Vielteilchentheorie kondensierter Materie. C. Timm Technische Universität Dresden, Institut für Theoretische Physik

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1 Vielteilchentheorie kondensierter Materie C. Timm Technische Universität Dresden, Institut für Theoretische Physik Wintersemester 204/205 Stand. Juni 205

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 4. Wozu Vielteilchentheorie? Vielteilchensysteme, Emergenz und Universalität Überblick Danksagung Einführung in die Quantenfeldtheorie 7 2. Lineare Kette Quantenmechanik der linearen Kette Erste Quantisierung Einteilchensysteme Vielteilchensysteme Ununterscheidbarkeit Zweite Quantisierung Bosonen Fermionen Operatoren in zweiter Quantisierung Quantenfeldoperatoren Impulsdarstellung Relativistisches skalares Feld Klein-Gordon-Gleichung Quantisierung des relativistischen skalaren Feldes Komplexes skalares Feld Feynman-Propagator ϕ 4 -Theorie Dirac-Feld Erinnerung an die Dirac-Gleichung Dirac-Feldtheorie Feynman-Propagator für das Dirac-Feld Elektromagnetismus Vierervektor-Notation Quantentheorie des Elektromagnetismus Transversaler Propagator Impuls und Spin Quantenelektrodynamik QED) Vielteilchentheorie bei der Temperatur Null Wechselwirkungsfreie Elektronen Tight-Binding-Modelle Thermodynamischer Limes für Summen im reziproken Raum Elektron-Elektron-Wechselwirkung Störungstheorie für die Coulomb-Wechselwirkung Gitterschwingungen und Phononen Elektron-Phonon-Wechselwirkung

3 3.5 Zeitabhängige Störungstheorie Bildwechsel in der Quantentheorie Fermis Goldene Regel Die T -Matrix Green-Funktionen bei T = Green-Funktionen für die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung Einteilchen-Green-Funktionen für das Vielteilchensystem Die Spektralfunktion Bewegungsgleichung für die Green-Funktion Wechselwirkungsfreier Fall Resonantes Niveau resonant-level model) Anderson-Modell für eine magnetische Störstelle Vielteilchentheorie bei endlichen Temperaturen Wechselwirkungsfreie Teilchen Mean-Field-Theorie Hartree-Fock-Näherung Stoner-Theorie des Ferromagnetismus in Metallen Lineare-Antwort-Theorie Kubo-Formel für die dielektrische Funktion Bewegungsgleichung für Lineare-Antwort-Funktionen Kubo-Formel für die Leitfähigkeit Matsubara-Green-Funktionen Imaginäre-Zeit-Formalismus Einteilchen-Matsubara-Green-Funktionen Rechnungen mit Matsubara-Green-Funktionen a) Isolierte Singularitäten b) Schnitte Bewegungsgleichungen Das Wick-Theorem Potentialstreuung Feynman-Diagramme Elastische Streuung Störstellenstreuung Selbstenergie Erste Bornsche Näherung a) Die vollständige Bornsche Näherung b) Die selbstkonsistente Bornsche Näherung Leitfähigkeit Elektron-Elektron-Wechselwirkung Selbstenergie Die Hartree-Selbstenergie Die Fock-Selbstenergie Das wechselwirkende Elektronengas Landau-Theorie der Fermi-Flüssigkeiten Elektron-Phonon-Wechselwirkung Einschub: Jellium-Phononen Coulomb- und Elektron-Phonon-Wechselwirkung zusammengefasst Abschirmung der effektiven Wechselwirkung Supraleitung Cooper-Instabilität Der BCS-Grundzustand BCS-Theorie Der Isotopeneffekt

4 5 Dichtefunktionaltheorie Die Hohenberg-Kohn-Theoreme Das erste Hohenberg-Kohn-Theorem Das zweite Hohenberg-Kohn-Theorem Die Kohn-Sham-Gleichung Lokale-Dichte-Näherung Zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie Diffusion und die Boltzmann-Gleichung Brownsche Bewegung und Diffusion Die Langevin-Gleichung Die Boltzmann-Gleichung Relaxationszeitansatz Wigner-Funktion und Quanten-Boltzmann-Gleichung A Literatur 84 3

5 Kapitel Einleitung. Wozu Vielteilchentheorie? Es ist nicht zu bestreiten, dass die Welt um uns herum aus vielen Teilchen besteht. Ein Mol einer Substanz enthält bekanntlich N L 6, Atome oder Moleküle. Diese Loschmidt- oder Avogadro-Zahl gibt an, was wir hier mit vielen Teilchen meinen. Die Atome und Moleküle bestehen ihrerseits aus Atomkernen und Elektronen. Wir wollen verstehen, wie sich Systeme aus vielen Teilchen verhalten. Wie üblich in der Physik betrachten wir zunächst relativ einfache Systeme, z. B. saubere Kristalle. Selbst diese sind aber nicht einfach. Dazu ein Beispiel: Wir betrachten ein System bestehend aus N N L schweren Teilchen mit Ladung +6e und Spin Null und 6N leichten Teilchen mit der Ladung e und Spin /2. Wir lassen diese Teilchen bei einer bestimmten Temperatur T und einem bestimmten Druck p ins Gleichgewicht kommen, d. h. wir warten lange genug. Das System ist einfach in dem Sinne, dass es nur aus zwei Arten von Teilchen besteht, die jeweils identisch und nur durch drei Größen charakterisiert sind: Masse, Ladung und Spin. Das lässt vermuten, dass wir die Eigenschaften des Systems im Gleichgewicht voraussagen können sollten. Wir haben es hier natürlich mit einem Modell für Kohlenstoff zu tun: N Kohlenstoff-2-Kerne und 6N Elektronen. Die innere Struktur der Kerne ist hier unerheblich, es sind für uns einfach Teilchen mit der Ladung +6e und der Masse 2u. Abhängig von p und T ist es entweder Graphit geschichteter hexagonaler Kristall, weich, schlechtes Metall, opak) oder Diamant kubischer Kristall, sehr hart, Isolator, durchsichtig). Es treten noch weitere langlebige, aber vermutlich metastabile, Phasen auf, z. B. Fullerene und Nanoröhren. War diese Vielfalt von Modifikationen vorauszusehen? Was passiert, wenn wir stattdessen N schwere Teilchen der Ladung +7e und 7N leichte Teilchen der Ladung e haben? Offenbar ergeben sich für Systeme mit vielen Teilchen neue Effekte, die aus den Eigenschaften der Konstituenten nicht unmittelbar abzulesen sind. Das Ganze ist in diesem Sinne mehr als die Summe seiner Teile. Dieses Phänomen bezeichnet man als Emergenz. Wir wollen solche Systeme mit vielen Teilchen verstehen. Das führt auf eine zweite Frage: Benötigen wir dafür neue Werkzeuge? Reichen die bisher betrachteten Methoden, v. a. der Quantenmechanik, nicht aus? In der Physik der kondensierten Materie kennen wir, anders als in der Hochenergiephysik, den Hamiltonian genau, jedenfalls in der für die allermeisten Eigenschaften relevanten Vereinfachung. Er lautet für das Beispiel von Kohlenstoff-2 H = N 2M 2 i= + e2 4πε 0 P 2 i + 2m e 6N j= p 2 j + 6e)2 4πε 0 r j r j 6e2 jj,j<j 4πε 0 ij R i R i ii,i<i R i r j.) 4

6 in einer offensichtlichen Notation für die Orte und Impulse der Kerne und der Elektronen. Das elektromagnetische Feld über die Coulomb-Wechselwirkung hinaus wurde hier vernachlässigt, ebenso wie relativistische Effekte, z. B. die Spin-Bahn-Kopplung. Um zu sehen, ob wir ein Vielteilchensystem mit den Methoden der Quantenmechanik lösen können, untersuchen wir ein einfacheres Vielteilchensystem: Wir betrachten ein Schachbrett 8 8 Plätze) mit einem elektronischen Orbital auf jedem Feld. Welche Zustände eines einzelnen Feldes sind dann möglich? Auf jedem Feld kann entweder kein Elektron sitzen oder eines mit Spin auf oder eines mit Spin ab oder zwei mit Spins auf und ab. Andere Konfigurationen sind durch das Pauli-Prinzip für Fermionen ausgeschlossen. Wieviele Zustände hat also das Gesamtsystem? Antwort: Das Schachbrett-Modell hat 4 64 = 2 28 Zustände, d. h. der Hilbertraum hat 2 28 Dimensionen. Das ist eine große Zahl! Den Hamilton-Operator kann man als Matrix der Dimension schreiben oder auch nicht, weil man nicht genug Papier und Zeit dafür hat. Um die Eigenzustände des Systems zu erhalten, müssten wir diese Matrix diagonalisieren. Das ist unmöglich, selbst wenn wir aus allen Teilchen im beobachtbaren Universum einen Computer bauen würden. Das Schachbrett ist ein sehr bescheidenes Modell für ein Vielteilchensystem und dennoch i. A. viel zu groß für eine exakte Lösung. Wir werden sehen, dass man in manchen Fällen solche Systeme dennoch exakt diagonalisieren kann, z. B. wenn die Elektronen nicht wechselwirken ziemlich einfach) oder in einer eindimensionalen Kette mit nur lokaler Wechselwirkung schwierig). Da dies offensichtlich nicht mit roher Gewalt erfolgen kann, erfordert die Lösung Einsicht in die Physik des Systems. In den allermeisten Fällen können wir aber keine exakte Lösung finden. Wir benötigen also Methoden, die. Näherungen beinhalten und 2. es umgehen, alle Zustände des Systems explizit behandeln zu müssen. Der zweite Punkt macht klar, dass wir Konzepte aus der Statistischen Physik benötigen werden. Es stellt sich heraus, dass Methoden der Quantenfeldtheorie, die überwiegend zur Beschreibung von Elementarteilchen entwickelt wurde, auch für Vielteilchensysteme sehr nützlich sind. Dass das kein Zufall ist, wird kurz im folgenden Abschnitt diskutiert.) Im nächsten Kapitel folgt daher eine Einführung in die Quantenfeldtheorie..2 Vielteilchensysteme, Emergenz und Universalität Wir wollen das Thema Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile Emergenz) noch etwas weiter diskutieren, in Anlehnung an das in der Literaturliste angegebene Buch von X.-G. Wen. Wir betrachten einen Kristall, sagen wir Diamant, bei niedrigen und bei hohen Energien. Ein Experiment bei hohen Energien, z. B. Beschuss der Probe mit schnellen Ionen, wird Atome aus dem Kristall herausbrechen. Dafür sind offenbar die Bindungen zwischen den Atomen, also Physik auf atomaren Längenskalen, entscheidend. Bei Streuung hochenergetischer elektromagnetischer Röntgen-) Strahlung bleibt der Kristall intakt, aber die Strahlung sieht das Kristallgitter, da die Wellenlänge kürzer ist als der atomare Abstand. Die Röntgen-Strahlung wird am Gitter gestreut. Eigenschaften auf atomarer Skala sind wiederum wichtig. Diese werden bestimmt von stark miteinander wechselwirkenden Atomkernen und Elektronen und sind kompliziert und systemabhängig. Ganz anders bei niedrigen Energien oder niedrigen Temperaturen. Die einzigen Anregungen von Diamant bei niedrigen Temperaturen sind Gitterschwingungen des Kristalls. Es zeigt sich, dass diese quantisiert sind; die Quanten der Gitterschwingungen sind die Phononen in Analogie zu den Quanten des elektromagnetischen Feldes, den Photonen). Phononen sind spin-lose skalare) Bosonen siehe unten) mit, bei niedrigen Energien, linearer Energie-Impuls-Relation, E = c s k k ist der Wellenvektor, c s ist die Schallgeschwindigkeit). Die Wechselwirkung zwischen Phononen ist schwach. Die Physik ist die von freien, relativistischen Bosonen. Sie ist einfach und universell; wenn wir Silizium oder Schwefel oder festes) Xenon statt Diamant betrachten, finden wir ebensolche Phononen, nur c s ist systemabhängig. Die niederenergetischen Phononen sind also einfache kollektive Anregungen eines komplexen Vielteilchensystems. Wen diskutiert die interessante Idee, dass die uns bekannten Elementarteilchen ebenfalls kollektive Anregungen eines komplexen fundamentaleren Systems sind. Wens Hauptbeitrag zu dieser Forschungsrichtung ist, dass er nicht nur skalare Bosonen wie die Phononen), sondern auch Fermionen und 5

7 ein elektromagnetisches Feld als kollektive Anregungen erklären kann. Das in diesem Fall zu Grunde liegende System, um dessen kollektive Anregungen es geht, ist ein ziemlich kompliziertes Spin-Gitter. Wichtiger ist der prinzipielle Nachweis, dass die Elementarteilchen kollektive Anregungen sein könnten und damit nicht elementar. Für uns wichtig ist die Erkenntnis, dass die Eigenschaften von Vielteilchensystemen bei niedrigen Energien und Temperaturen teilweise universell sind. Wir können daher mit einer einheitlichen Theorie z. B. die Gitterschwingungen aller Kristalle beschreiben..3 Überblick Das vorliegende Skript behandelt folgende Themen: Einführung in die Quantenfeldtheorie Es wird zunächst exemplarisch die klassische Feldtheorie der linearen Kette und der schwingenden Saite besprochen. Dann werden wesentliche Ideen der Quantisierung von Feldtheorien vorgestellt, von der linearen Kette fortschreitend über skalare Felder und das Dirac-Feld zum elektromagnetischen Feld. Dieser Abschnitt endet mit der Behandlung von Grundlagen der Quantenelektrodynamik QED). Als Literatur ist z. B. Huangs Buch zu empfehlen. Vielteilchentheorie bei der Temperatur Null Dieses Kapitel behandelt Vielteilchentheorie für Festkörper, zunächst im Grundzustand, also bei der Temperatur T = 0. Die wichtige Methode der Green-Funktionen wird für diesen Fall eingeführt, sie stellt sich aber später als viel allgemeiner heraus. Als Literatur sind die Bücher von Bruus/Flensberg, Mahan und Nolting zu empfehlen. Vielteilchentheorie bei endlichen Temperaturen Hier gehen wir zu Systemen bei Temperaturen T > 0 über, in denen thermische Anregungen vorhanden sind. Dies wird der umfangreichste Abschnitt sein. Wir werden zunächst Vielteilchen-System im Gleichgewicht bei einer bestimmten Temperatur diskutieren. Mit der Behandlung von Transportphänomenen gehen wir dann konzeptionell über die Gleichgewichtsphysik hinaus. Allerdings beschränken wir uns auf Transport in schwachen angelegten Feldern, dann ist die Antwort des Systems linear und kann aus den Gleichgewichtseigenschaften bestimmt werden. Die Lehrbücher von Bruus/Flensberg, Mahan und Nolting sind auch für diesen Abschnitt geeignet. Dichtefunktionaltheorie Hier wird kurz eine komplementäre Herangehensweise an das Vielteilchenproblem diskutiert. Diffusion und die Boltzmann-Gleichung Dieses kurze Kapitel verknüpft Vielteilchentheorie und Statistische Physik außerhalb des Gleichgewichts. Hauptsächlich wird dies anhand der Boltzmann-Transportgleichung durchgeführt..4 Danksagung Ich möchte Herrn Konrad Schmidt herzlich für die Erstellung der LaTeX-Datei und der Bilder für die erste Version 2008/09) dieses Skripts danken. Weiterhin danke ich Herrn André Dankert für den Hinweis auf mehrere Fehler. 6

8 Kapitel 2 Einführung in die Quantenfeldtheorie Zunächst betrachten wir klassische Feldtheorien, also Theorien für die Dynamik von Feldern. Ein Feld ist ganz allgemein eine Funktion des Ortes r und oft auch der Zeit t. Beispiele sind die Temperatur ein skalares Feld), und das elektrische Feld ein Vektorfeld). 2. Lineare Kette Wir betrachten als einfaches Beispiel die lineare Kette. Die Teilchen haben die Masse m, die Federn besitzen die Federkonstante κ. Wir betrachten nur Schwingungen in einer Raumrichtung, z. B. entlang der Kette longitudinal) oder in einer der beiden möglichen Richtungen senkrecht dazu transversal). Wie in der klassischen Mechanik wählen wir für die Beschreibung den Lagrange-Formalismus, da dieser auch in der QFT wichtig ist, L = i [ 2 m q2 i 2 κ q i+ q i ) 2 ], 2.) wobei q i = die eindimensionale Auslenkung von Teilchen i ist. Periodische Randbedingungen sind sinnvoll, da für große Systeme Randeffekte i. A. irrelevant sind. Sie ergeben Die Euler-Lagrange-Gleichung für q j lautet q i+n = q i i. 2.2) d L L = 0 dt q j q j 2.3) d dt m q j + κ q j q j ) + κ q j q j+ ) = 0 2.4) q j = κ m q j q j ) κ m q j q j+ ) 2.5) q j = κ m q j+ + q j 2q j ). 2.6) Die Lösung erfolgt mit Hilfe einer Fourier-Reihe, da das System periodisch ist: q j = Qp) e ipj. 2.7) N p 7

9 Um herauszufinden, welche Werte von p die Summe enthält, betrachten wir die Randbedingung q j+n = q j. Daraus folgt e ipj+n) = e ipj 2.8) e ipn = pn = 2πn, n Z 2.9) p = 2πn N. 2.0) Weiter ist q j diskret, daher ist die Fourier-Transformierte Qp) periodisch: e ip+2π)j = e ipj e } i2πj {{} = e ipj 2.) = ergibt keine neuen Lösungen, daher können wir p auf ] π, π], die. Brillouin-Zone der Kette, beschränken. Also gilt q j = N N 2 n= N 2 + N gerade) Q n e i 2πn N j mit Q n := Q2πn/N). 2.2) Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt N n Q n e i 2πn N j = κ m N n Q n e i 2πn N ) j e i 2πn N j 2πn i + e N j 2 2.3) für alle j. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Exponentialfunktionen für verschiedene n gilt also für jeden Term der Reihe Q n = κ ) e i 2πn N j 2πn i + e N j 2 Q n = 2κ cos 2πn ) m m N Q n = 4κ πn sin2 m N Q n. 2.4) Wir erhalten entkoppelte Gleichungen für die Eigenmoden Q n t). Die Lösung erfolgt durch den Ansatz Q n = e iωt, ω 2 Q n = 4κ πn sin2 m N Q n 2.5) κ ω = 2 sin πn =: ω n. 2.6) m N Die ω n sind die Eigenfrequenzen. Der Ansatz funktioniert offenbar. Die Dispersionsrelation für ω n ist hier skizziert: ω n nichts Neues nichts Neues N/2 0 2 N/2 n. Brillouin Zone 8

10 Die physikalischen Eigenmoden sind reell, Re exp i 2πn ) N j iωt Im exp i 2πn ) N j iωt ) 2πn = cos N j ωt, 2.7) ) 2πn = sin N j ωt. 2.8) Wenn wir die Gitterkonstante a der Kette einführen, können wir den Ort entlang der Kette mit x = ja bezeichnen. Dann sehen wir, dass die Wellenzahl k = 2πn Na 2.9) lautet. Die Eigenmoden sind dann einfach coskx ωt) und sinkx ωt) und die Dispersionsrelation lautet nach Gl. 2.6) κ ωk) = 2 ka m sin ) Da wir in diesem Kapitel Feldtheorien untersuchen wollen, ist es sinnvoll, zum Kontinuums-Limes überzugehen. Die lineare Kette wird im Kontinuums-Limes zur schwingenden Saite. Die Schwingung realer Saiten ist durch transversale Moden dominiert.) Wir betrachten den Grenzfall N und Gitterkonstante a 0, so dass die Gesamtlänge Na =: R konstant bleibt. Sei In der Lagrange-Funktion erhalten wir qx, t) := q j t) mit x = ja. 2.2) q j t) qx, t) 2.22) q j t) qx, t) 2.23) qx, t) q j+ q j a 2.24) x... R dx ) a j Begründung: Diese Ersetzung soll für jede Funktion gelten, wir setzen... = und erhalten auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis N.) Wir definieren die eindimensionale Massendichte ϱ := m/a und die mechanische Spannung σ := κa, dann ist Es folgt die Bewegungsgleichung L = 2 R 0 dx [ ϱ 0 ) 2 q σ t ) ] 2 q. 2.26) x ϱ 2 q t 2 σ 2 q 2 q t 2 c 2 s x 2 = ) 2 q σ x 2 = 0 mit c s := ϱ. 2.28) Das ist die wichtige Wellengleichung mit der Schallgeschwindigkeit c s. In Kürze: Lösungen sind die Eigenmoden e ikx ωt) mit der Frequenz ω = c s k und der Wellenzahl k = 2πn/R mit n Z. Da das System nicht diskret ist, gibt es keine. Brillouin-Zone, beliebig große n und k sind erlaubt und beschreiben unabhängige Moden. 9

11 ω 0 k Für n N, also k 2π/a, erhalten wir für die diskrete lineare Kette nach Gl. 2.20) κ ωk) = 2 ka m sin 2 κ = 2 ka σ m 2 = 2 ka ϱa 2 2 = c s k. 2.29) Für kleine k und entsprechend große Wellenlängen λ = 2π/k verhält sich die lineare Kette also wie eine kontinuierliche Saite. Das ist offensichtlich auch der Grenzfall kleiner Frequenzen ω. Die Theorie der schwingenden Saite ist also die effektive Theorie der linearen Kette für kleine Frequenzen, vgl. Abschnitt.2. In der Vielteilchentheorie spielt die Konstruktion effektiver Theorien, die gewisse Grenzfälle beschreiben, eine wichtige Rolle. 2.2 Quantenmechanik der linearen Kette Als nächstes wollen wir zur quantenmechanischen Beschreibung der linearen Kette übergehen. Wir wollen das klassische System also quantisieren. Es sei daran erinnert, dass es prinzipiell unmöglich ist, die gesuchte Quantentheorie aus der klassischen Mechanik herzuleiten, da die Quantenmechanik die allgemeinere Theorie ist und die klassische Mechanik ihr Grenzfall. Also können verschiedene Quantentheorien denselben klassischen Grenzfall für ħ 0 haben. Welche die richtige ist, kann letztlich nur das Experiment entscheiden. Ein Beispiel ist, dass die Quantisierung in kartesischen Koordinaten erfolgen muss. Würden wir sie z. B. in Kugelkoordinaten durchführen, bekämen wir eine widerspruchsfreie Quantentheorie, die aber das Wasserstoff-Atom nicht richtig beschreibt. Für mechanische Systeme von Massenpunkten wissen wir, dass wir die kartesischen Koordinaten q j und die zugehörigen kanonisch konjugierten Impulse p j = L/ q j = m q j durch Operatoren ersetzen sollen, die die kanonischen Vertauschungsrelationen [p j, q k ] = iδ jk, 2.30) [p j, p k ] = 0, 2.3) [q j, q k ] = ) erfüllen wir setzen hier ħ = ). Diese Quantisierungsvorschrift ist als Postulat aufzufassen, dass dadurch gerechtfertigt wird, dass die Voraussagen der Theorie mit dem Experiment übereinstimmen. Aus der Lagrange-Funktion L ergibt sich die zunächst klassische Hamilton-Funktion H = [ ] p 2 j 2m + 2 κ q j+ q j ) ) j Beim Übergang zur Quantenmechanik ersetzen wir q j, p j durch Operatoren mit kanonischen Vertauschungsrelationen. Dadurch wird H selbst zum Hamilton-Operator. In Analogie zur klassischen Theorie Fourier-transformieren wir q j, p j : Aus q j = p j = Q n e i 2πn N j, 2.34) N n P n e i 2πn N j 2.35) N n 0

12 folgen die Umkehrtransformationen Q n = P n = 2πn i q j e N j, 2.36) N j 2πn i p j e N j. 2.37) N j Man kann zeigen, dass Q n und P n die folgenden Vertauschungsrelationen erfüllen: Man findet auch [ P n, Q m ] Der Hamilton-Operator lautet H = [ p j p ] j 2m + 2 κ q j+ q j ) q j+ q j ) j da p j, q j hermitesch) = [ P n P n N 2m n,n j e i 2πn N j e i 2πn N = N = N = n = n [ P n P n n,n j n,n Nδ nn = [ ) ] p +i j, q k e 2πn N j 2πm i e N j N jk iδ jk = i e i 2πn m) N j = i N N Nδ nm = iδ nm. 2.38) 2πn 2πn e i N j+i e i 2πn j)] N 2m [ P n P n 2m + 2 κ Q nq n [ ] P n P n πn + 2κ sin2 2m N Q nq n [ 2m P np n + ] 2 mω2 n Q nq n j P n = P n, 2.39) Q n = Q n. 2.40) N j + 2 κ Q nq n e 2πn i N j 2πn i e N e i 2πn j) N 2πn n ) e i N j + 2 κ Q nq n e i 2πn n ) ) ] N j e i 2πn n ) 2πn N i e N e i 2πn N + 2 e i 2πn N ) ] e i 2πn N. 2.4) Die durch n abgezählten Moden scheinen nun entkoppelt zu sein. Das stimmt aber noch nicht ganz: wegen Gln. 2.39) und 2.40) sind die Moden für n und n noch gekoppelt. Wir nutzen diese Relationen aus, wobei wir die Fälle n = 0 und n = N/2 separat behandeln: H = 2m P mω2 0 Q m P N/ mω2 N/2 Q2 N/2 + [ 2m P np n + 2 mω2 nq nq n + 2m P np n + ] 2 mω2 nq n Q n. 2.42) 0<n<N/2 Hier sind Q 0 und P 0 sowie Q N/2 und P N/2 hermitesch. Beachte dabei, dass n = N/2 und n = N/2 dieselbe Mode bezeichnen. Seien nun Q,n + iq 2,n Q n =: 2 P,n + ip 2,n P n =: für 0 < n < N 2.43) 2 2

13 mit hermiteschen Q α,n, P α,n. Dann gilt Q,n = Q n + Q n, 2.44) 2 Q 2,n = Q n Q n i, 2.45) 2 P,n = P n + P n, 2.46) 2 P 2,n = P n P n i. 2.47) 2 Dies entspricht der klassischen Abbildung auf reelle Sinus- und Kosinus-) Lösungen. Es folgt H = 2m P mω2 0Q m P N/ mω2 N/2 Q2 N/2 + [ 2m P,n 2 + P2,n) 2 + ] 2 mω2 n Q 2,n + Q 2 2,n). 2.48) 0<n<N/2 Man zeigt leicht, dass [P α,n, Q β,m ] = iδ αβ δ nm für α, β =, 2 und n, m > 0. Diese Operatoren kommutieren auch mit Q 0, P 0, Q N/2, P N/2. Wir erhalten damit einen Satz entkoppelter harmonischer Oszillatoren. Die Lösung ist bekannt: Die Eigenenergien lauten E = ω 0 =0 ν ) + ω N/2 ν N/2 + ) + ω n ν,n + ) + ω n ν 2,n + ) <n<N/2 0<n<N/2 2.49) mit ν 0, ν N/2, ν, ν 2, ν 3,..., ν 2,... = 0,, 2,... Jede Mode kann also 0,, 2,...-fach angeregt sein. Diese quantisierten diskreten) Anregungen sind die Phononen. Im Kontinuums-Limes wird H = R 0 dx [ 2ϱ p2 x, t) + 2 σ ) ] 2 q x 2.50) mit [p x, t), qx, t)] = iδ x x ). Ansonsten ist die Diskussion analog. Der Hamilton-Operator H beschreibt eine Quantenfeldtheorie für das Feld qx, t) und sein kanonisch konjugiertes Feld px, t). Wir werden dieselbe Theorie später aus einer ganz anderen Überlegung der Betrachtung masseloser, relativistischer Bosonen wieder erhalten. 2.3 Erste Quantisierung Wir wiederholen zunächst Material aus der Quantentheorie von Mehrteilchensystemen. Es geht insbesondere um die wichtige Idee der zweiten Quantisierung. Zur Vorbereitung wiederholen wir den Schrödinger- Dirac-Formalismus der Quantentheorie, den wir in diesem Zusammenhang erste Quantisierung nennen Einteilchensysteme Der Zustand eines Quantensystems wird beschrieben durch einen Vektor ψ aus einem Hilbertraum H. Die Zeitentwicklung des Zustandes wird durch die Schrödinger-Gleichung i d ψ = H ψ 2.5) dt mit dem Hamilton-Operator Hamiltonian) H bestimmt. H ist ein hermitescher linearer Operator auf H. Die formale Lösung lautet ψt) = e iht ψ0), 2.52) 2

14 wie man durch Einsetzen sieht. Man wählt ψ normiert: ψ ψ ψ ) ψ =. 2.53) Wir werden im Allgemeinen auch für ungebundene Zustände diese Normierung verwenden. Dazu nehmen wir ein großes, aber endliches Volumen V des Systems an. Sind r die Eigenzustände des Ortsoperators ˆr, ˆr r = r r, 2.54) so ist die zu ψ gehörende Wellenfunktion ψr) := r ψ. 2.55) Dies ist die Darstellung der Zustände in der Basis der r. Man kann jede Basis nehmen, z. B. von Impulseigenzuständen k, die die Gleichung ˆp k = k k 2.56) erfüllen. Die Vollständigkeitsrelationen lauten für diese Darstellungen: d 3 r r r =, 2.57) d 3 k k k =. 2.58) Mit r k = / V) e ik r V ist das Volumen des Systems) folgt k ψ = d 3 r k r r ψ = d 3 r e ik r ψr) 2.59) V Das ist offenbar die Fourier-Transformierte von ψr). Eine nützliche Basis wird von den Eigenzuständen des Hamiltonians H gebildet: H ν = E ν ν 2.60) ν sind geeignete Quantenzahlen). Die ν sind vollständig, was sich unter der Annahme eines diskreten Spektrums als ν ν = 2.6) ν schreiben lässt. Für kontinuierliche Teile des Spektrums ist die Summe durch ein Integral zu ersetzen. Die Eigenfunktionen von H sind u ν r) = r ν. 2.62) Die Darstellung eines beliebigen Zustands in dieser Eigenbasis lautet oder auch ψ = ν ν ψ = ν ν ψr) = ν ψ r ν = ν ν ν ψ ν 2.63) Zahlen ν ψ u ν r). 2.64) Die Eigenzustände ändern sich mit der Zeit nur in ihrer Phase, so dass sich die Form der Wellenfunktion nicht ändert, νt) = e iht ν0) = e } ieνt {{} ν0), 2.65) Zahl u ν r, t) = e ie νt u ν r, 0). 2.66) unabh. von r 3

15 Interpretation: ν ψ 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zustand ν befindet. r ψ 2 d 3 r = ψr) 2 d 3 r 2.67) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Volumenelement d 3 r um den Punkt r befindet. Für Eigenzustände und nur für Eigenzustände) von H ist zeitunabhängig Vielteilchensysteme u ν r, t) 2 = e ie νt 2 u ν r, 0) 2 = u ν r, 0) ) Für mehr als ein Teilchen brauchen wir eine zusätzliche Annahme darüber, wie wir Zustände beschreiben wollen. Die formale Frage lautet: Was ist der Zustandsraum für mehrere Teilchen? Eine naheliegende Antwort ist folgende: Für zwei Teilchen ist der Hilbertraum das direkte Produkt von zwei Einteilchen- Hilberträumen, H 2 = H H. Wir haben hier angenommen, dass die beiden Einteilchen-Hilberträume identisch sind. Das ist oft der Fall, selbst wenn die Teilchen nicht identisch sind. Zum Beispiel sind Elektronen und Protonen Spin-/2-Teilchen, die sich im dreidimensionalen Raum bewegen. Sie haben daher dieselben Einteilchen-Hilberträume. Sind die Einteilchen-Hilberträume verschieben, so haben wir H 2 = H Teilchen H Teilchen 2.) Die Verallgemeinerung auf N Teilchen lautet offenbar H N = H... H. 2.69) N Faktoren Diese Gleichung drückt aus, dass jedes der Teilchen in jedem Einteilchenzustand sein kann, unabhängig von den Zuständen der anderen Teilchen. Mit anderen Worten: Jedes Teilchen hat einen vollständigen Einteilchen-Raum H zur Verfügung. Da die Ortseigenzustände r eine Basis von H bilden, lautet die Ortsbasis von H N r r 2 r 3 r N im im. H 2. H r r 2. r N Die Ortsdarstellung von Zuständen ist definiert durch Dann ist =: r, r 2,..., r N H N. 2.70) ψr, r 2,..., r N ) := r, r 2,..., r N ψ. 2.7) ψr, r 2,..., r N ) 2 d 3 r d 3 r N 2.72) die Wahrscheinlichkeit, Teilchen in d 3 r um r, Teilchen 2 in d 3 r 2 um r 2 usw. zu finden. Wir können auch eine beliebige Basis von Einteilchenzuständen ν verwenden, wobei ν ein vollständiger Satz von Einteilchenquantenzahlen ist: ν, ν 2,... ν N := ν ν 2 ν N, 2.73) ψ = ν,... ν N ν,... ν N ψ ν,...,ν N = ν,... ν N ψ ν,... ν N 2.74) ν,...,ν N ψr, r 2,..., r N ) = r, r 2,..., r N ψ = ν,..., ν N ψ r ν r 2 ν 2 r N ν N ν,...,ν N ν, ν 2,... ν N ψ u ν r ) u ν2 r 2 ) u νn r N ) 2.75) ν,...,ν N Zahlen mit den Einteilchenwellenfunktionen u ν r) zu den Quantenzahlen ν. 4

16 2.3.3 Ununterscheidbarkeit Wir haben es oft mit ununterscheidbaren Teilchen zu tun: Alle Elektronen sind z. B. identisch. Man kann bei einem Streuexperiment nicht entscheiden, welches herauskommende Elektron welches war. Nicht nur nicht in der Praxis, sondern prinzipiell nicht. e Nr. e e Nr. 2 Für ununterscheidbare Teilchen muss der Zustand gleich bleiben, wenn zwei Teilchen vertauscht werden. ψ darf sich dabei also nur um einen konstanten Faktor ändern: ψr,..., r k,... r j,..., r N ) = λ ψr,..., r j,... r k,..., r N ). 2.76) e Zweimalige Vertauschung ist, zumindest in drei oder mehr) Raumdimensionen, die Identitätsoperation, also gilt ψr,..., r j,... r k,..., r N ) = λ 2 ψr,..., r j,... r k,..., r N ). 2.77) λ 2 = λ = ± 2.78) als einzige Möglichkeiten. Für λ = + nennen wir die Teilchen Bosonen, für λ = Fermionen. In zwei Raumdimensionen gilt das übrigens nicht: Hier bewegt sich bei der zweimaligen Vertauschung jedes Teilchen genau einmal um das andere herum. In zwei Dimensionen kann man die Bahnen, die die beiden Teilchen beschreiben, nicht stetig so verformen, dass sie nicht mehr umeinander herum laufen. Dazu müsste man eine Bahn durch das andere Teilchen hindurch schieben, was eine qualitative Änderung der Bahnen darstellt. Daher ist in zwei Dimensionen die Anzahl der zweifachen Vertauschungen eine topologische Invariante sie kann durch stetige Verformung der Bahnen nicht geändert werden. Das ist in drei und mehr) Dimensionen anders, hier kann man die Bahnen immer zu einem Punkt zusammenziehen. Daher muss in zwei Dimensionen der Zustand, der durch zweifache Vertauschung entsteht, nicht mit dem ursprünglichen Zustand identisch sein. Dann folgt, dass λ zwar aufgrund der Normiertheit der Zustände den Betrag eins haben muss, aber eine beliebige Phase haben kann. Man spricht von Anyonen. Noch kompliziertere Fällen können auftreten, wenn mehrere Zustände entartet sind. Diese interessanten Aspekte betrachten wir hier nicht; wir haben es immer mit Bosonen oder Fermionen zu tun. Die oben gefundene Darstellung ψr, r 2,..., r N ) = ν, ν 2,..., ν N ψ u ν r ) u νn r N ) 2.79) ν,...,ν N ist für identische Teilchen problematisch. Diese Wellenfunktion erfüllt i. A. nicht die fermionische oder bosonische Relation für Vertauschungen der r j. Diese Relationen führen auf Zusatzbedingungen für die Koeffizienten ν, ν 2,... ν N ψ. Es ist wünschenswert, diese Bedingungen gleich in die Basis einzubauen. Das kann man durch Anti-) Symmetrisierung erreichen: Wir definieren u ν r ) u ν r 2 ) u ν r N ) u ν2 r ) u ν2 r 2 ) u ν2 r N ) Ŝ ± u ν r ) u νn r N ) :=......, 2.80) u νn r ) u νn r 2 ) u νn r N ) ± 5

