2.5 Asymptotisches Lösungsverhalten bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Transkript

1 .5 Asymptotisches Lösungsverhalten bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Wir wollen nun as Langzeitverhalten von Lösungen zu Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen untersuchen. Wir stellen uns also ie Frage: Welche Eigenschaften haben ie Lösungen für t? Dabei konzentrieren wir uns auf autonome Differentialgleichungen. Beispiel: Wir betrachten ie Gleichung x = x [, ) mit em Anfangswert x() = x >. Wir können in iesem Fall ie Lösung irekt angeben: x(t) = x e t. Wir wissen also, ass x(t) für t. Wir untersuchen nun, was für große Zeiten passiert, wenn er Anfangswert etwas gestört wir. Dazu betrachten wir as folgene Problem: x ɛ = x ɛ [, ) mit em Anfangswert x ɛ () = x + ɛ >. Es gilt in iesem Fall: x ɛ (t) = (x + ɛ)e t,. h. wir erhalten wieer x ɛ (t) für t. Für ie Differenz zwischen ursprünglicher un gestörter Lösung gilt: x ɛ (t) x(t) = ɛe t für t un für jee Störung ɛ > es Anfangswertes. Das heißt, ass für große Zeiten er Unterschie zwischen er gestörten un er ursprünglichen Lösung beliebig groß wir. Betrachten wir im Vergleich azu as Problem x = x [, ) mit em Anfangswert x() = x >, so sieht ie Situation aners aus: x(t) = x e t t x ɛ (t) = (x + ɛ)e t t Für ie Differenz zwischen ungestörter un gestörter Lösung gilt also x ɛ (t) x(t) = ɛe t für alle ɛ > un somit sup t x ɛ (t) x(t) ɛ für ɛ. Das heißt, ass für große Zeiten er Unterschie zwischen en Lösungen es gestörten un es ungestörten Problems immer kleiner wir. Definition. (Stationäre Punkte) Zu einer gegebenen Funktion f : R n R n were ie autonome gewöhnliche Differentialgleichung x = f(x) betrachtet. Jeer Punkt x R n mit f( x) = ist abei ein sogenannter Gleichgewichtspunkt (oer auch stationärer Punkt, kritischer Punkt, Fixpunkt). Die konstante Funktion R R n, t x ist ann ie zugehörige stationäre Lösung von x = f(x), enn es gilt für x x: x =, f( x) =. Beispiel: Betrachte ie Gleichung x = x + λ =: f(x) mit einem reellen Parameter λ. In iesem Beispiel hängen ie stationären Punkte zusätzlich von λ ab. Setzen wir f(x) = x + λ =, so ergeben sich im Falle λ < ie stationären Punkte x ± = ± λ, im Falle λ = hat man leiglich einen stationären Punkt x =, un für λ > gibt es keine reellen stationären Punkte. Das zugehörige Anfangswertproblem mit x() = lässt sich lösen urch Separation er Variablen. Für λ < erhalten wir für λ = ergibt sich x(t) = λ tanh(t y ) = λ et λ e t λ e t λ + e t λ, x(t) =, 1

2 un für λ > schließlich lautet ie Lösung x(t) = λ tan(t λ). Trägt man as (hier einimensionale) Vektorfel er rechten Seite in Abhängigkeit von λ auf (vgl. ie nachfolgene Abbilung), so erkennt man, ass sich bei λ = ie Struktur er Lösung veränert. x λ Abbilung 1 Bifurkationsiagramm Definition.3 Ω R m un f : R n Ω R n seien gegeben. x R n sei ein stationärer Punkt von x = f(x, λ ) zu einem Parameterwert λ Ω. Die Differentialgleichung x = f(x, λ) besitzt in ( x, λ ) eine Verzweigung (Bifurkation), wenn Folgen (µ n ) n N un (ν n ) n N in Ω existieren, ie gegen λ konvergieren soass abei für jee Kugel K r ( x) R n un alle hinreichen großen n N gilt: Die Anzahl er stationären Punkte von x = f(x, µ k ) K r ( x) ist ungleich er Anzahl er stationären Punkte von x = f(x, ν n ) K r ( x). Auf er Suche nach Bifurkationspunkten geht es also eigentlich um ie Lösungen von f(x, λ) = mit einem Parameter λ. Der Satz über implizite Funktionen gibt uns Beingungen, unter enen eine solche Gleichung lokal eineutig nach x aufgelöst weren kann. (Notwenige Beingung für Bifurkationen) Ω R m sei offen, f : R n Ω R n stetig ifferenzierbar, x R n, λ Ω mit f( x, λ ) =. Wenn ie reelle autonome Differentialgleichung x = f(x, λ) in ( x, λ ) eine Bifurkation besitzt, ann kann ie partielle Ableitung x f( x, λ ) : R n R n nicht invertierbar sein. Stabilität im Sinne von Lyapunov Lemma.4 Die Funktion f : R n R n sei stetig. Wenn eine Lösung x( ) : [t, ) R n von x = f(x) einen Limes x R n für t besitzt, so ist ieser Limes x ein stationärer Punkt. Beweis: Angenommen, x wäre kein stationärer Punkt, as heißt f( x). Aus er Stetigkeit von f gibt es zur Richtung v := f( x) f( x) ein τ > mit f(x(t)), v R n > f( x) > t τ.

