LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 8. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler Department Biologie II Telefon: Großhaernerstr. Fax: Planegg-Martinsrie 8. Übung/Lösung Mathematik für Stuierene er Biologie 5..8 Abgabe in en Tutorien. Die Aufgaben weren in en Tutorien vom 3. un 4. Dezember besprochen. Aktuelle Infos un übungszettel finen Sie unter: (Kurveniskussion [ P] Sigmoie Funktionen sin monoton, nähern sich für großes Argument (x bzw. x asymptotisch konstanten Werten an un haben azwischen einen Bereich, in em sie stark anwachsen. Sie weren beispielsweise zur Beschreibung er Kinetik biochemischer un physiologischer Reaktionen verwenet. (a Zeigen Sie urch Kurveniskussion, ass f(x = +e x zu ieser Klasse von Funktionen gehört. (inkl. Skizze (b Zeigen Sie, ass ie Ientität gilt. + e x = [ ( x ] tanh + (c Verwenen Sie as Ergebnis von (b um ie Symmetrieeigenschaft von f(x zu bestimmen. (a Monoton: aher streng monoton wachsen. f x (x = e x ( + e x >, Nähert sich für großes Argument (x bzw. x asymptotisch konstanten Werten an: lim f(x = lim x x + e x = lim f(x = x lim x Hat azwischen einen Bereich, in em sie stark anwächst: f x (x = x e x + e x = ( + e x = x e x + + e x = e x e x (e x + + e x = für x =, wobei f x (x bei x = auch as Vorzeichen wechselt: Ein Wenepunkt.

2 (b [ ( x ] tanh + = [ e x/ e x/ ] e x/ + e + x/ = e x/ e x/ + e x/ + e x/ e x/ + e x/ = = e x/ e x/ + e x/ + e x (c tanh hat Punktsymmetrie zum Koorinatenursprung. Daher hat f(x Punktsymmetrie zum Punkt (x =, y =.5.. (Differentialgleichungen, Variation er Konstanten [3 P] Gegeben ist ie Differentialgleichung mit a > un ω >. x = ax + sin(ωt t (a Geben sie ie stationäre Lösung er Differentialgleichung an, falls eine existiert. (b Wie heisst as Verfahren, um eine solche Differentialgleichung zu lösen? (c Berechnen Sie ie allgemeine Lösung er homogenen Differentialgleichung. ( Lösen Sie ie inhomogene Differentialgleichung urch Variation er Konstanten. (e Diskutieren Sie ie beien Grenzfälle a un a. (a Eine stationäre Lösung gibt es nicht, a as System von einer zeitabhängigen Funktion getrieben wir. (b Mit Kanonen auf Spatzen schießen (Variation er Konstanten (c Lösung er homogenen Differentialgleichung urch Separation er Variabeln: t x(t a t = t x(t x x a(t t = ln( x(t ln( x(t a(t t = ln x(t x(t x(t = x(t e a(t t un mit t = un t = t: x h (t = c h e at, wobei c h = x für ie homogene Lösung. ( Definiere y(t = x(t x h (t = eat c h x(t. Damit erhalten wir eat y(t = sin(ωt. t c h Integration urch Substitution (Darstellung von sin urch exp mittels komplexen Zahlen oer partielle Integration ergibt ( y(t = eat a sin(wt c h a + w cos(wt w a + w + c y mit er Konstanten [ c y. Wir ( erhalten ] e at a x(t = y(tx h (t = sin(wt c h a + w cos(wt w a + w + c y c h e at ( a x(t = sin(wt a + w cos(wt w a + w + c y c h e at mit c y c h = x + w a +w.