17 wobei... die Determinante ist: Ŝ u ν r ) u νn r N ) = p S N sgnp) u ν r p ) u νn r pn ), 2.8) wobei S N die Gruppe aller Permutationen p, p 2,..., p N ) der N Elemente, 2,..., N) ist die sogenannte Symmetrische Gruppe) und sgnp) das Vorzeichen der Permutation p. Beispiel: sgn2,, 3) =, da eine Vertauschung nötig ist und eins ungerade ist. Man schreibt auch ) p.) Die Vertauschung zweier Ortsarguments r j und r k entspricht der Vertauschung zweier Spalten der Determinante. Diese ändert unter einer solchen Vertauschung ihr Vorzeichen. Damit sind die erhaltenen Basisfunktionen antisymmetrisch und das untere Vorzeichen ) ist für Fermionen zu wählen. Der Ausdruck in Gl. 2.8) heißt Slater- Determinante. Wir sehen sofort, dass für zwei Fermionen in gleichen Einteilchenzuständen, z. B. ν j = ν k, die j- te und k-te Zeile der Determinante gleich sind. Die Zeilen sind also linear abhängig. Die Determinante verschwindet in diesem Fall,... = 0. Null ist aber kein Zustand. Es gibt also keine Zustände mit ν j = ν k für j k. Das ist die übliche Formulierung des Pauli-Prinzips. Sie folgt also aus der fundamentaleren Bedingung der Antisymmetrie der Wellenfunktion. Weiterhin erkennen wir, dass für zwei Fermionen am gleichen Ort, z. B. r j = r k, die j-te und k-te Spalte der Determinante gleich sind. Also finden wir, dass sich zwei Fermionen nicht an demselben Ort befinden können, unabhängig von ihren Zuständen. Andererseits ist... + die sogenannte Permanente: Ŝ + u ν r ) u νn r N ) = p S N u ν r p ) u νn r pn ), 2.82) d. h. die vorzeichenlose Determinante. Die Definition zeigt, dass die Permanente symmetrisch unter Vertauschung zweier Orte, also zweier Spalten, ist. Sie gilt somit für Bosonen. Obwohl die Determinante und die Permanente sehr ähnlich definiert sind, ist der für ihre Berechnung notwendige Aufwand interessanterweise sehr unterschiedlich. Die Determinante einer nicht sehr kleinen) Matrix berechnet man am günstigsten, indem man zunächst ihre Eigenwerte bestimmt. Die Determinante ist dann einfach das Produkt dieser Eigenwerte. Der Aufwand skaliert mit N 3 wegen der Bestimmung der Eigenwerte. Für die Permanente gibt es aber keine analoge Methode! I. A. muss man die Summe in Gl. 2.82) wirklich ausrechnen, diese hat aber N! Terme. Der Aufwand wächst mit N! e N ln N, also etwas schneller als exponentiell. Wir können jetzt nach diesen anti-) symmetrisierten Basiszuständen entwickeln: ψr, r 2,..., r N ) = Ŝ ± u ν r ) u νn r N ). 2.83) C ν,...,ν N ν,...,ν N Zahlen Die Wellenfunktionen Ŝ±u ν r ) u νn r N ) sind noch nicht normiert. Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Wellenfunktionen N! n! n 2! Ŝ±u ν r ) u νn r N ) 2.84) normiert sind. Hier ist n ν die Besetzungszahl des Einteilchenzustands ν, d. h., n ν gibt an, wie oft ν in {ν, ν 2,...} vorkommt. Für Fermionen kann das natürlich nur gar nicht oder einmal sein, so dass sich der Vorfaktor zu / N! vereinfacht. Für Rechnungen benötigen wir nicht nur die Darstellung der Zustände in Produktbasen, sondern auch die der Operatoren, insbesondere des Hamiltonians. Wir betrachten den Hamiltonian jetzt konkreter: H = T + V, 2.85) T = N p 2 in Ortsdarstellung i mit p i = i i i / r. 2m 2.86) i= Wir haben hier angenommen, dass kein Vektorpotential vorliegt. Für identische Teilchen muss V symmetrisch unter Vertauschung von Teilchen sein, sonst wären sie ja experimentell unterscheidbar. V kann i. A. Beiträge enthalten, die von, 2, 3,... Einteilchenzuständen abhängen. Wir schreiben V = V + V 2 + V ) 6

18 Physikalisch ist V das äußere Potential, V 2 ist die Zwei-Teilchen-Wechselwirkung, V 3 die Drei-Teilchen- Wechselwirkung usw. Wir schreiben in Ortsdarstellung V r,..., r N ) := r,..., r N V r,..., r N = V r i ) + V 2 r i, r j ) + 2 3! i ij i j ijk i j k i V 3 r i, r j, r k ) +..., 2.88) was explizit symmetrisch ist. Beachte, dass wir z. B. Terme der Art V 2 r i, r i ) ausschließen. Solche Terme sind bereits in V enthalten. Beispiel: Die Coulomb-Wechselwirkung lautet V 2 r i, r j ) = 4πε 0 e 2 r i r j. 2.89) Wir wollen den Hamiltonian auch bezüglich beliebiger Einteilchenbasen { ν } ausdrücken: V V ) i = ν,..., ν N ν,..., ν N V ) i ν,..., ν N ν,..., ν N. 2.90) i i ν,...,ν N ν,...,ν N Für Fermionen sollen die Summen über Einteilchenzustände nur mit dem Pauli-Prinzip vereinbare Kombinationen enthalten, d. h. ν i ν j und ν i ν ) j für i j. V i wirkt hier nur auf den Zustand des i-ten Teilchens, also auf ν i, ν i. Die anderen Summen können daher ausgeführt werden:... = ν i ν i V ) i ν i ν i. 2.9) i ν i Unsere Notation ist hier ein bisschen unsauber: V ) i ist jetzt plötzlich ein Operator auf H, nicht mehr auf H N. Die Bedeutung ist aber klar, da V ) i in allen Faktorräumen für andere Teilchen j i nichts tut, d. h. die Identität ist. Weiter ergibt sich mit... = i ν i ν i ν i ν i ν i V ) i ν i ν i = i V ) ν i ν := ν i i V ) i ν i = ν i ν i V ) ν iν ν i i ν i 2.92) d 3 r u ν i r) V r) u ν i r). 2.93) Das funktioniert für alle Einteilchen-Terme, auch für die kinetische Energie: T = ν i ν i T i ν i ν i = T νi ν ν i ν i i 2.94) i i mit ν i ν i T νi ν i := ν i T i ν i = ν i ν i d 3 r u ν i r) T r, i ) u ν i r). 2.95) In Abwesenheit eines Vektorpotentials gilt einfach T r, i ) = 2 /2m, also T νi ν i = d 3 r u ν 2m i r) 2 u ν i r) = d 3 r u ν 2m i r) u ν i r), 2.96) wobei wir im letzten Schritt eine partielle Integration ausgeführt haben, um einen symmetrischeren Ausdruck zu erhalten. Für 2, 3,...-Teilchen-Terme bleiben 2, 3,... Bra- und Ket-Vektoren übrig. Zum Beispiel ist mit V 2 = 2 ij i j ν i ν j ν i ν j ν i ν j ν j ν i V 2) ij ν i ν j ν j ν i = 2 V 2) ν i ν j ν := ν i j ν i V 2) ν ij ν i ν j = j ij i j ν i ν j ν i ν j V 2) ν i ν j ν ν i i ν j ν j ν i 2.97) ν j d 3 r i d 3 r j u ν j r j )u ν i r i )V 2 r i, r j )u ν i r i )u ν j r j ). 2.98) Beachte die Reihenfolge der Indizes ν i, ν j Konvention). Entsprechende Ausdrücke findet man für V 3 usw. 7

19 2.4 Zweite Quantisierung Die bisherige Notation ist ungünstig, wenn mehr als ein Wert der Teilchenzahl N vorkommen kann. Das ist der Fall, wenn sich die Teilchenzahl ändert, aber auch, wenn die Teilchenzahl zwar erhalten ist, wir aber statistische Mittelwerte über mehrere Werte der Teilchenzahl ausrechnen wollen großkanonische Ensembles). Dann wäre eine Darstellung nützlich, die explizit die Zahl von Teilchen in bestimmten Einteilchen-) Zuständen angibt. Das ist die Zweite Quantisierung, in der im Übrigen gar nichts zweimal quantisiert wird. Es handelt sich um eine etwas irreführende historische Bezeichnung. Die zweite Quantisierung ist auch nützlich, nämlich kompakter als der bisherige Formalismus, wenn nur ein Wert der Teilchenzahl betrachtet wird. Der Zustandsraum soll Zustände mit Teilchenzahlen N = 0,,... enthalten, H N für festes N reicht also nicht. Wir führen den Fock-Raum ein: F := H 0 H H ) Der Fock-Raum ist die direkte Summe der H N, d. h. die Basis von F ist die Vereinigungsmenge der Basen der H N, N=0 Basis von H N). Wir definieren Teilchenzahloperatoren ˆn ν durch ihre Darstellung in der Basis der anti-) symmetrisierten Vielteilchenzustände. Diese Zustände sollen sämtlich Eigenzustände von ˆn ν sein und die folgende Eigenwertgleichung erfüllen: ˆn ν Ŝ ± u ν r ) u νn r N ) = n ν Ŝ ± u ν r ) u νn r N ) 2.00) und n ν gibt an, wie oft ν in {ν,..., ν N } enthalten ist. Mit anderen Worten, n ν beschreibt, wieviele Teilchen im Einteilchenzustand ν sind. Wegen der Anti-) Symmetrisierung ist der Basiszustand Ŝ ± u ν r ) u νn r N ) durch Angabe der Besetzungszahlen für alle Einteilchenzustände eindeutig bestimmt. Ein Phasen- oder allgemeiner ein Normierungsfaktor ist dadurch nicht festgelegt, ändert aber nicht den Zustand. Wir schreiben für die normierten) Basiszustände n, n 2,... mit n + n = N. 2.0) Diese nennt man Besetzungszahlzustände und die Darstellung von Operatoren usw. in dieser Basis Besetzungszahldarstellung. Es ist sinnvoll, Operatoren einzuführen, die die Teilchenzahlen ändern Bosonen Wir definieren den Erzeugungsoperator b ν durch b ν..., n ν,... = B n ν +..., n ν +,..., 2.02) wobei wir den Zahlenfaktor B n ν + etwas später festlegen werden. b n erhöht offensichtlich die Besetzungszahl n ν um eins. Wir definieren außerdem den Vernichtungsoperator durch b ν := b ν). Es folgt Weiter folgt..., n ν,... b ν..., n ν,... = B n ν + δ n ν,n ν )..., n ν,... b ν..., n ν,... = B nν+ δ n ν,n ν+ 2.04) b ν..., n ν +,... = B nν +..., n ν, ) b νb ν..., n ν,... = B n ν B nν..., n ν, )..., n ν,... ist also ein Eigenzustand von b νb ν mit Eigenwert B n ν B nν. b ν muss den Zustand zerstören, wenn kein Teilchen im Einteilchenzustand ν ist, weil negative Teilchenzahlen keinen Sinn haben: b ν..., n ν = 0,... = 0 B 0 = ) Es ist nützlich, als Bestandteil der Definition von b ν zu verlangen, dass gilt B nb n := n und B n R +. Dann folgt B n = n und b ν..., n ν,... = n ν +..., n ν +,..., 2.08) b ν..., n ν,... = n ν..., n ν,..., 2.09) b νb ν..., n ν,... = n ν..., n ν, ) 8

20 b νb ν ist demnach der Teilchenzahloperator ˆn ν. Weiter folgt [b ν, b ν]..., n ν,... b ν b ν b νb ν )..., n ν,... = [n ν + ) n ν ]..., n ν,... =..., n ν, ) Da dies für alle Zustände gilt, folgt Weiterhin gilt trivial [b ν, b ν] =. 2.2) [b ν, b ν ] = [b ν, b ν] = 0, 2.3) da jeder Operator mit sich selbst kommutiert. Soweit haben wir Vertauschungsrelationen für Erzeuger und Vernichter desselben Einteilchenzustandes betrachtet. Operatoren für verschiedene Einteilchenzustände ν, ν kommutieren, da der Vielteilchenzustand symmetrisch unter Vertauschung von Teilchen ist. Das wollen wir am Beispiel von b ν und b ν, ν ν, zeigen. Wir erinnern uns an die Symmetrie des Vielteilchenzustandes unter Vertauschung: Wir hatten für Bosonen. Das können wir auch schreiben als ψ..., r j,..., r k,...) = ψ..., r k,..., r j,...) 2.4)..., r j,..., r k,... ψ =..., r k,..., r j,... ψ. 2.5) Aber diese Symmetrie gilt für jede Basis die Ortsbasis ist nicht bevorzugt also auch für die Produktbasis gebildet aus einem vollständigen Satz von Einteilchenzuständen ν. Die Basisvektoren sind vgl. S. 4) ν ν 2 ν N ν. ν N = ν, ν 2,..., ν N H N. 2.6) Für Bosonen gilt also..., ν j,..., ν k,... ψ =..., ν k,..., ν j,... ψ. 2.7) Nun ist b ν ν,..., ν N = b ν ν ν N = n ν + ν ν ν N = n ν + ν, ν,..., ν N H N+ 2.8) und b νb ν ν,..., ν N = n ν + n ν + ν, ν, ν,..., ν N. 2.9) Aber für Bosonen kommt es nicht auf die Reihenfolge der ν an:... = n ν + n ν + ν, ν, ν,..., ν N = b ν b ν ν,..., ν N ν,..., ν N 2.20) b νb ν = b ν b ν 2.2) [b ν, b ν ] = ) und ähnlich für [b ν, b ν ] und [b ν, b ν ]. Wir erhalten schließlich die fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bosonen: [b ν, b ν ] = δ νν, 2.23) [b ν, b ν ] = 0, 2.24) [b ν, b ν ] = ) 9

21 2.4.2 Fermionen Für Fermionen hatten wir gesehen, dass jeder Einteilchenzustand ν höchstens einfach besetzt sein kann. Also gilt n ν = 0, ν. 2.26) Wir definieren zunächst analog zu Bosonen den Erzeugungsoperator c ν durch und den Vernichtungsoperator durch c ν := c ν). Es folgt Es folgt c ν..., n ν,... = C n ν+..., n ν +, )..., n ν,... c ν..., n ν,... = C n ν + δ n ν,n ν )..., n ν,... c ν..., n ν,... = C nν+ δ n ν,n ν+ 2.29) c ν..., n ν +,... = C nν +..., n ν, ) Offenbar ist C 0 = 0. Für Fermionen gilt aber außerdem c νc ν..., n ν,... = C n ν C nν..., n ν, ) Wir können praktischerweise C = definieren und erhalten dann und c ν..., n ν =,... = ) C 2 = ) c ν..., n ν = 0,... =..., n ν =,..., 2.34) c ν..., n ν =,... = 0, 2.35) c ν..., n ν = 0,... = 0, 2.36) c ν..., n ν =,... =..., n ν = 0, ) c νc ν..., n ν = 0,... = 0, 2.38) c νc ν..., n ν =,... =..., n ν =,..., 2.39) wie für Bosonen. Für den Antikommutator {c ν, c ν} := c ν c ν + c νc ν folgt c νc ν = ˆn ν 2.40) {c ν, c ν}..., n ν,... = c ν c ν + c νc ν )..., n ν,... =..., n ν,......, n ν, ) {c ν, c ν} =. 2.42) In Gl. 2.4) haben wir ausgenutzt, dass immer einer der beiden Terme eins und der andere Null ergibt. Für den Antikommutator schreibt man auch [A, B] + := AB + BA. Für Fermionen macht es, anders als für Bosonen, einen Unterschied, welches Teilchen zuerst erzeugt wird. Mit der Produktbasis ν,..., ν N := ν ν 2 ν N 2.43) gilt nämlich wegen der Antisymmetrie des Vielteilchenzustands Also folgt für ν ν..., ν j,..., ν k,... ψ =..., ν k,..., ν j,... ψ. 2.44) c νc ν ν,..., ν N = C n ν +C n ν + ν, ν, ν,..., ν N = C n ν +C n ν + ν, ν, ν,..., ν N = c ν c ν ν,..., ν N ν,..., ν N 2.45) c νc ν = c ν c ν 2.46) {c ν, c ν } = ) 20

22 Für den Fall ν = ν gilt dies aber auch, denn {c ν, c ν} = 2c νc ν = 0. Analoge Ergebnisse folgen für {c ν, c ν } und, für ν ν, für {c ν, c ν }. Insgesamt erhalten wir die Anti-Vertauschungsrelationen {c ν, c ν } = δ νν, 2.48) {c ν, c ν } = 0, 2.49) {c ν, c ν } = ) Die letzte Gleichung enthält das Pauli-Prinzip: c νc ν = 2 { c ν, c ν} = 0, man kann keine zwei Fermionen in demselben Zustand ν erzeugen. Für Bosonen und Fermionen definieren wir den Vakuum-Zustand 0 vac dadurch, dass er von allen b ν bzw. c ν vernichtet wird: b ν 0 = 0, c ν 0 = 0 ν. 2.5) 0 ist nicht mit dem Nullvektor 0 im Fock-Raum zu verwechseln. 0 hat die Norm eins, 0 0 =. 0 ist der einzige Basisvektor des Null-Teilchen-Hilbertraums H 0. In der Vielteilchentheorie wird 0 oft nicht das echte Vakuum ohne Teilchen bezeichnen, sondern den Grundzustand eines Systems. Damit schreiben wir die Besetzungszahlzustände nun als b )n b 2 )n2 0 Bosonen), 2.52) c )n c 2 )n2 0 Fermionen), 2.53) wobei wir uns gleich um die Normierung kümmern werden. Für Fermionen kommt es auf die Reihenfolge an, wir müssen eine Ordnung von Einteilchenzuständen festlegen und dann konsistent verwenden. Die Eigenschaften der b ν, c ν stellen sicher, dass diese Zustände die korrekten Anti-) Symmetrie-Eigenschaften haben. Die fermionischen Zustände sind bereits normiert: Wir betrachten 0 c n 2 2 cn c c )n 2 0. )n2 Hierin ist { c n für n = 0, c = )n c c 2.54) für n =. Im Fall n = wirkt dieser Operator auf den Zustand c 2 0, der keine Teilchen im Zustand )n2 enthält. Daher kann der Teilchenzahloperator c c durch Null ersetzt werden und der Operator c n c )n kann durch eins ersetzt werden. Dasselbe Argument lässt sich für die Zustände 2, 3, etc. wiederholen, so dass sich am Ende 0 c n2 2 cn c )n c 2 0 = 2.55) )n2 ergibt. Für Bosonen betrachten wir 0 b n2 2 bn b )n b 2 )n2 0. Es gilt b n ν ν b ν) n ν = b n ν ν + b νb ν ) b ν) n ν. 2.56) Der Teilchenzahloperator b νb ν wirkt auf einen Zustand, der n ν Teilchen enthält und kann daher durch n ν ersetzt werden. Damit kann im obigen Skalarprodukt b n ν ν b ν) n ν durch n ν b n ν ν b ν) nν ersetzt werden. Iteration ergibt den Faktor n ν!. Dies wird erst für Zustand, dann für 2 usw. ausgeführt und ergibt schließlich 0 b n2 2 bn b )n b 2 0 = n )n2! n 2! 2.57) Damit erhalten wir für die normierten Besetzungszahlzustände n, n 2,... = n! n 2! b )n b 2 )n2 0 Bosonen), 2.58) n, n 2,... = c )n c 2 )n2 0 Fermionen). 2.59) Der Ausdruck für Bosonen gilt im Übrigen auch für Fermionen, da 0! =! =. Nun sind die Besetzungszahlzustände n, n 2,... per Konstruktion eine Abkürzung für die Permanente bzw. Slater-Determinante, bis auf die Normierung. Wir können daher für Bosonen schreiben r, r 2,..., r N b ν b ν 2 b ν N 0 Ŝ+ u ν r ) u ν2 r 2 ) u νn r N ) = Ŝ+ r ν r 2 ν 2 r N ν N 2.60) 2

23 und damit r, r 2,..., r N n, n 2,... r, r 2,..., r N b )n b 2 )n2 0 Ŝ+ u r ) u r 2 ) u 2 r n +) u 2 r n +2) 2.6) n Terme n 2 Terme Das Proportionalitätszeichen deutet an, dass Normierungsfaktoren weggelassen wurden. Für Fermionen gilt entsprechend und r, r 2,..., r N c ν c ν 2 c ν N 0 Ŝ u ν r ) u ν2 r 2 ) u νn r N ) = Ŝ r ν r 2 ν 2 r N ν N 2.62) r, r 2,..., r N n, n 2,... = r, r 2,..., r N c )n c 2 )n Operatoren in zweiter Quantisierung Ŝ u r ) u 2 r n +) 2.63) wenn n = wenn n 2= Wir wollen den Hamiltonian durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken. Zunächst für Einteilchen-Terme T und V ): Wir hatten, siehe S. 7, V = V ) νν ν ν. 2.64) i νν wirkt auf Teilchen i Offenbar trägt der Operator unter der Summe nur bei, wenn Teilchen i im Zustand ν war, der Operator verschiebt es dann in den Zustand ν. Demnach gilt für Bosonen V b ν b ν 2 b ν N 0 = V ) νν δ ν ν i b ν b ν b ν N ) i νν i-tes Teilchen Das nächste Ziel ist, die rechte Seite als Operator, ausgedrückt durch die b, b, angewandt auf b ν b ν N 0 zu schreiben. Also soll b ν b ν N 0 ganz rechts stehen. Um das zu erreichen, betrachten wir den Einteilchenzustand ν genauer. In b ν b ν N 0 sei dieser n -mal besetzt n =, 2, 3,...; n = 0 ergibt Null). Dieser Zustand enthält also b ν )n, angewandt auf das Vakuum. Um die Erzeuger so zusammenzufassen, nutzen wir aus, dass bosonische Erzeugungsoperatoren miteinander kommutieren. Der Summand in Gl. 2.65) enthält stattdessen b ν b ν )n. Dies wollen wir in eine ähnliche Form bringen: b ν b ν )n = b ν b ν b ν }{{ n } = V b ν b ν 2 b ν N 0 = νν V ) b ν )n = n b νb ν b ν )n 2.66) νν i δ ν ν i n b νb ν b ν b ν N ) Da ν nun n -fach besetzt ist, enthält die i-summe n identische, nicht verschwindende Terme, wodurch sich der Faktor /n weghebt. Also ist... = νν V ) νν b νb ν b ν b ν N ) Dies gilt für alle Zustände b ν b ν N 0 und daher folgt die Operatoridentität V = νν V ) νν b νb ν. 2.69) 22

24 Ebenso erhält man T = νν T νν b νb ν. 2.70) Entsprechend zeigt man V 2 = 2 ν ν 2 ν 3 ν 4 V 2) ν ν 2 ν 3 ν 4 b ν b ν 2 b ν4 b ν3. 2.7) beachte Konvention Dieselben Darstellungen mit b c) ergeben sich für Fermionen, wenn man die Antikommutatoren korrekt behandelt Quantenfeldoperatoren Das bisher gesagte gilt im Wesentlichen für jede beliebige Basis { ν } von Einteilchenzuständen. Ein wichtiger Spezialfall ist die Ortsbasis { r } Erinnerung: ˆr r = r r ). Wir definieren den Quantenfeldoperator Ψr) := ν r ν a ν = ν u ν r) a ν. 2.72) Hier ist a ν := { b ν c ν für Bosonen, für Fermionen 2.73) ein Vernichtungsoperator, Ψr) ist also eine Linearkombination von Vernichtungsoperatoren. Beachte die Schreibung mit einem Großbuchstaben Ψ. Dies hat die normale Form eines Basiswechsels. Es folgt durch Bildung des hermitesch konjugierten Ψ r) = ν r ν a ν = ν u νr) a ν. 2.74) Wir finden für Bosonen [Ψr ), Ψ r 2 )] = u ν r ) u ν 2 r 2 ) [b ν, b ν 2 ] = ν ν 2 = δ ν ν 2 ν u ν r ) u ν r 2 ) = δr r 2 ) 2.75) unter Verwendung der Vollständigkeitsrelation. Für Fermionen ergibt sich analog {Ψr ), Ψ r 2 )} = u ν r ) u ν 2 r 2 ) {c ν, c ν 2 } = u ν r ) u ν ν ν 2 r 2 ) = δr r 2 ). 2.76) ν = δ ν ν 2 Das oben für die Darstellung von Operatoren durch Erzeuger und Vernichter gesagte gilt entsprechend auch für die Ortsdarstellung. Die kinetische Energie wird z. B. zu T = νν T νν a νa ν mit T νν = ν ˆp 2 2m ν 2.77) T = d 3 rd 3 r T r, r ) Ψ r) Ψr ) mit T r, r ˆp 2 ) = r 2m r. 2.78) In den letzten beiden Gleichungen ist ˆp natürlich der Impulsoperator. Die kinetische Einteilchenenergie in Ortsdarstellung lautet T r, r ) = δr r ) ) 2 r 2m 2.79) T = d 3 r Ψ r) 2 2m ) Ψr). 2.80) 23

25 Analog gilt V = d 3 r Ψ r) V r) Ψr), 2.8) V 2 = d 3 r d 3 r 2 Ψ r )Ψ r 2 ) V 2 r, r 2 ) Ψr 2 )Ψr ). 2.82) 2 Zumindest die Gleichungen 2.80) und 2.8) sehen so aus wie die Erwartungswerte der entsprechenden Energiebeiträge in erster Quantisierung. Ψ ist jetzt aber ein Operator. Es scheint so, als ob wir die Einteilchenwellenfunktion ψr) zu Ψr) quantisiert haben. Daher die Bezeichung Zweite Quantisierung. Wir haben aber nur einmal quantisiert, nämlich als wir [ˆx, ˆp] = iħ postuliert haben, der Rest folgte aus der Konstruktion des Fock-Raums und linearer Algebra. Die Ähnlichkeit mit Einteilchenerwartungswerten kann zu einem weiteren Missverständnis führen, das hier ausgeräumt werden soll: Die Wellenfunktion ψr) charakterisiert den Zustand eines Systems, nämlich in der Ortsdarstellung. Der Quantenfeldoperator Ψr) charakterisiert dagegen nicht den Zustand eines Systems, sonders ist ein Operator, der auf Vielteilchen-) Zustände wirkt. Genauer ist Ψr) ein Vernichtungsoperator, der versucht, ein Teilchen am Ort r zu vernichten. Die Kombination Ψ r)ψr) ist ein Operator, der prüft, ob am Ort r ein Teilchen vorhanden ist Impulsdarstellung Für translationsinvariante Systeme ist, wie in der Einteilchen-Quantenmechanik, der Übergang zu Fouriertransformierten Größen nützlich. Wir führen zur späteren Verwendung ein: Ψr) = a k = V k Volumen V Dann folgt z. B. für die bilinearen Terme T = ) d 3 r a e ik r k 2 e ik r a k V 2m kk = d 3 r a ) r k ) 2 k V e ik k 2m a k kk mit d 3 r e ik k ) r = V δ kk = V a k V δ k )2 kk 2m a k kk e ik r a k 2.83) d 3 r e ik r Ψr). 2.84) = k k 2 2m a k a k 2.85) und analog sowie V 2 = =: V = d 3 r e ik k ) r V r) a k V a k =: V ) k k a V k a k 2.86) kk kk 2V 2 2V 2 k k 2k k 2 k k 2 k k 2 d 3 r d 3 r 2 e ik k ) r e ik 2 k 2 ) r 2 V 2 r, r 2 ) a k a k 2 a k 2 a k V 2) k k,k a 2 k 2 k a k 2 a k 2 a k. 2.87) Die letztere Form vereinfacht sich, wenn V 2 r, r 2 ) = V 2 r r 2 ) nur vom Abstand der Teilchen abhängt. 24

26 2.5 Relativistisches skalares Feld 2.5. Klein-Gordon-Gleichung Erinnerung an die Vorlesung Quantentheorie 2: Man motiviert die Klein-Gordon- KG-) Gleichung durch die Ersetzung p i, E i / t in der relativistischen Relation E 2 = p 2 + m 2 das stellt sicher, dass der klassische Grenzfall korrekt herauskommt Bohrsches Korrespondenzprinzip): 2 t 2 ψ = 2 ψ + m 2 ψ c = ħ =!) 2.88) ) 2 t 2 2 ψ + m 2 ψ = 0 Klein-Gordon-Gleichung. 2.89) =: Relativistische Notation: Vierervektoren v mit kovarianten Komponenten v µ, µ = 0,, 2, 3, und kontravarianten Komponenten v µ, µ = 0,, 2, 3. Diese hängen zusammen über v µ = ν g µν v ν g µν v ν 2.90) und die Größen g µν bzw. g µν bilden die Matrix Einsteinsche Summenkonvention) g = , 2.9) die sogenannte Metrik. x µ hat die Komponenten t, x). x µ hat dann die Komponenten t, x). Der Gradient µ := µ = x µ x µ 2.92) wird so definiert, dass gilt µ x µ = µ x µ x µ = ) Dann ist = 2 t 2 2 = µ µ 2.94) und die KG-Gleichung lautet: µ µ + m 2) ψ = ) Ohne Beweis sei hier wiederholt, dass die KG-Gleichung einen erhaltenen Strom hat, d. h. es gilt j µ := i ψ µ ψ ψ µ ψ ) 2.96) µ j µ = j0 x 0 + j x +... = j0 t + j = 0 j0 = j, 2.97) t also die Kontinuitätsgleichung. Der Vorfaktor i sorgt dafür, dass j µ reell ist, ansonsten ist der Vorfaktor beliebig. Anders als in der nicht relativistischen Schrödinger-Quantenmechanik ist die 0-Komponente nicht positiv semidefinit: j 0 = i ψ ψ ) t ψ t ψ 2.98) 25

27 kann kleiner als Null werden. j 0 ist erster Ordnung in / t, aber die Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung, sie erlaubt daher beliebige ψr) und ψr)/ t zu fester Zeit t.) Wie in der Quantentheorie 2 sicherlich erwähnt wurde, macht dieses Problem eine Einteilchen-KG-Theorie inkonsistent. Zum anderen leidet sie auch unter dem Problem eines nach unten unbeschränkten Spektrums. Die Lösung für beide Probleme liegt im Übergang zur Vielteilchentheorie, am besten mittels zweiter Quantisierung Quantisierung des relativistischen skalaren Feldes Wir gehen nach demselben Schema vor wie oben im nicht relativistischen Fall, d. h. wir bestimmen zunächst eine geeignete Einteilchenbasis und bauen daraus eine Basis des Fock-Raums auf. Wir betrachten zunächst den etwas einfacheren Fall des reellen skalaren Feldes. Den an sich natürlicheren Fall des komplexen skalaren Feldes werden wir anschließend diskutieren. Für die Lösung der KG-Gleichung machen wir den Ansatz ψ k t) e ik r. 2.99) Wir fordern in diesem Abschnitt, dass ψr, t) reell sein soll. Dann muss in der Fourier-Transformation gelten, dass ψ k t) = ψ kt) ist. Mit der KG-Gleichung erhalten wir ψr, t) = e ik r ψ k t) 2.200) V k ψ k + k 2 ψ k + m 2 ψ k = ) ψk + ω 2 kψ k = ) mit ω 2 k := k2 + m 2. Dies ist die Gleichung für klassische, unabhängige harmonische Oszillatoren. Wir werden von dieser Erkenntnis später noch Gebrauch machen. Die Lösung erfolgt mittels des Ansatzes ψ k = e iω kt mit ω k = k 2 + m 2 : ψ k + ω 2 kψ k = ω 2 kψ k + ω 2 kψ k = ) Wir sehen hier, dass die Energie positive und negative Werte ±ω k annehmen kann. ω k wächst aber für k unbeschränkt an, so dass das Energiespektrum der Klein-Gordon-Gleichung betragsmäßig beliebig große negative Eigenwerte enthält. Es existiert daher kein Grundzustand. Das ist einer der Punkte, an denen die Einteilchen-Klein-Gordon-Theorie versagt. Da wir reelle Lösungen suchen, schreiben wir ψ k = 2ωk konventionelle Normierung Ak e iωkt + A ke iω kt ), 2.204) komplexe Amplituden da dann gilt ψ k = 2ωk A k e iω kt + A k e iω kt ) = ψ k ) Die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung lautet also, in Ortsdarstellung, Dies können wir auch schreiben als so dass offenbar gilt ψr, t) = e ik r Ak e iωkt + A V 2ωk ke iω kt ) ) k ψr, t) = r ψ = k r k k ψ = e ik r k ψ, 2.207) V k k ψ = 2ωk Ak e iω kt + A ke iω kt ) ψ k ) 26

28 Die allgemeine Lösung 2.206) ist offenbar eine Superposition ebener Wellen, aber mit einer Nebenbedingung an die Koeffizienten, die aus der Forderung der Realität resultiert. In der zweiten Quantisierung werden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Einteilchen-Zustände eingeführt. Die geeigneten Einteilchen-Zustände sind hier ebene Wellen, aber die Nebenbedingung macht die Herleitung schwierig. Wir führen die sich als zielführend erweisenden Feldoperatoren daher ohne vollständigen Beweis ein. Die Einteilchen-Zustände bezeichnen wir mit ψ k, versuchen aber zunächst nicht, sie direkt durch die ψ k auszudrücken. Eine Basis des N-Teilchen-Hilbertraums H N wird dann durch die Zustände ψ k ψ k2 ψ kn 2.209) realisiert. Wie führen nun Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Ψ k, Ψ k für die Einteilchenzustände ein, d. h. wir schreiben ψ k = Ψ k 0 etc. 2.20) Die Forderung ψr, t) R sollte zu einer Bedingung an die Operatoren Ψ k, Ψ k führen. Ohne Beweis stellen wir fest, dass diese Ψ k = Ψ k 2.2) lautet. Diese Beziehung ist offensichtlich ähnlich zur Bedingung ψ k = ψ k bei der Lösung der Einteilchen- Klein-Gordon-Gleichung. Aus Gl. 2.2) folgt Ψ r, t) = e ik r Ψ k t) = e ik r Ψ k t) = e ik r Ψ k t) = Ψr, t), 2.22) V V V k Ψr, t) ist also hermitesch. Weiter folgt, dass wir Ψ k in der Form k k Ψ k = 2ωk a k e iω kt + a k eiω kt ) 2.23) schreiben können, wobei a k, a k Operatoren sind. Wir müssen jetzt noch über die Vertauschungseigenschaften von Ψ k bzw. a k entscheiden beschreiben wir Bosonen oder Fermionen? Wir versuchen hier nicht, ganz allgemein alle Vertauschungs- oder Antivertauschungsrelationen zu ermitteln, die mit der Klein-Gordon-Feldtheorie vereinbar sind. Stattdessen zeigen wir, dass bosonische Vertauschungsrelationen der a k zu einer widerspruchsfreien Theorie führen. Unser Argument verwendet eine Analogie mit der klassischen Bewegungsgleichung von unabhängigen harmonischen Oszillatoren. Dies macht den physikalischen Gehalt klarer, ist aber für die Herleitung nicht erforderlich; wir könnten auch die bosonischen Vertauschungsrelationen postulieren und die Widerspruchsfreiheit der Theorie zeigen. Gleichung 2.202) ist die Bewegungsgleichung für unabhängige klassische harmonische Oszillatoren. Identifiziere q k = ψ k als Auslenkung und p k = ψ k als Impuls. q k und p k sind kanonisch konjugierte Variablen im Sinne der klassischen Mechanik. In Analogie mit der Einteilchen-Quantenmechanik fordern wir daher siehe Seite ) ] [ ] [p k, q k = Ψ k, Ψ k = iδ kk. 2.24) Analog zu Seite 23 folgt für das Quantenfeld Ψ r, t) im Ortsraum [ Ψ ) r, t), Ψ r, t)] = iδ r r ). 2.25) Beachte, dass die Zeit-Argumente beider Operatoren gleich sind. Wir suchen den Kommutator Zunächst gilt Ψ k = [a k, a k ]. 2ωk iω k a k e iω kt + iω k a k eiω kt ), 2.26) Ψ k = 2ωk iω k a k eiω kt iω k a k e iω kt ). 2.27) 27

29 Wir haben damit ein lineares Gleichungssystem von vier Gleichungen für a k, a k, a k, a k das wir lösen können: Es folgt [a k, a k ] a k = a k = ωk = 2 eiω kt iω k t ωk ω k ωk [ ] + i Ψk, Ψ k ω k 2 eiω kt Ψ k + i e iω kt Ψk, 2.28) 2ωk ωk 2 e iω kt Ψ k i e iω kt Ψ k. 2.29) 2ωk =[Ψ k, Ψ k ] =iδ kk ) = iδ kk [Ψ k, Ψ k ] =[Ψ k,ψ k ]=0 unter Vernachlässigung der uniformen Mode k=0) ωk i [Ψ k, ω Ψ ] k k =iδ kk ) [ + Ψk, ωk ω Ψ ] k k =[ Ψ k, Ψ k ]=0, siehe. Term = 2 i iδ kk ) + i iδ kk )) = δ kk ) Also erfüllen a k, a k die kanonischen Vertauschungsrelationen für Bosonen. Das ist nicht überraschend wegen der Analogie zum harmonischen Oszillator, die wir für die heuristische Begründung benutzt haben. Das System ist in diesem Bild analog zu einem elastischen dreidimensionalen Körper r R 3 ), aber mit einer etwas anderen Dispersionsrelation ω k = k 2 + m 2, oder mit restaurierten Naturkonstanten ω k = k 2 c 2 + m 2 c 4 /ħ 2. Beachte, dass sich für m 0 die lineare Dispersion ω k = kc von Phononen im Kontinuum ergibt. Von der linearen Kette kennen wir bereits einen Hamiltonian, der die gefundene Dynamik beschreibt, nämlich H = ) p k 2 p k + ωkq 2 k q k. 2.22) Also ausgedrückt durch das Feld Ψ H = 2 k k ) Ψ Ψ k k + ωk 2 Ψ k Ψ k ) =k 2 +m 2 In Ortsdarstellung ist dann H = d 3 r H r) 2.223) Hamilton-Dichte mit H r) = [ Ψ2 r) + Ψ 2 + m 2 Ψ r)] 2, 2.224) 2 wobei wir benutzt haben, dass Ψ hermitesch ist. Beachte, dass die Hamilton-Dichte H den Ausdruck ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 Ψ Ψ Ψ Ψ ) t x y z 28