3 Daraus folgt für alle t τ x(t), v R n = x(t) + τ = x(τ), v R n + f(x(s))s, v > x(τ), v R n + f( x) τ R n f(x(s)), v R ns (t τ). Also gilt x(t) für t im Wierspruch zu x(t) x für t. Also muss er Limes x ein stationärer Punkt sein. Bisher haben wir ie Funktionen nur im R n betrachtet. Wir können aber auch ie Gleichung x = f(x, λ) mit f : C n C n, λ Ω C m betrachten. Beispiel: Die komplexe skalare Differentialgleichung x = λx λ C hat ie Lösung x(t) = x e λt, t. Abhängig vom Realteil von λ haben wir folgene rei Fälle: 1) Re(λ) < = x(t) t ) Re(λ) = = perioische Kreisbewegung um 3) Re(λ) > = x(t) = x e Re(λ)t t Der Fall Re(λ) = zeigt, ass ie Lösungen nicht gegen oer konvergieren müssen. Definition.5 Sei x C n (oer R n ) ein stationärer Punkt einer autonomen Differentialgleichung x = f(x) mit f : C n C n (oer f : R n R n ); x heißt stabil (im Sinne von Lyapunov), wenn es zu jeem ɛ > einen Raius ϱ > mit folgenen Eigenschaften gibt: Jee Lösung x( ) : [, τ) C n von x = f(x) mit x() x < ϱ kann zu einer Lösung auf [, ) fortgesetzt weren un x(t) x < ɛ t >. x heißt asymptotisch stabil (im Sinne von Lyapunov), wenn x stabil ist un zusätzlich ein Raius r > existiert, so ass alle Lösungen x( ) : [, ) C n von x = f(x) mit x() x < r ie Forerung lim t x(t) = x erfüllen. x heißt instabil, wenn x nicht stabil ist. Stabilitätsanalyse autonomer linearer Differentialgleichungen Satz.6 Sei ie Matrix A C n n un b C n. Wenn er Nullpunkt x = in C n stabil bezüglich er homogenen Differentialgleichung x = Ax ist, ann ist jeer stationäre Punkt er inhomogenen Differentialgleichung y = Ay + b ebenfalls stabil (im Sinne von Lyapunov). Wenn es einen stabilen Gleichgewichtspunkt ȳ von y = Ay + b gibt, ann ist er Nullpunkt x = in C n stabil hinsichtlich er homogenen Gleichung x = Ax. Satz.7 λ 1,..., λ n C seien ie paarweise verschieenen Eigenwerte von A C n n, un α R erfülle max{re(λ i ) i = 1,..., n} < α. Dann gibt es eine Konstante c, soass für jee Lösung x( ) : [, ) C n von x = Ax un alle t gilt: x(t) c x() e αt 3

