Vorlesung 21: Roter Faden: Das Elektron als Welle Heisenbergsche Unsicherheitsrelation. Versuch: Gasentladung

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1 Vorlesung 21: Roter Faden: Das Elektron als Welle Heisenbergsche Unsicherheitsrelation Versuch: Gasentladung Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 1

2 Erste Experimente mit Elektronen Gasentladungen ionisieren Gas-> neg. und pos. Teilchen Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 2

3 Erste Experimente mit Elektronen Ionen Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 3

4 Schlussfolgerung Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 4

5 Erste Experimente mit Elektronen mv 2 /r=evb-> p=ebr e/m=2u/b 2 r 2 E=p 2 /2m=eU Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 5

6 Bestimmung der Elektronladung Stokesche Reibungsgesetz Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 6

7 Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen Vor Rekristallisierung Ni θ e- Intensität unter Streuwinkel θ Nach Rekristallisierung Zufällige Entdeckung der Bragg-peaks bei Streuung von Elektronen an Ni-Kristalle Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 7

8 Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 8

9 Einzel und Doppelspalt Beugung von Elektronen Max. und Min. in der Intensitätsverteilung nach Streuung an einem Draht zeigen Interferenz, d.h. Wellencharakter der Elektronen Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 9

10 Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen Experiment mit langsamen Neutronen (v=200m/s, λ db ~2 nm) Doppelspalt: 23 µm bzw. 22 µm breit 104 µm Abstand Beugungswinkel ~ 50 µrad (~10 ) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988) Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 10

11 Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen Einzelspalt Doppelspalt Durchgezogene Linie: Vorhersage der (linearen) Quantenmechanik (unter Berücksichtigung aller Parameter wie Geometrie, Geschwindigleitsverteilung etc...) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988) Vorsicht: Neutron spaltet sich nicht in mehreren Teilchen, sondern man findet nach dem Doppelspalt immer EIN Teilchen, nur bestimmte Auftrittsorte haben hähere Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden! Diese Kurven sind Wahrscheinlichkeitsdichten! Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 11

12 De-Broglie Beziehung Photon: E=hv=hc/λ und E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 Daher: für m=0 gilt: E=pc=hc/λ oder p=h/λ (de Broglie) Um Interferenzen der Elektronen zu erklären postulierte de Broglie das diese Beziehung auch für Teilchen gilt! Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 12

13 Elektronenmikroskop Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 13

14 Elektronenmikroskop Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 14

15 Realisierung elektrostatischer Linsen Energiefilter Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 15

16 Magnetische Linsen Impulsfilter Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 16

17 Magnetische Linsen Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 17

18 Elektronenmikroskop wohldefinierte Energie= wohldefinierte Wellenlänge -> hohe Auflösung Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 18

19 Elektronenmikroskop Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 19

20 Rastertunnelmikroskop Konstante Tunnelstrom durch Höhenanpassung ->Oberflächentopographie Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 20

21 Rastertunnelmikroskop Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 21

22 Rastertunnelmikroskop Manipulation einzelner Atomen mit Tunnelspitze Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 22

23 Rastertunnelmikroskop Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 23

24 Zusammenfassung 3 Wenn Energien, Orte oder Impulse im Bereich E=hv und λ=p/h Kommen, werden Quanteneffekte wichtig! Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 24

25 Welle-Teilchen Dualismus De Broglies Erklärung für die Quantisierung der Atomniveaus und die Interferenzpatrone der Teilchen (Davisson, Germer, Doppelspalt) beweisen eindeutig den Wellencharakter. Jedoch ist das Elektron auch ein Teilchen mit wohl definierter Masse und Ladung, das eindeutige Spuren e.g. in einem Nebelkammer hinterlässt. Wie kann man diese Eigenschaften vereinen? Max Born schlug in 1926 vor, dass, wie bei einer elektromagn. Welle, die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen vorzufinden, gegeben wird durch die Energiedichte, d.h. das Quadrat der Amplitude der Welle oder Ψ 2 dv ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dv zu finden (und das Integral über dv ist natürlich 1, da das Teilchen irgendwo sein muss. Wie ist Bahn des Teilchens mit Fortpflanzung der Welle verknüpft? Teilchen: Ekin= ½mv 2 = E = hf, mv = p = h/λ. Die Geschwindigkeit der Welle wäre v=λf=(h/mv). (½mv 2 /h) = ½v, d.h. die Welle pflanzt sich nur mit halber Teilchengeschwindigkeit fort! WAS IST FALSCH? Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 25

26 De Broglie Wellen E=hv=ħω p=h/λ=ħk Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 26

27 De Broglie Wellen E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 oder (ħω) 2 = (ħk) 2 c 2 +m 2 c 4 Für m=0 dispersionsfrei, sonst ħω=mc 2 für k=0 Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 27

28 Lokalisierung eines Teilchens Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat, dann hat es auch eine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigewellengleichung für eine wohldefinierte Wellenlänge ist mit k = 2 π /λ, and ω= 2 π f. Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen, d.h. das Teilchen ist nicht lokalisiert! Lösung des Problems: Wellen können interferieren wenn die Impulse -und damit die Wellenlängen NICHT scharf definiert sind. Dann Teilchen lokalisiert in Wellenpaket. Wenn Teilchen sehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit in Impuls groß sein. Dies ist Prinzip der Heisenbergsche Unsicherheitsrelation. Superposition von ZWEI Wellen ergibt Schwebungen: Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 28

29 Superposition von zwei Wellen Bei festem t=0 x k=2π -> x p=h x oder t Schwebungen konzentrieren Energiedichte und daher Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens->Lokalisierung Bei festem x=0 ωt=2π -> E t=h Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 29

30 Superposition unendlich viele Wellen x Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 30

31 Geschwindigkeit der Wellenpakete..\Downloads\GroupVelocity.htm Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 31

32 Auseinanderlaufen der Wellenpakete Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 32

33 Heisenbergsche Unschärferelation k Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 33

34 Heisenbergsche Unschärferelation Jede Messung von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 34

35 Zum Mitnehmen Teilchen mit Impuls p benehmen sich bei kleinen Abständen wie Wellen. Wellen mit Wellenlänge λ benehmen sich bei kleinen Abständen wie Teilchen. Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls: λ=h/p (de Broglie) Man kann nicht beliebig genau ORT und IMPULS bestimmen: x p h. (Heisenberg) Gleiche gilt für ENERGIE und ZEIT. Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 35

36 Zum Mitnehmen Die elektromagnetische Strahlung hat bei kurzen Wellenlängen Teilchencharakter, d.h. die Strahlung besteht aus Wellenpaketen die bestimmte Energie und Impuls haben. Experimentell wurde diese Quantisierung der e.m. Wellen beobachtet durch: Photoeffekt Comptonstreuung die alle nur verstanden werden können, wenn die Lichtquanten oder Photonen eine besitzen. Energie hv Impuls hv/c=h/λ Masse m=e/c 2 =hv/c 2 =p/c Juli 7, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 36