = ± ψ Anmerkung: In zwei Dimensionen kann man Teilchen auf verschiedene Weisen vertauschen, wenn ein weiteres Objekt γ existiert. ˆP 2 gilt dann nicht. Konsequenz ist u.a. der Fraktionale Quanten-Hall-Effekt. (s.a. QM I, Kapitel über Anyonen) α γ β 6

13 Kapitel. Zweite Quantisierung Bei N Teilchen gibt es N! mögliche Vertauschungen ˆP αβ, die à priori verschiedene Eigenwerte ± haben könnten. Es zeigt sich experimentell, daß (bis auf Anyonen in zwei Dimensionen) nur zwei Arten von ununterscheidbaren Teilchen beobachtet werden: Bosonen: ˆPαβ ψ = + ψ α, β : total symmetrisch Fermionen: ˆPαβ ψ = ψ α, β : total antisymmetrisch Im Rahmen der Quantenfeldtheorie (QFT) kann man unter sehr allgemeinen Annahmen (Lokalität, Kausalität, Lorentzinvarianz) das Spin-Statistik-Theorem zeigen: Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen (z.b. Photon, Phonon, Graviton... ) Teilchen mit halbzahligen Spin sind Fermionen (z.b. Elektronen, Quarks,... ).2. Teilchen-Ununterscheidbarkeit: Konsequenzen für Operatoren Im Raum der total (anti-)symmetrischen Zustände ψ ɛ ˆP ψ ɛ = ɛ ψ ɛ, ɛ = ± (Index αβ bei ˆPαβ weggelassen) gilt für beliebige Operatoren Â: ɛ ϕ ˆP  ˆP ψ ɛ ɛ ˆP ϕ  ˆP ψ = ɛɛ ɛ ϕ  ψ ɛ ɛ Im Falle von Fermion Fermion- und Boson Boson-Matrixelementen gilt ɛ = ɛ, und daher dann für beliebige Operatoren Â: ˆP  ˆP = Â. Analog: ɛ ϕ ˆP ψ ɛ = ɛ ɛ ϕ ψ ɛ = ɛ ɛ ϕ ψ ɛ = ɛ ϕ ˆP ψ ɛ P = P. Für  = folgt ˆP = ˆP und damit  ˆP = ˆP Â, d. h. [Â, ˆP ] = 0. Für unter Teilchenvertauschung symmetrische Operatoren Ô gilt per Definition ˆP Ô = Ô ˆP [Ô, ˆP ] = 0, und damit immer ˆP Ô ˆP = Ô. Insbesondere ist der Hamiltonoperator eines Vielteilchensystems unter Teilchenvertauschung symmetrisch. Also gilt [Ĥ, ˆP ] = 0 die Symmetrie eines Vielteilchenzustandes ist zeitlich konstant. 7

14 Kapitel. Zweite Quantisierung.2.2 Konstruktion total (anti-)symmetrischer Zustände Permutationsoperator : ˆP α α 2...α N i i 2... i N := i α i α2... i αn, wobei α α 2... α N eine Permutation der Zahlen, 2,... N ist. Symmetrisierungsoperator : Summiert über alle Permutationen, symmetrisch bzw. antisymmetrisch: Ŝ ± := (±) P ˆP N! P wobei P die Anzahl der Transpositionen ist, aus denen sich die Permutation P zusammensetzt. Beispiel für N = 2: Ŝ + i i 2 = 2 ( i i 2 + i 2 i ) Ŝ i i 2 = 2 ( i i 2 i 2 i ) Dieses Beispiel haben wir in der QM I schon kennengelernt! Eigenschaften: () : ˆPαβ Ŝ ± = ± Ŝ± weil P Permutation = andere Permutation (Das Vorzeichen sieht man leicht am Beispiel N = 2). Ŝ + ˆPαβ = Ŝ+ dto. Ŝ ˆPαβ = Ŝ weil die zusätzl. Transpos. ˆPαβ alle Vorzeichen umkehrt (2) : Ŝ± 2 = N! Ŝ±, denn Ŝ2 ± = (±) P ˆPŜ ± = Ŝ N! }{{} ± N! P =(±) P Ŝ ± }{{} =Ŝ± P }{{} N!.2.3 Normierte total (anti-)symmetrische Basis-Zustände Wir konstruieren nun zunächst eine mögliche Schreibweise für die benötigten Basiszustände des Vielteilchensystems. Dies ist ein Zwischenschritt. Die gebräuchlichere Schreibweise erfolgt über Besetzungszahlen im nächsten Unterkapitel. 8

15 Kapitel. Zweite Quantisierung Bosonen: Basiszustände i... i N (+) := c + Ŝ + i... i N : total symmetrisch c + : Normierungskonstante Normierung:! = (+) i... i N i... i N (+) = c + 2 ( )( ˆP i... i N N! P }{{ P } ( = c + 2 i... i N = c + 2 P P ) ˆP i... i N i i P i }{{} 2 i P2... i N i PN δ i,i P ) ˆP i... i N Es ergibt sich genau dann ein Beitrag, wenn i... i N = i P... i PN. Beachte: Mehrere Teilchen können in demselben Quantenzustand sein. Wenn der (Einteilchen-) Zustand i n i -mal vorkommt (n i : Besetzungszahl für Zustand i), erhält man (n i!) Beiträge von P. Wir numerieren nun die Einteilchenzustände, d. h. die Werte der i α, mit Zahlen i =, 2,... (endliche oder unendliche Anzahl). Wir betrachten zunächst den Fall, daß diese Werte i diskret sind. Der kontinuierliche Fall ergibt sich weiter unten durch Basistransformation.! = c + 2 i=,2,... n i! Normierter total symmetrischer Basiszustand von N Teilchen: i... i N (+) = n!n 2! Ŝ + i... i N 9

