Der photoelektrische Effekt

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1 Der photoelektrische Effekt h ν I ph Abnahme der negativen Ladung auf einer Platte bei Beleuchtung mit UV-Strahlung. Lichtinduzierte Elektronenemission (Lenard, 1902). Erklärung durch A. Einstein (1905) mit Lichtquantenmodell. I ph U eu 0 = E kin α U 0 U W A tan α = eu 0 h ν h ν

2 Comptoneffekt Photon, E 0, p 0, λ 0 φ Photon E 1, p 1, λ 1 p 1 = h k 1 Gestreutes Licht (Röntgen- oder γ- Strahlung) enthält neben λ 0 auch noch längerwellige Komponente! Energie- und Impulserhaltung: hν 0 = hν 1 + E kin,e, p 0 = h k 0 Elektron θ h k 0 = h k 1 + p e, p e wo h. = h/2π und E kin,e = m 0c 2 1 β 2 m 0c 2.

3 I Primärlinie φ = 0 Aus Physik II wissen wir, dass Licht auch Impuls übertragen kann, der Impuls eines Photons beträgt p = h k = h/λ = hν/c. φ = 45 Die Berechnung der Compton-Streuformel φ = 90 φ = 135 λ 1 λ 0 = λ c (1 cos φ) erfolgt durch Anwendung der Impuls- und Energieerhaltung und Quadrieren ebendieser. Dabei werden wir auch einen Ausdruck für λ c, die Comptonwellenlänge finden. λ

4 p 2 e = h 2 ( k k 2 1 2k 0 k 1 cos φ ), m 0 v β 2 = h2 c 2 ( ν ν 2 1 2ν 0 ν 1 cos φ ) (1) und ( h(ν0 ν 1 ) + m 0 c 2) 2 hν 0 = hν 1 + m 0c 2 1 β 2 m 0c 2, = m2 0c 4 1 β 2, h 2 c 2(ν 0 ν 1 ) 2 + 2h(ν 0 ν 1 )m 0 = m2 0v 2 1 β 2 (2)

5 Gleichsetzen der Gleichungen 1 und 2 ergibt ν 0 ν 1 = h m 0 c 2ν 0ν 1 (1 cos φ), was mit ν = c/λ die Comptonsche Streuformel ergibt, λ 1 λ 0 = λ c (1 cos φ), wo λ c = h/(m 0 c) die Compton-Wellenlänge ist. Anmultiplizieren von 1/λ 0 = ν 0 /c zeigt λ c = hν 0 λ 0 m 0 c 2, die Compton-Wellenlänge ist der Quotient aus Photonenenergie und Ruheenergie des Streuers.

6 Interferenz mit Kugeln x P 1 P 2 P 12 = P 1 + P 2 P

7 Interferenz mit Wellen x I 1 I 2 I 1 = h 2 1 I 2 = h 2 2 I 12 = h 1 + h 2 2

8 Interferenz mit Elektronen x e P 1 P 2 P 1 = Φ 2 1 P 2 = Φ 2 2 P 12 = Φ 1 + Φ 2 2

9 Elektronen-Multiplier e D R D D D A U U C e t/(rc) t R/2 U

10 Bestimmung des Austrittsschlitzes x e P 1 P 2 P 1 = Φ 2 1 P 2 = Φ 2 2 P 12 = Φ Φ 2 2

11 Zusammenfassung I 1) Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses in einem idealen Experiment ist P = Φ 2, wo Φ, die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. 2) Gibt es verschiedene Möglichkeiten für ein Ereignis, so Φ = Φ 1 + Φ 2, P = Φ 1 + Φ ) Falls Experiment zwischen verschiedenen Alternativen unterscheiden kann, so gilt P = P 1 + P 2.

12 Zusammenfassung II Physik von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsamplituden Ende einer deterministischen, mechanistischen Weltanschauung, hin zu einer probabilistischen Weltanschauung. Wechselwirkung Beobachter - Experiment Unschärferelation

13 Die Unschärferelation e p y P 1 x Wir können kein Experiment bauen, welches bestimmen kann, welche Alternative ein Ereignis wählen wird, ohne dabei den Interferenzcharakter des ungestörten Resultates zu zerstören. P 2 p y y h/2 P 1 = Φ 2 1 P 2 = Φ 2 2 P 12 = Φ Φ 2 2 rettet die Quantenphysik.

