Festkörperelektronik 2008 Übungsblatt 2

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1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe TH Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer Dipl.-Phys. Alexander Colsmann Engesserstraße Karlsruhe Festkörperelektronik. Übungsblatt 30. April Beugung hochenergetischer Elektronen in Reflexion Bei der so genannten RHEED-Methode Reflection High Energy Electron Diffraction zur Untersuchung von Oberflächen wird ein Elektronen-Strahl unter einem flachen Winkel auf die Oberfläche geschossen. Die reflektierte Intensität wird gemessen. Aus den Mustern der unter verschiedenen Winkeln eingeschossenen Elektronen lassen sich Rückschlüsse auf die Struktur der Oberfläche ziehen. Das Verfahren kann zum Beispiel zum Überwachen des Wachstums von kristallinen Schichten verwendet werden. Abb. 1: Prinzip von RHEED [Quelle: a Nehmen Sie an, dass ein Material aus gleichartigen Schichten der atomaren Bausteinen besteht, die parallel zur Oberfläche übereinander gestapelt sind Abbildung 1. Ein solches Material zeigt beim Beschuss mit Elektronen einer definierten kinetischen Energie unter bestimmten Winkeln Maxima in der Reflexionsintensität. Erklären Sie dieses Phänomen! Die winkelabhängigen Maxima sind ein Interferenzphänomen. Also manifestieren sich bei dieser Messung die Welleneigenschaften der Elektronen. Die Seite L0

2 Abb. : Schema zur Streuung am Kristallgitter übereinander gestapelten Schichten siehe Abbildung 1 des Materials reflektieren jeweils einen Teil der einfallenden Elektronen-Welle und lassen einen anderen Teil durch. An der darunter liegenden Schicht passiert das gleiche und so weiter. Die verschiedenen Teilstrahlen überlagern sich nun. Je nach Phasendifferenz der verschieden Strahlen erhält man konstruktive oder destruktive Interferenz. Die Phasendifferenz hängt davon ab, wie weit die Teilstrahlen im Material propagieren und damit von der Struktur des Festkörpers. Bei genauer Betrachtung spielen auch noch die Intensität der einzelnen Teilstrahlen eine Rolle. Aus dem Muster der Maxima kann so auf die Struktur geschlossen werden. b LEED Low Energy Electron Diffraction ist ein ähnliches Verfahren. Versuchen Sie, die Unterschiede zwischen den beiden Methoden und daraus folgend ihre Einsatzgebiete zu bestimmen. Bei LEED werden ebenfalls Elektronen auf eine Oberfläche geschossen, allerdings mit geringerer Beschleunigung 50 ev < W < 100 ev als bei RHEED ca. 30 kev. Außerdem lässt man den Elektronenstrahl unter 90 auf die Oberfläche auftreffen, wogegen man bei RHEED sehr kleine Winkel wählt. Beide Methoden bilden hauptsächlich die obersten Schichten eines Festkörpers ab, da durch die starke Wechselwirkung der Eletronen mit den Atomen des zu untersuchenden Festkörpers diese bereits an den oberen Schichten gestreut werden. Aufgrund seiner Geometrie ist das RHEED-Verfahren besser geeignet, um das Schichtwachstum von kristallinen Materialien zu beobachten. Durch den streifenden Einfall bleibt nämlich der Halbraum über der Oberfläche bei RHEED frei, wo sich normalerweise die Einrichtungen zum Bedampfen befinden. Seite L1

3 c Bestimmen Sie die Formel für die Abhängigkeit zwischen Einfallswinkel φ, Abstand zwischen den Schichten d und Elektronenenergie für den Fall eines Intensitäts-Maximums. Abbildung zeigt ein Schema des Experiments. Vereinfachend sind nur zwei Strahlen dargestellt. Man erkennt, dass der zusätzliche Laufweg des Strahls x d sin φ 1 ist. Dieser Phasenunterschied muss für konstruktive Interferenz einem Vielfachen der Wellenlänge entsprechen: nλ d sin φ Die Energie eines Elektrons in Abhängigkeit von seinem Impuls ist: W p m e 3 Streng genommen muss man für die Energie-Impuls-Beziehung die relativistische Beziehung ansetzen, in unserem Fall bleibt die Korrektur jedoch im Bereich einiger Prozent. Mit der de-broglie-beziehung p k h/λ erhalten wir: W h m e λ 4 Hier setzen wir die Wellenlängenbedingung für konstruktive Interferenz ein n1: W h 8m e d sin φ 5 d Nun haben die Schichten einen Abstand von d 5 Å und der Elektronenstrahl fällt unter einem Winkel von φ 1 ein. Mit welcher Energie müssen die Elektronen beschleunigt werden, um eine solche Oberfläche zu untersuchen? Seite L