16 Kapitel. Zweite Quantisierung Fermionen: Total antisymmetrische Basiszustände für N Teilchen: i... i N ( ) = c Ŝ i... i N Dies kann man auch als Determinante schreiben (Slater-Determinante) i () i 2 ()... i N () i = c (2) i 2 (2)... i N (2) N! i (N) i 2 (N)... i N (N) Diese Determinante verschwindet immer, wenn zwei der i (α) gleich sind Jeder Einteilchenzustand i kann wegen der Antisymmetrie höchstens einmal vorkommen. Also gilt n i = 0 oder (Pauli-Prinzip) Normierung:! = c 2 N! ( P ˆP i... i N ) ( Beitrag nur bei P = P Vorzeichen fallen weg = c 2 = c 2 N! Also ist c = wählbar. P P ˆP i... i N ) ( ) P ( ) P Wegen 0! =! = gilt bei Fermionen immer n i! =. Daher kann man die Basiszustände von Bosonen und Fermionen in einer gemeinsamen Formel schreiben: Normierte total (anti-)symmetrischer Basiszustände von N Teilchen (Fermionen bzw. Bosonen) i... i N (±) = n! n 2! Ŝ± i... i N Diese Zustände spannen den Hilbertraum H ± N von N Teilchen auf. Um das Vorzeichen der Fermion-Basiszustände festzulegen, muß man eine (beliebige) Reihenfolge i =, 2,... der Einteilchenzustände festlegen und die i... i N in obiger Definition in dieser Reihenfolge anordnen. 0

17 Kapitel. Zweite Quantisierung.3 Besetzungszahldarstellung H N : Die N-Teilchen Basiszustände i... i N ± mit fester Teilchenzahl N sind wegen der totalen (Anti-)Symmetrie schon durch die Angabe der Besetzungszahlen n, n 2,... eindeutig festgelegt, d. h. durch die Multiplizität n i der Werte i in i i 2... i N. Daher kann man sie auch als n n 2... ; N ± i i 2... i N ± schreiben, mit n i = 0, n i = 0,, 2,... n i = N i bei Fermionen bei Bosonen Diese Zustände sind orthonormiert ɛ n n 2... ; N n n 2... ; N ɛ = δ n,n δ n 2,n 2 und vollständig n n 2... ; N ɛ ɛ n n 2... ; N = -Operator im N-Teilchen Hilbertraum n,n 2,... ( i n i=n) Fock-Raum: Es ist zweckmäßig, Änderungen der Teilchenzahlen zuzulassen und dafür die direkte Summe der N-Teilchen Hilberträume zu betrachten. Fock-Raum: H (±) := H (±) 0 H (±) H (±) 2 Eine Basis für den Fock-Raum bilden die Zustände n, n 2,..., jetzt ohne Einschränkung an i n i Sie sind orthonormiert: n n 2... n n 2... = δ n,n δ n 2,n 2 wobei das Skalarprodukt zwischen Hilberträumen verschiedener Teilchenzahl natürlicherweise zu Null definiert wurde, und sie sind vollständig: n n 2... ɛ ɛ n n 2... = im Fock-Raum H (ɛ) n,n 2,...

18 Kapitel. Zweite Quantisierung Wir haben auch den Hilbertraum H (±) 0 eingeschlossen. Er enthält nur den einen Basiszustand 0, mit 0 0 =, den sogenannten Vakuumzustand (auch Grundzustand). Dies ist nicht der Null-Vektor!.3. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Wir führen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein, die zwischen verschiedenen Teilchenzahlen transformieren. Sie entsprechen den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beim harmonischen Oszillator, und wie dort werden wir sehen, daß wir den gesamten Formalismus mit diesen Operatoren und ihren Vertauschungsrelationen auf einfache Weise aufbauen können. Der Erzeugungsoperator a j definiert über für den Einteilchenzustand j (üblicherweise ohne Hut) ist a j i i 2... i N ɛ }{{} N Teilchen := n j + j i... i N ɛ }{{} N+ Teilchen ( ) Er erzeugt ein Teilchen im Zustand j. Durch wiederholtes Anwenden auf den Vakuumzustand 0 erzeugt man die Besetzungszahldarstellung (n i = ) = a i 0 (n i = 2) = 2 (a i) 2 0. n i = ni! ( a i) ni 0 d. h. allgemein n n 2... = n!n 2! ( ) a n ( a 2) n2 0 ( ) Bei Fermionen kommt es hier auf die Reihenfolge der a i an! ( Konvention) Wir berechnen nun die Wirkung von a i Bosonen und Fermionen getrennt. in der Besetzungszahldarstellung. Wir betrachten 2

19 Kapitel. Zweite Quantisierung Bosonen: Da es in Def. ( ) nicht auf die Reihenfolge der i α ankommt, folgt direkt a i... n i... + = n i +... (n i + )... + Der Vernichter a i ist als der adjungierte Operator zu a i definiert. Daher gilt +... n i... a i... n i... + = n i (n i + ) n i... + = n i + δ n i +,n i wobei im ersten Schritt a i nach links als Erzeuger angewandt wurde. Da diese Gleichung für Matrixelemente mit beliebigen Basis-Bra-Vektoren gilt, folgt die Gleichheit der Ket-Vektoren auf beiden Seiten: a i... n i... + = n i... (n i )... + und insbesondere a i... (n i = 0) = 0. Dies sind dieselben Relationen wie beim harmonischen Oszillator. Aus diesen Beziehungen folgen sofort die Vertauschungsrelationen [a i, a j ] = [a i, a j ] = 0 [a i, a j ] = δ ij für Bosonen (analog zum harmonischen Oszillator) Beweis: Nichttrivial ist lediglich [a i, a i ] = a ia i a i a i Anwenden auf (n i ) + ; :=... n i... + ergibt a i ni + (n i + ) + a i ni (n i ) + = (n i +) (n i ) + n i (n i ) + = (n i ) Fermionen: Aus der Def. ( ) folgt a r a s i i 2... = n r + n s + rs i i 2... = n r + n s + sr i i 2... wegen der Antisym. = a s a r i i 2... Also {a r, a s} a r a s + a s a r = 0 Weitere Schreibweisen: {a r, a s} [a r, a s] + ɛ= [a r, a s] ɛ. 3