14 Wellenpakete x Soll ein Teilchen durch eine Welle beschrieben werden, so kann dies keine unendliche Welle sein, irgendwie muss die Ortsinformation eingebunden werden. Dies kann durch Wellenpakete erreicht werden. Wie groß ist aber die Wellenlänge des Wellenpaketes links? Nehmen wir an, die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsamplitude ψ(x) des dazugehörigen Teilchens sei proportional zu exp(i(νt k r)). Das Betragsquadrat ist konstant, d. h. die Wahrscheinlichkeit es zu finden ist überall gleich groß und x damit unendlich. Ist x endlich (Wellenpaket), so ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen außerhalb zu finden gleich null, und damit auch die Wahrscheinlichkeitsamplitude. Diese muss also auf das Gebiet x beschränkt sein, dann können

15 wir aber die Wellenzahl nur auf ca. ±1 bestimmen. Damit ist der Impuls p = h k unscharf. Dies ist eine Eigenschaft von Wellen und hat vorerst mit der Quantenphysik nichts zu tun. Die Nullstellen des Imaginärteils sind im eindimensionalen Fall an den Orten 2π(νt kx) = nπ, wo n eine ganze Zahl sei. Also x n = n 2k + ν k t, womit sich die Welle mit einer Geschwindigkeit w = ν/k bewegt.

16 Materiewellen Ein Wellenpaket kann z. B. durch eine Schwebung modelliert werden in der zwei Wellen sich addieren. ψ(x, t) = ψ 1 (x, t) + ψ 2 (x, t), wo ψ 1 (x, t) = sin2π(κx νt) und ψ 2 (x, t) = sin2π((κ + dκ)x (ν + dν)t), woκ = k/2π ( ) ( ) α β α + β Mit sinα + sinβ = 2cos sin 2 2 ( dκ ψ(x, t) = 2cos 2π 2 x dν ) 2 t sin2π(κx νt) weil dκ κ,dν ν.

17 Die schnell oszillierende Welle bewegt sich mit w = ν/κ, während die langsam oszillierende Umhüllende sich mit g = dν/dκ bewegt. w ist die Phasengeschwindigkeit, g = dν/dκ die Gruppengeschwindigkeit! Mit den bereits verwendeten Beziehungen E = hν, also ν = E/h und p = h/λ, also κ. = 1/λ = p/h haben wir dν = de/h und dk = dp/h. Mit E = p 2 /2m erhalten wir so die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes, dν/dκ = de/dp = 2p/2m = p/m = v. Das Wellenpaket bewegt sich also mit der Geschwindigkeit des Teilchens, welches wir damit beschreiben wollen!

18 Wellenpakete ,5 0 0,5 1 Natürlich besteht ein Wellenpaket nicht aus einer Schwebung, es hätte ja eine unendliche Ausdehnung! Je mehr Frequenzen beteiligt sind, desto besser ist das Paket örtlich beschränkt. In der Figur nebenan sind sieben Frequenzen beteiligt, die Nebenmaxima sind bereits an den Rand der x-achse gewandert. Damit können wir annehmen, dass sie noch weiter ins Unendliche wandern, wenn wir die Anzahl Frequenzen ins Unendliche wachsen lassen.

19 Ein Wellenpaket wird also besser beschreiben durch ein Integral: ψ(x, t) = k+ k/2 k k/2 dkc(k)e i(ωt kx). Für k k 0 können wir C(k) C(k 0 ) annehmen und den Exponenten in eine Taylorreihe entwickeln. Dann finden wir ψ(x, t) C(k 0 )e i(ω 0t k 0 x) k/2 k/2 dκe i(dω dk t x) κ, wo κ = k k 0. Das Integral gibt ψ(x, t) 2C(k 0 ) sin(( dω dk t x) ) k 2 dω dk t x.

