Kapitel 3. Transportmechanismen. 3.1 Ionosationsmechanismus

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1 Kapitel 3 Transportmechanismen Ionisationsdetektoren spielen in der Elementarteilchenphysik eine zentrale Rolle, sie waren die ersten Geräte überhaupt, mit denen Strahlung nachgewiesen werden konnte. Alle diese Geräte beruhen auf dem Prinzip der Ionisation eines Gases durch die eindringende Strahlung, die dabei entstehenden Ionisationselektronen und Ionen werden aufgesammelt und als elektrisches Signal beobachtet. Das historisch wichtigste Beispiel ist das Geiger-Müller-Zählrohr. Deshalb sollen zunächst der Ionisationsprozess sowie die Transportphänomene von Elektronen in Gasen diskutiert werden. 3.1 Ionosationsmechanismus Der Energieverlust geladener Teilchen in einem Medium wird im Wesentlichen durch Anregung und Ionisation, bei der ein freies Elektron und ein Ion entstehen, bestimmt. Die Anregung eines Atomes X durch ein geladenes Teilchen p X + p X + p (3.1) ist ein resonanter Prozess, der die Übertragung einer bestimmten Energieportion verlangt. Dabei beträgt der typische Wirkungsquerschnitt für den Anregungspozess in Edelgasen σ cm 2. Obwohl kein Elektron frei wird und kein Ion entsteht, kann dieser Prozess in weiteren Reaktionen auch zur Ionisation beitragen. Der Ionisationsprozess X + p X + + p + e (3.2) ist kein resonanter Prozess und verlangt deshalb auch keinen bestimmten diskreten Energieübertrag. Obwohl der Wirkungsquerschnitt der Ionisation mit σ cm 2 etwas größer als der der Anregung ist, dominieren im Allgemeinen wegen des relaiv hohen Energieschwellwertes die Anregungsprozesse. Die Elektronen und Ionen, die durch den Prozess 3.2 durch die eintreffende Strahlung selbst entstehen, werden als Primärionisation bezeichnet. Bei einem Teil dieser Ionisationen wird so viel Energie auf die Elektronen übertragen, dass diese wiederum selbst ionisierend wirken. Diese Elektronen werden als δ-elektronen bezeichnet,

2 3.2 Transportmechanismen von Elektronen und Ionen in Gasen 59 die durch sie verursachten Ionisationsprozesse nennt man Sekundärionisation. Dieser sekundärer Prozess hält solange an, bis der Ionisationsschwellwert unterschritten wird Mittlere Anzahl produzierter Ionenpaare Der Ionisationsprozess ist statistischer Natur, zwei einfallende Teilchen produzieren in der Regel nicht dieselbe Anzahl an Elektronen-Ionenpaaren. Bei einem bestimmten Energieverlust kann die mittlere Zahl der Elektron-Ionenpaaren nicht aus dem Quotienten aus Energieverlust und Ionisationspotenial bestimmt werden, da immer ein Teil der Energie in Anregungsprozessen absorbiert wird. Es zeigt sich, dass bei Gasen dieser Wert von der Grössenordnung 1 Elektron-Ionpaar pro 30 ev an Energieverlust beträgt. Überraschenderweise hängt dieser Wert nicht wesentlich von der Art des ionisierenden Teilchens und nur schwach von der Art des Ionisationsgases ab. 3.2 Transportmechanismen von Elektronen und Ionen in Gasen Für die Entwicklung und den Bau von Ionisationsdetektoren ist das Verständnis der Bewegungsmechanismen von Elektronen und Ionen essentiell, da sich daraus die Anforderungen an die Betriebsbedingungen ergeben. Die Phänomene können in der Regel mit der klassischen kinetischen Gastheorie beschrieben werden, und umfassen im Wesentlichen die Diffusion und das Driftverhalten im elektromagnetischen Feld Diffusion Wenn kein elektrisches Feld anwesend ist, diffundieren die von der Strahlung erzeugten Elektronen und Ionen ausgehend von ihrem Erzeugungsort gleichmäßig und isotrop in alle Raumrichtungen. Während des Prozesses erfahren sie Vielfachstreuung mit den Gasmolekülen und verlieren dabei ihre Energie. Somit erreichen sie schnell ein thermisches Gleichgewicht mit den Gasmolekülen und rekombinieren. Bei thermischen Energien wird die Geschwindigeit der Ladungen durch eine Maxwellverteilung beschrieben, welche eine mittlere Geschwindigkeit von v M = 8kT πm (3.3) mit der Boltzmannkonstanten k und bei der Temperatur T für ein Teilchen der Masse m liefert. Aufgrund der kleinen Masse des Elektrons ist deren mittlere Geschwindigkeit wesentlich größer als die der Ionen. Bei Zimmertemperatur ist v M (e ) 10 6 cm/s v M (A + ) 10 4 cm/s