20 Kapitel. Zweite Quantisierung Fermion-Erzeuger antikommutieren. Insbesondere gilt ( a r) 2 = 0 Wegen ( ) folgt nun a i... n i... = δ ni,0 ( )ñi... (n i + )..., mit ñ i = j<i n j wobei ñ i die Zahl der Erzeugungsoperatoren a j ist, mit denen man a i kommutieren muß, um zur definierenden Darstellung ( ) zu gelangen. Das Kronecker-Delta tritt wegen (a i )2 = 0 auf. Durch Adjungieren und Multiplikation mit... n i... ergibt sich für den Vernichtungsoperator a i... n i... = δ ni, ( )ñi... (n i )... Durch Einsetzen erhält man die Vertauschungsrelationen {a i, a j } = {a i, a j } = 0 {a i, a j } = δ ij Die Vertauschungsrelationen von Bosonen (ɛ = ) und Fermionen (ɛ = ) kann man auch zusammenfassen als: [a i, a j ] ɛ = [a i, a j ] ɛ = 0 [a i, a j ] ɛ = δ ij Zur Erinnerung:. [a, b] ɛ = ab ɛba 2. Die Indizes i, j,... stehen jetzt für die Werte der Einteilchenquantenzahlen. Die Teilchennumerierung kommt in der Schreibweise mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren nicht mehr vor, wie es bei identischen Teilchen auch sein sollte! Notation: Erzeuger und Vernichter bezeichnet man auch oft mit c i und c i. 4

21 .4 Observable in 2. Quantisierung Kapitel. Zweite Quantisierung Um Observable im Vielteilchenraum auszudrücken, müssen wir die zugehörigen Operatoren in der Sprache des 2. Quantisierung, also mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren schreiben. Das einfachste Beispiel hierfür ist der Teilchenzahloperator ˆn i = a i a i mit ˆn i... n i... = n i... n i..., wobei n i die Anzahl der Teilchen im Zustand i ist. Diese Operator ist für Bosonen und für Fermionen gleichlautend. Der Operator der Gesamtteilchenzahl ist also ˆN = ˆn i i.4. Einteilchen-Operatoren Wir betrachten zunächst Operatoren, die sich als Summe von Operatoren der Einteilchen- Hilberträume ergeben. Sie haben also generisch die Form ˆT = ˆt () + ˆt (2) + = ˆt (α) α Der Index bezeichnet die Nummer des Teilchens, auf das der Operator wirkt. Beispiele sind neben dem Teilchenzahloperator der Operator der kinetischen Energie ˆt (α) = ˆp 2 (α) 2m und der Operator der potentiellen Energie bezüglich eines äußeren Potentials ˆt (α) = V (x (α) ), dessen Summanden jeweils nur von einer Einzelkoordinate abhängen. Wir wollen solche Operatoren nun allgemein mit Hilfe der Matrixelemente der Einteilchenoperatoren ˆt α ausdrücken. In der Einteilchenbasis i lauten die Matrixelemente t ij = i ˆt j. Sie sind wegen der Ununterscheidbarkeit der Teilchen unabhängig von der Teilchennummer α. Daher gilt ˆt (α) = ij i (α) (α) i }{{} ˆt j (α) (α) j }{{} = ij t ij i (α) (α) j Wir wollen ˆt (α) durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darstellen. Die Rechnung führen wir nur für Bosonen explizit durch. Bei Fermionen muß man Vorzeichen beachten; man erhält schließlich dasselbe Ergebnis. 5

22 Kapitel. Zweite Quantisierung Wir berechnen die Wirkung von Teilchen (α) i (α) (α) j auf... n i... n j... bei Bosonen. Wir betrachten den Fall i j. ( ) i (α) (α) j... n i... n j... = α α i (α) (α) j Ŝ+ i i 2... i N n!n 2! Wenn j n j -mal besetzt ist, ergeben sich aus der Summe α... genau n j Beiträge (unabhängig von der Permutation in Ŝ+). Wegen i (α) (α) j j (α) = i (α), wird dabei n j um verringert und n i um erhöht. Das Ergebnis ist also proportional zu... (n i + )... (n j )..., wobei letzteres aber die Normierung hat. (nj )! (ni +)! = n j Beiträge {}}{ (ni + )! (nj )! n j ni! nj!... (n i + )... (n i )... = n i + n j... (n i + )... (n j )... = a i a j... n i... n j... Dasselbe Ergebnis erhält man für i = j und auch für Fermionen. Da rechts ein beliebiger Basis-Ket-Vektor steht, folgt allgemein i (α) (α) j = a i a j Teilchen α Für den gesuchten Einteilchen-Operator gilt also in 2. Quantisierung ˆT α ˆt (α) = ij t ij a i a j Das Ergebnis vereinfacht sich weiter in der Eigenbasis, also der Basis, in der ˆt (α) diagonal ist. Dort gilt ˆt (α) j = t j j also t ij = (α) i ˆt (α) j (α) = t j δ ij und somit ˆT = t i a i a i i i t i ˆn i 6

23 Kapitel. Zweite Quantisierung Beispiel: i seien die Eigenzustände des Hamiltonians Ĥ(α) mit Eigenwerten ɛ i. Dann gilt Ĥ = α Ĥ(α) = i ɛ i ˆn i. Der Hamiltonian zählt also die Teilchen im Zustand i und gibt jedem die Energie ɛ i. Insbesondere werden wir später Systeme von freien Teilchen betrachten. Diese enthalten nur einen kinetischen Operator, der sich bei Translationsinvarianz im Impulsraum diagonalisieren läßt (s. Übungen)..4.2 Zweiteilchen-Operatoren Zweiteilchen-Operatoren beschreiben Wechselwirkungen zwischen je zwei Teilchen, wie etwa die Coulomb-Wechselwirkung. Allgemein: ˆF = 2 α β }{{} Teilchen ˆf αβ analog zu ˆT = ˆt α (Wir nehmen hier den Fall α = β aus, da es sich dann um Einteilchenoperatoren handelt.) α Beispiel: Coulomb-Wechselwirkung f x x 2 = e 2 x x 2 Um die Zweiteilchenoperatoren mittels Erzeugern und Vernichtern zu schreiben, schieben wir nun vier vollständige Summen wie i i (α) (α) i ein: ˆF = i 2 (α) j (β) i α j β ˆf k α m β }{{} (α) k (β) m α β ijkm f ijkm Wir spalten die Summe über α und β auf, mittels α β = αβ α=β... betrachten zunächst nur den Operator-Anteil, lassen also ijkm f ijkm weg: αβ i (α) (α) k }{{} Einteilchen j (β) (β) m }{{} Operator! Die auftretenden Summen wie α=β (α) k j (β) }{{} δ kj i (α) (β) m }{{} α=β Einteilchen Operator und α i (α) (α) j = a i a j haben wir schon bei den 7