4 Korollar.8 Für ie Matrix A C n n sei er Realteil jees Eigenwertes negativ. Dann ist er Nullpunkt in C n asymptotisch stabil (im Sinne von Lyapunov) bezüglich er Gleichung x = Ax. Satz.9 Die Matrix A C n n besitze einen Eigenwert λ C mit Re(λ) >. Dann gibt es zu jeem Raius r > eine Lösung x( ) : [, ) C n von x = Ax mit x() r un x(t) für t. Also ist er Nullpunkt in C n instabil bezüglich er Gleichung x = Ax. Beweis: Es sei v C n ein Eigenvektor zum Eigenwert λ mit Betrag r. Dann ist x : R C n mit t e λt v eine Lösung von x = Ax. Dabei strebt x(t) = e Re(λ)t v für t. Eine ähnliche Schlussfolgerung können wir ziehen, falls er maximale Realteil er Eigenwerte gleich Null ist. Definition.3 (Phasenraum, Zustansraum) Als Phasenraum bezeichnet man en Raum, er urch ie (abhängigen) Variablen es Systems aufgespannt wir. Einen Punkt im Phasenraum nennt man einen Zustan es Systems. Beispiel: (Einimensionaler Phasenraum) Wir betrachten ie Gleichung ẋ = x. Es gilt ẋ > x > sowie ẋ < x <. Beispiel: (Zweiimensionaler Phasenraum) Wir betrachten as Problem: x = f(x, y) y = g(x, y) Das Richtungsfel gibt en Verlauf er Trajektorien an. Der exakte Verlauf er Trajektorien ist gegeben urch: x = f(x, y) y = g(x, y) y g(x, y) = = x f(x, y). Wir wollen etwa en Verlauf er Trajektorien für folgenes System bestimmen: Falls x folgt araus x = x y = xy y x = xy x = y y(x) = ce x Durch jeen Punkt (x, y) geht eine eineutige Kurve, außer urch singuläre Punkte in enen f(x, y) = g(x, y) = ist. Diese Punkte sin ie Fixpunkte es Systems. y y(x) x 4

5 Zusammenfassung für lineare Systeme Die Eigenwerte er Matrix A bestimmen as Verhalten er Lösungen: (i) alle λ i <, reell x i (t) i = 1,..., n Die Auslenkung aus em Fixpunkt geht gegen Null für t, also ist er Fixpunkt asymptotisch stabil (sog. stabiler Knoten). (ii) λ i reell; minestens ein λ i > Die Auslenkung vom Fixpunkt wächst für ie zu λ i gehörige Lösungskomponente, also ist er Fixpunkt instabil. Im R (ebene autonome Systeme) gibt es zwei mögliche instabile Konstellationen: Falls λ 1 >, λ < hat as System einen sog. Sattelpunkt. Falls λ 1 >, λ > hat as System einen sog. instabiler Knoten. (iii) λ i C führt zu Oszillationen, wobei mit λ i = α + βi gilt: α < : Oszillation mit fallener Amplitue e αt (A sin(t) + B cos(t)), Fixpunkt ist stabil (sog. stabiler Fokus, stabiler Struel) α > Oszillation mit wachsener Amplitue, Fixpunkt ist instabil (sog. instabiler Fokus, instabiler Struel) α = Oszillation mit konstanter Amplitue (sog. Wirbel, Zentrum). In iesem Fall hat man keine asymptotische Stabilität, aber Stabilität im Sinne von Lyapunov. Stabilitätsanalyse für nichtlineare Systeme Motivation: Wir weren nun eine Theorie entwickeln um Stabilitätsaussagen für nichtlineare Systeme treffen zu können. Die Iee besteht arin, zu untersuchen, wie sich kleine Auslenkungen von einem Fixpunkt über ie Zeit entwickeln. Im R erhalten wir Folgenes: Betrachtet were as Problem Sei ( x, ȳ) ein Fixpunkt, also x = f(x, y), t y = g(x, y). t g( x, ȳ) = f( x, ȳ) =. Wir betrachten eine kleine Auslenkung vom Fixpunkt: x = x + δx y = ȳ + δy Taylor-Entwicklung um en Fixpunkt liefert eine lokale Linearisierung es Systems: x =f(x, y) = f( x, ȳ) + f t }{{} x δx + f y δy + Terme höherer Ornung = y =g(x, y) = g( x, ȳ) + g t }{{} x δx + g y δy + O(δx, δy ) = Es gilt t x = ( x+δx) t System für δx un δy: = x t + δx t t = δx t ( ) δx = δy un entsprechen für ty. Wir erhalten aher folgenes f x g x f y g y ( δx δy ), 5