4 W e h 8m e d sin φ 4, 95 kev 6 e Ähnliche Messungen wie mit RHEED können auch mit Röntgenbeugung, d. h. der Reflexion von Röntgenstrahlen an der Oberfläche durchgeführt werden. Vergleichen Sie die Energien der Röntgenquanten mit der Energie der Elektronen für die in d benötigten Wellenlänge? W p hν hc λ hc d sin φ Die Energie der Röntgenquanten muss also höher sein. 11. Fourier-Transformation Die folgenden Gleichungen definieren eine Fourier-Transformation: 71, kev 7 gk 1 + fxe jkx dx gω 1 + fte jωt dt π π fx 1 + gke jkx dk ft 1 + gωe jωt dω π π a Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion fx e ax mit a > 0 wieder eine Gauß-Funktion ergibt Hinweis: Quadratische Ergänzung im Exponenten. gk 1 + e ax e jkx dx 8 π 1 + e ax jkx dx 9 π 1 + e ax + jk a x dx 10 π 1 + π 1 + e π e a x+ jk a jk a dx jk ax+ a } {{ } Gaußpuls }{{} dx e jk 4a const. Seite L3

5 Der konstante Term kann aus dem Integral gezogen werden. Der verbleibende Term stellt einen nach links verschobenen Gaußpuls dar. Das Integral über die gesamte x-achse entspricht dem eines nicht verschobenen Gaußpulses formal kann man die Substitution u x + jk/a vornehmen. Das resultierende Integral ergibt sich nach Bronstein zu exp au du π/a. Wir erhalten also: gk 1 π π a e jk 1 4a k a e 4a 11 b In der Ultra-Kurzzeitspektroskopie kommen gepulste Laser mit einer Pulslänge von wenigen Femtosekunden zum Einsatz. Schätzen Sie die spektrale Breite ν eines Gauß-Pulses ft e t t mit einer halben Breite von t10 fs ab. Vergleichen Sie hierzu die Fourier-Transformierte von ft mit einem Gauß-Puls ω im Frequenzraum gω e ω. gω gω + + e fte jωt dt 1 t t e jωt dt Mit dem Ergebnis von Aufgabenteil a erhalten wir: gω e 1 t ω! e ω Aus dem Vergleich der beiden Gauß-Pulse folgt unmittelbar: ω 13...oder mit ω πν: t 1 t ω 1 14 ω t ν 1 π 1 ν π t 1, Hz 16 THz 15 Seite L4

6 1. Dispersion a Skizzieren Sie die Gauß-Funktion fx 1 σ π exp 1 x µ σ 16 für µ 0, σ 1 sowie für µ, σ 4. Welche Bedeutung haben die beiden Parameter µ und σ? Abb. 3: Skizze für die Gauß-Funktionen mit µ 0 und σ 1 roter Graph und µ und σ 4 blauer Graph. Die σ-umgebungen um den Mittelwert µ sind für beide Graphen eingezeichnet. Der Parameter σ bestimmt die Breite der Glockenfunktion Man erinnere sich an Wahrscheinlichkeitstheorie. b Was bedeutet der Begriff Dispersion in Zusammenhang mit Wellenpaketen? Als Dispersion bezeichnet man allgemein die Wellenlängenabhängigkeit oder Frequenzabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer bestimmten Welle. Zeigt eine Welle in einer bestimmten Situation Dispersion, so verändert sich die Breite eines Wellenpakets bestehend aus Wellen dieser Art mit der Zeit. Auch dieses Phänomen bezeichnet man häufig als Dispersion, obwohl es streng genommen eine Folge der Dispersion im oben genannten Sinn ist. Zeigen Wellen in einem bestimmten Medium keine Dispersion, so tritt der Effekt des Zerfließens eines Wellenpakets nicht auf. In diesem Fall ist die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit. Seite L5

