Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 1

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1 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 1 Tipler-Mosca THERMODYNAMIK 17. Temperatur und kinetische Gastheorie (Temperature and the kinetic theory of gases) 17.1 Thermisches Gleichgewicht und Temperatur (Thermal equilibrium and tempearture) 17. Celsius- und Fahrenheitskala (The Celsius and Fahrenheit temperature scales) 17.3 Gasthermometer und die absolute Temperatur (Gas thermometers and the absolute temperature scale) 17.4 Die Zustatdsgleichung für das ideale Gas (The ideal-gas law) 17.5 Die kinetische Gastheorie (The kinetic theory of gases) Aufstellung einer Temperaturskala anhand der Eigenschaften der Gase bei geringen Dichten Temperatur = Maß für die mittlere kinetische Energie der Moleküle im betreffenden Gegenstand Universität Salzburg Seite

2 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Universität Salzburg Seite

3 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Thermisches Gleichgewicht und Temperatur (Thermal equilibrium and tempearture) Eine physikalische Eigenschaft, die mit der Temperatur variiert und die man zur Temperaturmessunge heranziehen kann (z.. Länge bzw. Volumen bei konstantem Druck, Druck bei konstantem Volumen, elektrischer Widerstand, usw.) nennt man eine thermometrische Eigenschaft. Nullter Hauptsatz der Thermodynamik: Thermisches Gleichgewicht der Systeme A,, und C in thermischem Kontakt miteinander Zwei Gegenstände haben die gleiche Temperatur, wenn sie miteinander in thermischem Gleichgewicht stehen. Universität Salzburg Seite

4 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Celsius- und Fahrenheitskala (The Celsius and Fahrenheit temperature scales) Zur Konstruktion von Thermometern kann man im Prinzip jede thermometrische Eigenschaft verwenden. Celsius-Skala: Temperaturfixpunkte: Gefrierpunkt des Wassers 0 C - Siedepunkt des Wassers 100 C; t = t 0 Flüssigkeitsthermometer: C 100 C wobei Länge der Flüssigkeitssäule (Quecksilber, Alkoh Länge bei Temperatur t, Länge bei 0 C, Länge bei 100 C t Fahrenheit-Skala: Ziel war alle meßbaren Temperaturen positiv Fixpunkte: tiefste Temperatur einer Salmiak-Schnee-Mischung + Körpertemperatur des Menschen + Gefrierpunkt und Siedepunkt des Wassers. ol) Ein imetallstreifen verbiegt sich, wenn er erwärmt oder abgekühlt wird (siehe Teil 0). Amerikanisches ackofenthermometer Thermostat für Klimaanlagen Universität Salzburg Seite

5 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Gasthermometer und die absolute Temperatur (Gas thermometers and the absolute temperature scale) Nullmarke Gasthermometer konstanten Volumens, gefüllt mit unterschiedlichen Gasen: Einfluß der Füllmenge an Gas bzw. Gasdichte bzw. Gasdruck. Gasthermometer mit konstantem Volumen: die Temperatur ist proportional zum Gasdruck im Gefäß, angezeigt durch die Höhe h C 1 im Gefäß : t pt = p 3 p0 p C Druck-Temperatur-Diagramm für ein Gasthermometer konstanten Volumens. Grenzwert: C Universität Salzburg Seite

6 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 6 Genauer Fixpunkt zum Kalibrieren von Thermometern: Tripelpunkt des Wassers ( p = mbar, t = 0.01 C bzw T = K) Kelvin (K): Temperatureinheit der absoluten Temperatur, Kelvin-Skala: Temperaturskala der absoluten Temperatur. Absolute Temperaturen können mit dem Gasthermometer konstanten Volumens gemessen werden. Das ideale Gas ist ein Gas, dessen Verhalten vollständig und uneingeschränkt durch die kinetische Gastheorie (Teil 17) beschrieben wird. Umrechnung Grad Celsius - Kelvin Im Alltag Celsius-Skala nützlich, in der Wissenschaft Kelvin-Skala üblich wegen fundamentalere Interpretation der absoluten Temperatur Universität Salzburg Seite