6 wobei ie Matrix gerae ie Jacobimatrix an er Stelle es Fixpunktes arstellt. Folgenes lineare autonome System beschreibt ie zeitliche Entwicklung kleiner Störungen, wobei A ie Jacobimatrix an er Stelle es Fixpunktes bezeichnet: ( ) ( ) δx δx = A t δy δy Um nichtlineare Systeme zu untersuchen, linearisieren wir also as System lokal im Fixpunkt un wenen unsere Ergebnisse für lineare Systeme auf as linearisierte Problem an. Die erhaltenen Ergebnisse gelten ann allerings nur für kleine Störungen. Satz.31 (Stabilitätssatz) Die Matrix A C n n besitze nur Eigenwerte mit Realteil kleiner als α (α > sei passen gewählt). Außerem sei ie Funktion g : C n C n stetig mit linearem Wachstum, as heißt es existiere k > mit g(t, x) k(1 + x ) für alle (t, x) [t, T ] C n, un es g(z) gelte lim z z =. Dann ist er Nullpunkt in C n asymptotisch stabil (im Sinne von Lyapunov) bezüglich er Differentialgleichung x = Ax + g(x). Beweis: Jee Lösung x( ) : [, τ) C n von x = Ax + g(x) lässt sich stetig zu einer Lösung auf ganz (, ) fortsetzen. Mit Φ( ) : [, ) C n n bezeichnen wir ie Matrixfunktion zu einem Lösungs- Funamentalsystem von x = Ax, wobei Φ() = I C n ie Ientität auf C n ist. Es gilt also Φ(t) = exp(ta). Die Variation er Konstanten führt zu Also löst ie Hilfsfunktion ( x(t) = Φ(t) x() + ) Φ(s) 1 g(x(s))s x( ) : [, ) C n t Φ(t)x() = x(t) Φ(t)Φ(s) 1 g(x(s))s ie zugehörige homogene Differentialgleichung x = A x mit x() = x(). Nach Satz.7 gibt es eine Konstante c >, soass für jee Lösung y( ) : [, ) C n er homogenen linearen Differentialgleichung y = Ay folgenes gilt: y(t) c y() e αt t Φ(t) Ce αt ( Φ(t) bezeichnet hier ie Operatornorm) Φ(t)Φ(s) 1 Ce α(t s) s t, enn [s, ) C n n, t Φ(t)Φ(s) 1 inuziert eine Lösungsmatrix von y = Ay mit y(s) = I C n. (Anmerkung: Seien X, Y normierte Räume mit Normen X bzw. Y Φ(x) Operator. Die Operatornorm ist efiniert als Φ := sup Y X\{} x X.) Wir erhalten x(t) = x(t) + Φ(t)Φ(s) 1 g(x(s))s x(t) + C x() e αt + Φ(t)Φ(s) 1 g(x(s)) s Ce α(t s) g(x(s)) s un sei Φ : X Y ein Aufgrun er Voraussetzung lim z g(z) z g(z) α C z = gibt es einen Raius ϱ > mit z K ϱ() C n 6

7 Nun betrachten wir eine beliebige Lösung x( ) : [, ) C n von x = Ax+g(x) mit er zusätzlichen Beingung x() ϱ (1+C). Dann garantiert ie Stetigkeit von x( ), ass T x( ) := sup{t : x( ) ϱ [, t]} positiv oer gleich ist. Für alle t [, T x( ) ) können wir x(t) weiter abschätzen: x(t) C x() e αt + C x() e αt + e αt x(t) C x() + Gronwall Ungleichung eαt x(t) C x() e α t x(t) = C x() e α t ϱ T x( ) = Ce α(t s) g(x(s)) s Ce α(t s) α C x(s) s e αs α x(s) s un er Nullpunkt ist asymptotisch stabil bezüglich x = Ax + g(x) Lemma.3 (A priori Schranke urch lineares Wachstum) Die Funktion f : [t, T ] C n C n besitze ein lineares Wachstum. Dann erfüllt jee Lösung x( ) : [t, T ] C n er Differentialgleichung x = f(t, x) ie Ungleichung x(t) ( x(t ) + C t t )e c t t Satz.33 (Instabilitätssatz) Die Matrix A C n n habe minestens einen Eigenwert λ mit Re(λ) >. Sei g : C n C n g(z) stetig mit linearem Wachstum un lim z z =. Dann ist er Nullpunkt in C n instabil bezüglich er Differentialgleichung x = Ax + g(x). Stabilitätssatz un Instabilitätssatz lassen sich irekt auf nichtlineare Differentialgleichungen anwenen, wenn ie rechte Seite ifferenzierbar ist. Denn nach Definition von totalen Ableitungen erfüllt ie Restfunktion ϕ x ( ) in ie Voraussetzung er beien Sätze. f(x) = f( x) + Df( x)(x x) + ϕ x (x) Falls x Fixpunkt ist, ann folgt f( x) =. Sei δx = x x. Es gilt δx = x. }{{} x = Df( x) }{{} δx Jacobi Matrix (x x) + ϕ x (x) }{{}}{{} δx g(x) δx = Df( x) δx + kleine Störung }{{} { δx für Reλ < Es gilt: δx wächst λ i mit Reλ i > Wenn alle Re(λ i ) < sin ist ie Lösung stabil. Wenn es minestens ein Re(λ i ) > gibt ist ie Lösung instabil. Für en Fall Re(λ) = ist eine gesonerte Betrachtung notwenig; iesen letzten 7