24 Kapitel. Zweite Quantisierung Einteilchen-Operatoren berechnet. = a i a k a j a m δ kj a i a m }{{} a i [a k, a j ] ɛ }{{} δ kj = ɛa i a j a ka m = a i a j a ma k für Bosonen und Fermionen! a m Also ˆF = 2 ijkm ij ˆf km a i a j a m a k Reihenfolge beachten! Spezialfall Eigenbasis: ˆf sei in der Basis i diagonal, d.h., es ändere nicht die Quantenzahlen der Teilchen, auf die es wirkt. Es gelte also ij ˆf km = δ ik δ jm f(i, j) ˆF = f(i, j) a i 2 a j a j a i = f(i, j) ˆn i ˆn j + f(i, i) ˆn i (ˆn i ) 2 2 ij Bei Fermionen verschwindet der letzte Term. e Beispiel: Coulomb-Potential 2 in einem diskreten Ortsraum, der Einfachheit halber ohne Spin. Der zugehörige Zweiteilchenoperator ist im Ortsraum diagonal, denn x y er verschiebt keine Teilchen: i j f xyx y = x (α) y (β) ˆf x (α) y (β) = δ xx δ yy i e 2 x y..5 Transformationen zwischen Basissystemen. Feldoperatoren Wir behandeln zunächst die Transformation zwischen verschiedenen Basissystemen im Vielteilchenraum und benutzen diese dann dazu, Operatoren im kontinuierlichen Ortsraum, sogenannte Feldoperatoren einzuführen. 8

25 Kapitel. Zweite Quantisierung.5. Transformationen zwischen Basissystemen Gegeben seien zwei (Einteilchen-) Basissysteme { i } und { λ }. Im Einteilchenraum lautet die Transformation zwischen ihnen λ = i i λ i }{{} Für die Erzeuger und Vernichter gilt nun analog a λ = i i λ a i a λ = i λ i a i ( ) Beweis:. Diese Operatoren erfüllen die korrekten Vertauschungsrelationen. [a λ, a λ ] ɛ = 0 wegen [a i, a j ] ɛ = 0 ; genauso [a λ, a λ ] ɛ = 0 [a λ, a λ ] ɛ = ij [a i, a j ] ɛ λ i j λ }{{}}{{} =δ ij δ λλ = δ λλ 2. Aus ( ) folgt auch sofort a λ 0 = i i λ a i 0 = i i λ i ɛ = λ ɛ = n λ =. Zusammen mit den Vertauschungsrelationen folgt, daß die a λ, a λ die korrekten Erzeuger und Vernichter in der Basis { λ } sind. Während wir bisher vorausgesetzt haben, daß die Quantenzahlen i diskret sind, können die Quantenzahlen λ jetzt auch kontinuierlich sein!.5.2 Feldoperatoren Wir benutzen dies nun, um nun Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im kontinuierlichen Ortsraum, die sogenannten Feldoperatoren, einzuführen. Wir betrachten also die Ortsraumbasis { x }, mit x x = δ(x x ) (Falls weitere Quantenzahlen wie etwa zum Spin vorhanden sind, bleiben sie untransformiert.) 9

26 Kapitel. Zweite Quantisierung Die Koeffizienten der Basistransformation sind: x i =: ψ i (x) = Einteilchen-Wellenfunktion zum Wert i der Quantenzahlen, in der Ortsdarstellung Def.: Feldoperatoren = Erzeuger und Vernichter eines Teilchens am Ort x ˆψ (x) := i ψ i (x) a i ˆψ(x) := i ψ i(x) a i Man beachte: Operatoren. ψ i (x) ist eine Wellenfunktion (komplexe Zahl), dagegen sind ˆψ(x), ˆψ (x) Achtung: Der Hut auf ˆψ(x), ˆψ (x) wird oft weggelassen. Dann sind diese Operatoren nur aus dem Zusammenhang von den Wellenfunktionen wie ψ(x) unterscheidbar! Die Vertauschungsrelationen lauten wie üblich, mit δ(x x ) statt δ xx..5.3 Observable ausgedrückt in Feldoperatoren Allgemein hatten wir schon hergeleitet Einteilchen-Operator ˆT = i ˆt j a i a j mit ˆT = ij Teilchen α Zweiteilchen-Operator ˆF = ij 2 ˆf km a i a j a m a k ijkm }{{} Zustände mit ˆF = Wir wenden diese Gleichungen nun bei den Feldoperatoren an. α β }{{} Teilchen ˆf αβ ˆt (α) 20

27 Kapitel. Zweite Quantisierung Kinetische Energie ˆT = α Einteilchenpotential Û = α ˆp 2 α 2m = û α = = = dxdx x ˆp 2 2m x ˆψ (x ) ˆψ(x) dx ˆψ (x) 2 2m ˆψ(x) dxdx x û α x ˆψ (x ) }{{} ˆψ(x) U(x)δ(x x ) dx U(x) ˆψ (x) ˆψ(x) = dx U(x) ˆn(x) Teilchenzahldichte ˆn x = ˆψ (x) ˆψ(x) Gesamtteilchenzahloperator ˆN = dx ˆψ (x) ˆψ(x) Zweiteilchenoperator: Für den im Ortsraum diagonalen Fall eines Potentials V (x, x ) (kein Teilchentransport), wie z.b. das Coulombpotential, erhalten wir sofort (s. Kap..4.2) ˆV = d 3 x d 3 y V (x, y) 2 ˆψ (x) ˆψ (y) ˆψ(y) ˆψ(x) Wir sehen aus obigen Beispielen, daß man die Vielteilchen-Operatoren ˆT und Û in Erzeugern und Vernichtern erhält, indem man einfach in den üblichen Ausdrücken der Einteilchen-Quantenmechanik die Wellenfunktion ψ(x) durch den Vernichtungsoperator ˆψ(x) und ψ (x) durch ˆψ (x) (unter Beachtung der korrekten Reihenfolge) ersetzt! Dies erinnert an den Übergang von der klassischen Physik (Funktionen T, U) zur Einteilchen- Quantenmechanik (Operatoren ˆT der kinetischen und Û) der potentiellen Energie und motiviert den Namen 2. Quantisierung für den Übergang von der Einteilchen- zur Vielteilchen- Quantenmechanik. Es gibt also eine formalen Analogie zwischen der Einteilchenphysik mit der Wellenfunktion ψ(x) und ihrem Adjungierten ψ (x) auf der einen Seite, und der Vielteilchenphysik mit den Operatoren ˆψ und ˆψ auf der anderen Seite. Die 2. Quantisierung ergibt sich damit formal auch als 2