30 enthält. Ist dies Lorentz-invariant? Nein! Lorentz-invariant ist nur der Lorentz-Skalar ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 Ψ Ψ Ψ Ψ µ Ψ µ Ψ = ) t x y z Der Lagrangian Lagrange-Operator) L = d 3 r L r) Lagrange-Dichte 2.227) ist gegeben durch die Legendre-Transformation L [q k, q k ] := p k q k H [p k, q k ] 2.228) k L r) = [ Ψ2 r) Ψ 2 m 2 Ψ r)] ) 2 L = µ Ψ µ Ψ m 2 Ψ 2) ) 2 Der Lagrangian ist offenbar Lorentz-invariant. Daher werden relativistische Feldtheorien bevorzugt mittels ihrer Lagrange-Dichte L beschrieben, nicht mittels H. Zurück zum Hamiltonian: Wir finden H = S. 27 = = = 2 2 k Ψ Ψ ) k k + ωkψ 2 k Ψ k [ ) ) a k 2ω iω ke iωkt + a k iω k ) e iω kt a k iω k ) e iωkt + a k iω ke iω kt k k a ) )] k eiω kt + a k e iω kt a k e iωkt + a k e iω kt +ω 2 k ω 2 2ω ka 2 k a k ωka 2 k a k e2iω kt ωka 2 k a k e 2iω kt +ω k ka 2 k a k k α β +ωka 2 k a k +ωka 2 k a k e2iω kt +ωka 2 k a k e 2iω kt +ω ka 2 k a k +α +β ) ω k a k a k + a k a k 2 k = k ω k a k a k + 2 ), 2.23) also entkoppelte harmonische Oszillatoren, wie erwartet. Beachte: H ist positiv definit. Wir haben dank des übergangs zur Vielteilchentheorie Feldtheorie) kein Problem mehr mit negativen Energieeigenwerten. 2.6 Komplexes skalares Feld Wir hatten im vorigen Abschnitt verlangt, dass die Einteilchenwellenfunktionen ψ r, t) reell seien. Wir hatten gesehen, dass dann der Feldoperator Ψ r, t) hermitesch ist. Es gab aber keine überzeugende Begründung dafür, dass ψ R sein soll. Das ist keine natürliche Forderung in der Quantenmechanik. Wir lassen sie jetzt fallen. Wir werden aber sehen, dass es im Rahmen der QFT eine sinnvolle Forderung ist.) Ein komplexes Feld ψ r, t) ist einfach ψ = 2 ϕ + iϕ 2 ), 2.232) wobei ϕ,2 reelle Felder sind. Wir schreiben in Analogie zum reellen Feld die Lagrange-Dichte L = µ Ψ µ Ψ m 2 Ψ Ψ 2.233) 29

31 und finden L = 2 µ ϕ µ ϕ +i µ ϕ µ ϕ 2 i µ ϕ 2 µ ϕ =0 + µ ϕ 2 µ ϕ 2 m 2 ϕ 2 im 2 ϕ ϕ 2 + im 2 ϕ 2 ϕ m 2 ϕ 2 =0 = 2 µ ϕ j µ ϕ j m 2 ϕ 2 ) j ) 2 j= Das ist einfach die Summe von Lagrange-Dichten für zwei reelle Felder, die nicht miteinander wechselwirken. Beim Übergang zur QFT ist es naheliegend zu fordern ϕ Φ, ψ Ψ) [ Φi r, t), Φ j r, t)] = iδ ij δ r r ), 2.235) [ [Φ i r, t), Φ j r, t)] = Φi r, t), Φ j r, t)] = ) Daraus folgt mit Ψ = Φ + iφ 2 ) / 2: [ Ψ r, t), Ψ r, t)] und [ Ψ r, t), Ψ r, t) ] = iδ r r ) 2.237) = [ Ψ r, t), Ψ r, t) ] = [Ψ r, t), Ψ r, t)] = ) Wir drücken Φ,2 wie oben durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a,2, a,2 aus, so dass Φ,2 hermitesche Operatoren sind: Φ j r, t) = a ) jk e ik r ωkt) + a e ik r ω kt) jk j =, 2) 2.239) V 2ωk k mit [ ] a ik, a jk = δ ij δ kk etc ) Wir könnten nun Ψ durch a j, a j ausdrücken. Es ist aber praktischer, neue Operatoren b k, c k einzuführen: Damit findet man [ ] [ ] b k, b k = c k, c k = δ kk usw. Weiter gilt b k = a k + ia 2k 2, 2.24) c k = a k ia 2k ) Ψ r, t) = b ) k e ik r ωkt) + a e ik r ω kt) k 2.243) V 2ωk k und der Hamiltonian lautet H = k ) ω k b k b k + c k c k = k ) ω k b k b k + c k c k ) Wie zu erwarten war, erhalten wir zwei Sätze von entkoppelten harmonischen Oszillatoren. Man kann jetzt den Stromoperator j µ := i Ψ µ Ψ Ψ µ Ψ ) 2.245) 30

32 definieren. Man findet, dass j µ ein erhaltener Strom ist: µ j µ = 0 dies folgt, da ψ µ ψ ψ µ ψ erhalten ist, wenn ψ eine Lösung der KG-Gleichung ist) t j0 + j = ) Integration über den Ortsraum ergibt d dt d 3 r j 0 r) + d 3 r j } {{ } =0 = ) j 0 ist die zeitliche Komponente des Stromdichtevektors, also eine Dichte. Wir können damit eine erhaltene Ladung Q definieren: [ Q := d 3 r j 0 r) = i d 3 r Ψ r) Ψ r) Ψ r) Ψ ] r) = ) b k b k c k c k ) k! Wir finden, dass die von b k erzeugten Feldquanten Teilchen) die Ladung + tragen, während die von c k erzeugten Quanten die Ladung haben. j µ ist nur bis auf einen Zahlenfaktor festgelegt, insbesondere könnten wir die Vorzeichen auch umgekehrt wählen.) Wir nennen die c-quanten Antiteilchen der b- Quanten. Wir sehen, dass Ψ Teilchen b) erzeugt und Antiteilchen c) vernichtet. Beachte, dass Teilchen und Antiteilchen beide positive Energie ω k = k 2 + m 2 und positive Masse m haben, siehe Seite 30. Somit ist das Energiespektrum nun von unten beschränkt und ein Grundzustand existiert, nämlich der Vakuumzustand ohne Teilchen b und c. 2.7 Feynman-Propagator Wir kennen im Prinzip die Dynamik des Feldes Ψ, die durch die Lagrange-Funktion L = d 3 r µ Ψ µ Ψ m 2 Ψ Ψ ) 2.249) 2 festgelegt wird. Aus der Lagrange Funktion folgt als Euler-Lagrange-Gleichung die KG-Gleichung µ µ Ψ m 2 Ψ = ) Wir wollen aber nun die Dynamik im Teilchenbild beschreiben. Wir wollen dazu angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit genauer Wahrscheinlichkeitsamplitude) ein Teilchen zur Zeit t 2 am Ort r 2 im Volumenelement d 3 r 2 ) ist, wenn es zur Zeit t am Ort r war. Diese bedingte Wahrscheinlichkeitsamplitude wird durch die Green-Funktion den Propagator) +) 4-Vektoren x, x 2 ) := i 0 Ψx 2 )Ψ x ) 0 = i 0 Ψr 2, t 2 )Ψ r, t ) ) beschrieben. Zur Erinnerung, der Feldoperator lautet Da nach Definition und daher gilt Ψr, t) = b ) k e ik r ωkt) + c e ik r ω kt) k ) V 2ωk k b k 0 = c k 0 = ) 0 b k = 0 c k = 0, 2.254) +) x, x 2 ) := i 0 V 2 b k e ik r 2 ω k t 2 ) b k e ik r ω k ω k ω t ) k kk ) 3

33 Ein nicht verschwindender Beitrag existiert nur für k = k :... = i 0 e ikr 2 r ) iω k t 2 t ) b k b k V 2ω k 0 =: +) x 2 x ) 2.256) Wir sehen: k. +) hängt nur von x 2 x ab, da das System translationsinvariant in Raum und Zeit ist und 2. +) beschreibt die Propagation eines Teilchens b von x nach x 2. Physikalisch wollen wir oft aber nicht immer) kausale Prozesse beschreiben, d. h. solche, bei denen die Ursache Erzeugung von b aus dem Vakuum) der Wirkung Vernichtung von b) vorausgeht. Das erfordert offenbar t 2 > t. Analog definieren wir ) x, x 2 ) := i 0 Ψ x 2 )Ψx ) 0 = i 0 e ikr 2 r )+iω k t 2 t ) c k c k V 2ω k 0 k =: ) x 2 x ), 2.257) dies beschreibt die Propagation eines Antiteilchens c von x 2 nach x. Dieser Prozess ist kausal, wenn t > t 2. Der kausale oder Feynman-Propagator ist definiert als der für gegebene t, t 2 kausale Propagator ±) : { i 0 Ψx 2 )Ψ x ) 0 für t 2 > t F x 2 x ) : = i 0 Ψ x )Ψx 2 ) 0 für t 2 < t i 0 T Ψx 2 )Ψ x ) ) Hier ist T der Zeitordnungsoperator. T ist kein Operator auf dem Hilbertraum, sondern eine Vorschrift, wie die nachfolgenden Operatoren zu ordnen sind: T arrangiert diese Operatoren so, dass deren Zeitargumente von rechts nach links zunehmen, { At 2 )Bt ) für t 2 > t T At 2 )Bt ) := 2.259) At )Bt 2 ) für t 2 < t. Für das komplexe skalare Feld ohne Wechselwirkungen, das wir bisher beschrieben haben, können wir F ausrechnen: { 0 Ψx)Ψ 0) 0 für x 0 = t > 0 F x) = i 0 Ψ 0)Ψx) 0 für x 0 = t < 0 e ik r iωkt b k b k = i 0 = V 2ω k e k ik r+iωkt c k c ) k = Im Fall t > 0 ersetzen wir k k,... = i V { e ik r iω k t 2ω k e ik r+iω kt. 2.26) k Übergang zum unendlich großen System: V k d 3 k 2π) 3, 2.262) 32

34 ergibt... = i d 3 k 2π) 3 e ik r iωk t ) 2ω k Nun sieht dies nicht Lorentz-invariant aus, da die Zeit t in anderer Form als der Ort r auftritt und nur über Dreiervektoren k integriert wird. Wir benutzen folgende Identität, um ein Integral über Vierervektoren k µ zu erhalten: e iω t = iω dk 0 e ik0 t π k 0 ) 2 ω 2 mit η 0 +, 2.264) + iη wobei +iη angibt, auf welcher Seite wir am Pol bei k 2 0 = ω 2 vorbei integrieren sollen. dies ist dasselbe wie F x) = i = d 3 k iω k 2π) 3 2ω k π d 4 k 2π) 4 dk 0 e ik µ x µ k µ k µ m 2 + iη e ik0 t ik r k 0 ) 2 ωk 2 +iη =k 0 ) 2 k k m 2 η ) Dies ist der gesuchte Propagator. Er ist explizit Lorentz-invariant. Um zu sehen, dass wir F zu Recht als Green-Funktion bezeichnet haben, berechnen wir µ µ + m 2) ) 2 F x) = t m 2 F x) d 4 k = 2π) 4 k 0) ) 2 + k k + m 2 e ikµ x µ k µ k µ m 2 + iη = k µ k µ m 2 ) = η 0 + d 4 k µ 2π) 4 eik x µ = 2π) 4 2π)4 δ x 0) δ x ) δ x 2) δ x 3) 4-Vektor = δr) δt) = δ x) ) F ist also tatsächlich die Green-Funktion der KG-Gleichung, also die Lösung der Gleichung für die Inhomogenität δx) das Vorzeichen ist konventionsabhängig). Wir können das vierdimensionale Integral in F x) explizit ausführen. Wir geben nur das Ergebnis an: F x) = m 8π x 2 H) F x) = im 4π x 2 K m x 2 ) m x 2 ) für x 2 t 2 r 2 > 0 zeitartig), 2.267) für x 2 < 0 raumartig) ) K und H ) sind Bessel-Funktionen. Zusätzlich enthält F noch eine δ-funktions-singularität bei x 2 = 0 auf dem Lichtkegel): F x) = 4π δ x 2) für x ) 33

35 Wieso ist F x) 0 für raumartige x? Ist hier nicht die Kausalität verletzt? Schließlich müsste sich eine Wirkung von 0 schneller als mit der Lichtgeschindigkeit ausbreiten, um den Punkt x zu erreichen. Antwort: Dies drückt aus, dass ein Teilchen nicht beliebig scharf in der Raumzeit lokalisiert werden kann. Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet E t ħ 2 = 2 weil ħ = ), 2.270) wobei für E eine typische Skala m ist und t im relativistischen Fall durch eine Lorentz-invariante Größe, x 2 = r 2 t 2, ersetzt wird, m x ) 2.8 ϕ 4 -Theorie Wir wollen zum Abschluss des Abschnitts zu bosonischen Feldern kurz eine der einfachsten Quantenfeldtheorien erwähnen, die Wechselwirkungen enthalten. Es ist die ϕ 4 -Theorie, die durch die Lagrange-Dichte für reelles bzw. hermitesches Feld) L = 2 µ Ψ µ Ψ 2 m2 Ψ 2 4 g Ψ4 neu 2.272) definiert wird. Diese ergibt als Bewegungsgleichung µ µ + m 2) Ψ + gψ 3 = 0, 2.273) die nichtlinear ist. Diese Nichtlinearität stammt offenbar vom Term vierter Ordnung im Feld, daher die Bezeichnung ϕ 4 -Theorie. Terme höherer als zweiter Ordnung beschreiben Wechselwirkungen, während Terme zweiter Ordnung einfach die ungestörte Propagation bestimmen, wie wir oben gesehen haben. Die Wechselwirkung bzw. die Nichtlinearität macht diese Theorie sehr viel schwieriger aber damit auch interessanter als die freie bosonische Feldtheorie. In den Kapiteln zur Vielteilchentheorie werden Wechselwirkungen eine zentrale Rolle spielen. Wir verschieben die Diskussion von Methoden für wechselwirkende Felder bis dahin. 2.9 Dirac-Feld 2.9. Erinnerung an die Dirac-Gleichung Wir hatten gesehen, dass die KG-Gleichung keine konsistente Einteilchentheorie beschreibt. Der Grund ist, dass sie von 2. Ordnung in der Zeit ist, und daher beliebige Orts-) Funktionen ψr, t) und ψr, t) zu festen t erlaubt vgl. Anfangsbedingungen für Dgl. 2. Ordnung: man kann ψ und ψ vorgeben). Daher kann j 0 r, t) beliebig reell sein, insbesondere auch negativ. Um dieses Problem zu lösen, sind wir oben zur Vielteilchentheorie bzw. QFT übergegangen. Dirac versuchte dagegen, eine relativistische Einteilchen-Quantenmechanik zu retten, indem er zu einer Gleichung 34

36 . Ordnung in der Zeit überging. Aufgrund der Lorentz-Invarianz muss sie dann auch. Ordnung in den räumlichen Koordinaten sein. Also schrieb Dirac i ψ t = Hψ mit H = α p + βm 2.274) Impulsoperator i Dies ist die Dirac-Gleichung. Hier sind α, α 2, α 3 und β hermitesche Operatoren, die nicht auf den Ort r wirken damit die Gleichung von. Ordnung in ist) und nicht von r abhängen Translationsinvarianz). Sie wirken daher nur auf innere Freiheitsgrade. Es folgt H 2 = jk α j p j α k p k + j α j p j βm + k βmα k p k + β 2 m 2 = j = j α j ) 2 p 2 j + α j α k jk j k p j p k vertauschen + j α j ) 2 p 2 j + α j α k + α k α j) p j p k + j jk j<k α j β + βα j) p j m + β 2 m 2 α j β + βα j) p j m + β 2 m ) Wir fordern zusätzlich, dass H 2 = p 2 + m 2 gilt. Dies stellt sicher, dass der klassische Grenzfall korrekt ist. Das bedeutet übrigens, dass ψ zugleich auch die KG-Gleichung erfüllen soll. Die Forderung der Energie- Impuls-Beziehung impliziert α j ) 2 =, 2.276) α j α k + α k α j = 0 für j k, 2.277) α j β + βα j = 0, 2.278) β 2 = ) Eine einfache Umschreibung lässt uns besser erkennen, dass die Dirac-Gleichung Lorentz-invariant ist. Wir multiplizieren i ψ Hψ = ) t von links mit β: definieren vier Operatoren iβ ψ t + iβα ψ β2 mψ = 0, 2.28) = γ 0 := β, 2.282) γ j := βα j j =, 2, 3) 2.283) und bilden daraus einen Vierervektor -Operator) γ µ µ = 0,, 2, 3). Dann lautet die Dirac-Gleichung iγ µ µ ψ mψ = ) Schreibweise: für jeden Vierervektor v µ sei v/ := γ µ v µ Feynman dagger ). Dann lautet die Dirac-Gleichung Die Bedingungen an β, α j implizieren i /ψ mψ = ) γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν, 2.286) γ 0 ) = γ 0, 2.287) γ j ) = γ j j =, 2, 3) 2.288) γ 0 γ µ ) γ 0 = γ µ) ) 35

37 Wir suchen eine Darstellung der γ µ, d. h. wir wollen sie als Matrizen mit diesen Eigenschaften schreiben. Dafür gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Es zeigt sich vgl. z. B. Messiah, Quantenmechanik, Bd. 2), dass man die γ µ nicht durch kleinere als 4 4 Matrizen darstellen kann. Die Standard-Darstellung beinhaltet mit den Pauli-Matrizen σ := 0 0 ), σ 2 := 0 i i 0 ), σ 3 0 := 0 ) und σ 0 := 0 0 ) 2.290) folgende 4 4 Matrizen: γ 0 = γ j = ) σ σ 0, 2.29) ) 0 σ j σ j j =, 2, 3) ) 0 In dieser vierdimensionalen Darstellung muss ψr, t) ein vierkomponentiger Vektor sein, da die γ µ auf ψ wirken. Also ψ ψ = ψ 2 ψ ) ψ 4 Dirac-Spinor ). Bemerkung: ψ ist kein relativistischer Vierervektor. Der vierdimensionale Spinor-Raum der ψ hat nichts mit der 4-dimensionalen Raumzeit zu tun. Der hermitesch adjungierte oder konjungierte) Vektor ist Man führt noch den Pauli-adjungierten Vektor ψ = ψ, ψ 2, ψ 3, ψ 4) ) ψ := ψ γ 0 = ψ, ψ 2, ψ 3, ψ 4) 2.295) ein. In der relativistischen Quantenmechanik und QFT nennt man letzteren einfach den adjungierten Vektor.) Man kann zeigen, dass j µ := ψγ µ ψ = ψ γ 0 γ µ ψ 2.296) eine erhaltene Stromdichte ist: Ihre 0-Komponente, die Teilchenzahldichte, lautet µ j µ = ) j 0 = ψ γ 0 γ 0 ψ = ψ ψ = ψ ψ + ψ 2ψ 2 + ψ 3ψ 3 + ψ 4ψ ) und ist offenbar positiv semidefinit. In dieser Hinsicht führt die Dirac-Gleichung, anders als die KG- Gleichung nicht zu einem Problem. Wir lösen nun die Dirac-Gleichung mittels des Ansatzes ebener Wellen, iγ µ µ ψ mψ = 0, ψ = ψ ψ 2 ψ 3 ψ ) ψ = uk) e ik νx ν uk) e ikν x ν, 2.300) wobei uk) = u k) u 2 k) u 3 k) u 4 k) 2.30) 36

38 ein vierkomponentiger Dirac-Spinor ist. Es folgt Wir multiplizieren von links mit k ν γ ν + m: Um eine Lösung zu erhalten, muss also iγ µ ik µ )uk)e ik νx ν muk)e ik νx ν = 0, 2.302) γ µ k µ uk) muk) = ) k ν γ ν γ µ k µ uk) +mγ µ k µ uk) k ν γ ν muk) m 2 uk) = ) =0 k µ k µ uk) m 2 uk) = ) k µ k µ k 0) 2 k k = m ) sein. Dies folgt schon aus der Beobachtung, dass ψ auch die KG-Gleichung erfüllt. Es ist der übliche relativistische Energie-Ausdruck. Also ist k 0 = ± k k + m ) bis auf das Vorzeichen festgelegt und uk) = uk) hängt nur vom Dreiervektor k ab. Sei wie oben Die Matrix in der Dirac-Gleichung 2.303) lautet γ µ k µ m β m = ω k := k k + m 2 > ) k 0 m 0 k 3 k + ik 2 0 k 0 m k ik 2 k 3 k 3 k ik 2 k 0 m 0 k + ik 2 k 3 0 k 0 m ) Daraus erhalten wir die Lösungen u + k, ) := u + k, 2) := u k, ) := u k, 2) := m + ωk 2m 0 k 3 m+ω k k +ik 2 m+ω k konventioneller Normierungsfaktor m + ωk 2m m + ωk 2m m + ωk 2m 0 k ik 2 m+ω k k 3 m+ω k k 3 m+ω k k ik 2 m+ω k 0 k +ik 2 m+ω k k 3 m+ω k 0 mit k 0 = ω k, 2.30) mit k 0 = ω k, 2.3) mit k 0 = ω k, 2.32) mit k 0 = ω k, 2.33) wie man durch einsetzen in Gl ) prüft. Die Dispersionsrelation sieht nun so aus: 37

39 k 0 k 0 = ω k m 0 m k jeweils zweifach entartet k 0 = ω k Wir sehen, dass die Dirac-Gleichung wie die KG-Gleichung Lösungen mit negativen Energien von beliebig großem Betrag hat. Das Spektrum ist unbeschränkt von unten.) Diese Eigenschaft macht eine Einteilchen-Dirac-Theorie inkonsistent und erfordert wieder den Übergang zur QFT. Diracs ursprüngliches Programm zur Konstruktion einer relativistischen Einteilchen-Quantenmechanik ist also gescheitert. Allerdings können wir wie zuvor die Lösungen der Dirac-Gleichung zur Konstruktion von Vielteilchenzuständen benutzen Dirac-Feldtheorie Wie gesehen erfordert Diracs Idee Zustandsvektoren mit mindestens) vier Komponenten. Dies entspricht inneren Freiheitsgraden der beschriebenen Teilchen, die vier verschiedene Werte annehmen können. Ohne Beweis geben wir an, dass es sich hier um einen Spin-/2-Freiheitsgrad und um den Teilchen/Antiteilchen- Freihetsgrad handelt. Die möglichen Zustände sind also Teilchen,, Teilchen,, Antiteilchen,, Antiteilchen,. Ebenfalls ohne Beweis sei mitgeteilt, dass halbzahlige Spins fermionische Symmetrie der Wellenfunktion erfordern und umgekehrt Spin-Statistik-Theorem). Beim Übergang zur QFT wollen wir also das Feld ψx) durch einen Feldoperator Ψx) mit fermionischen Antivertauschungsrelationen ersetzen. Bemerkung: Genauer müssten wir jetzt wieder eine Basis von Vielteilchenzuständen aus den Eigenzuständen der Einteilchen-Dirac-Gleichung konstruieren usw.) Die Dirac-Gleichung folgt als Euler-Lagrange-Gleichung aus der klassischen ) Lagrange-Dichte L = ψi / m)ψ, ψ = Die kanonisch konjugierte Größe π a zu ψ a finden wir wie in der Mechanik: ψ ψ 2 ψ 3 ψ ) π a = L ψ = L a 0 ψ a ) = iψ bγba 0 = iψ a 2.35) Erinnerung: ψ = ψ γ 0 ψγ 0 = ψ γ 0 γ 0 = ψ. Würden wir Bosonen beschreiben wollen, so wäre es naheliegend, beim Übergang zur QFT kanonische Vertauschungsrelationen für die Koordinaten ψ a und Impulse iψa zu fordern. Für Fermionen setzen wir stattdessen die Antikommutatoren an. Man kann zeigen, dass die Zweite Quantisierung auf genau diese Relationen führt. Also sollen nun Ψ a und Ψ a fermionische Antivertauschungsrelationen erfüllen: { } Ψ a r, t), Ψ b r, t) = δ ab δr r ), 2.36) {Ψ a r, t), Ψ b r, t)} = 0 usw. 2.37) 38

40 Wir können Ψ wie zuvor nach Einteilchenzuständen Lösungen der Dirac-Gleichung) entwickeln. Dazu ist es nützlich zu setzen uk, s) := u + k, s), 2.38) vk, s) := u k, s) 2.39) physikalisch drückt das aus, dass die Abwesenheit eines Teilchens mit Impuls k einem Antiteilchen mit Impuls k entspricht). Wir schreiben Ψr, t) = V k 2 s= m E k [ a ks uk, s) e ik r E kt) + b ks vk, s) e ik r E kt) ] ) Man kann zeigen, dass dann fermionische Antivertauschungsrelationen für a, b folgen: } } {a ks, a k s = {b ks, b k s = δ kk δ ss, 2.32) {a, a} = { a, a } = {b, b} = { b, b } = {a, b} = { a, b } = ) für beliebige Indizes. In Ψ vernichtet a ein Teilchen und b erzeugt ein Antiteilchen. Bis auf den fermionischen Charakter ist alles analog zum komplexen bosonischen) Feld im vorigen Abschnitt. Insbesondere erhalten wir für den Hamiltonian Gesamtenergie) H = ) E k a ks a ks + b ks b ks ) ks irrelevante Konstante Dies ist jetzt beschränkt von unten. Die Ladung wird wieder über die 0-Komponente der Stromdichte definiert: Q = d 3 r j 0 = d 3 r Ψγ 0 Ψ = d 3 r Ψ Ψ = ) a ks a ks b ks b ks ) ks irrelevant Wie bei Bosonen haben Teilchen und Antiteilchen beide positive Energie aber entgegengesetzte Ladung Feynman-Propagator für das Dirac-Feld Die Definition des Feynman-Propagators erfolgt im Prinzip wie für das komplexe Feld, bis auf folgende Unterschiede: Also: wobei Ψ ist jetzt ein vierkomponentiger Vektor, der Propagator wird daher eine 4 4 Matrix. Werden zwei fermionische Faktoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen. Ψ wird durch das Pauli-adjungierte Feld Ψ ersetzt. S F x) := i 0 T Ψx)Ψ0) 0 T Ψx)Ψ0) = Zeitordnungsoperator { Ψx)Ψ0) für x 0 > 0 Ψ0)Ψx) für x 0 < 0, 2.325) 2.326) und Ψx)Ψ0) ist das äußere Tensor-) Produkt der beiden Vektoren: [S F x)] ab = i 0 T Ψ a x)ψ b 0) ) Wie im bosonischen Fall tragen für x 0 > 0 nur die a-) Teilchen und für x 0 < 0 nur die b-) Antiteilchen bei. Aus der expliziten Darstellung von Ψ erhalten wir analog d 4 k S F x) = µ 2π) 4 e ik x µ γ µ ) k µ m + iη η 0 + k/ 39

41 Beachte, dass k/ eine 4 4-Matrix ist, der Bruch ist also als Matrix-Inversion zu verstehen. Wir erkennen einen Zusammenhang zwischen der Bewegungsgleichung Klein-Gordon bzw. Dirac) im Fourier-Raum und dem Fourier-transformierten Propagator: Gleichung: KG Dirac µ µ + m 2) ψx) = 0 iγ µ µ m) ψx) = 0 k µ k µ + m 2) ψx) = 0 γ µ k µ m) ψk) = 0 Propagator: k µ k µ m 2 +iη 2.0 Elektromagnetismus γ µ k µ m+iη Nach dem skalaren Feld Spin 0) und dem Dirac-Feld Spin /2) kommen wir nun zum elektromagnetischen Feld mit Spin. Hier kommen einige neue Ideen ins Spiel, denn das elektromagnetische Feld ist nicht einfach ein bosonisches Feld, nur mit Spin statt 0, sondern ist zusätzlich ein Eichfeld. Wir erinnern uns zunächst am die klassische Elektrodynamik und formulieren deren Grundgleichungen dann in relativistischer Form. Das elektrische und das magnetische Feld sind, in Gegenwart von Ladungen und Strömen, durch die Maxwell-Gleichungen E = 4πϱ, 2.329) B = 0, 2.330) E = B t, 2.33) B = 4πj + E t 2.332) bestimmt. Wir verwenden hier Gaußsche Einheiten und setzen weiterhin c =. In späteren Abschnitten werden wir zu SI-Einheiten übergehen, aber hier sind Gaußsche Einheiten zunächst praktischer.) Wir können zwei der vier Gleichungen lösen, indem wir Eichfelder ϕ, A einführen: Die Maxwell-Gleichungen werden zu B = A, 2.333) E = ϕ A t ) 2 ϕ + A t = 4πϱ, 2.335) 0 = 0, 2.336) t A = A, 2.337) ) t 2 t 2 2 A = 4πj A + ϕ ) ) t Wir erkennen, dass zwei der Gleichungen trivial werden. Die Maxwell-Gleichungen ändern sich nicht unter der simultanen Eichtransformation A A + χ, 2.339) ϕ ϕ χ 2.340) t mit einer beliebigen Funktion χr, t). D. h. die physikalischen Eigenschaften sind invariant unter dieser Eichtransformation. Die gesuchte Theorie muss diese Invarianz enthalten. Interpretation: ϕ, A) enthalten mehr Information, als zur eindeutigen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes tatsächlich nötig ist. Das Feld hat gar nicht vier unabhängige Komponenten A 0 := ϕ), A, A 2, A 3, oder gar sechs E, E 2, E 3, B, B 2, B 3 ). Es ist wünschenswert, eine Theorie so zu formieren, 40

42 dass sie in jeder Eichung gilt d. h., so dass sie invariant unter Eichtransformationen ist). Andererseits kann man die Eichinvarianz auch ausnutzen: Wir erhalten garantiert dieselben Ergebnisse für beobachtbare Größen unabhängig von der Eichung. Wir können also χ so wählen, dass die Rechnung möglichst einfach wird. Zwei Eichungen sind hier wichtig: a) Lorenz-Eichung: Diese wird durch die Forderung A + ϕ t = ) festgelegt dies ist eine Gleichung, sie legt eine Größe, χ, fest). Lorenz schreibt sich wirklich ohne t, es ist eine andere Person: Ludvig Lorenz, nicht Hendrik Anton Lorentz. Die Lorenz-Eichung respektiert die Lorentz-Invarianz, da wir sie auch in der explizit kovarianten Form µ A µ = ) schreiben können. Sie führt zu symmetrischen Gleichungen ) 2 t 2 2 A A = 4πj, 2.343) ) 2 t 2 2 ϕ ϕ = 4πρ, 2.344) verschleiert aber wichtige Eigenschaften, wie wir sehen werden. b) Coulomb-Eichung: Diese wird durch A = ) festgelegt. Dann wird 2 t 2 2 ) A A = 4πj t ϕ, =: 4πj T 2.346) 2 ϕ = 4πϱ instantan!), 2.347) wobei j T transversale Stromdichte genannt wird, da gilt j T = j 4π t 2 ϕ = j + ϱ = ) t Im Fourier-Raum lautet die entsprechende Beziehung k j T = 0, also gilt j T k Vierervektor-Notation In der relativistischen kovarianten Formulierung führen wir ein Vierervektorfeld ein. Die allgemeine Eichtransformation lautet dann A µ = ϕ, A) 2.349) A µ A µ µ χ ) Die Lorenz-Eichung führt zu wobei Dies ist alles explizit Lorentz-invariant. µ A µ = ) A µ = 4πj µ 2.352) j µ = ϱ, j) ) 4

43 Die Coulomb-Eichung und die resultierenden Gleichungen sind nicht explizit Lorentz-invariant, aber die beschriebene Physik ist es natürlich, da sie ja nicht von der speziellen Eichung abhängt. Hier passiert folgendes: die Gleichungen ändern ihre Form unter Lorentz-Transformationen, aber man kann immer eine Eichtransformation finden, die sie wieder in die ursprüngliche Form bringt.) Die E, B Felder sind jetzt Komponenten des antisymmetrischen Tensors Dies ist der sogenannte Feld-Tensor mit den Komponenten F µν = F µν := µ A ν ν A µ ) 0 E E 2 E 3 E 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B E 3 B 2 B 0 Man kann die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen dann schreiben als µν ) µ F µν = 4πj ν ) Die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen folgen ja bereits aus der Darstellung durch das Eichfeld A µ. Die Maxwell-Gleichungen lassen sich als Euler-Lagrange-Gleichungen zu einer Lagrange-Dichte L auffassen, die lautet L = 4 F µν F µν 4πj µ A µ E E B B) 4π ϱϕ + 4π j A, 2.357) 2 verstanden als Funktion des Eichfeldes A µ bzw. ϕ, A und von dessen Ableitungen. Wir zeigen dies anhand der inhomogenen Gleichungen: und daher L = 4 µ A ν ν A µ ) µ A ν ν A µ ) 4π j µ A µ = 2 µ A ν ν A µ ) µ A ν 4π j µ A µ 2.358) 0 = L µ µ A ν ) L = µ µ A ν ν A µ ) + 4πj ν = µ F µν + 4πj ν A ν 2.359) µ F µν = 4πj ν ) Dies war zu zeigen. Die zu A ν unterer, d. h. kovarianter Index!) kanonisch konjugierte Größe ist Insbesondere: L 0 A ν ) = F 0ν. 2.36) a) Zu A 0 = ϕ konjugiert ist F 00 = 0. Also ist A 0 = ϕ gar keine dynamische Variable der zugehörige Impuls ist exakt Null. Das versteht man am besten in der Coulomb-Eichung. In dieser gilt nämlich 2 A 0 2 ϕ = 4πϱ ) A 0 ist also durch die äußere Ladungsträgerdichte und Randbedingungen) eindeutig bestimmt und hat keine eigene Dynamik. Es ist nicht etwa so, dass die Coulomb-Eichung dazu führt, dass eine Komponente von A ν keine Dynamik hat. Das ist unabhängig von der Eichung der Fall. Wir könnten es auch ohne eine bestimmte Wahl der Eichung zeigen, nur wäre das etwas schwieriger. Die Coulomb-Eichung wurde nur benutzt, um dieses Ergebnis einfacher herleiten zu können. 42

44 b) Zu A k, k =, 2, 3 also A, Vorzeichen beachten!) konjugiert ist also +E). Zu A ist also E konjugiert. F 0k = E k 2.363) Da eine Komponente von A ν keine eigene Dynamik hat, scheint es, als hätten wir noch drei dynamische Freiheitsgrade. Das ist aber nicht der Fall: Da die Physik invariant ist unter den Eichtransformationen A µ A µ µ χ, 2.364) kann man eine Größe pro Punkt beliebig wählen. Es bleiben noch zwei dynamische Freiheitsgrade. Wir hatten gesehen, dass wir z. B. A = 0 fordern können Coulomb-Eichung). Dann ist A rein transversal wie man durch Fouriertransformation sieht: k A = 0 A ist senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Bemerkung: Wir haben die Coumlomb-Eichung verwendet, um zu zeigen, dass das elektromagnetische Feld nur zwei unabhängige, dynamische Komponenten hat. Da das eine Aussage über beobachtbare Physik ist, gilt sie aber unabhängig von der Eichung. Die Coulomb-Eichung war nur besonders günstig für die Herleitung Quantentheorie des Elektromagnetismus Wir wollen nun das elektromagnetische Feld quantisieren. Wir betrachten zunächst das freie Feld ϱ = 0, j = 0). Wir hatten L = E E B B) 2.365) 2 und das zu A kanonisch konjugierte Feld ist E. Wir verwenden die Coulomb-Eichung. Wir hatten gesehen, dass dann gilt 2 ϕ = ) freies Feld). Mit der vernünftigen Forderung ϕ 0 im unendlichen folgt Dann lautet die Hamiltonsche Dichte Energiedichte) H = E) A 0 = ϕ = ) 0 E L = E E 2 E E B B) = E E + B B), 2.368) 2 =Ȧ= E wie wir aus der Elektrodynamik-Vorlesung schon wissen. Wir müssen H durch das dynamische Feld Koordinaten ) A, mit A = 0, und das dazu konjugierte Feld Impulse ) E ausdrücken: H = 2 E 2 + A) 2) 2.369) also H = 2 d 3 r E 2 + A) 2) ) Da E zu A konjugiert ist, würden wir in Analogie zu den bisher betrachteten Feldern gern schreiben m, n =, 2, 3, also [ E m r, t), A n r, t)]? = iδ mn δr r ), 2.37) [E m r, t), A n r, t)]? = iδ mn δr r ), 2.372) um zur QFT überzugehen. Das ist aber nicht konsistent: Fourier-Transformation ergibt [ Em k, t), A n k, t) ] = d 3 r d 3 r e ik r ik r [E m r, t), A n r, t)]? = iδ mn d 3 r d 3 r e ik r ik r δ r r ) = iδ mn 2π) 3 δ k k ), 2.373) 43