7 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Die Zustatdsgleichung für das ideale Gas (The ideal-gas law) In guter Näherung für ein reales Gas: pv = konstant bei konstanter Temperatur T oyle-mariotte'sches Gesetz V T bei konstantem Druck p Gay-Lussac'sches Gesetz pv CT mit C Proportionalitätskonstante C = k N = k k = = wobei oltzmann-konstante J K ev K und N Anzahl der Moleküle im Gas pv = knt. Die Gasmenge wird in der Einheit Mol (Formelzeichen mol) angegeben. 1 Ein Mol einer Substanz enthält NA Teilchen = die Anzahl der Atome in genau 1 g des Kohlenstoffisotops C. N= nna wobei nanzahl der Mole pv= knt = nknnt A = nrt wobei R= kn A Gaskonstante, R = J mol K = bar mol K pv nt als Funktion des Druckes p für einige reale Gase Zustandsgleichung für das ideale Gas, pv, und T Zustandsvariablen für reale Gase bei höheren Dichten und Drücken Korrekturen notwendig Van-der-Waals-Gleichung siehe Teil 0. Universität Salzburg Seite

8 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 8 Standardbedingungen: Temperatur 0 C bzw K, Druck 1 bar (früher üblich 1 atm = bar) eispiel 17.1: Das Volumen des idealen Gases Gesucht Volumen eines Mols ( n = 1) eines Gases bei t = 0 C und p = 1 bar: -1-1 ( 1 mol)( bar mol K )( 73 K) ( 1 bar) nrt aus pv = nrt V = = =.7 l p Zustandsgleichung für eine bestimmte Menge (konstante Molanzahl n) eines idealen Gases pv - -Isothermen (da T = konst Hyperbeln) eispiel 17.: Erwärmen und Komprimieren eines Gases estimmte konstante Gasmenge: sei V = l bei t = 30 C, p = 1 bar gesucht p bei V = 1.5 l und t = 60 C ( 333 K)( l) ( )( ) ( ) 303 K 1.5 l pv pv T V aus = p = p = 1 bar = 1.45 bar T T T V Universität Salzburg Seite

9 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 9 Die Masse eines Mols eines Substanz nennt man molare Masse oder Molmasse M m = nm, Die molare Masse einer Verbindung ist gleich der Summe der molaren Massen der Elemente, aus denen sie besteht. eispiel 17.3: Die Masse eines Wasserstoffatoms Molare Masse von atomaren Wasserstoff M = M g mol g mol. Gesucht Masse eines Wasserstoffatoms: aus M = NAm m = = = g = kg N 3-1 A mol m nm n p M Aus m = nm und aus ρ = = mit = aus Gl. (17.13) ρ = p V V V RT RT eispiel 17.4: Expansion eines Gases bei konstanter Temperatur m = 100 g CO bei p = 1 bar und V = 55 l: Teil a) gesucht T m Anzahl der Mole n = mit MCO = M C + MO = (Anhang C Tabelle C) = 1 g + 16 g = 44 g M 100 g n = =.7 mol aus Gl. (17.13) pv = nrt 44 g ( 1 bar)( 55 l) pv T = = = 91 K nr -1-1 (.7 mol)( bar l mol K ) ( ) 1 Teil b) für V = 80 l und T = konst aus pv 1 1 = pv p = p1 = 1 bar = bar V 80 l V 55 l Universität Salzburg Seite

10 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite Die kinetische Gastheorie (The kinetic theory of gases) Kinetische Gastheorie: Rückführung der makroskopischen Zustandsgrößen p, V und T auf mikroskopische Größen. Gas: große Anzahl von Teilchen, die elastisch aufeinander und auf die Wände des ehälters stoßen. Die Teilchen haben im Mittel einen Abstand voneinander, der groß ist gegen ihren Durchmesser Keine Kräfte, außer bei den Stößen. erechnung des von einem Gas ausgeübten Drucks Nach der kinetischen Gastheorie rührt der Druck p, den ein Gas auf die Wände seines ehälters ausübt, von den Stößen seiner N Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v auf die ehälterwänder her. Rechte ehälterwand: 1 N Anzahl der Teilchen, die die Wand treffen gegeben durch v x Δ t A V etrag Δp der im Zeitintervall Δt insgesamt auftretenden 1 N Impulsänderung aller Teilchen: Δ p = ( mvx ) vx Δt A N mv A t x. V = Δ V F 1 Δp N Druck p = = = mvx pv = Nmvx ersetzt man vx mit vx und führt man die mittlere A A Δt V 1 1 kinetische Energie mvx in Richtung der x-achse ein pv= N mvx Die molekulare Deutung der Temperatur Vergleich mit Gl. (17.7) pv = Nk T NkT = N mvx mvx = kt Universität Salzburg Seite