3 60 Transportmechanismen Aus der kinetischen Gastheorie erhält man, dass die Verteilung der Ladungen, die während der Zeit t diffundiert sind, gaussartig ist: dn dx = N 0 4πDt e x2 4Dt (3.4) wobei N 0 die totale Anzahl der Ladungen, x die Entferung vom Erzeugungsort und D der Diffusionskoeffizient ist. Die Breite der Verteilung in x ist demnach σ(x) = 2Dt (3.5) und in drei Dimensionen gilt analog für den sphärischen Drift σ(r) = 6Dt (3.6) wobei r der radiale Abstand vom Erzeugungspunkt ist. Beispielsweise ist Streubreite von Ionen in Luft unter Normalbedingungen ungefär 1 mm nach 1 s. Der Diffusionskoeffizient D kann aus der kinetischen Gastheorie hergeleitet werden und ist D = 1 vλ (3.7) 3 wobei λ die mittlere freie Weglänge der Elektronen oder Ionen im Gas ist. Für ein ideales, klassisches Gas ist die λ bei einer Temperatur T und dem Druck p gegeben als λ = 1 kt (3.8) 2 σ 0 p wobei σ 0 der totale Wirkungsquerschnitt der Kollision mit einem Gasmolekül ist. Wenn man in Gl. 3.7 Gl. 3.3 und Gl. 3.8 einsetzt, so erhält man für den Diffusionskoeffizienten D = (kt ) 3 (3.9) π pσ 0 m In Gl. 3.9 werden die Abhängigkeiten von D von den Parameteren des Gases deutlich Drift und Mobilität Bei der Anwesenheit eines elektrischen Feldes werden die durch die Teilchenstrahlung erzeugten Ladungen entlang der Feldlinien zur Anode bzw. zur Kathode beschleunigt. Der Beschleunigung der Ladungen wirken die Kollisionen mit den Gasatomen entgegen, wodurch die maximal erreichbare Geschwindigkeit entlang der Feldrichtung begrenzt wird und sich eine konstante Driftgeschwindigkeit einstellt. Verglichen zu den thermischen Bewegungen ist die Driftgeschwindigkeit relativ klein, nur bei den sehr leichten Elektronen kann sie höher sein. In der kinetischen Gastheorie definiert man die Mobilität µ einer Ladung als µ = v D E (3.10)