45 wobei wir angenommen haben, dass das Feld Er, t) hermitesch ist. Es folgt [ k Ek, t), A n k, t) ]? = k m iδ mn 2π) 3 δ k k ) m = ik n 2π) 3 δ k k ) 2.374) Andererseits folgt aus E = 0 für das freie Feld, dass das elektrische Feld transversal ist: k E = 0. Widerspruch! Analog finden wir [ Em k, t), k Ak, t) ] = ik m2π) 3 δk k ) 2.375) im Widerspruch zu A = 0 in der Coulomb-Eichung. Also: der naive Kommutator enthält nichttriviale Beiträge für die longitudinalen Anteile von E und A die aus verschiedenen Gründen) gar keine dynamischen Freiheitsgrade darstellen. Mit anderen Worten: [ E m k, t), A n k, t) ] muss transversal in k und k sein, [ k m Em k, t), A n k, t) ] = k [ n Em k, t), A n k, t) ] = 0, 2.376) m n aber iδ mn 2π) 3 δ k k ) ist es nicht. Lösung: Wir verwenden nur den transversalen Anteil der rechten Seite: [ Em k, t), A n k, t) ] = i δ mn k ) mk n k 2 2π) 3 δk k ) ) Jetzt ist m k m i δ mn k ) ) mk n k 2 2π) 3 δk k ) = i k n k 2 k n k 2 2π) 3 δk k ) = 0, 2.378) also ist die rechte Seite transversal. Im Ortsraum erhalten wir mit transversal T [E m r, t), A n r, t)] = iδmnr r ) 2.379) δmnr) T := d 3 k eik r 2π) 3 δ mn k ) mk n k ) Es gibt nun zwei orthogonale lineare Polarisationen von A, da A transversal ist. Diese werden durch zwei Einheitsvektoren ê k, ê 2k ausgedrückt. Die entsprechenden klassischen) Lösungen der Maxwell- Gleichung sind proportional zu ê sk e ik r ωt), s =, 2. Wir vereinbaren ê k ê 2k = k k, 2.38) d. h., ê k, ê 2k, k bilden ein Rechtssystem. Wir schreiben den Feldoperator A hier benutzen wir dasselbe Symbol für klassisches und Quanten- Feld!) als Superposition von klassischen Einteilchen -) Lösungen, d. h. von ebenen Wellen: mit j =, 2, 3 und A j r, t) = V k 2ωk 2 ê sk ) j [a ] ks e ik r ωkt) + a eik r ω kt) ks 2.382) s= ω k = c k = k da c ) ) Diese spezielle Form des Feldes ausgedrückt durch a ks und a ks schreiben wir dabei in Analogie zum reellen Feld direkt hin, vgl. Gl. 2.23). Wir könnten sie auch wie für das reelle Feld herleiten. A ist ein reelles Vektorfeld in der klassischen Elektrodynamik, es wird in der QFT zu einem hermiteschen Feldoperator. Es folgt direkt A j r, t) = E j r, t) = i V k ωk 2 2 ê sk ) j [a ] ks e ik r ωkt) a eik r ω kt) ks ) s= 44

46 Die Gleichungen können wir für a ks und a ks lösen. Die Vertauschungsrelationen für E, A führen auf ] [a ks, a k s = δ kk δ ss, 2.385) [a ks, a k s ] = 0 usw ) a ks ist also ein bosonischer Erzeugungsoperator, der ein Quant des elektromagnetischen Feldes erzeugt. Dieses Quant nennen wir Photon. Wir finden also, dass Photonen Bosonen sind. Wir fassen zusammen, wie wir darauf gekommen sind:. Die Lagrange-Formulierung der klassischen Elektrodynamik ergab, dass der transversale Anteil von) A die dynamische Variable und E der dazu konjugierte Impuls sind. 2. Standard-Quantisierung von konjugierten Variablen und Darstellung des Feldes durch ebene Wellen also klassische Lösungen) ergab bosonische Vertauschungsrelationen für die Photonen-Erzeuger bzw. -Vernichter. Wir können A, E auch in H = 2 d 3 r E 2 + A) 2) 2.387) einsetzen und erhalten den Hamilton-Operator H = k 2 k a ks a ks + ), 2.388) 2 =ω k s= was noch expliziter zeigt, dass Photonen mit Wellenvektor k die Energie ω k = k haben. Oder mit ħ, c wiederhergestellt: E k = ħω k = ħc k ) Die Dispersion sieht also wie folgt aus: Wir finden außerdem, dass das Photon sein eigenes Antiteilchen ist, analog zum reellen hermiteschen) skalaren Feld. Damit ist das Photon insbesondere elektrisch neutral Transversaler Propagator Wir schreiben schließlich noch den Propagator des elektromagnetischen Feldes in der Coulomb-Eichung auf. Wie zuvor ist das Erebnis nicht Lorentz-invariant, man kann aber zeigen, dass der nicht Lorentzinvariante Anteil nicht zu beobachtbaren Effekten z. B. in Streuexperimenten) führt, siehe Huangs Buch. Der Propagator wird wie üblich definiert durch D ij T x) := transversal: A=0 i 0 T A i x)a j 0) 0 Zeitordnung 2.390) Wir verwenden die Darstellung von A durch die Operatoren a, a, gehen aber zum unendlich großen System über: d 3 k V 2π) ) k 45

47 Dann D ij T x) = i d 3 k d 3 k 2π) 6 2 ω k ω k 2 s,s = 0 a i ks aj k s e ikµ x µ 0 0 a j k s a i x µ ks 0 eikµ für x 0 > 0 für x 0 < 0 Term mit a 0 verschwindet jeweils, da a das Vakuum vernichtet 2.392) wobei a i ks := ê sk) i a ks. Nun ist 0 a i ksa j k s e ikµ x µ 0 = 2π) 3 δ ss δk k ) ê sk ) i ê s k ) j 2.393) also unter der Summe ss : D ij T x) = i d 3 k 2π) 3 e ik r iω k t δ ij ki k j ) 2ω k k ) Mit der Darstellung e iω k t = 2πi dk 0 2ω e ik0 t ω 2 k 0 ) 2 iη η k ) erhalten wir schließlich D ij T x) = d 4 k 2π) 4 e ik µ x µ k µ k µ + iη Die ganze Herleitung ist sehr ähnlich zum Fall des skalaren Feldes. δ ij ki k j ) k ) Impuls und Spin Als Anwendung wollen wir den Impuls und Eigendrehimpuls Spin) eines Photons bestimmen. Die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes ist bekanntlich durch den Poynting-Vektor E B gegeben. Naiv würden wir den Impuls nun schreiben p = d 3 r E A) ) Warum ist das nicht gut? p ist nicht hermitesch, da E und A nicht kommutieren. Also nehmen wir die symmetrisierte, hermitesche Form p = [ ] d 3 r E A) A) E, 2.398) 2! 46

48 die ebenfalls den korrekten klassischen Grenzfall ergibt. Wir setzen die explizite Darstellung von A und E = Ȧ ein: p = i ωk d 3 r [ê sk a ks e ik r ω kt) 2 V 2 ω k kk ) ss a e ik r ω kt) ks ik ê s k ) a k s eik r ω k t) ) a k s e ik r ω k t) ik ê s k ) a k s eik r ω k t) = 2 a k s e ik r ω k t) ) ê sk a ks e ik r ω kt) a ks e ik r ω kt) )] V kk ) 2, ωk ω k [ d 3 r ê sk k ê s k ) a ks a k s ss +a k s a ks e ik r ωkt) e ik r ω k t) ) a ks a k s + a k s a ks e ik r ωkt) e ik r ω k t) ) a ks a k s + a k s a ks e ik r ωkt) e ik r ω k t) ) ] + a ks a k s + a k s a ks e ik r ωkt) e ik r ω k t) = [ ê sk k ) ê 2 s, k a ks a k,s e 2iω kt k ss k = k hier ê sk ) k ê s k a ks a ks + 2 ) δ ss k =+k hier ê sk ) k ê s k a ks a ks + ) 2 δ ss ê sk ] ) k ê s, k a ks a k,s e2iω kt 2.399) Im. und 4. Term: Diese Terme sind ungerade in k, daher verschwindet die Summe. Beweis:. Term lautet [ ] ê sk ê s, k) k ê sk k) ê s, k a ks a k,s e 2iω kt 2 k ss =0 setze k k, s s : = ê sk ê s, k ) ka ks a k,s e 2iωkt 2.400) 2 k ss Die Summe ist gleich ihrem Negativen, also ist sie gleich Null.) Es bleibt: p = [ ] ) ê sk ê s k) k ê sk k) ê s k a ks a 2 ks + a ks a ks + δ ss k ss =δ ss =0 = k a ks a ks + ) = k a ks 2 a ks. 2.40) k s k s Der konstante Term verschwindet, da sich Beiträge zu k und k gegenseitig wegheben. Ein von a ks erzeugtes Photon hat also wie erwartet den Impuls k mit wiederhergestellten Einheiten: ħk). 47

49 Nun zum interessanteren Fall des Eigendrehimpulses. Aus dem Poynting-Vektor erhalten wir die Drehimpulsdichte r E B). Also für den Drehimpuls des Feldes, symmetrisiert: J = d 3 r [r E A)) r A) E)], 2.402) 2 und in Komponenten: J i = 2 d 3 r = 2 d 3 r = 2 = 2 jklmnp jklmnp d 3 r jklm d 3 r jklm ) ε ijk r j ε klm E l ε mnp A p ε ijk r j ε r n ε ijk ε klm ε mnp ε ijk r j E l ε ijk [ r j E l A l r k r j E l r n A p + A p r n E l beachte ε klm ε mnp =δ kn δ lp δ kp δ ln r k A l E l + A l r k E l r l A k + A l ) ) E l A k r n r l E l ) r l r j E l A k + r j A k E l ) =0 fällt weg wegen des Gaußschen Satzes )] El E l +δ jl E l A k + A k E l ) + r j A k + A k ) r l r l =0, da E=0 Der. Term enthält r linear, hängt also von der Wahl des Koordinatenursprungs ab. Dieses Verhalten kennen wir aus der Mechanik für den Bahndrehimpuls. Es ist also vernünftig, diesen Term als Bahndrehimpuls L des Feldes zu identifizieren. Der 3. Term hängt dagegen nicht explizit von r ab. Dies ist der Eigendrehimpuls S des Feldes: S i = d 3 r ε ijk E j A k + A k E j ) 2.404) 2 jk S = d 3 r E A A E) ) 2 Wir können wieder A, E einsetzen und erhalten nach einiger Rechnung a k2 a k a k a k2 S = i k k k ) ) Dies ist nicht diagonal im Polarisationsindex s, d. h. a ks dies leicht reparieren: Wir führen Linearkombinationen erzeugt keinen Eigenzustand zu S. Wir können Konvention a k± := a k iak ) ein. Dies lässt den Hamiltonian diagonal: H = k ) k a k+ a k+ + a k a k ) und diagonalisiert den Eigendrehimpuls: S = k k k ) a k+ a k+ a k a k ) Den Eigendrehimpuls nennen wir Spin. Der Spin des Photons hat also den Betrag mit Einheiten: ħ). Es existieren jedoch nur zwei Einstellmöglichkeiten des Spins: parallel oder antiparallel zu k, also zum Impuls. 48

50 oder Helizität + Helizität - Rechtsschraube) Linksschraube) Aus der elementaren Quantenmechanik hätten wir für den Spin noch eine dritte Einstellmöglichkeit erwartet, nämlich mit k S = ) k Diese tritt hier nicht auf, weil das elektromagnetische Feld wie gesehen nur zwei unabhängige, dynamische Komponenten hat, nicht drei. Das lässt sich darauf zurückführen, dass das elektromagnetische Feld masselos ist. Führt man einen Masseterm m 2 A µ A µ /2 in L ein, so erhält man drei unabhängige Komponenten und auch drei Erzeuger a k, a k0, a k,.) 2. Quantenelektrodynamik QED) Zum Abschluss der Einführung in die QFT wollen wir die QFT des Elektromagnetismus zumindest formulieren. Aus Zeitgründen können wir nicht viel damit rechnen. Die QED ist eine sehr erfolgreiche Theorie, die hochpräzise quantitative Ergebnisse liefert, z. B. für das magnetische Moment oder äquivalent den g-faktor) des Elektrons. Der Vergleich mit ebenfalls hochpräzisen Experimenten liefert hervorragende Bestätigungen der Gültigkeit der QED. Wieso ist die QED so erfolgreich? Zum einen ist sie offenbar korrekt innerhalb ihres Gültigkeitsbereichs, d. h. bei Vernachlässigbarkeit anderer Kräfte. Zum anderen zeigt die Beobachtung, dass die elektromagnetische Wechselwirkung relativ schwach ist: die Kopplungsstärke, gegeben durch e 2, in natürlichen Einheiten ist relativ klein gegen eins: e 2 α. 2.4) 4π ħc 37 Feinstrukturkonstante = in unseren Einheiten Dies erlaubt Störungsrechnung in α. Wäre α groß, könnte man das nicht machen und quantitative Ergebnisse wären viel schwieriger zu erhalten. Das ist ein Problem der Quantenchromodynamik QCD), der Theorie der starken Wechselwirkung, in der die entsprechende Kopplungskonstante von der Größenordnung eins ist. Wir betrachten nun Fermionen Elektronen) im elektromagnetischen Feld, die Diskussion für ein geladenes skalares Feld z. B. π + -Meson) ist ähnlich. Wir kennen bereits die Lagrange-Dichten für das Dirac-Feld und das elektromagnetische Feld: Die Gleichung L Dirac = Ψ i / m) Ψ, 2.42) L em = 4 F µν F µν. 2.43) L = L Dirac + L em 2.44) würde ungeladene Fermionen im elektromagnetischen Feld beschreiben Neutrinos) die beiden Felder sind gar nicht gekoppelt. Für geladene Fermionen können wir nun auf verschiedenen Wegen vorgehen. Hier werden wir die Form der Kopplung physikalisch motivieren und die Konsequenzen für die Eichtheorie folgern. Wir wissen: j µ = Ψγ µ Ψ mit Komponenten ϱ, j) 2.45) beschreibt die Teilchen-) Stromdichte der durch Ψ beschriebenen Fermionen und es gilt µ j µ = 0 Kontinuitätsgleichung), 2.46) 49

51 d. h. j µ ist ein erhaltener Strom. Wir wissen auch, wie die Ladungen und Ströme in der klassischen Elektrodynamik an das elektromagnetische Feld koppeln. Um diesen klassischen Grenzfall zu gewährleisten Korrespondenzprinzip), definieren wir zunächst j µ geringfügig um: mit der Ladung q eines Feldquants. Für Elektronen j µ := qψγ µ Ψ Ladungsstromdichte) 2.47) q = e < ) In der QFT-Literatur wird oft e als Ladung des Elektrons, also negativ, definiert, so auch von Huang und Itzykson/Zuber. In der Vielteilchen-Literatur und anderswo bezeichnet e die positive Elementarladung. So auch hier.) Natürlich gilt weiterhin µ j µ = 0. In der klassischen Elektrodynamik lautet dann der Kopplungsterm L int = 4π j µ A µ, 2.49) vgl. Gleichung 2.357). Wir nehmen an, dass dieser auch in der QED gilt. Dann ist L = L Dirac + L em + L int = Ψ iγ µ µ m) Ψ 4 F µν F µν 4πj µ A µ ) = Ψ iγ µ µ 4πγ µ qa µ m Ψ 4 F µν F µν ) Man fasst die Terme mit µ und A µ zusammen durch Definition der kovarianten Ableitung was ergibt D µ := µ + 4πi qa µ, 2.42) L = Ψ iγ µ D µ m) Ψ 4 F µν F µν = Ψ i D/ m) Ψ 4 F µν F µν ) Dies ist nun die Lagrange-Dichte der QED. Sie ist offenbar explizit Lorentz-invariant. Es ist vielleicht bemerkenswert, dass aus diesem harmlos aussehenden Ausdruck Ergebnisse wie die präzise Berechnung des g-faktors des Elektrons g 2, ) folgen. Wie gesagt verwendet die Rechnung Störungstheorie in q 2 = e 2 α) als kleinem Parameter. Wir untersuchen noch die Eichsymmetrie der Theorie: Für das freie elektromagnetische Feld hatten wir die Invarianz unter A µ A µ µ χ 2.423) für beliebiges χx) χr, t) gefunden. F µν ist eichinvariant, da es nur E und B enthält, aber naiv finden wir Ψ id/ m) Ψ = Ψ iγ µ µ 4πγ µ qa µ m) Ψ Ψ iγ µ µ 4πγ µ qa µ + 4πγ µ q µ χ m) Ψ = Ψ id/ m) Ψ + 4π Ψq /χψ ) Das ist nicht eichinvariant. Um dies zu reparieren fordern wir, dass sich Ψ simultan gemäß = Ψ e 4πi qχ Ψ 2.425) transformiert. Dann folgt nämlich ) Ψ iγ µ µ 4πγ µ qa µ m Ψ ) Ψ e } 4πiqχ {{ e 4πiqχ } iγ µ µ 4πqγ µ µ χ) + 4πγ µ q µ χ) 4πγ µ qa µ m Ψ =0 ) = Ψ iγ µ µ 4πγ µ qa µ mψ ) 50

52 Damit ist L insgesamt eichinvariant. Man kann sich natürlich fragen, warum wir auf die Eichinvarianz der Theorie so viel Wert legen. Die Erfahrung zeigt aber, dass die meisten oder alle) fundamentalen Wechselwirkungen durch Eichfeldtheorien, d. h. Quantenfeldtheorien mit Eichinvarianz, beschrieben werden. 5

53 Kapitel 3 Vielteilchentheorie bei der Temperatur Null Im vorigen Abschnitt haben wir einige Quantenfeldtheorien eingeführt und ihre Eigenschaften diskutiert. Man kann noch viele andere definieren. Eine Aufgabe der Hochenergie- und Elementarteilchenphysik ist es herauszufinden, welche QFT die beobachteten Teilchen am besten beschreibt. Wie in der Einführung erwähnt, ist der Ausgangspunkt in der Physik der kondensierten Materie ein anderer: Wir wissen, was die zu Grunde liegende Theorie ist, nämlich die QED mit einigen, ziemlich trivialen Erweiterungen für mehrere Sorten von geladenen Teilchen Elektronen und Kernen). Das Augenmerk verschiebt sich auf Effekte aufgrund der praktisch unendlich) großen Zahl von Teilchen. Dennoch kommen andere Quantenfeldtheorien in der Vielteilchentheorie schon bald durch die Hintertür wieder herein: Wir sind meist an Effekten bei niedrigen Energien/Temperaturen interessiert, die oft durch effektive Hamiltonians oder Lagrangians) beschrieben werden, die z. B. ein reelles Feld Phononen) oder masselose relativistische Fermionen Elektronen in Graphen, d. h. Graphit-Einzelschichten) darstellen. 3. Wechselwirkungsfreie Elektronen Wir betrachten als erstes nicht wechselwirkende Elektronen in einem starren Kristallgitter. Dieses System ist aus Sicht der Elektronen nicht Lorentz-invariant: das Gitter zeichnet ein Inertialsystem aus. Außerdem ist die Geschwindigkeit der Elektronen i. A. klein gegen c. Eine relativistische Formulierung ist daher weder angemessen noch notwendig. Relativistische Quantenfeldtheorien waren einfacher im Lagrange- Formalismus zu formulieren. Hier ist dies nicht von Belang und man verwendet meist den Hamiltonian. Für nicht wechselwirkende Elektronen treten wie gesehen nur bilineare Terme auf vgl. Abschnitt über 2. Quantisierung). Also ist ) H = T + V = d 3 r Ψ r) 2 2m + V r) Ψr) 3.) und im k-raum, nach S. 24, H = k k 2 2m c k c k + V den Index lassen wir fallen V k k c k c k. 3.2) kk V ist das Volumen des Systems. In diesem Abschnitt ignorieren wir den Elektronen-Spin, der einfach zu einer Verdoppelung der Einteilchenzustände führt. Wir betrachten aber nicht irgendein Potential V r), sondern ein starres Kristallgitter. Das bedeutet, dass die Funktion V r) periodisch ist: V r + R) = V r) 3.3) für jeden Gittervektor R. Einige Gittervektoren sind in dieser Skizze hier in zwei Dimensionen) dargestellt: 52

54 Daher gilt: V q = d 3 r e iq r V r) = R 3 R Gitter Zelle d 3 r e iq R e iq r V R + r). 3.4) = V r) An dieser Stelle ist es nützlich, zunächst folgende Summe zu betrachten: e iq R =? 3.5) R Gitter Für fast alle q nehmen die e iq R gleichverteilte Werte auf dem Einheitskreis e iq R = ) an. In der Summe heben sie sich weg: Das passiert nur dann nicht, wenn q R = 2πn, n Z, R, 3.6) denn dann gilt für alle R: e iq R = e i2πn = e 2πi ) n =. 3.7) Also ist in diesem Fall e iq R = = N. 3.8) R Gitter R Gitter N ist die Zahl der Gitterpunkte. Man definiert das reziproke Gitter als Menge aller Q mit e iq R = R 3.9) oder äquivalent: Q R/2π Z R. Also erhalten wir Somit folgt: V q = R Gitter Zelle { e iq R 0 für q / rez. Gitter, = N für q rez. Gitter. { d 3 r e iq r 0 für q / rez. Gitter V r) N für q rez. Gitter 3.0) 3.) 53

55 ist nur dann von Null verschieden, wenn q zum reziproken Gitter gehört, und ist dann i. W. die Fourier- Transformierte über eine Einheitszelle. Daher gilt auch V r) = V e iq r V q = V q Q rez. Gitter e iq r V Q. 3.2) Um den Faktor N loszuwerden, definieren wir die Fourier-Transformierte von V r) ab jetzt geringfügig anders: V Q := d 3 r e iq r V r) V R 3 = d 3 r e iq R e iq r V r) V Die Rücktransformation ist dann = R Gitter wobei Zelle R Gitter v Zelle Zelle Volumen der Einheitszelle V r) = e iq R = N d 3 r e iq r V r). 3.3) Q rez. Gitter e iq r V Q. 3.4) Damit vermeiden wir ein explizites Auftreten der extensiven Größen N und V. Somit ist H = k 2 2m c k c k + V Q c k+q c k. 3.5) k k Q rez. Gitter Wir sehen, dass der zweite Term Elektronen koppelt, deren Wellenvektoren oder Impulse, da ħ = ) sich um reziproke Gittervektoren Q unterscheiden: Hier sind alle Punkte miteinander gekoppelt und alle sind ebenfalls miteinander gekoppelt, aber nicht die mit den. 54

56 Die. Brillouin-Zone. BZ) ist definiert als die Menge aller k, die näher an Q = 0 als an irgendeinem anderen reziproken Gittervektor Q liegen. Die. Brillouin-Zone ist eine spezielle Einheitszelle des reziproken Gitters. Jedes k lässt sich schreiben als Summe eines reziproken Gittervektors Q und eines q. BZ: k = Q + q. 3.6) Das tun wir jetzt für die Operatoren c, c und schreiben H = kq k. BZ Q rez. Gitter k + Q) 2 2m c k+q c k+q + V Q c k+q+q c k+q. 3.7) kqq Da H keine Wechselwirkungen enthält, reicht es hin, Einteilchenzustände zu betrachten. Vielteilchenzustände ergeben sich dann einfach durch Besetzung der entsprechenden Zahl von Einteilchenzuständen unter Beachtung des Pauli-Prinzips. Wir betrachten Einteilchenzustände der Form nk = Q rez. Gitter u nkq c k+q 0, k. BZ. 3.8) Dies ist eine Superposition der von H in Gl. 3.5) gekoppelten Einteilchenzustände. Es folgt H nk = k + Q)2 2m c k +Q c k +Q u nkq c k+q 0 }{{ } k QQ + k QQ Q V Q c k +Q+Q erfordert k + Q = k + Q {}}{ c k +Q u nkq c k+q 0 = Q = Q beachte c k +Qc k+q = δ kk δ QQ c k+q c k +Q vernichtet 0 k + Q) 2 2m c k+q u nkq 0 + QQ V Q c k+q+q u nkq 0 mit Q + Q Q Q Q Q k + Q) 2 2m u nkq c k+q 0 + V Q u nkq Q c k+q ) QQ Wir wollen die Koeffizienten u nkq so wählen, dass nk ein Eigenzustand von H ist:...! = E nk nk = Q E nk u nkq c k+q ) Dies erfordert Q Q k + Q) 2 2m u nkq + Q V Q u nkq Q = Q V Q Q u nkq = E nk u nkq Q 3.2) [ k + Q) 2 ] δ QQ 2m + V Q Q u nkq = E nk u nkq. 3.22) Wir erhalten eine Eigenwertgleichung für die Matrix Hk) mit den Komponenten k + Q) H QQ k) 2 = δ QQ 2m + V Q Q 3.23) 55

57 für die Eigenwerte E nk, n =, 2,..., und Eigenvektoren u nk mit Komponenten u nkq. Hk) ist hermitesch, da V r) reell ist. Daher können wir das Problem im Prinzip lösen. nk mit den derart bestimmten u nkq ist ein Eigenzustand von H. In Ortsdarstellung lautet dieser ψ nk r) r nk = Q u nk r) ist gitterperiodisch, denn u nkq r c k+q 0 = Q u nkq e ik+q) r = e ik r ebene Welle e iq r u nkq. 3.24) Q } {{ } =: u nk r) u nk r + R) = Q e iq r e } iq R {{} u nkq = u nk r). 3.25) = Dies ist der Inhalt des Blochschen Theorems: In einem periodischen Potential sind die Einteilchenwellenfunktionen Produkte aus einer ebenen Welle und einer gitterperiodischen Funktion. Beachte auch, dass das Energiespektrum E nk nun durch eine diskrete Quantenzahl n den Bandindex ) und ein k. BZ aufgezählt wird. Da die Matrix Hk) eine stetige Funktion von k ist, erwarten wir, dass auch E nk für festes n stetig in k ist. Also bildet ein typisches Spektrum eine Bandstruktur, wie in der Skizze für eine Dimension gezeigt: Nahe bei k = 0, und allgemeiner an allen Sattelpunkten in der Bandstruktur, können wir entwickeln: E nk = En0 + 2 ij k i m, n ) ij k j, 3.26) wobei mn, der inverse effektive Massentensor ist. m, n ist in drei Dimensionen eine reelle und symmetrische 3 3-Matrix. Falls diese Matrix proportional zur Einheitsmatrix ist, ergibt sich die einfachere Form E nk = En0 + k2 2m n, 3.27) wobei m n die effektive Masse ist. Wir können zusätzliche Einsicht aus dem Grenzfall V r) 0 gewinnen. Wie sieht E nk dann aus? V ist auch hier periodisch, sogar mit jeder Periode, also auch mit der uns interessierenden. 56

58 Man kann zeigen, dass sich für ein schwaches Potential V zuerst dort Energielücken öffnen, wo sich zwei Bänder berühren: Man kann dies als Streuung der Elektronen am periodischen Gitter verstehen. Wir definieren noch c nk := u nkq c k+q. 3.28) Dann ist einfach Q rez. Gitter nk = c nk 0, 3.29) c nk erzeugt also einen Einteilchen-Eigenzustand. Man kann zeigen, dass die Operatoren c nk, c nk ebenfalls Fermionen beschreiben. Der Hamilton-Operator ausgedrückt durch die neuen Operatoren ist nun einfach H = nk E nk c nk c nk. 3.30) Wir haben den Hamilton-Operator damit vollständig diagonalisiert. Für wechselwirkungsfreie Elektronen erhalten wir Vielteilchenzustände wie erwähnt einfach durch Besetzung vieler Einteilchenzustände. Der Formalismus der Zweiten Quantisierung sorgt automatisch für die korrekte Antisymmetrie unter Vertauschung Pauli-Prinzip). Vielteilchenzustände lassen sich also schreiben als n k, n 2 k 2,... = c n k c n 2k ) Diese Vielteilchenzustände sind ebenfalls Eigenzustände von H, wie man leicht überprüft. Die zugehörige Eigenenergie ist E n k + E n2 k Der Grundzustand ist der Vielteilchenzustand mit der niedrigsten Energie bei der vorgegebenen Teilchenzahl. Wegen des Pauli-Prinzips kann jeder Einteilchenzustand unter Berücksichtigung des Spins) nur einfach besetzt sein. Wir füllen also die Einteilchenzustände mit aufsteigender Energie auf, bis wir alle Elektronen untergebracht haben. Die höchste dabei erreichte Einteilchenenergie heißt Fermi-Energie E F : Die Menge aller k mit E nk = E F nennt man Fermi-Fläche eine Fläche im dreidimensionalen k-raum). Es gibt zwei wichtige Fälle: a) Die Fermi-Energie liegt in einem Band: Elektrische Anregungen mit niedrigen Energien sind möglich, insbesondere Transport Strom) es handelt sich um ein Metall. 57

59 b) E F liegt in einer Energielücke der Breite zwischen zwei Bändern: Elektrische Anregungen benötigen die Mindestenergie, daher keine Leitfähigkeit bei T = 0 es handelt sich um einen Band-) Isolator für großes ) oder Halbleiter für kleinere ). Ein Isolator oder Halbleiter hat also keine Fermi-Fläche. Anregungen werden thermisch erzeugt für k B T, dann erhalten wir intrinsische Leitung im Halbleiter. 3.. Tight-Binding-Modelle Nach dem Blochschen Theorem lässt sich jede Eigenfunktion von wechselwirkungsfreien Elektronen auf einem Gitter schreiben als ψ nk r) = u nk r) e ik r, 3.32) wobei u nk r) gitterperiodisch ist. Nun ist k beschränkt auf die. BZ und die Fourier-Transformierte von ψ nk r) bzgl. k ist daher diskret. Wir können auch ψ nk r) periodisch im k-raum fortsetzen, dann ist ψ n,k+q r) = ψ nk r) für alle reziproken Gittervektoren Q. Daher ist die Fourier-Transformierte beachte die Nicht-Standard-Konvention über das Vorzeichen im Exponenten, das sich später als nützlich erweist) ϕ n R, r) := e ik R ψ nk r) 3.33) N diskret, nämlich nur für R aus dem reziproken Gitter des reziproken Gitters von Null verschieden, also für R aus dem ursprünglichen Gitter. Die Umkehrtransformation lautet ψ nk r) = e ik R ϕ n R, r). 3.34) N R Diese Darstellung von ψ nk r) muss das Blochsche Theorem erfüllen: ψ nk r) = e ik r e ik R r) ϕ n R, r) 3.35) N mit R R R+R = R k u nk r) = u nk r + R ) R Gitter 3.36) e ik R r) ϕ n R, r) = e ik R R r) ϕ n R, r + R ) R e ik R r) ϕ n R + R, r + R ). 3.37) R Dafür ist notwendig, dass ϕ n R + R, r + R ) = ϕ n R, r) für jeden Gittervektor R gilt. Mit der Wahl R = R finden wir, dass ϕ n nur von r R abhängen darf. Wir schreiben daher ψ nk r) = e ik R ϕ n r R), 3.38) N ϕ n r) ϕ n 0, r) = N R k. BZ ψ nk r) = N k. BZ e ik r u nk r). 3.39) 58

60 Die Funktionen ϕ n r) heißen Wannier-Funktionen. Sie sind typischerweise lokalisiert im Ortsraum und nähern sich für schwach wechselwirkende Atome den atomaren Wellenfunktionen an. Anders als diese sind sie jedoch für unterschiedliche n und R orthogonal, d 3 r ϕ nr R) ϕ n r R ) δ nn δ RR, 3.40) und bilden ein vollständiges System. Wir beweisen diese Aussagen hier nicht. Es ist nützlich, den Hamiltonian H in der Basis der Wannier-Zustände c ni 0 mit darzustellen. Es ist c ni := e ik R i c nk 3.4) N k r c ni 0 = e ik R i r c nk 0 = e ik R i ψ nk r) = ϕ n r R i ), 3.42) N N k also erzeugt c ni wirklich einen Wannier-Zustand. Mit der Umkehrtransformation wobei die Summe über alle Gitterpunkte läuft, wird der Hamiltonian mit k c nk = e ik Ri c ni, 3.43) N i H = E nk c nk c nk = E nk e ik Ri e ik Rj c ni N c nj nk nk ij = h n,ij c ni c nj 3.44) n ij h n,ij := e ik Ri Rj) E nk. 3.45) N k In dieser Darstellung besteht H aus lokalen Termen i = j) und Hüpftermen i j) auf dem zugrundeliegenden Gitter. Diese Art von Modell nennt man Tight-Binding-Modell. Es ist instruktiv, die Tight- Binding- Gitter-) Darstellung 3.44) mit der kontinuierlichen Form in Gl. 3.) zu vergleichen. Es ist wichtig zu realisieren, dass beiden Hamilton-Operatoren exakt gleich sind. Bei der Herleitung von Gl. 3.44) ist insbesondere keine näherungsweise Diskretisierung von Ψr) eingegangen, sondern es wurde nur die Periodizität von V r) verwendet. Der Begriff Tight-Binding-Modell entstammt der Theorie für Festkörper mit stark an die Kerne gebundenen Elektronen, ist aber in der heutigen Verwendung nicht auf diesen Grenzfall beschränkt. Wenn man von atomaren Orbitalen ausgeht, erhält man i. A. auch Hüpfterme zwischen verschiedenen Orbitalen an verschiedenen Gitterplätzen, was auf die allgemeinere Form H = h iα,jβ c iα c jβ 3.46) ij αβ führt, wobei α, β atomare Orbitale abzählen. Oft stellt man Modelle dieser Form an den Anfang der Diskussion Thermodynamischer Limes für Summen im reziproken Raum Oft treten Summen über die. BZ der Form k fk) auf. Da wir immer ein großes, aber endliches System mit N Gitterplätzen annehmen, hat die Summe genau N Terme. Die Anzahl der Atome ergibt sich aus N multipliziert mit der Mächtigkeit der Basis des Gitters.) Da die Größe der. BZ von N unabhängig ist, liegen die k-punkte für große N immer dichter. Die Summe sollte also im thermodynamischen Limes N in ein Integral über die. BZ übergehen. Für praktische Rechnungen, ist die Integraldarstellung 59

61 i. A. nützlicher als die Summe, da es für Integrale mehr Lösungsmethoden und auch umfangreichere Tafeln gibt als für endliche Summen. Es stellt sich die Frage, welches Integrationsmaß beim Übergang zu einem Integral auftritt, d. h. wir suchen die Konstante c in fk) N c d 3 k fk). 3.47) k Da c nicht von fk) abhängen darf, können wir die Konstante für den einfachsten Fall f bestimmen. Es ist = N 3.48) und andererseits k d 3 k = Volumen der. BZ. 3.49) Sind a, a 2, a 3 die primitiven Gittervektoren, die also das Kristallgitter im Ortsraum aufspannen, so überzeugt man sich leicht, dass a 2 a 3 b = 2π 3.50) a a 2 a 3 ) und b 2, b 3 zyklisch primitive Gittervektoren des reziproken Gitters sind. Damit ist das Volumen einer Einheitszelle des reziproken Gitters, insbesondere der. BZ, gegeben durch b b 2 b 3 ) = 2π) 3 a a 2 a 3 ) = 2π)3 V/N, 3.5) wobei V/N das Volumen einer Einheitszelle des Gitters im Ortsraum ist. Damit folgt N =! c c = d 3 k = c 2π)3 V/N = c N 2π)3 V 3.52) V 2π) ) Die Transformationsregel lautet also k fk) N V d 3 k fk). 3.54) 2π) 3 Die Verallgemeinerung auf andere Dimensionszahlen ist offensichtlich. Hier wird auch klar, warum wir in der Festkörperphysik eine asymmetrische Definition der Fourier-Transformation bevorzugen. 3.2 Elektron-Elektron-Wechselwirkung In realen Kristallen wechselwirken die Elektronen aufgrund ihrer Coulomb-Abstoßung stark miteinander. Die Physik der elektromagnetischen Wechselwirkung von Elektronen wird durch die oben besprochene QED beschrieben, aber diese ist hier unnötig kompliziert, denn Elektronen im Kristall sind i. A. nicht relativistisch v c) und für die Behandlung der Coulomb-Abstoßung reicht i. A. die klassische Elektrostatik aus. In diesem Abschnitt ist es erforderlich, den Elektronenspin explizit zu berücksichtigen. Das Zweiteilchen- Coulomb-Potential ist vgl. S. 24) V C = 2 σ σ 2 d 3 r d 3 r 2 e 2 4πε 0 r 2 r Ψ σ r )Ψ σ 2 r 2 )Ψ σ2 r 2 )Ψ σ r ). 3.55) Ab jetzt verwenden wir SI-Einheiten. Wir werden in diesem Abschnitt das Jellium-Modell verwenden, in dem das periodische Potential aufgrund der Kerne durch seinen konstanten Mittelwert ersetzt wird. 60

62 Wir werden sehen, dass diese Konstante notwendig ist, um eine Divergenz in der Coulomb-Energie wegzuheben. Anhand dieses einfachen Modells können wir die wesentliche Physik diskutieren, ohne unnötige Komplikationen einzuführen. Es ist aber konzeptionell nicht schwierig, ein periodisches Potential zu behandeln. Dann müssen Bloch-Zustände betrachtet werden und Wellenvektoren sind auf die. Brillouin-Zone beschränkt und nur bis auf reziproke Gittervektoren erhalten. Es ist oft praktisch, die Coulomb-Wechselwirkung im Fourier-Raum zu schreiben. Im Jellium-Modell ist das besonders einfach. Mit Ψ σ r) = e ik r c kσ 3.56) V erhalten wir V C = 2 V 2 k k 2 k k σ 2 σ 2 k d 3 r d 3 r 2 e 2 4πε 0 r 2 r e ik r e ik 2 r 2 e ik 2 r 2 e ik r c k σ c k 2 σ 2 c k 2 σ 2 c k σ = 2 V 2 d 3 r d 3 r e2 4πε 0 r k k 2 k k σ 2 σ 2 e ik +k 2 k 2 k ) r e ik 2 k 2) r c k σ c k 2σ 2 c k 2 σ 2 c k σ. 3.57) Hier ist d 3 r e ik+k2 k 2 k ) r = V δ k +k 2,k +k 2, 3.58) wir finden also Impulserhaltung, und d 3 r e2 4πε 0 r e ik2 k 2) r = e2 ε 0 k 2 k =: V 2 2 k 2 k 2 = Vk 2 k 2). 3.59) Diese Fourier-Transformation werden wir gleich besprechen. Mit q := k 2 k 2 folgt k 2 = k 2 q, 3.60) k = k + q, 3.6) V C = V q c k 2 V +q,σ c k 2 q,σ c k 2 2 σ c 2 k σ σ σ 2 = 2 k k 2 q wir lassen den Strich jetzt weg) V q c k V +q,σ c k 2 q,σ 2 c k2σ 2 c kσ. 3.62) σ σ 2 k k 2 q Wir bestimmen nun die Fourier-Transformierten des Coulomb-Potentials. Gesucht ist V q = d 3 r e2 e iq r. 3.63) 4πε 0 r Da dieses Integral bei großen r nicht konvergiert, regularisieren wir es durch Übergang zum Yukawa- Potential Vq Y = d 3 r e2 e iq r e κr 3.64) 4πε 0 r 6