7 c Was bezeichnet man als Dispersionsrelation? Wie sehen die Dispersionsrelationen für ein freies Elektron sowie für ein Photon im Vakuum aus? Als Dispersionsrelation wird meistens die Abhängigkeit der der Kreisfrequenz ω von der Wellenzahl k oder dem Wellenvektor k bezeichnet, also ωk. Da nach de Broglie die Proportionalität W ω gilt, kann man die Dispersionsrelation immer auch als Abhängigkeit der Energie W von der Wellenzahl darstellen. Für jede Welle in jedem Medium lässt sich eine solche Relation aufstellen und aus ihrer genauen Form folgen viele Eigenschaften dieser Welle. Die Dispersionsrelation für eine Lichtwelle/ein Photon kennen wir bereits aus Felder und Wellen als ωk ck mit der Lichtgeschwindigkeit c. Für das freie Elektron im Vakuum erhielten wir dagegen ωk k /m. Auch für Wasserwellen, Erdbebenwellen und so weiter lassen sich entsprechende Dispersionsrelationen angeben. d Berechnen Sie die Gruppengeschwindigkeit v G für das freie quantenmechanische Elektron und ein Vakuum-Photon. Die Gruppengeschwindigkeit v G lässt sich berechnen über v G ωk/ k. Somit erhalten wir für ein Photon v G c und für das freie Elektron v G k/m. 13. Quantenmechanisches Messen In einem unendlichen hohen Potentialtopf der Breite L Potential V x 0 bei 0 < x < L L > 0 und V x sonst und V x sonst befindet sich ein Elektron im ersten angeregten Zustand. a Leiten Sie den Ausdruck für die möglichen Werte der Energie der Elektronen im Topf her. Welche Energie wird man an dem System messen? Im Topf machen wir den Ansatz: Es gilt ψx A sinkx + B coskx 17 W p m k 1mW m k 18 Seite L6

8 Da es sich um einen unendlich hohen Topf handelt, muss die Wellenfunktion an den Rändern verschwinden, um der Stetigkeitsbedingung zu genügen. So folgt: ψ0 B 0 19 Des weiteren erhält man: mit Gl.19 {}}{ ψl A sinkl + B coskl A sinkl 0 0 Das kann nur gelten, wenn A 0 oder kl nπ mit n N. Die erste Bedingung führt auf die triviale Lösung A 0 und B 0, wir betrachten daher den zweiten Fall. W p m k m π ml n. 1 Der erste angeregte Zustand hat die Quantenzahl n. Wenn das System in diesem Zustand ist, wird mit Sicherheit die zugehörige Energie W π ml gemessen. b Nun wird eine Ortsmessung durchgeführt. Rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit aus, das Elektron entweder zwischen L/6 und L/6 oder zwischen 4L/6 und 5L/6 zu finden. Wir beginnen mit der Normierungsbedingung, um den Koeffizienten A in der Wellenfunktion ψ zu bestimmen: 1! L 0 πx A sin dx A 1 L x L 4πx L 8π sin L 0 A L Somit wird A /L. Für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in den oben genannten Bereichen ergibt sich: Seite L7

9 L/6 πx 5L/6 πx ρ L/6 L sin dx + L 4L/6 L sin dx 3 L L/6 πx L/6 L sin dx 4 1 L L x L 4π L/6 8π sin L x L/6 4 L L 1 + L 3 0, 55 8 Wobei die Achsen-Symmetrie der Lösungen um die Mitte des Topfs ausgenutzt wurde. c Nun wird in die Mitte des Topfs eine dünne Zwischenwand eingefügt, die das Elektron nicht durchdringen kann. Das Elektron befinde sich in dem rechten der beiden Töpfe. Wie sieht die normierte Wellenfunktion des Elektrons im niedrigsten Eigenzustand nach dem Einschieben der Trennwand aus? Der erste angeregte Zustand nach dem Einschieben der Zwischenwand ist: ψx { 0 : 0 x < L/ C sin πx L : L/ x < L Die Normierungskonstante erhält man mit 1 L L/ πx C sin dx C 1 L x L 4πx L 8π sin L L/ C L zu C 4/L. Also sieht die Wellenfunktion folgendermaßen aus: ψx 14. Parabolisches Potential I { 0 : 0 x < L/ 4/L sin πx L : L/ x < L Komplexe Potentiale in Quantenbauelementen können in erster Näherung häufig durch quadratische parabolische Funktionen angenähert werden. Das entsprechende Potential ist V x 1 mωˆx. Dieses wichtige Potential besitzt Ähnlichkeit mit 6 Seite L8