4 3.2 Transportmechanismen von Elektronen und Ionen in Gasen 61 wobei v D die Driftgeschwindigkeit und E die elektrische Feldstärke sind. Im Falle von positiven Ionen ist die Driftgeschwindigkeit linear zum Verhältnis E/p bis hin zu relativ großen elektrischen Feldern. Bei einem konstanten Druck folgt daraus, dass die Mobilität konstant bleibt. Bei einer gegebenen Feldstärke E ist demnach die Mobilität µ umgekehrt proportional zum Druck p. In idealen Gasen, bei denen die driftenden Ladungen im thermischen Gleichgewicht bleiben, ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Mobilität und der Diffusionskonstante D µ = kt (3.11) e Dies folgt aus klassischen Überlegungen und ist als die Einstein sche Relation bekannt. Anders als bei den positiven Ionen ist die Mobiltät der Elektronen wesentlich größer und abhängig von E. Bei einer typischen Feldstärke von 1 kv/cm bei Normaldurck können Geschwindigkeiten von bis zu 10 6 cm/s vor Eintreten der Saturation erreicht werden. Wenn durch die Zunahme der Driftgeschwindikeit die thermischen Energien überschritten werden, kann davon auch die Diffusionsrate beeinflusst werden (Abb. 3.1) Beweglichkeit von Ionen und Elektronen Im äußeren elektrischen Feld erhalten die Ionen neben der thermischen Geschwindigkeit eine überlagerte Driftgeschwindigkeit, die ihrer Bewegung eine Vorzugsrichtung gibt. Die mittlere kinetische Energie eines Ions unterscheidet sich allerdings nur unwesentlich von deren thermischer Energie, da das schwere Ion beim Stoß mit dem etwa gleich schweren Gasatom im Mittel die Hälfte seiner Energie verliert. Die Beweglichkeit von Ionen µ + sollt daher in guter Näherung unabhängig vom äußeren angelegten Feld sein. Bei einer Driftkammer misst man die Zeit, die zwischen dem Teilchendurchgang und der Signalproduktion vergeht, um aus dieser Information den Ort der Teilchenbahn zu bestimmen. Die Beweglichkeit der Elektronen legt hier die Zeitdauer fest t = t(anode) t(teilchen) = L v D (3.12) wobei L der Abstand von dem Produktionsort (zur Zeit t(teilchen)) des Ionenpaares zur Anode ist. Die Driftgeschwindigkeit v D der Elektronen wird aus der allgemeinen Bewegungsgleichung eines Elektrons im E- und B-Feld abgeleitet: m d v dt = e E + e( v B) + Q(t) (3.13) wobei Q(t) ein stochastisches zeitabhängiges Rauschen aufgrund der Stöße mit den Gasatomen sei. Wir können in guter Näherung annehmen, dass die E und B Felder zwischen zwei Stößen konstant seien und mitteln über ein Zeitintervall, dass viel größer als die Zeit zwischen zwei Stößen sei: v D = v und erhalten dann aus Gl O = m d v dt = e( E + v B ) m τ v D (3.14)

5 62 Transportmechanismen wobei Q(t) durch einen Reibungterm angenähert wurde. Für die Driftgeschwindigkeit erhält man dann mit der Larmor-Frequenz ω L = eb m Aufösung nach v D liefert dann endlich v D = µ E + ω τ v D B (3.15) v D = µ E 1 + ω 2 τ 2 ( ˆ E + ωτ ˆ E ˆ B + ω 2 τ 2 ( ˆ E ˆ B) ˆ B ) (3.16) Im Fall von B = 0 wird Gl zu v D = µ E. Man untescheidet nun zwei Arten von Gasen: einerseits Gase, deren Atome wenige niederenergetische Anregungsniveaus besitzen, und die Elektronen bei Stöß kaum Energie verlieren können (T kt, heiße Gase) und anderseits Gase, mit vielen niederenergetischen Freiheitsgraden, in denen die Elektronen ihre gewonnene Energie durch Stöße verlieren können (T kt, kalte Gase). Bei heißen Gasen ist die Driftgeschwindigkeit wegen µ τ 1 σ( E ) nicht konstant, hingegen gilt bei kalten Gasen µ = const.. Dies ist in Abb. 3.1 dargestellt. Abbildung 3.1: Driftgeschwindigkeit v D von Elektronen als Funktion der angelegten Feldstärke. Offensichtlich wird die Richtung der Driftgeschwindigkeit v D durch die Anwesenheit von E- und B-Feldern derart beeinflusst, daß v D eine Komponente parallel und eine senkrecht zur Richtung von E und B hat. Falls, wie es beim Bau von Driftkammer üblich ist, das E-Feld senkrecht zum B-Feld gewählt wird, so erhält v D einen Winkel α L zur Richtung des E-Feldes, den sogenannten Lorentzwinkel und ändert ihren Betrag. Mit Gl folgt dann in disem Falle mit tan α = ω τ v D = µ E = tan α = v 1 + ω2 τ 2 D B E (3.17)