63 und lassen am Ende der Rechnung κ 0 gehen. Das Yukawa-Potential beschreibt eine abgeschirmte Coulomb-Wechselwirkung. Es gilt Vq Y e 2 = dr dθ dφ r 2 sin θ e iqr cos θ e κr 4πε 0 r = e2 dr r e κr du e iqru 2ε 0 0 = e iqr e iqr sin qr iqr = 2 qr Im Limes κ 0 erhalten wir = e2 ε 0 q dr e κr sin qr 0 } {{ } = q q 2 +κ 2 = e2 ε 0 q 2 + κ ) V q = e2 ε 0 q ) Diese /q 2 -Form schließt man übrigens sofort aus der Poisson-Gleichung für eine Punktladung: Mittels Fourier-Transformation folgt 2 ϕ = e ε 0 δr). 3.67) q 2 ϕ q = e ε ) ϕ q = e ε 0 q ) V q = eϕ q = e2 ε 0 q ) Die Abhängigkeit /q 2 ist unabhängig von der Dimension des Raumes und kann somit als fundamentaler als das Coulomb-/r-Gesetz angesehen werden, das speziell für drei Dimensionen gilt. Die Terme mit q = 0 sind nicht wohldefiniert /0). Was bedeutet das? Wenn wir die Fourier- Transformation für q = 0 sorgfältig ausführen, erhalten wir V q=0 = d 3 r e2 4πε 0 r = d 3 r V C r) = V V C. Volumen Mittelwert des Potentials 3.7) Im Kristall müssen wir aber das gesamte Potential aufgrund der Kerne und der übrigen) Elektronen berücksichtigen. Da der Kristall insgesamt neutral ist, ist V ges = V el + V Kerne = ) Der V q=0 Term wird also vom Kernpotential exakt weggehoben. Wir schließen im Folgenden q = 0 aus den Summen aus. Den durch V C in Gl. 3.62) beschriebenen Prozess können wir diagrammatisch darstellen, wobei dies zunächst nur zur Veranschaulichung dienen soll: 62

64 Die Interpretation ist klar: zwei Elektronen mit Impulsen k und k 2 streuen in Zustände mit Impulsen k + q, k 2 q, unter Beibehaltung des Spins, mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitude proportional zu e 2 /q Störungstheorie für die Coulomb-Wechselwirkung Die Coulomb-Wechselwirkung macht die Physik deutlich schwieriger, denn wir können die Vielteilchenzustände nicht mehr aus Einteilchenzuständen konstruieren, weil die Eigenschaften der Elektronen von den Zuständen aller anderen Elektronen abhängen. Daher wollen wir den Wechselwirkungsterm in H näherungsweise behandeln. Wir betrachten hier quantenmechanische Störungstheorie in V C, weil diese Methode ziemlich systematisch durchgeführt werden kann. Wir verwenden weiterhin das Jellium-Modell. Für die Störungstheorie müssen wir einen kleinen Parameter identifizieren. Die Kopplungsstärke der Coulomb-Wechselwirkung ist e 2 /ε 0. Aber es macht keinen Sinn zu behaupten, e 2 /ε 0 sei klein. Wir müssen sagen, im Vergleich zu welcher Größe e 2 /ε klein ist. Oder besser, wir brauchen eine dimensionslose Größe. Dann bedeutet klein einfach klein gegen eins. Sinnvoll ist, als dimensionslose Größe das Verhältnis der Beiträge von Coulomb-Wechselwirkung und kinetischer Energie zur Grundzustandsenergie zu betrachten. Wir schätzen daher die beiden Energiebeiträge ab: a) Kinetische Energie: Hier können wir die bekannte Lösung für wechselwirkungsfreie Elektronen verwenden; alle Einteilchenzustände bis E F werden aufgefüllt. Wir bezeichnen Erwartungswerte im Grundzustand mit Es ist T 0 = = 2V = 2V kσ k k F k 2 2m k2 2m E F 2π) 3 2m vgl = kf 0 2π) 3 2m 4π k5 F 5 σ =2 dk V k k F dω k 2 k 2 voller Raumwinkel d 3 k k 2 2π) 3 2m = V 5π 2 2m k5 F. 3.73) Wir wollen die kinetische Energie pro Elektron ausrechnen, dazu brauchen wir die Elektronenzahl d 3 k N 0 = = V kσ σ k k F 2π) 3 4 = 2V 2π) 3 3 πk3 F = V 3π 2 k3 F 3.74) k k F T N 0 = 3 5 } {{ } Kugelvolumen k 2 F 2m = 3 5 E F. 3.75) Es ist auch nützlich, dies durch die Elektronendichte statt durch E F auszudrücken: Die Dichte ist n := N 0 V = k3 F 3π ) k F = 3 3π 2 n 3.77) und E F = 2m 3π2 n) 2/3 3.78) T = 3 3π 2 ) 2/3 n 2/3 n 2/ ) N 5 2m 0 b) Coulomb-Energie: Bei einer Dichte n ist der typische Abstand zweier benachbarter Elektronen betrachte die Dimensionen) d = n /3, 3.80) also ist die typische Coulomb-Energie pro Elektron VC e2 N 4πε 0 d n/3 3.8) 0 63

65 eine sorgfältigere Rechnung folgt später). Zusammenfassend finden wir also Wir erhalten ein überraschendes Ergebnis: V C 0 n/3 = n / ) T 0 n2/3 n Für hohe Dichten wird die Coulomb-Wechselwirkung irrelevant, die kinetische Energie dominiert. Die Elektronen verhalten sich wie ein freies Elektronengas. Für niedrige Dichten wird die Wechselwirkung dominant. Die Elektronen haben das Bestreben, ihre gegenseitigen Abstände zu maximieren. Dies kann zur Bildung eines Elektronenkristalls Wigner- Kristalls) führen. Dieses Phänomen wurde in zwei Dimensionen für Elektronen auf einer Helium- Oberfläche beobachtet. Wieso ist das so? V C 0 wächst mit der Dichte an, wie erwartet, aber T 0 wächst wegen des Pauli- Prinzips schneller an. Dieses zwingt Elektronen für höhere Konzentrationen in Einteilchenzustände mit immer höherer Energie. Aus der Elektronendichte erhalten wir eine nützliche dimensionslose Größe unter Verwendung des Bohr-Radius typischer Elektron-Proton-Abstand im H-Atom) a B = 0, 053 nm: Damit ist r s := Radius einer Kugel, die im Mittel ein Elektron enthält a B = T = 3 N 0 0 9π 4 ) 2/3 e 2 4πε 0 a B r 2 s = 2,2 Ry r 2 s ) /3 9π. 3.83) 4 k F a B 3.84) mit dem Rydberg definiert durch Ry = 3,6 ev Bindungsenergie des H-Atoms). V C wird schwach im Vergleich zu T für hohe Dichten, also für kleine r s. Daher ist r s unser kleiner Parameter. Die führende niedrigste) Ordnung in der Störungstheorie in r s ist offenbar die Ordnung 2, denn bereits ohne Coulomb-Wechselwirkung erhalten wir E 0) T N = = 2,2 Ry N 0 rs ) Die nächst höhere Ordnung ist die erste Ordnung in V C und erwartungsgemäß die Ordnung in r s. Störungstheorie erster Ordnung in V C ergibt: E ) N = N V C 0 = 2NV k k 2q, q 0 σ σ 2 e2 ε 0 q 2 GZ c k +q,σ c k 2 q,σ 2 Grundzustand Fermi-See) c k2 σ 2 c k σ GZ nur nicht Null, wenn k, k 2 k F. 3.86) 64

66 Die Anwendung von c k +q,σ c k 2 q,σ 2 c k2 σ 2 c k σ muss wieder auf denselben Grundzustand GZ führen, d. h. die Operatoren c k +q,σ c k 2 q,σ 2 müssen zwei Elektronen in denselben Einteilchenzuständen erzeugen, in denen sie von c k2 σ 2 c k σ vernichtet wurden. Dafür gibt es nur zwei Möglichkeiten: a) k + q = k und k 2 q = k 2, also q = 0. Aber die q = 0 Terme haben wir oben schon ausgeschlossen, da sie vom Kernpotential weggehoben werden. b) k + q = k 2 und äquivalent dazu) k 2 q = k, sowie σ = σ 2. Die Elektronen tauschen gewissermaßen ihre Plätze, daher nennt man dies Austausch-Wechselwirkung. Also ist E ) N = 2NV k q σ e2 ε 0 q 2 GZ c k +q,σ c k σ c k +q,σ c k σ GZ = 2NV = 2NV da q 0 folgt c k σ c k +q,σ = c k +q,σ c k σ e2 ε 0 q 2 GZ n k +q,σ GZ k q σ k q σ =2 n k σ Teilchenzahloperatoren) e 2 ε 0 q 2 θk F k + q ) θk F k ) k und k +q=k 2 müssen im Fermi-See liegen 3.87)... = 2NV 2 e2 V 2 ε 0 d 3 q 2π) 3 q 2 d 3 k 2π) 3 θk F k + q ) θk F k ). 3.88) 65

67 Das Integral über k hängt nicht von der Richtung von q ab. Also folgt... = 2NV 2 e2 V 2 4π ε 0 2π) 3 = N = V N e 2 V 4π ε 0 2π) 3 e 2 ε 0 = e2 4πε 0 n 4π 2π 2π) 6 3 2kF 0 3k 4 F 2 2kF 0 dq dq q2 q 2 2π) 3 2π) 3 kf 4 4π 3 = e2 4πε 0 2a }{{ B } = Ry d 3 k θk F k + q )θk F k ) Volumen des doppelten Kugelabschnitts Skizze) {}}{ 2 π k F q ) 2 2k F + q ) k F a B rs k 3 F 2π 3 n Zahl Also lauten die führenden Terme in r s in der Störungsentwicklung = 0,96 Ry r s. 3.89) E N = E0) N + E) N = 2,2 Ry rs 2 0,96 Ry. 3.90) r s Wir finden, dass die Korrektur erster Ordnung in V C negativ ist. Der Grund hierfür ist, dass die positive, d. h. abstoßende, direkte Coulomb-Wechselwirkung wie gesehen vom Kernpotential weggehoben wird. Es bleibt nur die Austauschwechselwirkung, die aufgrund der Antikommutation der Fermionoperatoren negativ ist. Sie beschreibt, dass die Coulomb-Abstoßung zwischen Elektronen abgesenkt ist, da sie sich wegen des Pauli-Prinzips nicht so nahe kommen wie klassische Teilchen es tun würden. Da der Term erster Ordnung in V C negativ ist, finden wir eine optimale Dichte des Elektronengases d. h. ein optimales r s ), die die Energie minimiert. Es ist r s = 4,83 und E r s) N = 0,095 Ry =,29 ev. 3.9) Es sei daran erinnert, dass wir vom Kernpotential nur den Mittelwert berücksichtigt haben, nämlich um den q = 0 Anteil von V C zu kompensieren Jellium-Modell). Die gitterperiodische Struktur des Kernpotentials wurde vernachlässigt. Trotzdem ist das Ergebnis überraschend gut für einfache Metalle. Z. B. findet man für Natrium experimentell r s = 3,96 und e/n =,3 ev. Offenbar sind typische Werte von r s nicht klein, was die Frage aufwirft, ob die Störungsentwicklung in r s gerechtfertigt ist. Das hängt aber nicht nur vom absoluten Wert des Entwicklungsparameters ab, sondern auch vom Konvergenzradius der Reihe, die von den Koeffizienten abhängt. Abgesehen vom potentiellen Problem der Konvergenz liegt es nahe zu versuchen, das Ergebnis durch Betrachtung der 2. Ordnung weiter zu verbessern. Der Term 2. Ordnung in V C ist E 2) N = N Es gibt wieder direkte und Austausch-Beiträge: GZ V C Ψ Ψ V C GZ E 0) E Ψ Ψ GZ Summe über alle Vielteilchenzustände GZ. 3.92) 66

68 k y k 2 q k y k 2 q k k2 k k2 k x k x k + q k + q direkt Austausch Wir betrachten den direkten Term, der sich hier nicht weghebt es gibt keinen weiteren kompensierenden Term vom Kernpotential; dieses haben wir im Jellium-Modell bereits vollständig berücksichtigt, als wir V q=0 weggelassen haben). Die möglichen Zwischenzustände sind mit Ψ = c k +q,σ c k 2 q,σ 2 c k2 σ 2 c k σ GZ 3.93) k, k 2 k F besetzt im Grundzustand) und k +q, k 2 q > k F unbesetzt im Grundzustand). 3.94) Daher ist E 2) dir N = NV 2 k k 2 q σ σ 2 mit Nebenbedingungen 3.94) Wir betrachten kleine q 0: In diesem Grenzfall ist a) V 2 q q 4, b) E 0) E Ψ = 2m c) θk F k ) k im Fermi-See 2 V q) 2 E 0) E Ψ. 3.95) 3.96) k 2 + k 2 2 k + q 2 k 2 q 2) = 2m 2k q + 2k 2 q) q, 3.97) θ k + q k F ) q, 3.98) nicht im Fermi-See d) analog gilt k 2 θk F k 2 ) θ k 2 q ) q. 3.99) Also ist E 2) dir N Kugelkoordinaten { }}{ qmax dq q 2 q 4 0 q q q c)d) a) b) = qmax 0 dq q = ln q q max 0 =. 3.00) Der Term 2. Ordnung divergiert bei kleinen q Infrarotdivergenz). Man kann zeigen, dass die Austauschwechselwirkung das Problem nicht beseitigt der Austauschterm 2. Ordnung divergiert nicht für kleine q. [Das Integral 3.00) divergiert auch für q max. Dies ist aber irrelevant, da wir bei der Herleitung kleine q angenommen hatten.] Das Ergebnis zeigt, dass die naive Störungsentwicklung in V C versagt. Es ist nicht einfach so, dass die Störungsreihe nicht konvergiert, sondern die Terme ab der Ordnung OVC 2 ) divergieren schon separat. Es ist fragwürdig, die konvergenten Terme bis zur Ordnung OV C ) zu verwenden, wenn man weiß, dass der nächste Term divergiert. Es ist physikalische Einsicht erforderlich, um die störungstheoretische Beschreibung der Coulomb-Wechselwirkung zu retten. Wir werden sehen, dass wir Beiträge aller Ordnungen der Störungstheorie aufsummieren müssen, um diese Infrarotdivergenz zu beseitigen. 67

69 3.3 Gitterschwingungen und Phononen Wir hatten bereits in Kapitel 2 die lineare Kette betrachtet. Mit dem inzwischen eingeführten Formalismus der 2. Quantisierung lässt sie sich eleganter lösen. Wir hatten den Hamiltonian H = 2m P np n + ) 2 mω2 n Q nq n 3.0) n mit ω n = 2 κ m sin πn erhalten. Wir führen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein: b n := ) Qn + il n P n mit l n := 2 l n b n = Q n il n P n 2 l n ) 3.02) N mωn 3.03) = ) Q n il n P n. 3.04) 2 l n Man sieht durch Einsetzen, dass gilt H = n ω n b nb n + ) ) und findet [b n, b n ] = δ nn, also beschreiben die b-operatoren Bosonen: Phononen sind Bosonen. Üblicherweise benutzt man die Wellenzahlen k = 2π a n N Gitterkonstante mit n Z 3.06) zur Abzählung der Moden: k ω k b k b k + ) κ, ω k = 2 2 m ka sin ) Die Kette hat natürlich auch die Periode 2a und auch 3a usw.): 68

70 Was passiert, wenn wir diese zu Grunde legen? Die. Brillouin-Zone halbiert sich, wenn wir die Einheitszelle der Kette verdoppeln: Dadurch ist nichts gewonnen. Wenn aber die Kette zwei unterschiedliche Massen m, m 2 abwechselnd enthält, müssen wir die 2a-Einheitszelle benutzen. Man findet, dass sich die Phononenbänder am Rand der. BZ abstoßen dasselbe Phänomen hatten wir für die elektronische Bandstruktur gefunden. Somit kann man zwischen optischen Phononen so bezeichnet, da sie stark an Licht koppeln) und akustischen Phononen da sie für kleine k Schall beschreiben) unterscheiden. Die Dispersion von Licht ist auf der k- und Energie-Skala der Phononen sehr steil. Starke Kopplung zwischen Photonen und Phononen besteht, wo sich die Dispersionen schneiden. Dies ist für die optischen Phononen bei kleinen k der Fall. Wir geben noch an, wie die Auslenkung für kleine k aussehen: k π 2a akustisch k π 2a optisch 69

71 In der Verallgemeinerung auf drei Dimensionen findet man für N Basis Atome in der Einheitszelle drei akustische Bänder und 3N Basis ) optische Bänder. In bestimmten Richtungen im k-) Raum können einige Bänder entartet sein. Beispiel für N Basis = 3: 3.4 Elektron-Phonon-Wechselwirkung Klassisch lautet die potentielle Energie der Elektronen im durch die Ionenrümpfe, also durch die Kerne mit stark gebundenen Elektronen in inneren Schalen, gebildeten Kristallgitter N V E-I = d 3 r e) n el r) V I r r j ). Elektronenkonzentration j= Ort von Ion j 3.08) V I ist hier das elektrische Potential eines Ionenrumpfes. Der Einfachheit halber betrachten wir ein Kristallgitter mit einatomiger Basis, in dem also insbesondere alle Ionenrümpfe äquivalent sind. Nun schwingen die Ionen um ihre Gleichgewichtslagen: r j = R j + u j. 3.09) Die R j bilden ein periodisches Gitter und die Auslenkungen u j sind klein gegenüber der Gitterkonstanten, u j a. Wir können daher entwickeln: V I r r j ) = V I r R j u j ) Taylor-Reihe bis zur. Ordnung = V I r R j ) V I r R j ) u j 3.0) V E-I = d 3 r e) n el r) V I r R j ) d 3 r e) n el r) V I r R j ) u j. 3.) j j Der erste Term beschreibt ein periodisches Potential und führt zur elektronischen Bandstruktur Bloch- Theorie, s. o.). Der zweite Term beschreibt die Wechselwirkung zwischen den Elektronen und den Gitterschwingungen, V E-Ph = d 3 r n el r) e u j V I r R j ). 3.2) j Wir wollen eine quantenmechanische, oder vielmehr quantenfeldtheoretische, Beschreibung finden. Dazu müssen wir n el durch elektronische und u j durch phononische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken. Wir beschränken uns hier auf ein elektronisches Band. In der Vielteilchentheorie ist n el r) = σ Ψ σr) Ψ σ r) 3.3) mit Ψ σ r) = V k. BZ e ik r c kσ. 3.4) 70

72 Also gilt n el r) = V e ik k) r c k σ c kσ. 3.5) Für die Phononen erinnern wir uns an die lineare Kette, für die nach Gleichung 3.03) gilt b n := ) uk + il k p k mit l k = 2 l k ) b u k n = il k p 2 k = ) u k il k p k l k 2 l k kk σ u k = l k 2 b k + b k mωk, 3.6) 3.7) ). 3.8) In drei Dimensionen haben wir drei akustische Moden λ =, 2, 3 mit Polarisationen beschrieben durch Einheitsvektoren ê kλ vergleiche das elektromagnetische Feld): Also ist u j = N k. BZ λ= l ) kλ u kλ = ê kλ b kλ + b 2 kλ 3 e ik R j u kλ = N k. BZ λ mit l kλ = mωkλ. 3.9) l ) e ik Rj kλ ê kλ b kλ + b 2 kλ. 3.20) Das ionische Potential V I r R j ) ist aus Sicht der Elektronen ein äußeres Potential und bedarf keiner Quantisierung. Wir drücken es durch seine Fourier-Transformierte aus, V I r R j ) = e ip r Rj) V p 3.2) V p V I r R j ) = ip e ip r Rj) V p. 3.22) V V I ist nicht gitterperiodisch, nur die Summe über alle R j ist es. V I hat daher beliebige Fourier-Komponenten, d. h., p ist nicht auf reziproke Gittervektoren beschränkt. Es ist nützlich, p = G + q zu schreiben, wobei G ein reziproker Gittervektor und q. BZ ist. Wir erhalten V I r R j ) = V G q. BZ rez. Gitter Einsetzen dieses Ergebnisses und von Gl. 3.20) ergibt u j V I r R j ) = j p ig + q) e ig+q) r R j) V G+q. 3.23) ie G + q) ê kλ V G+q N V 2mωkλ kλ Gq ) e ik q G) Rj e ig+q) r b kλ + b kλ j = V = V Gqλ = Nδ k,g+q ie N 2mωqλ G + q) ê qλ V G+q =: g qgλ e ig+q) r b qλ + b qλ ) e ig+q) r g qgλ b qλ + b qλ, 3.24) Gqλ ) 7

73 wobei g qgλ die sogenannte Kopplungsstärke ist. Da ω qλ und ê qλ periodische Funktionen von q sind wir ignorieren die Möglichkeit, dass wir uns bei Verschiebung von q um einen reziproken Gittervektor in einer anderen Mode λ wiederfinden), hängt g qgλ nur von der Summe G + q ab. Insgesamt erhalten wir schließlich V E-Ph = g qgλ c k+q+gσ V c kσ kσ qλ G ) b qλ + b qλ. 3.25) Beachte, dass g qgλ mit der Systemgröße N wie N skaliert halb-extensiv ). Zusammen mit dem Vorfaktor /V haben wir einen Faktor proportional zu / V / N. Dies ist wichtig, wenn wir später bei konkreten Ergebnissen überprüfen wollen, ob sie korrekt mit der Systemgröße skalieren. Aber in Gl. 3.25) sind die elektronischen Operatoren, wie die phononischen, periodische Funktionen von q, d. h. die Verschiebung um G in c k+q+gσ ist irrelevant. Wir können also auch schreiben V E-Ph = g qλ c k+qσ V c kσ kσ qλ ) b qλ + b qλ. 3.26) mit g qλ = G g qgλ = G ie N 2mωqλ G + q) ê qλ V G+q. 3.27) Diese neue Kopplungsstärke g qλ ist explizit periodisch im reziproken Raum. Die Interpretation von V E-Ph ist klar: Ein Elektron aus dem Zustand kσ kann durch Emission b ) oder Absorbtion b) eines Phonons in den Zustand k + qσ gestreut werden. Zeit k + q σ el Zeit k + q σ el q λ ph k σ el Emission q λ ph k σ el Absorption Die Summe über G in g qλ können wir so deuten, dass der Impuls bei diesen Prozessen nur bis auf einen reziproken Gittervektor G erhalten ist. Prozesse mit G 0 nennt man Umklappprozesse. Sie drücken im Wesentlichen aus, dass der reziproke Raum für Elektronen- und Phononenzustände periodisch ist: Streuprozesse der Art ) und 2) sind äquivalent, da sie dieselben Ausgangs- und Endzustände haben. Wir müssen über alle möglichen reziproken Gittervektoren G summieren. Wir vernachlässigen nun Umkappprozesse mit G 0. Dies ist eine vernünftige Näherung, wenn wir nur Elektronen mit kleinen k und Phononen mit kleinen q betrachten und vereinfacht die Notation. Wir nehmen außerdem an, dass das Medium isotrop in allen Richtungen gleich) ist das ist für Kristalle nie 72

74 exakt erfüllt, da sie immer gewisse Raumrichtungen auszeichnen, nämlich z. B. die durch die Gittervektoren a, a 2, a 3 gegebenen. Für ein isotropes Medium sind alle drei akustischen Zweige entartet und wir können ê q, ê q2, ê q3 beliebig wählen, solange sie orthogonal sind. Physikalisch sinnvoll ist die Wahl ê q = q q ˆq longitudinal), 3.28) ê q2, ê q3 q transversal). 3.29) Wegen des Faktors q ê qλ in g qλ = ie N 2mωq q ê qλ V q 3.30) koppeln nur die longitudinalen Moden an die Elektronen. Wir können dann den Index λ = weglassen und schreiben V E-Ph = ) g q c k+qσ V c kσ b q + b q. 3.3) Der einfachste Hamiltonian für das Elektron-Phonon-System lautet damit H = k 2 2m c k+qσ c kσ + ω q b qb q + ) + g q c k+qσ 2 V c kσ kσ q kσ q kσ q ) b q + b q. 3.32) Hier werden die Elektronen im Jellium-Modell und, damit konsistent, die Phononen im Modell einen isotropen Mediums beschrieben. Für das Jellium-Modell gibt es keine. Brillouin-Zone und damit auch keinen Umklapp. Ist V I das Yukawa-Potential, das das Coulomb-Potential als Grenzfall enthält, also so ist und die Kopplung hat die einfache Form V I r) = Ze e κr, 3.33) 4πε 0 r V q = Ze ε 0 q 2 + κ ) g q = i N 2mωq Ze 2 ε 0 q q 2 + κ 2 = i N Ze 2 2mcs q ε 0 q q 2 + κ 2 = i N 2mcs Ze 2 ε 0 q q 2 + κ 2, 3.35) wobei c s die Schallgeschwindigkeit ist. Wir werden sehen, dass die Elektron-Phonon-Kopplung, am einfachsten beschrieben durch Gleichung 3.32), wesentlich ist für die endliche Leitfähigkeit von normalen Metallen Elektronen streuen an Phononen) und, zunächst überraschend, für den dem Anschein nach entgegengesetzten Effekt, die ideale unendliche) Leitfähigkeit von Supraleitern. 3.5 Zeitabhängige Störungstheorie 3.5. Bildwechsel in der Quantentheorie Es soll kurz an die Beziehungen zwischen Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungs-Bild erinnert werden. Die einzigen beobachtbaren Größen in der Quantentheorie sind Matrixelemente von hermiteschen) Operatoren, φ A ψ. Diese sind invariant unter unitären Transformationen φ U φ, 3.36) ψ U ψ, 3.37) A UAU 3.38) 73

75 U unitär), da unter dieser Transformation φ A ψ φ U U A U U ψ = φ A ψ 3.39) gilt. Dies kann man ausnutzen, um eine dem Problem angemessene Darstellung zu konstruieren. Im Schrödinger-Bild haben Operatoren höchstens eine explizite Zeitabhängigkeit z. B. zeitabhängiges äußeres Potential). Zustände erfüllen die Schrödinger-Gleichung i d ψt) = H ψt). 3.40) dt Wir betrachten jetzt einen zeitunabhängigen Hamiltonian H. Das ist nicht konzeptionell notwendig, macht die Diskusion aber klarer. Dann ist die formale Lösung der Schrödinger-Gleichung ψt) = e iht ψ0). 3.4) Beweis: i d/dt e iht ψ0) = i i)he iht ψ0) = H ψt).) Im Heisenberg-Bild verwenden wir eine unitäre Transformation, um die Zustände zeitunabhängig zu machen. Die gesamte Dynamik ist dann in den Operatoren enthalten. Dazu wählen wir, für zeitunabhängiges H, U = e iht. Das dreht gerade die Zeitentwicklung der Zustände im Schrödinger-Bild zurück: ψt) H Heisenberg := e iht ψt) = eiht e iht ψ0) = ψ0) 3.42) Schrödinger Schrödinger ohne Index) zeitunabhängig). Andererseits werden Operatoren zu A H := e iht A e iht. 3.43) Hier ist A ein Operator im Schrödinger-Bild, der explizit zeitabhängig sein kann. Zum einen folgt und zum anderen d dt A H = d dt eiht Ae iht d dt ψ H = ) = e iht ihae iht iht A + e t e iht + e iht A ih)e iht = i H } e iht Ae {{ iht } e } iht Ae {{ iht } H) + e iht A t e iht A H A H ) A = i [H, A H ] ) t H Das ist die bekannte Heisenberg-Gleichung. Wie erwähnt ist sie äquivalent zur Schrödinger-Gleichung. Im Wechselwirkungsbild führen wir eine unitäre Transformation durch, die nur einen Teil des Hamiltonians enthält. Es sei H = H 0 + V t), 3.46) wobei dieser Formalismus nützlich ist, wenn H 0 zeitunabhängig und einfach ist. V t) kann explizit von der Zeit abhängen. Wir verwenden U = e ih 0t : ψt) I := e ih 0t interaction picture ψt) Schrödinger 3.47) und A I t) := e ih0t A e ih0t. 3.48) 74

76 Es folgt i d dt ψt) I = i d dt eih0t ψt) = H 0 e ih 0t ψt) + e ih 0t H ψt) aus der Schrödinger-Gleichung {}}{ = H 0 e ih0t ψt) + e ih0t H e ih0t e ih0t ψt) H 0=e ih 0 t H 0e ih 0 t =H 0I = V I t) ψt) I. 3.49) Wir erhalten eine Gleichung von der Form der Schrödinger-Gleichung für ψt) I, die nur die Störung den komplizierten Anteil) V I enthält. Die einfache Zeitentwicklung aufgrund von H 0 steckt einzig in den Operatoren. Die Lösung ist von der Form = ψt) I = U I t, t 0 ) ψt 0 ) I 3.50) mit einem unitären Operator U I t, t 0 ), der natürlich auch nur von V I abhängen kann. Offensichtlich ist U I t 0, t 0 ) =. Wir betrachten zunächst eine zeitunabhängige Störung V Fall ). Dann ist auch H zeitunabhängig und es gilt ψt) I = e ih 0t ψt) = e ih 0t e iht ψ0). 3.5) Beachte, dass H 0 und H i. A. nicht kommutieren, daher gilt nicht e ih0t e iht? = e ih 0 H)t = e iv t. 3.52) Man erkennt leicht, dass diese Gleichung für nicht kommutierende Operatoren nicht stimmt: e A e B = + A + ) 2 A2 + B + ) 2 B2 = + A + B + AB + 2 A2 + 2 B2, 3.53) während e A+B = + A + B + A + B)2 2 = + A + B + 2 AB + 2 BA + 2 A2 + 2 B ) Es folgt auch also so dass gilt ψt 0 ) I = e ih 0t 0 e iht 0 ψ0) 3.55) ψ0) = e iht0 e ih0t0 ψt 0 ) I, 3.56) ψt) I = e ih 0t e iht e iht 0 e ih 0t 0 ψt 0 ) I, 3.57) U I t, t 0 ) = e ih 0t e iht t 0) e ih 0t ) Man sieht, dass dieser Operator unitär ist. Für eine allgemeine, zeitabhängige Störung V t) Fall 2) setzen wir ψt) I = U I t, t 0 ) ψt 0 ) I 3.59) 75

77 in die Schrödinger-Gleichung ein: i d dt U It, t 0 ) ψt 0 ) I = V I t) U I t, t 0 ) ψt 0 ) I ψt 0 ) I 3.60) i d dt U It, t 0 ) = V I t) U I t, t 0 ) 3.6) mit der Anfangsbedingung U I t 0, t 0 ) =. Dies ist eine Differentialgleichung für eine operatorwertige Funktion. Integration liefert U I t, t 0 ) = + i t t 0 dt V I t ) U I t, t 0 ). 3.62) Nun haben wir eine Integralgleichung erhalten. Was haben wir dadurch gewonnen? Wir können die Gleichung iterieren, indem wir U I t, t 0 ) immer wieder rechts einsetzen: U I t, t 0 ) = + i t t 0 dt V I t ) + i 2 t t 0 dt V I t ) Das können wir kompakter schreiben. Der Term n-ter Ordnung lautet t t 0 dt = n! tn t t t 0 dt 2 V I t 2 ) ) dt n V I t ) V I t n ) = dt dt 2 dt n V I t )V I t 2 ) V I t n ) t 0 t } 0 {{} anwachsende Argumente t Zeitordnungsoperator Anzahl der Permutationen nur t 0 t n t n... t 2 t t dt dt 2 dt n T V I t ) V I t n ). 3.64) t 0 Es kommt natürlich nicht darauf an, wie wir die Zeitvariablen numerieren, nur dass sie der Größe nach sortiert sind. Wir hatten den Zeitordnungsoperator schon in Abschnitt zum Feynman-Propagator kennengelernt. Es folgt t U I t, t 0 ) = n! i)n dt dt n T V I t ) V I t n ) n=0 t 0 t ) =: T exp i dt V I t ). 3.65) t 0 Dies definiert die zeitgeordnete Exponentialfunktion. Sie ist gegeben durch die Taylor-Reihe, wobei der T -Operator auf jeden Term unter dem Integral anzuwenden ist. Die Reihenentwicklung für U I t, t 0 ) in Potenzen der Störung V I lässt sich wie folgt mit Hilfe von Diagrammen veranschaulichen: U I t, t ) = 0 t t 0 V V I t ) I t ) V I ) Ist V I klein, so kann man die Reihe abbrechen. Es wird oft erst nachträglich klar, ob man ein V I als klein ansehen kann.) Z. B. werden wir in der Linearen-Antwort-Theorie verwenden. U I t, t 0 ) = + i t t 2 t 0 dt V I t ) 3.66) 76

78 3.5.2 Fermis Goldene Regel Fermis Goldene Regel ergibt sich in der zeitabhängigen Störungstheorie als Näherung für die Übergangsrate von einem Zustand i in einen Zustand f. Dies können insbesondere auch Vielteilchenzustände sein. Wir definieren die Rate wie folgt: Das System startet zur Zeit t 0 im Zustand im Schrödinger-Bild). Der Hamiltonian sei ψt 0 ) = i 3.67) H = H 0 + V 3.68) mit zeitunabhängigem H 0. Wir nehmen nun an, dass V langsam eingeschaltet wird. Dazu schreiben wir die Zeitabhängigkeit explizit hin, H = H 0 + V e ηt, 3.69) wobei η > 0 klein und V zeitunabhängig ist. Dann ist Außerdem ist ψt 0 ) I = e ih 0t 0 ψt 0 ) = e ih 0t 0 i. 3.70) ψt) I = U I t, t 0 ) ψt 0 ) I 3.7) ψt) Schrödinger = e ih 0t U I t, t 0 )e ih 0t 0 i. 3.72) Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das System zur Zeit t im Zustand f zu finden, ist f ψt) = f e ih 0t U I t, t 0 )e ih 0t 0 i. 3.73) Wir betrachten Übergänge zwischen Eigenzuständen i, f von H 0 mit Energien E i, E f und nehmen i = f an. In erster Ordnung in V I gilt Dieses Integral ist... = f e ih 0 t + t i = f e ie f t = f e ie f t i / da f i =0 t = t i f V i e ie f t... = eie f E i)t e ηt ie f E i ) + η t ) dt V I t ) e ih 0t 0 i t 0 + t ) dt V I t ) e ieit0 i i t 0 dt e ih 0t V t ) e ih 0t e ie it 0 i t 0 t 0 V e ηt t 0 dt e ie f E i )t e ηt e ie it ) Ei)t = eief eηt eief Ei)t0 eηt ) ie f E i ) + η Wir schicken nun t 0 nach, d. h. das System wurde vor beliebig langer Zeit präpariert. Es folgt f ψt) = f V i e ie f t eie f E i)t e ηt E f E i iη eie it 0 = f V i eieit t0) e ηt E f E i iη. 3.76) Die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand f zu finden, wenn es zur Zeit t 0 im Zustand i präpariert wurde, ist dann f ψt) 2. Die Übergangsrate Γ fi von i nach f ist die 77

79 Änderungsrate dieser Wahrscheinlichkeit mit der Zeit, Γ fi = d dt f ψt) 2 = f V i 2 d e 2ηt dt E f E i ) 2 + η 2 = f V i 2 2ηe 2ηt E f E i ) 2 + η 2 η 0 + η ) Der letzte Faktor ist eine Darstellung der δ-funktion. Wir erhalten Fermis Goldene Regel Γ fi = f V i 2 2π δe f E i ). 3.78) Bemerkung: Was wir eigentlich wissen wollen, ist die Rate zur Zeit t für Übergänge nach f, unter der Bedingung, dass das System zur Zeit t oder genauer t δt, δt 0 + ) im Zustand i ist. Was wir aber anscheinend ausgerechnet haben, ist die Rate unter der Bedingung, dass das System zur Zeit im Zustand i war. Ist das nicht etwas anderes? Im Allgemeinen schon, aber in. Ordnung in V kommen wir damit durch, weil vor der Zeit t keine anderen Übergänge stattfinden können wir brauchen den einen Faktor von V schon zur Zeit t: Die T -Matrix Es ist im Prinzip klar, wie wir zu höheren Ordnungen in V übergehen können: Wir setzen die vollständige Reihenentwicklung für U I t, t 0 ) ein, [ f ψt) = f e ie f t t dt V I t ) + t t ] i t 0 i 2 dt dt 2 V I t )V I t 2 ) +... e ieit0 i. 3.79) t 0 t 0 Der Term n-ter Ordnung enthält, mit t 0, t t tn i n dt dt 2 dt n vertauschen nicht e ih0t V e ηt e ih 0t e ih 0t 2 V e ηt 2 e ih 0t2 e ih 0t n V e ηt n e ih 0t n = t t tn 2 i n dt dt 2 dt n e ih 0t V e ηt e ih0t e ih0tn V e ηtn e H ih0tn ei 0 E i )t n +ηt n V. 3.80) E i H 0 + iη Beachte, dass H 0 hier ein Operator ist; der Bruch steht für eine Operatorinversion. Für t n haben wir im Prinzip das gleiche Integral zu lösen, außer dass die obere Grenze t n 2 ist und dass η durch 2η ersetzt wird. Es geht weiter mit Iteration bis wir schließlich erhalten... = e ih0 Ei)t+nηt E i H 0 + inη V E i H 0 + in )η V V. 3.8) E i H 0 + iη E i 78