8 Fall vertiefen wir hier jeoch nicht. Diese Betrachtung gilt nur für kleine Störungen, weil nur ann ie Linearisierung eine gute Approximation es Systems arstellt. Dieses wir aus er Definition für asymptotische Stabilität eutlich ( x heißt asymptotisch stabil (im Sinne von Lyapunov), wenn x stabil ist un zusätzlich ein Raius r > existiert, so ass alle Lösungen x( ) : [, ) C n von x = f(x) mit x() x < r ie Forerung lim t x(t) = x erfüllen). Korollar.34 Die Funktion f : R n R n sei total ifferenzierbar un besitze en stationären Punkt x R n. Dann gilt: (1) Wenn ie Jacobi-Matrix Df( x) R n,n nur Eigenwerte λ i mit Re(λ i ) < besitzt, ann ist x asymptotisch stabil. () Wenn minestens einer er Re(λ i ) > ist ist ie Lösung x instabil. Bei Re(λ) = sin allgemeine Schlussfolgerungen über ie Stabilität nicht möglich. Satz.35 (Linearisierungssatz, Hartman-Grobman) Sei f : R n R n stetig ifferenzierbar mit f() =. Die Jacob-Matrix Df() R n n besitze nur Eigenwerte mit Re(λ). Dann gibt es ie Umgebungen U, V R n von un eine stetige Abbilung ψ : U V mit folgenen Eigenschaften: (i) ψ : U V ist bijektiv un ie Umkehrabbilung ist ebenfalls stetig. (ii) x( ) : [t, t 1 ] U urchläuft genau ie Punkte einer Lösung von x = f(x) mit en Werten in U, wenn ỹ : ψ x : [t, t 1 ] R n ie Punkte einer Lösung er linearisierten Gleichung y = Df()y mit en Werten in V urchläuft. Beispiel: (logistische Gleichung) Die logistische Gleichung ient z. B. als sehr einfaches Moell zur Beschreibung von Populationswachstum. Sie lautet: Als Gleichgewichtspunkte ergeben sich: ẋ = x(1 x) x() = x x(1 x) = x = x = 1 Eine Untersuchung er Stabilität er Gleichgewichtspunkte mit obigen Methoen liefert: f (x) = 1 x f (x) x= = 1 > x = ist instabil f (x) x=1 < x = 1 ist asymptotisch stabil ẋ = ax(k-x),x() = x x() = 1.5 x() = 1 x() =.5 x() = x t 8

9 Beispiel: (Lotka-Volterra-Moell, Räuber-Beute-Moell) Auch ieses Moell ient z. B. er Beschreibung von Schwankungen in Populationen, wobei sich hier zwei Spezies (Räuber un Beute) wechselseitig beeinflussen. Im Folgenen seien λ >, δ >. x = λx k 1 xy; y = k xy δy; x(t) beschreibt ie Größe er Beute-Population, y(t) beschreibt ie Größe er Räuber-Population. Das System besitzt folgene Fixpunkte: { f( x, ȳ) = x(λ k 1ȳ) = { ( δ g( x, ȳ) = ȳ(k x δ) = ( x, ȳ) (, ),, λ ) } k k 1 Wir untersuchen ie Stabilität er Fixpunkte mit obigen Methoen. Die Jacobi-Matrix lautet J = ( ) λ k1 ȳ k 1 x. Damit ergibt sich: k ȳ δ + k x ( ) λ J (,) = λ 1 = λ (, ) ist Sattelpunkt δ λ = δ ( ) k 1 δ J k δ =, λ k λ k k 1 k 1 Im zweiten Fall ergeben sich ie Eigenwerte zu λ 1 = λδi, λ = λδi. Hier liefert also ie Linearisierung keine Antwort auf ie Frage nach er Stabilität. Wir stellen aher folgene Betrachtung an. Erstes Integral: y x = y k x δ λ x λ k 1 y k1 y k x δ y = x y x λ y k 1y = k δ x x λ ln(y) k 1 y = k x δ ln(x) + C y λ e k 1y = e k x x δ C y λ e k 1y e k x x δ = C Dies beeutet, ass F (x, y) := y λ e k 1y e k x x δ entlang er Trajektorien konstant ist. Die Lösungen sin perioisch. Dieser Sachverhalt wir in einer späteren Version es Skriptums ausführlicher erläutert. Er ist jeoch für en weiteren Verlauf er Vorlesung nicht wesentlich un wir aher zunächst nicht weiter kommentiert. Für Oszillationen mit Perioe T gilt: x T ) = λt k 1 y(s)s. Aufgrun er y(s)s, letzteres ist ie mittlere Am- x = λ k 1y ln( x(t ) x Perioizität gilt ln( x(t ) x ) =. Daher erhalten wir λ k 1 = 1 T T plitue y mitt er Oszillation in y-richtung. Auf ieselbe Weise erhält man ie mittlere x-amplitue x mitt = δ k. Positivität er Lösung: x, y x(t), y(t). (Da, falls x =, auch x = un für y = auch y =, kann ie Nullinie nicht gekreuzt weren.) Folgene Abbilung zeigt eine perioische Lösung: Bisher haben wir ie Stabilität lokal untersucht,.h. ie Reaktion es Systems auf kleine Störungen von Gleichgewichtszustänen. Wenn wir wissen wollen, ob as System von allen Startwerten aus 9

