Relativistische Quantentheorie

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1 Semjon Stepanow Relativistische Quantentheorie Für Bachelor: Mit Einführung in die Quantentheorie der Vielteilchensysteme ~ Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Relativistische Wellengleichungen I 1.1 Die nichtrelativistische Schrödingergleichung I 1.2 Die Klein-Gordon-Gleichung Lösung der KG-Gleichung für ein freies Teilchen Die Klein-Gordon-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feld Die Greensehe Funktion der Klein-Gordon-Gleichung Die Dirac-Gleichung II Die Spuren der Dirac-Matrizenci, ß Der Rang der Dirac-Matrizen Standarddarstellung der Dirac-Matrizen Bahndrehimpuls und Spin in der Dirac-Theorie Die Dirac-Gleichung in Viererschreibweise Die Differentialgleichung für 1fr, Die Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung Transformation der Dirac-Wellen funktion unter Lorentz- Transformationen Infinitesimale Lorentz-Transformationen Spezielle Loren tz-transformationen Räumliche Drehungen des Koordinatensystems Lösung der Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen Klassifizierung der Zustände eines freien Teilchens nach Energie, Impuls und Spin Die Löcher-Theorie und Positronen, Die Dirac-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feld Die Greensehe Funktion der Dirac-Gleichung Wellenpakete Aufgaben Transformation von Energie und Impuls unter der Lorentz-Transformation Transformation der elektrischen und magnetischen Felder unter der Lorentz-Transformation Invarianten des elektromagnetischen Feldes ix

3 x Inhaltsverzeichnis Lorentzinvarianz der Klein-Gordon-Gleichung Der nichtrelativistische Grenzfall der Klein-Gordon Gleichung Ladungskonjugation für die Klein-Gordon-Gleichung Ladungskonjugation für die Klein-Gordon-Gleichung im elektromagnetischen Feld Die Schrödinger-Form der Klein-Gordon-Gleichung Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen mit Spin Algebra der Dirac-Matrizen a k und ß Linearunabhängige Matrizen der Produkte der y-matrizen Orthogonalität der Lösungen der Dirac-Gleichung fürfreie Teilchen Zur infinitesimalen Transformation der Dirac- Wellenfunktion 52 Lorentz-Transformation der Vierer-Stromdichte Transformation der Dirac- Wellenfunktion unter einem Boost Transformation der Dirac- Wellenfunktion unter Rotation des Koordinatensystems Gesamtdrehimpuls und die Lorentz- Transformation der Dirac-Wellenfunktion Generatoren der Poincare-Gruppe 54 Projektionsoperatoren 56 Zusammenhang zwischen u(- p, ).,) und v(p, ).,) bzw. li(- p, ).,) und v(p,).,) Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsstromdichte für freie Teilchen 58 Der Chiralitätsoperator 58 Nützliche Identitäten 59 Eigenfunktionen und Eigenwerte der Projektion des Spinoperators auf eine Raumrichtung Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für ein relativistisches Elektron im elektromagnetischen Feld Die Zeitabhängigkeit des Orts-Operators für ein freies Elektron, die Zitterbewegung Foldy- Wouthuysen- Transformation für ein freies Teilchen Der Erwartungswert des Spins für ein freies Teilchen Spin im Labor- und im mitbewegten Bezugssystem Ladungskonjugation für Teilchen mit Spin 1/ Ladungskonjugation der Zustände mit Impuls Null Raumspiegelung für Teilchen mit Spin 1/ Eigenparität für Teilchen mit Spin 1/

4 Inhaltsverzeichnis xi Die Eigenparität von Pionen Zeitumkehr für Teilchen mit Spin 1/ Zeitevolution der Zustände positiver und negativer Energien in der Dirac-Theorie Die Greensehe Funktion der Schrödingergleichung Die Greensehe Funktion der Schrödingergleichung als Pfadintegral Berechnung des Pfadintegrals für ein freies Teilchen 68 2 Anwendungen der Dirac-Gleichung Entwicklung nach Potenzen von Cl I/c-Näherung Entwicklung von Q undj nach Potenzen von c Ijc 2 -Näherung Die direkte Herleitung von Hrel Die Feinstruktur der Niveaus des Wasserstoffatoms Der relativistische Hamiltonian für das Coulomb-Potential 80 Addition der Drehimpulse, Eigenfunktionen von J2 und J z Die Energie-Korrekturen der einzelnen Terme Streuprobleme Propagator-Beschreibung der Elektronen-Streuung in der Dirac-Theorie Propagator-Beschreibung der Positronen-Streuung Elektronen-Streuung im Coulombpotential Aufgaben Kontinuitätsgleichung für die Klein-Gordon-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feld 100 Erhaltungsgrößen bei vorhandener Spin-Bahn- Wechselwirkung 100 Addition von zwei 1/2-Spins 100 Gesamtspin von Systemen aus zwei, drei oder vier 1/2-Spins 100 Eichinvarianz der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld Die Gordon-Zerlegung 101 Stationäre Klein-Gordon-Gleichung im äußeren elektrischen Feld Lösung der Klein-Gordon-Gleichung im Kasten-Potential 103 Transmissionskoeffizient durch Potentialbarriere für Teilchen mit Spin 0 104