10 der potentiellen Energie eines harmonischen Oszillators. Man spricht hier von einem quantenmechanischen harmonischen Oszillator. a Recherchieren Sie, wie die Funktionen ψ n aussehen, die die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das parabolischen Potential lösen. Wie lautet die Formel für die zugehörigen Eigenwerte W n? Für die Eigenwerte des parabolischen Potentials findet man W n ω n + 1/, hier ist für die Quantenzahl n Null oder eine natürliche Zahl einzusetzen. Die zugehörigen Eigenfunktionen ergeben sich zu: ψ n x c n H n x x e b b b 7 Wobei b mω ist und die c n Normierungskonstanten sind. Die H n stehen für die Hermiteschen Polynome, die nach der Regel H n y 1 n exp y dn dy n exp y gebildet werden. H 0 y 1 8 H 1 y y 9 H y 4y 30 b Wie unterscheiden sich die Lösungen des parabolischen Potentials von denen des unendlich hohen Potentialtopfs? Zählen Sie zudem die Gemeinsamkeiten auf. In beiden Fällen erhalten wir diskrete Lösungen für die Energiewerte, wobei der niedrigste Zustand eine Energie größer Null hat. Ebenso wechseln sich gerade und ungerade Lösungen ab, wobei der Grundzustand eine gerade Lösung ist. Unterschiedlich sind die Abstände der Energieniveaus, beim harmonischen Oszillator erhalten wir äquidistante, beim unendlichen Potentialtopf nimmt der Abstand quadratisch zu. Außerdem weisen die Wellenfunktionen im unendlichen Potentialtopf an dessen Grenzen einen Knoten auf. Seite L9

11 c Zeigen Sie, daß ψ 0 x und ψ 1 x die SG lösen. H 0 : Ĥψ 0 d m dx + 1 mω x ψ 0 31 d m dx + 1 mω x c0 e x b b d m dx x b + 1 mω x c0 e x b b m 1 b + x b mω x c0 e x b b m mω + m ω x + 1 mω x c0 e x b b 1 ω ψ 0 }{{} W 0 H 1 : Ĥψ 1 d m dx + 1 mω x ψ 1 3 d m dx + 1 mω x c1 x x e b b b d c1 m dx d m dx d m dx m m m x x e b b b + 1 mω x ψ 1 xe x b c1 e x b x x e b b b mω x ψ 1 x x b e x 1b b + x b 4 3b + x b 4 b e c1 b + 1 b 3 mω x ψ 1 x b + x3 x b 4 e xe x c1 b b 3 }{{} ψ mω x ψ 1 c1 b + 1 b 3 mω x ψ mω x ψ 1 Seite L30

12 3mω m m ω x + 1 m mω x ψ 1 3 ω ψ 1 }{{} W 1 d Der Grundzustand des eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillators ist mit der Konstanten b ψ 0 x mω 1 b 1/ exp x π1/ b 33. Berechnen Sie den Erwartungswert für die kinetische Energie des harmonischen Oszillators im Grundzustand. Die kinetische Energie ergibt sich zu W kin p. In Operatorschreibweise setzen wir den Impulsoperator ein, also ˆp j, somit erhalten wir für den m x Operator der kinetischen Energie: Ŵ kin 34 m x Für den Erwartungswert der kinetischen Energie erhalten wir: < Ŵkin > ψ0ŵ ψ 0dx 35 1 b 1/ exp x 1 π1/ b m x b 1/ exp x dx π1/ b 1 m b exp x π b x exp x dx b 1 m b exp x 1b π b exp x + x b b exp x dx 4 b 1 m b 1b π exp x + x b b exp x dx 4 b 1 m b 1 b π + 1 b π π b b 1 m b 1 b π π b 4mb 1 4 ω Seite L31