20 Das Wellenpaket ist maximal wenn der Nenner verschwindet, deshalb bewegt es sich mit der Geschwindigkeit v g = dω/dk nach rechts. Mit ω = Ē h = p2 2m h = hk2 2m folgt, dass sich das Wellenpaket auch mit der Geschwindigkeit des Teilchens bewegt, dω dk = hk m = p m = v T. Wellenpakete sind also gut geeignet, um Teilchen zu beschreiben. Sie sind auch örtlich begrenzt, zum Zeitpunkt t = 0 finden wir x = 4π k 2π k 0 = h p 0

21 wegen k k 0. Multiplikation der linken Hälfte mit h ergibt ungefähr die bekannte Unschärferelation.

22 de-broglie Wellenlänge Louis de Broglie hat in seiner Doktorarbeit 1924 vorgeschlagen, dass Materie auch mit Wellen beschrieben werden kann. Die Wellenlänge des Teilchens müsste dann λ = h/p sein, die sogenannte de-broglie Wellenlänge. Wir können nun verstehen, warum wir die Interferenzmuster im Kannonenkugelexperiment nicht gesehen haben. Übung: Bestimmen Sie die de-broglie Wellenlänge einer Kannonenkugel (m = 10 kg, v = 500 m/s), eines α-teilchens der Energie E = 5 MeV und des Elektrons eines Wasserstoffatoms (Annahme: r 1Å).

23 Beugung von Teilchen 2d sin θ = nλ An den Gitterebenen in Kristallen können Wellen (Photonen- oder Teilchenwellen) reflektiert werden. Die reflektierten Wellen sind in Phase, wenn d θ 2d sinθ = nλ für n = 1,2,3,... (3) Daraus kann aus dem entstehenden Beugungsmuster auf die (kristalline) Struktur des Festkörpers geschlossen werden, was für Untersuchungen von Festkörpern von außerordentlichem Interesse ist. Bedingung 3 heisst Bragg- Bedingung. Man beachte die Definition von θ!

24 Die Beugung von Elektronen an einem Kristall ist daher durchaus vergleichbar mit der von Röntgenstrahlung (Experiment von Davisson und Germer). Beugungsexperimente werden heute auch mit atomaren Strahlen erfolgreich durchgeführt (siehe Bild links), oder auch mit Neutronen. Frage: Warum ist dies so interessant? Ich kann doch Festkörper auch mit Licht untersuchen? (Hinweis: de- Broglie-Wellenlänge) Eine weitere interessante Situation tritt dann auf, wenn der Abstand der Gitterebenen d < λ/2. In diesem Falle existiert keine Lösung für Gleichung 3 und die Welle kann durch das Medium dringen, ohne reflektiert oder auch gestreut zu werden. Dies kann man z. B. zum Herausfiltern von schnellen Neutronen ausnutzen.

25 Beugungsbegrenzte Messungen B θ Das Prinzip der Unschärferelation ist uns eigentlich gar nicht so fern. Es ist in der Optik bereits aufgetaucht - bei der Auflösungsbegrenzung durch die Beugung von Licht. Für ein Teilchen, welches einen Spalt der Breite B durchläuft, haben wir die Ortsunsicherheit y = ±B/2. Die erste Auslöschung im Interferenzmuster entsteht beim Winkel θ = λ/b. Die Unsicherheit im Impuls ist also p y = p 0 θ. Mit p = h/λ erhalten wir λ B p y y = p 0 B 2 = h λ λ B B 2 = h 2.

26 Das Bohrsche Gedankenexperiment x θ θ e Niels Bohr hat sich folgendes Gedankenexperiment zur Unschärferelation gemacht. Zur genauen Ortsbestimmung eines Elektrons wird ein Mikroskop verwendet um das vom Elektron gestreute Licht aus dem Kegel mit Öffnungswinkel θ aufzufangen. Das von der Lichtquelle ausgehende Photon wird aber dem Elektron einen Impuls übertragen, weshalb die Impulsunschärfe des Photons genau der des Elektrons entsprechen muss (Impulserhaltung), p = (h/λ) sinθ. Das Beugungsbild einer Punktquelle hat eine Breite x = λ/ sinθ, das Photon kommt also von irgendwo innerhalb dieses Kegels. Das Produkt ist wieder die Heisenbergsche Unschärferelation p x = (h/λ)sinθ λ/ sinθ = h.