11 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 11 1 Im Mittel vx = vy = vz und v = vx + vy + vz = 3 vx vx = v mittlere kinetische Energie eines Teilchens Ekin = m v = m vx = kt Die Summe der kinetischen Energien von n Mol des idealen Gases mit insgesamt N Teilchen bezeichnet man als innere Energie U des idealen Gases: U = N m v = NkT = nrt Schätzung der mittleren Teilchengeschwindigkeit möglich aus Gl. (17.1) quadratisch gemittelte Geschwindigkeit v rms = = = eispiel 17.5: Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von Gasteilchen v 3kT 3RT m M 3kT 3N kt 3RT = = = m N m M A γ RT Ähnlichkeit mit Schallgeschwindigkeit Gl. (15.5) v =, da Schallwelle = periodische Druckänderungen M durch Stöße zwischen den Gasteilchen. M =3 g mol, M =3 g mol, T = 300 K, gesucht v : -1-1 O H rms -1-1 ( )( ) 3RT J mol K 300 K Teil a) O -Moleküle aus Gl. (17.3) v = = = 483 m s MO ( 3 10 kg mol ) 3-1 vrms,h M M ( 3 10 kg mol ) vrms,h v ( ) rms,o 3-1 vrms,o M H M H ( 10 kg mol ) rms,o 3-1 Teil b) H -Moleküle wegen O O -1-1 = = = 483 m s = 1930 m s v -1 A Universität Salzburg Seite

12 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 1 Der Gleichverteilungssatz Jede Komponente des Orts und des Impulses (auch des Drehwinkels und des Drehimpulses), die als quadratischer Term im Ausdruck für die Energie des Systems erscheint, wird Freiheitsgrad genannt. Typische Freiheitsgrade sind verknüpft mit der kinetischen Energie der Translation, der Rotation und der Schwingungen sowie der potentiellen Energie der Schwingung (siehe Teil 18). Gleichverteilungssatz Die mittlere freie Weglänge Die Strecke, die die Moleküle zwischen zwei Stößen durchschnittlich zurücklegen, nennt man mittlere freie Weglänge λ. Sie hängt vom Moleküldurchmesser und vom Durchmesser der übrigen Gasmoleküle sowie von der Anzahldichte der Gasmoleküle ab: Ein anderes Molekül wird getroffen, wenn sich sein Mittelpunkt auf einer Kugel mit dem Radius d = r + r 1 um den Mittelpunkt des ersten Moleküls befindet. Während der Zeitspanne t stößt das Molekül mit allen Molekühlen zusammen, die sich in einem Zylinder mit einem Volumen πd vt befinden. Der in der Zeit t zurückgelegte Weg, dividiert druch die Anzahl der Stöße in dieser Zeitspanne, ist die vt 1 mittlere freie Weglänge: λ = = NV dvt NV πd ( ) π ( ) Universität Salzburg Seite

13 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 13 Ohne eweis: wenn man die ewegung aller Moleküle berücksichtigt λ = eispiel 17.6 Mittlere freie Weglänge eines CO-Moleküls Die Verteilung von Molekülgeschwindigkeiten 1 ( N V) πd Stoßzeit τ: mittlere Zeit zwischen zwei Stößen Stoßfrequenz 1 τ: Mittlere Anzahl der Stöße pro Sekunde mittlere Strecke zwischen zwei Stößen λ = v τ Ausbreitung von CO in einem Raum; gesucht a) mittlere freie Weglänge λ, b) Zeit zwischen zwei Stößen. M = 8 g mol, T = 300 K, p = 1 bar, d = m: CO Luft 1 Teil a) aus Gl. (17.5) λ = und mit Gl. (17.7) pv πd λ kt N p ( NV) / = = = = = pπ d V kt ( J K )( 300 K) ( N m K )( 300 K) ( NV) πd ( ) π ( ) 1 10 Pa 1 10 N m 1 1 λ = = = m m N p = NkT = V k T m m RT J mol K 300 K Teil b) aus Gl. (17.6) λ = v τ mit Gl. (17.3) vrms = v = = = 517 m s 3-1 M 8 10 kg mol -8 λ m -10 und der Annahme v vrms τ = = s = 18 ps -1 v 517 m s d ( )( ) ( ) Universität Salzburg Seite