28 Kapitel. Zweite Quantisierung Kanonische Quantisierung : Ersetze ψ durch ˆψ, ψ durch ˆψ, und postuliere Vertauschungsrelationen für ˆψ und ˆψ..5.4 Bewegungsgleichung für Feldoperatoren Man kann für die Feldoperatoren ˆψ(x), ˆψ (x) auch Bewegungsgleichungen herleiten, die formal zur Schrödingergleichung analog sind. Zur Erinnerung: Einteilchen-QM: (Index () an Bra- und Ket-Vektoren) Schrödingerbild: ϕ(t) () = e i Ĥ()t ϕ(0) () () ϕ(t) Ô() ϕ(t) () = () ϕ(0) e i Ĥ()t Ô () e i Ĥ()t ϕ(0) }{{} Ô () (t) im Heisenbergbild ( ) Bewegungsgleichung für Ô()(t): i tô()(t) = [Ô()(t), Ĥ()]+i Û dtô(t) d Û Vielteilchen-QM: Dieselben Gleichungen gelten für die Tensorprodukte der obigen Objekte und die Vielteilchenoperatoren. Da man Ĥ über Erzeuger und Vernichter ausdrücken kann, kann man auch diese Bewegungsgleichungen in Erzeugern und Vernichtern schreiben. Beispiel: Sei Ĥ = ˆT = α Bewegungsgleichung für ˆψ(x): i t ˆψ(x) = [ ˆψ(x), Ĥ] = = dx ( ˆψ(x) ˆp 2 (α) 2m = dx ˆψ (x ) 2 2m x ˆψ(x ) Ĥ {}}{ ˆψ (x ) 2 2m x ˆψ(x ) dx ( ˆψ(x) ˆψ (x ) ɛ ˆψ (x ) }{{ ˆψ(x) ) 2 } 2m x ˆψ(x ) δ(x x ) = 2 2m x ˆψ(x) Ĥ {}}{ ˆψ (x ) 2 2m x ˆψ(x ) ˆψ(x) ) 22

29 Kapitel. Zweite Quantisierung Allgemeiner: Für ein Vielteilchensystem mit kinetischer Energie α, potentieller 2m Energie α U (α) (x α ), und diagonaler Zweiteilchenwechselwirkung ergibt sich folgende Bewegungsgleichung für den Vernichtungsoperator im Ortsraum (s. z.b. Schwabl S. 24): i t ˆψ(x) }{{} Vernichter = [ ˆψ(x), Ĥ] = ) ( 2 2m + U(x) ˆψ(x, t) + also wieder formal eine Analogie mit der Einteilchenphysik. ˆp 2 (α) dx ˆn(x, t) V (x, x ) ˆψ(x, t)..6 Impulsraum Translationsinvariante Systeme sind im Impulsraum diagonal, d.h. der Impuls ist eine gute Quantenzahl. Dies ist ein Beispiel für das Noethersche Theorem, das wir sehr viel später besprechen werden. Anwendbar ist dies sowohl im kontinuierlichen Ortsraum, als auch im diskreten Raum eines Festkörpergitters. Der Operator der kinetischen Energie (aber nicht der gesamte Hamiltonoperator) ist oft im Impulsraum leicht diagonalisierbar. Als ein Beispiel dazu werden wir die freien Fermionen besprechen..6. Fouriertransformation Zur Erinnerung zunächst ein kurzer Überblick über Fouriertransformationen, ohne Konvergenzbetrachtungen. Diskrete Fouriertransformation: Gegeben sei eine (periodische) Funktion f auf N Punkten im Abstand a: f(x j ), x j = a j, j mod N = 0,, 2,..., N Dann ist die fouriertransformierte Funktion bei den N Impulsen k n = 2π N a n, n mod N = 0,, 2,..., N Wir benutzen hier eine symmetrische Normierung von Orts- und Impulsraum, anders als im Buch von Schwabl. 23

30 Kapitel. Zweite Quantisierung gegeben, mit und k n x j = 2π N f(k n ) = N N j=0 e i k n x j f(x j ), n j. Die Umkehrtransformation ist f(x j ) = N N n=0 e +i k n x j f(kn ). Sowohl der Ort als auch der Impuls sind nur mit einem Index modulo N relevant, können also jeweils zyklisch vertauscht werden. Um die Umkehrbarkeit zu zeigen, benutzt man die endliche geometrische Reihe N j=0 b j = bn b, aus der sich ergibt. N j=0 e 2πi N j (n m) = N δ ((n m) mod N), 0 Kontinuierliche Fouriertransformation auf endlichem Intervall: Den gemischt kontinuierlich/diskreten Fall erhält man im Limes N und gleichzeitig konstantem L: Gegeben sei eine periodische Funktion f auf dem Intervall [0, L) (oder z.b. [ L, L)): 2 2 f(x), x [0, L] Dann ist die Fouriertransformation auf den diskreten Impulsen k n = 2π L n, n = 0, ±, ±2,..., ± gegeben, mit und k n x = 2π L f(k n ) = L L x=0 e i k n x f(x), n x. Die Umkehrtransformation ist f(x) = L n= e +i k n x f(kn ). Der Impuls wurde nun symmetrisch um Null gewählt. 24

31 Kapitel. Zweite Quantisierung Kontinuierliche Fouriertransformation einer nicht-periodischen Funktion: Gegeben sei eine Funktion f: f(x), x R Dann ist die Fouriertransformation auf kontinuierlichen Impulsen k R gegeben, mit f(k) = Die Umkehrtransformation ist f(x) = 2π 2π Um die Umkehrbarkeit zu zeigen, benutzt man 2π dx e i k x f(x). dk e +i k x f(k). dx e i x (k p) = δ(k p). Die quantenmechanische Notation ist generell f(x) = x f und f(k) = k f..6.2 Basistransformation für Erzeuger und Vernichter Wir transformieren nun Erzeuger und Vernichter in den Impulsraum. Allgemein hatten wir die Basistransformation schon im Abschnitt.5. hergeleitet. Für eine Einteilchenbasis λ = i i i λ gilt a λ = i a λ = i a i i λ a i λ i Hier: Einteilchenbasis k = dx x x k }{{} e ikx V a k = dx V e ikx ˆψ (x) a k = dx V e ikx ˆψ(x), im Falle eines kontinuierlichen Ortsraumes endlicher Ausdehnung, also eines diskreten Impulsraumes. Wie schon gezeigt, bleiben die üblichen Vertauschungsrelationen wie [a k, a k ] ɛ = δ kk erhalten. 25