3 (e Für a haben wir x(t = sin(ωt, t Nach Integration bekommen wir x(t = ω cos(ωt = ω sin(ωt + π. Für a wir as ynamische System unenlich träge. Die asymptotische Lösung ist x(t = a sin(ωt un ie Phasenifferenz wir Null (x(t un ie treibene Sinusfunktion sin in Phase. 3. (Differentialgleichungen Gegeben sei ie Differentialgleichung [3 P] x(t = β x + γ e αt t mit en Konstanten α, β, γ R +. Als Anfangsbeingung sei x( =. (a In er Vorlesung wure bereits gezeigt, ass für α = β ie Lösung x(t = γ t e βt lautet. Untersuchen Sie iese Funktion: Wie verhält sie sich für kleine t? Wo hat sie ihr Maximum? Wie groß ist x max? Wie verhält sich x(t für t? Wie groß ist ie Fläche zwischen t-achse un x(t? (b Lösen Sie ie Differentialgleichung für α β. Als Lösung sollten Sie erhalten: x(t = γ [e αt e βt] β α (c Untersuchen Sie iese Funktion nach en selben Kriterien wie in (a. ( Was geschieht, wenn Sie α un β vertauschen? Lösung? Was beeutet ies für ie Interpretation er (a x(t = γ t e βt Wie verhält sie sich für kleine t? lim t x(t = Wie verhält sich x(t für t? lim t x(t = = lim t γ = βe βt Wo hat sie ihr Maximum? Extremwert bei t x(t = ( t γ t e βt = γ e βt β γ t e βt = e βt (γ β γ t = = t = β. Maximum, a x( β > (siehe nächster Punkt un lim t x(t = lim t x(t =. Wie groß ist x max? x E = x( β = γ β e >, a γ, β >. Wie groß ist ie Fläche zwischen t-achse un x(t? t x(tt = γ = t e βt t. Partielle Intergration mit u = t, u =, v = e βt un v = β e βt ergibt [ ] t e βt t = t β e βt [ ] β e βt t = t β e βt β e βt = + + β = β t x(tt = γ = β. un

4 (b Inhomogene linear DGL erster Ornung: Lösung urch Variation er Konstanten. Dazu betrachten wir zuerst ie zugeornete homogene Differentialgleichung eren allgemeine Lösung wir schon kennen, t x h(t = βx h (t, ( Um ie inhomogene Gleichung zu lösen machen wir en Ansatz x h (t = c e βt mit c R. ( t x(t = βx(t + γ e αt (3 x(t = z(tx h (t = z(tc e βt. (4 Setzen wir iesen Ansatz in (3 ein, so erhalten wir ie Differentialgleichung h(t z(t = t x h (t = γe αt c e βt = γ c e(β αt (5 wobei h(t = γe αt. Diese Differentialgleichung kann exakt integriert weren, wobei allerings zwei unterschieliche Fälle getrennt zu betrachten sin. (A Der Fall α = β wure bereits in er Vorlesung behanelt. (B Falls α β, so kann (5 ebenfalls elementar integriert weren, oer z(t z(t z(t z(t = γ c z = γ c Mit en Werten von Start- un Enpunkt, t = un t = t, erhalten wir also Nach Einsetzen in (4, x(t = z(t = γ c t t e (β αt t, (6 β α [e(β αt e (β αt ]. (7 β α [e(β αt ] + z(. (8 { } γ c β α [e(β αt ] + z( ce βt, (9 kann er Wert von z( wieer aus er Anfangsbeingung x( = bestimmt weren, un es folgt araus auch im nun betrachteten Fall: z( =. Damit erhalten wir insgesamt: (c x(t = γ [ β α e αt e βt] Wie verhält sie sich für kleine t? lim t x(t = Wie verhält sich x(t für t? lim t x(t = = Wo hat sie ihr Maximum? Extremwert bei t x(t = γ e αt + e βt =. β α γ α β Falls β < α erhalten wir ( ( ln e αt = ln β α t β α α β e βt x(t = ( γ [ β α e αt e βt] = γ e αt = α β e βt > un γ [ e αt e βt]. ( β α β α t ( e αt e βt = γ ( β α αe αt + βe βt =