6 3.3 Lawinenbildung 63 Bei einem Driftfeld von E = 500 V und einer daraus resultierenden Driftgeschwindigkeit von v D = 3.5 cm/µs ändert sich deren Betrag bei der Anwesenheit eines Magnetfeldes von B = 1.5 T zur vd B = 2.4 cm/µs und der Lorentzwinkel beträgt α L = 46. Daraus ist ersichtlich, dass aufgrund seiner Größe der Lorentzwinkel bei der Planung von Driftkammern immer mitberücksichtigt werden muss. 3.3 Lawinenbildung Eine Vervielfachung der ionisierenden Primärladung in Gasdetektoren erhält man, wenn die durch die Primärionisation entstandenen Elektronen genügend Energie aus dem angelegten Feld erhalten, so dass sie selbst wiederum ionisierend wirken können. Die ionisierenden Sekundärelektronen produzieren dann ihrerseits Tertiärelektronen und so fort. Dieser Prozess resultiert in einer Lawinenbildung. Die Verteilung der Ionisationswahrscheinlichkeit ist in Abb. 3.2 gezeigt. Wegen der höheren Mobilität der Elektronen hat die Lawine die Form eines Flüssigkeitströpfchens, bei dem sich die Elekronen in der Nähe des Bauches gruppieren und das langsamere Ion hinterherläuft (Abb. 3.3) Abbildung 3.2: Ionisationswahrscheinlickeit als Funktion der Elektronenergie T e. Wenn λ die mittlere freie Weglänge für eine Sekundärionisation sei, dann ist α = 1/λ die Ionisationswahrscheinlichkeit pro Weglänge. Wenn n Elekronen vorhanden sind, werden in einer Wegstrecke von dx dn = n α dx (3.18)

7 64 Transportmechanismen neue Eletronen produziert. Durch Integration erhält man die totale Anzahl der auf der Strecke x produzierten Elektronen n = n 0 e α x (3.19) wobei n 0 dann zu die ursprüngliche Zahl der Elekronen ist. Der Verstärkungsfaktor wird M = n n 0 = e α x (3.20) Im Allgemeinen ist α bei nicht gleichförmigen elektrischen Feldern eine Funktion von x: 2 M = e α(x) dx 1 (3.21) Während die Verstärkung von Gl ohne Grenze anwachsen kann, ist der Verstärkungsfaktor aus physikalischen Gründen auf M < 10 8 oder α x < 20 beschränkt (Raether-Limite), ansonsten würde es zu Funkenbildung kommen. Da für die Driftgeschwindigkeiten gilt v D (e v D (Ion) erhält man unter Berücksichtigung der Diffusion und Streuung eine tropfenartige Lawinenform (Townsend-Lawine, Abb. 3.3). Der Verstärkungsfaktor ist von fundamentaler Bedeutung für den Bau von Proportionalzählern. Aus diesem Grunde wurden viele theoretische Modelle zur Bestimmung von α in verschiedenen Gasen entwickelt. Eines der älteren Modelle von Rose und Korff liefert dafür α p = A e Bp E (3.22) wobei A und B empirische Gaskonstanten sind.

8 3.3 Lawinenbildung 65 Anode Abbildung 3.3: Ausbildung einer Ladungslawine in der Nähe des Anodendrahtes.