80 Nun können wir den Grenzübergang η 0 + im ersten und in den folgenden Faktoren unabhängig voneinander ausführen, da die Grenzwerte jeweils für sich allein existieren. Der erste Faktor führt, wie wir sehen werden, zu einer δ-funktion. In den übrigen Faktoren zeigt der kleine Imaginärteil im Nenner nur an, auf welcher Seite der reellen Achse die Pole liegen. Wir schreiben f ψt) = f e ie f t e i H 0 E i )t e ηt E i H 0 + iη η 0 +V n= = e ie it t 0 ) e ηt E i E f + iη η 0 + Die hier definierte T -Matrix ist T E i ) := V + V E f f Die Übergangsrate ist schließlich Γ fi = d 2ηe 2ηt dt f ψt) 2 = E i E f ) 2 + η 2 E i H 0 + i0 + V E i H 0 + i0 + V i eieit0 V E n= i H 0 + i0 + V E i H 0 + i0 + V definiere als T -Matrix i. 3.82) E i H 0 + i0 + V + V E i H 0 + i0 + V E i H 0 + i0 + V ) η 0 + Offenbar erhalten wir die Goldene Regel richtig als führende Ordnung in V : Bemerkungen: f T E i ) i 2 = 2π f T E i ) i 2 δe f E i ). 3.84) T E i ) = V Γ fi = 2π f V i 2 δe f E i ). 3.85) T E i ) scheint merkwürdig asymmetrisch definiert zu sein, da E i explizit auftritt, nicht aber E f. Die beiden sind aber wegen der δ-funktion gleich. Es ist ungünstig, aber üblich, die Abhängigkeit von T von E i nicht explizit als T E i ) anzugeben. Im T -Matrix-Formalismus beschreibt Γ fi nicht die Übergangsrate von i zur Zeit t δt nach f zur Zeit t, sondern die Änderungsrate der Wahrscheinlichkeit von f zur Zeit t, unter der Bedingung, dass das System zur Zeit im Zustand i war. Bei der Interpretation ist also Vorsicht angebracht. 3.6 Green-Funktionen bei T = 0 Die bisher betrachtete zeitabhängige Störungstheorie T -Matrix, Fermis Golgene Regel) gilt ganz allgemein, sowohl für Einteilchen- als auch für Vielteilchensysteme. Aber können wir die T -Matrix für ein Vielteilchensystem wirklich ausrechnen? Nehmen wir an, wir wollen ermitteln, wie sich die Elektronen in einem Silizium-Kristall bei Bestrahlung mit Licht verhalten. Dann wäre H 0 der Hamiltonian der Elektronen ohne Licht und V die Dipolkopplung an das elektromagnetische Lichtfeld. Die T -Matrix enthält den inversen Operator E i H 0 + i0 + ). Diesen können wir nicht ausrechnen, ohne H 0 zu diagonalisieren. Das können wir aber wegen der Elektron-Elektron-Wechselwirkung nicht. Ebensowenig können wir U 0 t, t 0 ) = e ih 0t t 0 ) für ein wechselwirkendes Vielteilchensystem ausrechnen. Wir führen daher eine neue Betrachtungsweise ein, die auch für ein Vielteilchensystem von einem einzelnen Elektron ausgeht. Diese Betrachtungsweise verwendet Green-Funktionen. Diese haben eine einfache Interpretation: Sie geben die bedingte Wahrscheinlichkeitsamplitude an, ein Teilchen zur Zeit t am Ort r zu finden, wenn es zur Zeit t 0 am Ort r 0 war. Dies wurde bereits in Kapitel 2 erwähnt. Green-Funktionen sind identisch mit den dort eingeführten Propagatoren in der QFT spricht man von Propagatoren, in der Vielteilchentheorie verwendet man beide Begriffe, aber häufiger den der Green-Funktionen). 79

81 3.6. Green-Funktionen für die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung Um ein Gefühl für die Green-Funktion zu bekommen, führen wir sie zunächst für Einteilchen-Probleme ein. Wir betrachten den zeitunabhängigen Hamiltonian H = H 0 + V. Zustände erfüllen die Schrödinger- Gleichung in Ortsdarstellung, i t ψr, t) = H 0 + V ) ψr, t), 3.86) H was wir i. A. nicht lösen können. Aber zumindest formal können wir die Lösung durch eine Green-Funktion ausdrücken, wie wir sehen werden. Zunächst schreiben wir die Schrödinger-Gleichung um: i t H ) ψr, t) = ) Dann definieren wir die Green-Funktion durch i t H ) Gr, t; r, t ) = δr r ) δt t ) 3.88) mit der Nebenbedingung, dass Gr, t; r, t ) als Funktion von r für feste t, r, t quadratintegrabel sein soll. Die Anfangsbedingung für t = t lassen wir zunächst offen wir werden G 0 für t < t bzw. für t > t verwenden). Gleichung 3.88) ist eine partielle Differentialgleichung für G als Funktion der ersten Argumente r, t als unabhängige Variable. Die zweiten Argumente r, t sind Parameter der Gleichung. Man kann aber zeigen, dass, wenn Gr, t; r, t ) eine Lösung von Gl. 3.88) ist, auch Gr, t ; r, t) eine Lösung ist. Beide sind also Green-Funktionen. Wir können G explizit durch den Zeitentwicklungsoperator ausdrücken: Eine Lösung ist G R r, t; r, t ) := i θt t ) r e iht t ) r. 3.89) Diese Funktion ist für t > t bis auf einen Zahlenfaktor der Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung. Für t < t ist sie identisch Null. Beweis: Wenn wir H in der Basis von Eigenzuständen ν bzw. Eigenfunktionen ϕ ν r, t) zu Eigenenergien ε ν ausdrücken, lässt sich diese Green-Funktion schreiben als G R r, t; r, t ) = i θt t ) ν = i θt t ) ν = i θt t ) ν r ν e iε νt t ) ν r ϕ ν r, 0) e iε νt t ) ϕ νr, 0) ϕ ν r, t) ϕ νr, t ). 3.90) Damit wird i t Hr) ) G R r, t; r, t ) = δt t ) ν ϕ ν r, t) ϕ νr, t ) i θt t ) ν + i θt t ) ν i t ϕ νr, t) ϕ νr, t ) Hr) ϕ ν r, t) ϕ νr, t ) = δt t ) ν ϕ ν r, t) ϕ νr, t), 3.9) wobei wir die Schrödinger-Gleichung ausgenutzt haben. Im übrig bleibenden Term durften wir t in ϕ νr, t ) wegen der δ-funktion durch t ersetzen. Die Eigenfunktionen ϕ ν r, t) bei derselben Zeit erfüllen aber eine Vollständigkeitsrelation und es folgt i t ) Hr) G R r, t; r, t ) = δt t ) δr r ). 3.92) 80

82 Analog zeigt man, dass auch eine Lösung ist. Beachte: G A r, t; r, t ) := +i θt t) r e iht t ) r 3.93) G R 0 gilt nur für t t, dies ist die retardierte Green-Funktion sie beschreibt die Dynamik eines Teilchens in der Zukunft), G A 0 gilt nur für t t, dies ist die avancierte Green-Funktion sie beschreibt die Dynamik eines Teilchens in der Vergangenheit). Nun können wir die Lösung der Schrödinger-Gleichung mit Hilfe der Green-Funktionen ausdrücken. Für t > t ist ψt) = e iht t ) ψt ) 3.94) ψr, t) r ψt) = r e iht t ) ψt ) eins einschieben = d 3 r r e iht t ) r r ψt ) = d 3 r r e iht t ) r ψr, t ) = i d 3 r G R r, t; r, t ) ψr, t ) 3.95) und für t < t finden wir entsprechend ψr, t) = i d 3 r G A r, t; r, t ) ψr, t ). 3.96) Wir erhalten also Formeln, mit denen wir für beliebige Anfangszustände die Lösung der Schrödinger- Gleichung für alle Zeiten t bestimmen können, sofern wir nur die Green-Funktionen kennen. Diese Situation ist typisch für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit Hilfe von Green-Funktionen. Wir müssen für eine gegebene Bewegungsgleichung nur einmal die Green-Funktion bestimmen, danach können wir im Prinzip beliebige Anfangswertprobleme durch Einsetzen lösen. Für den ungestörten Hamiltonian H 0 definieren wir Green-Funktionen G 0 ganz analog. Wenn H 0 hinreichend einfach ist, können wir hoffen, G 0 explizit zu bestimmen. Es wäre dann wünschenswert, die Green-Funktion G des vollen Problems mit G 0 in Zusammenhang zu bringen. Das werden wir als nächstes tun. Es gilt i ) t H 0 ψ 0 r, t) = 0 und 3.97) i ) t H 0 ψr, t) = V r) ψr, t). 3.98) Wir betrachten den Fall, dass ψ und ψ 0 derselben Anfangsbedingung ψr, t 0 ) = ψ 0 r, t 0 ) zu einem festen Zeitpunkt t 0 gehorchen. Wir zeigen zunächst, dass für t > t 0 gilt ψr, t) = i d 3 r G R 0 r, t; r, t 0 ) ψr, t 0 ) + d 3 r dt G R 0 r, t; r, t ) V r ) ψr, t ). 3.99) Beweis: i ) t H 0 ψr, t) = i d 3 r δr r ) δt t 0 ) ψr, t 0 ) + d 3 r =0 für t>t 0 dt δr r ) δt t ) V r ) ψr, t ) = V r) ψr, t) ) 8

83 Der Ansatz 3.99) erfüllt also die Schrödinger-) Gleichung 3.98) oben. Nun sollen ψ und ψ 0 zur Zeit t 0 übereinstimmen. Dann gilt für t > t 0, ψr, t) = ψ 0 r, t) + d 3 r dt G R 0 r, t; r, t ) V r ) ψr, t ). 3.20) Beweis: Gleichung 3.95) angewandt auf ψ 0 ergibt ψ 0 r, t) = i d 3 r G R 0 r, t; r, t 0 ) ψ 0 r, t 0 ) i d 3 r G R 0 r, t; r, t 0 ) ψr, t 0 ) ) Einsetzen in Gl. 3.99) ergibt die Behauptung. Andererseits gilt, ebenfalls für t > t 0, ψr, t) = ψ 0 r, t) + d 3 r dt G R r, t; r, t ) V r ) ψ 0 r, t ) ) nicht G R 0! Beweis: Wir wenden i / t H) auf die Behauptung an, i t ) H ψr, t) = i ) t H 0 ψ 0 r, t) V r) ψ 0 r, t) + = 0 d 3 r dt i ) t H G R r, t; r, t ) V r ) ψr, t ) δr r )δt t ) = V r) ψ 0 r, t) + V r) ψ 0 r, t) = ) Wir können Gl. 3.20) iterieren und erhalten ψr, t) = ψ 0 r, t) + d 3 r dt G R 0 r, t; r, t ) V r ) ψ 0 r, t ) + d 3 r dt d 3 r 2 dt 2 G R 0 r, t; r, t ) V r ) G R 0 r, t ; r 2, t 2 ) V r 2 ) ψ 0 r 2, t 2 ) +... Vergleich mit Gl ) ergibt G R r, t; r, t ) = G R 0 r, t; r, t ) + d 3 r 3.205) dt G R 0 r, t; r, t ) V r ) G R 0 r, t ; r, t ) +..., 3.206) vgl. die Herleitung der T -Matrix. Eine abgekürzte Schreibweise für dieses Ergebnis ist: G R = G R 0 + G R 0 V G R 0 + G R 0 V G R 0 V G R ) Hier betrachten wir G R und V als Matrizen mit Indizes r, t) und r, t ). Mit dieser Notation können wir auch schreiben G R = G R 0 + G R 0 V G R 0 + G R 0 V G R ) = G R 3.208) G R = G R 0 + G R 0 V G R ) Das ist die berühmte Dyson-Gleichung. Ausführlicher lautet sie G R r, t; r, t ) = G R 0 r, t; r, t ) + d 3 r dt G R 0 r, t; r, t ) V r ) G R r, t ; r, t ). 3.20) Diagrammatisch können wir die Dyson-Gleichung wie folgt darstellen: 82

84 Analoge Beziehungen gelten für G A vs. G A Einteilchen-Green-Funktionen für das Vielteilchensystem Wir definieren zunächst die retardierte) Green-Funktion für ein Vielteilchensystem und zeigen dann, dass diese Definition mit der zuvor betrachteten Green-Funktion für das Einteilchensystem kompatibel ist. Die beiden Definitionen sollten im Wesentlichen übereinstimmen, wenn die Teilchen nicht wechselwirken. Die Green-Funktion für das Vielteilchensystem lautet, unter Berücksichtigung des Spins, G R rσt, r σ t ) := i θt t ) [Ψ σ r, t), Ψ σ r, t )] ±, 3.2) wobei gilt [A, B] ± := { {A, B} AB + BA [A, B] AB BA für Femionen, für Bosonen. 3.22) In diesem Kapitel betrachten wir Eigenschaften des Grundzustandes des Systems. Dann ist der Mittelwert in der Definition von G R als Erwartungswert im Vielteilchengrundzustand GZ zu verstehen: G R rσt, r σ t ) := i θt t ) GZ [Ψ σ r, t), Ψ σ r, t )] ± GZ. 3.23) Die Definition ist aber weitaus allgemeiner. In Kapitel 4 werden wir Systeme im thermischen Gleichgewicht bei Temperaturen T > 0 betrachten, dann ist der Mittelwert als thermischer Mittelwert zu interpretieren. Systeme außerhalb des Gleichgewichts spielen hier nur am Rande, in Kapitel 6, eine Rolle. In solchen Fällen betrachten wir den allgemeinen statistischen Mittelwert A = Tr ρa mit dem Dichteoperator ρ. Sowohl die Felsoperatoren Ψ, Ψ als auch der Grundzustand GZ sind hier im Heisenberg-Bild zu verstehen wir lassen den Index H weg). Im Heisenberg-Bild ist der Zustand GZ zeitunabhängig. Für Elektronen ohne Wechselwirkung beschreibt GZ z. B. den Fermi-See. Außer für wechselwirkungsfreie Systeme kennen wir GZ i. A. nicht exakt. Wir werden sehen, dass das für praktische Rechnungen auch nicht erforderlich ist. Es sei darauf hingewiesen, dass die hier definierten Green-Funktionen für das Vielteilchensystem nicht im Sinne der Theorie partieller Differentialgleichungen Green-Funktionen für die Vielteilchen-Schrödinger- Gleichung sind. Dies ist anders als im vorigen Abschnitt 3.6.; die dort definierten Funktionen sind in der Tat Green-Funktionen für die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung, da sie nämlich über Glg. 3.95) und 3.96) deren Lösung ergeben. Die analogen Green-Funktionen für die Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung lassen sich definieren, sie müssen für den Fall von N Teilchen die Gleichung i t HN) ) G N) r,..., r 3N, t; r,..., r 3N, t ) = δr r ) δr 3N r 3N) δt t ) 3.24) erfüllen, wobei H N) hier der N-Teilchen-Hamiltonian ist. Diese Green-Funktionen G N) sind i. W. die Resolvente von H N) in Ortsdarstellung. Für ein wechselwirkendes System sind sie i. A. nicht bekannt und auch nicht nützlich für Näherungsmethoden. Ganz allgemein können wir Ψ nach Einteilchenzuständen entwickeln, Ψ σ r, t) = ν φ νσ r) a νσ t) Vernichtungsoperator von νσ 3.25) G R rσt, r σ t ) = i θt t ) GZ φ νσ r)φ ν σ r ) [ a νσ t)a ν σ t ) ] GZ. 3.26) ± νν 83

85 Die Zeitentwicklung von a νσ t) im Heisenberg-Bild wird, für einen zeitunabhängigen Hamiltonian, beschrieben durch a νσ t) = e iht a νσ e iht. 3.27) Speziell für wechselwirkungsfreie Teilchen ist der Hamiltonian H bilinear in Bose- oder Fermi-Operatoren und diagonalisierbar. Wir können also schreiben H = νσ ε νσ a νσa νσ. 3.28) Jetzt sind νσ also nicht mehr irgendwelche Einteilchenzustände, sondern die Eigenzustände von H. Dann ist ) a νσ t) = exp i ν σ ε ν σ a ν σ a ν σ t a νσ exp i ) = e iε νσa νσ a νσt a νσ e iε νσa νσ a νσt n n n einschieben ν σ ε ν σ a ν σ a ν σ t = n n e } in )ε νσt n e inε {{ νσt } n. 3.29) = n e iενσ t Hier ist n die Besetzungszahl des Einteilchenzustands νσ n = 0, für Fermionen, n = 0,, 2... für Bosonen). Es folgt G R rσt, r σ t ) = i θt t ) GZ [ φ νσ r)φ ν σ r ) e iενσa νσ aνσt a νσ νν e iενσa νσ aνσt, e iε ν σ a ν σ a ν σ t a ν σ e iε ν σ a ν σ a ν σ t ] GZ ± = i θt t ) δ σσ φ νσ r)φ νσr ) GZ e iε νσa νσ aνσt a νσ ν e iε νσa νσ a νσt t ) a νσe iε νσa νσ a νσt ± e iε νσa νσ a νσt a νσ ) e iε νσa νσ a νσt t) a νσ e iε νσa νσ a νσt GZ = n n n einschieben = i θt t ) δ σσ φ νσ r)φ νσr ) GZ e iε νσnt t ) a νσ a νσ ν n e iε νσn+)t t ) ) ± e iε νσnt t) a νσa νσ e iε νσn )t t) n n GZ = i θt t ) δ σσ φ νσ r)φ νσr ) e iε νσt t ) ν n GZ a νσ a νσ ± a ) νσa νσ n n GZ =[a νσ,a νσ] ± = = i θt t ) δ σσ e iενσt t ) φ νσ r)φ νσr ) = i θt t ) δ σσ r ν ν e iε νσt t ) νσ νσ r ) Das letzte Matrixelement enthält eine Darstellung des Einteilchen-Hamiltonians H σ für Spin-σ-Teilchen in der Basis von Eigenzuständen νσ zu Eigenwerten ε νσ ). Wir können also schreiben G R rσt, r σ t ) = i θt t ) δ σσ r e i H σ t t ) r. 3.22) 84

86 Dieses Ergebnis ist identisch mit der Green-Funktion für die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung, abgesehen vom hier zusätzlich eingeführten Spin. Wir haben also eine konsistente Verallgemeinerung der Green- Funktion für Vielteilchensysteme definiert. Wir definieren noch einige weitere Green-Funktionen, die später nützlich sein werden: G R rσt, r σ t ) := i θt t ) GZ [ Ψ σ r, t), Ψ σ r, t ) ] GZ, 3.222) ± G A rσt, r σ t ) := +i θt t) GZ [ Ψ σ r, t), Ψ σ r, t ) ] GZ, 3.223) ± G > rσt, r σ t ) := i GZ Ψ σ r, t)ψ σ r, t ) GZ, 3.224) G < rσt, r σ t ) := i ) GZ Ψ σ r, t )Ψ σ r, t) GZ ) In G < gilt, wie für G R und G A, das obere Vorzeichen für Fermionen und das untere für Bosonen. G > bezeichnet man als größere Green-Funktion greater Green function). Sie beschreibt Propagation eines Teilchens von r, t nach r, t, wobei keine Annahme über die Reihenfolge von t und t gemacht wird. G < bezeichnet man als kleinere Green-Funktion lesser Green function). Sie beschreibt, zumindest für Fermionen, die Propagation eines Lochs von r, t nach r, t. Wir finden G R = θt t ) G > G < ), 3.226) G A = θt t) G < G > ) ) Für translationsinvariante Systeme hängen die Green-Funktionen nur von r r ab, wie man an ihrer Definitionsgleichung sieht, und wir können zu den Fourier-Transformierten übergehen: G R r r, σt, σ t ) = e ik r r ) G R k, σt, σ t ) 3.228) V k mit G R k, σt, σ t ) = i θt t ) GZ [ a kσ t), a kσ t ) ] GZ ) ± Der Zusammenhang zwischen Ψ σ r, t) und a kσ t) lautet dabei bekanntlich Ψ σ r, t) = e ik r a kσ t) ) V Entsprechende Gleichungen gelten für G A, G >, G <. Da der Ausgangspunkt der Störungstheorie meist freie Elektronen sind, ist es nützlich, die diversen Green-Funktionen G 0 für freie Elektronen aufzuschreiben. Für den Hamiltonian H = kσ ξ kσ c kσ c kσ finden wir G R 0 k, σt, σ t ) = δ σσ G R 0 kσ, t t ), 3.23) da H diagonal im Spin ist, mit G R 0 kσ, t t ) = i θt t ) GZ {c kσ t), c kσ t )} GZ k = i θt t ) GZ e iht c kσ e iht e iht c kσ e iht + e iht c kσ e iht e iht c kσ e iht) GZ ) Hier beachten wir, dass GZ ein Eigenzustand zu H ist und dass sich die Zustände rechts und links der Operatoren c, c nur um jeweils ein einziges Teilchen unterscheiden. Die Grundzustandsenergie hebt sich jeweils heraus, es bleiben nur die Energien der durch c, c vernichteten bzw. erzeugten Elektronen übrig: G R 0 kσ, t t ) = i θt t ) [ θξ kσ ) e iξ kσt e iξ kσt + θ ξ kσ ) e iξ kσt e iξ kσt ] = i θt t ) e iξ kσt t ) ) Die Stufenfunktionen θξ kσ ) bzw. θ ξ kσ ) drücken aus, dass die jeweiligen Beiträge nur vorhanden sind, wenn der Zustand kσ außerhalb bzw. innerhalb des Fermi-Sees liegt. Analog erhalten wir G A 0 kσ, t t ) = i θt t ) e iξ kσt t ), 3.234) G > 0 kσ, t t ) = i c kσ c kσ GZ e iξ kσt t ), 3.235) = n F ξ kσ ) G < 0 kσ, t t ) = i c kσ c kσ }{{ GZ e iξ kσt t ), } 3.236) = n F ξ kσ ) 85

87 wobei die Fermi-Funktion n F für die Temperatur T = 0 einfach { für ξ 0, n F ξ) = θ ξ) = 0 für ξ > ) lautet. Beachte, dass G > 0 und G< 0 harmonische Zeitabhängigkeiten aufweisen. Daher sind ihre zeitlichen Fourier-Transformierten δ-funktionen, z. B. G > 0 kσ, ω) = 2πi [ n F ξ kσ )] δω ξ kσ ) ) G R 0 und G A 0 sind aufgrund der Sprungfunktion θ nicht einfach harmonisch. Wir berechnen die Fourier- Transformierte von G R 0 : G R 0 kσ, ω) = i = i t dt e iωt t ) θt t ) e iξ kσt t ) dt e iωt t ) e iξ kσt t ) = i dt e iωt e iξkσt ) Dieses Integral konvergiert nicht, da der Integrand für t mit konstanter Amplitude eins) oszilliert. Für reale Systeme hat es aber ohnehin keinen Sinn, unendliche Zeiten zu betrachten. Wir können daher eine Änderung vornehmen, die nur sehr große Zeiten betrifft, und die das Konvergenzproblem behebt. Eine solche ist prinzipiell unbeobachtbar und daher eine erlaubte Modifikation des Modells. Wir führen dazu einen konvergenzerzeugenden Faktor ein: G R 0 kσ, ω) = i 0 dt e iωt e iξ kσt e ηt η 0 + = vgl. die Herleitung der T -Matrix. Analog findet man G A 0 kσ, ω) = ω ξ kσ + iη η ω ξ kσ + i0 +, 3.240) ω ξ kσ i ) Es ist oft auch nützlich, den Propagator im Realraum zu kennen. Zur Erinnerung: G > 0 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Propagation eines wechselwirkungsfreien Elektrons. Es ist G > 0 rσ, ω) = 2πi d 3 k eik r 2π) 3 [ n F ξ kσ )] δω ξ kσ ) d 3 k = 2πi [ n F ω)] eik r 2π) 3 δω ξ kσ ) ) Für freie Elektronen mit parabolischer Dispersion ξ kσ = k 2 /2m µ folgt π ) G > 0 rσ, ω) = 2πi [ n F ω)] dk dθ k 2 sin θ e ikr cos θ δ ω k2 2m + µ 4π 2 m 2π 2 0 = 2πi [ n F ω)] 0 [ δ k + ) 2mω + µ) } {{ } 0 = 2πi [ n F ω)] 0 π dθ k 2 ikr cos θ sin θ e )] dk 0 k 2mω + µ) m 2π 2 2 2mω + µ) = 2πi [ n F ω)] m3/2 ω + µ 2 2π 2 = 2πi m 3/2 ω + µ 2π 2 Zustandsdichte in 3D π 0 keine Vektoren 2 sin kr kr dθ 2mω + µ) sin θ e ikr cos θ k 2 2m µ = ω k 2 2m µ=ω [ n F ω)] ist der Endzustand unbesetzt? sin kr kr k 2 2m µ = ω ) 86

88 Was ist die physikalische Bedeutung dieser Funktion? Die Wahrscheinlichkeitsamplitude G > 0 ergibt sich aus der Interferenz vieler ebener Wellen mit unterschiedlichen k, aber derselben Energie ω. Wir sehen das resultierende Interferenzmuster. Wir haben G in der Impuls- und der Ortsdarstellung betrachtet. Natürlich können wir die in der Definition auftretenden Operatoren Ψ bzw. a in jeder beliebigen Einteilchen-Basis schreiben. Wir schreiben z. B. G > νt, ν t ) := i GZ c ν t)c ν t ) GZ ) Die Spektralfunktion geeignete Quantenzahlen, z. B. kσ Wir haben vier komplexe) Green-Funktionen definiert, die alle dieselbe Idee der Propagation eines Teilchens ausdrücken. Außerdem zeigt der Spezialfall freier Elektronen, dass die verschiedenen Green- Funktionen ähnliche funktionale Formen haben. Wir werden nun sehen, dass sich alle vier Funktionen durch eine einzige reelle Funktion, nämlich die sogenannte Spektralfunktion, ausdrücken lassen. Wir definieren diese zunächst: Aν, ω) := 2 Im G R ν, ω), 3.245) wobei geeignete Einteilchen-Quantenzahlen, z. B. kσ G R ν; t t ) = i θt t ) GZ [a ν t), a ν t )] ± GZ, 3.246) G R ν, ω) = i t dt e iωt t ) GZ [a ν t), a ν t )] ± GZ ) Also ist die Spektralfunktion, bis auf einen konventionellen Zahlenfaktor, der Imaginärteil der retardierten Green-Funktion. Die Behauptung ist, dass sie die gesamte Information von G R, G A, G >, G < enthält, bis auf die auftretende Fermi/Bose-Besetzungsfunktion. 87

89 Wir finden ganz allgemein folgende Normierung der Spektralfunktion: dω 2π Aν, ω) = 2 Im = 2 Re dω 2π i) Außerdem finden wir für freie Elektronen: 0 dt dω 0 2π eiωt } {{ } δt) dt e iωt GZ [a ν t), a ν0)] ± GZ t = 0) GZ [a ν t), a ν0)] ± GZ Wir müssen jetzt annehmen, dass die δ-funktion halb gezählt wird, da ihre Singularität am Rand des Integrationsintervalls liegt. = Re GZ [a ν t), a ν0)] ± GZ = ) = A 0 kσ, ω) = 2 Im G R 0 kσ, ω) = 2 Im Nun benutzen wir die wichtige Dirac-Formel Wir erhalten daher E + iη = P E Hauptwert ω ξ kσ + iη η ) iπ δe) für η ) A 0 kσ, ω) = 2π δω ξ kσ ). 3.25) Dies erfüllt natürlich die Normierung, die ja ganz allgemein gilt. Wir interpretieren die Spektralfunktion Aν, ω) als die Verteilungsfunktion von möglichen Energien ω für Teilchen mit den Quantenzahlen ν. Für wechselwirkungsfreie Elektronen legt ν = kσ) die Energie bereits fest, daher ist die Verteilung eine δ-funktion. Wie wir später sehen werden, ist A für wechselwirkende Systeme im Vergleich zu A 0 δω ξ kσ ) verbreitert. Oft kann man aber ein klares Maximum identifizieren, dieses nennt man dann Quasiteilchen-Peak : A Man bezeichnet die durch eine Spektralfunktion dieser Form beschriebenen Objekte, deren Energie im Bereich des Quasiteilchen-Peaks liegt, als Quasiteilchen. Die Breite des Maximums gibt an, wie unscharf die Energie der Quasiteilchen ist. Unter Ausnutzung der Energie-Zeit-Unschärferelation kann man die Breite in der Energie als inverse Lebensdauer interpretieren. Die Summe ν Aν, ω) =: Dω) ist die Zustandsdichte bei der Energie ω, da die Beiträge aller Zustände bei der Energie ω aufsummiert werden. Dω) ist durch Tunnelexperimente zugänglich. Wir müssen noch zeigen, dass die Spektralfunktion tatsächlich ausreicht, um die Green-Funktionen zu rekonstruieren. Wir tun dies hier für Fermionen und erhalten nebenbei einige wichtige Beziehungen zwischen A und den Green-Funktionen. Um Methoden aus der Funktionentheorie anwenden zu können, erlauben wir in G R ν, ω) komplexe Frequenzen ω.. Zunächst zeigen wir, dass G R ν, ω) keine Singularitäten für Im ω 0 hat: Die retardierte Green- Funktion G R ν, t t ) ist nur für t t von Null verschieden. Dann ist G R ν, ω) = t ω dt e iωt t G R ν, t t ) = dt e iωt G R ν, t) 3.252) 0 88

90 und G R ν, t) = dω 2π e iωt G R ν, ω) ) Wir wollen dieses Integral mittels des Residuensatzes auswerten. Für t < 0 wird e iωt für ω +i klein. Wir können das ω-integral daher in der oberen Halbebene schließen; der Beitrag vom Halbkreis verschwindet für große Radien: Wenn irgendwelche Singularitäten in der oberen ω-halbebene lägen, würde das Integral nach dem Residuensatz nicht für alle t < 0 verschwinden. Es muss für die retardierte Green-Funktion aber gleich Null sein. Also gibt es keine Singularitäten für Im ω > 0. Für t > 0 müssen wir in der unteren Halbebene schließen. Das Ergebnis ist i. A. nicht Null, also liegen in der unteren Halbebene i. A. Singularitäten.) 2. Aufgrund der Abwesenheit von Singularitäten innerhalb der Kontur gilt für die folgende Kontur: dω GR ν, ω ) ω ω = ) Der Beitrag des Halbkreises im Unendlichen verschwindet, da G R schnell genug abfällt was noch zu zeigen wäre). Wir zerlegen den Rest der Kontur: dω G R ν, ω ) P ω ω Hauptwert dω GR ν,ω ) ω ω Schreibweise) + dω GR ν, ω ) ω = ) ω Die halbkreisförmige Kontur in der Nähe des Pols bei ω = ω sieht so aus: 89

91 Hier können wir schreiben: dω ω ω = i) dω r = i) dφ ) Das Hauptwertintegral im ersten Term ist definiert durch ω ε lim dω GR ν, ω ) ε 0 + ω ω + dω GR ν, ω ) ) ω+ε ω ) ω Es folgt 0 = dω GR ν, ω ) π ω ω i dφ G R ν, ω +re iφ ) 0 0 = dω GR ν, ω ) ω ω iπ GR ν, ω) 3.258) G R ν, ω) = iπ dω GR ν, ω ) ω ω ) Dies ist die Kramers-Kronig-Relation. Sie ist eine Identität für die Fourier-Transformierten von beliebigen retardierten Funktionen f R t), d. h. Funktionen mit f R t) = 0 für t < 0, sofern die relevanten Integrale existieren. Wir haben in dieser Herleitung die Dirac-Formel nicht explizit benutzt. Damit geht es etwas schneller: Wir deformieren die Kontur so, dass der horizontale Anteil um η oberhalb der reellen Achse liegt. Da der Beitrag des Halbkreises im Unendlichen verschwindet, erhalten wir 0 = = = und Gl ) folgt wieder. dω GR ν, ω + iη) ω + iη ω dω [ P GR ν, ω ω ω iπδω ω) G R ν, ω ) Real- und Imaginärteil der Kramers-Kronig-Relation lauten dω GR ν, ω ω ω iπ GR ν, ω) 3.260) Re G R ν, ω) = π Im G R ν, ω) = π ] dω Im GR ν, ω ) ω, 3.26) ω dω Re GR ν, ω ) ω ) ω Kausalität erzwingt also, dass Re G R oder Im G R bereits allein die gesamte Information enthalten. 3. Insbesondere erhalten wir mit Im G R = A/2: Re G R ν, ω) = 2π dω Aν, ω ) ω ω 3.263) und dω 2π Aν, ω ) ω ω + iη η 0 + = dω = 2π Aν, ω ) dω 2π [ ] P ω ω iπδω ω ) Aν, ω ) ω ω i Aν, ω) 2 = Re G R ν, ω) + i Im G R ν, ω) = G R ν, ω) ) 90

92 Also ist dω G R ν, ω) = 2π Aν, ω ) ω ω + iη η ) Dies ist eine Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion, auch Källén-Lehmann-Darstellung genannt. Offensichtlich gewinnt man die freie Green-Funktion wieder, wenn man für die Spektralfunktion eine δ-funktion einsetzt. Analog erhält man dω G A Aν, ω ) ν, ω) = 2π ω ω ) iη η 0 + Beachte, dass ganz allgemein folgt Man findet außerdem G A ν, ω) = [G R ν, ω)] ) i G > ν, ω) = Aν, ω) [ n F ω)], 3.268) i G < ν, ω) = Aν, ω) n F ω) ) 3.7 Bewegungsgleichung für die Green-Funktion Wir wollen nun sehen, wie wir die Green-Funktion tatsächlich ausrechnen können. Dies wird für wechselwirkende Systeme im Allgemeinen nicht ohne Näherungen möglich sein. Wir betrachten einen zeitunabhängigen Hamiltonian H = H 0 + V int, wobei V int die Wechselwirkungen beschreibt. Wir unterdrücken hier den Spin-Index. Zunächst wollen wir eine Bewegungsgleichung für G R herleiten. Die Definition der Green-Funktion ist Es folgt G R rt, r t ) = i θt t ) GZ [Ψr, t), Ψ r, t )] ± GZ ) i t GR rt, r t ) = δt t ) GZ [Ψr, t), Ψ r t =t, t )] ± GZ [ iθt t ) GZ i ] t Ψr, t), Ψ r, t ) = δt t )δr r ) iθt t ) GZ ± GZ [ i ] t Ψr, t), Ψ r, t ) ± GZ. 3.27) Wir benötigen i Ψ/ t. Diese Ableitung ergibt sich aus der Heisenberg-Gleichung, da Ψ ein Operator im Heisenberg-Bild ist: i t Ψr, t) = [H, Ψr, t)] = [H 0, Ψr, t)] [V int, Ψr, t)] ) kein ±, immer der Kommutator) Um weiterzurechnen, müssen wir eine konkrete Form für H 0 annehmen. Wir setzen hier H 0 einfach als kinetische Energie T der Teilchen. Das bedeutet, dass kein periodisches Potential existiert Jellium- Modell), alternativ können wir auch das periodische Potential in V int einbeziehen. Wir können nun den 9

93 ersten Term mit Hilfe von Gl. 2.80) schreiben als [H 0, Ψr, t)] = d 3 r [Ψ r, t) ) 2 Ψr, t), Ψr, t)] 2m = d 3 r { Ψ r, t) ) 2 Ψr, t) Ψr, t) Ψr, t) Ψ r, t) ) 2 Ψr, t) } 2m = d 3 r { Ψ r, t) Ψr, t) Ψr, t) Ψ r, t) } ) 2 Ψr, t) 2m = d 3 r { Ψr, t) Ψ r, t) ± Ψ r, t) Ψr, t) } ) 2 Ψr, t) 2m = d 3 r [Ψr, t), Ψ r, t)] ± ) 2 Ψr, t) 2m = d 3 r δr r ) ) 2 Ψr, t) = 2m 2m 2 Ψr, t) ) Das obere Vorzeichen gilt jeweils für Fermionen, das untere für Bosonen. Es ist zu beachten, dass wir für Fermionen auf den Antikommutator kommen, obwohl wir von einem Kommutator gestartet sind. Das entscheidende Vorzeichen erscheint im ersten Term in der dritten Zeile. Es folgt i t + 2m 2 ) G R rt, r t ) = δt t )δr r ) iθt t ) GZ [ [V int, Ψr, t)], Ψ r, t ) ] GZ ) ± Dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung für G R. Beachte, dass im letzten Term die äußere Klammer ein Kommutator für Bosonen) oder Antikommutator für Fermionen) ist, während die innere Klammer für beide Fälle einen Kommutator darstellt. Das liegt daran, dass die äußere Klammer aus der Definition der Green-Funktion stammt, die innere aber aus der Heisenberg-Gleichung. Der letzte Term enthält offenbar die Korrekturen zur Gleichung für den wechselwirkungsfreien Fall, i t + ) 2m 2 G R 0 r, t, r t ) = δt t )δr r ), 3.275) aufgrund der Wechselwirkungen in V int. Analog gilt in einer beliebigen Einteilchenbasis Der ungestörte Hamiltonian H 0 hat die Form Dies liefert ν G R νt, ν t ) = i θt t ) GZ [ a ν t), a ν t ) ] GZ ) ± H 0 = νν h νν a νa ν ) [H 0, a ν ] = [ h ν ν a ν a ν, a ] ν = h ν ν a ν a ν a ν a ν a ν a ) ν ν ν ν ν = ν ν h ν ν a ν a ν a ν a ν ) aν = ν ν h ν ν aν a ν ± a ν a ν) aν = ν ν h ν ν [ aν, a ν ]± a ν = ν ν h ν ν δ νν a ν = ν h νν a ν 3.278) und daher ) iδ νν t h νν G R ν t, ν t ) = δt t )δ νν iθt t ) GZ [ [V int, a ν t)], a ν t ) ] GZ ) ± Für einen zeitunabhängigen Hamiltonian H hängt G R nur von t t ab. Es bietet sich an, zur Fourier- Transformierten in der Frequenz überzugehen. Die Gleichung für G R lautet dann δ νν ω h νν ) G R ν ν, ω) = δ νν i dt e iωt t ) GZ [ [V int, a ν t)], a ν t ) ] GZ ) ± ν t Damit das Integral für große t konvergiert, geben wir ω einen kleinen positiven Imaginärteil, ω ω + iη, und lassen η am Ende der Rechnung gegen Null gehen, η