32 Kapitel. Zweite Quantisierung.6.3 Vielteilchenoperatoren im Impulsraum Die Teilchendichte ist im Ortsraum diagonal, nicht aber im Impulsraum (!): ˆn(x) ˆψ (x) ˆψ(x) = kk V eix(k k) a k a k Der Operator der Gesamtteilchenzahl dagegen sieht im Impulsraum formal gleich aus wie im Ortsraum: ˆN = dx ˆn(x) dx ˆψ (x) ˆψ(x) = a k a k k }{{} gleiche Form mit dem Teilchenzahloperator im Impulsraum = k ˆn k ˆn k = a k a k Achtung: Dieser Operator ist nicht dasselbe wie die Fouriertransformation der Dichte ˆn(x)! Letztere hat keinen gängigen eigenen Namen; sie lautet ˆñ(q) = = = V V V k dx ˆn(x) e iqx dx kk V eix(k k q) a k a k a k a k+q Die Kinetische Energie ist im Impulsraum diagonal (bei einem translationsinv. System) ˆT = α }{{} Teilchen ˆp 2 (α) 2m = ˆp 2 k 2m k a k a k kk }{{} = k 2 2m k2 δ kk 2 2m k2 a k a k }{{} ˆn k 26

33 Kapitel. Zweite Quantisierung Das Einteilchenpotential U(x): ist i.a. nur im Ortsraum diagonal: Û = α Û α = kk k Û k a k a k = kk dx dx k x x Û x }{{} U(x) δ(x x ) = dx e ikx e ik x U(x) a k V a k kk }{{} Ũ(k k ) V = V kk Ũ(k k ) a k a k x k a k a k Spezialfall: Wenn U(x) nicht vom Ort abhängt, wie zum Beispiel ein chemisches Potential, dann ist das Einteilchenpotential einfach U ˆN, also proportional zum Operator der Gesamtteilchenzahl, und damit diagonal sowohl im Ortsraum als auch im Impulsraum. Zweiteilchenpotential: analog. Im besonders relevanten Fall, daß V (x, x ) = V (x x ) nur vom Abstand abhängt, wie etwa das Coulombpotential, ergibt sich mit Ṽ (q) = V dx e iqx V (x): ˆV = 2 =... = dx dy V (x x ) ˆψ (x) ˆψ (y) ˆψ(y) ˆψ(x) 2 V Ṽ (q) qpk a p+q a k q a k a p }{{} Impulserhaltung! k-q p+q Ṽ (q) PSfrag replacements k p 27

34 Kapitel. Zweite Quantisierung.7 Spin Der Spin σ tritt einfach als weitere Quantenzahl auf, zusätzlich zu beispielsweise Ort oder Impuls, also dx σ oder k σ... mit Operatoren, die jetzt ˆψ x,σ und a k,σ etc. lauten. Die Symmetrisierung / Antisymmetrisierung erfolgt wie immer bezüglich des vollständigen Systems der Quantenzahlen, also hier bezüglich Ort und Spin. Vertauschungsrelationen: [a iσ, a i σ ] = δ σσ δ ii Beispiel Spin- 2 : Die Pauli-Matrizen bezeichnen wir mit τ Einteilchen-Spinoperatoren ˆ S () = 2 τ Vielteilchen-Spindichteoperator (s. Übung): ˆ S(x) = N Teilchen α= δ(x x α ) ˆ S () α = ψ 2 σ(x) τ σσ ψ σ (x) σσ Dieser Operator ist lokal im Ort, und hat bei festem Ort Vertauschungsrelationen wie die Spin- -Operatoren der QM I. Er beschreibt z.b. den Spin von Elektronen 2 in einem Vielteilchensystem. Wenn die Elektronen sich (in einem approximativen Hamiltonian) nicht bewegen, kann man damit zu einem effektiven System von vielen wechselwirkenden quantenmechanischen Spins mit Wechselwirkungstermen wie ˆ S x ˆ Sy gelangen, einem quantenmechanischen Heisenbergmodell (s. Übungen). 28

35 .8 Dichtematrix und endliche Temperatur Kapitel. Zweite Quantisierung Wir haben bisher reine Vielteilchenzustände ψ beschrieben. Wie in der Einteilchenquantenmechanik ist es oft nützlich, auch eine inkohärente Mischung von Zuständen zuzulassen. Dies dient insbesondere der Beschreibung von physikalischen Systemen bei endlicher Temperatur. Genauso wie in der QM I erfolgt die Beschreibung über die Dichtematrix (Operator!): ˆρ = m p m ψ m ψ m mit Koeffizienten p m 0, m p m =, und beliebigen, auch nichtorthogonalen, aber normierten Zuständen ψ m. Es gilt wieder tr ˆρ =, tr ˆρ 2 = : reiner Zustand < : gemischter Zustand Erwartungswerte: Ô = m p m ψ m Ô ψ m = nm p m n ψ m ψ m Ô n = tr ˆρ Ô N.B.: Wenn man ˆρ auf eine orthonormale Basis n transformiert, ˆρ = n p m n ψ m ψ m n nn m }{{} ρ nn n = nn ρ nn n n so erhält man eine allgemeine Dichtematrix, die in dieser Basis auch nicht-diagonal sein kann! Sie ist für die Beschreibung von Systemen außerhalb des thermodynamischen Gleichgewichts besonders wichtig. Für ein System im Gleichgewicht bei endlicher Temperatur beschreibt die Dichtematrix ein Ensemble von (in der Spektraldarstellung) Boltzmann-gewichteten Zuständen: ˆρ = Z e βĥ = Z } e βêi {{} i i i Boltzmanngewicht 29