5 xii Inhaltsverzeichnis Lösung der Klein-Gordon-Gleichung im Stufenpotential Klein-Gordon-Gleichung im Magnetfeld 107 Klein-Gordon-Gleichung im skalaren zweidimensionalen Potentialtopf Feinstruktur für die Klein-Gordon-Gleichung 108 Das Pion-Austauschmodell der Kernkräfte 110 Dirac-Gleichung im homogenen Magnetfeld I1I Dirac-Gleichung im Stufenpotential 112 Transmissionskoeffizient durch Potentialbarriere für Teilchen mit Spin 1/ Dirac-Gleichung im eindimensionalen attraktiven Kastenpotential 117 Berechnung von Spuren 117 Spuren-Produkte von y-matrizen 118 Spinstromdichte und das Magnetfeld eines H-Atoms 118 Berechnung der Erwartungswerte (r- k ) für das nichtrelativistische H-Atom 118 Streuung an einer Ladungsverteilung, der Formfaktor 120 Ausbreitungsamplitude und Übergänge durch zeitabhängige Störungen Coulomb-Streuung von Pionen 122 Zustände negativer Energie der Klein-Gordon- Gleichung und Antipionen Erzeugung von Pion-Antipion-Paaren im zeitabhängigen elektrischen Feld Die Weyl-Gleichungen für masselose Teilchen mit Spin 1/2 127 Unitarität der Streuamplitude 128 Der nichtrelativistische Grenzfall des Propagators der Klein-Gordon-Gleichung Der nichtrelativistische Grenzfall des Propagators der Dirac-Gleichung, 131 Das Kronig-Penney-Modell für ein relativistisches Teilchen mit Spin Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes Die Oszillatorzerlegung des Strahlungsfeldes Die Energie des elektromagnetischen Feldes Der Impuls des elektromagnetischen Feldes Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes Photonen Der Spin des Photons 143

6 Inhaltsverzeichnis xiii 3.3 Wechselwirkung atomarer Systeme mit quantisiertem elektromagnetischem Feld " ", Semi-Quantitative Betrachtung der Lamb- Verschiebung Casimir-Effekt, Besetzungszahlen-Forrnalismus für das elektromagnetische Feld Zusammenhang zwischen Spin und Statistik Einige grundlegende quantenelektrodynamische Prozesse Compton-Streuung von Photonen an Pionen Der Photonen-Propagator Elektron-Elektron-Streuung Kreuzsymmetrie Elektron-Positron-Streuung Elektron-Positron-Zerstrahlung Cornpton-Streuung von Photonen an Elektronen " Bremsstrahlung Strahlungskorrekturen Divergenzen der Strahlungskorrekturen Massenrenormierung Vertexrenormierung Vakuumpolarisation und Ladungsrenorrnierung Modifizierung des Coulomb-Potentials Anomales magnetisches Moment des Elektrons Die Renormierungsgruppe " Aufgaben Die OszilIatorzerIegung für den Impuls des elektromagnetischen Feldes Eigenschaft der Polarisationsvektoren Vakuumschwankungen des elektromagnetischen Feldes Helizität des Photons Vertauschungsrelationen der Komponenten des Spinoperators des elektromagnetischen Feldes Ladungsparität Ladungsparität des Photons Dipolnäherung Induzierte Emission und Absorption Photoelektrische Emission Emission von Photonen durch Spinumklapp Die Stromdichte der einlaufenden Teilchen in der Elektron-Elektron-Streuung Möglichkeit der Ausstrahlung eines Gammaquanten durch ein sich gleichförmig bewegendes Teilchen Vertauschungsrelation zwischen Ort und Impuls und die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen im äußeren Potential 222