14 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 14 Die Verteilung von Molekülgeschwindigkeiten In einem Gas haben nicht alle Moleküle dieselbe Geschwindigkeit, sondern es liegt eine Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten vor. Die Maxwell-oltzmann-Verteilung Schema einer Apparatur zur Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen In einer Gasmenge mit N molekülen ist die Anzahl dn der Molekülen mit Geschwindigkeiten zwischen v und v + d v gegenen durch d N = Nf( v)d v. dn fv ( )d v N = Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten eines Gases bei zwei Temperaturen, wobei T > T. v rms max 1 und v sind beide etwas größer als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v. Universität Salzburg Seite

15 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 15 Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v der Gasmoleküle ist gegeben durch das Maximum der Verteilungskurve ( ): max k T RT 3RT = = < = m M M fv vmax vrms eispiel 17.7: Anwendung der Maxwell-oltzmann-Verteilung erechnung des Mittelwertes von v bei Gasmolekülen mit Hilfe der Maxwell-oltzmann-Verteilung: 3 3 mv ( kt ) 4 mv ( kt ) Aus Gl. (1.9) v = v f( v)d v mit f( v) = v e v = v e d mv ( kt ) Aus Integraltabellen: e d m 4 m π kt π kt m 3 3 kt kt kt v v = π 8 v m = π = π kt 8 m m 0 v Universität Salzburg Seite

16 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 16 Die Energieverteilung Man kann die Maxwell-oltzmann-Verteilung-Geschwindigkeitsverteilung auch als Verteilung der kinetischen Energie E ausdrücken kin Anzahl der Moleküle mit kinetischen Energien zwischen E und mv ( kt ) Ekin ( kt ) Ekin ( kt ) fv ( )dv= Cve dv= Cve vv d = C e m m kin kin 1 kin E + d E : d N = Nf( E )d E kin kin kin kin 1 N 4 m mit Ekin = mv dekin = mvd v Nf( v)d v = f( Ekin)d Ekin mit C = mv π kt E de m 1 Ekin ( kt) 1 Ekin ( kt) kin = kin kin π kt m = m π kt 4 m mit C = π kt fe ( ) E e E e In der statistischen Mechanik unterschiedet man zwei Faktoren in dieser Verteilungsfunktion: 1 Zustandsdichte: π kt 3 E kin Wahrscheinlichkeit, daß der Zustand besetzt ist = oltzmann-faktor: e E E kin kin ( k T ) 3 3 Universität Salzburg Seite

17 Musso: Physik I Teil 17 Temperatur Seite 17 Alonso-Finn 16. Thermodynamik 16.1 Einführung 16. Innere Energie und Arbeit 16.3 Vielteilchensysteme: Arbeit 16.4 Vielteilchensysteme: Wärme 16.5 Vielteilchensysteme: Energetisches Gleichgewicht 16.6 Spezielle Prozesse 16.7 Wärmekapazität 16.8 Reversible und irreversible Prozesse 16.9 Entropie und Wärme Effizienz einer thermischen Maschine arbeitend in einem Carnot-Cyclus Das Entropiegesetz 17. Statistische Mechanik 17.1 Einführung 17. Statistisches Gleichgewicht 17.3 Maxwell-oltzman-Verteilungsgesetz 17.4 Statistische Definition der Temperatur 17.5 Energie- und Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle in einem idealen Gas 17.6 Experimentelle Überprüfung des Maxwell-oltzmann-Verteilungsgesetzes 17.7 Termisches Gleichgewicht 17.8 Entropie 17.9 Gesetz der Entropiezunahme Universität Salzburg Seite