36 Kapitel. Zweite Quantisierung mit dem Normierungsfaktor Z = tr e βĥ = Zustandssumme ( tr ρ = ) und der inversen Temperatur β = k B T Thermodynamische Erwartungswerte Ô = tr ˆρ Ô = tr Ô e βĥ tr e βĥ Im kanonischen Ensemble summiert man bei der Spur nur über einen Hilbertraum mit fester Teilchenzahl N. Im großkanonischen Ensemble summiert man über den gesamten Fockraum; die Teilchenzahl ist also variabel. Dies beschreibt physikalisch z.b. ein System, das mit seiner Umgebung Teilchen austauschen kann. Um eine gewünschte mittlere Teilchenzahl des betrachteten Systems einzustellen, führt man das chemische Potential µ ein und ersetzt in der Spur (im Zähler und im Nenner der obigen Gleichung) den Hamiltonoperator Ĥ durch Ĥ µ ˆN. Dies führt zu einer Umwichtung der Energie für verschiedene Teilchenzahlen. Die Zeitentwicklung von Zuständen wird dabei in der Literatur unterschiedlich behandelt. Wir werden im folgenden weiterhin den Zeitentwicklungsoperator e i Ĥt (ohne µ ˆN) benutzen. Klassisches (nicht quantenmechanisches) System: In der Eigenbasis von Ĥ, wenn also die Dichtematrix diagonal ist, kann man Ĥ durch seine Eigenwerte E i ersetzen und erhält die klassischen Boltzmanngewichte e β E i. Wenn auch die betrachteten Operatoren in der Eigenbasis alle diagonal sind, so gelangt man zur klassischen statistischen Mechanik (s. Vorlesungen über statistische Mechanik und über Phasenübergänge und kritische Phänomene ). 30

37 Kapitel. Zweite Quantisierung.9 Freie Fermionen Wie wir schon gesehen haben, ist bei einem translationsinvarianten System der Operator der kinetischen Energie im Impulsraum diagonal. Systeme freier Teilchen, deren Hamiltonoperator nur den kinetischen Anteil umfaßt, sind also exakt lösbar und vermitteln wertvolle Einsicht in das Verhalten von Vielteilchensystemen. Wir behandeln hier den sehr wichtigen Fall von freien Fermionen. Es stellt sich in der Festkörperphysik heraus, daß auch viele wechselwirkende Systeme durch effektive Freiheitsgrade ( Quasiteilchen ) beschrieben werden können, die () untereinander nicht wechselwirken ( Fermi-Gas ), oder (2) nur schwach wechselwirken und dabei noch eins-zu-eins den nicht-wechselwirkenden Teilchen entsprechen ( Fermi-Flüssigkeit ). Der Hamiltonoperator bei freien Teilchen ist diagonal im Impulsraum Ĥ = ˆT = ˆp 2 α 2m = 2 2m k2 akσ a kσ α σ k }{{}}{{} ˆn ɛ kσ k.9. Grundzustand Da ˆn kσ = a kσ a kσ bei Fermionen nur die Eigenwerte n kσ = 0, hat, kann jeder Impuls nur maximal zweifach (Spin und ) besetzt sein. Im Grundzustand (Zustand niedrigster Energie) sind deswegen die Zustände mit den kleinsten Werten von ɛ k, also die untersten Impulse alle besetzt, bis hinauf zu einem Impuls k F (Fermi-Impuls) mit der Fermi-Energie ɛ F = 2 2m k2 F In 3 Dimensionen bilden diese Zustände im Impulsraum eine Kugel, die Fermi-Kugel, und der Grundzustand lautet k F φ 0 = k k k F σ a kσ 0 3

38 Kapitel. Zweite Quantisierung mit ( ) k = 2π np x L x, n py L y, n pz L z Volumen pro k - Punkt ist (2π) 3 L x L y L z (in d = 3 Dimensionen) Berechnung des Fermi-Impulses k F (in d=3, mit V = L x L y L z ): Gesamtteilchenzahl N = kσ n kσ = 2 k k F 2 4π 3 k3 F (2π) 3 V = V 3π 2 k3 F k 3 F = 3π 2 N V = 3π 2 }{{} n Dichte Teilchendichte im Ortsraum: ˆn(x) = σ φ 0 ψ σ(x)ψ σ (x) φ 0 = V e ix(k k ) φ 0 a kσ a k σ φ 0 }{{} σ kk δ kk n kσ = n kσ = n : Die Teilchendichte ist räumlich konstant V kσ }{{} N Niedrigste Anregung aus dem Grundzustand: Ein Fermion wird aus der Fermi-Kugel herausgenommen: k σ 2 2 k σ = Erzeugung eines Teilchen-Loch Paares φ = a k 2 σ 2 a k σ φ 0 Solche Teilchen-Loch-Paare (i.a. von Quasiteilchen) sind die elementaren Anregungen aus dem Grundzustand, mittels derer sich die Physik wechselwirkender Systeme in einer Störungstheorie oft sehr gut beschreiben läßt. Beispiel: In einem Festkörper werden Elektronen abgeschirmt und treten dadurch als Quasiteilchen mit einer effektiven Masse und einer effektiven Ladung auf. 32

39 Kapitel. Zweite Quantisierung.9.2 Endliche Temperatur Bei endlicher Temperatur tragen auch angeregte Zustände bei. Die großkanonische Zustandssumme kann man im Impulsraum exakt auswerten. Hamiltonian: Ĥ = k ɛ k ˆn k (der Einfachheit halber ohne Spin) Zustandssumme: Z = tr e β(ĥ µ ˆN) ψ e β(ĥ µ ˆN) ψ = = ψ im Fockraum {n q =0,} n q0 n q n q2... e β k (ɛ k µ)ˆn k n q0 n q n q2... n q0 n q n q2... {n q =0,} k = ( e β(ɛ k µ) 0 + e ) β(ɛ k µ) k e β(ɛ k µ)n k n q0 n q n q2... Z = k ( + e β(ɛ k µ) ) (Mit Spin tritt jeder Faktor doppelt auf.) Dichteverteilung im Impulsraum: ˆn p = tr ˆn β(ĥ µ ˆN) p e tr e β(ĥ µ ˆN) e β(ɛ p µ) = + e β(ɛ p µ) = [ k p n ( )] k=p ({}} ) { + e β(ɛ k µ) 0 + e β(ɛ k µ) k ( + e β(ɛ k µ) ) T > 0 T = 0 ˆn p = e β(ɛ p µ) + 0 µ ε q Wir finden die Fermi-Verteilung (Fermi-Dirac-Statistik der Teilchenzahlen). Sie unterscheidet sich durch die im Nenner von der Maxwell-Statistik, welche man 33