13 e Bestimmen Sie mit dem Ergebnis des letzten Aufgabenteils den Erwartungswert der potentiellen Energie des Grundzustands und erläutern Sie ihr Vorgehen. Die Gesamtenergie des Grundzustands des harmonischen Osizllators ist W T 1 ω. Die Gesamtenergie berechnet sich aus der Summe der potentiellen und kinetischen Energie. Gleiches gilt auch für die Erwartungswerte. Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe erhalten wir < Ŵpot > 1 4 ω. 15. Parabolisches Potential II Wir betrachten erneut das parabolische Potential aus der Aufgabe 14 mit den Energie-Eigenwerten W n und den zugehörigen Eigenfunktionen ψ n. a Zeigen Sie die Orthogonalität von ψ 0 x und ψ 1 x. + ψ 1ψ 0 dx + c 1 x x e b b b c 0c 1 b + c0 e x b dx 36 b xe x b dx } {{ } 0 0 b Von außen wird ein elektrisches Feld F x const., F x > 0 angelegt. Wie sieht der Hamilton-Operator des 1-dimensionalen Oszillators jetzt aus? Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenfunktionen zu diesem Hamilton-Operator. Hinweis: Quadratische Ergänzung im Ausdruck für das Potential. Der Hamilton-Operator für dieses Problem lautet: Ĥ m + 1 mω x + ef x 37 m + 1 mω x + ef mω x m + 1 mω x + ef }{{ mω } x ef mω Seite L3

14 In die SG eingesetzt ergibt sich: m + 1 mω x ef ψ W ψ 38 mω m + 1 mω x ef ψ W + ψ mω }{{ } W Die Lösung dieser SG lautet entsprechend dem 1-dim. harmonischen Oszillator: ψ c n x H n e x b b b ψ c n x + ef H n b b W W mω W ω ef mω ω n + 1 e x+ ef mω b 39 n + 1 ef mω c Betrachten Sie nun einen halben harmonischen Oszillator. D.h. es gilt für das Potential : V { 1 mω x : x < 0 : x 0 40 Wie sehen die Eigen-Energien und -Funktionen aus? Hinweis: Diese Aufgabe kann durch reines Nachdenken und Betrachten der Lösungen des harmonischen Oszillators gelöst werden. Es ist keine Rechnung nötig! Betrachtet man die Lösungen des harmonischen Oszillators, so erkennt man sofort, daß nur die ungeraden Lösungen die zusätzliche Randbedingung ψ0 0 erfüllen. Dementsprechend sind alle ungeraden Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators auch Eigenfunktionen zum Hamilton-Operator aus dem gegebenen Problem. Entsprechendes gilt für die Eigenenergien. d Das Lennard-Jones-Potential σ 1 σ6 V r 4ɛ r1 r 6 Seite L33

15 beschreibt näherungsweise das Potential zwischen zwei sphärischen Atomen. Hierbei bezeichnet r den Abstand zwischen den Atomen. Für zwei Helium- Atome sind ɛ 10 3 ev, σ, 5Å, m 10 3 ev Å realistische Parameterwerte. Skizzieren Sie das Potential, und berechnen Sie die Minimumwerte r 0 und V r 0. Nähern Sie das Potential in der Nähe des Minimums durch V min einen Oszillator an. Setzen Sie hierzu eine Taylor-Entwicklung der Funktion im Minimum an, die nach dem x -Term abbricht. Schätzen Sie die Nullpunkts- Energie dieses eindimensionalen Oszillators ab. Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen von V r: Seite L34

16 V r 4ɛ 1 σ1 + 6σ6 r13 r 7 V r 4ɛ 156 σ1 4σ6 r14 r 8 41 Das Minimum von V r wird aus V r 0 bestimmt: 1σ 1 + 6σ 6 r r 0 6 σ, 8 Å V min V r ev Wir berechnen nun: V r ev 43 V r 0 0 ev Å 1 V r 0 0, 09 ev Å Entwicklung von V r in einer Taylor-Reihe um r 0 : V r V r 0 0! r r V r 0 r r 0 1 } 1! {{} 0 + V r 0 r r ! V r V r 0 r r 0 Einsetzen in die SG und Vergleich mit dem harmonischen Oszillator liefert: m + V r V r 0 r r 0 ψ W ψ 45 Mit ρ r r 0 und mω V r 0 erkennen wir den harmonischen Oszillator wieder. Den konstanten Teil des Potentials V r 0 können wir direkt der Energie zuordnen. Seite L35

17 m + 1 mω ρ ψ W V r 0 ψ 46 }{{} : W Die Eigenenergien ergeben sich damit zu: W W + V r 0 1 ω + V r 0 1 V r 0 m + V r m V r 0 + V r 0 8, ev Seite L36