7 xiv Inhaltsverzeichnis Heisenbergsche Bewegungsgleichungen und Eichsymmetrie 222 Die Lagrange-Theorie des reellen Klein-Gordon-Feldes Der Feynman-Propagator für das skalare Klein-Gordon-Feld 225 Das komplexe Klein-Gordon-Feld 225 Feynman-Propagator für das Klein-Gordon-Feld und die Greensehe Funktion des harmonischen Oszillators Die Lagrange-Theorie des Elektron-Positron-Feldes 228 Der Spin des Elektron-Positron-Feldes 231 Der Feynman-Propagator für das Elektron-Positron-Feld 232 Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren des Klein-Gordon-Feldes für verschiedene Zeiten 233 Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren des Elektron-Positron-Feldes für verschiedene Zeiten 233 Vertauschungsrelationen der Operatoren der Feldstärken des elektromagnetischen Feldes und die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen 234 Vertauschungsrelationen für die Fourier-Amplituden 235 Erzeugungs- und Vemichtungsoperatoren im Heisenberg-Bild 235 Vertauschungsrelationen der Feldstärken für verschiedene Zeiten 236 Relativistische Wellengleichung für masselose Teilchen mit Spin 2 und Gravitonen 237 Lokale Eichtransformationen in der Feldtheorie 240 Berechnung von Spuren in der Elektron-Positron- Zerstrahlung 243 Der Massenoperator in der Einschleifen-Näherung 244 Der Polarisationsoperator in der Einschleifen-Näherung Das Vertex in der Einschleifen-Näherung 248 Ladungsrenormierung und die Energie der Dirac-See im Magnetfeld 253 Ladungsrenormierung in der Quantenchromodynamik 257 Renormierungsgruppe und die Ladungsrenormierung in QCD Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme Der Besetzungszahlen-Formalismus in der Theorie der Vielteilchen-Systeme Bosonen Operatoren für Bosesysteme in der Besetzungszahlen- Darstellung 262

8 Inhaltsverzeichnis xv Fermionen Operatoren für Fermisysteme in der Besetzungszahlen- Darstellung Die Suprafluidität von 4He Einleitung Bogoliubov-Theorie des schwach wechsel wirkenden Bose-Gases Die Grundzustandsenergie des Bosegases Das Landau-Kriterium der Suprafluidität Das Kriterium der Suprafluidität aus der Energie- und Impulserhaltung Das Zweiflüssigkeitsmodell des suprafluiden Heliums Wirbel im Hell Die Wellenfunktion des Kondensates Die BCS- Theorie der Supraleitung Einleitung Kanonische Transformation in der Theorie des schwach wechselwirkenden Elektronen-Gases Die Grundzustandsenergie Das Anregungsspektrum Die Kohärenzlänge Die Interpretation der Elementaranregungen Supraleiter bei endlichen Temperaturen Temperaturabhängigkeit der Energielücke Dichte der normalleitenden und der supraleitenden Elektronen Supraleiter im Magnetfeld, die Wellenfunktion des Kondensates Aufgaben Wellenfunktionen für Teilchen mit Spin I Eigenschaften von Vemichtungs- und Erzeugungsoperatoren für Bosonen Eigenwerte des Teilchenzahloperators für Bose-Systeme Ortsdarstellung des Besetzungszahlen-Formalismus für Bosonen Wechselwirkungsenergie im Besetzungszahlen- Formalismus Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für die Feldoperatoren Der Gesamtimpuls und der Orts-Schwerpunkt in der Besetzungszahlendarstellung Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren mit dem Gesamtimpuls 316

9 xvi Inhaltsverzeichnis Ermittlung der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators durch Wirkung des Erzeugungsoperators auf den Grundzustand Ermittlung der Wellenfunktionen durch Wirkung der Erzeugungsoperatoren auf den Grundzustand, 317 Matrixelemente der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für Fennionen Eigenschaften von Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für Fennionen Eigenwerte des Teilchenzahloperators für Fermi-Systeme 318 Ortsdarstellung des Besetzungszahlen-Formalismus für Fennionen 318 Wellenfunktionen für Teilchen mit Spin 1/2 durch Wirkung von Erzeugungsoperatoren auf den Grundzustand Kommutator des Gesamtteilchenzahl-Operators mit dem Hamilton-Operator Eine Eigenschaft des Spektrums des schwach nichtidealen Bose-Gases 319 Verteilung der Teilchen im schwach nichtidealen Bose-Gas 320 Schallgeschwindigkeit im Gas aus Teilchen mit Phononenspektrum (2. Schall) 321 Der Cooper-Effekt 322 Die inverse kanonische Transfonnation für das Fermigas mit Anziehung 324 Das Extremum der Grundzustandenergie und Cooper-Paare 325 Die Grundzustandsenergie des Supraleiters 325 Vertauschungsrelationen der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren der Paare in der BCS-Theorie Verteilung der Elektronen nach Impulsen im Supraleiter bei T = Die Wärmekapazität des Supraleiters bei tiefen Temperaturen 326 Die Entropie des Supraleiters 326 Eindringen des Magnetfeldes in den Supraleiter 327 Das kritische Magnetfeld He 328 A Die klassische relativistische Mechanik 329 A.l Vierer-Vektoren und -Tensoren 329 A.2 Relativistische Dynamik 331

10 Inhaltsverzeichnis XVII A.3 Wechselwirkung mit elektromagnetischem Feld, die Maxwell-Gleichungen 333 B Postulate der nichtrelativistischen Quantentheorie 335 C Elektromagnetische Einheiten 337 Literaturverzeichnis 339 Sachverzeichnis 343