5 t = α β ln( α β. Falls β > α erhalten wir β α t = α β ln( α β. e αt = α β e βt > un mittels ln ebenfalls Maximum, a x E > (siehe nächster Punkt un lim t x(t = lim t x(t =. Wie groß ist x max? x E = x( α β ln( α β = γ β α [e α α β ln( α β e β α β ln( α β ] = ] γ β α [( βα α α β ( β α β α β >, a α, β, γ >. Wie groß ist ie Fläche zwischen t-achse un x(t? t x(tt = γ [ = β α e αt e βt] [ ] t = γ β α α e αt + β e βt = γ β α ( α β = γ αβ ( Die Lösung x(t bleibt unveränert bei Vertauschung von α un β. 4. (Geämpfter harmonischer Oszillator [3 P] In er Vorlesung wure ie Differentialgleichung es geämpften harmonischen Oszillators m t x(t + γ x(t + k x(t = t mit Hilfe eines Exponentialansatzes, x(t = A e λt, gelöst, wobei sich ergab: λ / = [ γ ± ] D mit D = γ 4mk. (a Für D < ergeben sich zwei komplexwertige Lösungen. Formen Sie iese mit Hilfe er Ientitäten e ia = cos(a + i sin(a un e ia = cos(a i sin(a in physikalisch sinnvolle reellwertige Lösungen um. (b Für D = fallen beie Lösungen zusammen un es gilt λ = γ. Um in iesem Fall eine zweite Lösung zu erhalten (ansonsten kann man ie unabhängigen Anfangsbeingungen an x un ẋ nicht erfüllen versuchen wir en Ansatz x(t = y(t e λt. Setzen Sie iesen in ie ursprüngliche Differentialgleichung ein, un zeigen Sie unter Verwenung von mλ + γλ + k = un λ = γ, ass y(t ie Differentialgleichung t y(t = erfüllt. Wie lautet ie Lösung y(t? Geben Sie amit ie Lösung x(t an. (a Für D < besitzt ie Differentialgleichung zwei komplexwertige Lösungen λ / = γ ± i 4mk γ. ( Auf en ersten Blick mag as Auftreten komplexer Zahlen verwunern, a x(t beispielsweise ie Auslenkung eines Feerpenels beschreibt, un amit eine reellwertige Größe ist. Da jeoch ie beien komplexen Zahlen λ un λ zueinaner konjugiert-komplexe Zahlen sin, kann man sie auch als λ / = κ ± iω mit κ = γ un ω = 4mk γ schreiben. Greift man auf as Superpositionsprinzip zurück un aiert beziehungsweise subtrahiert ie beien entsprechenen Lösungen x un x, ( x (t = e κt+iωt un x (t = e κt iωt, (3

6 so kann man ie Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus un komplexer Exponentialfunktion ausnützen. Es gilt nämlich exp(ia + exp( ia cos(a = un exp(ia exp( ia sin(a =. i Damit lassen sich zwei reellwertige Lösungen formulieren, x (t = [x (t + x (t] = cos(ωte κt (4 un x (t = i [x (t x (t] = sin(ωte κt. (5 Damit sin zwei spezielle reellwertige Lösungen gefunen. Die allgemeine Lösung wir ann wieer als x(t = C x (t + C x (t geschrieben, ie reellen Konstanten C un C aus en jeweiligen Anfangsbeingungen bestimmt. Physikalisch gesehen treten also bei kleiner Dämpfung es Systems (γ < 4mk exponentiell geämpfte Sinusbzw. Cosinus-Schwingungen auf. Dabei wir eine Schwingung umso langsamer abklingen, je kleiner ie Dämpfungskonstante γ ist. Für en iealisierten Fall γ = bleibt ie Schwingung für alle Zeiten erhalten un ie Schwingungsfrequenz ω ist nach ( urch k/m gegeben. Mit zunehmener Dämpfung γ verringert sich schließlich ie Schwingungsfrequenz ω. (b Verschwinet im obigen Beispiel ie Diskriminante, so liefert er Ansatz x(t = C e λt nur eine Lösung. Die Differentialgleichung ist aber weiterhin von zweiter Ornung, so ass zwei Anfangsbeingungen frei gewählt weren können, beispielsweise x t t= un x(. Die Lösung x(t = C e λt enthält jeoch mit C nur einen freien Parameter. Was ist zu tun? Wählt man en Ansatz er Form x(t = e λt y(t, erhält man mit t x(t = ( y(t e λt ( = t t y(t e λt + y(tλe λt ( ( t x(t = t y(t e λt + t y(t λe λt + y(tλ e λt ( = t y(t e λt + λ t x(t λ x(t mit mλ + γλ + k = (Einsetzen es Exponentialansatzes in ie ursprüngliche Differentialgleichung, λ = γ un γ = 4mk (folgt aus D = ie Differentialgleichung m t x(t + γ x(t + k x(t = t ( m t y(t e λt + (γ + λ t x(t + (k mλ x(t = ( m t y(t e λt + x(t + x(t = t y(t =. t Definiert man v(t = t y(t erhält man ie Differentialgleichung erster Ornung tv(t = un ie Lösungen v(t = C, y(t = C + C t un x(t = e λt (C + C t. Für C = entspricht ies genau er schon bekannten Lösung, für C hat man ie gesuchte zweite Lösung gefunen. Physikalisch nennt man iese spezielle Situation auch aperioischen Grenzfall, a hier gerae keine Oszillationen mehr auftreten.