94 3.7. Wechselwirkungsfreier Fall Für diesen Fall kennen wir das Ergebnis schon, siehe Gleichung 3.240). Wir lösen die Bewegungsgleichung, um sicherzustellen, dass sie sich korrekt verhält. Hier ist H = H 0 = νν h νν a νa ν. 3.28) Wir betrachten G R 0 ω) als Matrix mit den Komponenten Dann ist die Bewegungsgleichung G R 0 ω) νν G R 0 νν, ω) ) ν [δ νν ω + iη) h νν ] G R 0 ω) ν ν = δ νν 3.283) eine Matrix-Gleichung. Wir sehen, dass G R 0 ω) die inverse Matrix zu G R 0 ω) mit den Komponenten ist. Wenn wir die Matrix ĥ mit den Komponenten h νν G R 0 ω) νν = δ νν ω + iη) h νν 3.284) einführen, können wir schreiben G R 0 ω) = ω ĥ + iη 3.285) G R 0 ω) =. ω ĥ + iη 3.286) Der Bruch ist hier als Matrix-Inversion zu verstehen. Ist H 0 diagonal, H 0 = ν ε ν a νa ν, so folgt wie wir schon wissen. G R 0 νν, ω) = G R 0 ω) νν = δ νν Resonantes Niveau resonant-level model) ω ε ν + iη, 3.287) Wir betrachten ein nicht ganz so triviales Modell, in dem ein einzelnes Orbital an ein wechselwirkungsfreies Elektronengas gekoppelt ist. Der Hamiltonian lautet mit H = H 0 + H lokal + H hyb 3.288) H 0 = ν 0 ξ ν c νc ν wechselwirkungsfreies Elektronengas), 3.289) H lokal = ε 0 c 0 c 0 lokales Orbital), 3.290) H hyb = ν 0t ν c νc 0 + t ν c 0 c ν) Hybridisierung/Hüpfen). 3.29) Die Summen über ν laufen hier über alle Einteilchenzustände des Elektronengases, aber nicht das lokale Orbital. 93

95 Wir können die retardierten Green-Funktionen G R 00, t t ) = iθt t ) GZ { c 0 t), c 0 t ) } GZ, 3.292) G R 0ν, t t ) = iθt t ) GZ { c 0 t), c νt ) } GZ ν 0), 3.293) G R ν0, t t ) = iθt t ) GZ { c ν t), c 0 t ) } GZ ν 0), 3.294) G R νν, t t ) = iθt t ) GZ { c ν t), c ν t ) } GZ ν, ν 0) 3.295) einführen. Uns interessiert hier G R 00, t t ). Diese Green-Funktion gibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür an, ein Elektron zur Zeit t im lokalisierten Orbital zu finden, wenn es zur Zeit t < t dort erzeugt wurde. Zur Lösung beachten wir zunächst, dass es sich um ein wechselwirkungsfreies System handelt alle Terme im Hamiltonian sind bilinear. Also haben wir V int = 0 und wir können die Lösung aus dem vorigen Abschnitt verwenden, müssen aber über alle Einteilchenzustände ν 0 und 0 summieren: ω + iη ε 0 ) G R 00, ω) + ν 0 t ν ) G R ν0, ω) = δ 00 =, 3.296) ω + iη ξ ν ) G R ν0, ω) + t ν) G R 00, ω) = δ ν0 = ) und zwei weitere Gleichungen, die wir hier nicht benötigen). Aus der zweiten Gleichung folgt Einsetzen in Gl ) ergibt G R ν0, ω) = ω ε 0 + iη) G R 00, ω) ν 0 G R 00, ω) = mit t ν ω ξ ν + iη GR 00, ω) ) Σ R 00, ω) := ν 0 t ν 2 ω ξ ν + iη GR 00, ω) = 3.299) ω ε 0 Σ R 00, ω) + iη 3.300) t ν 2 ω ξ ν + iη. 3.30) G R 00, ω) hat beinahe die Form für H = H lokal, nämlich /ω ε 0 +iη), aber es tritt ein zusätzlicher Term Σ R 00, ω) im Nenner auf. Σ R 00, ω) nennt man die retardierte) Selbstenergie. Man kann die Green- Funktion für jedes System mit Hilfe der ungestörten Green-Funktion und einer geeigneten Selbstenergie ausdru"cken, denn es gilt Σ R = G R 0 ) G R ). Wir erkennen, dass die Selbstenergie aufgrund der Ankopplung des lokalen Orbitals an das Elektronengas, also aufgrund von H hyb, auftritt. Sie drückt hier aus, dass die Eigenzustände jetzt Superpositionen von 0 mit den ν sind. Wir können weitere Einsicht durch Betrachtung der Spektralfunktion gewinnen. Sie lautet wobei A00, ω) = 2 Im G R 00, ω) = ω ε 0 Σ R 00, ω) 2 Im iη [ω ε 0 Re Σ R 00, ω)] 2 + [ Im Σ R 00, ω) = 2 +η ]2 Im Σ R 00, ω) [ω ε 0 Re Σ R 00, ω)] 2 + [ Im Σ R 00, ω)] 2, 3.302) Re Σ R 00, ω) = ν 0 Im Σ R 00, ω) = π ν 0 P t ν 2 ω ξ ν, 3.303) t ν 2 δω ξ ν ) ) 94

96 Wir betrachten ein einfaches Modell mit konstanter Zustandsdichte D und konstanter Hybridisierung t für Energien ξ zwischen den Bandkanten ξ min und ξ max :... dξ D..., 3.305) ν 0 t ν 2 t ) Für ξ min < ω < ξ max finden wir dann sofort Im Σ R = πd t 2. Für den Realteil findet man manchmal die Argumentation, er sei Null, weil der Integrand ungerade gegenüber Spiegelung von ξ an ω ist. Das ist etwas unsauber. Die korrekte Herleitung geht wie folgt: Es ist ξmax Re Σ R 00, ω) = D t 2 ξ min = D t 2 [ dξ ω ξ = D t 2 ω ξmin ϵ dξ ξ + ξmax ω ξ min ω ξmax ω ϵ dξ ξ dξ ξ ] ϵ 0 + = D t 2 ln ω ξ min ξ max ω ) Die letzte Gleichung gilt unabhängig davon, ob ξ max ω oder ω ξ min größer ist. In der Näherung eines breiten Bandes, ξ min, ξ max ω, folgt Re Σ R 00, ω) = D t 2 [lnω ξ min lnξ max ω)] [ = D t 2 ln ξ min ) + ω ln ξ max + ω ] ξ min ξ max = D t 2 ln ξ min + D t 2 + ) ω ) ξ max ξ min ξ max Der erster Term ist eine Konstante, die man oft stillschweigend) in ε 0 absorbiert. Der zweite Term ist für ein breites Band vernachlässigbar klein. Damit erhalten wir schließlich A00, ω) = 2 πd t 2 ω ε 0 ) 2 + πd t 2 ) 2 = 2πD t 2 ω ε 0 ) 2 + πd t 2 ) ) Lorentz-Kurve) Wir finden also, dass durch die Ankopplung an das Elektronengas der lokale Zustand verbreitert wird. Die Linie wird umso breiter, je größer D t 2 ist. Seine Energie ist wegen der Hybridisierung mit Zuständen ν nicht mehr scharf definiert. Dies können wir mit Hilfe der Energie-Zeit-Unschärferelation deuten: Die Lebensdauer des lokalen Zustandes wird endlich, da das Elektron ins Kontinuum Elektronengas) hüpfen kann. Dies führt zu einer endlichen Breite im Energiespektrum. Dieses Argument ist aber eventuell irreführend: Die Verbreiterung hängt nicht davon ab, ob die mit ε 0 resonanten Zustände im Elektronengas besetzt sind oder nicht. Die Verbreiterung ist für ε 0 unterhalb und oberhalb der Fermi-Energie gleich. Die Besetzung der Zustände darf auch keine Rolle spielen, da wir es mit wechselwirkungsfreien Elektronen zu tun haben, die gar nichts voneinander merken. Für die Verbreiterung ist nur die Hybridisierung verantwortlich. 95

97 3.7.3 Anderson-Modell für eine magnetische Störstelle Wir wenden nun die Methode der Bewegungsgleichungen auf das wichtige Anderson-Modell an. Im Vergleich zum resonant-level model berücksichtigen wir noch den Spin-Freiheitsgrad und erlauben eine Coulomb-Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen Spin- und Spin- ) im lokalen Orbital. Das Ganze ist ein Modell für d- und f-orbitale von Übergangsmetall- bzw. Seltenerd-Atomen in einem Metall. Die Frage, die wir hier untersuchen wollen, ist, unter welchen Bedingungen diese Störstelle ein magnetisches Moment entwickelt. Der Hamiltonian lautet H = H c + H d + H U + H hyb 3.30) mit H c = kσ H d = σ ξ k c kσ c kσ Metall), 3.3) ε d c dσ c dσ lokales Orbital), 3.32) H U = U c d c d c d c d Coulomb-Wechselwirkung), 3.33) H hyb = kσ t k c dσ c kσ + t kc kσ c dσ) Hybridisierung). 3.34) Wir berücksichtigen die Coulomb-Abstoßung nur für das lokale Orbital, da sie für in den kleinen d- oder f-orbitalen eingesperrte Elektronen sehr viel größer ist als für Bloch-Elektronen im Leitungsband von typischen Metallen. Das magnetische Moment in z-richtung ist proportional zur z-komponente des Spins der Störstelle, s z d = c d c d c d c d. 3.35) 2 Wir benötigen Erwartungswerte GZ c dσ c dσ GZ für σ =,. Diese ergeben sich aus der geringeren Green-Funktion G < dσ, dσ, t t ) = i GZ c dσ t )c dσ t) GZ 3.36) GZ c dσ c dσ GZ = i G < dσ, dσ, t = 0) dω = i 2π G< dσ, dσ, ω) = dω 2π Adσ, dσ, ω) n F ω). = θ ω) für T =0 3.37) Die Spektralfunktion A ergibt sich natürlich aus G R. Wir schreiben die Bewegungsgleichung für G R dσ, dσ, ω) 96

98 auf: ω + iη ε d ) G R dσ, dσ, ω) + t k ) G R kσ, dσ, ω) von H k d von H hyb = i t dt e iω+iη)t t ) U GZ { [c d c d c d c d, c dσ ]t), c dσ t ) } GZ. 3.38) Hier bedeutet [c d c d c d c d, c dσ ]t), dass alle Operatoren im Heisenberg-Bild zur Zeit t zu verstehen sind. Diese Gleichung enthält G R kσ, dσ, ω), so dass wir hierfür ebenfalls die Bewegungsgleichung benötigen: In Gleichung 3.38) ist und analog ω + iη ξ k ) G R kσ, dσ, ω) + t k) G R dσ, dσ, ω) = ) [c d c d c d c d, c d ] = c d c d [c d c d, c d ] Also wird Gleichung 3.39), mit Gl. 3.38) eingesetzt, ω + iη ε d ) G R dσ, dσ, ω) k = i U t = c d c d c d c d c d c d c d c d ) = 0 Fermionen) = c d c d c d ) = c d c d c d 3.320) [c d c d c d c d, c d ] = c d c d c d. 3.32) t k 2 ω ξ k + iη GR dσ, dσ, ω) dt e iω+iη)t t ) GZ { c d σ t) c d σ t)c dσ t), c dσ t ) } GZ ) wobei σ:= σ Wir erkennen, dass die rechte Seite eine kompliziertere Green-Funktion D R dσ, t t ) := iθt t ) GZ { c d σ t)c d σt)c dσ t), c dσ t ) } GZ 3.323) enthält. Das ist typisch für die Methode der Bewegungsgleichungen. Wir könnten nun ähnlich wie oben die Bewegungsgleichung für D R herleiten. Diese Gleichung enthält eine noch kompliziertere Green-Funktion! Wir erhalten eine Hierarchie von Gleichungen, die nicht geschlossen ist. Wir müssen daher geeignete Näherungen finden, um die Hierarchie abzubrechen. Unter der Bedingung, dass die Teilchenzahl c dσ c dσ näherungsweise erhalten ist, können wir diesen Operator in D R durch seinen Grundzustandserwartungswert ersetzen. Dann ist GZ c dσ c dσ GZ =: n dσ 3.324) D R dσ, t t ) iθt t ) n d σ GZ { c dσ t), c dσ t ) } GZ = n d σ G R dσ, dσ, t t ) ) Die komplizierte Green-Funktion D R wird also näherungswise durch die einfachere, G R, ausgedrückt. Damit ist das Gleichungssystem geschlossen. Die Bewegungsgleichung lautet nun ω + iη ε d t k 2 ) G R dσ, dσ, ω) = + U n d σ G R dσ, dσ, ω), 3.326) ω ξ k + iη k mit der Lösung G R dσ, dσ, ω) = mit Σ R dσ, dσ, ω) Σ R ω) = k ω ε d U n d σ Σ R dσ, dσ, ω) + iη 3.327) t k 2 ω ξ k + iη ) 97

99 Die gesamte Selbstenergie ist nun Σ R dσ, dσ, ω) = U n d σ + Σ R ω) ) Der zweite Term ist analog zum resonanten Niveau und führt wieder zu einer Verbreiterung des Maximums in Adσ, dσ, ω). Der neue Term U n d σ führt zu einer zusätzlichen Verschiebung der Quasiteilchenenergie, der sogenannten Hartree-Verschiebung. Beachte, dass n d und n d verschieden sein können. Es ist n dσ GZ c dσ c dσ GZ dω = 2π Adσ, dσ, ω) n F ω) T =0 = 2 0 dω 2π Im ω ε d U n d σ Σ R ω) + iη ) komplex Das ist eine Selbstkonsistenz-Beziehung oder -Bedingung) für n d und n d. In der Praxis nehmen wir einen Wert an, z. B. n d =, und iterieren die Gleichung, n d 3.330) n d 3.330) n d 3.330), 3.33) bis Konvergenz erreicht ist. Für ein einfaches Modell mit Dξ) t k 2 = const vgl. S. 95) können wir das Integral in Gl ) analytisch berechnen, ansonsten ist eine numerische Rechnung erforderlich. Das typische Ergebnis ist hier dargestellt: Die Näherung c dσ c dσ GZ c dσ c dσ GZ ist eine Mean-Field-Näherung, hier bei T = 0, die wir im folgenden Kapitel ausführlicher besprechen werden. Die Mean-Field-Näherung ist für das Anderson-Modell für eine einzelne Störstelle nicht angemessen. Für große U ist der wahre Grundzustand ein Spin-Singulett, das durch die Theorie des Kondo-Effekts beschrieben wird. Sie ist aber für ein System mit vielen Störstellen geeignet. Ein solches System kann eine endliche Magnetisierung aufweisen. Ein Beispiel sind verdünnte magnetische Halbleiter wie stark mit Mangan dotiertes Galliumarsenid, Ga,Mn)As. In diesem System führt Mn 2+ einerseits wegen seiner mit fünf Elektronen halb gefüllten d-schalen magnetische Momente sein. Andererseits wirkt Mangan als Akzeptor, der das GaAs p-dotiert. Die magnetischen Momente wechselwirken mit dem dadurch entstehenden Löcher-Gas. Das Material ordnet bei hinreichend tiefen Temperaturen ferromagnetisch. 98

100 Kapitel 4 Vielteilchentheorie bei endlichen Temperaturen Reale Systeme stehen meist in Kontakt mit ihrer Umwelt, d. h. sie können Energie und eventuell auch Teilchen mit der Umgebung austauschen. Ist die Umgebung näherungsweise im thermischen Gleichgewicht, können wir sie durch eine Temperatur T und ein chemisches Potential µ beschreiben. Wie in der Statistischen Physik gezeigt wird, strebt das System dann dieselbe Temperatur und gegebenenfalls dasselbe chemische Potential wie die Umgebung an. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit Vielteilchensystemen, die diesen Gleichgewichtszustand erreicht haben. Die hier diskutierten Methoden für endliche Temperaturen sind oft auch für den Grenzfall T 0 nützlich. Nicht jede Umgebung ist im Gleichgewicht. Ein Gegenbeispiel sind zwei Zuleitungen mit zwischen ihnen angelegter Spannung. In diesem Fall können die Zuleitungen jeweils für sich im Gleichgewicht sein, ihr chemisches, oder vielmehr elektrochemisches, Potential ist aber verschieden. Vielteilchentheorie und insbesondere Green-Funktions-Methoden lassen sich auch für Systeme außerhalb des Gleichgewichts formulieren; eine wichtige Methode verwendet sogenannte Keldysh-Green-Funktionen. Damit beschäftigen wir uns in dieser Vorlesung aber nicht. 4. Wechselwirkungsfreie Teilchen Zunächst erinnern wir uns an die Verteilungsfunktionen für nicht wechselwirkende Teilchen. Sei H = ν ε ν a νa ν der Hamiltonian des Systems. Da die Teilchen nicht wechselwirken, können wir repräsentativ den Einteilchenzustand ν betrachten. Wir stellen uns die Frage, wieviele Teilchen der Sorte ν es gibt. a) Bosonen ohne Teilchenzahlerhaltung: Erzeugt a ν ein Boson, dessen Teilchenzahl nicht erhalten ist, so kann es beliebig oft angeregt sein. Beispiele sind Photonen und Phononen. In der Statistischen Physik findet man, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zustands mit der Energie ε ν bei der Temperatur T durch den Boltzmann-Faktor e ε ν/k B T e βε ν gegeben ist. Die mittlere Zahl von Teilchen der Energie ε ν ist also n ν = 0 e 0βε ν + e βε ν + 2 e 2βε ν + 3 e 3βε ν +... e 0βε ν Normierung +e βε ν + e 2βε ν + e 3βε ν +... n=0 = ne nβεν = n=0 e nβε ν βε ν ) ln e nβε ν n = βε ν ) ln e βεν = = +e βεν e βεν = βε ν ) ln e βε ν ) e βεν =: n Bε ν ). 4.) Dies ist die sogenannte Planck-Verteilung, die oft als Spezialfall der Bose-Einstein-Verteilung betrachtet wird. 99

101 b) Bosonen mit Teilchenzahlerhaltung: Ein Beispiel sind 4 He-Atome. Ist die Anzahl der Bosonen erhalten und können diese mit der Umgebung ausgetauscht werden, müssen wir ein chemisches Potential µ einführen. Das chemische Potential µ gibt an, um wieviel die Energie des Systems abnimmt, wenn ein Teilchen aus der Umgebung hinzugefügt wird. Wir betrachten also den großkanonischen Hamiltonian H = ν ε ν µ)a νa ν. Die Verteilungsfunktion ist dann analog zu Fall a) n ν = e βε ν µ) =: n Bε ν µ). 4.2) Dies ist die Bose-Einstein-Verteilung. Die Endlichkeit von n ν erfordert, dass µ minε ν ) ist. Ist die Zustandsdichte für ε minε ν ) von Null verschieden, kann sogar nur µ < minε ν ) gelten. Geht die Zustandsdichte dagegen gegen Null, ist µ = minε ν ) möglich. Dann muss man die Grundzustände, also die Zustände mit der Energie minε ν ), gesondert behandeln, sie erhalten evtl. makroskopische Besetzungszahlen. Das ist das aus der Statistischen Physik bekannte Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation. Wichtig ist hier, dass es sich um einen Effekt für wechselwirkungsfreie Teilchen handelt und nicht um einen eigentlichen Vielteilcheneffekt. c) Fermionen: Die Teilchenzahl von Fermionen ist in für die Vielteilchentheorie relevanten Fällen immer erhalten. Der großkanonische Hamiltonian lautet wieder H = ν ε ν µ)a νa ν. Der Zustand ν kann nun höchstens einfach besetzt sein. Daher ist n ν = 0 e 0βεν µ) + e βε ν µ) e 0βε ν µ) + e βε ν µ) = = e βε ν µ) + e βε ν µ) e βεν µ) + =: n F ε ν µ). 4.3) Dies ist die Fermi-Dirac-Verteilung. Das charakteristische Phänomen für wechselwirkungsfreie Fermionen ist die Bildung eines Fermi-Sees. Wir skizzieren noch die Verteilungsfunktionen n B und n F : 4.2 Mean-Field-Theorie Nach dieser Wiederholung wenden wir uns nun wechselwirkenden Vielteilchensystemen bei T > 0 zu. Eine sehr wichtige Klasse von Näherungen beruht auf der Idee, die Wechselwirkungen eines Teilchens mit allen anderen V 2, V 3,... ) durch einen effektiven bilinearen Potential-Term V ) zu ersetzen. Dabei werden in den Wechselwirkungstermen im Hamiltonian in noch zu besprechender Weise Operatoren durch ihre thermischen Mittelwerte ersetzt. Diese Näherungen nennt man Mean-Field-Theorien. Beispiele sind die Hartree-Fock-Näherung, die Stoner-Theorie des Ferromagnetismus und die BCS-Theorie der Supraleitung. Wir betrachten den Hamiltonian H = H 0 + V int 4.4) mit H 0 = ξν a a νa ν + ν µ V int = ξ b µ b µb µ 4.5) νν µµ V νµν µ a νb µb µ a ν Wechselwirkung). 4.6) 00

102 Offenbar liegen zwei Sorten von Teilchen vor. Wir können uns z. B. Elektronen und Kerne vorstellen. Wir nehmen nun an, dass wir aufgrund physikalischer Argumente wissen, dass Fluktuationen der verallgemeinerten Teilchenzahloperatoren a νa ν und b µb µ klein sind. Damit ist gemeint, dass der Einfluss der Fluktuationen auf die uns interessierenden Größen klein im Vergleich zum Beitrag des Mittelwertes ist. Das können wir letztlich nur überprüfen, indem wir über die Mean-Field-Näherung hinausgehen. Die Fluktuationen werden durch die Operatoren beschrieben. Dann ist der Hamiltonian H = H 0 + ) a ν a ν + d νν b µ b µ + e µµ ) = H 0 + = H 0 + νν µµ V νµν µ νν µµ V νµν µ νν µµ V νµν µ d νν := a νa ν a νa ν, 4.7) e µµ := b µb µ b µb µ 4.8) a ν a ν b µb µ + a νa ν e µµ einsetzen: b µb µ b µb µ + d νν b µb µ a νa ν a νa ν ) + d νν e µµ vernachlässigen, da klein! a ν a ν b µb µ + a νa ν b µb µ a νa ν b µb µ ) =: H MF. 4.9) Das allgemeine Schema der Mean-Field-Theorie sieht so aus: Für zwei Operatoren A, B schreiben wir AB = A B + A B A B. 4.0) Wir ersetzen also einmal den ersten und einmal den zweiten Operator durch ihre thermischen Mittelwerte. Um das korrekte Ergebnis zu erhalten, wenn A und B unabhängig sind AB = A B ), ziehen wir noch A B ab. Der Mean-Field-Hamiltonian H MF ist nun bilinear in den Operatoren a, a, b, b. Daher beschreibt H MF ein effektives wechselwirkungsfreies System, das im Prinzip eine analytische Lösung gestattet. Insbesondere haben wir den Wechselwirkungsterm V int durch ein Einteilchenpotential ersetzt. Dieses hängt jedoch von den Mittelwerten n a νν := a νa ν und n b µµ := b µb µ ab. Wie sollen wir diese wählen? Wir können diese Mittelwerte für das durch H MF beschriebene effektive System ausrechnen. Die resultierenden Werte sollten mit den in H MF eingesetzten übereinstimmen. Dies ist eine Selbstkonsistenz-Bedingung. Z. B. ist n a νν = a νa ν = Tr a νa ν e βhmf. Tr e βhmf Trace = Spur über Basis des Hilbertraums 4.) Wir werde in Abschnitt 4.3 die Aussagen der Quantenstatistik wiederholen, die hinter dieser Gleichung stecken. Beispiele für die praktische Berechnung werden wir im Folgenden betrachten. Zunächst machen wir jedoch noch einige Bemerkungen: Wir erhalten diese Gleichungen für n a νν, nb µµ auch durch Minimierung der freien Energie mit der Zustandssumme Z MF = Tr e βh MF : 0 = = = d d n b µµ F MF Z MF Tr e βhmf Z MF Tr e βh MF F MF = β ln Z MF 4.2) d d n b µµ H MF νν V νµν µ a νa ν n a νν ) = νν V νµν µ Z MF Tr a νa ν e βhmf n a νν ). 4.3) 0

103 Da dies für alle µ, µ gelten muss, folgt, dass der Klammerausdruck verschwindet. Analog erhalten wir eine Gleichung für n b µµ. In der praktischen Rechnung können wir also einen von zwei alternativen Zugängen verwenden: Entweder wir lösen die Selbstkonsistenz-Gleichungen ggf. numerisch) oder wir minimieren die freie Energie ggf. numerisch). Es existieren i. A. sehr viele Mean-Field-Parameter Mittelwerte) n a νν, nb µµ, die wir bestimmen müssen. In der Praxis nutzt man Symmetrien des Systems aus, um die Anzahl einzuschränken. Es ist jedoch zu beachten, dass manchmal die Symmetrie des Gleichgewichtszustandes geringer als die des Hamiltonians. Beispiele werden wir noch kennenlernen. In der Praxis betrachten wir eine kleine Zahl möglicher Mean- Field-Parameter in der Mean-Field-Näherung findet man in so fern nur, wonach man sucht! 4.2. Hartree-Fock-Näherung In der obigen Einführung in die Mean-Field-Theorie haben wir mögliche nicht verschwindende Mittelwerte von a νb µ und b µa ν außer Acht gelassen. Dies ist nicht immer gerechtfertigt, wie man besonders leicht einsieht, wenn a und b tatsächlich dieselben Teilchen beschreiben. Wir betrachten also den Hamiltonian mit H = H 0 + V int 4.4) H 0 = ν V int = 2 ξ ν c νc ν 4.5) νν µµ V νµν µ c νc µc µ c ν. 4.6) Jetzt sollten in der Mean-Field-Näherung die Mittelwerte c νc ν und c νc µ gleichberechtigt auftreten. Wir werden später das wichtige Wick-Theorem besprechen, das für nicht wechselwirkende Teilchen, wie sie die Mean-Field-Näherung liefert, aussagt, dass gilt c νc µc µ c ν = c νc ν c µc µ ± c νc µ c µc ν Austausch-Term 4.7) das obere/untere Vorzeichen gilt wie üblich für Bosonen/Fermionen das Minus-Zeichen kommt von der Antikommutation von Fermionen-Operatoren). Die Mean-Field-Näherung muss mit dieser Gleichung verträglich sein. Also setzen wir c νc µc µ c ν = c ν c ν c µc µ + c νc ν c µc µ c νc ν c µc µ Damit erhalten wir den Mean-Field-Hamiltonian ± c νc µ c µc ν ± c νc µ c µc ν c νc µ c µc ν. 4.8) H MF = H 0 + V Hartree + V Fock 4.9) mit, für den Fall von Elektronen, V Hartree = V νµν µ 2 n νν c µc µ + 2 νν µµ dies ist der Hartree-Term) und V Fock = V νµν 2 µ n νµ c µc ν 2 νν µµ V νµν µ n µµ c νc ν 2 νν µµ νν µµ V νµν µ n µν c νc µ + 2 V νµν µ n νν n µµ 4.20) νν µµ νν µµ V νµν µ n νµ n µν 4.2) dies ist der Fock- oder Austausch-Term). Wir wenden diese Näherung jetzt auf Elektronen mit Coulomb-Wechselwirkung an. Der Hamiltonian lautet H = ξ k c kσ c kσ + V q) c k 2V +q,σ c k 2 q,σ 2 c k2σ 2 c kσ. 4.22) kσ k k 2q σ σ 2 02

104 Da dieser Hamiltonian translationsinvariant ist und auch keine Spin-Richtung auszeichnet, nehmen wir zunächst an, dass auch der Gleichgewichtszustand homogen und unmagnetisch ist. Dann gilt n kσ,k σ c kσ c k σ = δ kk δ σσ n k = δ kk δ σσ n k. 4.23) Mittelwerte sind hier mit dem Mean-Field-Hamiltonian auszurechnen. Wir setzen nun diese Gleichung in die Hartree- und Fock-Terme des Mean-Field-Hamiltonians ein, H MF = H 0 + V q = 0) δ q0 n kσ 2V c k 2 σ 2 c k2σ 2 + V q = 0) δ q0 c k 2V σ c kσ n k2σ 2 σ σ 2 σ σ 2 2V 2V + 2V k k 2q k k 2q k k 2q V q = 0) δ q0 n k σ n k2 σ 2 2V σ σ 2 k k 2q V q) δ k +q,k 2 c k +q,σ c k +q,σ n k σ σ σ 2 k k 2q k k 2q σ σ 2 V q) δ k +q,k 2 δ σ σ 2 n k +q,σ c k σ c k σ σ σ 2 V q) δ k +q,k 2 n k +q,σ n k σ. 4.24) Nach Umbennung von Summationsvariablen können wir die Terme zu einer einfachen Form zusammenfassen, H MF = ξk HF c kσ c kσ + const 4.25) kσ irrelevant mit ξk HF = ξ k + n V q = 0) V k k ) n k σ. 4.26) k mittlere Austausch-Korrektur zu ξ k Elektronenkonzentration dieser Term weggehoben durch Kernpotential Im letzten Term ist σ beliebig, da n k σ gar nicht von σ abhängt. Wir könnten jetzt recht einfach die Gesamtenergie in der Hartree-Fock-Näherung ausrechnen. Die Rechnung ist hier nicht wiedergegeben. Im Grenzfall T 0 erhält man e N = 2,2 Ry r 2 s 0,96 Ry r s mit r s := ) /3 9π. 4.27) 4 k F a B Dies ist dasselbe Ergebnis wie in Störungstheorie. Ordnung, siehe Gl. 3.90). Diese Übereinstimmung ist eine spezielle Eigenschaft der Hartree-Fock-Näherung für das homogene Elektronengas und gilt nicht allgemein für Mean-Field-Theorien. Mean-Field-Näherungen sind keine Störungstheorien endlicher Ordnung Stoner-Theorie des Ferromagnetismus in Metallen In Metallen schirmen die beweglichen Leitungselektronen die Coulomb-Wechselwirkung teilweise ab, wie wir später sehen werden. Die abgeschirmte Wechselwirkung hat näherungsweise die schon bekannte Yukawa- Form q q 2 e r/ξ 4.28) 4πε 0 r mit einer Abschirmlänge ξ. In guten Metallen ist ξ nicht viel größer als die Gitterkonstante. Wir können daher die wesentlichen Effekte mit einem Modell mit rein lokaler Wechselwirkung verstehen. Dies ist das Hubbard-Modell, beschrieben durch den Hamiltonian H = t ij c iσ c jσ + U c i c i c i c i. 4.29) ijσ i kinetische Energie kurzreichweitige WW 03

105 Den Wechselwirkungsterm in Impulsdarstellung erhalten wir aus U c i c i c i c i = U ) c i 2 c i c i c i + c i c i c i c i i i = U c iσ 2 c iσ c iσ c iσ da c iσ c iσ = ) iσσ U = 2N 2 e ik +k 2 k 3 k 4 ) R i c k σ c k 2 σ c k3σ c k 4σ k k 2k 3k 4 σσ i = Nδ k +k 2,k 3 +k 4 = U c k+q,σ 2N c k q,σ c k σ c kσ. 4.3) σσ Also ist H = kσ kk q ξ k c kσ c kσ + U 2N kk q σσ c k+q,σ c k q,σ c k σ c kσ. 4.32) Wir wenden die Hartree-Fock-Näherung an, um den Wechselwirkungsterm zu entkoppeln. Die entsprechenden Mittelwerte sind c kσ c k σ. Wir schränken den Raum möglicher Lösungen ein, indem wir folgende Annahmen machen: Die Lösung ist homogen, d. h. sie hat die volle Translationssymmetrie des Gitters. Nicht verschwindende Mittelwerte existieren dann nur für k = k k ist erhalten). Die Lösung hat möglicherweise nicht die Spin-Rotationssymmetrie von H, aber wenn eine Magnetisierung auftritt, dann in z-richtung. Dies ist keine zusätzlich Annahme; tritt in einem homogenen System eine Magnetisierung auf, können wir einfach die z-achse des Koordinatensystems im Spin- Raum in diese Richtung legen. Mögliche andere Richtungen der Magnetisierungen können wir später erhalten, indem wir den Grundzustand im Spin-Raum drehen. Endliche Mittelwerte existieren dann nur für σ = σ, können aber von σ abhängen. Also sind n kσ := c kσ c kσ die einzigen nicht verschwindenden Mittelwerte. Die Hartree-Fock-Näherung ist nun c k+q,σ c k q,σ c k σ c kσ = c k+q,σ c kσ c k q,σ c k σ + c k+q,σ c kσ c k q,σ c k σ c k+q,σ c kσ c k q,σ c k σ c k+q,σ c k σ c k q,σ c kσ c k+q,σ c k σ c k q,σ c kσ + c k+q,σ c k σ c k q,σ c kσ. 4.33) Unter der Summe kk q σσ sind nach Umbenennung einige Terme gleich und wir erhalten H MF = ξ k c kσ c kσ + U δ q0 n k N σ c k+q,σ c kσ kσ kk q σσ U δ k+q,k δ σσ n k σ N c k q,σ c kσ kk q σσ U [δ q0 n kσ δ q0 n k σ 2N δ k+q,k δ σσ n k σ δ k+q,k δ σσ n kσ] kk q σσ = ξ k c kσ c kσ + U n k σ N c kσ c kσ U n k σc kσ N c kσ kσ kk σσ kk q σ U n kσ n k 2N σ + U n k 2N σ n kσ. 4.34) σσ σ kk Wir definieren die Konzentrationen von und Elektronen durch n σ := n kσ. 4.35) N k kk q 04

106 Damit wird einfach H MF = kσ = kσ ξ k c kσ c kσ + k U n + n n σ )c kσ c kσ UN 2 σσ n σ n σ + UN 2 ξ k + U n σ ) c kσ c kσ UN n n. 4.36) σ := σ =: ξ MF kσ Nun müssen die Konzentrationen n, n selbstkonsistent bestimmt werden. Das ist jedoch einfach, da H MF wechselwirkungsfreie Elektronen beschreibt: n σ = N k k c kσ c kσ = n F ξkσ MF ). 4.37) N Um explizite Ergebnisse zu erhalten, betrachten wir im Folgenden die parabolische Dispersion ξ k = k 2 /2m µ. a) Für T = 0 gilt d 3 ) k n σ = 2π) 3 θ k2 2m + µ U n σ Es folgt = = 2π 2 kf σ 0 dk k 2 mit k2 F σ 2m + µ U n σ = 0 k F σ = 2mµ U n σ ) 6π 2 [2mµ U n σ)] 3/ ) 6π 2 ) 2/3 n 2/3 σ = 2mµ 2mU n σ 4.39) 2m 6π2 2/3 ) 2/3 n σ = µ U n σ. 4.40) Wir erhalten zwei unabhängige Gleichungen für σ = und σ =. Die Differenz dieser beiden Gleichungen ergibt 2m 6π2 2/3 2/3 ) n n 2/3 ) = U n n ). 4.4) Wir definieren ζ := n n 4.42) n als Maß für die Magnetisierung und als Maß für die Wechselwirkungsstärke U, wobei die Elektronenkonzentration ist. Dann ist Es folgt γ := 2mUn/3 3π 2 ) 2/3 4.43) n := n + n 4.44) n = n + ζ 2, n = n ζ ) n 2/3 2 2/3 [ + ζ) 2/3 ζ) 2/3] = σ n 2 σ 2mU nζ 4.46) 6π 2 ) 2/3 + ζ) 2/3 ζ) 2/3 = γζ. 4.47) 05

107 Die Lösungen dieser Gleichung für ζ kann man am besten anhand einer Graphik verstehen. Lösungen erhalten wir als Schnittpunkte der linken und der rechten Seite der Gleichung, aufgetragen als Funktionen von ζ:. γ < 4/3: Es existiert nur die Lösung ζ = 0 n = n, also verschwindende Magnetisierung. 2. 4/3 < γ < 2 2/3 : Lösungen ζ = 0 instabil) und 0 < ζ < stabil) existieren, die stabilen Lösungen zeigen teilweise Spin-Polarisation, also schwachen Ferromagnetismus. 3. γ > 2 2/3 : Lösungen ζ = 0 instabil) und ζ = existieren. Man kann zeigen, dass die Mean-Field- Energie E MF ζ) Minima am Rand des erlaubten Intervalls, bei ζ = ±, hat. Wir finden vollständige Spin-Polarisation starker Ferromagnetismus, ferromagnetisches Halbmetall nur Elektronen einer Spin-Sorte liegen an der Fermi-Energie vor). Beispiele für die drei Fälle sind:. Platin ist fast ein Ferromagnet) 2. Eisen, Kobalt, Nickel 3. CrO 2, EuB 6 b) Für T > 0 ist n F ξ) = /e βξ + ) einzusetzen. Eine numerische Lösung ergibt folgenden Verlauf von ζ = n n )/n für den Fall γ > 2 2/3 : ζ Hier ist T C die Curie-Temperatur. Für T < T C finden wir zwei Lösungen ± ζ. Beachtung der Spin- Rotationssymmetrie des ursprünglichen Hamiltonians zeigt, dass für T < T C Zustände mit beliebigen Spin-Richtungen, nicht nur und, gleichermaßen möglich sind. Die Gleichgewichtszustände liegen also auf einer Kugeloberfläche im Spin-Raum: 06