40 Kapitel. Zweite Quantisierung bei völlig unabhängigen Teilchen (ohne besondere Symmetrie) erhält. Dann fällt ˆn k β(µ min(ɛ vom Wert e p)) aus langsam ab. Dieser klassische Grenzfall ergibt sich im Quantensystem bei β(ɛ p µ) 0, was hohen Temperaturen und/oder geringen Dichten entspricht..9.3 Einteilchen-Korrelationsfunktion (Greensfunktion) bei T = 0 Im nächsten Kapitel werden wir systematisch Korrelationen und Greensfunktionen behandeln, mittels derer sich die meisten physikalisch relevanten Observablen ausdrücken lassen. Als einen exakt lösbaren einfachen Fall berechnen wir jetzt die gleichzeitige Einteilchen- Greensfunktion von freien Fermionen. G σ (x x ) := φ 0 ψ σ(x)ψ σ (x ) φ 0 Dies ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, daß im Grundzustand die Vernichtung eines Teilchens bei x und die Erzeugung eines Teilchens bei x wieder φ 0 ergibt, sie beschreibt also den Transport eines Teilchens von x nach x. G σ (x x ) = x e ikx+ik V kk = k = (2π) 3 = V e ik(x x ) (2π) 3 d 3 k {}}{ V φ 0 a kσ a k σ φ 0 }{{} k=k ˆn kσ n kσ n kσ }{{} e ik(x x ) k k F kf 0 kf 2π 2 r 0 dk 2π =Θ(k F k) 0 k F k d cos θ e i k (x x ) cos θ }{{} = eikr e ikr, r= x x ikr dk k sin kr = 3n 2 sin z z cos z z 3, z rk F 34

41 Kapitel. Zweite Quantisierung 0.5 n G 0 0 π 2π r k F Die Einteilchenkorrelationsfunktion fällt oszillierend mit der Periode k F Abstand, der durch die Fermi-Verteilung bestimmt ist. ab, also mit dem.9.4 Paarverteilungsfunktion bei Temperatur Null Wegen der Antisysmmetrie der Gesamtwellenfunktion beeinflußen sich Fermionen auch ohne weitere Wechselwirkung! Wir sehen dies hier an der sogenannten Paarverteilungsfunktion. Wir beginnen mit dem Zustand ψ σ (r) φ 0, bei dem ein Teilchen mit Spin σ am Ort r aus dem Grundzustand entfernt wurde. Er ist auf φ 0 ψ σ(r) ψ σ (r) φ 0 = n normiert, wobei der Faktor 2 davon kommt, daß wir nicht über den Spin summiert 2 haben. In diesem Zustand messen wir nun die Wahrscheinlichkeitsdichte g σσ (r), ein Teilchen mit Spin σ im Abstand r vom ersten Teilchen zu finden, indem wir den Erwartungswert des Teilchendichteoperators ˆn σ (0) = ψ σ (0) ψ σ (0) bestimmen ˆn σ (0) ( n ) 2 {}}{ gσσ (r) := φ 0 ψ 2 σ(r) ψ σ (0)ψ σ (0) ψ σ (r) φ 0 = φ 0 ˆn σ (r)ˆn σ (0) φ 0 δ σσ δ 3 (r) φ 0 ψ σ(0)ψ σ (0) φ 0 = φ 0 ˆn σ (r)ˆn σ (0) φ 0 }{{} Dichte Dichte Korrelation δ σσ δ 3 (r) φ 0 ˆn σ (0) φ 0 Wir sehen, daß g σσ (r) im Wesentlichen gleich der Dichte-Dichte-Korrelation ist. Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden. 35

42 Kapitel. Zweite Quantisierung. σ σ : δ σσ trägt nicht bei; ˆn σ und ˆn σ sind unabhängig und liefern jeweils n 2 g σ σ (r) = 2. σ = σ : Mittels Transformation in den Impulsraum läßt sich g auf die oben berechnete Einteilchen-Korrelationsfunktion G σ (r) zurückführen. Man erhält ( n ) 2 ( n ) 2 gσσ (r) = (G σ (r)) g σσ (r) = 9 z 6 (sin z z cos z)2, z k F r g σσ π 2π 3π 4π 0 0 π 2π 3π 4π z / r k F Wir sehen, daß die Paarverteilungsfunktion im Abstand Null bei Null beginnt und langsam ansteigt, weil die Wahrscheinlichkeit, zwei Fermionen gleichen Spins innerhalb des Abstandes /k F zu finden, gering ist. Dieses sogenannte Korrelationsloch rührt nur von der Antisymmetrie der Fermionen her, nicht von Wechselwirkungen! Zusätzlich sehen wir wieder Oszillationen mit der charakteristischen Länge /k F..0 Freie Bosonen Der Hamiltonoperator lautet wie bei freien Fermionen: Ĥ = ˆT = α ˆp 2 α 2m = k 2 2m k2 }{{} ɛ k akσ a kσ }{{} ˆn kσ : diagonal im Impulsraum 36

43 Kapitel. Zweite Quantisierung Im Grundzustand sind nun alle Teilchen in demselben Quantenzustand mit niedrigster Energie, hier bei k = 0. Bei endlicher Temperatur verläuft die Rechnung analog zu der bei freien Fermionen: Zustandssumme: Z = tr e β(ĥ µ ˆN) ψ e β(ĥ µ ˆN) ψ = ψ im Fockraum = k n q0 n q n q2... {n q =0} k n k =0 e β(ɛ k µ)n k e β(ɛ k µ)ˆn k n q0 n q n q2... Z = k e β(ɛ k µ) Dichteverteilung im Impulsraum: ˆn k = tr ˆn β(ĥ µ ˆN) k e = tr e β(ĥ µ ˆN) n = k n k e β (ɛ k µ) n k = n k e β (ɛ k µ) n k = x log e x = Wir finden also die Bose-Einstein-Verteilung {n k } n k e β p (ɛ p µ) n p {n k } e β p (ɛ p µ) n p x log e β(ɛ k µ) n k =0 e xn k x=β(ɛ k µ) Das chemische Potential muß bei Bosonen µ < ɛ k divergieren würde. erfüllen, da sonst die Teilchenzahl In der Paarverteilungsfunktion findet man beim Abstand Null einen erhöhten Wert. Bosonen halten sich also im Gegensatz zu Fermionen bevorzugt am selben Ort auf. Bose-Einstein-Kondensation: Wir betrachten ein System von freien Bosonen mit fester inverser Dichte ρ = V/N. Man kann zeigen, daß sich unterhalb einer Temperatur T c = 2π 2 k B m 37 ( ρ ) 2/3 2.62