7 .8.6 x (t x (t x 3 (t x(t t Illustration er verschieenen Lösungstypen eines geämpften harmonischen Oszillators. Drei Lösungen er Differentialgleichung t x(t + γ x tx(t = x(t mit m = k = zum Anfangswert x( = un t t= = sin argestellt. Der Lösungstyp hängt vom Wert er Diskrimante D ab (hier D = γ 4. Für γ < 4 ist ie Diskrimante negativ un man erhält eine geämpfte harmonische Schwingung wie x (t (mit γ =.. Für γ = 4 verschwinet ie Diskriminante. Die entsprechene Lösung x (t wir auch als aperioischer Grenzfall bezeichnet. Ist schließlich γ > 4, so ist ie Diskrimante positiv. Das Beispiel γ = 4 führt zur stark überämpften Lösung x 3 (t. Der qualitative Unterschie zwischen en beien letzten Lösungen x (t ist eine Lösung er Form te λt, x 3 (t ist ie Differenz zweier Exponentialfunktionen ist nicht sichtbar, aus em Vergleich aller rei Lösungen wir jeoch eutlich, ass ie maximal erreichte Schwingungsamplitue stark von er Dämpfung γ abhängt. 5. (Differentialgleichungen, lineare Stabilitätsanalyse [3 P] Betrachten Sie ie Differentialgleichung τ t x(t = x4 mit er Anfangsbeingung x( = x > un er Konstanten τ >. (a Um was für Differentialgleichungstypen hanelt es sich (Ornung, Linearität? (b Skizzieren Sie ie Funktionen f(x (mit Beschriftung er Achsen!. (c Führen Sie eine qualitative Analyse er Differentialgleichungen urch. ( Führen Sie eine lineare Stabilitätsanalyse urch (Kapitel 4.5 im Skript. Ergebnisse mit en Resultaten zur qualitativen Analyse. Vergleichen Sie ie (a. Ornung, nichtlinear. (b (c Stationäre Lösung bei x = ±. Instabil für x =, a f x (x = 4x 3 = 3 >, un asymptotisch stabil für x =, a f x (x = 5 <. f(x un f x sin stetig für alle x un t, aher gibt es eine eineutige Lösung.

8 ( Die allgemeine Lösung er Linearisierung (siehe Skriptum 4.48 lautet für x = x(t = x + Ce f (x t. x(t = + Ce 5 t. Man erhält eine exponentiell relaxierene (asymptotisch stabile Lösung. Für x = : x(t = + Ce 3 t. Man erhält eine exponentiell anwachsene (instabile Lösung. Zusätzlich zum qualitativen Verhalten erhält man eine quantitative Beschreibung von x in er Nähe er stationären Lösungen.