108 Für T < T C hat ein beliebig ausgewählter Gleichgewichtszustand also niedrigere Symmetrie als der Hamiltonian H, der ausgewählte Gleichgewichtszustand zeichnet nämlich eine Spin-Richtung aus. Dies ist ein Beispiel für spontane Symmetriebrechung. Spontane Symmetriebrechung ist ein sehr wichtiges Konzept nicht nur in der Festkörperphysik, die unten besprochene Supraleitung ist ein weiteres Beispiel, sondern auch in der Quantenfeldtheorie. Für spontane Symmetriebrechung in der Hochenergie- und Elementarteilchenphysik wurde der Physik-Nobel-Preis 2008 vergeben. Spontan gebrochene Symmetrien kann man in der Störungstheorie unter Annahme eines ungestörten Zustandes mit voller Symmetrie niemals erhalten. Die Terme der Störungsentwicklung mit beliebig hoher Ordnung haben nämlich alle die volle Symmetrie. In solchen Fällen versagt die Störungstheorie also, während Mean-Field-Theorie oft eine qualitativ richtige Beschreibung des Gleichgewichtszustandes ergibt. 4.3 Lineare-Antwort-Theorie Wir betrachten ein System beschrieben durch einen ungestörten Hamiltonian H 0 und eine äußere Störung V. Im Gegensatz zu den vorhergehenden Abschnitten stecken die inneren Wechselwirkungen des Systems nun in H 0. Uns interessiert, wie der Mittelwert A einer Observablen A von V abhängt. Die Störung V lässt sich typischerweise in der Form V = Bf schreiben, wobei B ein Operator im Zustandsraum des untersuchten Systems ist und f eine klassische Größe, z. B. ein elektrischen Feld, das klassisch behandelt werden kann. Ist die Störung f klein, so ist im Allgemeinen A linear in f, A = A f = 0) + αf. 4.48) Beispiele sind das Ohmsches Gesetz j = σe, die elektrische Polarisation im E-Feld und die Magnetisierung im B-Feld. Wir erhalten einen linearen Zusammenhang, indem wir A nach kleinen f in eine Taylor-Reihe entwickeln. Für eine allgemeine Abhängigkeit von A von f ist der führende nicht-triviale Term linear. Nur für spezielle Funktionen A f) fällt der lineare Term weg und A ist von höherer Ordnung in f. Dies muss einen physikalischen Grund haben. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist, A in linearer Ordnung in f auszurechnen oder, äquivalent dazu, den Koeffizienten α in Gl. 4.48) zu bestimmen. Wir erinnern uns zunächst an einige Ergebnisse der Quantenstatistik: Ein Ensemble wird durch den Dichte-Operator Dichtematrix) ρ beschrieben. Treten Zustände Ψ mit Wahrscheinlichkeiten P Ψ auf, so ist ρ = Ψ P Ψ Ψ Ψ, wobei Ψ P Ψ =. 4.49) Die Ψ müssen normiert, können aber ansonsten beliebig sein. Sie sind im Allgemeinen nicht linear unabhängig oder gar orthogonal. 07

109 Im thermischen Gleichgewicht nimmt ρ eine besondere Form an: ρ n e βe n n n e βh. 4.50) n sind hier Eigenzustände von H zu Eigenenergien E n. Die Proportionalitätskonstante ist durch die Normierungsbedingung Tr ρ = festgelegt: Der Nenner ist die Zustandssumme ρ = e βh. 4.5) Tr e βh Z := Tr e βh = n e βe n. 4.52) Mittelwerte sind gegeben durch A = Tr ρa = n n ρa n = Z = Z = Z n e βh A n n n n n e βe n A n nn δ nn e βe n n A n, 4.53) wobei wir wieder angenommen haben, dass das System im Gleichgewicht ist. Nun betrachten wir eine Klasse von Systemen, die durch Hamiltonians der Form n Ht) = H 0 + V t) θt t 0 ) 4.54) beschrieben werden. Wir schalten also eine Störung V plötzlich zur Zeit t = t 0 ein. Das System möge sich zur Zeit t 0 im Gleichgewicht bezüglich H 0 befinden. Wir suchen A für t > t 0. Das System hat keine Zeit für Übergänge in andere Zustände, da die Störung plötzlich eingeschaltet wird. Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Eigenzustände n von H 0 nicht von H!) bleibt also e βe 0 n mit Z 0 = Tr e βh ) Z 0 E 0 n sind hier die Eigenenergien von H 0. Durch die Störung erhalten diese Zustände aber eine zusätzliche Zeitabhängigkeit. Im Schrödinger-Bild gilt also für eine explizit zeitunabhängige Observable A, ρt) = e βe0 n nt) nt), 4.56) Z 0 n A t) = Tr ρt) A = e βe0 n nt) A nt). 4.57) Z 0 Da V eine kleine Störung sein soll, ist das Wechselwirkungsbild günstig: n nt) Schrödinger = e ih 0t nt) I = e ih 0t U I t, t 0 ) nt 0 ) I = e ih0t U I t, t 0 ) e ih 0t 0 nt 0 ). 4.58) Schrödinger 08

110 Wir hatten in Abschnitt 3.5 gesehen, dass zur ersten Ordnung in V gilt wobei Also folgt Damit gilt bis zur ersten Ordnung A t) = Z 0 U I t, t 0 ) = i t t 0 dt V I t ), 4.59) V I t ) e ih 0t V t ) e ih 0t. 4.60) nt) = e ih0t t0) nt 0 ) i e ih0t t n n e βe0 n { nt 0 ) e ih 0t 0 t) A e ih 0t t 0 ) nt 0 ) t t 0 dt V I t ) e ih0t0 nt 0 ). 4.6) i nt 0 ) e ih 0t 0 e ih0t A e ih 0t dt V I t ) e ih 0t 0 nt 0 ) t 0 t + i nt 0 ) e ih 0t 0 dt V I t ) e ih0t A e ih0t e ih 0t 0 nt 0 ) + } OV 2 ) t 0 = { e βe0 n nt 0 ) e ie0 n t0 t) A e ie0 n t t0) nt 0 ) Z 0 i nt 0 ) e ie0 n t 0 e ih 0t A e ih 0t t + i nt 0 ) e ie0 n t 0 = A 0 ungestört t + i Z 0 = A 0 i = A 0 i t dt V I t ) e ie0 n t 0 nt 0 ) t 0 dt V I t ) e ih0t A e ih 0t } e ie0 n t 0 nt 0 ) t 0 i t dt Tr e βh0 e ih0t A e ih0t V I t ) Z 0 t 0 t 0 dt Tr e βh 0 V I t ) e ih 0t A e ih 0t t t 0 dt A I t)v I t ) V I t )A I t) 0 t t 0 dt [A I t), V I t )] ) Hier bezeichnet... 0 das thermische Mittel bzgl. H 0. Wir haben die Antwort des Systems auf eine kleine Störung durch einen Mittelwert im Gleichgewicht bezüglich des ungestörten Systems ausgedrückt. Dies ist ein sehr nützliches Ergebnis. Wir schreiben es noch etwas um: mit δ A t) := A t) A 0 = t 0 dt C R AV t, t ) 4.63) C R AV t, t ) := i θt t ) [A I t), V I t )] ) C R heißt retardierte Korrelationsfunktion. Gleichung 4.63) mit Gl. 4.64) ist die sehr wichtige Kubo- Formel. Wir bemerken die Ähnlichkeit von C R mit der retardierten Green-Funktion G R. Diese ist tatsächlich ein Spezialfall von C R. Oft ist die Störung von der Form V t) = B ft) 4.65) mit einem zeitunabhängigen Operator B und einer reellen Funktion ft), d. h. die Zeitabhängigkeit steckt nur in einem Zahlenfaktor. Dann folgt C R AV t, t ) = C R ABt t ) ft ). 4.66) 09

111 Wenn wir nicht an transienten Effekten Einschwingvorgängen ) interessiert sind, können wir t 0 setzen. Dann ist δ A t) = dt C R ABt t ) ft ) 4.67) und, da die Faltung unter Fourier-Transformation in ein gewöhnliches Produkt übergeht, Dies ist die Kubo-Formel im Frequenz-Raum Kubo-Formel für die dielektrische Funktion δ A ω) = C R ABω) fω). 4.68) Als Anwendung betrachten wir die lineare Antwort eines nicht ferroelektrischen) homogenen Materials auf ein angelegtes elektrisches Feld. Wir betrachten eine ausgedehnte Schicht des Materials und ein elektrisches Feld senkrecht zur Schicht, um die Situation nicht durch komplizierte Stetigkeitsbedingungen unnötig schwierig zu machen. E ext E E ind tot = + E ext E ind E ext Im Allgemeinen ist E tot < E ext, d. h., das elektrische Feld ist im Material abgeschwächt. Außerhalb des Materials ist das Verschiebungsfeld D gegeben durch D = ε 0 E ext. Für die skizzierte Geometrie ist D stetig, daher gilt D = ε 0 E ext überall. Die Dielektrizitätskonstante des Materials ist definiert durch für kleines E tot. Es folgt D = ε 0 ε E tot 4.69) E tot = ε E ext 4.70) ϕ tot = ε ϕ ext da E = ϕ). 4.7) Dies gilt nur für den statischen und homogenen Fall. Allgemein ist ϕ tot r, t) = d 3 r dt ε rt, r t ) ϕ ext r, t ). 4.72) Wir wollen ε im Rahmen der Lineare-Antwort-Theorie berechnen. Dazu müssen wir zunächst die Störung identifizieren. Der Störoperator lautet V = d 3 r ρr) ϕ ext r, t). 4.73) Die zeitabhängige Störung ϕ ext koppelt also an den Ladungsdichteoperator ρ. Die gesuchte Messgröße ist ebenfalls die Ladungsdichte ρ. Ihre von der Störung hervorgerufene Änderung δρ bezeichnen wir in diesem Zusammenhang als induzierte oder Polarisations-) Ladungsdichte ρ ind δρ. Für diese gilt gemäß Gl. 4.67) ρ ind r, t) = d 3 r dt Cρr)ρr R ) t t ) ϕ ext r, t ) 4.74) Summiert über alle Störungen an allen Orten r 0

112 mit C R ρr)ρr ) t t ) χ R e rt, r t ) = i θt t ) [ρ I r, t), ρ I r, t )] ) Das induzierte Potential ist dann ϕ ind r, t) = d 3 r 4πε 0 r r ρ ind r, t) 4.76) =: V C r r ) in Coulomb-Eichung, vgl. Kapitel 2). Also ist + ϕ tot r, t) = ϕ ext r, t) + d 3 r d 3 r dt V C r r ) χ R e r t, r t ) ϕ ext r, t ). 4.77) Durch Vergleich mit Gl. 4.72) können wir ablesen, dass gilt ε rt, r t ) = δr r ) δt t ) + d 3 r V C r r )χ R e r t, r t ). 4.78) Ist das System translationsinvariant, so können wir räumlich Fourier-transformieren. In der Zeit können wir dies ohnehin tun, da H 0 nicht zeitabhängig ist. Mit ϕ tot,ext q, ω) = d 3 r dt e iq r+iωt ϕ tot,ext r, t), 4.79) ε q, ω) = d 3 r dt e iq r+iωt ε rt, 00) 4.80) folgt der einfache Zusammenhang wobei ϕ tot q, ω) = ε q, ω) ϕ ext q, ω), 4.8) ε q, ω) = + V C q) χ R e q, ω) 4.82) die Fouriertransformierte von ε und nicht das Inverse der Transformierten von ε ist. Diese Größen sind i. A. nicht identisch. Als nächstes wollen wir χ R e berechnen. ε 0 q Bewegungsgleichung für Lineare-Antwort-Funktionen Wir hatten gesehen, dass die retardierten Korrelationsfunktionen Verallgemeinerungen der retardierten Green-Funktion sind. Wie bei dieser kann man Bewegungsgleichungen finden, die man wieder im Allgemeinen nur näherungsweise lösen kann. Wir betrachten hier beispielhaft die retardierte Dichte-Dichte- Korrelationsfunktion χ R rt, r t ) = i θt t ) [ρr, t), ρr, t )], 4.83) wobei wir aus Gründen der Bequehmlichkeit den Subskript I an ρ und 0 am Mittelwert weggelassen haben. Aber es handelt sich immernoch um Operatoren im Wechselwirkungsbild und um einen Gleichgewichtsmittelwert, jeweils bezüglich des ungestörten Hamiltonians, den wir jetzt mit H bezeichnen. Außerdem ist ρr, t) = Ψ r, t) Ψr, t) 4.84) nun die Teilchenzahldichte, nicht die Ladungsdichte. Den Spin-Index haben wir unterdrückt. Mit Ψr) = V /2 k eik r c k, siehe Gl. 2.83), lautet die räumliche Fourier-Transformation von ρ, ρr) = e iq r ρq) 4.85) V q mit ρq) = k c k c k+q. 4.86)

113 Die räumliche Fourier-Transformation von χ R ergibt damit χ R q, t t ) = i θt t ) d 3 r V 2 e iq r r ) e iq r+iq r [ρq, t), ρq, t )] q q = i θt t ) V q e iq r +iq r [ρq, t), ρq, t )]. 4.87) Wenn das ungestörte System translationsinvariant ist, kann dieses Ergebnis nicht von r abhängen. Daher muss für ein translationsinvariantes System der Erwartungswert verschwinden, wenn nicht q = q gilt. Wir erhalten χ R q, t t ) = i θt t ) V [ρq, t), ρ q, t )]. 4.88) Der ungestörte, aber i. A. wechselwirkende Hamiltonian lautet H = ξ k c k c k + V q) c k+q 2 V c k q c k c k. 4.89) k kk q Die Wechselwirkung V q) ist zunächst beliebig, aber wir denken natürlich an das Coulomb-Potential V C q) = e 2 /ε 0 q 2 ). Der Faktor e 2 ist jetzt in V C q) enthalten, da ρ die Teilchenzahldichte ist. Der Beitrag für q = 0 wird wie oben vom Kernpotential weggehoben.) Es ist nützlich, die Bewegungsgleichung nicht direkt für χ R q, t t ) herzuleiten, sondern für eine etwas allgemeinere Größe. Dazu schreiben wir χ R q, t t ) = χ R k, q, t t ) 4.90) V mit k χ R k, q, t t ) := i θt t ) [ c k c k+q)t), ρ q, t ) ]. 4.9) Für diese Größe erhalten wir durch Ableiten die Bewegungsgleichung i t χr k, q, t t ) = δt t ) [ c k c k+q)t), ρ q, t ) ] + iθt t ) [ [H, c k c k+q]t), ρ q, t ) ]. 4.92) Die Terme der Form [c c, c c] ergeben durch Ausnutzung des Antikommutators {c k, c k } = δ kk bilineare Ausdrücke der Form c c. Der Wechselwirkungsterm in H führt jedoch auf einen Kommutator [c c cc, c c], was sich nur zu einem Ausdruck vierter Ordnung vereinfachen lässt. Wie bei den elektronischen Green-Funktionen erhalten wir auf der rechten Seite Korrelationsfunktionen höherer Ordnung. Wir benötigen Näherungen, um die Hierarchie immer komplizierterer Funktionen abzubrechen. Wir verwenden eine Mean-Field-Näherung: Mit V int := V q) c k+q 2 V c k q c k c k 4.93) ist kk q [V int, c k c k+q] = V q ) c k+q c 2 V k q c k c k+q + c k +q c k q c k+q c k k q c k +q c k c k +q+q c k ) c k c k q c k c k+q q MF = 2 V V q ) c k+q c k+q c k q c k + c k+q c k+q c k q c k k q + c k q c k+q c k +q c k + c k q c k+q c k +q c k c k +q c k c k c k +q+q c k +q c k c k c k +q+q ) c k c k+q q c k q c k c k c k+q q c k q c k + const irrelevant = V V q) n k+q n k ) c k q c k k = V V q) n k+q n k ) ρq ), 4.94) 2

114 da c k c k = n k δ kk. Wir haben eine hier unerhebliche Konstante weggelassen. Bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass hier nur die Hartree-Terme berücksichtigt wurden. Man kann im Prinzip auch die Austausch-Terme berücksichtigen. Das ergibt eine andere Näherung. Aus der Bewegungsgleichung 4.92) erhalten wir im Frequenz-Raum, hier ohne detailierte Herleitung, ω + iη + ξ k ξ k+q ) χ R k, q, ω) = n k+q n k ) [ + V q) ] χ R k, q, ω). 4.95) V k } {{} = χ R q,ω) Es folgt χ R q, ω) = χ R k, q, ω) V = k n k n k+q [ + V q) χ R q, ω)] 4.96) V ω + ξ k ξ k+q + iη k =: χ R 0 q,ω) χ R q, ω) = χ R 0 q, ω) [ + V q) χ R q, ω)]. 4.97) χ R 0 ist offenbar die Lösung der Ordnung Null in der Elektron-Elektron-Wechselwirkung, d. h. das Ergebnis für freie Elektronen. Die letzte Gleichung kann man nach χ R auflösen: χ R q, ω) = χ R 0 q, ω) V q) χ R 0 q, ω) =: χr RPAq, ω). 4.98) Die verwendete Näherung heißt aus historischen Gründen Random Phase Approximation RPA). Mit Gl. 4.82) folgt ε RPA q, ω) = + V q) χr RPAq, ω) = V q)χ R 0 q, ω) + V q), χ R 0 q, ω) V q)χ R 0 q, ω) = V q) χ R 4.99) 0 q, ω). Es ist üblich, dieses Resultat in der scheinbar offensichtlichen Form ε RPA q, ω) = V q) χ R 0 q, ω) = V q) n F ξ k ) n F ξ k+q ) V ω + ξ k ξ k+q + iη k 4.00) zu schreiben. Das Ergebnis ist recht kompakt, hat aber eine etwas merkwürdige physikalische Interpretation: ε RPA q, ω) ist das Inverse der Fourier-Transformierten des Inversen der dielektrischen Funktion im Ortsraum, εrt, r t ). Da Inversion nicht mit Fourier-Transformation vertauscht, ist es nicht die Fourier- Transformierte von εrt, r t ) selbst. ε RPA q, ω) in Gl. 4.00) ist die sogenannte Lindhard-Funktion. Wir werden später sehen, dass die Verwendung von Feynman-Diagrammen einen intuitiveren Zugang zur RPA erlaubt Kubo-Formel für die Leitfähigkeit Wenn wir eine Spannung an einen Leiter anlegen, fließt ein Strom. Aus Sicht der Vielteilchentheorie ist das ein kompliziertes Problem, da wir die Elektron-Phonon-, Elektron-Störstellen- und Elektron-Elektron- Wechselwirkung berücksichtigen müssen. Außerdem ist das System natürlich nicht im Gleichgewicht. Nicht-Gleichgewichts-Prozesse sind deutlich schwieriger zu beschreiben als Gleichgewichts-Prozesse. Wir betrachten daher kleine angelegte Spannungen in der Hoffnung, sie als kleine Störung behandeln zu können. Dann können wir in der Beschreibung vom ungestörten System im Gleichgewicht ausgehen. Die Reaktion eines Systems auf eine kleine Störung ist der Gegenstand der Lineare-Antwort-Theorie. Diese hatte uns auf die allgemeine Kubo-Formel 4.63) geführt, die wir jetzt auf den elektronischen Transport anwenden wollen. 3

115 Für kleine elektrische Felder ist die Stromdichte i. A. linear im Feld: j α r, t) = d 3 r dt σ αβ rt, r t ) E β r, t ) 4.0) β mit dem Leitfähigkeitstensor σrt, r t ). Allgemein gilt E = ϕ A, 4.02) t aber wir können eine Eichung wählen, in der ϕ 0 gilt. Dann gilt im Frequenz-Raum Er, ω) = iω Ar, ω) Ar, ω) = Er, ω) 4.03) iω und wir können ebensogut die Antwort auf A wie auf E ausrechnen. Der Hamiltonian in Anwesenheit eines Vektorpotentials lautet das statische Gitterpotential steckt hier in A, V enthält Wechselwirkungsterme) H = 2m σ ) 2 d 3 r Ψ σr) i + ea Ladung e Ψ σ r) + V = HA = 0) + e d 3 r Ψ 2mi σr) A + A ) Ψ σ r) σ + e2 d 3 r Ψ 2m σr) A 2 r) Ψ σ r) σ = HA = 0) + e d 3 r Ar) [ Ψ 2mi σr) Ψ σ r) Ψ σr) ) ] Ψ σ r) σ + e2 d 3 r A 2 r) Ψ 2m σr)ψ σ r). 4.04) σ Nun sei A = A 0 + A ext, wobei A 0 das Vektorpotential ohne äußere Störung ist. Dann folgt H = HA = A 0 ) + e d 3 r A ext r) [Ψ 2mi σ Ψ σ Ψ σ)ψ σ ] σ + e2 d 3 r A 0 A ext Ψ m σψ σ + OA 2 ext). 4.05) σ In der Theorie der linearen Antwort vernachlässigen wir den Term zweiter Ordnung in A ext. Wir können ablesen, dass der Störoperator, der die Kopplung des Systems an A ext beschreibt, d 3 r j 0 r, t) A ext r, t) 4.06) mit der Stromdichte j 0 r, t) := e [Ψ 2mi σ Ψ σ Ψ σ)ψ σ ] e2 Ψ m σψ σ A 0 r) σ σ e [Ψ 2mi σ Ψ σ Ψ σ)ψ σ ] + e m ρr) A 0r) 4.07) σ lautet. Die Stromdichte, die wir messen, sieht etwas anders aus. Ohne Vektorpotential ist die Stromdichte j = e 2mi [Ψ σ Ψ σ Ψ σ)ψ σ ], 4.08) σ 4

116 in Analogie zur Einteilchen-Quantenmechanik. Mit A 0 müssen wir den kinetischen Impuls p + ea = /i) + ea anstelle des kanonischen Impulses p = /i) verwenden. Dies führt auf { j = e ) [ ) ] } Ψ σ 2m i + ea Ψ σ + i + ea Ψ σ Ψ σ σ = e [Ψ 2mi σ Ψ σ Ψ σ)ψ σ ] paramagnetische Stromdichte) e2 m = j 0 e2 m σ Ψ σψ σ A σ diamagnetische Stromdichte) Ψ σψ σ A ext = j 0 + e m ρ A ext. 4.09) σ Die Bezeichnungen paramagnetisch und diamagnetisch geben an, dass diese Terme einen positiven bzw. negativen Beitrag zur magnetischen Suszeptibilität liefern. Wir suchen die lineare Antwort in j aufgrund der Störung A ext. Wir behandeln die beiden Terme in Gl. 4.09) getrennt: Der zweite Term e/m) ρ A ext ist explizit von erster Ordnung in A ext. Daher müssen wir ρr, t) durch die Ladungsdichte ρ 0 r) im Gleichgewicht ohne Störung ersetzen. Wir erhalten den Beitrag e m ρ 0r) A ext r, t) 4.0) zur Stromdichte j. Der erste Term j 0 ist komplizierter. Wir nehmen an, dass im Gleichgewicht ohne Störung kein Strom fließt, also j 0 = 0 für A = A 0 im Gleichgewicht. In einem Supraleiter muss das keine gute Annahme sein.) Wir verwenden die allgemeine Kubo-Formel 4.63). Die Störung A ext koppelt an j 0 und wir suchen die Antwort in +j 0. Also tritt eine j 0 -j 0 -Korrelationsfunktion auf: j 0α r, t) = d 3 r dt Cj R 0α r)j 0β r ) t t ) A ext,β r, t ) 4.) β mit der Strom-Strom-Korrelationsfunktion C R j 0α r)j 0β r ) t t ) := i θt t ) [j 0α r, t), j 0β r, t )] 0, 4.2) wobei der Mittelwert im Gleichgewicht des ungestörten Systems zu berechnen ist. Im Frequenzraum lautet die Beziehung entsprechend j 0α r, ω) = d 3 r Cj R 0α r)j 0β r ) ω) A ext,βr, ω). 4.3) β Mit Gl. 4.09) und A ext r, ω) = /iω) E ext r, ω) folgt j α r, ω) = d 3 r Cj R 0α r)j 0β r ) ω) iω E ext,βr, ω) + e m ρ 0r) iω E ext,βr, ω) β! = d 3 r σ αβ r, r, ω) E ext,β r, ω). 4.4) β Wir können nun die Leitfähigkeit ablesen: σ αβ r, r, ω) = iω CR j 0α r)j 0β r ) ω) + eρ 0r) iωm δr r ) δ αβ. 4.5) Das ist die wichtige Kubo-Formel für die Leitfähigkeit. Wir werden sie in Abschnitt anwenden, um die Leitfähigkeit in Anwesenheit von Störstellen zu berechnen. 5

117 4.4 Matsubara-Green-Funktionen Wie schon angedeutet, lässt sich der in Abschnitt 3.6 für die Temperatur T = 0 vorgestellte Green- Funktions-Formalismus unmittelbar auf beliebige Temperaturen verallgemeinern. Dabei werden einfach Grundzustandserwartungswerte durch thermische Mittelwerte ersetzt. Zum Beispiel wird die retardierte Green-Funktion für T = 0 in Gl ), G R ν; t, t ) = i θt t ) GZ [a ν t), a ν t )] ± GZ, 4.6) für beliebige Temperaturen T zu G R ν; t, t ) = i θt t ) [a ν t), a ν t )] ± 4.7) verallgemeinert, wobei... nun den thermischen Gleichgewichtsmittelwert bei der Temperatur T bezeichnet. Dieser ist wie üblich durch... = Z Tr e βh... mit der Zustandssumme Z = Tr e βh gegeben. Wir könnten also den bekannten Formalismus mit dieser Verallgemeinerung auch für den Fall T > 0 verwenden. Er ist aber, wie wir sehen werden, ungünstig für praktische Rechnungen. Eine Vereinfachung ergibt sich aus folgender Erkenntnis: Wir haben gesehen, dass in thermischen Mittelwerten der Operator e βh auftritt. Andererseits wird die Zeitentwicklungdurch Operatoren e iht beschrieben. Wir sehen, dass die inverse Temperatur β formal wie eine imaginäre Zeit erscheint, oder genauer wie der Imaginärteil einer komplexwertigen Zeit. Das kann man ausnutzen, um thermische Mittelwerte in einem Wechselwirkungsbild in der imaginären Zeit auszurechnen. Das Wechselwirkungsbild für reelle Zeiten hat sich als vorteilhaft für Störungsentwicklungen herausgestellt. Wir sind insbesondere an Green-Funktionen oder allgemeiner an Korrelationsfunktionen interessiert. Die allgemeine retardierte Korrelationsfunktion zweier Observablen A und B lautet, analog zur Green- Funktion in Gl. 4.7), CABt, R t ) = i θt t ) [At), Bt )], im Heisenberg-Bild { Bosonen Fermionen 4.8) wobei nun den thermischen Mittelwert bei der Temperatur T darstellt. Im Abschnitt zur Lineare- Antwort-Theorie hatten wir CAB R durch Operatoren im Wechselwirkungsbild, nicht im Heisenberg-Bild, ausgedrückt. Das liegt daran, dass wir dort explizit in erster Ordnung in der Störung V gerechnet haben. Da V explizit auftrat, wurde die übrige Zeitentwicklung durch H 0 beschrieben, also im Wechselwirkungsbild. Die gegenwärtige Definition mit Operatoren im Heisenberg-Bild ist die allgemeinere. Es ist CABt, R t ) = i θt t ) C AB t t ) C BA t t) ) 4.9) mit C AB t t ) := At)Bt ) = Z Tr e βh At)Bt ) = Z Tr e βh U I 0, t) A I t) U I t, t ) B I t ) U I t, 0). 4.20) im Wechselwirkungsbild Jetzt müssten wir in der Störungstheorie für H = H 0 + V die Operatoren e βh, U I 0, t), U I t, t ) und U I t, 0) nach V entwickeln. Das würde auf eine vierfache Störungsreihe führen und wäre daher ziemlich unübersichtlich. Die Theorie vereinfacht sich, wenn wir die Idee mit der imaginären Zeit ausnutzen Imaginäre-Zeit-Formalismus Formal setzen wir t iτ, τ R. Das Heisenberg-Bild in imaginärer Zeit ist definiert durch A H τ) = e Hτ A e Hτ 4.2) wird weggelassen 6

118 und das Wechselwirkungsbild für H = H 0 + V durch mit, für zeitunabhängige Operatoren H und H 0, A I τ) = e H 0τ A e H 0τ 4.22) Aτ) = U I 0, τ) A I τ) U I τ, 0) 4.23) U I τ, τ ) = e H 0τ e Hτ τ ) e H 0τ. 4.24) Dies folgt alles aus den Beziehungen für reelle Zeiten mittels der Ersetzung t iτ. Außerdem ergibt sich eine Bewegungsgleichung für U I : τ U Iτ, τ ) = e H0τ H 0 H) e Hτ τ ) e H 0τ = V I τ) U I τ, τ ) 4.25) = V mit der Lösung, immer analog zum Formalismus für reelle Zeiten, U I τ, τ τ τ ) = n! )n dτ dτ n T τ V I τ ) V I τ n ) n=0 τ τ τ ) =: T τ exp dτ V I τ ), 4.26) τ wobei T τ der Zeitordnungsoperator in τ ist: T τ Aτ)Bτ ) := { Aτ)Bτ ) für τ > τ, ±Bτ )Aτ) für τ > τ. Der Nutzen bei der Berechnung von thermischen Mittelwerten ergibt sich nun aus der Beziehung e βh = e βh 0 e βh 0 e β 0)H e 0H 0 = e βh 0 U I β, 0) = e βh 0 T τ exp β 0 dτ V I τ ) Wir betrachten nun den zeitgeordneten Mittelwert das Vorzeichen ist Konvention) ) 4.27). 4.28) T τ Aτ)Bτ ) = Z Tr e βh T τ Aτ)Bτ ). 4.29) Bis auf die Zeitordnung erhalten wir diesen Ausdruck aus der eigentlich interessierenden Korrelationsfunktion C AB t t ) aus Gl. 4.20) durch die Ersetzung t iτ, t iτ. Diese Beobachtung kann hier aber nur als qualitative Motivation dienen. Wir werden noch zeigen müssen, dass uns die Berechnung von T τ Aτ)Bτ ) wirklich bei der Bestimmung der interessierenden Korrelationsfunktion hilft. Für τ > τ erhalten wir... = Z Tr e βh 0 U I β, 0) U I 0, τ) A Iτ) U I τ, τ ) B I τ ) U I τ, 0) = Z Tr e βh 0 U I β, τ) A I τ) U I τ, τ ) B I τ ) U I τ, 0) ) = Z Tr e βh0 T τ exp B I τ ) T τ exp β τ dτ V I τ ) A I τ) T τ exp Einfügungen von V I bei Zeiten zwischen τ und β ) τ = Z Tr e βh 0 T τ [exp 0 dτ 3 V I τ 3 ) β 0 dτ V I τ ) ) A I τ) B I τ ) τ ) dτ 2 V I τ 2 ) τ ]. 4.30) 7

119 Es ist zu beachten, dass sich das Integral im letzten Ausdruck über das gesamte Interval [0, β] erstreckt. Der Zeitordnungsoperator T τ sorgt dafür, dass die Einfügungen von V I sowie A I τ) und B I τ ) in von rechts nach links aufsteigender zeitlicher Reihenfolge sortiert werden. Der Ausdruck ist also tatsächlich identisch zum darüber stehenden. Wir erkennen hier nun den Vorteil des Formalismus: Die Störung V I tritt nur noch an einer Stelle auf. Die Störungsentwicklung ergibt sich als Taylor-Entwicklung der zeitgeordneten Exponentialfunktion. Diese können wir noch kompakter schreiben: Für τ > τ erhalten wir entsprechend... = Z Tr e βh0 T τ [U I β, 0) A I τ) B I τ )]. 4.3) T τ Aτ)Bτ ) = Z Tr e βh0 T τ [U I β, 0) B I τ ) A I τ)] = Z Tr e βh 0 T τ [U I β, 0) A I τ) B I τ )] 4.32) ± verschwindet wieder, da wir A, B zweimal vertauschen). Also gilt allgemein T τ Aτ)Bτ ) = Z Tr e βh 0 T τ [U I β, 0) A I τ) B I τ )] = Tr e βh 0 T τ [U I β, 0) A I τ) B I τ )] Tr e βh 0 UI β, 0) bzgl. H 0 = T τ [U I β, 0) A I τ) B I τ )] ) U I β, 0) 0 Dieses Ergebnis ist vielversprechend, da wir einen Gleichgewichts-Mittelwert bezüglich des vollen Hamiltonians H, vgl. Gl. 4.29), durch Gleichgewichts-Mittelwerte bezüglich des ungestörten Hamiltonians H 0 ausgedrückt haben. Letztere können wir i. A. berechnen. Der betrachtete Mittelwert wird als Matsubara-Korrelationsfunktion bezeichnet, oft auch als Matsubara- Green-Funktion: C AB τ, τ ) := T τ Aτ)Bτ ). 4.34) Wir untersuchen nun die mathematischen Eigenschaften dieser Funktion: a) C AB τ, τ ) C AB τ τ ) hängt nur von τ τ ab. Beweis: C AB τ, τ ) τ>τ = Z Tr e βh e τh A e τh e τ H B e τ H = Z Tr e βh e τ H e τh A e τh e τ H B = Z Tr e βh e Hτ τ ) A e Hτ τ ) B = C AB τ τ ) 4.35) und analog für τ > τ. b) Der Ausdruck 4.35) zeigt, dass wir für große τ τ im Allgemeinen divergente Ausdrücke erhalten, da das Spektrum von H nach oben unbeschränkt ist. Für positive τ τ divergiert dann e Hτ τ ) und für negative τ τ divergiert e Hτ τ ). Um Konvergenz zu gewährleisten, beschränken wir τ τ auf das Interval [ β, β]. Dann fällt der Faktor e βh für große Eigenenergien schnell genug ab, um die Divergenz zu verhindern. c) Es gilt C AB τ) = ±C AB τ + β) 4.36) für β < τ < 0. Das obere untere) Vorzeichen gilt wieder für Bosonen Fermionen). Der Beweis ist nicht schwierig. 8

120 β 0 β τ Bosonen β 0 β τ Fermionen d) Da die Funktion C AB τ) nur auf dem endlichen Interval [ β, β] definiert ist, ist ihre Fourier- Transformierte diskret. Man definiert sie durch C AB n) := 2 C AB n) = 2 Due übliche Schreibweise lautet β β 0 dτ e i πnτ/β C AB τ), n Z 4.37) β dτ e i πnτ/β C AB τ) + 2 β β 0 dτ e i πnτ/β C AB τ) β = dτ e i πnτ/β e iπn C AB τ β) + dτ e i πnτ/β C AB τ) ±C AB τ) = β 2 ± e iπn ) dτ e i πnτ/β C AB τ) 0 { β = dτ e i πnτ/β n gerade für Bosonen, C AB τ) mit n ungerade für Fermionen. 0 C AB iω n ) = β mit den Matsubara-Frequenzen 2nπ β ω n = 2n + )π β ) dτ e iω nτ C AB τ) 4.39) für Bosonen) für Fermionen), 4.40) wobei n Z ist. Man nennt auch iω n Matsubara-Frequenzen. Wir werden gleich sehen, warum wir die imaginäre Einheit i explizit in das Argument von C AB schreiben. Beachte, dass das Integral β dτ... im fermionischen Fall nicht eindeutig ist, falls sich eine δ- 0 Funktion bei τ = 0 und dann wegen Eigenschaft c) auch bei τ = β) befindet. Wir vereinbaren, eine δ-funktion bei τ = 0 vollständig zu berücksichtigen und bei τ = β gar nicht, d. h. wir verschieben die Singularitäten um ein kleines ε > 0. Z. B. für vereinbaren wir C AB τ) = m= C AB iω n ) = ) m δτ mβ) fermionisch) 4.4) β 0 dτe iωnτ δτ 0 + ) = β. 4.42) 9

121 Wir können jetzt erkennen, wieso der Imaginäre-Zeit-Formalismus so nützlich ist: Die Matsubara- Funktion C AB iω n ) und die retardierte Funktion CAB R ω) sind tatsächlich dieselbe holomorphe Funktion eines komplexen Arguments ω in der oberen Halbebene Im ω 0), nur jeweils ausgewertet für spezielle Werte von ω. Für Fermionen sind diese speziellen Werte hier skizziert: Mit anderen Worten: Wir erhalten C AB iω n ) und CAB R ω) aus derselben Funktion durch Auswertung an den diskreten, imaginären Matsubara-Frequenzen bzw. auf der reellen Achse. Dass das möglich ist, ist plausibel, da in der Definition von C AB gegenüber CAB R im Wesentlichen t durch iτ ersetzt wurde. Praktisch ist das Ganze, weil wir nun aus der Matsubara-Funktion durch analytische Fortsetzung die retardierte Funktion erhalten können: Beweis: Wir hatten C R ABω) = C AB iω n ω + iη), η ) C R ABt) = i θt) [At), B0)] 4.44) C R ABω) = i = i 0 0 dt e iωt ηt [At), B0)] Sei nun { n } eine Eigenbasis von H mit Eigenenergien E n. Dann ist C R ABω) = i 0 dt e iωt ηt e iht A e iht B B e iht A e iht. 4.45) dt e iωt ηt [ e βe n e ient n A n e ie n t n B n Z nn e βe n n B n e ient n A n e ie t] n = +i n A n n B n e βe Z iω + ie n ie n η e βen n ) = Z nn nn n A n n B n ω + E n E n + iη e βen e βe n ) 4.46) 20