10 4.5 Lotka Volterra Moel Lotka-Volterra Moel x1 x t t gegen ein bestimmtes Gleichgewicht konvergiert bzw. wie ein System auf große Störungen reagiert müssen wir ie globale Stabilität untersuchen. Wir tun ies mit er Methoe von Lyapunov, eren Gruniee em Konzept er potenziellen Energie ähnelt. In er Physik nimmt ie potenzielle Energie entlang einer Bewegung ab. Dasselbe forern wir für ie sog. Lyapunov-Funktion. Folgene Abbilung zeigt as zugehörige Vektorfel un Phasenportrait: Lotka-Volterra Moel 3.5 x 1.5 λ k δ x1 k Lemma.36 Die Funktion f : R n R n sei stetig un V : R n R ifferenzierbar. Die Komposition V x( ) : [t, t 1 ] R ist genau ann für jee Lösung x( ) : [t, t 1 ] R n monoton fallen, wenn für alle z R n gilt ( V (z), f(z)) R n. Hierbei haben wir as Stanar-Skalarproukt im R n verwenet. Beweis: 1

11 Für alle Lösungen x( ) : [t, t 1 ] R n von x = f(x) ist V x( ) ifferenzierbar gemäß er Kettenregel, un es gilt für alle t [t, t 1 ]: Also ist V x( ) monoton fallen. t V (x(t)) = DV (x(t))x (t) = DV (x(t)) f(x(t)) Für jeen beliebigen Startwert z R n existiert eine Lösung x : [, τ] R n, τ > auf einem hinreichen kleinen Zeitintervall aufgrun es Satzes von Peano. Nach Voraussetzung ist V x( ) monoton fallen. Das beeutet speziell zur Zeit t = V (x(h)) V (z) lim = ( V (x()), x () ) = ( V (z), f(z)) h h R n R n Definition.37 Gegeben sei ie autonome gew. Differentialgleichung x = f(x), f : R n R n, x sei ein stationärer Punkt. Eine reellwertige ifferenzierbare Funktion V : R n R heißt Lyapunov- Funktion ieser Differentialgleichung, falls (1) V ( x) = () V (x) > x x (3) ( V (x), f(x)) R n x R n Definition.38 (Stabilität von Lyapunov) Es sei f : R n R n stetig ifferenzierbar mit linearem Wachstum un f( x) =, V : R n R sei eine stetig ifferenzierbare Lyapunov-Funktion er autonomen gew. Differentialgleichung x = f(x). Dann gilt: (1) Wenn ( V, f) R n in R n, so ist x stabil (im Sinne von Lyapunov). () Wenn ( V, f) R n < in R n \ { x}, so ist x asymptotisch stabil. Es gibt keine allgemeine Methoe, um eine Lyapunov-Funktion explizit anzugeben. Beispiel: Wir betrachten as System x 1 = x x x = x 1 x 5 Der Fixpunkt ist ( x 1, x ) = (, ). Als Ansatz wählen wir V : R R mit V (ξ) = αξ 1 + βξ, wobei α, β R zwei reelle Parameter sin. Dann berechnet man ( V (ξ), f(ξ)) R n = αξ 1 ( ξ ξ ) + βξ ( ξ 1 ξ 5 ). Für α = β > ist V eine Lyapunov-Funktion bezüglich er betrachteten Differentialgleichung, un er Nullpunkt in R erweist sich als asymptotisch stabil. 11